弧形永磁同步电机设计与优化 实验结果表明电机的力矩波动从原来的4%下降到1.8%，证明该种方法的有效性。关键词：弧形永磁同步电机；边端力矩；齿槽力矩；有限元分析；力矩波动 DOI：10.15938/j.emc.2015.07.016 中图分类号：TN957；TN273+.3 文献标志码：A 文章编号：1007-449X（2015）07-0106-05 0.引言 对于一些超大型精密测量设备，如望远镜、测量雷达、精密机床，转台的尺寸都在10m左右，传统的传动方式已经不能满足实际应用需求。主要体现在如下方面：采用蜗轮蜗杆传动方式时蜗轮的尺寸难以做得很大，而且大尺寸蜗轮精度难以得到保证，对于大型测量设备而言，传动惯量一般都很大，常常使蜗轮部分的惯量难以匹配与其啮合的蜗杆部分的惯量。当设备制动时，蜗杆副的不可逆转特性会产生很大的冲击，若采用在蜗杆轴上加重量的办法来匹配惯量消除冲击，不仅会使伺服系统的机电时间常数增大，而且会延长起动和制动时间，同时也降低了伺服系统的跟踪性能。摩擦传动虽然克服了蜗轮蜗杆传动的弱点，但其存在传动刚度差，低速爬行和滑移的缺点。低速爬行和滑移会直接影响设备的运动稳定性和传动精度，齿轮传动与蜗轮蜗杆传动类似，都属于啮合传动，同样存在反向间隙、较高齿面接触应力、高频齿形误差等问题。对于力矩电机直接传动方式而言，普通的旋转电机已经不能满足大型设备应用需求，如果设计超大型的旋转电机，将给电机的加工、运输、安装都带来巨大的困难。 基于以上原因，本世纪初，国外率先在大型光学望远镜上应用了一种基于弧形永磁同步电机
拼接的传动技术。这项传动技术已经成功应用在了8.2 m的VLT望远镜和10.4 m的望远镜上。整个拼接电机的转子是由多个扇形结构组成，整个电机定子由多块弧形定子组成，每块定子和转子可以视为一台单元电机，可以单独运转。从电机结构上分类，该种电机属于直线电机，从电机性质上分类，该种电机属于永磁同步电机。整台电机可以很方便地加工、安装和拆卸，即使单块定子出现故障，仍然不影响整台电机的运转。但是该种电机存在较大的力矩波动，力矩波动会直接影响到设备的定位和跟踪精度，因此必须采取有效措施加以优化。造成电机力矩波动的因素有很多，主要包括：反电动势谐波、电机磁阻力矩等。对于弧形永磁同步电机，造成电机磁阻力矩的主要因素包括电机的边端力矩和齿槽力矩。电机的边端力矩是由于电机的铁心长度有限，未能构成闭合磁路造成的，电机的齿槽力矩是由电机的齿槽拓扑结构造成的。本文将针对弧形电机的力矩波动采取有效措施进行优化。 感谢您的阅读！
第2章永磁同步电机结构及控制方法 2.1 永磁同步电机概述 永磁同步电动机的运行原理与电励磁同步电动机相同，但它以永磁体提供的磁通替代后的励磁绕组励磁，使电动机结构较为简单，降低了加工和装配费用，且省去了容易出问题的集电环和电刷，提高了电动机运行的可靠性；又因无需励磁电流，省去了励磁损耗，提高了电动机的效率和功率密度。因而它是近年来研究得较多并在各个领域中得到越来越广泛应用的一种电动机。 永磁同步电动机分类方法比较多：按工作主磁场方向的不同，可分为径向磁场式和轴向磁场式；按电枢绕组位置的不同，可分为内转子式(常规式)和外转子式；按转子上有无起绕组，可分为无起动绕组的电动机(用于变频器供电的场合，利用频率的逐步升高而起动，并随着频率的改变而调节转速，常称为调速永磁同步电动机)和有起动绕组的电动机(既可用于调速运行又可在某以频率和电压下利用起动绕组所产生的异步转矩起动，常称为异步起动永磁同步电动机)；按供电电流波形的不同，可分为矩形波永磁同步电动机和正弦波永磁同步电动机(简称永磁同步电动机)。异步起动永磁同步电动机用于频率可调的传动系统时，形成一台具有阻尼(起动)绕组的调速永磁同步电动机。 永磁同步伺服电动机的定子与绕组式同步电动机的定子基本相同。但根据转子结构可分为凸极式和嵌入式两类。凸极式转子是将永磁铁安装在转子轴的表面，如图 2-1(a)。因为永磁材料的磁导率十分接近空气的磁导率，所以在交轴(q 轴)、直轴(d 轴)上的电感基本相同。嵌入式转子则是将永磁铁安装在转子轴的内部，如图 2-1(b)，因此交轴的电感大于直轴的电感。并且，除了电磁转矩外，还有磁阻转矩存在。 为了使永磁同步伺服电动机具有正弦波感应电动势波形，其转子磁钢形状呈抛物线状，其气隙中产生的磁通密度尽量呈正弦分布；定子电枢绕组采用短距分布式绕组，能最大限度地消除谐波磁动势。永磁体转子产生恒定的电磁场。当定子通以三相对称的正弦波交流电时，则产生旋转的磁场。两种磁场相互作用产生电磁力，推动转子旋转。如果能改变定子三相电源的频率和相位，就可以改变转子的转速和位置。
约束最优化问题 一实习目的 1.熟练掌握科学与工程计算中常用的基本算法； 2.掌握分析问题，设计算法的能力； 3.掌握模块化程序设计的基本思想，注重模块的“高内聚，低耦合”； 4.采用自顶向下，逐步细化的编程思想完成程序书写； 5.牢固建立“清晰第一，效率第二”的软件设计观念； 6.掌握软件调试，测试的基本技能和方法； 7.提高科技报告的书写质量； 8.在掌握无约束最优化问题求解方法的前提下，对一般情形下的约束最优化问题进行研究，通过实习掌握外点罚函数法、内点罚函数法、乘子法、线性近似规划法和序列二次规划法在求解一般情形下的约束最优化问题的应用。 二问题定义及题目分析 问题1： 要求用外点罚函数法和内点罚函数法解决约束问题： Min f(x)=错误！未找到引用源。 s.t. 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 问题2： 要求用乘子法解决约束问题： Min 错误！未找到引用源。 s.t. 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 (错误！未找到引用源。) 问题3： 要求用线性近似规划法和序列二次规划法解决约束问题: Min 错误！未找到引用源。 s.t. 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 三程序概要设计 1.外点罚函数法 Step1. 给定初始点错误！未找到引用源。,罚参数序列{错误！未找到引用源。}(常取错误！未找到引用源。),精度错误！未找到引用源。，并令k=0；
Step2. 构造增广目标函数错误！未找到引用源。; Step3. 求解无约束优化问题min 错误！未找到引用源。,x错误！未找到引用源。,其解记为错误！未找到引用源。； Step4. （终止准则：惩罚项充分小，或等价地错误！未找到引用源。近似可行）若错误！未找到引用源。，或者错误！未找到引用源。,错误！ 未找到引用源。,则得解错误！未找到引用源。，否则令k=k+1，转 Step2. 2.内点罚函数法： Step1. 给定初始可行解错误！未找到引用源。，罚参数序列{错误！未找到引用源。}(常取错误！未找到引用源。),精度错误！未找到引用源。，并令 k=0； Step2. 构造增广目标函数错误！未找到引用源。; Step3. 求解无约束优化问题min 错误！未找到引用源。,x错误！未找到引用源。,其解记为错误！未找到引用源。； Step4. （终止准则）若错误！未找到引用源。，则得解错误！未找到引用源。，否则令k=k+1，转 Step2. 3.乘子法： Step1. 给定初始点错误！未找到引用源。，初始lagrange乘子错误！未找到引用源。,i错误！未找到引用源。罚参数序列{错误！未找到引用源。}, 精度错误！未找到引用源。，并令k=0； Step2. 构造增广目标函数错误！未找到引用源。 Step3. 求解无约束优化问题min 错误！未找到引用源。，x错误！未找到引用源。,其解记为错误！未找到引用源。； Step4. （终止准则）若错误！未找到引用源。,则得解错误！未找到引用源。，否则令 K=k+1,转Step2. 4.线性近似规划法： Step1. 给定初始点错误！未找到引用源。，步长限制错误！未找到引用源。,缩小系数错误！未找到引用源。。精度错误！未找到引用源。,并令k=0；Step2. 求解线性规划问题：min 错误！未找到引用源。
永磁同步电机控制方法以及常见问题永磁同步电机控制方法以及常见问题。永磁同步是电流源控制模式，电流源频率定了，当然转速也定了，所有你看的永磁同步设置多少转速计算出来也是多少转速。 1.掌握永磁同步电机的成熟控制方法和开发内容后如何转型 (1)仿真：连续simulink+线性电机模型仿真，离散模型+线性电机+线性电机模型，q 格式离散模型+线性电机模型，simplorer+ansoft+无位置开环和闭环q格式仿真，模拟实际电机的线性电机模型建立，matlabgui+simulink仿真。都是无位置开环切闭环模式，各种仿真变着花样玩，ekf，hfi，pll，atan，磁连观测，扩展反电视等各种无位置仿真。仿真和实际跑板子其实只要电流采样底层做得好，过调制出得来都可以和仿真对的上。 (2)电机参数识别，通过变频器激励与响应实现，其余的表示不靠谱，可以在电机启动前10s内辨识出来。没啥用。 (3) 控制性能优化，6次谐波自适应陷波滤波，sogi等手段。 (4) 压缩机驱动自动力矩补偿。
(5) svpwm简单快速实现与单电阻采样结合研究。 (6) 各种各样电机调试与性能测试，我调试的电机型号应该有上千款了，仅限于 10w-20kw永磁同步电机，都快调试吐了，测试电机单体性能，带变频器运行极限测试 2.永磁同步电机初始角设置的问题 电机控制的调试里除却方波驱动，基本都会有一个类似于超前角的变量，该变量非常重要，直接影响速度，效率和抖动性。改变该角可以降低输出转矩，但可能会带来其他问题。 旋转转子使d轴指向A+与A-的中心线，就找到了初始角！但是对模型的初始角修改一下之后，在同样Thet角下，转矩下降好多！现在问题是在在修改初始角之后输出转矩能够稳定吗？这个输出转矩应该是与负载大小有关! 修改后的初始角与原来A相反电势为0对应的初始角，他们对应的输出转矩一定会变化的，且修改后的初始角中设定的功率角不是真正的模型功率角；至于设定负载我还没尝试过，不过我觉得你说的应该是对的。 其实我刚开始主要是对修改初始角后模型输出转矩稳定性有疑问，按照你的说法现在转矩应该是稳定的！那么对于一个永磁同步电机模型，峰值转矩可以达到，但是要求的额定转矩却过大，当修改模型之后达到要求的额定转矩时，峰值转矩却达不到，敢问你觉得应该从方面修改模型？？或是我修改模型的思路有问题 3.永磁同步电机控制的建模问题讨论，如模型仿真慢、联合仿真问题、PI控制问题等 两种控制方式不一样的所有输出量不一样。 永磁同步是电流源控制模式，电流源频率定了，当然转速也定了，所有你看的永磁同步设置多少转速计算出来也是多少转速。 无刷电机是电压源控制模式，而且计算出来都是开环的。性能由空载转速，电阻，电感
第四章 约束优化设计 ● 概述 ● 约束坐标轮换法 ● 随机方向法 ● 罚函数法 概述 结构优化设计的问题，大多属于约束优化设计问题，其数学模型为： 根据求解方式的不同，可分为直接解法和间接解法两类。 直接解法是在仅满足不等式约束的可行设计区域内直接求出问题的约束最优解。属于这类方法的有：随机实验法、随机方向搜索法、复合形法、可行方向法等。其基本思路： 在由m 个不等式约束条件g u (x )≤0所确定的可行域φ内，选择一个初始点0 X 然后确定一个可行搜索方向S ，且以适当的步长沿S 方向进行搜索，取得一个目标函数有所改善的可行的新点1 X 即完成了一次迭代。以新点为起始点重复上述搜索过程，每次均按如下的基本迭代格式进行计算： k+1k k k =+S (k=0,1,2,..)X X α逐步趋向最优解， 直到满足终止准则才停止迭代。 直接解法的原理简单，方法实用，其特点是： 1） 由于整个过程在可行域内进行，因此，迭代计算不论何时终止，都可以获得比初始点好 的设计点。 2） 若目标函数为凸函数，可行域为凸集，则可获得全域最优解，否则，可能存在多个局部 最优解，当选择的初始点不同，而搜索到不同的局部最优解。 3） 要求可行域有界的非空集 1,2,...,1,2,...,u m v p n == 间接解法 间接解法是将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题来解的一种方法。由于间接解法可以选用已研究比较成熟的无约束优化方法，并且容易处理同时具有不等式约束和等式约束的问题。因而在机械优化设计得到广泛的应用。 间接解法中具有代表性的是惩罚函数法。将约束函数进行特殊的加权处理后，和目标函数结合起来，构成一个新的目标函数，即将原约束优化问题转化为一个或一系列的无约束优化问题。 然后对新目标函数进行无约束极小化计算。 间接法是结构优化设计中广泛使用的有效方法，其特点： 1） 由于无约束优化方法的研究日趋成熟，为间接法提供可靠基础。这类算法的计算效率和 数值计算的稳定性大有提高； 2） 可以有效处理具有等式约束的约束优化问题； 3） 目前存在的主要问题，选取加权因子较为困难，选取不当，不仅影响收敛速度和计算精 度，甚至导致计算失败。 a) 可行域是凸集；b)可行域是非凸集 () ()()()121211 ,,m l j k j k X F X G g X H h X φμμμμ==??=++? ?????∑∑ 新目标函数 加权因子 五种最优化方法 1.最优化方法概述 最优化问题的分类 1）无约束和有约束条件； 2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）； 3）线性优化与非线性优化（目标函数和约束条件是否线性）； 4）静态规划和动态规划（解是否随时间变化）。 最优化问题的一般形式（有约束条件）： 式中f（X）称为目标函数（或求它的极小，或求它的极大），si（X）称为不等式约束，hj（X）称为等式约束。化过程就是优选X，使目标函数达到最优值。 2.牛顿法 简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）是求解函数极值的一种方法： 3）是一种函数逼近法。 原理和步骤 3.最速下降法（梯度法） 最速下降法简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）是求解函数极值的一种方法； 3）沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向； 最速下降法算法原理和步骤 4?模式搜索法（步长加速法） 简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。 3）模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。轴向移动的目的 是探测有利的下降方向，而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。 模式搜索法步骤 5.评价函数法 简介 评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下： min (f_1(x),f_2(x),…,f_k(x)) .g(x)<=o 传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数, 经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。选取其中一种线性加权 求合法介绍。 线性加权求合法 6.遗传算法 智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，进而达到优化的一种方法，主要有人工神经网络法，遗传算法和模拟退火法等。遗传算法基本概念 1.个体与种群 个体就是模拟生物个体而对问题中的对象 (一般就是问题的解)的一种称呼。种群就是模拟生物种群而由若干个体组成的群体，它一般是整个搜索空间的一个很小的子集。 2.适应度与适应度函数 适应度就是借鉴生物个体对环境的适应程度，而对问题中的个体对象所设计的表征其优劣的一种测度。 适应度函数就是问题中的全体个体与其适应度之间的一个对应关系。该函数就是遗传算法中指导搜索的评价函数。 遗传算法基本流程 的就是对一定数量个体组成的生物种群进行选择、交叉、变异等遗传操作，最终求得最优解或近似最优解。 遗传算法步骤 ADJUSTABLE-SPEED PERMANENT MAGNET SYNCHRONOUS MOTOR DESIGN File: Setup1.res GENERAL DATA Rated Output Power (kW): 5.5 Rated Voltage (V): 380 Number of Poles: 8 Frequency (Hz): 33.3333 Frictional Loss (W): 66 Windage Loss (W): 80 Rotor Position: Inner Type of Circuit: Y3 Type of Source: Sine Domain: Time Operating Temperature (C): 75 STATOR DATA Number of Stator Slots: 48 Outer Diameter of Stator (mm): 260 Inner Diameter of Stator (mm): 180 Type of Stator Slot: 2 Dimension of Stator Slot hs0 (mm): 0.8 hs1 (mm): 0.59 hs2 (mm): 22.0439 bs0 (mm): 3.2 bs1 (mm): 6.11469 bs2 (mm): 9.00436 Top Tooth Width (mm): 5.85092 Bottom Tooth Width (mm): 5.85092 Skew Width (Number of Slots): 1 Length of Stator Core (mm): 60 Stacking Factor of Stator Core: 0.99 Type of Steel: DW465_50 Slot Insulation Thickness (mm): 0.3 Layer Insulation Thickness (mm): 0 End Length Adjustment (mm): 0 基于FPGA的永磁同步电动机矢量控制IP核的研究 赵品志 摘要 论文首先分析了永磁同步电动机的数学模型及矢量控制的原理。研究了使用现代EDA工程设计方法，在FPGA上实现单芯片交流伺服控制系统的结构和具体实现方法。其次，详细分析了空间矢量脉宽调制(SVPWM)原理，利用Verilog HDL硬件电路描述语言，编写了SVPWM、坐标变换、串行通信、位置检测等IP模块，并进行了仿真和验证。最后，将本文编写的主要SVPWM IP模块、串行通信、位置检测等IP模块在Quartus II 3.0软件中进行综合编译，并通过ByteBlaster II下载电缆将生成的网络表配置到NIOS II开发板上的Cyclone 系列FPGA EP1C20F400C7芯片中，经过实验测试，验证了所编写的IP模块的正确性。 关键词：矢量控制，空间矢量脉宽调制，FPGA，IP 引言 为满足现代数控系统技术与市场发展需求，伺服系统出现交流化、数字化、智能化三个主要发展动向。伺服系统按其采用的驱动电动机的类型来分，主要有两大类：直流伺服系统和交流伺服系统，其中交流伺服系统又可分为感应电动机伺服系统和永磁同步电动机交流伺服系统[1]。以直流伺服电机作为驱动器件的直流伺服系统，控制电路比较简单，价格较低。其主要缺点是直流伺服电机内部有机械换向装置，碳刷易磨损，维修工作量大，运行时易起火花，给电机的转速和功率的提高带来较大的困难。交流异步电机虽然价格便宜、结构简单，但早期由于控制性能差，所以很长时间没有在伺服系统上得到应用。随着电力电子技术和现代电机控制理论的发展，1972年，德国西门子的Blaschke提出了交流异步电动机的矢量控制理论。该理论通过矢量旋转变换和转子磁场定向，将定子电流分解为与磁场方向一致的励磁分量和与磁场方向正交的转矩分量，得到类似直流电动机的解耦的数学模型，使交流电动机的控制性能得以接近或达到他励直流电动机的性能。1980年，德国人Leonhard为首的研究小组在应用微处理器的矢量控制的研究中取得进展，使矢量控制实用化[2]。90年代以来，随着永磁材料性能的大幅度提高和价格的降低，永磁同步伺服电动机得到了长足的发展。交流伺服系统采用永磁同步伺服电机作为驱动器件，可以和直流伺服电机一样构成高精度、高性能的半闭环或全闭环控制系统，由于永磁同步伺服电机内是无刷结构，几乎不需维修，体积相对较小，有利于转速和功率的提高。目前永磁同步交流伺服系统已在很大范围内取代了直流伺服系统。在当代数控系统中，伺服技术取得的突破可以归结为：交流伺服取代直流伺服、数字控制取代模拟控制[3][4]。 最初，交流伺服电机的变频调速都是由分立器件实现的，不可避免地存在温漂、老化等问题。这种方法所使用的器件数目非常多，而且结构也很复杂，这就使得系统的可靠性、精度很难保证在一个较高的水平。另外，用分立元件实现数字脉宽调制需要使用波形发生器，而分立元件的工作频率有限，因而很难实现高性能高精度的数字脉宽调制。利用分立元件实现较复杂的脉宽调制技术（如SVPWM）有很大的困难，复杂的逻辑关系难以实现。这些都驱使人们寻求其它实现数字脉宽调制的方法。其中单芯片系统（SOPC）使这种想法成为可能，在单芯片上可以实现复杂而精确的逻辑运算，运算速度比分立元件高得多，因而越来越受到人们的重视。本文对实现SOPC有很大帮助，利用Quartus软件生成的网络表可以直接用于芯片的生产[5]。 《最优化方法》1 一、填空题： 1．最优化问题的数学模型一般为：____________________________，其中 ___________称为目标函数，___________称为约束函数，可行域D 可以表示 为_____________________________，若______________________________， 称*x 为问题的局部最优解，若_____________________________________，称*x 为问题的全局最优解。 2．设f(x)= 212121522x x x x x +-+，则其梯度为___________，海色矩阵___________,令,)0,1(,)2,1(T T d x ==则f(x)在x 处沿方向d 的一阶方向导数为___________，几何意义为___________________________________,二阶 方向导数为___________________，几何意义为_________________________ ___________________________________。 3．设严格凸二次规划形式为： 012. .222)(min 21212 12 221≥≥≤+--+=x x x x t s x x x x x f 则其对偶规划为___________________________________________。 4．求解无约束最优化问题：n R x x f ∈),(min ，设k x 是不满足最优性条件的第k 步迭代点，则： 用最速下降法求解时，搜索方向k d =___________ 用Newton 法求解时，搜索方向k d =___________ 用共轭梯度法求解时，搜索方向k d =_______________ ____________________________________________________________。 二．（10分）简答题：试设计求解无约束优化问题的一般下降算法。 三．（25分）计算题 1． （10分）用一阶必要和充分条件求解如下无约束优化问题的最优解： )1(632)(m in 21212131----=x x x x x x x f . 2． （15分）用约束问题局部解的一阶必要条件和二阶充分条件求约束问题： 1)(. .)(min 22 2 1 2 1=-+==x x x c t s x x x f 的最优解和相应的乘子。 四． 证明题（共33分） 1．（10分）设δ++=x r Gx x x f T T 2 1 )(是正定二次函数，证明一维问题 精心整理 五种最优化方法 1.最优化方法概述 1.1最优化问题的分类 1）无约束和有约束条件； 2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）； 3 4 1.2 2. 2.1 1 2 3 2.2 3. 3.1 1 2 3 3.2 4.模式搜索法(步长加速法) 4.1简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。 3）模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。轴向移动的目的是探测有利的下降 方向，而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。 4.2模式搜索法步骤 5.评价函数法 5.1简介 评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下： min(f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)) s.t.g(x)<=0 传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。选取其中一种线性加权求合法介绍。 5.2线性加权求合法 6.遗传算法 智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，进而达到优化的一种方法，主要有人工神经网络法，遗传算法和模拟退火法等。 6.1遗传算法基本概念 1.个体与种群 个体就是模拟生物个体而对问题中的对象（一般就是问题的解）的一种称呼。 种群就是模拟生物种群而由若干个体组成的群体,它一般是整个搜索空间的一个很小的子集。 2.适应度与适应度函数 适应度就是借鉴生物个体对环境的适应程度,而对问题中的个体对象所设计的表征其优劣的一种测度。 适应度函数就是问题中的全体个体与其适应度之间的一个对应关系。该函数就是遗传算法中指导搜索的评价函数。 6.2遗传算法基本流程 遗传算法的中心思想就是对一定数量个体组成的生物种群进行选择、交叉、变异等遗传操作,最终求得最优解或近似最优解。 遗传算法步骤 步1在搜索空间U上定义一个适应度函数f(x)，给定种群规模N，交叉率Pc和变异率Pm，代数T； 《最优化方法》复习题 第一章 概述(包括凸规划) 一、 判断与填空题 1 )].([arg )(arg m in m ax x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2 {}{}.:)(min :)(max n n R D x x f R D x x f ?∈-=?∈ ? 3 设.:R R D f n →? 若n R x ∈*，对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为最优化问题 )(min x f D x ∈的全局最优解. ? 4 设.:R R D f n →? 若D x ∈*，存在*x 的某邻域)(*x N ε，使得对一切)(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(min x f D x ∈的严格局部最 优解. ? 5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √ 6 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √ 7 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √ 8 任意两个凸集的并集为凸集. ? 9 函数R R D f n →?:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √ 10 设R R D f n →?:为凸集D 上的可微凸函数，D x ∈*. 则对D x ∈?，有).()()()(***-?≤-x x x f x f x f T ? 11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。 √ 12 设{}k x 为由求解)(min x f D x ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为下降算法， 则对{} ,2,1,0∈?k ，恒有 )()(1k k x f x f ≤+ . 13 算法迭代时的终止准则（写出三种）：_____________________________________。 一、 填空题 1.若()()??? ? ??+???? ?????? ??=212121 312112)(x x x x x x x f ， 则=?)(x f ，=?)(2x f . 2.设f 连续可微且0)(≠?x f ，若向量d 满足 ，则它是f 在x 处的一个下降方向。 3.向量T )3,2,1(关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量有 . 4. 设R R f n →:二次可微，则f 在x 处的牛顿方向为 . 5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法： . 6.以下约束优化问题： )(01)(..)(min 212121 ≥-==+-==x x x g x x x h t s x x f 的K-K-T 条件为： . 7.以下约束优化问题： 1 ..)(min 212 2 21=++=x x t s x x x f 的外点罚函数为（取罚参数为μ） . 二、证明题（7分+8分） 1.设1,2,1,:m i R R g n i =→和m m i R R h n i ,1,:1+=→都是线性函数，证明下面的约束问题： } ,,1{, 0)(},1{, 0)(..)(min 1112 m m E j x h m I i x g t s x x f j i n k k +=∈==∈≥=∑= 是凸规划问题。 2.设R R f →2:连续可微，n i R a ∈，R h i ∈，m i ,2,1=，考察如下的约束条件问题： } ,1{,0} 2,1{,0..) (min 11m m E i b x a m I i b x a t s x f i T i i T i +=∈=-=∈≥- 设d 是问题 1 ||||,0,0..)(min ≤∈=∈≥?d E i d a I i d a t s d x f T i T i T 的解，求证：d 是f 在x 处的一个可行方向。 三、计算题（每小题12分） 1.取初始点T x )1,1()0(=.采用精确线性搜索的最速下降法求解下面的无约束优化问题（迭代2步）： 2 2 212)(min x x x f += 2.采用精确搜索的BFGS 算法求解下面的无约束问题： 212 2212 1)(min x x x x x f -+= 3.用有效集法求解下面的二次规划问题： . 0,001..42)(min 21212 12 221≥≥≥+----+=x x x x t s x x x x x f 4.用可行方向算法（Zoutendijk 算法或Frank Wolfe 算法）求解下面的问题（初值设为)0,0() 0(=x ,计算到)2(x 即可)： . 0,033..22 1)(min 21211222121≥≥≤+-+-= x x x x t s x x x x x x f 天津大学《最优化方法》复习题（含答案） 第一章 概述(包括凸规划) 一、 判断与填空题 1 )].([arg )(arg min max x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2 {}{} .:)(m in :)(m ax n n R D x x f R D x x f ?∈-=?∈ ? 3 设.:R R D f n →? 若n R x ∈*，对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为最优化问题 )(min x f D x ∈的全局最优解. ? 4 设.:R R D f n →? 若D x ∈*，存在*x 的某邻域)(*x N ε，使得对一切 )(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(min x f D x ∈的严格局部最 优解. ? 5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √ 6 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √ 7 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √ 8 任意两个凸集的并集为凸集. ? 9 函数R R D f n →?:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √ 10 设R R D f n →?:为凸集D 上的可微凸函数，D x ∈*. 则对D x ∈?，有).()()()(***-?≤-x x x f x f x f T ? 11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。 √ 12 设{}k x 为由求解)(min x f D x ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为下降算法， 则对{}Λ,2,1,0∈?k ，恒有 )()(1k k x f x f ≤+ .五种最优化方法
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