海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学 （文科） 2014.4
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.
52i
=- A.2i - B.2i + C.12i + D. 12i -
2. 已知集合{}{}
1,0,1,sin π,,A B y y x x A A
B =-==∈=则
A.{
}1- B.{}0 C. {}1 D.? 3. 抛物线28y x =上到其焦点F 距离为5的点有 A.0个
B.1个
C. 2个
D. 4个
4. 平面向量,a b 满足||2=a ，||1=b ，且,a b 的夹角为60?，则()?+a a b = A.1 B. 3 C.5 D. 7
5. 函数()2sin f x x x =+的部分图象可能是
A B C D
6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1S ，22S a +，3S 成等差数列，则数列{}n a 的公比为
A ．1
B ．2
C ．
1
2
D ．3 7. 已知()x f x a =和()x g x b =是指数函数，则“(2)(2)f g >”是“a b >”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
8. 已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln y x =上，若线段AB 与曲线:M 1
y x
=
相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点.那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.双曲线22
1 3
x y m -=的离心率为2，则m =__________.
10. 李强用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案，则所用时间最少的方案是_______
方案一： 方案二： 方案三：
11. 在ABC ?中，3a =，5b =，120C =，则
sin ______,_______.sin A
c B
== 12. 某商场2013年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：
①()x f x p q =?，(0,1)q q >≠；②()log (0,1)x
p f x q p p =+>≠；③2()f x x px q =++. 能较准确反映商场月销售额()f x 与月份x 关系的函数模型为
_________（填写相应函数的序号），若所选函数满足
(1)10,(3)2f f ==，则()f x =_____________.
13．一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为
__________.
14. 设不等式组20,
20
x y x ay ++≥??++≤?表示的区域为1Ω，不等式
221x y +≤表示的平面区域为2Ω.
(1) 若1Ω与2Ω有且只有一个公共点，则a ＝ ;
(2) 记()S a 为1Ω与2Ω公共部分的面积，则函数()S a 的取值范围是
.
俯视图
主视图
侧视图
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.（本小题满分13分）
已知函数π
()sin sin()3
f x x x =--.
（Ⅰ）求π
()6
f ;
（Ⅱ）求()f x 在ππ
[,]22
-上的取值范围.
16．（本小题满分13分）
某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机
.10
(Ⅰ)如果出租车司机答对题目数大于等于，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率；
(Ⅱ)从答对题目数少于8的出租车司机中任选出两人做进一步的调查，求选出的两人中至少有一名女出租车司机的概率.
17. （本小题满分14分）
如图1，在
Rt △ABC 中，∠ABC =90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E （不同于点D ），延长AE 交BC 于F ，将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥1A BCD -
，如图2所示. （Ⅰ）若M 是FC 的中点，求证：直线DM //平面1A EF ； （Ⅱ）求证：BD ⊥1A F ；
（Ⅲ）若平面1A BD ⊥平面BCD ，试判断直线1A
B 与直线CD 能否垂直？并说明理由.
1图 图 2
18. （本小题满分13分）
已知函数()ln f x x x =. (Ⅰ)求()f x 的单调区间；
(Ⅱ) 当1k ≤时，求证：()1f x kx ≥-恒成立.
19. （本小题满分14分）
已知1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22:24C x y +=上两点，点M 的坐标为(1,0). （Ⅰ）当,A B 关于点(1,0)M 对称时，求证：121x x ==；
（Ⅱ）当直线AB 经过点(0,3) 时，求证：MAB ?不可能为等边三角形.
20. （本小题满分13分）
在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）()A n ：123,,,,n A A A A 与()B n ：123,,,,n B B B B ，其中3n ≥，若同时满足：
①两点列的起点和终点分别相同；②线段11i i i i A A B B ++⊥，其中1,2,3,,1i n =-，
则称()A n 与()B n 互为正交点列.
（Ⅰ）试判断(3)A ：123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 与(3)B ：123(0,2),(2,5),(5,2)B B B 是否互为正交点列，并说明理由； （Ⅱ）求证：(4)A ：12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 不存在正交点列(4)B ； （Ⅲ）是否存在无正交点列(5)B 的有序整数点列(5)A ？并证明你的结论.
海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案
数 学 （文科） 2014.4
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1.B
2.B
3.C
4.C
5.A
6.D
7. C
8.B
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 1 10. 方案三 11.
3
5
,7 12. ③,2()817f x x x =-+ 13. 152
14. π[0,)2
{说明：两空的第一空3分，第二空2分；14题的第二空若写成π(0,)2
不扣分}
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.解：
（Ⅰ）ππππ
()sin sin()6663
f =-- ---------------------------------1分
ππ
sin sin()66=-- ---------------------------------2分
ππ
sin sin 66=+ ---------------------------------3分
π
2sin 16== ---------------------------------4分
（Ⅱ）1()sin sin 2f x x x x =- ---------------------------------6分
1sin 2x x =+sin()3x π=+ --------------------------------8分
因为ππ
22x -
≤≤ 所以ππ5π
636x -≤+≤
--------------------------------10分 所以1π
sin()123
x -≤+≤ --------------------------------12分
所以()f x 的取值范围是1
[,1]2
- --------------------------------13分
16.解：
(Ⅰ)答对题目数小于9道的人数为55人，记“答对题目数大于等于9道”为事件A
55
()10.45100
P A =-
= --------------------------------5分 (Ⅱ)设答对题目数少于8道的司机为 A 、B 、C 、D 、E ，其中A 、B 为女司机 ，选出两人包含AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 、CD 、CE 、DE 共10种情况，至少有1名女驾驶员的
事件为AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 共7种.
记“随机选出的两人中至少有1名女驾驶员”为事件M ，则
7
()0.710
P M =
= --------------------------------13分 17.解：
（Ⅰ）因为D ,M 分别为,AC BD 中点，所以DM //EF ---------------------2分 又1EF A EF ?平面，1DM A EF ?平面
所以1//DM A EF 平面. -----------------------4分 （Ⅱ）因为1A E BD ⊥，EF BD ⊥且1A E
EF E =
所以1BD A EF ⊥平面 -------------7分 又11A F A EF ?平面
所以1BD A F ⊥ ------------------------9分
（Ⅲ）直线1A B 与直线CD 不能垂直 ---------------------------------------10分
因为1A BD BCD ⊥平面平面,1A BD
BCD BD =平面平面,EF BD ⊥,
EF CBD ?平面，
所以 1EF A BD ⊥平面. ---------------------------------------12分 因为11A B A BD ?平面，所以1A B EF ⊥， 又因为//EF DM ，所以1A B DM ⊥. 假设1A B CD ⊥， 因为1A B DM ⊥，CD
DM D =，
所以1A B BCD ⊥平面， ------------------------------------------13分 所以1A B BD ⊥，
这与1A BD ∠为锐角矛盾
所以直线1A B 与直线CD 不能垂直. ---------------------------------------14分