(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析考点汇编☆圆与圆的位置关系
一、选择题
1.（2011盐城，5，3分）若⊙O1、⊙O2的半径分别为4和6，圆心距O1O2=8，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）
A.内切
B.相交
C.外切
D.外离
考点：圆与圆的位置关系.
分析：根据两圆位置关系与数量关系间的联系即可求解．注意相交，则R﹣r＜P＜R+r；（P 表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
解答：解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别为4和6，圆心距O1O2=8，又∵6﹣4=2，6+4=10，∴6﹣4＜8＜6+4，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交．故选B．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握圆与圆的位置关系与数量关系间的联系是解此题的关键．
2.（2011江苏扬州，4，3分）已知相交两圆的半径分别在4和7，则它们的圆心距可能是（）
A.2
B. 3
C. 6
D. 11
考点：圆与圆的位置关系。
分析：根据两圆半径；再根据两圆位置关系与数量关系间的联系即可求解．外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P=R﹣r；内含，则P＜R﹣r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径），得出符合要求的答案即可．
解答：解：根据题意，得R=7，r=4，
∴R+r=11，R﹣r=3，
∴相交两圆的圆心距为：R﹣r＜d＜R+r，即3＜d＜11，
∴它们的圆心距可能是6．
故选C．
点评：此题主要考查了圆与圆的位置关系，圆与圆的位置关系与数量关系间的联系是中考热点，需重点掌握．
3.（2011?宁夏，6，3分）已知⊙O1、⊙O2的半径分别是r1=3、r2=5．若两圆相切，则圆心距O1O2的值是（）
A、2或4
B、6或8
C、2或8
D、4或6
考点：圆与圆的位置关系。
分析：由两圆相切，可知两圆内切或外切，又由⊙O1、⊙O2的半径分别是r1=3、r2=5．，则根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系，即可求得圆心距O1O2的值．
解答：解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是r1=3、r2=5．
∴若两圆内切，则圆心距O1O2的值是：5﹣3=2，
若两圆外切，则圆心距O1O2的值是：3+5=8．
∴圆心距O1O2的值是：2或8．
故选C．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
4.（2011陕西，7，3分）同一平面内的两个圆，他们的半径分别为2和3，圆心距为d．当
5 1< A．外离B．相交C．内切或外切D．内含 考点：圆与圆的位置关系。 专题：数形结合。 分析：根据两圆位置关系与数量关系间的联系即可求解．注意相交，则R﹣r＜d＜R+r（d 表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）． 解答：解：∵他们的半径分别为2和3，圆心距为d，当1＜d＜5时，∴两圆的位置关系是相交． 故选B． 点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是抓住两圆位置关系与数量关系间的联系：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d=R﹣r；内含，则d＜R﹣r．（d表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）． 5.（2011?台湾25，4分）若有两圆相交于两点，且圆心距离为13公分，则下列哪一选项中的长度可能为此两圆的半径（） A、25公分，40公分 B、20公分，30公分 C、1公分，10公分 D、5公分，7公分 考点：圆与圆的位置关系。 专题：计算题。 分析：首先根据题意知，两圆相交，可知两圆圆心距大于两圆半径之差，小于两圆半径之和，结合选项得出正确答案． 解答：解：设两圆半径分别为R和r，圆心距为d， ∵两圆相交与两点， ∴R﹣r＜d＜R+r， ∵d=13， ∴根据选项知，半径为20公分和30公分的两圆符合条件， 故选B． 点评：本题主要考查圆与圆的位置关系的知识点，解答本题的关键是根据圆心距和两圆半径之间的关系进行着手解答，本题比较简单． 6.（2011台湾，25，4分）如图，圆A．圆B的半径分别为4．2，且错误!未找到引用源。＝12．若作一圆C使得三圆的圆心在同一直在线，且圆C与圆A外切，圆C与圆B相交于两点，则下列何者可能是圆C的半径长（） A．3 B．4 C．5 D．6 考点：圆与圆的位置关系。 专题：计算题。 分析：首先找到一个圆和圆A和圆B都外切，求出该圆的半径，然后再找到圆C和圆A外切和圆B相内切时，圆C半径的取值． 解答：解：当圆C和两圆都外切时， 根据题意我们可知圆C的半径r＝3， 当圆C和圆A外切和圆B相内切时， 圆C的半径r＝5， 故圆C与圆A外切，圆C与圆B相交于两点， 圆C的半径取值范围为3＜r＜5， 故选B． 点评：本题主要考查圆与圆的位置关系的知识点，解答本题的关键是根据圆心距和两圆半径之间的关系进行着手解答，本题比较简单． 7.（2011天津，6，3分）已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和4cm，若O1O2=7cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（） A、相交 B、相离 C、内切 D、外切 考点：圆与圆的位置关系。 专题：数形结合。 分析：根据⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和4cm，得出R+r=7，再根据O1O2=7cm，得出⊙O1与⊙O2的位置关系． 解答：解：根据⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和4cm， 得出R+r=7， ∵O1O2=7cm， ∴得出⊙O1与⊙O2的位置关系是：外切． 故选：D． 点评：此题主要考查了圆与圆的位置关系，根据R+r=O1O2=7cm，得出⊙O1与⊙O2的位置关系是解决问题的关键． 8.（2011重庆市，7，4分）已知⊙O 1与⊙O 2 外切，⊙O 1 的半径R=5cm, ⊙O 2 的半径r=1cm， 则⊙O 1与⊙O 2 的圆心距是 A．1cm B ．4cm C．5cm D．6cm 考点：圆与圆的位置关系． 分析：根据两圆位置关系与数量关系间的联系即可求解．外切，则P=R+r（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）． 答案：解：∵⊙O1与⊙O2外切，⊙O1的半径R=5cm，⊙O2的半径r=1cm， ∴⊙O1与⊙O2的圆心距是：5+1=6（cm）． 故选D． 点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意圆与圆的位置关系与数量关系间的联系．此类题为中考热点，需重点掌握． 9.（2011?河池）如图，A（1，0）、B（7，0），⊙A、⊙B的半径分别为1和2，将⊙A沿x 轴向右平移3个单位，则此时该圆与⊙B的位置关系是（） A、外切 B、相交 C、内含 D、外离 考点：圆与圆的位置关系；坐标与图形性质。 专题：数形结合。 分析：先得出将⊙A沿x轴向右平移3个单位后，⊙A、⊙B的圆心距，再根据判断两圆位置关系的方法求解． 解答：解：∵A（1，0）、B（7，0），⊙A、⊙B的半径分别为1和2， ∴⊙A、⊙B的圆心距为6， ∴⊙A沿x轴向右平移3个单位后，⊙A、⊙B的圆心距为3， ∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知两圆的位置关系是外切． 故选A． 点评：本题考查了圆与圆的位置关系和坐标与图形性质．两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d=R ﹣r；内含，则d＜R﹣r． 10.（2011?贺州）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2和5，如果两圆的位置关系为外离，那么圆心距O1O2的取值范围在数轴上表示正确的是（） A、B、 C、D、 考点：圆与圆的位置关系；在数轴上表示不等式的解集。 分析：设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r，从而得到圆心距O1O2的取值范围，再结合数轴选择正确的答案即可． 解答：解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为2和5，且两圆的位置关系为外离， ∴圆心距O1O2的取值范围为d＞2+5，即d＞7． 故选C． 点评：本题考查了圆与圆的位置关系和在数轴上表示不等式的解集等知识．注意由两圆位置关系来判断半径和圆心距之间数量关系是解题的关键． 11.（2011?郴州）已知⊙O1与⊙O2外切．半径分别是R和r，圆心距O1O2=5，R和r的值是（） A、R=4，r=2 B、R=3，r=2 C、R=4，r=3 D、R=3，r=1 考点：圆与圆的位置关系。 分析：由⊙O1与⊙O2外切．半径分别是R和r，圆心距O1O2=5，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系，即可求得R+r=5，继而求得答案． 解答：解：∵⊙O1与⊙O2外切．半径分别是R和r，圆心距O1O2=5， ∴R+r=5， ∵2+4=6，故A错误； ∵3+2=5，故B正确； ∵4+3=7，故C错误； ∵3+1=4，故D错误． 故选B． 点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系． 12.（2010?长沙）已知⊙O1、⊙O2的半径分别是r1=2、r2=4，若两圆相交，则圆心距O1O2可能取的值是（） A、2 B、4 C、6 D、8 考点：圆与圆的位置关系。 分析：本题直接告诉了两圆的半径及两圆相交，求圆心距范围内的可能取值，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．相交，则R﹣r＜P＜R+r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）． 解答：解：两圆半径差为2，半径和为6， 两圆相交时，圆心距大于两圆半径差，且小于两圆半径和， 所以，2＜O1O2＜6．符合条件的数只有B．故选B． 点评：本题考查了由数量关系及两圆位置关系确定圆心距范围内的数的方法． 13.（2011山东青岛，3，3分）已知⊙O1与⊙O2的直径分别是4cm和6cm，O1O2=5cm，则两圆的位置关系是（） A．外离B．外切C．相交D．内切 考点：圆与圆的位置关系。 分析：由⊙O1与⊙O2的直径分别是4cm和6cm，，即可求得⊙O1与⊙O2的半径，又由O1O2=5cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系． 解答：解：∵⊙O1与⊙O2的直径分别是4cm和6cm， ∴⊙O1与⊙O2的半径分别是2cm和3cm， ∵O1O2=5cm，2+3=5， ∴两圆的位置关系是外切． 故选B． 点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系． 14.（2011山东省潍坊，9，3分）如图．半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且 始终与大圆相切．则小圆扫过的阴影部分的面积为( )． A．I7π B．32π C．49π D．80π 【考点】圆与圆的位置关系． 【专题】几何图形问题． 【分析】由半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切，即可求得空白处的圆的半径，即可求得阴影部分的面积． 【解答】解：∵半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切， ∴OB=9，AB=2， ∴OA=7， ∴小圆扫过的阴影部分的面积为：81π-49π=32π． 故选B． 【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意求得空白处的圆的半径是解此题的关键．15.（2011山东淄博11，4分）如图，矩形ABCD中，AB=4，以点B为圆心，BA为半径画弧交BC于点E，以点O为圆心的⊙O与弧AE，边AD，DC都相切．把扇形BAE作一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆恰好是⊙O，则AD的长为（） A.4 B.9 2 错误!未找到引用源。 C. 11 2 错误!未找到引用源。 D.5 考点：圆锥的计算；相切两圆的性质。 分析：首先求得弧AE的长，然后利用弧AE的长正好等于圆的底面周长，求得⊙O的半径，则BE的长加上半径即为AD的长． 解答：解：∵AB=4，∠B=90°， ∴?9042 180 AE π π ? ==， ∵圆锥的底面圆恰好是⊙O，∴⊙O的周长为2π， ∴⊙O的半径为1 2 错误!未找到引用源。， ∴AD=BC=BE+EC=4+错误!未找到引用源。1 2 = 9 2 错误!未找到引用源。， 故选B． 点评：本题考查了圆锥的计算及相切两圆的性质，解题的关键是熟记弧长的计算公式 16.（2011四川达州，7，3分）如图，国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成，在这个图案中反映出的两圆位置关系有（） A、内切、相交 B、外离、相交 C、外切、外离 D、外离、内切 考点：圆与圆的位置关系。 分析：根据圆与圆关系的定义，两个圆与圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时叫做这两个圆外离；两个圆有两个公共点时叫做这两个圆相交．所以在这个图案中反映出的两圆位置关系有外离和相交． 解答：解：在这个图案中反映出的两圆位置关系有两种外离和相交．故选B． 点评：本题可直接由图案得出圆与圆的位置关系，比较容易． 17.（2011?湖南张家界，7，3）已知两圆相外切，连心线长度是10厘米，其中一圆的半径为6厘米，则另一圆的半径是（） A、16厘米 B、10厘米 C、6厘米 D、4厘米 考点：圆与圆的位置关系。 分析：由两圆相外切，连心线长度是10厘米，其中一圆的半径为6厘米，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可求得另一圆的半径． 解答：解：∵两圆相外切，连心线长度是10厘米，其中一圆的半径为6厘米， ∴10﹣6=4（厘米）， ∴另一圆的半径是4厘米． 故选D． 点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r 的数量关系间的联系是解此题的关键． 18.（2011?包头，5，3分）已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的位置关系是（） A、相交 B、外切 C、外离 D、内含 考点：圆与圆的位置关系。 分析：由两圆的直径分别是2厘米与4厘米，求得两圆的半径分别是1厘米与2厘米，然后由圆心距是3厘米，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系． 解答：解：∵两圆的直径分别是2厘米与4厘米， ∴两圆的半径分别是1厘米与2厘米， ∵圆心距是3厘米，1+2=3， ∴这两个圆的位置关系是外切． 故选B ． 点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d ，两圆半径R ，r 的数量关系间的联系是解此题的关键． 19. (2011襄阳，9，3分)在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ．若⊙A ，⊙B 的半径分别为1cm ，4cm ，则⊙A 与⊙B 的位置关系是( ) A ．外切 B ．内切 C ．相交 D ．外离 考点：圆与圆的位置关系；勾股定理。 专题：数形结合。 分析：由∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，根据勾股定理，即可求得AB 的长，然后根据圆与圆的位置关系判断条件，确定两圆之间的位置关系． 解答：解：∵∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ， ∴AB ＝ 22BC AC 错误!未找到引用源。＝5cm ， ∵⊙A ，⊙B 的半径分别为1cm ，4cm ， 又∵1＋4＝5， ∴⊙A 与⊙B 的位置关系是外切． 故选A ． 点评：此题考查了圆与圆的位置关系与勾股定理逆定理的应用．注意外离，则P ＞R ＋r ；外切，则P ＝R ＋r ；相交，则R －r ＜P ＜R ＋r ；内切，则P ＝R －r ；内含，则P ＜R －r ．(P 表示圆心距，R ，r 分别表示两圆的半径)． 20. （2010福建泉州，5，3分）若⊙O 1的半径为3，⊙O 2的半径为1，且O 1O 2=4，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（ ） A ．内含 B ．内切 C ．相交 D ．外切 考点圆与圆的位置关系 分析根据数量关系来判断两圆的位置关系：（P 表示圆心距，R ，r 分别表示两圆的半径）外离，则P ＞R +r ；外切，则P =R +r ；相交，则R ﹣r ＜P ＜R +r ；内切，则P =R ﹣r ；内含，则P ＜R ﹣r ． 解答解：根据题意，得R +r =4，即R +r =P =4，∴两圆外切．故选D ． 点评本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R 和r ，且R ≥r ，圆心距为P ：外离P ＞R +r ；外切P =R +r ；相交R ﹣r ＜P ＜R +r ；内切P =R ﹣r ；内含P ＜R ﹣r ，难度适中． 21. （2011福建厦门，6，3分）已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别为5和2，O 1O 2=3，则⊙O 1 与⊙O2的位置关系为（） A、外离 B、外切 C、相交 D、内切 考点：圆与圆的位置关系。 分析：由⊙O1、⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系． 解答：解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3， 又∵5﹣2=3， ∴⊙O1与⊙O2的位置关系为内切． 故选D． 点评：此题考查了圆与圆的位置关系．此题那比较简单，解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系． 22.（2011甘肃兰州，13，4分）现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形. 其中真命题的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 考点：命题与定理；菱形的性质；矩形的判定；圆与圆的位置关系；位似变换． 分析：根据真命题的定义逐个进行判断即可得出结果．解答：解：①无公共点的两圆有可能外离，也有可能内含，故本选项错误；②位似三角形是相似三角形，正确；③菱形的面积等于两条对角线的积的一半，故本选项错误；④对角线相等的四边形是矩形，等腰梯形也可以，故本选项错误，∴真命题的个数是1．故选A． 点评：本题主要考查了外离圆定义、相似三角形性质、菱形面积公式、矩形的性质，比较综合，难度适中． 23.（2011天水，3，4）如果两圆的半径分别为2和1，圆心距为3，那么能反映这两圆位置关系的图是（） A、B、 C、D、 考点：圆与圆的位置关系。 分析：由两圆的半径分别为2和1，圆心距为3，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系得出两圆位置关系是外切，则可求得答案． 解答：解：∵两圆的半径分别为2和1，圆心距为3， 又∵2+1=3， ∴这两圆位置关系外切． 故选B． 点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两 圆半径R ，r 的数量关系间的联系． 24. （2011广东省茂名，7，3分）如图，⊙O 1、⊙O 2相内切于点A ，其半径分别是8和4，将⊙O 2沿直线O 1O 2平移至两圆相外切时，则点O 2移动的长度是（ ） A 、4 B 、8 C 、16 D 、8或16 考点：圆与圆的位置关系；平移的性质。 分析：由题意可知点O 2可能向右移，此时移动的距离为⊙O 2的直径长；如果向左移，则此时移动的距离为⊙O 1的直径长． 解答：解：∵⊙O 1、⊙O 2相内切于点A ，其半径分别是8和4， 如果向右移：则点O 2移动的长度是4×2=8， 如果向左移：则点O 2移动的长度是8×2=16． ∴点O 2移动的长度8或16． 故选D ． 点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意此题需要分类讨论，小心不要漏解． 25. （2011?铜仁地区6,3分）已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别为6cm 、11cm ，当两圆相切时，其圆心距d 的值为（ ） A 、0cm B 、5cm C 、17cm D 、5cm 或17cm 考点：圆与圆的位置关系。 分析：由⊙O 1与⊙O 2的半径分别为6cm 、11cm ，分别从两圆外切与两圆内切去分析求解即可求得答案，注意别漏解． 解答：解：∵⊙O 1与⊙O 2的半径分别为6cm 、11cm ， 当两圆外切时，圆心距d=6+11=17（cm ）； 当两圆内切时，圆心距d=11﹣6=5（cm ）． ∴圆心距d 的值为5cm 或17cm ． 故选D ． 点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意两圆位置关系与圆心距d ，两圆半径R ，r 的数量关系间的联系． 26.2011广西来宾，4，3分）已知⊙1o 和⊙2o 的半径分别是4和5，且1o 2o =8，则这两个圆的位置关系是（ ） A 外离 .B.外切 C.相交 D.内含 考点：圆与圆的位置关系。 分析：由⊙O 1和⊙O 2的半径分别是4和5，且O 1O 2=8，根据两圆位置关系与圆心距d ，两圆半径R ，r 的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系． 解答：解：∵⊙O 1和⊙O 2的半径分别是4和5，且O 1O 2=8， 又∵5﹣4=1，4+5=9，1＜8＜9， ∴这两个圆的位置关系是相交． 故选C． 点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r 的数量关系间的联系是解此题的关键． 27.（2011丽江市中考，15,3分）如图，已知⊙B与△ABD的边AD相切于点C，AC=4， ⊙B的半径为3，当⊙A与⊙B相切时，⊙A的半径是（） A、2 B、7 C、2或5 D、2或8 考点：圆与圆的位置关系；勾股定理。 专题：分类讨论。 分析：根据切线的性质可以求得BC的长，然后根据相切两圆的两种情况分类讨论即可．解答：解：∵⊙B与△ABD的边AD相切于点C，AC=4， ∴BC=3，AB=5， ∵⊙A与⊙B相切， ∴当两圆外切时，⊙A的半径=5﹣3=2， 当两圆内切时，⊙A的半径=5+3=8． 故选D． 点评：本题考查了两圆之间的位置关系及勾股定理的知识，解题的关键是分类讨论，小心将另外一种情况漏掉． 28.（2011浙江嘉兴，5，3分）两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（） A．两个外离的圆B．两个外切的圆C．两个相交的圆D．两个内切的圆 考点：圆与圆的位置关系；简单组合体的三视图． 专题：计算题． 分析：由于两球都与水平线相切，故几何体的左视图相内切的两圆． 解答：解：观察图形可知，两球都与水平线相切，所以，几何体的左视图为相内切的两圆，故选D． 点评：本题考查了三视图，圆与圆的位置关系的运用．关键是分析图形，得出两球都与水平线相切，判断其左视图中两圆的位置关系． 29.（2011浙江台州，8，4分）如图是一个组合烟花的横截面，其中16个圆的半径相同，点A．B．C．D分别是四个角上的圆的圆心，且四边形ABCD为正方形．若圆的半径为r，组合烟花的高为h，则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要（接缝面积不计）（） A．26πrh B．24rh+πrh C．12rh+2πrh D．24rh+2πrh 考点：相切两圆的性质；扇形面积的计算． 专题：计算题． 分析：截面的周长等于12个圆的直径和班级为r的圆的周长的和，用周长乘以组合烟花的高即可． 解答：解：由图形知，正方形ABCD的边长为6r，∴其周长为4×6r=24r，∴截面的周长为：24r+2πr， ∴组合烟花的侧面包装纸的面积为：（24r+2πr）h=24rh+2πrh．故选D． 点评：本题考查了相切两圆的性质及扇形的面积的计算，解题的关键是判断组合烟花的截面周长的算法． 30.已知线段AB=7cm，现以点A为圆心，2cm为半径画⊙A；再以点B为圆心，3cm为半径画⊙B，则⊙A和⊙B的位置关系（） A、内含 B、相交 C、外切 D、外离 【答案】D 【考点】圆与圆的位置关系． 【专题】几何题． 【分析】针对两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系得出两圆位置关系． 【解答】解：依题意，线段AB=7cm，现以点A为圆心，2cm为半径画⊙A；再以点B为圆心，3cm为半径画⊙B，∴R+r=3+2=5，d=7，所以两圆外离．故选D． 【点评】此题主要考查了圆与圆的位置关系，圆与圆的位置关系与数量关系间的联系．此类题为中考热点，需重点掌握． 31.（2011浙江舟山，5，3分）两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（） A．两个外离的圆B．两个外切的圆 C．两个相交的圆D．两个内切的圆 考点：圆与圆的位置关系；简单组合体的三视图。 专题：计算题。 分析：由于两球都与水平线相切，故几何体的左视图相内切的两圆． 解答：解：观察图形可知，两球都与水平线相切， 所以，几何体的左视图为相内切的两圆， 故选D． 点评：本题考查了三视图，圆与圆的位置关系的运用．关键是分析图形，得出两球都与水平线相切，判断其左视图中两圆的位置关系． 二、填空题 1.（2011浙江绍兴，16，5分）如图，相距2cm的两个点A、B在直线l上．它们分别以2cm/s和1cm/s的速度在l上同时向右平移，当点A，B分别平移到点A1，B1的位置时，半径为1cm的⊙A1，与半径为BB1的⊙B相切．则点A平移到点A1，所用的时间为错误!未找到引用源。或3s． 考点：圆与圆的位置关系。 专题：数形结合；分类讨论。 分析：首先设点A平移到点A1，所用的时间为ts，根据题意求得AB=2cm，AA1=2tcm， A1B=1cm，BB1=tcm，再分别从内切与外切四种情况分析求解，即可求得答案． 解答：解：设点A平移到点A1，所用的时间为ts， 根据题意得：AB=2cm，AA1=2tcm，A1B=1cm，BB1=tcm， 如图，此时外切：2t+1+t=2， ∴t=错误!未找到引用源。； 如图，此时内切：2t+t﹣1=2， ∴t=1，此时两圆重合，舍去； 如图， 此时内切：2t﹣t+1=2， ∴t=1，此时两圆重合，舍去； 如图： 此时外切：2t﹣t﹣1=2，∴t=3． ∴点A平移到点A1，所用的时间为错误!未找到引用源。或3s． 故答案为：错误!未找到引用源。或3． 点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意数形结合与方程思想，分类讨论思想的应用，注意别漏解． 2.（2011浙江义乌，13，4分）已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3和5，且⊙O1与⊙O2相切，则O1O2等于2或8． 考点：圆与圆的位置关系。 专题：计算题。 分析：设两圆半径为r ＝3，R ＝5，⊙O 1与⊙O 2相切分为内切、外切两种情况，则O 1O 2＝R －r 或R ＋r ． 解答：解：设两圆半径为r ＝3，R ＝5， 当⊙O 1与⊙O 2相切时，O 1O 2＝R －r 或R ＋r ， 即O 1O 2＝2或8． 故答案为2或8． 点评：本题考查了圆与圆的位置关系．设两圆相切分为内切、外切两种情况，当两圆内切时，O 1O 2＝R －r ，当两圆外切时，O 1O 2＝R ＋r ． 3. （2011?南通）已知：如图，三个半圆以此相外切，它们的圆心都在x 轴的正半轴上并与直线y ＝ 3 x 相切，设半圆C 1、半圆C 2、半圆C 3的半径分别是r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝ 考点：相似三角形的判定与性质；一次函数的性质；相切两圆的性质。专题：计算题。 分析：由三个半圆依次与直线y 3 x 相切并且圆心都在x 轴上，因此OO 1=2，OO 1=6，OO 1=18，即可得出r 3的长度； 解答：解：由三个半圆依次与直线y 3x 相切并且圆心都在x 轴上，∴y 3 x 倾斜角是30°，∴得，OO 1=2r 1，OO 1=2r 2，001=2r 3，r 1＝1，∴r3=9．故答案为9． 点评：本题考查了一次函数的性质、相切圆的性质，由一次函数的解析式得出其与x 的正半轴的夹角是30°，是解答本题的关键． 4. （2011四川广安，14，3分）已知⊙O 1与⊙O 2的半径1r 、2r 分别是方程2 680x x -+= 的两实根，若⊙O 1与⊙O 2的圆心距d ＝5．则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是___________． 考点：圆与圆的位置关系． 专题：圆的位置关系． 分析：解一元二次方程2 680x x -+=，可得其两根124,2r r ==，所以 12126,2r r r r +=-=，因为256<<，即112r r d r r -<<+，所以两圆相交． 解答：相交 点评：两圆之间的位置关系常利用两圆半径,R r 与两圆间的圆心距d 之间的数量关系来确定：当d R r >+时，两圆外离；当d R r =+时，两圆外切；当()R r d R r R r -<<+≥时，两圆相交；当d R r =-()R r >时，两圆内切；当d R r <-()R r >时，两圆内含．判断两圆的位置关系时，先分别计算R r +与()R r R r -≥的值，再和圆心距d 比较，看其符合哪一种情形． 5. （2011?湘西州）若两圆外切，圆心距是7，其中一圆的半径为4，另一个圆的半径为 3 ． 考点：圆与圆的位置关系。 分析：由两圆外切，圆心距是7，其中一圆的半径为4，根据两圆位置关系与圆心距d ，两圆半径R ，r 的数量关系间的联系，即可求得另一个圆的半径长． 解答：解：∵两圆外切，圆心距是7，其中一圆的半径为4， ∴另一个圆的半径为：7﹣4=3． 故答案为：3． 点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距d ，两圆半径R ，r 的数量关系间的联系． 6. （2011广东肇庆，14，3分）已知两圆的半径分别为1和3．若两圆相切，则两圆的圆心距为 4或2 ． 考点：圆与圆的位置关系。 分析：由两圆相切，可从内切与外切去分析，又由两圆的半径分别为1和3，根据两圆位置关系与圆心距d ，两圆半径R ，r 的数量关系间的联系即可求得两圆的圆心距． 解答：解：∵两圆的半径分别为1和3， 若两圆内切，则两圆的圆心距为：3﹣1=2； 若两圆外切，则两圆的圆心距为：3+1=4； ∴两圆的圆心距为4或2． 故答案为：4或2． 点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距d ，两圆半径R ，r 的数量关系间的联系． 7. （2011梧州，16，3分）如图，三个半径都为3cm 的圆两两外切，切点分别为D 、E 、F ，则EF 的长为 3 cm ． 考点：相切两圆的性质。 分析：三个圆半径相等且两两外切，则EF 为ABC 的中位线，EF=错误!未找到引用源。BC ． 解答：解：连接EF ，∵⊙A 、⊙B 、⊙C 半径相等且两两外切， ∴△ABC 为等边三角形，边长为6cm ， 又切点E 、F 为AB 、AC 的中点， ∴EF=错误!未找到引用源。BC=3cm ． 故答案为3． 点评：本题考查了相切了圆的性质，三角形中位线定理．关键是判断三角形的形状，判断中位线． 8. （2011福建莆田，11，4分）⊙O 1和⊙O 2的半径分别为3cm 和4cm ，若⊙O 1和⊙O 2 相外切，则圆心距O 1O 2=_ ▲ cm ． 考点：圆与圆的位置关系． 分析：由⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm 和4cm ，⊙O1和⊙O2相外切，根据两圆位置关 系与圆心距d ，两圆半径R ，r 的数量关系间的联系即可求得圆心距O1O2的值． 解答：解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm 和4cm ，⊙O1和⊙O2相外切， ∴圆心距O1O2=3+4=7（cm ）． 故答案为：7． 点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d ，两圆半径R ，r 的数量关系间的联系是解此题的关键． 9. （2011福建福州，15，4分）以数轴上的原点O 为圆心，3为半径的扇形中，圆心角∠AOB =90°，另一个扇形是以点P 为圆心，5为半径，圆心角∠CPD =60°，点P 在数轴上 表示实数a ，如图．如果两个扇形的圆弧部分（? AB 错误!未找到引用源。和?CD ）相交，那么实数a 的取值范围是 ． 考点：圆与圆的位置关系；实数与数轴． 分析：两扇形的圆弧相交，界于D ．A 两点重合与C ．B 两点重合之间，分别求出此时PD 的长，PC 的长，确定a 的取值范围． 解答：解：当A ．D 两点重合时，PO =PD ﹣OA =5﹣3=2，此时P 点坐标为a =﹣2，当B ．C 两点重合时，PO 22PC -OB !未找到引用源。225-3!未找到引用源。=4，此 时P点坐标为a=﹣4，则实数a的取值范围是﹣4≤a≤﹣2．故答案为：﹣4≤a≤﹣2． 点评：本题考查了圆与圆的位置关系，实数与数轴的关系．关键是找出两弧相交时的两个重合端点． 10.（2011福建省漳州市，14,4分）两圆的半径分别为6和5，圆心距为10，则这两圆的位置关系是． 考点：圆与圆的位置关系。 分析：由两圆的半径分别为6和5，圆心距为10，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出这两圆位置关系． 解答：解：∵两圆的半径分别为6和5，圆心距为10， 又∵6+5=11，6﹣5=1，1＜10＜11， ∴这两圆的位置关系是相交． 故答案为：相交． 点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系． 11.（2011?丹东，15，3分）已知：线段AB=3.5cm，⊙A和⊙B的半径分别是1.5cm和4cm，则⊙A和⊙B的位置关系是相交． 考点：圆与圆的位置关系。 分析：由线段AB=3.5cm，⊙A和⊙B的半径分别是1.5cm和4cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系得出⊙A和⊙B的位置关系． 解答：解：∵⊙A和⊙B的半径分别是1.5cm和4cm，线段AB=3.5cm， 又∵4﹣1.5=2.5，4+1.5=5.5， ∴2.5＜AB＜5.5， ∴⊙A和⊙B的位置关系是相交． 故答案为：相交． 点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r 的数量关系间的联系是解此题的关键． 三、解答题 1.（2011江苏南京，26，8分）如图，在R t△ABC中，∠ACB=90°，AC=6c m，BC=8c m．P 为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2c m/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s． （1）当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由； （2）已知⊙O为△ABC的外接圆．若⊙P与⊙O相切，求t的值． 考点：圆与圆的位置关系；勾股定理；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质。专题：几何综合题；动点型。 分析：（1）根据已知求出AB=10c m，进而得出△PBD∽△ABC，利用相似三角形的性质得出圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径，即可得出直线AB与⊙P相切； （2）根据BO=错误!未找到引用源。AB=5c m，得出⊙P与⊙O只能内切，进而求出⊙P与⊙O相切时，t的值． 解答：解：（1）直线AB与⊙P相切， 如图，过P作PD⊥AB，垂足为D， 在R t△ABC中，∠ACB=90°， ∵AB=6c m，BC=8c m， ∴AB=10c m， ∵P为BC中点， ∴PB=4c m， ∵∠PDB=∠ACB=90°， ∠PBD=∠ABC， ∴△PBD∽△ABC， ∴PD PB AC AB =错误!未找到引用源。， 即 4 610 PD =错误!未找到引用源。， ∴PD=2.4（c m）， 当t=1.2时，PQ=2t=2.4（c m）， ∴PD=PQ，即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径，∴直线AB与⊙P相切； （2）∵∠ACB=90°， ∴AB为△ABC的外接圆的直径， ∴BO=错误!未找到引用源。AB=5c m， 连接OP， ∵P为BC中点，∴PO=1 2 错误!未找到引用源。AC=3c m，∵点P在⊙O内部，∴⊙P与⊙O只能内切， ∴5﹣2t=3，或2t﹣5=3， ∴t=1或4， ∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4． 点评：此题主要考查了相似三角形的性质与判定以及直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系，正确判定直线与圆的位置关系是重点知识同学们应重点复习． 2.（2011新疆乌鲁木齐，24，？）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6米，BC＝8米，动点P以2米/秒的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1米/秒的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒． （1）①当t＝2.5秒时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，写出t的值； （3）以P为圆心，PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时，求出t的值． 考点：相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用；等腰三角形的性质；勾股定理；圆与圆的位置关系。 分析：（1）过点P，作PD⊥BC于D，利用30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得PD的长，然后利用三角形的面积公式即可求解； （2）分PC＝QC和PC＝QC两种情况进行讨论，求解； （3）PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时，分为两圆外切和内切两种情况进行讨论．在直角△PFQ中利用勾股定理即可得到关于t的方程，从而求解． 解答：解：在Rt△ABC中，AB＝6米，BC＝8米，∴AC＝10米 由题意得：AP＝2t，则CQ＝1，则PC＝10－2t （1） 《直线与圆、圆与圆的位置关系》专题 2019年（ ）月（ ）日 班级 姓名 1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d ) 2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|) (1)圆的切线方程常用结论 ①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. ②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. ③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. (2)直线被圆截得的弦长 弦心距d 、弦长l 的一半1 2l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋????12l 2. 1．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离 2．两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是() A．相交B．内切 C．外切D．内含 3．已知直线l：y＝k(x＋3)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝() A．0 B. 3 C. 3 3或0 D.3或0 4．已知圆的方程为x2＋y2＝1，则在y轴上截距为2的切线方程为________．5．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________. 考点一直线与圆的位置关系 考法(一)直线与圆的位置关系的判断 [典例]直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是() A．相交B．相切 C．相离D．不确定 [解题技法]判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系． (2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． [提醒]上述方法中最常用的是几何法． 专题 圆与圆的位置关系 【阅读与思考】 两圆的半径与圆心距的大小量化确定圆与圆的外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系.圆与圆相交、相切等关系是研究圆与圆位置关系的重点，解题中经常用到相关性质. 解圆与圆的位置关系问题，往往需要添加辅助线，常用的辅助线有： 1.相交两圆作公共弦或连心线； 2.相切两圆作过切点的公切线或连心线； 3.有关相切、相离两圆的公切线问题常设法构造相应的直角三角形. 熟悉以下基本图形和以上基本结论 . 【例题与求解】 【例1】 如图，大圆⊙O 的直径a AB cm ，分别以OA ，OB 为直径作⊙O 1和⊙O 2，并在⊙O 与⊙O 1和⊙O 2的空隙间作两个等圆⊙O 3和⊙O 4，这些圆互相内切或外切，则四边形3241O O O O 的面积为________cm 2 . （全国初中数学竞赛试题） 解题思路：易证四边形3241O O O O 为菱形，求其面积只需求出两条对角线的长. B 【例2】 如图，圆心为A ，B ，C 的三个圆彼此相切，且均与直线l 相切.若⊙A ，⊙B ， ⊙C 的半径分别为a ，b ，c （b a c <<<0），则a ，b ，c 一定满足的关系式为（ ） A .c a b +=2 B .c a b +=2 C . b a c 1 11+= D . b a c 111+= （天津市竞赛试题） 解题思路：从两圆相切位置关系入手，分别探讨两圆半径与分切线的关系，解题的关键是作圆的基本辅助线. 【例3】 如图，已知两圆内切于点P ，大圆的弦AB 切小圆于点C ，PC 的延长线交大圆于点D .求证： （1）∠APD =∠BPD ； （2）CB AC PC PB PA ?+=?2. （天津市中考试题） 解题思路：对于（1），作出相应辅助线；对于（2），应化简待证式的右边，不妨从AC ·BC =PC ·CD 入手. P B C D A 【例4】 如图⊙O 1和⊙O 2相交于点A 及B 处，⊙O 1的圆心落在⊙O 2的圆周上，⊙O 1的弦AC 与⊙O 2交于点D .求证：O 1D ⊥BC . （全俄中学生九年级竞赛试题） 解题思路：连接AB ，O 1B ，O 1C ，显然△O 1BC 为等腰三角形，若证O 1D ⊥BC ，只需证明O 1D 平分∠B O 1C .充分运用与圆相关的角. 【例5】 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =1,AB =2，DC =22，点P 在边BC 上 圆与圆的位置关系教案 【教学目标】 1．能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 2．通过圆与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想． 3．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯． 【教学重难点】 教学重点：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 教学难点：用坐标法判断两圆的位置关系． 【教学过程】 ㈠复习导入、展示目标 问题：如何利用代数与几何方法判别直线与圆的位置关系？ 前面我们运用直线与圆的方程，研究了直线与圆的位置关系，这节课我们用圆的方程，讨论圆与圆的位置关系． ㈡检查预习、交流展示 1.圆与圆的位置关系有哪几种呢？ 2．如何判断圆与圆之间的位置关系呢？ ㈢合作探究、精讲精练 探究一：用圆的方程怎样判断圆与圆之间的位置关系？ 例1.已知圆 C 1：01322 2 =++++y x y x ，圆C 2 ： 02342 2 =++++y x y x ，是 判断圆C 1 与圆C 2 的位置关系. 解析：方法一，判断圆与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据连心线的长与两半径长的和或两半径长的差的绝对值的大小关系，判断圆与圆的位置关系. 解:(法一) 圆C 1 的方程配方,得4 923)1(2 2 = +?? ? ??++y x . 圆心的坐标是??? ??- -23,1,半径长2 3 1 =r . 圆C 2 的方程配方,得4 1723)2(2 2 = +? ? ? ??++y x . 圆心的坐标是?? ? ??--23,2,半径长 2 172= r . 连心线的距离为1, 217321+= +r r ,2 3 1721-=-r r . 因为 2 17 312317+<<-, 所以两圆相交. (法二) 方程 01322 2 =++++y x y x 与02342 2 =++++ y x y x 相减,得 2 1 = x 把2 1= x 代入01322 2=++++y x y x ,得 011242 =++y y 因为根的判别式016144>-=?,所以方程011242 =++y y 有两个实数根,因此两 圆相交. 点评:巩固用方程判断圆与圆位置关系的两种方法. 变式2 2 2 2 (1)(2)(2)1(2)(5)16x y x y ++-=-+-=与的位置关系 解：根据题意得，两圆的半径分别为1214r r ==和，两圆的圆心距 5.d == 因为 12d r r =+，所以两圆外切． ㈣反馈测试 导学案当堂检测 ㈤总结反思、共同提高 判断两圆的位置关系的方法: (1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定； (2)依据连心线的长与两半径长的和12r r +或两半径的差的绝对值的大小关系． 【板书设计】 一．圆与圆的位置关系 （1）相离，无交点 （2）外切，一个交点 （3）相交，两个交点； 20XX 年中考试题专题之 23-圆与圆的位置关系试题及答案 一．选择 1. （20XX 年泸州）已知⊙ O 1与⊙ O 2的半径分别为 5cm 和 3cm ，圆心距 020=7cm ，则两圆 的位 置关系为 A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切 2. （20XX 年滨州 ）已知两圆半径分别为 2 和 3，圆心距为 d ，若两圆没有公共点，则下列结 论正确的是（ ） A ． 0 d 1 B ． d5 C ． 0 d 1或 d 5 D ． 0≤ d 1或 d 5 3.（ 20XX 年台州市 ） 大圆半径为 6，小圆半径为 3，两圆圆心距为 10，则这两圆的位置 系为（ ） A ．外离 B ．外切 Ｃ． 相交 D ．内含 4.（ 2009 桂林百色）右图是一张卡通图，图中两圆的位置关系（ ） A ．相交 B ．外离 C ．内切 D ．内含 5．若两圆的半径分别是 1cm 和 5cm ，圆心距为 6cm ，则这两圆的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离 6（ 20XX 年衢州）外切两圆的圆心距是 7，其中一圆的半径是 4，则另一圆的半径是 A ．11 B ．7 C ． 4 D ． 3 7.（ 20XX 年舟山）外切两圆的圆心距是 7，其中一圆的半径是 4，则另一圆的半径是 A ．11 B ．7 C ． 4 D ． 3 8. .（20XX 年益阳市）已知⊙ O 1和⊙ O 2的半径分别为 1和 4，如果两圆的位置关系为相交， 那 么圆心距 O 1O 2 的取值范围在数轴上表示正确的是 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 A ． B ． C ． D ． 10.. （2009肇庆） 10．若⊙O 1与⊙O 2相切，且 O 1O 2 5 ， ⊙ O 1的半径 r 1 2，则⊙O 2的 半径 r 2 是（ ） B ． 5 9. （ 20XX 年宜宾）若两圆的半径分别是 A. 内切 B. 相交 C.外切 2cm 和 3cm,圆心距为 5cm ，则这两个圆的位置关 D. 外离 C ． 7 系是 精心整理第三讲直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 第一部分知识梳理 一.直线与圆的位置关系 1.直线与圆的三种位置关系 如图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，得出直线和圆的三种位置关系： （1）直线l和⊙O相离?d r > 此时：直线和圆没有公共点． （2）直线l和⊙O相切?d r = . （1）如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线. （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线. 证明直线是圆的切线的两种情况: （1）当不能说明直线与圆是否有公共点时，应当用“圆心到直线的距离等于半径 长”来判定直线与圆相切. （2）当已知直线与圆有公共点时，应当用判定定理，即“经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线”，简单地说，就是“联半径，证垂直”. 二.圆与圆的位置关系 1.圆与圆的五种位置关系 在同一个平面内，两个不等的圆的位置关系共有五种:外离、外切、相交、内切、 （ （ （ （ （ 2. 注：当两圆相切时分为两种情况：外切和内切. 3.相交两圆的性质 相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦． 注：当两圆相交时分为两种情况：圆心在公共弦的同侧和圆心在公共弦的两侧. 第二部分例题精讲 例1如图，已知Rt ABC ?中，∠C=90°，AC=3，BC=4 （1）圆心为点C、半径长R为2的圆与直线AB有怎样的位置关系？ （2）圆心为点C、半径长R为4的圆与直线AB有怎样的位置关系？ （3）如果以点C为圆心的圆与直线AB有公共点，求⊙C的半径R的取值范围. . 已知Rt ABC ?中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，以B为圆心作⊙B. （1）若⊙B与斜边AC只有唯一一个公共点，求⊙B的半径长R的取值范围. （2）若⊙B与斜边AC没有公共点，求⊙B的半径长R的取值范围. 例2已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且 4..2.2圆与圆的位置关系 教学目的：让学生掌握用解方程组法或求圆心之间距离与两圆半径之和、两圆半径之 差之间的关系判断圆与圆的位置关系。 教学重点：圆与圆位置关系的判断。 教学难点：圆与圆位置关系的判断。 教学过程 一、复习提问 初中学过圆与圆有几种位置关系？怎样用数量关系表示圆与圆的位置关系？ 设两圆半径为r 1，r 2，圆心距为d ，关系如下表（用数轴也可以表示）。 外离 外切 相交 内切 内含 d ＞r 1＋r 2 d ＞r 1＋r 2 r 1－r 2＜d ＜r 1＋r 2 d ＝r 1－r 2 d ＜r 1＋r 2 二、新课 例3、已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x －4y －2＝0，试判 断圆C 1与圆C 2的关系。 解法一：圆C 1与圆C 2的方程联立，得到方程组： ①－②，得：x ＋2y －1＝0， 即y ＝21x 代入①，并整理，得： x 2－2x －3＝0 此方程的判别式：△＝16＞0 方程有两个不同的实数根，所以两圆有两个公共点，解上述方程，可求得两个交 点坐标。 解法二：把圆C1化成标准方程：（x＋1）2＋（y＋4）2＝25， 圆心为点（－1，－4），半径为5 圆C2化成标准方程：（x－2）2＋（y－2）2＝10， 圆心为点（2,2），半径为10 两圆的连心线长（圆心距）为： 2 2)2 - + -＝35 - (- 4 1 ( )2 两圆半径之和：r1＋r2＝5＋10 两圆半径之差：r1－r2＝5－10 因为5－10＜35＜5＋10，即r1－r2＜35＜r1＋r2 所以，两圆相交，有两个公共点 解答此题之前，也可以根据圆心和半径画出两个圆的草图，看两圆有无交点，对解题有一定的帮助。 练习：P141 作业：P1444、5、6、7 圆的方程与专题复习（直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题） 知识梳理 浙江省诸暨市学勉中学（311811）郭天平 圆的标准方程、一般方程与参数方程的推导与运用是这节内容的重点；涉及直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论及有关性质的研究是这节的难点。 一、有关圆的基础知识要点归纳 1． 圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.定点即为圆心，定长为半径. 2． 圆的标准方程 ① 圆的标准方程：由圆的定义及求轨迹的方法，得()()()022 2 >=-+-r r b y a x ， 其中圆心坐标为()b a ,，半径为r ；当0,0==b a 时，即圆心在原点时圆的标准方程为 2 2 2 r y x =+； ② 圆的标准方程的特点：是能够直接由方程看出圆心与半径，即突出了它的几何意义。 3． 圆的一般方程 ①圆的一般方程：展开圆的标准方程，整理得， 02 2 =++++F Ey Dx y x ( ) 042 2>-+F E D ； ② 圆的一般方程的特点：（1）22,y x 项系数相等且不为0；（2）没有xy 这样的二次项 ③ 二元二次方程02 2=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件是 0≠=C A 且0=B ； 二元二次方程02 2=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是0 ≠=C A 且0=B 且0422>-+AF E D 4． 圆的参数方程 圆的参数方程是由中间变量θ将变量y x ,联系起来的一个方程. ① 圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程是：θθ θ(sin cos ?? ?==r y r x 为参数）； ② 圆心在()b a ,，半径为r 的圆的参数方程是：θθθ (sin cos ? ??+=+=r b y r a x 为参数）； 5． 确定圆方程的条件 圆的标准方程、圆的一般方程及参数方程都有三个参数，因此要确定圆方程需要三个独立的条件，而确定圆的方程我们常用待定系数法，根据题目不同的已知条件，我们可适当地选择不同的圆方程形式，使问题简单化。如已知条件中涉及圆心与半径有关等条件，一般设圆的标准方程，即列出r b a ,,的方程组，求出r b a ,,的值，也可根据圆的特点直接求出圆心()b a ,，半径r 。当圆心位置不能确定时，往往选择圆的一般方程形式，由已知条件列出F E D ,,的三个方程，显然前者解的是三元二次方程组，后者解的是三元一次方程组，在运算上显然设一般式比标准式要简单。 6． 点与圆的位置关系 设圆()()2 2 2 :r b y a x C =-+-，点()00,y x M 到圆心的距离为d ，则有： 第四章 4.2 4.2.2 一、选择题 1．圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为() A．相交B．外切 C．内切D．外离 [答案] C [解析]由已知，得C1(－2，－4)，r1＝5，C2(－2，－2)，r2＝3，则d＝|C1C2|＝2，∴d ＝|r1－r2|.∴两圆内切． 2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是() A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25 C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25 [答案] B [解析]设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x－5)2＋(y＋1)2＝25. 3．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a、b应满足的关系式是() A．a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2b＋5＝0 C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 [答案] B [解析]利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b ＋5＝0. 4．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r＝() A．5 B．4 C．3 D．2 2 [答案] C [解析]设一个交点P(x0，y0)，则x20＋y20＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0， 1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． d 第39讲 圆与圆的位置关系（一） [复习目标] 使学生了解圆与圆之间的5种位置关系，掌握两圆位置关系的判定方法，了解两圆公切线的有关概念，掌握两圆相交、相切的有关性质，并会应用于解题． [知识要点] 1．两圆的5种位置关系及判定方法． 2．相交、相切两圆的性质； 1） 相切两圆的连心线必过切点，相切两圆有公切线； 2） 相交两圆的连心线必垂直平分公共弦． 注：常见的辅助线是①画相切两圆的公切线②画公共弦和连心线。 [典型例题解析] 例1 选择、填空题： 1） 已知两圆的半径满足方程02222=+-x x ，圆心距为2，则两圆的位置关系为（ ） A ．相交 B ．外切 C ．内切 D ．外离 2）如果两圆相（内）切，一个圆的半径为3，两圆的圆心距为4，则另一个圆的半径为 1 或7 ． 3）相交两圆半径分别为一无二次方程0170272=+-x x 的两根，它们的公共弦长16，则它们的圆心距为 21或9 ． 4）如两圆共有三条公切线，那么这两个圆的位置关系为（ ） A ．外离 B ．相交 C ．外切 D ．内切 5）已知两圆半径分别为12和4，外公切线长是15，则两圆的位置关系为 ，外公切线与连心线夹角的正弦值为 ． 例2 如图，⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，且O 1在⊙O 2上，过点A 的直线CD 分别与 ⊙O 1和⊙O 2交于点C ，D ，过点B 的直线EF 分别与⊙O 1和⊙O 2交于点E ，F ，⊙O 2的弦O 1D 交AB 于P. 1） 求证：CE ∥DF ； 2） 求证：D O P O OG 112?=. 思路 1）画公共弦AB ，证∠E+∠F=180°; 2）证ΔAO 1P ∽ΔAO 1 D 得D O P O OG 112?=. 小结 添公共弦AB 对解题起到了桥梁和关键得作用，是两圆相交中常见得辅助线． 思考 1）如何证G 是ΔABD 得内心？2）若PG=1，GD=2，求⊙O 1得半径？ 例3 如图，⊙O 1和⊙O 2内切于A ，⊙O 2得弦BC 切⊙O 1于D ，AD 得延长线交⊙O 2于M ，连结 AB ，AC 分别交⊙O 1于E ，F ，连结EF ． A B C E F D O 1 O 2 P G 26.7 圆与圆的位置关系 教案 一、教学目标 1、知识与技能 （1）理解圆与圆的位置的种类； （2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长； （3）会用连心线长判断两圆的位置关系． 2、过程与方法 设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离； （2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切； （3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交； （4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切； （5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含； 3、情态与价值观 让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想． 二、教学重点、难点： 重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系． 三、教学设想 问 题 设计意图 师生活动 1．初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？ 结合学生已有知识以验，启发学生思考，激发学生学习兴趣． 教师引导学生回忆、举例，并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时，可互相交流． 2．判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？ 引导学生明确两圆的位置关系，并发现判断和 解决两圆的位置 教师引导学生阅读教科书中的相关内容，注意个别辅导，解答学生疑难，并引导学生自己总结解 题的方法． 问 题 设计意图 师生活动 关系的方法． 学生观察图形并思考，发表自己的解题方法． 3．例3 你能根据题目，在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？你从中发现了什么？ 培养学生 “数形结合”的意 识． 教师应该关注并发现有多少 学生利用“图形”求，对这些学生 应该给予表扬．同时强调，解析几 何是一门数与形结合的学科． 4．根据你所画出的图形，可以直观判断两个圆的位置关系．如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？ 进一步培养 学生解决问题、分 析问题的能力． 利用判别式 来探求两圆的位 置关系． 师：启发学生利用图形的特 征，用代数的方法来解决几何问题． 生：观察图形，并通过思考， 指出两圆的交点，可以转化为两个 圆的方程联立方程组后是否有实数 根，进而利用判别式求解． 5．从上面你所画出的图形，你能发现解决两个圆的位置的其它方法吗？ 进一步激发 学生探求新知的 精神，培养学生 师：指导学生利用两个圆的圆 心坐标、半径长、连心线长的关系 来判别两个圆的位置． 生：互相探讨、交流，寻找解 决问题的方法，并能通过图形的直 观性，利用平面直角坐标系的两点 间距离公式寻求解题的途径． 6．如何判断两个圆的位置关系呢？ 从具体到一 般地总结判断两 个圆的位置关系 的一般方法． 师：对于两个圆的方程，我们 应当如何判断它们的位置关系呢？ 引导学生讨论、交流，说出各 自的想法，并进行分析、评价，补 充完善判断两个圆的位置关系的方 法． 7．阅读例3的两种解法，解决书上的练习题． 巩固方法， 并培养学生解决 问题的能力． 师：指导学生完成练习题． 生：阅读教科书的例3，并完 成书上的练习题． 问题设计意图师生活动 第六讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 一、学习目标 1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系． 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 二、疑 难 辨 析 1．关于直线与圆的位置关系 (1)直线x ＋y ＝1与圆x 2＋y 2 ＝12 相切．( ) (2)直线x －y ＋2＝0与圆x 2 ＋y 2 ＝1相离．( ) 2．关于圆与圆的位置关系 (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( ) 3．关于圆的切线与公共弦． (1)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2 .( ) (2)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2 外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2 .( ) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( ) 三、典例分析 例1(1)[20122安徽卷] 若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2 ＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，－1] B ．[－1,3] C ．[－3,1] D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) (2)[20122湖北卷] 过点P (1,1)的直线，将圆形区域{}x ，y |x 2＋y 2 ≤4分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．y －1＝0 C ．x －y ＝0 D ．x ＋3y －4＝0 例2 (1)[20122福建卷] 直线x ＋3y －2＝0与圆x 2 ＋y 2 ＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 专题15 点的轨迹、直线与圆、圆与圆的位置关系 一、知识点精讲 （一）点的轨迹 在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为r的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于r；同时，到定点的距离等于r的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长r 的点的轨迹. 我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思： （1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件； （2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上. 下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹. 从上面对圆的讨论，可以得出： ①到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆. 我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹： ②和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线. 由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹： ③到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线. （二）直线与圆、圆与圆的位置关系判定 (1)设有直线l和圆心为O且半径为r的圆，怎样判断直线l和圆O的位置关系？ 如图：不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离d r时，直线和圆相离，如圆O与直线1l；当圆心到直线的距离d r时，直线和圆相切，如圆O与直线2l；当圆心到直线的距离d r时，直线和圆 金湖二中高二数学教学案 主备：王吉明 审核：沈厚清 第16课时 §2.2.3 圆与圆的位置关系 教学目标 1．掌握圆与圆的位置关系的代数与几何判别方法； 教学过程： （一）课前准备 （自学课本P104～105） 1．直线与圆的位置关系 ， ， 2.圆与圆的位置关系有哪些？如何判断？ 第一步： 第二步： 3．圆1O ：224210x y x y +-++=，圆2O ：2244x y x y ++-的圆心分别为 圆心距12O O 为 ，它们的半径分别为 ，则两圆的位置关系是 （二）例题剖析 例1：判断下列两圆的位置关系： （1）1)3()2(22=-++y x 与16)5()2(2 2=-+-y x ； （2）07622=-++x y x 与027622=-++y y x ． 61 62 例2：求过点)60( ，A 且与圆01010:22=+++y x y x C 切于原点的圆的方程． 例3：求经过点M(2,-2),且与圆2260x y x +-=与224x y +=交点的圆的方程 （三）课堂练习 1．圆m y x =+22与圆0118622=--++y x y x 相交，求实数m 的取值范围 2．圆053:221=+-+y x y x C 与圆042:2 22=--++y x y x C 的公共弦所在直线方 程为 ． 3．已知以)34( -，C 为圆心的圆与圆122=+y x 相切，则圆C 的方程 4．两圆224210x y x y +-++=与2244x y x y ++-10-=的公切线有 条. （四）归纳总结 1．两圆位置关系的判断方法；两圆位置关系与公切线的条数之间的关系。 2．两圆相交时的公共弦的求法，过两圆公共点的圆的求法。 （五）教学反思 2019版中考数学专题复习专题六圆（24）第2课时与圆 有关的位置关系学案 【学习目标】 1．探索并了解点与圆的位置关系；了解直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系及三角形内切圆的概念，会判断图形的位置关系． 2．掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线． 3．探索并证明切线长定理，会利用它进行证明和相关计算． 【重点难点】 重点：点、直线和圆与圆之间的位置关系；掌握切线的判定定理、性质定理． 难点：理解切线的性质定理和判定定理.. 【知识回顾】 1．点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，那么： (1)d 直线和圆的位置关系 例1已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是( ) . A．相切B．相离C．相离或相切D．相切或相交 切线的性质与判定 例2如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO＝CD，则∠ACP的度数为( ) . A．30°B．45°C．60°D．67.5° 例3如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C． (1)若AB＝2，∠P＝30°，求AP的长； (2)若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线． 5.6圆和圆的位置关系（1） 备课时间: 主备人: 一、学习目标 知识目标：了解圆与圆之间的几种位置关系；了解两圆外切、内切与两圆圆心距d 、半径R 和r 的数量关系的联系． 能力目标：经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力；通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力． 情感与价值观目标：通过探索圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性；经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维． 二、知识准备 学生在理解圆的意义和理解直线和圆的位置关系的基础上，引导生理解掌握圆和圆的几种位置关系。学生充分预习。 预习检测 1.圆与圆的位置关系有——————————————. 2.如果两圆的半径分别为R 、r,圆心距为d,则 两圆外离 ________________两圆外切 ________________ 两圆相交 ________________两圆内切 ________________ 两圆内含 ________________ 3.如果两圆的半径为5、9，圆心距为3，那么两圆的位置关系是 （ ） A 外离 B 相切 C 相交 D 内含 4．⊙O 和⊙O`相内切，若OO`=3，⊙O 的半径为7，则⊙O` 的半径为 （ ） A 4 B 6 C 0 D 以上都不对 三、学习内容 学生可在理解点和圆、圆和圆的位置关系的基础上，类比出圆和圆的五种位置关系。师生互动，合作探究。 学生可利用两张透明纸上操作探究出五种位置关系 再通过例题巩固其几种位置关系还可引申： 已知图中各圆两两相切，⊙O 的半径为2R ，⊙O 1、⊙O 2的半径为R ，求⊙O 3的半径． 分析：根据两圆相外切连心线的长为两半径之和，如果设⊙O 3的半径为r ，则O 1O 3=O 2O 3＝R+r ，连接OO 3就有OO 3⊙O 1O 2，所以OO 2O 3构成了直角三角形，利用勾股定理可求得⊙O 3的半径r. 四、知识梳理 1．圆和圆的五种位置关系是———————————————————————————————————————————————————————————————； 2．探讨圆和圆的五种位置关系圆心距d 与R 和r 之间的关系。 ?? ? 《圆和圆的位置关系》专题复习 一、教学目标： 1、通过本课的学习使学生对《圆和圆的位置关系》这一单元的相关知识有进一步的理解和认识； 2、结合实际问题的实验、讨论与分析设计，培养学生观察、动手、猜想以及运用所学的数学知识分析、解决实际问题的能力。 3、通过例题和练习的学习，使学生在分类、探究以及合作交流等方面有进一步的提高。 二、教学过程： （一）练习： 1、1999版的一元硬币的直径为26毫米，2002版的一角硬币的直径为20毫米。若上述一枚一元硬币和一枚一角硬币所在的两个圆有公共点，且这两个圆的圆心距为d毫米，则d的取值范围是。 2、⊙O1、⊙O2的半径分别为40mm和25mm，两圆相交于A、B两点。若AB=48mm，则O1O2= mm。 3、已知两圆的半径分别是7和4，圆心距是3，那么这两圆的公切线的条数是（） (A)1 (B)3 (C)1或3 (D)2或4 说明： （1）通过这三道习题的训练，使学生对《圆和圆的位置关系》这一单元的主要知识点有一个清晰的回顾与认识；同时使学生对数学分类讨论的思想有进一步的认识和提高。 （2）教师在处理这三道习题时应注意以下几点：首先由学生独立完成，教师巡视，尽可能发现学生解题中的错误；接着，请这类同学介绍他的解答过程，然后，请解答正确的学生来纠正，并要求说明算理，以达到全体同学共同提高；最后，教师对问题的正确解答加以总结、点评。 （二）、问题探究： 某企业技术员小张要用2个半径分别为R、r(R≥r)的钢球和一把刻度尺来测量一个口小内大的机器零件的内孔直径d（内孔是圆柱形且满足2R＜d≤2R+2r ，）你能帮他设计出测量方案吗？ 说明： （1）教师要求学生将事先准备的两个乒乓球（要求大小不一）、一把刻度尺和一个空易拉罐瓶分小组进行动手操作、观察，并要求学生在实验与操作的过程中思考：求内孔直径需测量哪些量的长度，以及操作的可行性。为下一步设计出测量方案做准备。此举意在培养学生的动手、观察、探究和分析问题的能力，同时也加强学生之间的合作交流。 （2）在学生做好上述实验和分析后，教师请某一小组的一名代表进行演示和说明，接着教师请有不同意见或不同方法的小组代表进行发言、交流，最后，教师加以点评和总结，为下面后面具体的解决问题埋下伏笔。 圆与圆的位置关系 一.选择题 1. （2014?贵州黔西南州, 第6题4分）已知两圆半径分别为3、5，圆心距为8，则这两圆的位置关系为（） A．外离B．内含C．相交D．外切 考点：圆与圆的位置关系． 分析：由⊙O1、⊙O2的半径分别是3、5，O1O2=8，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出⊙O1和⊙O2的位置关系． 解答：解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是3、5，O1O2=8， 又∵3+5=8， ∴⊙O1和⊙O2的位置关系是外切． 故选D． 点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系． 2. (2014年广西钦州，第9题3分)如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AO1并延长交⊙O1于点C，则∠ACO2的度数为（） A．60°B．45°C．30°D．20° 考点：相交两圆的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理 分析：利用等圆的性质进而得出△AO1O2是等边三角形，再利用圆周角定理得出∠ACO2的度数． 解答：解：连接O1O2，AO2， ∵等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AO1并延长交⊙O1 于点C， ∴AO1=AO2=O1O2， ∴△AO1O2是等边三角形， ∴∠AO1O2=60°， ∴∠ACO2的度数为；30°． 故选；C． 点评：此题主要考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定和圆周角定理等知识，得出△AO1O2是等边三角形是解题关键． 3．（2014?青岛，第5题3分）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是2和4，O1O2=5，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（） A．内含B．内切C．相交D．外切 考点：圆与圆的位置关系． 分析：由⊙O1、⊙O2的半径分别是2、4，O1O2=5，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系． 解答：解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是2、4， ∴半径和为：2+4=6，半径差为：4﹣2=2， ∵O1O2=5，2＜6＜6， ∴⊙O1与⊙O2的位置关系是：相交． 故选C． 点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r 的数量关系间的联系． 4. （2014?攀枝花，第7题3分）下列说法正确的是（） A．多边形的外角和与边数有关 B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 圆与圆的位置关系Revised on November 25, 2020 第三讲直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 第一部分知识梳理 一 .直线与圆的位置关系 1.直线与圆的三种位置关系 如图，设⊙O的半径为r ，圆心O到直线l的距离为d，得出直线和圆的三种位置关系： > （1）直线l和⊙O相离?d r 此时：直线和圆没有公共点． （2）直线l 和⊙O 相切 ?d r = 此时:直线和圆有唯一公共点，这时的直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． （3）直线l 和⊙O 相交 ?0d r ≤< 此时:直线与圆有两个公共点，这时的直线叫做圆的割线． 2. 切线 的判定定 理 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的性质: （1）与圆只有一个公共点； （2）圆心到切线的距离等于半径； （3）圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的识别: （1）如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线. （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线. 证明直线是圆的切线的两种情况 : l l （1 （2 （3 （1）当不能说明直线与圆是否有公共点时，应当用“圆心到直线的距离等于半径长”来判定直线与圆相切. （2）当已知直线与圆有公共点时，应当用判定定理，即“经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线”，简单地说，就是“联半径，证垂直”. 二. 圆与圆的位置关系 1. 圆与圆的五种位置关系 在同一个平面内，两个不等的圆的位置关系共有五种:外离、外切、相交、内切、内含. 圆心距：两圆圆心的距离叫做圆心距. 设两圆的圆心距为12O O d =，半径为0r R <<，则有： （1）外离：没有公共点 ，两圆外离? d R r >+ （2）外切：有唯一的公共点，两圆外切?d R r =+ （3）相交：有两个公共点， 两圆相交?R r d R r -<<+ （4）内切：有唯一的公共点，两圆内切?d R r =- （5）内含：没有公共点，两圆内含?0d R r ≤<- （1） （2） （3） （4） （5） 2. 相切两圆的性质 连心线：经过两个圆的圆心之间的直线. 相切两圆的性质：相切两圆的连心线经过切点. 注 ：当两圆相切时分为两种情况：外切和内切. 3.相交两圆的性质 相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦． 专题23 圆与圆的位置关系 【阅读与思考】 两圆的半径与圆心距的大小量化确定圆与圆的外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系 .圆与圆 相交、相切等关系是研究圆与圆位置关系的重点，解题中经常用到相关性质 解圆与圆的位置关系问题，往往需要添加辅助线，常用的辅助线有： 1. 相交两圆作公共弦或连心线； 2. 相切两圆作过切点的公切线或连心线； 3. 有关相切、相离两圆的公切线问题常设法构造相应的直角三角形 熟悉以下基本图形和以上基本结论 ? 【例题与求解】 【例1】 如图，大圆O O 的直径AB^a cm ，分别以OA , OB 为直径作O O i 和O O 2，并在O O 与O O i 和O 。2的空隙间作两个等圆O O 3和O O 4，这些圆互相内切或外切，则四边形 01040203的面积为 _______ cm 2 . （全国初中数学竞赛试题） 解题思路：易证四边形O 1O 4O 2O 3为菱形，求其面积只需求出两条对角线的长 . 【例2】 如图，圆心为 A , B , C 的三个圆彼此相切，且均与直线 I 相切.若O A ,O B , B oC 的半径分别为a , b , c （ 0《直线与圆、圆与圆的位置关系》专题(学生版)
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