北京市门头沟区2010年高三年级抽样测试
数学（文史类）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷l 至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时间120分钟．考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并回交。
第Ⅰ卷 (选择题40分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合=A {2，3，4，5}，=B {2，4，6，8}， 则集合A C U B 等于 （A ）{3，5}
（B ）{1，2，3，4，5，7}
（C ）{6，8}
（D ）{1，2，4，6，7，8}
2. 已知向量)6,(,
)3,2(x =-=，则“=x 9”是“//”的
（A ） 充分但不必要条件 （B ） 必要但不充分条件 （C ） 充要条件
（D ） 既不充分也不必要条件
3. 等差数列}{n a 中，9,331==a a ，若243=k a ，则k 等于
（A ）79
（B ）80
（C ）81
（D ）82
4. 函数???<≥=)
0()
0(2)(2
x x
x x f x
，若1)(0=x f ，则0x 等于
（A ）－1或0
（B ）0
（C ）
0或1
（D ）1
2010.3
5. 一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 （A ）4
（B ）34 （C ）3
8
（D ）8
6. 已知),0(,13
7
cos sin πααα∈=+，则αtan 等于 （A ）
5
12
（B ）512- （C ）12
5
（D ）12
5
-
7. 执行如右图所示的程序框图，
输出的结果S 等于 （A ）5
（B ）7 （C ）9
（D ）13
8. 已知集合},,{c b a A =，}1,0,1{-=B ， 定义：f 是一个确定的对应关系，如果
B y A x ∈?∈?,使)(x f y =，且y 唯一确定，
那么就称f 是集合A 到B 的一个映射．
则满足0)()()(>++c f b f a f 的映射f 的个数是 （A ）10
（B ）9
（C ）8
（D ）7
正视图
左视图
2 22 2
俯视图
开始
n=1，S=1
S=S+2n n= n+1
n > 3 否
是
输出S
结束
第Ⅱ卷（非选择题110分）
二、填空题：本题共6小题，每题5分，共30分．
9. 复数i i ?+)43(的模等于 ． 10. ABC Δ中，已知?=∠120A ， 2,
4==AC AB ，那么=BC ．
11. 若直线)1(+=x k y 与圆0222=-+x y x 相切，则=k ．
12. 等比数列}{n a 中，16321=++a a a ，32432=++a a a ，则公比=q ． 13. 在某次摸底考试中， 随机抽取100个人的成绩， 频率分布直方图如右图，
若参加考试的共有4000人， 那么分数在90分以上的 人数约为 人， 若以区间的中点值作为代表，
则本次考试的平均分约为 ．
14. 若[0,3],[0,2]a b ∈∈，函数2
2
()2f x x ax b =-+有零点的概率为 ． 三、 解答题：本题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15.（本小题满分13分） 已知向量)sin ,(cos ,
)sin ,(cos x x x x -==．
（Ⅰ）若b a x f ?=)(，求)8
(π
f ；
（Ⅱ）x x x f x g cos sin 2)()(+=，求)(x g 的周期和最小值．
0 50 70 90 110 130 150 分数
0.02
0.0125 0.01
0.005 0.0025
频率/组距
16. （本小题满分13分） 已知函数12)(23++-=x x x x f ． （Ⅰ）求)(x f 在0=x 处的切线方程；
（Ⅱ）求)(x f 在区间]2,0[上的最大值和最小值．
17. （本小题满分13分）
如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中， 棱长1,
21==AB AA ，E 是1AA 的中点．
（Ⅰ）求证：//1C A 平面BDE ； （Ⅱ）求点A 到平面BDE 的距离．
18. （本小题满分13分）
春运期间，火车站要对5节车厢进行编组，其中1、2号为卧铺车厢，3号为餐车车厢，4、5号为硬座车厢。编组规则是：卧铺车厢不能分开，硬座车厢也不能分开，卧铺车厢与硬座车厢之间必须用餐车车厢隔开． （Ⅰ）问恰好按照车号排序的编组概率是多少？ （Ⅱ）卧铺车厢在前，硬座车厢在后的编组概率是多少？
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
E
19. （本小题满分14分）
数列}{n a 中，11=a ，n S 是}{n a 的前n 项和，且n S S n n +=+1，*
N n ∈．
（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；
（Ⅱ）若1
11-=
+n n S b ，求数列}{n b 的通项公式；
（III ）若1
2+?=n a n n c ，求数列}{n c 的前n 项和n T ．
20. （本小题满分14分）
已知定点)0,0(A ，动点B 满足5||=AB ，线段AB 与圆：922=+y x 交于点P ，过点B 作直
线l 垂直于x 轴，过点P 作l PQ ⊥，垂足为Q ．
（Ⅰ）求动点B 的轨迹方程； （Ⅱ）求点Q 的轨迹方程；
（III ）过点A 作直线m ，与点Q 的轨迹交于M 、N 两点，C 为点Q 的轨迹上不同于M 、N 的任意一点，问CN CM k k ?是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
已知向量)sin ,(cos ,)sin ,(cos x x b x x a -==
（Ⅰ）若x f ?=)(，求)8
(πf
（Ⅱ）x x x f x g cos sin 2)()(+=，求)(x g 的周期和最小值
解：（Ⅰ）x x x b a x f 2cos sin cos )(22=-=?=
……4分
2
2
4cos )8(==ππf ……6分
（Ⅱ）)4
2sin(22sin 2cos cos sin 2)()(π
+
=+=+=x x x x x x f x g ……9分
)(x g 的周期ππ
==
2
2T
……10分
当1)4
2sin(-=+
π
x 时，函数)(x g 有最小值2-
……13分
16. （本题13分）
已知函数12)(2
3
++-=x x x x f
（Ⅰ）求)(x f 在0=x 处的切线方程
（Ⅱ）求)(x f 在区间]2,0[上的最大值和最小值
解：（Ⅰ）143)(2
+-='x x x f
……2分
1)0(=f ，切点坐标)1,0(
……3分
17. （本题13分）
如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中， 棱长1,21==AB AA ，E 是1AA 的中点。
（Ⅰ）求证：//1C A 平面BDE （Ⅱ）求点A 到平面BDE 的距离
（Ⅰ）证明：连结AC ，交BD 于O ，连结OE
……1分
正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是正方形
∴点O 是AC 的中点
……2分 又E 是1AA 的中点 ∴OE 是C AA
1?的中位线 ∴C A OE 1// ……4分
?OE 平面BDE ，?C A 1平面BDE ，∴//1C A 平面BDE
……6分 （Ⅱ）解：过点A 作OE AH ⊥，垂足为H
……7分
A B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
E
O
H
正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是正方形
∴AC BD ⊥，⊥A A 1平面ABCD
……8分
解：根据题意，车厢编组的结果一共有8种可能：（1，2，3，4，5），（1，2，3，5，4），
（2，1，3，4，5），（2，1，3，5，4），（5，4，3，2，1），（5，4，3，1，2）， （4，5，3，2，1，），（4，5，3，1，2）
……8分 恰好按照车号1至5排序的编组概率是81
=P ……10分
卧铺车厢在前，硬座车厢在后的编组概率为2
1
84=
……13分
19. （本题14分） 数列}{n a 中，11=a ，n S 是}{n a 的前n 项和，且n S S n n +=+1，*
N n ∈。
（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式
（Ⅱ）若1
11-=
+n n S b ，求数列}{n b 的通项公式
（III ）若1
2
+?=n a n n c ，求数列}{n c 的前n 项和n T
解：（Ⅰ）由n S S n n +=+1，*
N n ∈得n S S a n n n =-=++11
所以??
?≥-==2
1
1
1
n n n a n ……3分
20. （本题14分）
已知定点)0,0(A ，动点B 满足5||=，线段AB 与圆：92
2
=+y x 交于点P ，过点B 作直线l 垂
直于x 轴，过点P 作l PQ ⊥，垂足为Q ，
（Ⅰ）求动点B 的轨迹方程 （Ⅱ）求点Q 的轨迹方程。
（III ）过点A 作直线m ，与点Q 的轨迹交于M 、N 两点，C 为点Q 的轨迹上不同于M 、N 的任意一点，问CN CM k k ?是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由。 解：（Ⅰ）根据题意动点B 的轨迹方程是252
2
=+y x
……2分 （Ⅱ）设),(y x Q ，)sin 5,cos 5(θθB ，)sin 3,cos 3(θθP ，
……4分
根据题意有 ??
?==θθ
s i n
3c o s 5y x ……6分
点Q 的轨迹方程为
19
252
2=+y x ……8分
（III ）设),(y x C ，由椭圆
19
252
2=+y x 是中心对称图形，),(00y x M ，),(00y x N -- 00x x y y k CM --=
，0
x x y y k CN ++=， ……10分
2
2
2
2x x y y k k CN
CM --=? ……11分
又点C M 、都在椭圆
19252
2=+y x 上， 所以???????=+=+19
25
1925
2
02
02
2
y x y x ? 09252
02202=-+-y y x x
9
25
2
022
02-=--x x y y 即925-=?CN CM k k 是一个定值。 ……14分
注：以上解答题若有其它解法请按步骤相应给分