北师大版七年级下册数学期末考试压轴题

七年级下压轴题专题训练北师大版七年级数学下学期试题七年级下压轴题专题训练11．如图，四边形中，AB⊥BC，CD⊥BC，E为BC上一点，且AB=CE，CD=．求证：∠=90°；若EN平分∠交AD于N，试判断△的形状并证明；在问的条件下，猜想：△与四边形的面积有何数量关系？并说明理由．证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠=∠=90°，∵在△和△中，AB=CE ∠=∠ CD= ，∴△≌△，∴∠=∠，∵∠+∠=90°，∴∠+∠=90°，∴∠=90°；解：△为等腰直角三角形，证明：∵△≌△，∴AE=DE，∠=∠，∵∠=90°，∴△为等腰直角三角形，∵EN平分∠，∴∠=∠=45°，EN⊥AD，∴∠=∠，=EN，∵在△和△中，AB=EC ∠=∠ =EN ，∴△≌△，∴NB=NC，∠=∠，∵∠+∠=90°，∴∠+∠=90°，∴△为等腰直角三角形；解：2S△=S梯形．理由如下：作NM⊥BC，∵△为等腰直角三角形，EN平分∠，∴N点为AD的中点，∵AB⊥BC，CD⊥BC，NM⊥BC，∴AB∥CD∥MN，∴M点为BC的中点，1∴MN为梯形的中位线，NE⊥BC，∴S△=BC•NE•1/ 2 ， S梯形=BC•NE，∴2S△=S梯形．2．已知x，y满足=-5(y-求；x+y-xy．解：∵=-5，∴x-4y=-5y+6，∴x2+y2=6，∵2x+4=0，∴2xy-2x+2x-4=0，∴xy=2， 2=x2+y2-2xy=6-4=2；x4+y4-x2y2=2-2x2y2-x2y2 =2-3x2y2=36-3×4=24．3．如图1，在等腰梯形中，BC∥AD，BC=8，AD=20，AB=DC=10，点P从A点出发沿AD 边向点D移动，点Q自A点出发沿A→B→C的路线移动，且PQ∥DC，若AP=x，梯形位于线段PQ右侧部分的面积为S．分别求出点Q位于AB、BC上时，S与x之间函数关系式，并写出自变量x的取值范围；当线段PQ将梯形分成面积相等的两部分时，x的值是多少？在的条件下，设线段PQ 与梯形的中位线EF交于O点，那么OE与的长度有什么关系？借助备用图2说明理由；并进一步探究：对任何一个梯形，当一直线l经过梯形中位线的中点并满足什么条件时，其一定平分梯形的面积？解：等腰梯形中，∠A=∠D，因为PQ∥DC，所以QP=AQ，当x≤12时，=1 2 x×2 3 x=1 3 x2，当x＞12时，S梯形=+S平行四边形=48+×8，所以S△= 1 3 x2(x≤12) S梯形=S△+S平行四边形=48+(x-12)×8(12＜x≤20) ；S梯形=1 2 ×8=，当线段PQ将梯形分成面积相等的两部分时，即48+•8=56，解之得，x=13．如图所示，①过点B作BM∥PQ，由得，PD=7=OE，在△中，FN=1 2 =6，=PM=1，所以=7=OE．222224422261)，2x(y-1)+4( x-1)=0． 52研究发现，当直线L经过梯形中位线的中点且与较短的底相交时，它一定平分梯形的面积．4．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD 外部，则有∠B=∠，又因∠是△的外角，故∠=∠+∠D，得∠=∠B-∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠﹑∠B﹑∠D﹑∠之间有何数量关系？根据的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 5．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△和△，且CA=CD，CB=CE，∠=∠，直线AE与BD交于点F，如图1，若∠=60°，则∠= ；如图2，若∠=90°，则∠= ；如图3，若∠=°，则∠= ；如图4，若∠=α，则∠= ．3解：如图1，CA=CD，∠=60° 所以△是等边三角形∵CB=CE，∠=∠=60° 所以△是等边三角形∵AC=DC，∠=∠+∠，∠=∠+∠ 又∵∠=∠ ∴∠=∠ ∵AC=DC，CE=BC ∴△≌△ ∴∠=∠∠是△的外角∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=° 如图2，∵AC=CD，∠=∠=90°，EC=CB ∴△≌△ ∴∠=∠，又∵∠=∠，∠=90° ∴∠=90° ∴∠=90°如图3，∵∠=∠∴∠-∠=∠-∠ ∴∠=∠ 又∵CA=CD，CE=CB ∴△≌△∴∠=∠∵∠+∠=°-∠=°-=° ∴∠+∠=° ∴∠=60°故填°，90°，60° ∵∠=∠∴∠+∠=∠+∠ ∴∠=∠ ∴∠=∠ ∴∠=∠∴∠=°-∠=°-∠=°-α．6、如图1所示：∥DN，AE、DE分别平分∠和∠，并交于E点过点E的直线分别交、DN于B、C 如图2，当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系：_______________________________4试证明你的猜想若点B、C分别位于点AD的两侧时，试写出AD、AB、CD之间的关系，并选择一个写出证明过程图1图26、(1)AD=AB+CD………(2)证明：在AD上截取AF=AB连接EF∵AE平分∠∴∠=∠在△和△中AB=AF ∠=∠ AE=AE∴△≌△…∴∠=∠ ∵ AB∥CD ∴∠+∠=°又∵∠+∠=° ∴∠=∠C ∵DE平分∠∴∠=∠ 在△和△中∠=∠C ∠=∠ DE=DE∴△≌△… ∴DF=CD ∴AF+DF=AB+CD 即AD=AB+CD 证明：第一种情况：当点B位于点A左侧，点C位于点D右侧时，DC=AD+AB 在CD上截取DF=AD连接EF5∵DE平分∠ ∴∠=∠ 在△和△中DA=DF ∠=∠ DE=DE∴△≌△ ∴EA=EF ∠=∠ ∵AE平分∠ ∴∠=∠ ∴∠=∠ 又∵∠+∠=°∠+∠=° ∴∠=∠ ∵∥DN ∴∠=∠ 在△和△中∠=∠∠=∠ EA=EF∴△≌△ ∴AB=FC ∵DC=DF+FC∴DC=AD+AB第二种情况：当点B位于点A右侧，点C位于点D左侧时，AB=AD+CD………………5分在AB 上截取AF=AD连接EF ∵AE平分∠ ∴∠=∠ 在△和△中AF=AD∠=∠ AE=AE∴△≌△ ∴EF=ED ∴∠=∠ ∵DE平分∠ ∴∠=∠ ∴∠=∠ 又∵∠+∠=° ∠+∠=° ∴∠=∠ ∵∥DN ∴∠=∠ 在△和△中∠=∠∠=∠ DE=EF ∴△≌△ ∴CD=BF ∵AB=AF+FB∴AB=AD+CD67、如图，在Rt△中，∠C=90°，AC=BC，点P是斜边中点，将一个等腰直角三角板绕点P旋转，三角板的两条直角边与AC、BC交于点D、E，连结PC．求证：PC平分∠ ；图中有个等腰直角三角形，分别是；求证：PD=PE．CP平分∠∵AB=AC ，点P是斜边中点∴CP平分∠(三线合一) 3个分别为：△、△、△78、如图，在△中，AD平分∠若AC=BC，∠B︰∠C=2︰1，试写出图中的所有等腰三角形，并给予证明．若＝AC，求∠B︰∠C 的比值．等腰三角形有3个：△，△，△ 证明：∵AC=BC ∴△是等腰三角形∴∠B=∠∵∠B︰∠C=2︰1 ∠B+∠+∠C=° ∴∠B=∠=72°，∠C=36°∵∠=∠=∠=36° ∴∠B=∠=72° ∠=∠C=36°∴△和△是等腰三角形方法1：在AC上截取AE=AB连接DE 又∠=∠，AD＝AD ∴△≌△∴∠=∠B ， BD＝DE ∵AB＋BD＝AC ∴BD＝EC ∴DE＝EC ∴∠=∠C ∴∠B=∠=∠+∠C=2∠C 即∠B︰∠C=2︰1方法2：延长AB到E，使AE=AC连接DE证明△≌△再类似证明得到∠B=2∠=2∠C利用“截长法”或“补短法”添加辅助线，将 AC－AB或AB＋BD转化成一条线段89、已知：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点。

北师大七年级下册数学压轴题集锦
1、如图1，AB知∠ABC与∠ADC的平分线交于点E。

（1）如图，试探究∠E、∠A与∠C之间的数量关系，并说明理由。

（2）如图，是探究∠E、∠A与∠C之间的数量关系，并说明理由。

8.（1）如图，点E是AB上方一点，MF平分∠AME，若点G恰好在MF的反向延长线上，且NE平分∠CNG，2∠E与∠G互余，求∠AME的大小。

（2）如图，在（1）的条件下，若点P是EM上一动点，PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC，交AB于点H，PJ图，已知MA知：在△ABC和△XYZ中，Y+∠Z=95°,将△XYZ如图摆放，使得∠X的两条边分别经过点B和点C。

（1）将△XYZ如图1摆放时，则∠ABX+∠ACX= 度；
（2）将△XYZ如图2摆放时，请求出∠ABX+∠ACX的度数，并说明理由；
（3）能否将△XYZ摆放到某个位置时，使得BX、CX同时平分∠ABC和∠ACB？请写出你的结论。

北师大版七年级数学下册第三章变量之间的关系综合压轴题练习1、某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3 千米．超过3 千米的部分按每千米另行收费，甲说：“我乘这种出租车走了8 千米，付了17 元”；乙说：“我乘这种出租车走了18 千米，付了35 元”．（1）请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3 千米后，每千米的车费是多少元？（2）若某人乘这种出租车行驶了x 千米，请写出付费w 元与x 的函数关系式．2、一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1（km），出租车离甲地的距离为y2（km），客车行驶时间为x（h），y1y2 与x 之间的函数关系图象如图所示：（1）根据图象，直接写出y1，y2 与x 之间的函数关系；（2）分别求出当x=3，x=5，x=8 时，两车之间的距离．（3）若设两车间的距离为S（km），请写出S 关于x 的函数关系式．3、如图，在正方形ABCD 中，对角线的长为2，动点P 沿对角线BD 从点B 开始向点D 运动，到达点D 后停止运动．设BP=x，△PBC 的面积为S，试确定S 与x 之间的函数表达式，并写出x 的取值范围．（2）某用户想月所缴水费控制在 20 元至30 元之间，则该用户的月用水量应该如何控制？（3）若某用户的月用水量为 m 吨，请用含 m 的代数式表示该用户月所缴水费．5、某市电信局推出上网包月制三种类型，见下表．若不包月或包月后超出的时间，则按每6、下图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，各时间段的平均速度 v （千米/小时） 随时间 t （分）变化的图象（全程），根据图象提供的信息：（1）求这次比赛全程是多少千米；（2）求比赛开始后多少分钟两人相遇．7、上网费包括网络使用费（每月38 元）和上网通信费（每时2 元），某电信局对拨号上网用户实行优惠，具体优惠政策如下：（2）若小敏家8 月份上网90 小时，应缴上网费多少元？8、为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7m3 时，每立方米收费1.0 元，并加收0.2 元的城市污水处理费；超过7m3 的部分每立方米收费1.5 元，并加收0.4 元的城市污水处理费，设某户每月用水量为x（m3），应交水费为y（元）．（1）写出用水未超过7m3 时，y 与x 之间的函数关系式；（2）写出用水多于7m3 时，y 与x 之间的函数关系式．9、某市电力公司为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法计算电费：每月用电不超过100 度时，按每度0.37 元计费；每月用电超过100 度时，其中超过部分按每度0.50 元计费．（1）用电x 度时，应交电费y 元，当x≤100 和x＞100 时，分别写出y 关于x 的关系式．（2）小王家第一季度交纳电费如下：10、如图①，在长方形ABCD 中，AB=10cm，BC=8cm、点P 从A 出发，沿A、B、C、D路线运动，到D 停止；点P 的速度为每秒1cm，a 秒时点P 的速度变为每秒bcm，图②是点P 出发x 秒后，△APD 的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象；（1）根据图②中提供的信息，求a、b 及图②中c 的值；（2）设点P 离开点A 的路程为y（cm），请写出动点P 改变速度后y 与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式；（3）点P 出发后几秒，△APD 的面积S1 是长方形ABCD 面积的14？11、如图，有一边长为5cm 的正方形ABCD 和等腰Rt△PQR，QR=8cm，点B、C、Q、R 在同一条直线上，当C、Q 两点重合时，△PQR 以1cm/秒的速度向左开始匀速运动，设与正方形重合部分的面积为S cm2．（1）求S 与运动时间t（秒）的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（2）求S 的最大值．12、如图在矩形ABCD 中，AB=8cm，Bc=6cm，动点P，Q 分别从A，B 向B、C 运动，运动速度为1cm/s，当P、Q 一点停止运动则另一点停止运动．设△PBQ 的面积为y，点P、Q 运动时间为x（s）．（1）求y 与x 的函数关系；（2）当x 为多少时，五边形APQCD 的面积最小，并求最小面积．13、如图，长方形ABCD 中，AB=6，CB=8，点P 以2 个单位/s 的速度从A 沿AB 向B 运动，同时点Q 以1 个单位/s 的速度从C 沿CB 向B 运动，当其中的一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t s．（1）当QB=2PB 时，求t 的值；（2）在（1）的条件下，求图中阴影部分的面积．14、四边形ABCD 中，AD∥BC，AB=CD=5，AD=7，BC=13，S 四边形ABCD=40，P 是一动点，沿AD，DC 由A 经D 点向C 点移动，设P 点移动的距离为x．（1）当P 点在AD 上运动时，求△PAB 的面积y 与x 的函数关系式并画出图象；（2）当P 点继续沿DC 向C 点运动时，求四边形ADPB 的面积y 与x 的函数关系式．15、如图①，在长方形ABCD 中，AB=10cm，BC=8cm．点P 从A 出发，沿A、B、C、D 路线运动，到D 停止；点P 的速度为每秒1cm，a 秒时点P 的速度变为每秒bcm，图②是点P 出发x 秒后，△APD 的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象．（1）当点P 在AB 上运动时，△APD 的面积会点P 在BC 上运动时，△APD 面积不点P 在CD 上运动，△APD 面积会（填“增大”或“减小”或“不变”）（2）根据图②中提供的信息，求a、b 及图②中c 的值；（3）设点P 离开点A 的路程为y（cm），请写出动点P 改变速度后y 与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式．。

2023学年北师大版7年级下册期末数学押题卷07一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．如图是同学们生活中常见的品牌LOGO，其中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是0.0000034m，用科学记数法表示0.0000034是（）A．0.34×10﹣5B．3.4×106C．3.4×10﹣5D．3.4×10﹣63．下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．x5+x5＝x10 C．（x3）3＝x6 D．（xy3）2＝x2y64．若∠A＝130°，则它的补角的余角为（）A．30°B．35°C．40°D．45°5．有两根13cm，15cm的木棒，要想以这两根木棒做一个三角形，可以选用第三根木棒的长为（）A．30cm B．28cm C．11cm D．2cm6．若a x＝3，a y＝2，则a2x+y等于（）A．6B．7C．8D．187．AF是∠BAC的平分线，DF∥AC，若∠BAC＝70°，则∠1的度数为（）A．175°B．35°C．55°D．70°第7题图第8题图8．如图，下列条件中，不能说明△ABC≌△DCB的是（）A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCBC．∠A＝∠D，∠ACB＝∠DBC D．AB＝DC，∠ACB＝∠DBC9．如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各10张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形个数是（）A．4B．5C．6D．710．春暖花开，美丽太原景色宜人．一位“驴友”从早晨8时从家出发到郊外赏花．他所走的路程（千米）随时间（时）变化的情况如图所示．则下面说法中错误的是（）A．在这个变化过程中，自变量是时间，因变量是路程B．他在途中休息了半小时C．10时所走的路程约9千米D．他从休息后直至到达目的地的平均速度约为125千米/时二．填空题（共7小题，每题4分，共28分）11．计算：（﹣0.25）2021×42022＝．12．若a2+b2＝8，ab＝2，则（a﹣b）2＝．13．某篮球运动员进行定点投篮训练，其成绩如表：投篮次数10100100010000投中次数9899059012频率0.900.890.910.90则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是（精确到0.1）．14．如图，利用三角支架可以固定平板电脑的位置，这样做的数学道理是．第14题图第15题图第17题图15．如图，请添加一个条件，使得AB∥CD，则符合要求的其中一个条件可以是．16．某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如表：由表格中y与t的关系可知，当汽车行驶小时，油箱的余油量为0．t（小时）0123y（升）1201121049617．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，点E为BC上一点，连接AE，∠BAE=12∠CAD，连接DE．下列结论中正确的是．（填序号）①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE．三．解答题（第18-20题每题6分，21-23题每题8分，23-25题每题10分）18．计算：(−1)2021+(π−3.14)0−(13)−1−|1−√3|．19．先化简，再求值：[（x﹣y）2+（x﹣y）（x+y）]÷2x，其中x＝3，y＝15．20．如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD＝∠A．（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．21．如图，已知BD⊥AC，EF⊥AC，点D，F是垂足，∠1＝∠2，求证：∠ADG＝∠C．22.某高级酒店为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客消费100以上（不包括100元），就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折、五折区域顾客就可以获得此项待遇。

北师大七年级下册数学压轴题集锦1 、如图1，ABAAA1MNEGENEE2D2DD1MDC FBCBFBFCBCBABCCAEADAE1E2BCAEBBFDFCODA B FAE CDEC知∠ ABC 与∠ADC 的均分线交于点 E 。

（1）如图，试试究∠ E 、∠ A 与∠ C 之间的数量关系，并说明原由。

AEDB C（2）如图，是研究∠ E 、∠ A 与∠ C 之间的数量关系，并说明原由。

DAEBC8.（1）如图，点 E 是 AB上方一点， MF均分∠ AME，若点 G恰幸好 MF的反向延长线上，且 NE均分∠CNG，2∠E 与∠ G互余，求∠ AME的大小。

EFA BMC DN（2）如图，在（1）的条件下，若点 P 是 EM上一动点， PQ均分∠ MPN，NH均分∠ PNC，交 AB于点 H，EPJA BH MQCPJ ND AM ED图，已知BDE4P31MACNBA C2M知：在△ ABC 和△ XYZ 中， Y+∠Z=95° , 将△ XYZ如图摆放，使得∠X 的两条边分别经过点B和点 C。

（ 1）将△ XYZ如图 1 摆放时，则∠ ABX+∠ACX=度；（2）将△ XYZ如图 2 摆放时，央求出∠ ABX+∠ACX的度数，并说明原由；（3）能否将△ XYZ摆放到某个地址时，使得BX、CX同时均分∠ ABC和∠ ACB请写出你的结论。

AAZY XCCBBY ZX图 2图1。

1七年级下册数学 三角形综合压轴题专题二三、 等腰三角形（中考重难点之一）考点1：等腰三角形性质的应用1. 如图，ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是BC 中点，ED FD ⊥，ED 与AB 交于E ，FD 与AC 交于F ．求证：BE AF =，AE CF =．2. 两个全等的含30 ，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结,ME MC ．试判断EMC ∆的形状，并说明理由．压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知Rt ABC ∆中，AC BC =，90C ∠=︒，D 为AB 边的中点，90EDF ∠=︒，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S ∆∆∆+=．当E D F ∠绕D 点旋转到DE 和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，DEF S ∆，CEF S ∆，ABC S ∆又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．提示：此题为上面题目的综合应用，思路与第一题相似。

3. 已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。

(1) BF =AC (2) CE =BF (3)CE 与BC 的大小关系如何。

ABCDE FMED CBAF EDCBA图1AECF BD图2AECFBD图3122考点2：等腰直角三角形（45度的联想）1. 如图1，四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点。

直角三角尺的一条直角边 经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动（点E 不与点A ，B 重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线BF 相交于点F .⑴ 如图14―1，当点E 在AB 边的中点位置时：① 通过测量DE ，EF 的长度，猜想DE 与EF 满足的数量关系是 ； ② 连接点E 与AD 边的中点N ，猜想NE 与BF 满足的数量关系是 ； ③ 请证明你的上述两猜想.⑵ 如图14―2，当点E 在AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N, 使得NE=BF ，进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系并证明2. 在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 是AC 的中点，DG ⊥AC 交AB 于点G.（1）如图1，E 为线段DC 上任意一点，点F 在线段DG 上，且DE=DF ，连结EF 与 CF ，过点F 作FH ⊥FC ，交直线AB 于点H ． ①求证：DG=DC②判断FH 与FC 的数量关系并加以证明．（2）若E 为线段DC 的延长线上任意一点，点F 在射线DG 上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。

一、题目题目：已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。

现有一块长方形铁皮，长为AB，宽为BC。

若要将这块铁皮剪成一个最大的正方形，使得正方形的四个顶点分别位于长方形铁皮的四个顶点上，求这个正方形的边长。

二、解题思路1. 首先，我们需要求出直角三角形ABC的斜边AB的长度。

根据勾股定理，AB² = AC² + BC²。

2. 接着，我们要找到这个正方形的边长。

由于正方形的四个顶点分别位于长方形铁皮的四个顶点上，我们可以通过计算长方形对角线的长度来得到正方形的边长。

设正方形的边长为x，则对角线长度为√(x² + x²) = √(2x²) = x√2。

3. 由于长方形的长为AB，宽为BC，所以长方形的对角线长度等于斜边AB的长度。

因此，我们有x√2 = AB。

4. 最后，将AB的长度代入求解x。

三、解题步骤1. 根据勾股定理，计算斜边AB的长度：AB² = AC² + BC²AB² = 6² + 8²AB² = 36 + 64AB² = 100AB = √100AB = 10cm2. 根据长方形对角线长度等于斜边AB的长度，得到正方形的边长：x√2 = ABx√2 = 10cmx = 10cm / √2x = 10cm / 1.414x ≈ 7.07cm四、答案这个正方形的边长大约是7.07cm。

五、总结本题考查了勾股定理、直角三角形、长方形和对角线的性质。

解题过程中，首先利用勾股定理求出斜边AB的长度，然后根据长方形对角线长度等于斜边AB的长度，得到正方形的边长。

本题旨在培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

北师大七年级下册数学压轴题集锦集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]北师大七年级下册数学压轴题集锦1、如图1，AB//EF, ∠2=2∠1；(1)证明∠FEC=∠FCE ；(2)如图2，M 为AC 上一点，N 为FE 延长线上一点，且∠FNM=∠FMN ，则∠NMC 与∠CFM 有何数量关系，并证明。

图22、（1）如图，△ABC, ∠ABC 、∠ACB 的三等分线交于点E 、D ，若∠1=130°，∠2=110°， 求∠A 的度数。

（2）如图，△ABC,∠ABC 的三等分线分别与∠ACB 的平分线交于点D 、E ，若∠1=110°，∠2=130°，求∠A 的度数。

3、如图，∠ABC+∠ADC=180°，OE 、OF 分别是角平分线，则判断OE 、OF 的位置关系为？4、已知∠A=∠C=90°。

(1)如图，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，试问BE 与DE 有何位置关系？说明你的理由。

（2）如图，试问∠ABC 的平分线BE 与∠ADC 的外角平分线DF 有何位置关系？说明你的理由。

（3）如图，若∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的外角平分线交于点E ，试问BE 与DE 有何位置关系？说明你的理由。

5．（1）如图，点E 在AC 的延长线上，∠BAC 与∠DCE 的平分线交于点F ，∠B=60°,∠F=56°,CBB求∠BDC的度数。

（2）如图，点E在CD的延长线上，∠BAD与∠ADE的平分线交于点F，试问∠F、∠B 和∠C之间有何数量关系？为什么？6.已知∠ABC与∠ADC的平分线交于点E。

（1）如图，试探究∠E、∠A与∠C之间的数量关系，并说明理由。

（2）如图，是探究∠E、∠A与∠C之间的数量关系，并说明理由。

8.（1）如图，点E是AB上方一点，MF平分∠AME，若点G恰好在MF的反向延长线上，且NE平分∠CNG，2∠E与∠G互余，求∠AME的大小。

七年级数学北师大版下册压轴题在这个部分，我们将给出一些关于七年级数学___版下册压轴题的背景信息和总体介绍。

压轴题作为研究的重要环节，不仅可以检验学生对知识的掌握程度，更能提高学生的思维能力和解决问题的能力。

压轴题的设计旨在促使学生运用所学的数学知识解决实际问题，培养学生的逻辑思维和创新能力。

七年级数学北师大版下册压轴题的目的是通过综合运用各种知识和技巧，考查学生对该册所学内容的理解和运用能力。

这些压轴题是按照课本知识体系和教学大纲要求进行设计，能够全面检验学生对数学知识的掌握情况，同时也能够培养学生的思维能力和解决问题的能力。

通过解答这些压轴题，学生可以巩固已学知识，提高数学思维的灵活性和敏捷性，培养数学建模和解决实际问题的能力。

同时，这些压轴题也可以帮助教师评估学生的研究情况，及时调整教学策略，提高教学效果。

七年级数学北师大版下册压轴题的编排合理，内容丰富，旨在激发学生研究兴趣，提高研究积极性，促进学生全面发展。

通过认真研究和解答这些压轴题，学生可以更好地掌握数学知识，提高解决问题的能力，为将来的研究打下坚实的基础。

在接下来的文档中，我们将逐一呈现七年级数学北师大版下册压轴题的具体内容，希望能为学生和教师提供参考和指导。

在这个部分，我们将详细描述《七年级数学北师大版下册压轴题》的题目内容。

包括题型、题目要求、题目数量等。

同时提供一些例题来展示该压轴题的特点和难度。

题型压轴题将涵盖以下数学题型：选择题填空题判断题计算题题目要求每道题目都会考察学生对数学知识的掌握程度和解题能力。

题目难度适中，旨在帮助学生巩固基础知识，并提高解决实际问题的能力。

题目数量本压轴题共包含30道数学题，涵盖了本学期所学的各个知识点。

例题以下是两道例题，展示本压轴题的特点和难度：选择题：题目：某班级有30名学生，其中男生与女生比例为7：3，男生人数是多少？A。

7.B。

10.C。

20.D。

15题目：某班级有30名学生，其中男生与女生比例为7：3，男生人数是多少？A。

2019年北师大版七年级下册期末复习：几何压轴题训练1．（2017秋•石景山区期末）如图，E是AC上一点，AB=CE，AB∥CD，∠ACB=∠D．求证：BC=ED．2．（2018•九龙坡区校级模拟）如图所示，已知AB∥CD，AB∥EF，若CE平分∠BCD，且∠ABC=52°，求∠CEF的度数．3．（2018秋•九龙坡区校级期中）如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于M、N两点，过点M作MG⊥MN交CD于G点，过点G作GH平分∠MGD，若∠EMB=40°，求∠MGH 的度数．4．（2018秋•沙坪坝区校级期中）如图，AB∥CD，点E在线段AB上，连接EC、ED、AD，且ED平分∠CEB，AD⊥EF，若∠ADC=42°，∠A-∠B=8°，求∠BDE的度数．5．（2018春•庐阳区期末）如图1，点E在直线AB上，点F在直线CD上，EG⊥FG．（1）若∠BEG+∠DFG=90°，请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，在（1）的结论下，当EG⊥FG保持不变，EG上有一点M，使∠MFG=2∠DFG，则∠BEG与∠MFD存在怎样的数量关系？并说明理由．（3）如图2，若移动点M，使∠MFG=n∠DFG，请直接写出∠BEG与∠MFD的数量关系．6．（2017秋•确山县期末）如图所示，∠B=25°，∠D=42°，∠BCD=67°，试判断AB和ED 的位置关系，并说明理由．7．（2018春•泰山区期中）如图，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠1+∠2=90°．试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．8．（2018秋•上杭县期中）如图，点D在△ABC的边AB上，且∠ACD=∠A．（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，但不必写出作法）；（2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．9．（2018春•相城区期中）将一副直角三角尺BAC和ADE如图放置，其中∠BAC=∠ADE=90°，∠BCA=30°，∠AED=45°，若∠AFD=75°，试判断AE与BC的位置关系，并说明理由．10．（2018春•容县期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．已知∠DOE=2∠AOC，求证：OE⊥CD．11．（2018春•鱼台县期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能．阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．（1）阅读并补充下面推理过程解：过点A作ED∥BC，所以∠B=∠EAB，∠C=．又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，所以∠B+∠BAC+∠C=180°解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．方法运用：（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．（提示：过点C作CF∥AB）深化拓展：（3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC=70°．点B在点A的左侧，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间，求∠BED的度数．12．（2018秋•连城县期中）已知：如图所示，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A+∠1=70°，求：∠D的度数．13．（2017秋•固始县期末）如图，把一张长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在点D′，C′的位置，若∠DEF=75°，则∠AED′等于多少？14．（2018秋•沙坪坝区校级月考）如图，MN∥PQ，点A在MN上，点B在PQ上，连接AB，过点A作AC⊥AB交PQ于点C．过点B作BD平分∠ABC交AC于点D，若∠NAC=32°，求∠ADB的度数．15．（2017秋•洛宁县期末）观察，在如图所示的各图中找对顶角（不含平角）：（1）如图a，图中共有对对顶角．（2）如图b，图中共有对对顶角．（3）如图c，图中共有对对顶角（4）研究（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？（5）若有2000条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？16．（2017秋•孟津县期末）如图，AB、CD相交于点O，OE是∠AOD的平分找，∠AOC=25°，求∠BOE的度数．17．（2018春•长白县期中）如图所示，已知直线DE∥BC，GF⊥AB于点F，∠1=∠2，判断CD与AB的位置关系．并说明理由．18．（2017秋•永安市期末）直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，点P是平面内一动点．设∠PFD=∠1，∠PEB=∠2，∠FPE=∠α．（1）若点P在直线CD上，如图①，∠α=50°，则∠1+∠2=°；（2）若点P在直线AB、CD之间，如图②，试猜想∠α、∠1、∠2之间的等量关系并给出证明；（3）若点P在直线CD的下方，如图③，（2）中∠α、∠1、∠2之间的关系还成立吗？请作出判断并说明理由．19．（2017秋•辉县市期末）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB相交于点P，与CD相交于点Q，且PM⊥EF，若∠1=68°，求∠2的度数．20．（2018春•罗庄区期中）如图，已知AB∥CD，EF∥MN，∠1=115°．（1）求∠2和∠4的度数；（2）本题隐含着一个规律，请你根据（1）的结果进行归纳，试着用文字表述出来．（3）利用（2）的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一角是另一个角的2倍多6°，求这两个角的大小．21．（2017秋•洛宁县期末）如图，直线AB∥CD，EF⊥CD，F为垂足，∠GEF=30°，求∠1的度数．22．（2018春•奉贤区期中）如图，已知，∠3=∠B，∠1+∠2=180°，∠AED=∠C大小相等吗？请说明理由．请完成填空并补充完整．解：因为∠1+∠2=180°（已知）又因为∠2+∠=180°（邻补角的意义）所以∠1=∠（）#JB23．（2018春•兰陵县期中）（1）探究：如图1，直线AB、BC、AC两两相交，交点分别为点A、B、C，点D在线段AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥AB 交BC于点F．若∠ABC=40°，求∠DEF的度数．（2）应用：如图2，直线AB、BC、AC两两相交，交点分别为点A、B、C，点D在线段AB的延长线上，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F．若∠ABC=60°，求∠DEF的度数．24．（2018秋•綦江区校级月考）如图：已知EF∥AD，∠1=∠2，∠AGD=108°．求∠BAC 的度数．25．（2017秋•渝中区校级期末）如图1，已知A、O、B三点在同一直线上，射线OD、OE 分别平分∠AOC、∠BOC．（1）求∠DOE的度数；（2）如图2，在∠AOD内引一条射线OF⊥OC，其他不变，设∠DOF=a o（o o＜a＜90o）．a．求∠AOF的度数（用含a的代数式表示）；b．若∠BOD是∠AOF的2倍，求∠DOF的度数．26．（2018•九龙坡区校级模拟）如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，连接EF，EH平分∠BEF，交CD于点H，过F作FG⊥EF，交EH于点G，若∠G=32°，求∠HFG的度数．27．（2018春•大田县期中）如图，如果∠1=∠2，那么图中哪两条线段平行？请说明理由．28．（2018春•大田县期中）如图，AB∥CD，直线EF交AB于点G，交CD于点H，HM⊥CD 于点H，如果∠1=48°，求∠2的度数．29．（2018春•杏花岭区校级期中）如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线M上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．（1）∠CBD=（2）当点P运动到某处时，∠ACB=∠ABD，则此时∠ABC=（3）在点P运动的过程中，∠APB与∠ADB的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值：若变化，请找出变化规律．30．（2018秋•宁阳县期中）已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2．求证：EF∥CD．31．（2017秋•南召县期末）阅读理解如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求∠BAC+∠B+∠C的度数．（1）阅读并补充下面推理过程解：过点A作ED∥BC∴∠B=∠，∠C=∠．又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°（平角定义）∴∠B+∠BAC+∠C=180°从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．小明受到启发，过点C作CF∥AB如图所示，请你帮助小明完成解答：（3）已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC=70°．BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC=60°，则∠BED的度数为°．②如图4，点B在点A的右侧，且AB＜CD，AD＜BC．若∠ABC=n°，则∠BED的度数为°（用含n的代数式表示）32．（2018春•西城区校级期中）如图，∠1=∠2，AB∥EF，求证：∠3=∠4．33．（2017秋•惠阳区期末）如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠EAB=110°，∠C=60°，点D在GH上，求∠BDC的度数．34．（2017秋•南召县期末）操作：如图，直线AB与CD交于点O，按要求完成下列问题．（1）用量角器量得∠AOC=度．AB与CD的关系可记作．（2）画出∠BOC的角平分线OM，∠BOM=∠=度．（3）在射线OM上取一点P，画出点P到直线AB的距离PE．（4）如图若按“上北下南左西右东”的方位标记，请画出表示“南偏西30°”的射线OF．35．（2018春•北海期末）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOE：∠AOD=1：3，∠COB：∠DOF=3：4，求∠DOE的度数．36．（2017秋•淅川县期末）观察发现：已知AB∥CD，点P是平面上一个动点．当点P在直线AB、CD的异侧，且在BC（不与点B、C重合）上时，如图（1），容易发现：∠ABP+∠DCP=∠BPC．拓展探究：（1）当点P位于直线AB、CD的异侧，且在BC左侧时，如图（2），∠ABP、∠DCP、∠BPC之间有何关系？并说明理由．（2）当点P位于直线AB、CD的异侧，且在BC右侧时，如图（3），直接写出∠ABP、∠DCP、∠BPC之间关系．（3）当点P位于直线AB、CD的同侧，如图（4），直接写出∠ABP、∠DCP、∠BPC之间关系．37．（2018春•上饶县期末）（1）如图1，AM∥CN，求证：①∠MAB+∠ABC+∠BCN=360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN=540°；（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．38．（2017秋•金牛区校级期末）如图，已知AB∥CD，若∠C=35°，AB是∠FAD的平分线．（1）求∠FAD的度数；（2）若∠ADB=110°，求∠BDE的度数．39．（2017秋•新野县期末）（1）如图1，已知AB∥CD，求证：∠BED=∠1+∠2．（2）如图2，已知AB∥CD，写出∠1、∠EGH与∠2、∠BEG之间数量关系，并加以证明．（3）如图3，已知AB∥CD，直接写出∠1、∠3、∠5、与∠2、∠4、∠6之间的关系．40．（2018春•上饶县期末）如图，已知∠1=∠2，AB∥EF．求证：∠A=∠E．。

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1第四章三角形压轴题内容导航一、全等三角形判定方法的应用类型一、用SSS 证明三角形全等类型二、用SAS 证明三角形全等类型三、用ASA 和AAS 证明三角形全等二、几何模型类型一、倍长中线模型类型二、一线三垂直模型类型三、旋转模型类型四、三条线段数量关系的证明三、与作图有关的几何问题四、全等三角形的综合问题一、全等三角形判定方法的应用类型一、用SSS 证明三角形全等1．如图，已知AD BC ∥，AD BC ，那么判定ABC CDA △△≌的依据是（）A ．SSSB ．ASAC ．SASD ．AAS2．如图，△ABC 中，AB =BC =5，AC =8，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转60°得到△DEC ，连接BD ，则BD 的长度为.3．农科所有一块五边形的试验田如图所示,已知在五边形ABCDE 中,∠ABC=∠AED=90°,AB=CD=AE=BC+DE=20m,求这块试验田的面积.4．小明和小亮在学习探索三角形全等时，碰到如下一题：如图1，若AC=AD ，BC=BD ，则△ACB 与△ADB 有怎样的关系？（1）请你帮他们解答，并说明理由．（2）细心的小明在解答的过程中，发现如果在AB 上任取一点E ，连接CE 、DE ，则有CE=DE ，你知道为什么吗？（如图2）（3）小亮在小明说出理由后，提出如果在AB 的延长线上任取一点P ，也有第2题类似的结论．请你帮他画出图形，并证明结论．5．【问题背景】如图1，在四边形ABCD 中，,120,90AB AD BAD B ADC =∠=︒∠=∠=︒，E F 、分别是BC CD 、上的点，且60EAF ∠=︒，试探究图中线段BE EF FD 、、之间的数量关系．【初步探索】小亮同学认为：如图1，延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先证明ABE ADG △≌△，再证明AEF AGF ≌，可得出结论______；【探索延伸】如图2，在四边形ABCD 中，,180,AB AD B D E F =∠+∠=︒、分别是BC CD 、上的点，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！312EAF BAD ∠=∠，上述结论是否仍然成立？说明理由．【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30︒的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70︒的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50︒的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达,M N 处，且两舰艇之间的夹角()MON ∠为70︒，试求此时两舰艇之间的距离．【灵活变通】如图4，已知在四边形ABCD 中，180,ABC ADC AB AD ∠+∠=︒=，若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，仍然满足【初步探索】中的结论，请直接写出EAF ∠与DAB ∠的数量关系．图1图2图3图4类型二、用SAS 证明三角形全等6．如图，已知Rt ABC △，AB AC =，D 为平面内一动点，BD AC =，E 为BD 上一点，2BE DE =，AB 上两点F ，G ，BF FG GA ==．下面能表示CD AE +最小值的线段是（）A ．线段CAB ．线段CGC ．线段CFD ．线段CB7．如图，在,ABC ADE 中，90,BAC DAE AB AC ∠︒=∠==，,AD AE =点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下结论，①BD CE =；②45ACE DBC ∠+∠=︒；③BD CE ⊥；④180BAE DAC ∠+∠=︒；⑤ABD ACE S S = ．其中结论正确的个数是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8．如图，,G H 分别是四边形ABCD 的边,AD AB 上的点，45,2,90GCH CD CB D DCB B ∠=︒==∠=∠=∠=∠︒，连接BD 交CG 于M 点，交CH 于N 点，以下结论正确的有（）①AGH 的周长为4；②DCG BCH HCG S S S +=△△△；③222DM BN MN +=；④DCM BCN MCN S S S +=△△△A ．①B ．①②C ．①②③D ．①②③④9．某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】(1)如图1，AD 是ABC 的中线，延长AD 至点E ，使ED AD =，连接BE ，写出图中全等的两个三角形：__________；【理解与运用】(2)如图2，EP 是DEF 的中线，若5EF =，3DE =，设EP x =，求x 的取值范围；(3)如图3，AD 是ABC 的中线，BAC ACB ∠=∠，点Q 在BC 的延长线上，QC AB =，求证：2AQ AD =．10．（问题情境）（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ︒∠=∠=，120BAD ︒∠=．点E ，F 分别是BC 和CD 上的点，且60EAF ︒∠=，试探究线段BE ，EF ，DF 之间的关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD 到G ，使DG BE =，连接AG ．先证明ADG ABE △△≌，再证明AEF AGF △△≌，进而得出EF BE DF =+．你认为他的做法；（填“正确”或“错误”）．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5（探索延伸）（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，70B ︒∠=，110D ︒∠=，100BAD ︒∠=，点E ，F 分别是BC 和CD 上的点，且50EAF ︒∠=，上题中的结论依然成立吗？请说明理由．（思维提升）（3）小明通过对前面两题的认真思考后得出：如图3，在四边形ABCD 中，若AB AD =，180B D ︒∠+∠=，12EAF BAD ∠=∠，那么EF BE DF =+．你认为正确吗？请说明理由．11．如图1，在四边形ABCD 中，BA =BC ，∠ABC =60°，∠ADC =30°，连接对角线BD ．（1）将线段CD 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CE ，连接AE ．①依题意补全图1；②试判断AE 与BD 的数量关系，并证明你的结论；（2）在（1）的条件下，直接写出线段DA 、DB 和DC 之间的数量关系；（3）如图2，F 是对角线BD 上一点，且满足∠AFC =150°，连接FA 和FC ，探究线段FA 、FB 和FC 之间的数量关系，并证明．12．如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 分别在边AC BC ，上，连接AE BD ，交于点F ，2B BAC BFE AE ∠∠∠==．(1)说明：EAC ABD ∠∠=；(2)若BD 平分ABC ∠，156BE AF ==，，求BEF 的面积；(3)判断EF BF AF ，，之间的数量关系，并加以说明．13．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小红在组内做了如下尝试：如图①，在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，延长AD 到M ，使DM AD =，连接BM ．【探究发现】（1）如图①，AC 与BM 的数量关系是，位置关系是；【初步应用】（2）如图②，在ABC 中，若10AB =，6AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围；【探究提升】（3）如图③，AD 是ABC 的中线，过点A 分别向外作AE AB ⊥、AF AC ⊥，使得AE AB =，AF AC =，延长DA 交EF 于点P ，判断线段EF 与AD 的数量关系和位置关系，请说明理由．14．在平面直角坐标系中，点A 在x 轴的负半轴上点B 在y 轴的负半轴上，90ABC ∠=︒，AB BC =．(1)如图①，若点A 的坐标为()5,0-，点B 的坐标为()0,2-，点C 在第一象限，点C 的坐标______；(2)在（1）的条件下，若BF y ⊥轴于点B ，点D 在y 轴上，12BD AO =，连接CD 并延长，交BF 于点E ，求BE 的长；(3)如图②，若点A 的坐标为(),0n -，点H 在AC 的延长线上，过点(),H m n （0m >，0n >）作HG x ⊥轴于点G ，连接BH ，写出线段BH ，AG ，BO 之间的数量关系，并证明．15．如图，在ABC 中，5,BC AD =是BC 边上的高，BE 是AC 边上的高，AD BE 、相交于点O ，且AE BE =．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7(1)求证：AOE BCE △≌△．(2)动点P 从点O 出发，沿线段OA 以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，动点Q 从点B 出发沿射线BC 以每秒4个单位长度的速度运动，P Q 、两点同时出发，当点P 到达A 点时，P Q 、两点同时停止运动．设点P 的运动时间为t 秒①点F 是线段AC 上的一点（不与C 点重合），当554t <≤时，CQ =__________（用含t 的代数式表示）；设BOP α∠=，则FCQ ∠=__________（用含α的代数式表示）②点F 是直线AC 上的一点且CF BO =．是否存在t 值，使以点B O P 、、为顶点的三角形与以点F C Q 、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t 值；若不存在，请说明理由．类型三、用ASA 和AAS 证明三角形全等16．如图，在四边形ABDC 中，AD 平分BAC ∠，AD DC ⊥，2AC AB -=，8BC =，则BDC 面积的最大值为（）A ．6B ．8C ．3D ．417．如图，在Rt ACB 中，90,,C AC BC D ∠=︒=为AC 边上的点，且2AD CD =，连接BD ，过B 作EB BD ⊥，并截取EB DB =，连接AE 交CB ，则下列结论：①CBE CDB ∠=∠；②F 为AE 的中点；③FEB FAC CBD ∠=∠+∠；④3BF CF =；其中正确的结论共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．如图1，在ABC 中，CM 是AB 的中线，延长AB 点N ，使BCN BCM ∠=∠，2CN CM =．(1)求证：AC BN =；(2)如图2，NP 平分ANC ∠交CM 于点P ，交BC 于点O ，若120AMC ∠=︒，试探究CP CA CN 、、的数量关系，并说明理由．19．（1）如图1，90B D ∠∠==︒，E 是BD 的中点，AE 平分BAC ∠，求证：CE 平分ACD ∠．（2）如图2，AM CN ，BAC ∠和ACD ∠的平分线并于点E ，过点E 作BD AM ⊥，分别交AM CN 、于B 、D ，请猜想AB CD AC 、、三者之间的数量关系，请直接写出结论，不要求证明．（3）如图3，AM CN ，BAC ∠和ACD ∠的平分线交于点E ，过点E 作不垂直于AM 的线段BD ，分别交AM CN 、于B 、D 点，且B 、D 两点都在AC 的同侧，（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．20．如图，∠MAN 是一个钝角，AB 平分∠MAN ，点C 在射线AN 上，且AB ＝BC ，BD ⊥AC ，垂足为D ．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9(1)求证：BAM BCA ∠=∠；(2)动点P ，Q 同时从A 点出发，其中点Q 以每秒3个单位长度的速度沿射线AN 方向匀速运动；动点P 以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC ＝5，设动点P ，Q 的运动时间为t 秒．①如图②，当点P 在射线AM 上运动时，若点Q 在线段AC 上，且52ABP BQC S S =△△，求此时t 的值；②如图③，当点P 在直线AM 上运动时，点Q 在射线AN 上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得 APB 与 BQC 全等？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说出理由．21．在等边ABC 中，点,P Q 是BC 边上的两个动点（不与,B C 重合），点P 在点Q 的左侧，且AP AQ =(1)若25BAP ∠=︒，则AQB ∠=_______________︒；(2)在图1中，求证：BP CQ=(3)如图2，点M 在边AC 上，CM CQ =，点D 为AQ 的中点，连接MD 并延长交AB 于点N ，连接,PM PN ．猜想PMN 的形状是_______________，并说明理由．22．如图所示，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，点D 是线段CA 延长线上一点，且AD AB =，点F 是线段AB 上一点，连接DF ，以DF 为斜边作等腰Rt DFE △，连接EA ，且EA AB ⊥．(1)过D 点作DG AE ⊥，垂足为G ．①求证：DEG EFA△≌△②求证：AE AF BC =+；(2)如图2，若点F 是线段BA 延长线上一点，其他条件不变，请写出线段AE ，AF ，BC 之间的数量关系，并说明理由．23．如图，等腰Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，45CAB CBA ∠=∠=︒，AC BC =，E 点为射线CB 上一动点，连接AE ，作AF AE ⊥且AF AE =．(1)如图1，过F 点作FG AC ^交AC 于G 点，求证： ≌AGF ECA ；(2)如图2，在（1）的条件下，连接BF 交AC 于D 点，若3AD CD =，求证：E 点为BC 中点；(3)如图3，当E 点在CB 的延长线上时，连接BF 与AC 的延长线交于D 点，若43BC BE =，则AD CD=________．24．【模型呈现】如图（1）和（2）所示，OA OB =，90AOB ∠=︒，直线l 经过点O （不与OA ，OB 重合），过点,A B 作l 的垂线，垂足分别为,C D ，则有AC OD =，OC BD =．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11（1）请你针对图（1）给出证明．【模型应用】在图（1）的基础上，在射线AC 上取一点M ，把线段OM 绕点O 逆时针转90︒得到ON ，连接BN ，交直线l 于点P．（2）如图（3），当点M 与点C 重合时，PB 与PN 的数量关系为___________；（3）如图（4），当点M 在AC 的延长线上时，请判断PB 与PN 的数量关系，并给出证明；（4）如图（5），当点M 在线段AC 上时，OPB OAMS S 的值为___________．25．定义：如图（1），若分别以ABC 的三边AC ，BC ，AB 为边向三角形外侧作正方形ACDE ，BCFG 和ABMN ，则称这三个正方形为ABC 的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为ABC的外展双叶正方形．(1)作ABC 的外展双叶正方形ACDE 和BCFG ，记ABC ，DCF 的面积分别为1S 和2S ；①如图（2），当90ACB ∠=︒时，求证：12S S =；②如图（3），当90ACB ∠≠︒时，1S 与2S 是否仍然相等，请说明理由．(2)已知ABC 中，3AC =，4BC =，作其外展三叶正方形，记DCF ，AEN △，BGM 的面积和S ，请利用图（1）探究：当ACB ∠的度数发生变化时，S 的值是否发生变化？若不变，求出S 的值；若变化，求出S 的最大值．二、几何模型类型一、倍长中线模型26．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC 中，若6,4AB AC ==，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ．请根据小明的思路继续思考：(1)由已知和作图能证得ADC EDB V V ≌，得到BE AC =，在ABE 中求得2AD 的取值范围，从而求得AD 的取值范围是______________．方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系；(2)如图2，AD 是ABC 的中线，,,180AB AE AC AF BAE CAF ==∠+∠=︒，试判断线段AD 与EF 的数量关系，并加以证明；(3)如图3，在ABC 中，,D E 是BC 的三等分点．求证：AB AC AD AE +>+．27．阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在ABC 中，9AB =，5AC =，BC 边上的中线AD 的取值范围．(1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：①延长AD 到Q 使得DQ AD =；②再连接BQ ，把2AB AC AD 、、集中在ABQ 中；③利用三角形的三边关系可得414AQ <<，则AD 的取值范围是____．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．(2)请写出图1中AC 与BQ 的关系并证明；原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13(3)思考：已知，如图2，AD 是ABC 的中线，AB AE =，AC AF =，90BAE FAC ∠=∠=︒，试探究线段AD 与EF的数量和位置关系，并加以证明．28．（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在ABC 中，9AB =，5AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：①延长AD 到Q ，使得DQ AD =；②再连接BQ ，把2AB AC AD 、、ABQ 中；③利用三角形的三边关系可得414AQ <<，则AD 的取值范围是．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（2）请你写出图1中AC 与BQ 的位置关系并证明．（3）思考：已知，如图2，AD 是ABC 的中线，AB AE =，AC AF =，90BAE FAC ∠=∠=︒．试探究线段AD 与EF 的数量和位置关系并加以证明．29．（1）阅读理解：如图①，在ABC 中，若5AB =，3AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，这样就把AB ，AC ，2AD 集中在ABE ∆中，利用三角形三边的关系可判断线段AE 的取值范围是；则中线AD 的取值范围是；（2）问题解决：如图②，在ABC 中，D 是BC 边的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，此时：BE CF +与EF 的大小关系，并说明理由．（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，CB CD =，160BCD ∠=︒，以C 为顶点作80ECF ∠=︒，边CE ，CF 分别交AB ，AD 于E ，F 两点，连接EF ，此时：BE 、DF 与EF 的数量关系30．如图1，ABC 中，若8AB =，6AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，请根据小明的方法思考：原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15(1)由已知和作图能得到ADC EDB V V ≌的理由是______．(2)求得AD 的取值范围是______．(3)如图2，在ABC 中，点D 是BC 的中点，点M 在AB 边上，点N 在AC 边上，若DM DN ⊥，求证：BM CN MN +>．31．已知 ABC．(1)如图1，按如下要求用尺规作图：①作出 ABC 的中线CD ；②延长CD 至E ，使DE ＝CD ，连接AE ；（不要求写出作法，但要保留作图痕迹．）(2)在（1）中，直线AE 与直线BC 的关系是；(3)如图2，若∠ACB ＝90︒，CD 是中线．试探究CD 与AB 之间的数量关系，并说明理由；(4)如图3，若∠ACB ＝45︒，AC ＝BC ，CD 是 ABC 的中线，过点B 作BE ⊥AC 于E ，交CD 于点F ，连接DE ．若CF ＝4，则DE 的长是．32．阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知ABC ∆中，AD 是BC边上的中线．求证：2AB AC AD +>．智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长AD 至E ，使DE AD =，∵AD 是BC 边上的中线∴BD CD=在BDE ∆和CDA ∆中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BDE CDA ∆∆≌（依据一）∴BE CA=在ABE ∆中，AB BE AE +>（依据二）∴2AB AC AD +>．任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：______________________________________________；依据2：______________________________________________．归纳总结：上述方法是通过延长中线AD ，使DE AD =，构造了一对全等三角形，将AB ，AC ，AD 转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．任务二：如图3，3AB =，4AC =，则AD 的取值范围是_____________；任务三：如图4，在图3的基础上，分别以AB 和AC 为边作等腰直角三角形，在Rt ABE ∆中，90BAE ∠=︒，AB AE =；Rt ACF ∆中，90CAF =︒∠，AC AF =．连接EF ．试探究EF 与AD 的数量关系，并说明理由．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1733．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且∠BAE ＝∠CDE ．求证：AB ＝CD ．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB ＝CD ，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接BF ；②如图2，分别过点B 、C 作BF ⊥DE ，CG ⊥DE ，垂足分别为点F ，G ．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．类型二、一线三垂直模型34．已知：ABC 中，90ACB ∠=︒，AC CB =，D 为射线CB 上一动点，连接AD ，在直线AC 右侧作AE AD ⊥，且AE AD =．连接BE 交直线AC 于M ，若27AC CM =，则ADB AEM S S △△的值为．35．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =．点P 从点A 出发，沿折线AC CB -以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，点Q 从点B 出发沿折线BC CA -以每秒3个单位长度的速度向终点A 运动，P 、Q 两点同时出发．分别过P 、Q 两点作PE l ⊥于E ，QF l ⊥于F ，设运动时间为t ，当PEC 与QFC V 全等时，t 的值为．36．如图，已知Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，满足7,12AC BC ==，点P 从A 点出发沿A →C →B 路径向终点B 运动：点Q 从B 出发沿B →C →A 路径向终点A 运动；点P ，Q 的速度分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时开始运动，两个点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P ，Q 作PE l ⊥于E ，QF l ⊥于F ．设运动时间为t 秒，当以P ，E ，C 为顶点的三角形与以Q ，F ，C 为顶点的三角形全等时，t 的值为（不考虑两三角形重合的情况）．37．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)如图1，点A 在直线l 上，90,BAD AB AD ∠=︒=，过点B 作BC l ⊥于点C ，过点D 作DE l ⊥交于点E ．得原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！191D ∠=∠．又90BCA AED ∠=∠=︒，可以推理得到()ABC DAE AAS ≌．进而得到结论：AC =_____，BC =_____．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三直角”模型；(2)如图2，∠90,,,BAD MAN AB AD AM AN BM l ∠=∠=︒==⊥于点C ，DE l ⊥于点E ，ND 与直线l 交于点P ，求证：NP DP =．38．如图1，已知ABC 中，90BAC ∠= ，AB AC =，DE 是过A 的一条直线，且B ，C 在D ，E 的同侧，BD AE ⊥于D ，CE AE ⊥于()E BD CE <．（1）证明：ABD CAE ≅ ；（2）试说明：BD DE CE =-；（3）若直线DE 绕A 点旋转到图2位置（此时B ，C 在D ，E 的异侧）时，其余条件不变，问BD 与DE ，CE 的关系如何？请证明；（4）若直线DE 绕A 点旋转到图3位置（此时B ，C 在D ，E 的同侧）时()BD CE >其余条件不变，问BD 与DE ，CE 的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．39．【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC =；DEF 中，90DEF ∠=︒，30EDF ∠=︒），并提出了相应的问题(1)【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段DF 上时，过点A 作AM DF ⊥，垂足为点M ，过点C 作CN DF ⊥，垂足为点N ，易证ABM BCN ≌△△，若2AM =，7CN =，则MN =______；(2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B 在线段DE 上且顶点A 在线段EF 上时，过点C 作CP DE ⊥，垂足为点P ，猜想AE ，PE ，CP 的数量关系，并说明理由；(3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A 在线段DE 上且顶点B 在线段EF 上时，若5AE =，1BE =，连接CE ，则ACE △的面积为______．40．直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，直线l 过点C ．(1)当AC BC =时，如图，分别过点A ，B 作AD l ⊥于点D ，BE l ⊥于点E ．求证：ACD CBE △△≌．(2)当8AC =，6BC =时，如图，点B 与点F 关于直线l 对称，连接BF ，CF ，动点M 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC 边向终点C 运动，同时动点N 从点F 出发，以每秒3个单位的速度沿F C B C F →→→→向终点F 运动，点M ，N 到达相应的终点时停止运动，过点M 作MD l ⊥于点D ，过点N 作NE l ⊥于点E ，设运动时间为t 秒．①CM =______，当N 在F C →路径上时，CN =______．（用含t 的代数式表示）②直接写出当MDC △与CEN 全等时t 的值．41．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图，90ACE ∠=︒，AC CE =，过点A 作AB BC ⊥于点B ，过点E 作ED BC ⊥交BC 的延长线于点D ．由90ACB DCE DCE E ∠+∠=∠+∠=︒，得CAB E ∠=∠．又90ABC CDE ∠=∠=︒，AC CE =，可以推理得到ABC CDE △△≌，进而得到AB ＝______，BC ＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！21【模型应用】（2）①如图，90ACE BCD ∠=∠=︒，AC CE =，BC CD =，连接AB 、DE ，且DE CG ⊥于点G ，AB 与直线CG 交于点F ，求证：点F 是AB的中点；②如图，若点M 为x 轴上一动点，点N 为y 轴上一动点，点P 的坐标为()51，，是否存在以M 、N 、P 为顶点且以PM 为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．类型三、旋转模型42．如图，在四边形ABCD 中，//,AB CD AE 是BAC ∠的平分线，且AE CE ⊥．若,AC a BD b ==，则四边形ABDC 的周长为（）A ．1.5()a b +B ．2a b +C ．3a b -D ．2+a b43．综合与探究数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究．(1)如图1，在四边形ABCD 中，,90AB AD B D =∠=∠=︒，E ，F 分别是边,BC CD 上的点，且12EAF BAD ∠=∠．请探究线段,,EF BE FD 之间的数量关系．下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内容补充完整．解：延长EB 到G ，使得BG DF =，连接AG在ABG 和ADF △中90AB AD ABG ADF BG DF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()ABGADF SAS ≌△△，∴,AG AF BAG DAF=∠=∠∴BAG BAE DAF BAE∠+∠=∠+∠∴12EAF BAD ∠=∠，∴GAE EAF∠=∠……(2)班长李浩发现在如图2所示的四边形ABCD 中，若,180AB AD B D =∠+∠=︒，E ，F 分别是边,BC CD 上的点，且12EAF BAD ∠=∠，（1）中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由．(3)如图3，在四边形ABCD 中，,180AB AD B ADC =∠+∠=︒，E ，F 分别是边,BC CD 延长线上的点，且12EAF BAD ∠=∠，请判断线段,,EF BE FD 之间的数量关系，并说明理由．44．已知，在四边形ABCD 中，,180,AB AD B ADC EF =∠+∠=︒、分别是边BC CD 、上的点，且12EAF BAD ∠=∠．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！23(1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当90B ADC ∠=∠=︒时．小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ．请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路．小明的解题思路：先证明ABE △≌______；再证明了AEF ≌△______，即可得出,,BE EF FD 之间的数量关系为EF BE FD =+．(2)请你借鉴小王的方法探究图2，当180B ADC ∠+∠=︒时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．(3)如图3，若E F 、分别是边BC CD 、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段EF BE FD 、、之间的数量关系为______．（不用证明）45．综合与实践问题提出如图1，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，且2ACB B ∠=∠，则AB ，CD ，AC 之间存在怎样的数量关系？并说明理由．方法运用（1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长AC 至点E ，使得AE AB =，连接DE ，……，请判断AB ，CD ，AC 之间的数量关系并补充完整解题过程．（2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在AB 上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段AB 上截取AB ，使得AF =①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线．延伸探究（3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形ABCDE 中，EA ED =，AB DC BC +=，180A D ∠+∠=︒，若120BCD ∠=︒，求BCE ∠的度数．46．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 是直线AB 上一点（点D 不与点A 、B 重合），连接DC 并延长到E ，使得CE ＝CD ，过点E 作EF ⊥直线BC ，交直线BC 于点F ．(1)如图1，当点D 为线段AB 上的任意一点时，用等式表示线段EF 、CF 、AC 的数量关系，并证明；(2)如图2，当点D 为线段BA 的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF 、CF 、AC 的数量关系是否发生改变，并证明．(3)如图3，当点D 在线段AB 的延长线上时，直接写出线段EF 、CF 、AC 之间的数量关系．47．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：从正方形的一个顶点引出夹角为45︒的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：如图1，在正方形ABCD 中，以A 为顶点的45EAF ∠=︒，AE 、AF 与BC 、CD 边分别交于E 、F 两点．易证得EF BE FD =+．大致证明思路：如图2，将ADF △绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABH ，由180HBE ∠=︒可得H 、B 、E 三点共线，45HAE EAF ∠=∠=︒，进而可证明AEH AEF ≌，故EF BE DF =+．任务：如图3，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，120BAD ∠=︒，以A 为顶点的60EAF ∠=︒，AE 、AF原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25与BC 、CD 边分别交于E 、F 两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF BE DF =+是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．48．【问题提出】（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，90B ADC ∠=∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，探究当EAF ∠为多少度时，使得BE DF EF +=成立．小亮同学认为：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先证明ABE ADG ≌△△，再证明AEF AGF △△≌，则可求出∠EAF 的度数为______；【问题探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，当∠EAF 与∠BAD 满足怎样的数量关系时，依然有BE DF EF +=成立，并说明理由．【问题解决】（3）如图3，在正方形ABCD 中，45EBF ∠=︒，若DEF 的周长为8，求正方形ABCD的面积．类型四、三条线段数量关系的证明49．问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥MN ，AD ⊥MN ，垂足分别为E 、D ．图中哪条线段与AD 相等？并说明理由．问题2：试问在这种情况下线段DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由．问题3：当直线CE 绕点C 旋转到图2中直线MN 的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．50．如图1，点A 和点B 分别在y 轴正半轴和x 轴负半轴上，且OA=OB ，点C 和点D 分别在第四象限和第一象限，且OC ⊥OD ，OC=OD ，点D 的坐标为（m ，n ），且满足2(m-2n ）+|n ﹣2|=0．（1）求点D 的坐标；（2）求∠AKO 的度数；（3）如图2，点P ，Q 分别在y 轴正半轴和x 轴负半轴上，且OP=OQ ，直线ON ⊥BP 交AB 于点N ，MN ⊥AQ 交BP 的延长线于点M ，判断ON ，MN ，BM 的数量关系并证明．51．（1）如图1，已知OAB 中，OA OB =，90AOB ∠=︒，直线l 经过点O ，BC ⊥直线l ，AD ⊥直线l ，垂足分别为点C ，D ．依题意补全图l ，并写出线段BC ，AD ，CD 之间的数量关系为______；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在OAB 中，OA OB =，C ，O ，D 三点都在直线l 上，并且有BCO ODA BOA ∠=∠=∠，请问（1）中结论是否成立?若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，在ABC 中，AB AC =，90CAB ∠=︒，点A 的坐标为(0,1)，点C 的坐标为()3,2，请直接写出点B 的坐标．52．已知四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，∠MBN ＝60°，∠MBN 绕B 点旋转，它的两边分别交AD ，DC （或它们的延长线）于E ，F ．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！27（1）当∠MBN 绕B 点旋转到AE ＝CF 时（如图1），求证：△ABE ≌△CBF ．（2）当∠MBN 绕点B 旋转到AE ≠CF 时，如图2，猜想线段AE ，CF ，EF 有怎样的数量关系，并证明你的猜想．（3）当∠MBN 绕点B 旋转到图3这种情况下，猜想线段AE ，CF ，EF 有怎样的数量关系，并证明你的猜想．53．在图1、图2，图3中．点E 、F 分别是四边形ABCD 边BC CD 、上的点；下面请你根据相应的条件解决问题．特例探索（1）在图1中，四边形ABCD 为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），45EAF ∠=︒，延长CD 至G ，使,2,3DG BE BE DF ===．则EF =__________．在图2中，90B D ∠=∠=︒，AB AD =，60BAD ∠=︒，30EAF ∠=︒，1BE =， 1.5FD =；则EF =__________．归纳证明（2）在图3中，180B D ∠+∠=︒，AB AD =．且12EAF BAD ∠=∠，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段,,BE EF FD 之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．实际应用（3）图4是某公路筑建工程平面示意图，指挥中心设在O 处，A 处、B 处分别是甲、乙两公路起点，它们分别在指挥中心的北偏东20︒和南偏东30︒的方向上．且A 、B 两处分别与指挥中心O 的距离相等：其中甲公路是从A 处开始沿正东方向筑建，乙公路是从B 处开始沿北偏东40方向筑建：甲、乙两公路的路基筑建速度分别是每天150米、180米，当两公路同时开工后的第五天收工时，分别筑建到C 、D 处，经测量65COD ∠=︒．试求C 与D 两处之间的距离．54．已知在数轴上，从左往右依次有四个点A ，C ，D ，B ，其中点A ，B 对应的数分别为7-和9．。

则∠A的大小等于____度．
3.如图所示，在直角梯形 中， °， ∥ ， ， 是 的中点， ⊥ .
（1）求证： ；
（2）求证： 是线段 的垂直平分线；
（3） 是等腰三角形吗？并说明理由.
签字确认
学员教师班主任
学科教师导讲义
班级编号：年级：七年级课时数：2
学员姓名：辅导科目：数学学科教师：
学科组长签名及日期
剩余课时数
课题
期末复习-压轴题
授课时间：2017/05
备课时间：
教学目标
1.灵活应用平行线和全等三角形的判定和性质，
2.掌握平行线和三角形综合题型。
重点、难点
1.灵活应用平行线和全等三角形的判定和性质，
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠BCA=∠α，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．
三、课堂练习
1.以三条线段3、4、x－5为这组成三角形，则x的取值为________．
2．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，如果 ，那么 ________．
3．如图，△ABC中，∠C=90°，AD=BD，∠BAD=40°，则∠CAD=________．
考点二：压轴题
1、在 中， ，点 在 边上， （如图1）.
（1）若 在 的 边上，且 ，求 的度数；
（2）若 ， 在 的 边上，△ADE是等腰三角形，求 的度数；
（3）若 将 分割成的两个三角形中有一个是等腰三角形，求 的度数.
2、如图，已知∠MON=90°，点A、B分别在射线OM、ON上，∠OAB的内角平分
线与∠OBA的外角平分线所在的直线交于点C．
（1）试说明∠C与∠O的关系；
（2）当点A、B分别在射线OM、ON上移动时，试问∠C的大小是否发生变化，若保

北师大版七年级下册数学三角形综合压轴题专题一七年级下册数学三角形综合压轴题专题一一、双等边三角形模型1. （1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.B C B CE EA O D A OD 图1 图22. 已知:点C为线段AB上一点，△ACM,△CBN都是等边三角形，且AN、BM相交于O.① 求证：AN=BM ② 求∠AOB的度数。

③ 若AN、MC相交于点P，BM、NC交于点Q，求证：PQ∥AB。

NMOQ PB A C同类变式：如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE. (1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；(2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；(3)若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.图c13. 如图3，若△ABC和△ADE为等边三角形，M,N分别为EB,CD的中点，易证：CD?BE，△AMN是等边三角形．（1）当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD?BE是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由；（2）当△ADE绕A点旋转到图11的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由．同类变式：已知，如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB?AC，AD?AE，?BAC??DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE?CD；②AM?AN；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.图9 图10 图11C C M B 图①N A E D B M E 图② N D A（1）证明：△ABG ≌△ADE ；（2）试猜想?BHD的度数，并说明理由；4. 如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H．（3）将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0°＜?BAE ＜180°），设△ABE的面积为S1，△ADG的面积为S2，判断S1与S2的大小关系，并给予证明．2DG A CH F E B△ABC是等边三角形，5.已知：如图，过AB边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE?DB，连接AE，CD．（1）求证：△AGE≌△DAC；（2）过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连接AF，并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你的结论．D A GE BF C二、垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）考点1：利用垂直证明角相等1. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．求证：（1）AE＝CD；（2）若AC＝12 cm，求BD的长．2. 如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=90, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E 。