高考数学（文科）模拟试题及答案
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。 1．已知集合}02|{2<--=x x x A ，}02|{<<-=x x B ，则=B A I A ．)1,2(-- B. )0,1(- C ．)2,0( D ．)2,1(- 2．已知复数z 满足i 2)i 1(=+z ，则z 在复平面内对应的点位于
A ．第一象限 B. 第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知}{n a 是各项均为正数的等比数列，3
1
1=
a ，1223+=a a ，则=n a A ．13-n B. 23-n C ．12-n D ．22-n 4．已知2.0log 1.0=a ，2.0log 1.1=
b ，2.01.1=
c ，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．c b a >> B.b c a >> C ．a b c >> D ．b a c >> 5．等腰直角三角形ABC 中，ο90=∠C ，2==BC AC ，点P 是斜边AB 上一点，且
PA BP 2=，则=+?)(CB CA CP
A ．4- B. 2- C ．2 D ．4
6．从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是
A ．3
1 B. 21 C ．3
2 D ．65
7．已知数列}{n a 中，11=a ，n n S n 21
232-=，设11+=n n n a a b ，则数列}{n b 的前n 项和为
A ．
13+n n B. 133+n n C ．2
31
--n n D ．2333-+-n n 8．已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，⊥SA 平面ABC ，ο120=∠BAC ，
2===AC AB SA ，则球O 的表面积为
A ．4π B. π54 C ．π20 D ．6π3
9．已知双曲线15
42
2=-y x 的左焦点为F ，
点P 为其右支上任意一点，点M 的坐标为)3,1(， 则PMF ?周长的最小值为
A ．105+
B ．1010+
C ．135+
D ．13
9+
10．函数)sin()(?ω+=x A x f （0>A ，0>ω，2
π
0<
π
5-=x 为函数)(x f 的一条对称轴； ②点)0,3
π
2(-
为函数)(x f 的一个对称中心； ③函数)(x f 的图象向右平移3
π
个单位后得到 函数x y 2sin 2=的图象.
其中，正确说法的个数是
A ．0 B.1 C ．2 D ．3
11．已知直线l 与抛物线x y 62
=交于不同的两点A ，B ，直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，
2k ，且321=?k k ，则直线l 恒过定点
A ．)0,36(- B. )0,33(- C ．)0,32(- D ． )0,3(-
12．已知函数?
??><+=.0,ln ,
0,1)(x x x ax x f 若函数)(x f 的图像上存在关于坐标原点对称的点，则实
数a 的取值范围是
A ．]0,(-∞ B. ]1,(-∞ C ．]0,21[- D ． ]1,21
(
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．函数x x y 2cos cos -=)(R ∈x 的最大值为______.
14．若直线l ：023=+-+m my x 被圆C :024222=--+x y x 截得的线段最短，则实数m 的值为______.
15．已知一组数据10，5，4，2，2，2，x ，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2
倍，则x 所有可能的取值为______. 16．如图，已知平行四边形ABCD 中，ο60=∠BAD ，AD AB 2=，
E 为边AB 的中点，将ADE ?
沿直线DE 翻折成DE A 1?.若M 为线段C A 1的中点，则在ADE ?翻折过程中，有下列三个命题：
①线段BM 的长是定值；
②存在某个位置，使C A DE 1⊥； ③存在某个位置，使//MB 平面DE A 1. 其中正确的命题有______. (填写所有正确命题的编号）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（本题12分）
在锐角ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、
c ，且c B A b B B a 2
3
sin cos cos sin =+. （1）求B ；
（2）若2=b ，求ABC ?的面积的最大值.
18．（本题12分）
如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，AB AC ⊥，21===AC AB A A ，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，B B 1的中点.
（1）证明：⊥F A 1平面DE B 1； （2）求直线BE 与平面DE B 1所成角的正弦值.
19．（本题12分）
为了增强消防意识，某部门从男，女职工中各随机抽取了20人参加消防知识测试（满分为100分），这40名职工测试成绩的茎叶图如下图所示：
男 女 8 6 5 5 6 8 9 9 7 6 2 7 0 1 2 2 3 4 5 6 6 8
9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 8 1 4 4 5
2 1 1 0 0 9 0 A 1 C B
A
B 1 D
C 1 E F
（1）根据茎叶图判断男职工和女职工中，哪类职工的测试成绩更好？并说明理由； （2）（ⅰ）求这40名职工成绩的中位数m ，并填写下面列联表：
超过m 的人数 不超过m 的人数
男职工
女职工
（ⅱ）如果规定职工成绩不少于m 定为优秀，根据（ⅰ）中的列联表，能否有99%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关？ 附：)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=.
P （k K ≥2）
0.050 0.010 0.001 k 3.841
6.635
10.828
20．（本题12分）
已知椭圆E ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶
点，且焦点到椭圆上的点的最短距离为1.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）过点)0,4(M 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A '，求证：直线B A '过定点，并求出该定点的坐标. 21．（本题12分）
已知函数21
ln )1()(+-++=ax x
x a x f .
（1）讨论)(x f 的单调性；
（2）若)(x f 有两个极值点1x ，2x )(21x x <，且至少存在两个零点，求2
121)
()(x x x f x f ++的
取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为???
????+=-
=t y t x 222,2
2
（t 为参数）.在以坐标原点
为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为θ
ρ.22cos 239
-=
.
（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
（2）若1C 与y 轴交于点M ，1C 与2C 相交于A 、B 两点，求||||MB MA ?的值．
23．[选修4-5：不等式选讲] （本题10分）
（1）已知||||)(x a x x f +-=，若存在实数x ，使2)( （2）若0>m ，0>n ，且3=+n m ，求证：34 1≥+n m ． 参考答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B D D C A C D C C B 二、填空题： 13. 8 9 14. 1- 15. 11-，3，17 16. ①③ 三、解答题： 解：（1）由正弦定理，知C B A B B B A sin 2 3 sin cos sin cos sin sin =+， 即C B A B sin 23)sin(sin =+，C B A B sin 23)sin(sin =+，2 3 sin = B ， 所以3 π = B . ………………………………………（4分） （2）由余弦定理，知B ac c a b cos 2222-+=，即3 πcos 2422ac c a -+=， 所以ac ac c a ≥-+=224，当且仅当c a =时取等号. 所以4≤ac ，所以3sin 21 ≤=?B ac S ABC . …………………………………（12分） 18．（本题12分） 解：（1）因为AB AC ⊥，AC DE //，所以AB DE ⊥. 因为⊥1AA 平面ABC ，?DE 平面ABC ， 所以DE AA ⊥1. 因为A AA AB =1I ，所以⊥DE 平面B B AA 11. 因为?F A 1平面B B AA 11，所以F A DE 1⊥. 易证F A DB 11⊥，因为D E D DB =11I ， 所以⊥F A 1平面DE B 1. ……………（6分） （2）取A A 1的中点G ，连结BG 交D B 1于H . 由（1）知⊥F A 1平面DE B 1，而F A BG 1//， 所以⊥BG 平面DE B 1. 连结EG ，则BEG ∠为直线BE 与平面DE B 1所成的角. 在BD B 1Rt ?，求得5 2= BG . 又因为2=BE ，所以5 10 sin = = ∠BE BG BEG . ……………（12分） 19．（本题12分） 解：（1）由茎叶图可知，男职工的成绩更好，理由如下： ①男职工的成绩的中位数为85.5分，女职工的成绩的 中位数为73.5分； ②男职工的成绩的的平均数髙于80分，女职工的成绩的平均数低于80分； ③男职工的成绩中，有75%的成绩不少于80分，女职工的成绩中，有75%的成绩至多79分； ④男职工的成绩分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；女职工的成绩的分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布. 因此，男职工的成绩更好. ……………………（4分） （注：以上给出了4种理由，考生答出其中一种或其他合理理由均可得2分） （2）（ⅰ）由茎叶图可知：802 91 79=+=m 80m =，列表如下： 超过m 不超过m 男职工 15 5 女职工 5 15 ……………（8分） （ⅱ）由表中数据，计算2 240(151555) 10 6.63520202020 k ??-?= =>???，所以，有99.9%的把 握认为消防知识是否优秀与性别有关. ……………（12分） 20．（本题12分） 解：（1）由?????=-=, 1, 3c a c b 及222c b a +=，得2=a ，3=b . A 1 C B A B 1 D C 1 E F 所以，椭圆E 的方程为13 42 2=+y x . ……………（4分） （2）设直线l 的方程为4+=my x ，代入椭圆方程，并整理，得 03624)43(22=+++my y m .由0>?，得22<<-m . 设),(11y x A ，),(22y x B ，则4324221+-=+m m y y ，4 336 221+=?m y y . 因为A '),(11y x -，所以1 212x x y y k B A -+='，于是，直线B A '的方程为)(1121 21x x x x y y y y --+=+. 即])()[(1212111212y y x x y x x x x y y y +----+=，)(1 212211212y y y x y x x x x y y y ++--+=， 将411+=my x ，422+=my x ，4324221+-=+m m y y ，4 336 221+=?m y y 代入， 得)1(1 21 2--+=x x x y y y ，所以，直线B A '过定点)0,1(. ……………（12分） 另解：在111 21 2)(y x x x x y y y ---+=中，令0=y ，得 1)(42)(2 12121121221112121=+++=++=++-=y y y y y my y y y x y x x y y x x y x . 所以，直线B A '过定点)0,1(. ……………（12分） 21．（本题12分） 解：（1）)(x f 的定义域为),0(+∞，且2 ) 1)(1()(x ax x x f ---='. 令0)(='x f ，得1=x 或a x 1= . 当0≤a 时，01<-ax ，)(x f 在)1,0(单调递减，在),1(+∞单调递增； 当10< (+∞a 单调递减； 当1=a 时，)(x f 在),0(+∞单调递减； 当1>a 时，)(x f 在)1 ,0(a 单调递减，在)1,1(a 单调递增，在),1(+∞单调递减. （5分） （2）由（1）知，10<a . 因为03)1(>-=a f ，所以10< 因为1>a 时，)(x f 在)1 ,0(a 单调递减，在)1,1(a 单调递增，在),1(+∞单调递减. 所以?????≥≤, 0)1(,0)1 (f a f 即???≥-≤-+,03,0)ln 1)(1(a a a 解得3e ≤≤a . 此时 a a a a a a a a x x x f x f ln 1411)ln 1)(1(3)()(2121-+=+-++-=++. 记)3e (ln 1 4)(≤≤-+=a a a a a a g ，则22)1()ln 1()1(4)(+++-= 'a a a a g . 因为3e ≤≤a ，所以0)(<'a g ，所以)(a g 在区间]3,e [单调递减， 所以)e ()()3(g a g g ≤≤，解得e 1 e e 4)(3ln 33-+≤ ≤-a g . 所以，2121)()(x x x f x f ++的取值范围为e]1 e e 4,3ln 33[-+-． ……………（12分） 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分） 解：（1）方程??? ????+=- =t y t x 222,22 可化为02=-+y x . 方程θ ρ. 22 cos 239 -=可化为13922=+y x . ……………（5分） （2）将??? ????+=-=t y t x 222,22 代入13922=+y x ，得032622=++t t . 设方程032622=++t t 的两根分别为1t ，2t ，则2 3 ||||||||21=?=?t t MB MA . ……10分） 23．[选修4-5：不等式选讲] （本题10分） 解：（1）方法一：因为||||||||)(a x a x x a x x f =--≥+-=， 因为存在实数x ，使2)( 所以2|| 方法二：当0=a 时，符合题意. 当0>a 时，因为?? ? ??<+-≤≤>-=+-=,0 ,2,0 ,, ,2||||)(x a x a x a a x a x x a x x f 所以a x f =min )(. 因为存在实数x ，使2)( 当0a . 综上，实数a 的取值范围为)2,2(-. ……………（5分） （2）因为3=+n m ， 所以 3)542(31)54(31)41(341=+?≥++=++=+n m m n n m m n n m n m n m ， 当且仅当2,1==n m 或6,3=-=n m 时取等号. ……………（10分）
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