正交矩阵的性质及其正交相似标准型
数学学院数学与应用数学（师范）专业2008级张亮
指导教师刘学文
摘要：正交矩阵作为一种特殊的矩阵，在整个矩阵理论中具有十分重要的作用。正交矩阵的正交相似标准型在欧几里得空间、正交变换及正交矩阵的有关分解问题中都有很重要的地位。一方面，它是实对称矩阵的正交相似标准型的自然联想；另一方面，它在欧几里得空间中的地位相当于对称矩阵在二次型中的地位。本文利用正交矩阵、旋转、正交相似等相关概念，对正交矩阵的一些常用的性质以及正交矩阵的正交相似标准型进行研究和整理。
关键词：正交矩阵；正交相似；正交相似标准型；特征向量
Abstract: Orthogonal matrix as a special matrix, a very important role in the entire matrix theory. Orthogonal matrix orthogonal similar standard in the Euclidean space, orthogonal transformation and orthogonal matrix decomposition problem has a very important position. On the one hand, it is a real symmetric matrix orthogonal similar to the standard natural association; the other hand, it's position in the Euclidean space is equivalent to a symmetric matrix in the quadratic. In this paper, orthogonal matrix, rotation, and orthogonal similarity related concepts, conduct research and organize some common nature of the orthogonal matrix and orthogonal matrix orthogonal similar standard.
Keywords:Orthogonal matrix; Orthogonal similarity;；Orthogonal similar standard; eigenvectors
正交矩阵作为一种特殊的矩阵，在整个矩阵理论体系中具有十分重要的地位和作用。在我们教材中，正交矩阵是在研究欧几里得空间时提出的，它是刻划欧几里得空间中标准正交基与标准正交基间的过渡矩阵，同时它在实对称矩阵的标准型定理中起到了很重要的作用。正交矩阵是矩阵论中比较重要的概念，它在数
学、物理等学科领域中有许多重要的应用。以下对正交矩阵正交矩阵的若干性质以及正交矩阵的正交相似标准型进行研究。
为了方便讨论，在以下文中我们约定：T A 表示矩阵A 的转置，-1A 表示矩阵A 的逆矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示n 阶单位矩阵，det A A =表示矩阵A 的行列式，()Tr A 表示矩阵A 的迹，()R A 表示矩阵A 的秩，(),A i j 表示矩阵
()ij A a =元ij a ，ij A 表示矩阵A 的元ij a 的代数余子式，m n F ′表示数域F 上的m n ′阶
矩阵，l 表示复数l 的共轭复数，Re l 表示复数l 的实部，R 表示实数域，C 表示复数域。
1 预备知识
定义1.1[]1 （正交矩阵的定义）
（1） n 阶实矩阵A ，若满足T A A E =，则称A 为正交矩阵. （2） n 阶实矩阵A ，若满足T AA E =，则称A 为正交矩阵. （3） n 阶实矩阵A ，若满足-1T A A =，则称A 为正交矩阵.
（4） n 阶实矩阵A 的n 个行（列）向量是两两正交的单位向量，则称A 为正交矩阵.
注 以上正交矩阵的（1）、（2）、（3）、（4）四个定义是等价定义.
定义1.2[]2 n 阶正交矩阵A 称为第一类的（或者称为旋转），如果1A =；n 阶正交矩阵A 称为第二类的，如果-1A =.
定义 1.3[]
3 ,n n A B R ?∈，称A 与B 正交相似，如果存在正交矩阵P ，使得
-1T A P BP P BP ==.
定义 1.4[]
1 n 阶矩阵()ij n n A a ?=，称1122nn a a a +++L 为矩阵A 的迹，记为
()Tr A .
引理1.1
[]4 若A 为正交矩阵，那么detA 1A ==±且1A -存在.
引理1.2[]
5 正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵；正交矩阵的乘积是正交矩阵. 引理1.3[]
6 设A 为n 阶正交矩阵，则A 的特征根在复数域C 上模为1. 引理1.4 A 为n 阶正交矩阵，则A 的实特征根为1±，复特征根成对出现. 证明 设λ是矩阵A 的任意一个实特征值，则由引理1.3，有：1=λ.又因为
R λ∈，所以有1±=λ.引理的后一部分由121n A R λλλ==±∈L 很容易得到（其中
12n λλλ，，，L 是A 的n 个特征根）.
引理1.5[]
7 设A 为n 阶正交矩阵，
C ib a ∈+=λ为A 的一个复特征根)0(≠b ，βαi u +=为其对应的特征向量，则βα⊥且βα=.
证明 因为()()()A i a ib i αβαβ+=++.所以βαββααa b A b a A +=-=,.
从而有2
2
2
222T T T A A a b ab ααααααβαβ=
==+-（，） 222
222T T T A A b a ab βββββαβαβ===++（，）
两式相减，得：2
2
22(1)()40T a b ab αβαβ----=.
由引理1.3知，A 的特征根模长为1，即1=λ.所以221a b +=. 又2
2
22()()T T T T A A a b ab αβαβαβαβ==-+- 由此可得方程组：
22222222(1)()40()(1)0
T T
a b ab ab a b αβαβαβαβ?----=??-+--=??将之视为关于βαβαT
和（)22-的方程 因为该方程组的系数行列式为：
)0(,0)1(44)1(1412
2222222
222≠≠+=+--=-----b a b b a b a b a ab ab b a 所以2
2
0()0T αβαβ=-=，.又因为0T αβαβ==（，）.故βα⊥且βα=.
2 正交矩阵的性质及正交相似标准型
2.1 正交矩阵的性质
性质2.1.1 设为A 正交矩阵，则
)11A =±；
)2A 可逆，即-1A 存在，其逆-1A 也是正交矩阵；
)3T A ，A *也是正交矩阵.并且当A 为(2)n n >阶正交矩阵时, 当1A =时, T A A *=, 即ij ij a A =;当-1A =时，T A A *=-, 即ij ij a A =-.
证明 1）由T AA E =，可知2
1A =.从而有 det 1A A ==±. 2）因为10A =±≠. 所以A 可逆且有
()()()-1
1
-1-1-11T
T T A A A A AA E E --====，即-1A 是正交矩阵.
3）由)2知-1T A A =,T A 是正交矩阵.
而11A A A A *--==±,有()()()1
1T
T
A A A A -*-*=±=±=.
故*
A 是正交矩阵.由1
1,T A A A A A
*
-=±==,得：
当1A =时, T A A *=, 即ij ij a A =；当-1A =时，T A A *=-, 即ij ij a A =-.
性质2.1.2[]8 设,A B 都是n 阶正交矩阵，则：
)1,m AB A (m 为自然数)，111,,,,T T A B AB A B AB A BA ---等都是正交矩阵；
)20
0A A A B A A ???
??-???
也是正交矩阵.
证明 )1因为,A B 为正交矩阵，所以T T A A E B B E ==，.
()()()()()T
T T T T T T AB AB B A AB B A A B B EB B B E =====.由正交矩阵的定义知，
AB 是正交矩阵.其它结论可由此结论得到.
)2因为1
1
10000000
0T
T
T A A A A B B B B ---????????
===
? ? ? ?????
????及
T
T
T T T A A A A A A A A A A A A A A A A ??????-???
=
?????---???
??
02010202T T E A A
E A A ????== ? ?????.
故00A A A B A A ???
??-???
是正交矩阵. 性质2.1.3[]9 )1设,A B 为n 阶正交矩阵且A B =-，则A B +必不可逆； )2设,A B 为奇数阶正交矩阵且A B =，则必A B -不可逆.
证明 )1由T T T T A B BB A BA A B B A A +=+=+
2
()T T T B B A A B A B =-+=-+=-+
得0A B +=,即A B +不可逆.
)2由T T T T A B BB A BA A B B A A -=-=-
()2
()1n
T T T B B A A B A B =-=--=--
性质2.1.11 n 阶非零实矩阵A 为正交矩阵的充要条件是对任意的n 阶矩阵
B 有: ()
()T Tr ABA Tr B =.错误！未找到引用源。
证明 （必要性）设A 是n 阶正交矩阵.由T AA E =得: 1T A A -=， 错误！未找到引用源。从而根据矩阵理论可知:对任意n 阶矩阵B , 有
()()()
()11T Tr ABA Tr ABA Tr AA B Tr B --===.
（充分性）设对任意的n 阶矩阵B 错误！未找到引用源。,()
()T Tr ABA Tr B = 特别地, 我们可选取(),1,2,,ij B E i j n ==L 来证明.
性质2.1.12 设A 为n 阶实对称矩阵，且A 的所有特征根的模为1，那么A 是正交矩阵.
证明 对实对称矩阵A 而言，存在正交矩阵P ，使1
T n A P P λλ??
?= ? ??
?
O . 其中1,,n λλL 为A 的全部特征跟，而()11,2,,i i n λ==L .由于实对称矩阵的特
征跟均为实数，因此()11,2,,i i n λ=±=L ，不放设r
T n r E A P P E -??
=
?-?
?
.由于P 是
正交矩阵，所以T P 也是正交矩阵，而r
n r E
E -??
?-??
也是正交矩阵.3个正交矩阵之积任为正交矩阵，所以A 为正交矩阵. 2.2 正交矩阵的正交相似标准型
定理2.2.1 设A 为n 阶正交矩阵，则存在n 阶正交矩阵P ，使得：
11
-1
11
cos sin cos sin diag{,,,,}sin cos sin cos l l r s l l
P AP E E q q q q q q q q 骣骣--琪琪=-琪琪桫
桫
L
其中：r 为正交矩阵A 的特征根1的个数,s 为正交矩阵A 的特征根-1的个数,l 为正交矩阵A 的复特征根的个数.
证明 对正交矩阵A 的阶数n 进行归纳证明. 当1n =时，定理显然成立.
假设当矩阵的阶数n t ￡时定理成立，下面来证明当矩阵的阶数1n t =+时定理也成立.
依据正交矩阵A 有无实特征根，分两种情况来讨论： （1）若A 有一个实特征根0λ.
取属于特征根0λ的单位特征向量1α，将1α扩充为1t R +的一组标准正交基
121,,,t a a a +L .
设0
1211211
,,,,,)0t t A
A l b
a a a a a a ++骣琪=琪桫
（）（K L ，其中β为t 维列向量，1A 为t 阶方阵.令1121,,,t P a a a +=（）L 为正交矩阵，则0-11
110P AP A l b
骣琪=琪桫记0
1
0B A l b 骣琪=琪桫.
因为-1
1
P A ，均为正交矩阵，所以T B B E =即，0
1110
000T T t E A A l l b
b 骣骣骣琪琪琪=琪琪琪桫
桫桫. 由此得到：0110,T A A E l b ==.所以0b = 由归纳假设知存在正交矩阵2P ，使得
1
1
-1
21211
cos sin cos sin diag{,,,,}sin cos sin cos l l r s l l
P A P E E q q q q q q q q 骣骣--琪琪=-琪琪桫
桫
L
令12100P P P 骣琪=琪桫
，则P 是正交矩阵且 1
1
-111
cos sin cos sin diag{,,,,}sin cos sin cos l l r s l l
P AP E E q q q q q q q q 骣骣--琪琪=-琪琪桫
桫
L
定理成立.
（2）若A 有无实特征根，即A 的特征根全为复数.
设0a ib C l =+ 是A 的一个复特征根，u i a b =+是其对应的特征向量.
由引理1.3
知，01l ==且a b ^、a b =.设s ,sin a co b q q ==-.
由0Au u l =，即()()()A i a ib i a b a b +=++得：,A a b B b a a a b b a b =-=+ 将s ,sin a co b q q ==-代人得： cos sin ,sin cos A A ααθβθβαθβθ=+=-+.
讲上式写成矩阵方程：()()cos sin ,,sin cos A q q
a b a b q q
骣-琪=琪桫
. 将向量βα，单位化得正交向量21,αα.将21,αα扩充为1t R +的一组标准正交基
121,,,t ααα+L .
设1211212
cos -sin ,,,,,,)sin cos 0t t A
A q q g a a a a a a q q ++骣琪
琪=琪琪桫
（）（L L ，其中()21t R g ??，2
A 为
()
-1t 阶方阵.令1121,,,t P a a a +=
（）L ,则1P 为正交矩阵且-1
112
cos -sin sin cos 0P AP A q q
g q q 骣琪琪=琪琪桫
. 记12
cos -sin sin cos 0B A q q g q q 骣琪
琪=琪琪桫
.
因为-11P A ，均为正交矩阵，所以 1B 是正交矩阵，即11T
B B E =
亦即，2
111
2
2
cos -sin cos -sin 0sin cos sin cos 000T
T t E B B E A A q q
q q g g q q q q -骣骣琪
琪骣琪琪琪==琪琪琪桫
琪琪桫
桫
由此得到：T
2
21cos sin ,0sin cos T
t A A E q
q
g g g q q
-骣-琪+===琪桫
.
所以由矩阵相等的定义知：220T
A A E g ==，.
从而，我们知道2A 也为正交矩阵.
所以，对于正交矩阵2A 用归纳假设知，存在正交矩阵2P ，使得：
1
1
-122211
cos sin cos sin diag{,,,,}sin cos sin cos l l r s l l
P A P E E q q q q q q q q 骣骣--琪琪=-琪琪桫
桫
L
令2
12
00E P P P 骣琪=琪桫
，则P 是正交矩阵且
1
1
-111
cos sin cos sin diag{,,,,}sin cos sin cos l l r s l l
P AP E E q q q q q q q q 骣骣--琪琪=-琪琪桫
桫
L
所以此定理成立.
综合（1）（2）知，定理对任意n 级正交矩阵均成立，证毕.
下面，我们给出此定理的一个推论.
推论[]11 设A 是第一类正交矩阵（即A 是正交矩阵且1A =）， 那么存在正交矩阵B ，使得2A B =.
证明 因为A 是正交矩阵.
所以由正交矩阵的正交相似标准型定理知，存在正交矩阵P ，使得：
1
1
-111
cos sin cos sin diag{,,,,}sin cos sin cos l l T r s l l
P AP P AP E E q q q q q q q q 骣骣--琪琪==-琪琪桫
桫
L
其中：r 为正交矩阵A 的特征根1的个数,s 为正交矩阵A 的特 征根-1的个数,l 为正交矩阵A 的复特征根的个数.
所以，1
1
11
cos sin cos sin diag{,,,,sin cos sin cos l l T r s l l
A P E E P q q q q q q q q 骣骣--琪琪=-琪琪桫
桫
L
由于1A =，因此s 为偶数记()
*
2s k k N = .又因为2
-100-1
0-110骣骣琪琪=琪琪桫桫
， 所以2
s -E R =，其中()12,,,,k R diag R R R =L 01
,1,2,,10i R i k 骣-琪==琪桫
L . 又因为2
cos sin cos sin 22sin cos sin cos 2
2
i i
i
i
i i
i i
q q q q q q q q 骣琪-骣-琪琪=琪
琪琪桫
琪桫，2
r r E E =.
所以11
11
cos sin cos sin diag ,,,,sin cos sin cos l l
T r s l l
A P E E P q q q q q q q q 禳骣骣--镲
琪琪=-睚琪琪镲桫桫
铪
L
2
2
11
2211
cos sin cos sin 2
222diag ,,,,sin cos sin cos 22
22
l l
T r l l
P E R P q q q q
q q q q 禳骣骣镲琪琪--镲琪琪=睚琪
琪
镲琪琪琪琪镲
桫桫镲铪L
2
1
1
11cos sin cos sin 2222diag ,,,,sin cos
sin cos 22
2
2
l l
T r l l
P E R P q q q q q q q q 禳骣骣镲琪琪--镲琪琪=睚琪
琪
镲琪琪琪琪镲
桫桫铪
L
记11
11
cos sin
cos sin
2
22
2diag ,,,,sin cos sin cos 22
2
2
l l r l l
D E R q q q q q q q q 禳骣骣镲琪琪--镲琪琪=睚琪琪镲琪琪琪琪镲
桫桫铪
L
则()(
)
22T T T A PD P PDP PDP B ===，其中T B PDP =.
我们注意到：
r E ，R ，0
11,2,,10i R i k 骣-琪==琪桫
（）
L ，cos
sin
2
2
sin cos
2
2
i
i i i q q q q 骣琪-琪琪琪琪桫均为正交矩阵. 所以，11
11
cos sin cos sin 2
222diag ,,,,sin cos sin cos 22
2
2
l
l r l l
D E R q q q q q q q q 禳骣骣镲琪琪--镲琪琪=睚琪
琪镲琪琪琪琪镲
桫桫铪L 为正交矩阵.
从而，T B PDP =为正交矩阵且2A B =，证毕.
到目前为止，我们已经对正交矩阵的正交相似标准型有了一定的认识和了解。然而我们可以就此联想到我们曾今学习过的酉矩阵，我们可以把正交矩阵看作是酉矩阵的一种特殊情形，也可以把酉矩阵看作是正交矩阵的推广。所以就正交矩阵的正交相似标准型定理我们来猜想，对于正交矩阵是否也有类似的酉相似标准型呢？事实上我们有下面的结论。
定理 2.2.2 若A 为n 阶正交矩阵，则存在酉矩阵U ，使得
11n
U AU l l -骣琪
琪=琪琪桫
O
，其中()11,2,,i i n l ==L .
注 我们把这个定理称为正交矩阵的酉相似标准型定理，它是正交矩阵的正交相似标准型的推广.为了证明这个定理，我们作以下准备知识.
补充定义 （1）对于n 阶复矩阵A ，用A 表示以A 的元素的共轭复数作元素的矩阵.若A 满足T T AA A A E ==，那么就称为A 酉矩阵.
（2）设,n n A B C ?∈，称A 与B 酉相似，如果存在酉矩阵U ，使得-1A U BU =. （3）若n 阶复矩阵A 满足T T AA A A =，那么就称为A 正规矩阵.
引理 若n 阶复矩阵A 为正规矩阵，那么存在酉矩阵U ，使得
1
1
n
U A U l l -骣琪琪=琪琪桫
O
，其中1,,n l l L 为A 的全部特征根.即A 酉相似于对角矩阵且
对角矩阵对角线上的元素为A 的全部特征根.
证明 用数学归纳法证明. 当1n =时，结论显然成立.
归纳假设结论对1n -成立，再证n 时结论成立.
事实上，设1l 为A 的一个特征根，取1a 为1l 相应的单位特征向量，令
()112,,,n U L a a a =为酉矩阵（即从1a 扩充为n C 的一组标准正交基12,,,n L a a a ）.则1
11
110U AU A D
l a
-骣琪==琪桫
，其中()2,,n c c L a =.由A 为正规矩阵，可得1A 也为正规矩阵，即1111T T A A A A =.
于是有111122n n
T T c c c c D D DD λλλλ?=+++??=??
L ，由此得20n c c L ===，即()2,,n c c L a ==0且D
为正规矩阵.从而有1
1
1
110
0U AU A D
l -骣琪==琪桫
.
由归纳假设，存在1n -阶酉矩阵g ，使得2
11
0n
A D l l g g l -骣琪骣琪琪==琪琪桫
琪
桫
O .再令
2100n n
U C g ′骣琪= 琪桫
，则2U 为酉矩阵. 令12U U U =，则U 为酉矩阵，且1
1n
U AU l l -骣琪
琪=琪琪桫
O
，其中1,,n l l L 为A 的
全部特征根，证毕.
现在我们来证明定理2.2.2成立.
事实上，因为A 为n 阶正交矩阵，所以A 的特征根模长为1且T T AA A A E ==，
即A 为正规矩阵.由引理知，存在酉矩阵U ，使得1
1n
U AU l l -骣琪
琪=琪琪桫
O
，其中
1,,n l l L 为A 的全部特征根且()11,2,,i i n l ==L .
3 应用举例
上文中，我们对正交矩阵的一些常用性质和正交矩阵的正交相似标准型进行了一定的了解和研究，为了对这些知识能够更好地掌握和理解，下面我们我们将列举一些具体的实例。
例1 如果A 为n 阶实对称矩阵，P 是n 阶正交矩阵，那么1P AP -也是实对称矩阵.
证明 因为()
()
()
11
11T
T
T
T T T
P AP P A P P A P P AP ----===.所以，
1P AP -也是实对称矩阵.
例2 设A 是正交矩阵，则存在正交矩阵B ，使得3A B =. 证明 由于A 是正交矩阵.
所以，由正交矩阵的正交相似标准型定理知，存在正交矩阵P ，使得：
11
-1
11
cos sin cos sin diag{,,,,}sin cos sin cos l l T
r s l l
P AP P AP E E q q q q q q q q 骣骣--琪琪==-琪琪桫
桫
L
其中：r 为正交矩阵A 的特征根1的个数,s 为正交矩阵A 的特 征根-1的个数,l 为正交矩阵A 的复特征根的个数.
令正交矩阵B ，使得：
1
1
-1
11
cos sin cos sin 3333diag{,,,,sin cos sin cos 3
3
3
3
l l
r s l l
P BP E E q q q q q q q q 骣骣琪琪--琪琪=-琪
琪
琪琪琪琪桫桫L . 则()
3
-1-1P BP
P AP =.所以3A B =.
例3 如果n 正交矩阵A 是上三角矩阵，那么A 是对角矩阵，且A 的主对角线元素为1或1-.
证明 设()ij A a =的列向量组是12,,,n αααL .由于()11,1αα=，因此111a =±.
由于()12,0αα=，()22,1αα=，因此22
111212220,1a a a a =+=.由此得出，12220,1a a ==±.由于()13,0αα=，()23,0αα=，()33,1αα=，
因此222111322231323330,0,1a a a a a a a ==++=。由此得出，1323330,0,1a a a ===±.依次下去，可得121,,1k k k k kk a a a a -====±L ，其中4,5,,k n =L .因此A 是主对角线元为1±的对角矩阵.
例4 证明不存在正交矩阵,A B ，使得22A AB B =+.
证明 用反证法.若存在n 阶正交矩阵,A B ，使得22A AB B =+. 则有()212,A A B B A B A B --=-=.
由于,A B 是正交矩阵，因而12,A B -都是正交矩阵，它们的积12A B -也是正交矩阵，此即A B -是正交矩阵.类似由②可证A B +是正交矩阵.所以
()
()2T
T T E A B A B E A B B A =++=++，()()2T
T T E A B A B E A B B A =--=--两式
相加，得24E E =.矛盾，即证结论成立.
例5 设A 是三阶正交矩阵并且1A =.求证： （1）1是A 的一个特征跟.
（2）A 的特征多项式()f l 可表示为()321f a a l l l l =-+-，其中a 是实数，且13a -＃.
（3）若A 的特征跟为实数并且0A E + ，则233T A A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.
证明 （1）3(1)T T E A AA A A A E A E E A E A -=-=-=-=--=-- 故0E A -=，1是A 的一个特征跟.
（2）因为A 是正交矩阵，故其特征根的模长为 1.设A 的所有特征跟为
123,,l l l ，由于1231A l l l ==，故可设123231,1,l l l l l ====，
所以23Re Re 1l l = ，即[]2Re 1,1l ?.
设A 的特征多项式为()32210f a a a l l l l =-+-，其中012,,a a a R ?.则由特征多项式的定义有：()0123112132321231,,a A a a Tr A l l l l l l l l l l l l ====+++==++. 于是我们有()[]2123212Re 1,3a Tr A l l l l ==++=+?，
2
11213232322212Re a a a l l l l l l l l l l D
=+++=++=+==. 则13a -＃且()321f a a l l l l =-+-.
（3）因为A 是三阶正交矩阵，所以A 的特征根的模为1.但是由已知条件知A 的特征根全为实数，所以A 的特征根只能为1或-1.而0A E + .故1l =-不是A 的特征根.所以1l =是A 的特征根，即1是A 的特征多项式()321f a a l l l l =-+-的根，代入得3
a =.所以
A 的特征多项式为()32331f l l l l =-+-，即
(
)
32233,3
3
A A A E O A A A E E -+-=-+=.所以
1233T A A A A E -==-+.
4 结束语
本文从正交矩阵出发，探讨了正交矩阵的一些常用而又重要的性质。同时我们还对正交矩阵的正交相似标准型进行了探讨给出了正交矩阵的标准型定理并且给出了正交相似标准型定理的推论。当然，正交矩阵在实际生活中也有着广泛的理论应用，例如在线性代数、拓扑、近世代数、化学以及物理中有重要的作用，这又有待于进一步的探论。
参考文献：
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正交矩阵的作用 引言 正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来讨论它的四点作用. 首先，我们来了解一下正交矩阵的定义. 一.正交矩阵的定义及性质 (一)正交矩阵的定义 定义1n阶实矩阵A，若满足A A E '=，则称A为正交矩阵. 定义2n阶实矩阵A，若满足AA E '=，则称A为正交矩阵. 定义3 n阶实矩阵A，若满足1 '=，则称A为正交矩 A A- 阵. 定义4n阶实矩阵A的n个行（列）向量是两两正交的单位向量，则称A为正交矩阵. 以上四个定义是等价定义. (二)正交矩阵的性质
设A 为正交矩阵，它有如下的主要性质. <1>∣A ∣=±1，A -1存在，并且A -1也为正交矩阵； <2>A ′，A *也是正交矩阵； 当∣A ∣=1时，* A A '= ，即ij ij a A =； 当∣A ∣=-1时,*A A '=-,即ij ij a A =-. <3>若B 也是正交矩阵，则11,,,,AB A B AB A B AB --''都为正交 矩阵. 证明 <1>显然 1A =± () 1 1 11 ()() A A A ----''== 所以1A -也是正交矩阵. <2>1 A A -'= ，显然A '为正交矩阵. 由 1A =±，* 1 A A A A -'== 当 1A =时，*A A '=，即ij ij a A = 当 1A =-时，*A A '=-，即ij ij a A =- 所以*A 为正交矩阵. <3>由1 A A -'= ，1B B -'= 可知 1 1 1 ()() AB B A B A AB ---'''=== 故A B 为正交矩阵.由<1>,<2>推知11,,,A B AB A B AB --''均为正交矩阵.
正交矩阵与酉矩阵的性质和应用 0 前言 (1) 1 欧式空间和正交矩阵 (2) 1.1 欧式空间 (2) 1.2 正交矩阵的定义和性质 (2) 1.2.1 正交矩阵的定义和判定 (2) 1.2.2 正交矩阵的性质 (3) 2正交变换的定义和性质 (12) 2.1正交变换定义的探讨 (12) 2.2正交变换的判定 (14) 2.3正交变换的性质 (15) 3正交矩阵的应用 (17) 3.1正交矩阵在线性代数中的应用 (17) 3.2利用正交矩阵化二次型为标准形 (22) 3.2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明 (22) 3.2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例 (23) 3.2.3利用正交矩阵化简直角坐标系下的二次曲面方程 (25) 3.3正交矩阵在矩阵分解中的作用 (26) 3.4正交矩阵在方程组的求解中的应用 (35) 4 酉空间和酉矩阵 (38) 4.1 酉空间 (38) 4.1.1 酉空间的定义 (38) 4.1.2 酉空间的重要结论 (38) 4.2 酉矩阵 (40) 4.2.1 酉矩阵的定义 (40) 4.2.2 酉矩阵的性质 (40) 5酉矩阵的应用 (48) 5.1酉矩阵在矩阵的分解中的应用 (48) 5.2 利用酉矩阵化正规矩阵为对角形矩阵 (54) 6 正交矩阵与酉矩阵 (57) 7结论 (60) 参考文献 (62) 致谢 (63)
0前言 正交矩阵是一类特殊的实方阵,酉矩阵是一类重要的复矩阵,它们的一些特殊性质,使得它在不同的领域都有着广泛的应用,也推动了其它学科的发展. 随着科学技术的迅速发展,特别是计算机的广泛应用,矩阵问题特别是特殊矩阵的性质及其构造越来越受到科学工作者以及工程人员的重视.它不仅局限于一个数学分支,而且许多理工方法和技术的发展就是矩阵理论的创造的应用与推广的结果. 在矩阵理论的研究中,正交矩阵与酉矩阵在线性代数、优化理论、计算方法等方法都占有重要的地位.戴立辉等(2002)对正交矩阵进行了详细的研究,得到了正交矩阵的若干性质；2005年,雷纪刚在《矩阵理论与应用》中给出了正交矩阵和酉矩阵的关系并证明了酉矩阵就是等距变换；2006年,苏育才在《矩阵理论》中介绍了酉矩阵的概念的推广和酉矩阵的一系列性质；2008年,吴险峰在《正交矩阵的进一步探究》中给出了正交矩阵和酉矩阵的一些性质定理,这些都为正交矩阵和酉矩阵的应用奠定了基础. 在矩阵理论中,经常利用矩阵来描述变换.在实空间中正交变换保持度量不变,而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵,所以对正交矩阵的研究就显得格外重要.同样道理,想要得到复空间中保持度量不变的线性变换,就应该对正交变换进行推广,将其推广到复数域上,那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域──酉矩阵.下面将通过矩阵理论的深入研究,对正交矩阵与酉矩阵进行比较,得到了酉矩阵的若干结果.
在矩阵理论中，经常利用矩阵来描述变换．在实空间中正交变换保持度量不变，而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵，所以对正交矩阵的研究就显得格外重要．同样道理，想要得到复空间中保持度量不变的线性变换，就应该对正交变换进行推广，将其推广到复数域上，那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域上就是酉矩阵．本文通过矩阵理论的研究，对正交矩阵与酉矩阵进行比较，得到了酉矩阵的若干结果． 正交矩阵是一类重要的实矩阵，由于它的一些特殊性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用，也推动了其它学科的发展．本文从矩阵理论的角度，探讨正交矩阵的常用性质以及正交矩阵在数学方面的一些应用。 以酉矩阵的定义为基础，对酉矩阵的性质等进行研究，通过对这些问题的研讨，为酉矩阵的构造奠定了基础.在实际应用方面，若要应用酉矩阵解决实际问题，快速地构造一个酉矩阵就显得及其重要. 本文对酉矩阵的性质及构造展开研究. 根据矩阵理论, 通过查阅图书、电子书库, 以及对以前的知识进行归纳总结, 深入理解, 进行深入的研究, 从而对酉矩阵有了新的认识, 总结一些结论. 在代数性质方面包括：酉矩阵的特征根、对角化、判断方法及酉矩阵的等价条件等. 在运算性质方面包括：酉矩阵的逆、转置矩阵、方幂、数乘、矩阵乘、伴随矩阵等是否仍为酉矩阵. 在酉矩阵的构造方面：以酉矩阵的定义为基础, 对酉矩阵的性质等进行研究, 通过对这些问题的探讨, 为酉矩阵的构造奠定了基础. 在实际应用方面, 若要应用酉矩阵解决实际问题, 快速地构造出一个酉矩阵就显得极其重要, 本文给出了构建酉矩阵的五种方法, 并对应相应的构造方法给出证明. 通过本文的研究对酉矩阵的构造有了进一步的认识.
关于实正交矩阵的某些性质 华东师范大学数学系04级基地班高等代数与解析几何04学年第二学期大作业 10041510134裘鹏翔 正交矩阵是实数域上一类十分特殊的矩阵，具有很多特殊的性质，经过一个学期来学习，也积累收集了不少正交矩阵的性质，罗列如下： 定义：满足的方阵称为正交矩阵（orthogonal matrix）。 n阶正交矩阵的集合记为。 本文摘要： 1正交矩阵与运算的关系 1.1和：正交矩阵的和不一定是正交矩阵； 1.2差：正交矩阵的差也不一定是正交矩阵； 1.3乘积：正交矩阵的乘积是正交矩阵； 1.4数乘：正交矩阵数乘后一般不是正交矩阵； 1.5直积：正交矩阵的直积还是正交矩阵； 1.6圈积：正交矩阵的圈积还是正交矩阵； 1.7转置：正交矩阵的转置还是正交矩阵； 1.8逆：正交矩阵的逆还是正交矩阵； 1.9伴随：矩阵的伴随矩阵是正交矩阵的充分必要条件是这个矩阵是正交矩阵；2正交矩阵的特征 2.1迹：迹小于阶数； 2.2特征值：实数域上,复数域上模为1； 2.3不定性：正交矩阵是不定矩阵； 2.4对角化：正交矩阵在对角化中的作用； 3正交矩阵与特殊矩阵的关系 3.1与数量矩阵：只有的数量矩阵和正交矩阵的乘积还是正交矩阵； 3.2与整系数矩阵：如果n阶正交矩阵是整系数矩阵（即），则它共有！ 种； 3.3与实可逆矩阵：分解为正交矩阵和三角矩阵； 与上（下）三角矩阵：每个实可逆矩阵的分解等等； 3.4与对角矩阵：特征值全是实数的对角化等等； 3.5与对称矩阵：特征值全是实数的正交矩阵是对称的等等； 3.6与反对称矩阵：可对角化情况下的典范型； 4正交矩阵的特殊构造 4.1整系数与非整系数实（反）对称正交矩阵； 5附录 :正规矩阵正交准对角化概述（纯矩阵的证明方法） 5.1定理１；上三角标准定理；
学号 20090501050227 密级 兰州城市学院本科毕业论文正交矩阵的性质及应用 学院名称：数学学院 专业名称：数学与应用数学 学生姓名：苏志升 指导教师：宋雪梅 二○一三年五月
BACHELOR’S DEGREE THESIS OF LANZHOU CITY UNIVERSITY Properties and Applications of Orthogonal Matrix College ：Mathematics College Subject ：Mathematics and Applied Mathematics Name ：Su Zhisheng Directed by ：S ong Xuemei May 2013
郑重声明 本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，所有数据、资料真实可靠。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。本学位论文的知识产权归属于培养单位。 本人签名：日期：
摘要 本文给出了正交矩阵的性质并列举了正交矩阵的多个性质。研究正交矩阵在空间坐标旋转中的作用。 关键词：正交矩阵；性质；标准正交基；特征多项式；应用
ABSTRACT Orthogonal matrix is made up of inner product lead. This paper illustrates several properties of orthogonal matrix and to give the proof. Study the role of orthogonal matrix in space coordinate rotation, and the matrix analysis of typical cases, and illustrates the application of matrix. Key words:orthogonal matrix; Rotation matrix; Orthonormal basis; Characteristic value; The application.
目录 摘要（关键词） (1) Abstract（Key words） (1) 1前言 (1) 2正交矩阵的性质 (1) 3正交矩阵的相关命题 (3) 4 正交矩阵的应用 (5) 4.1 正交矩阵在解析几何上的应用 (6) 4.2正交矩阵在拓扑学和近似代数中的应用 (7) 4.3 正交矩阵在物理学中的应用 (9) 5后记 (10) 参考文献 (10) 致谢 (11)
关于正交矩阵的性质及应用研究 摘要:正交矩阵是数学中一类特殊的矩阵，同时它还具有一些非常特殊的性质和广泛的应用.目前也有很多关于正交矩阵文献，但是其中大部分都是研究关于正交矩阵性质，而关于正交矩阵的应用很少提及.本文的主要任务就是利用正交矩阵的定义，并以矩阵性质，行列式性质为主要工具，归纳正交矩阵的性质，并探讨正交矩阵在解析几何、拓扑学、近似代数及物理学上的应用. 关键词:正交矩阵；行列式；性质；应用 Abstract: Orthogonal matrix is a kind of special matrix in mathematics. Meanwhile, it also has some very special properties and it is widely used. At present, there are many literatures about orthogonal matrix, but most of them are about the properties of orthogonal matrix. However, the application of orthogonal matrix is seldom mentioned. The main task of this paper is to induce the properties of orthogonal matrix and explore the applications of it in analytic geometry, topology, approximate algebra and physics by using the definition of orthogonal matrix and utilizing the properties of matrix and determinant as the main tool. Key words: Orthogonal matrix; determinant; property; application 1前言 我们在讨论标准正交基的求法后，由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，从而讨论一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式。那么由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是什么样的，它有什么性质呢？ 我们由上面的问题引出了关于正交矩阵的定义。正交矩阵是一种特殊的矩阵，因此对于正交矩阵的性质及分类的探讨具有非常重要的意义。而这篇文章就是针对正交矩阵所具有的一系列性质，以及正交矩阵在数学领域，结构化学基础及力学领域的一系列应用。 2正交矩阵的性质 本文在探讨正交矩阵的性质时除特殊强调外都是指数域P 上的矩阵，用n n P ?表示数域P 上n 阶方阵的集合，用E 表示单位矩阵，用A 、1-A 、*A 、'A 分别表示矩阵A 的行列式、逆矩阵（当A 可逆时）、伴随矩阵、转置矩阵. 定义2.1 n 阶实矩阵A ，若有 E A A =' ，则称A 为正交矩阵. 等价定义1: n 阶实矩阵A ，若有 E A A ='，则称A 为正交矩阵； 等价定义2: n 阶实矩阵A ，若有 1-='A A ，则称A 为正交矩阵； 等价定义3: n 阶实矩阵A 的n 个行（列）向量是两两正交的单位向量 ，则称A 为正交矩阵. 性质2.1 A 为正交矩阵，则其行列式的值为1或1-. 证明： 由正交矩阵的定义知,E A A =' 两边同取行列式，得1=='E A A ，又由于 A A ='，则12 =A ， 即1±=A 性质2.2 A 为正交矩阵，A 的任一行(列)乘以1-得到的矩阵仍为正交矩阵. 证明： 设()n j i A ββββ ,,,,1=，其中n j i ββββ,,,,,,1 是A 的单位正交向量组.显然()n j i ββββ,,,,,,1 -也是A 的单位正交矩阵，则由正交矩阵的等价定义3知成立. 性质2.3 A 为正交矩阵,A 的任两行(列)互换得到的矩阵仍为正交矩阵.
正交矩阵与正交变换的性质及应用 程祥 河南大学数学与信息科学学院 开封 475004 摘要 矩阵是数学中的重要概念，是代数学重要研究对象之一，也是数学与其他领域研究与应用的一个重要工具，而正交矩阵作为一类特殊且常用的矩阵，在矩阵论中占有重要地位，且应用非常广泛，因此对正交矩阵的探讨具有十分重要的意义.本文主要对正交矩阵的性质及结论进行归纳总结，并对相关性质进行推广. 关键词:正交矩阵;正交变换;性质 1.1 正交矩阵的的定义及其判定 定义1 n 阶实矩阵A , 若满足E A A =', 则称A 为正交矩阵. 性质1 A 为正交矩阵1'-=?A A . 性质2 A 为正交矩阵?'1,,,1,2,,0,, i j i j i j n i j αα=?==? ≠? .的列向量为A i α. 性质 3 A 为正交矩阵?' 1,,1,2,...0,, i j i j i j n i j ββ=?===?≠?.的行向量为A i β. 1.2 正交矩阵的性质 性质1]3[ 若A 为正交矩阵则*'1,,A A A -均为正交矩阵. 证明 有E A A A A E A A A A ====---1''11''''')()(,)()(, E A A A A ==* ' ' * * )()(, 可得 * ' 1 ,,A A A -均为正交矩阵. 性质2 若A 为正交矩阵则11)det(-=或A 证明 对E A A ='两边同取行列式,
可得 1))(det(2 =A , 故 11)det(-=或A . 性质3]4[ 若B A ,为正交矩阵，则AB 也为正交矩阵. 证明 有E AA A ABB AB AB ===''''))((, 可得 AB 为正交矩阵. 性质4 正交矩阵的特征值的模为1. 证明 设A 为正交矩阵，复数λ为其任一特征值X 为其对应的特 征向量，即X AX λ=，0≠X 两边取转置 ' ' ' X A X λ=， 由此得 X X AX A X λλ' ' ' =, 有E A A ='可得 X X X X ' 2 ' λ=, 从而1=λ. 性质5 正交矩阵的实特征值为1±. 性质6]5[ 行列式为1的奇数阶正交矩阵必有特征值1. 证明 设A 为n 阶正交矩阵且1)det(=A ，n 为奇数 则 ' ' ' ) ()1()1(A E A E A A A A E n n --=--=-=- A E n --=)1(A E --=, 故
第一章 欧式空间和正交矩阵 欧氏空间和酉空间 1.向量空间中向量的内积、长度、夹角的定义及性质,规范正交基,Schmidt 正交化方法； 2.正交变换与正交矩阵的定义和性质； 3.对称变换与实对称矩阵，实对称矩阵的正交相似对角化； 4.酉空间的定义及其基本性质，酉变换和酉矩阵. &1 欧式空间 定义： 设V 是实数域上一个线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积,记作),(βα，它具有以下性质: 1) (,)(,)αββα=; 2) ),(),(βαβαk k =; 3) ),(),(),(γβγαγβα+=+; 4) ),(αα是非负实数,且),(αα当且仅当0=α 这里,,αβγ是V 中任意的向量, k 是任意实数,这样的线性空间称为欧式空间. &2 正交矩阵的定义和性质 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基 2.1 正交矩阵有以下几种等价定义及其判定： 定义1 A 为n 阶实矩阵,若A A E '=,则称A 为正交矩阵. 定义2 A 为n 阶实矩阵,若AA E '=,则称A 为正交矩阵. 定义3 A 为n 阶实矩阵,若1 A A -'=,则称A 为正交矩阵. 定义4 A 为n 阶实矩阵，若A 的n 个行（列）向量是两两正交的单位向 量，则称A 为正交矩阵. 判定1 A 为正交矩阵1'-=?A A .
判定2 A 为正交矩阵?'1,, ,1,2,,0,,i j i j i j n i j αα=?==?≠? . 判定3 A 为正交矩阵?'1,, 1,2,...0,,i j i j i j n i j ββ=?===?≠? 2.2 正交矩阵的性质 性质1 设为A 正交矩阵，则 )11A =±； )2A 可逆，即1A -存在，其逆1A -也是正交矩阵； )3A '，*A 也是正交矩阵. 并且当A 为(2)n n >阶正交矩阵时, 当1A =时, *A A '=, 即ij ij a A =; 当1A =-时， *A A '=-, 即ij ij a A =- 证：)1由AA E '=，可知2 1A =，或者1A =±. 对正交矩阵A ， 当1A =时，我们称A 为第一类正交矩阵； 当1A =时，则称A 为第二类正交矩阵. )2由AA E '=,可知A 可逆,且1A A -'=,又 ()()() 1 1 1A A A A E ---'''==== 故1 A -是正交矩阵. )3由)2知1A A -'=,A '是正交矩阵. 而*11A A A A --==±,有 ()()()1 * 1*A A A A --''=±=±=, 故* A 是正交矩阵.
正交矩阵的性质及其正交相似标准型 数学学院数学与应用数学（师范）专业2008级张亮 指导教师刘学文 摘要：正交矩阵作为一种特殊的矩阵，在整个矩阵理论中具有十分重要的作用。正交矩阵的正交相似标准型在欧几里得空间、正交变换及正交矩阵的有关分解问题中都有很重要的地位。一方面，它是实对称矩阵的正交相似标准型的自然联想；另一方面，它在欧几里得空间中的地位相当于对称矩阵在二次型中的地位。本文利用正交矩阵、旋转、正交相似等相关概念，对正交矩阵的一些常用的性质以及正交矩阵的正交相似标准型进行研究和整理。 关键词：正交矩阵；正交相似；正交相似标准型；特征向量 Abstract: Orthogonal matrix as a special matrix, a very important role in the entire matrix theory. Orthogonal matrix orthogonal similar standard in the Euclidean space, orthogonal transformation and orthogonal matrix decomposition problem has a very important position. On the one hand, it is a real symmetric matrix orthogonal similar to the standard natural association; the other hand, it's position in the Euclidean space is equivalent to a symmetric matrix in the quadratic. In this paper, orthogonal matrix, rotation, and orthogonal similarity related concepts, conduct research and organize some common nature of the orthogonal matrix and orthogonal matrix orthogonal similar standard. Keywords:Orthogonal matrix; Orthogonal similarity;；Orthogonal similar standard; eigenvectors 正交矩阵作为一种特殊的矩阵，在整个矩阵理论体系中具有十分重要的地位和作用。在我们教材中，正交矩阵是在研究欧几里得空间时提出的，它是刻划欧几里得空间中标准正交基与标准正交基间的过渡矩阵，同时它在实对称矩阵的标准型定理中起到了很重要的作用。正交矩阵是矩阵论中比较重要的概念，它在数
在探讨性质之前，先得了解正交矩阵的出处，正交矩阵来自于正交变换的定义：设A 是欧几里得空间的线性变换，如果A保持内积，也就是说，对任意的，有A A ＝。 正交变换是保内积的，也即保长度和夹角，则变换前后的图形全等。 ●定义一：正交变换关于规范正交基的矩阵称为正交矩阵。 根据规范正交基的性质，我们可证得：矩阵是正交变换A关于规范正交基得矩阵得充分必要条件是。 由此可得： ●定义二：满足的方阵为正交矩阵。 现在探讨正交矩阵的性质： 一、正交矩阵与矩阵运算的关系： 设，即有。 1)正交矩阵的和：令 则， 不是正交矩阵。 2)正交矩阵的积： ∴为正交矩阵。 3)正交矩阵的逆和转置：由, 故均为正交矩阵。 4)正交矩阵的伴随: ， ， ∴ 为正交矩阵。 二、正交矩阵的特征： 行列式：由。 其中行列式等于的称为第一类正交变换，行列式等于的称为第二类正交变换。 正交变换的特征值：欧几里得空间里正交变换的特征值为，证明如下： 设A( )＝，则(A( ),A( )) 且奇数维欧几里得空间的第一类正交变换，必以为特征值，偶数维欧几里得空间的第二类正交变换，必以为特征值。 正交矩阵显然是可逆的。 三、正交矩阵与特殊矩阵的关系：
特征值全是实数的的正交矩阵必是对称矩阵。证明如下： 设是阶正交矩阵，且其特征值都是实数。那么就可以看作是某个欧几里得空间上的正交变换A关于某个规范正交基的矩阵。设是的任一特征值，是相应的特征向量。令。则是A的不变子空间：任取，则。所以A＝( A＝(A A)＝( )=0。因A是正交变换，所以特征值是非零实数，从而A＝0，即是A不变的。 A 仍是正交变换，且A 的特征值就是A的特征值，因此其特征值也都是实数。对A 重复上述步骤的话，就能得到A的个实特征值以及相对应的个两两正交的特征向量。将单位化即得得一个新的规范正交基。而A在这一基下的矩阵实对角阵。设是从旧的规范正交基到新的规范正交基的过渡矩阵， 则。 由于也是正交矩阵，所以是对称矩阵。 任意阶实可逆方阵均可分解为，其中是正交矩阵，是下三角矩阵。 只要利用规范正交化的方法就能证得。事实上，规范正交化得到的基相对原来的基的基变换矩阵即为三角矩阵。 对任意实对称矩阵，一定存在正交矩阵，使得是一个对角矩阵。这是书上的定理4.5。由此还有：若为阶实可逆方阵，也存在正交矩阵，使，且。