单元练习一答案（求行列式的值，解法不唯一）
一、 填空题
2、求2n 元排列 13…(2n -1)24…(2n)的逆序数
分析：此排列奇数和偶数各占一半，前n 个奇数从小到大排列，故这些奇数的逆序数为0，从第n+1个元素起，元素的逆序数分别为n-1,n-2,…,1,0。故
3、四阶行列式中含 的项是 分析：按n 阶行列式的定义有
,特点：n 个元素的乘积项中每个元素来自不同
行不同列; 且n 个元素的行标按照标准次序排列，列标为1,2,…,n 这n 个自然数的全排列. 4阶行列式每项均可表示为()()
n p p p t Λ211-n np p p a a a Λ2121,找出其中含
的项，即找出()
()
43211p p p p t -43214321p p p p a a a a 中3,121==p p 的所有项，则43,p p 只有
两种选择，即2,44,24343====p p p p 或。故含 的项有 ()()13241t -=44322311a a a a 44322311a a a a -；()
()
13421t -=42342311a a a a 42342311a a a a
4、一个排列中任意两个元素对换，此排列改变奇偶性。
5、分析：分块三角行列式的值为
故
二、2、分析：按n 阶行列式的定义
， 共n!项。对于此题行列式，n!项中除了当
n p n p p p n n =-===-121,1,...,2,1的项外，其余都是零项，故
(),
211...)3()2()1(-=++-+-+-=n n n n n t 2311a a ()()n n n np p p p p p p p p t a a a D ΛΛΛ21
2121211∑-=2311a a 23
11a a nn
n n
kk k k nn n n nk n k kk
k k
b b b b a a a a b b b b
c c c c a a a a D ΛM
M ΛΛM M ΛΛM M ΛΛM M ΛΛM M Λ111111111111111111110?==2
22)(0000000
0b a a b b a a b b a a b b a a b b a D -=?==()()n n n np p p p p p p p p t ij b b b b D ΛΛΛ2
12121211||∑-==
三、 分析：此行列式为三阶行列式可直接用沙路法或对角线法则计算。对于一般行列式，先观察是否可用行列式的6个性质将其简化，如每行或每列是否有公因子，有公因子先提公因子；是否有某两行或两列的元素成比列等。
abcdef abcdef e
c
b
e c b e c b ad
f ef
cf
bf
de cd bd
ae ac ab D 41
1
1
111
1
11=--=--=--=---解
2、分析：此行列式为4阶范德蒙行列式，若能记住n 阶范德蒙行列式的值可直接利用它的结果，若记不住，需计算。这是低阶的范德蒙行列式，不用数学归纳法求。一般方法：有技巧地“打洞”，如此题用“后行减去前行的某倍”的办法打洞，这样可以提公因子，化简行列式。
)
)()()()()((11)
)()()()(()
()(0011
1
))()((111
))()(()()()(0)
()
()(0
011111111
1
22
3341
22
3222
222333322
2
2
c d b d b c a d a c a b d
c b
d b c a d a c a b b d d b c c b
d b
c a
d a c a b d c b d c b
a d a c a
b a d d a
c c a b b a
d d a c c a b b a d a c a b d c b a d c
b
a
d c b a D br r br r ar r ar
r ar r ------=-----=-------=---=---------=
=
-----解
3、分析：此行列式满足“行和或列和相等”，故利用三大步骤计算：（1）统加到第一行（若行和相等）或统加到第一列（若列和相等）；（2）提公因子；（3）打洞。 解：
()()
),...,,(2)1(1111212111
121112111n n n n n n n n n n n n nn t a b a b a b a a a n n b b b D ===-=-=-----这里ΛΛΛ
1),...,3,2()]()1([0
00
01]
)1([111])1([)1()1()1(12
1-=-+--+=---+=-+=-+-+-+∑==n n i r r c c n a x a n x a
x a
x a a
a n x x
a
a a x a x a a a n x x
a a a n x a x a x a n x a a a n x D i n
i i ΛM O M M ΛΛΛ
ΛM M M M ΛM M ΛΛΛΛ
Λ
Λ
M M M M Λ
M M ΛΛΛΛ解4、分析：此行列式为“爪型”行列式，解题一般方法为将行列式第1列或第1行除 外都打洞成零。
1211
101
211
10)
,...,3,2(1
121)1
(0
000
00
01111
011--=--==--∑
∑-=-=
≠-n n i i
n n i i n i c a c n n a a a a a a a a a a D a a a i i ΛΛ
M O
M M M ΛΛ
ΛΛ时，解法一、当
解法二、将此行列式按第一列展开，得
11a
2
21142113113212102
21
21
42
11
311
21210
00000
000
1111)1(0
0000000
000011111000000000
11110
011100
0000------+---------=-++++-
=n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛ
M M O M M Λ
Λ
ΛΛΛ
M O M M M M ΛΛ
ΛΛΛM O M M M ΛΛΛΛ
M
O M M ΛΛΛM O
M M ΛΛ时当0121≠-n a a a Λ，可将上式改写为1
211
1
0)1(--=∑-=n n i i
a a a a a D Λn
四、利用性质（6个性质）证明三个行列式相等。
分析：这里用行列式的性质1和性质2即可证明。性质1：行列式与它的转置行列式相等； 性质2：互换行列式的某两行或某两列，行列式变号。
3
2132221321)1()1(,,3
22
13
22
1D D D D r
c
z p a
x q b y c
r
z
a p x
b q y c
r
z
b q y
a p x
D D D c
b a
r q p z
y
x r
q
p c b a
z y x
D r
c
z p a
x q b y D c b a r q
p z y x D r
q
p z y x
c b a
D c c r r T
r r r r ==∴=--=-====--=-====????证明：记
五、分析：
各自的代数余子式之和等于某行所有元素乘以其意义为：行列式的值则，即根据行列式按行展开法in in i i i i n A a A a A a D +++=Λ221124
3
512312
220
3510
23102221
11303510231131511133351223143152113223223123434
33323134333231=----====+-+=---++---------------r r c c A A A A M M M M 解：
六、分析：书上25页，n 阶齐次线性方程组有非0解充要条件：其系数行列式为0。当其系数行列式为0时，n 阶齐次线性方程组只有0解。
；且解齐次线性方程组只有零；或解齐次线性方程组有非零系数行列式解：齐次线性方程组的010)2(010)1()1(1201011112111112
331==?≠?==?=?--=-==--μλμλμλμμλμμλD D D r r C C