高考数学高三模拟试卷试题压轴押题两角和与差的正弦、余弦和正切公式
（A 卷）
（测试时间：120分钟满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知tan 3α=，则tan 4πα??+ ???的值是（ ） A.1 B.12 C.2 D.2 【答案】D
【解析】tan 1tan 241tan πααα
+?
?+==- ?-??. 2.已知sin cos 66ππαα????-=+ ? ?????
，则tan α=（ ） A ．1 B ．0 C ．
12 D ．1 【答案】A
【解析】由可得
ααααsin 21cos 23sin 23cos 21-=-,即0cos sin =+αα,则1tan -=α,故应选A. 3．已知02<<-απ，51cos sin =+αα，则α
α22sin cos 1-的值为（ ） A.57B.257 C.725 D.25
24 【答案】C
【解析】联立1sin cos 5αα+=
与22sin cos 1αα+=解得34sin ,cos 55αα=-=， 故原式1
251697
2525==-. 4.若,αβ为锐角，且满足4cos 5α=
，5cos()13
αβ+=，则sin β的值为（ ） A ．1665- B ．3365 C ．5665 D ．6365 【答案】B
【解析】因,αβ为锐角，4cos 5α=,5cos()13αβ+=,故13
12)sin(,53sin =+=βαα,故sin sin[()]βαβα=+-
124533313513565
=?-?=,故应选B. 5.已知4cos 5α=-，且(,)2παπ∈，则tan()4
πα+=（ ） A ．17- B ．17 C ．7 D ．7 【答案】B
【解析】因为4cos 5α=-，,2παπ??∈ ???，所以3sin 5α=，3tan 4α=-，1tan 47πα??+= ??
?，选B ． 6.【玉溪第一中学高三上学期第三次月考】已知
()221sin ,cos ,,0,,sin 332πααβαββ??=+=-∈= ???
且则（） A. 12- B. 12 C. 13
- D. 429 【答案】D
7. 已知向量(cos ,sin )a θθ=-，(3cos ,sin )b θθ=，(0,)θπ∈，若a b ⊥，则θ=（ ）
A ．3π
B ．23π
C ．6π或56π
D ．3π或23
π 【答案】D
【解析】
由于a b ⊥，数量积为零，即223cos sin 0,tan 3θθθ-==±，所以θ为3π或23
π. 8. 设(0,),(0,),22
ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则（ ） （A ） 32παβ-=
（B ）32παβ+= （C ）22παβ-= （D ）22παβ+=
【答案】C
9.已知()3cos ,,52ππααπ??+=
∈ ???,则tan 4πα??-= ???（ ） A ．17- B ．7- C ．17
D ．7 【答案】B
【解析】由()3cos ,,52ππααπ??+=∈ ???
，所以3cos 5α=-，由三角函数的基本关系，可得4sin 5α=，所以4tan 3α=-，又1tan tan 741tan πααα-??-==- ?+??
，故选B ． 10.αβαββαtan )tan(,0cos 5)2cos(3+=++则的值为（ ）
A ．4±
B ．4
C ．4-
D ．1
【答案】C
【解析】()()3cos 25cos 0αβαβα+++-=，化简得()()8cos cos 2sin sin αβααβα+=-+，即()tan tan 4αβα+=-.
11.设向量)tan ,tan 2(βα=a ，向量)3,4(-=b ，且0=+b a ，则)tan(βα+等于（ ）
A ．71
B ．51-
C ．51
D ．7
1- 【答案】A
【解析】由0a b +=得2tan 40,tan 30αβ+=-=，所以tan 2,tan 3αβ=-=，所以
tan tan 231tan()1tan tan 1(2)37αβαβαβ+-++===---?，故选A. 12.【德州市高三上学期期中】已知θ是第四象限角，且3cos 45πθ??-
= ???，则tan 4πθ??+= ???（ ） A. 43- B. 34- C. 43 D. 34
【答案】D
【解析】∵θ是第四象限角，
∴22,2
k k k Z π
πθπ-+<<∈, ∴322,444
k k k Z ππππθπ-+<-<-+∈, ∴4sin 45
πθ?
?-=- ???. 由()()23cos()425
{ 24sin()425cos sin sin cos πθθθπθθθ-
=+=-
=-=- ，解得210{ 7210sin cos θθ=-=， ∴sin 1tan cos 7
θθθ==-. ∴tan 13tan 41tan 4
πθθθ+?
?+== ?-??.选D. 第II 卷（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。）
13.sin11cos19cos11sin19??+??的值是__________．
【答案】12
【解析】由()1sin11cos19cos11sin19sin 1119sin302??+??=?+?=?=
．故答案为12． 14.已知tan 2α=，tan()1αβ+=-，则tan β=．
【答案】3
【解析】因为tan()1αβ+=-，所以tan tan 2tan 1,1,tan 3.1tan tan 12tan αβββαββ
++=-=-∴=-- 15.函数()()sin 3cos 0f x x x x π=--≤≤的单调增区间是_________.
【答案】,0
6
π
??
-??
??
16.【六安市第一中学高三上学期第三次月考】
00
1cos20
2cos80tan80
2sin20
+
-=__________．
【答案】
3
2
【解析】
02
000
1cos202cos10sin80cos10
2cos80tan802cos802cos10 2sin204sin10cos10cos802sin10
+???
-=-?=-?
????
，
()
2sin102sin3010
cos10cos102sin203sin103 2cos10
2sin102sin102sin102sin102
?-?-?
??-??
-?====
????
.
故答案为：
3
2
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题10分）已知
12
cos()
13
αβ
-=-，
12
cos()
13
αβ
+=，且()(,)
2
π
αβπ
∈
－，
3
()(,2)
2
π
αβπ
+∈，求角β的值．
【答案】
2
π
β=
【解析】
由
2
π
αβπ
∈
(-)(,)，且
12
cos()
13
αβ
-=-，得：
5
sin()
13
αβ
-=，（2分）
由
3
2
π
αβπ
∈
(+)(,2)，且
12
cos()
13
αβ
+=，得：
5
sin()
13
αβ
+=-，（4分）
cos2cos[()()]
cos()cos()sin()sin()
121255
()()1
13131313
βαβαβ
αβαβαβαβ
∴=+--
=+-++-
=?-+-?=-
（6分）
又32παβπ∈(+)(,2)，2παβπ∈(-)(,)，32(,)22
ππβ∴∈， （8分） 于是2βπ=， （9分） 所以2π
β=． （10分）
18.（本小题12分）已知，且． （Ⅰ）求cosα的值； （Ⅱ）求
的值． 【答案】（Ⅰ）
．（Ⅱ）17. 【解析】 （Ⅰ）∵，且， ∴
． （Ⅱ）由（Ⅰ）知
，，
∴tan =﹣， ∴=．
19.（本小题12分）【南阳市高三上期中】已知向量()()[]cos ,sin ,3,3,0,a x x b x π==-∈.（1）若//a b ，求x 的值；
（2）记()f x a b =?，求函数()y f x =的最大值和最小值及对应的x 的值.
【答案】（1）56x π=；（2）0x =时()max 3f x =；56
x π=时()min 23f x =- 【解析】试题分析：（1）根据向量的平行即可得到3cos 3sin x x -=，3tan 3x =-
，问题得以解决；（2）根据平面向量的数量积公式和两角的正弦公式可得
()23cos 3sin 23sin 3f x a b x x x π??=?=-=+ ??
?，再利用余弦函数的性质即可求出结果. 试题解析：（1）()()
[]cos ,sin ,3,3,0,,//a x x b x a b π==-∈，
3cos 3sin x x ∴-= 即35tan ,36
x x π=-∴=. （2）()23cos 3sin 23sin 3f x a b x x x π?
?=?=-=+
??? []2250,,,333x x ππππ??∈∴+
∈???? ∴当2233x ππ+=时，即时()max 3f x =；
当2332
x ππ+=，即时()min 23f x =-. 20.（本小题12分）【全国名校大联考高三第二次联考】设函数()sin 3cos 1f x x x =++.
（1）求函数()f x 的值域和函数的的单调递增区间；
（2）当()135f α=，且263ππα<<时，求2sin 23πα??+ ???
的值. 【答案】（1）值域是[]1,3-，单调递增区间为52+266k k ππππ??-+????
，；（2）2425-. 【解析】试题分析：（1）根据三角函数的关系式，即可求求函数f （x ）的值域和函数的单调递增区间．（2）根据三角函数的诱导公式即可得到结论．
试题解析：
（1）依题意()sin 3cos 1f x x x =++2sin 13x π?
?=++ ???
. 因为22sin 23x π?
?-≤+≤ ???，则12sin 133x π??-≤++≤ ??
?. 即函数()f x 的值域是[]1,3-.
令22232k x k π
π
π
ππ-+≤+≤+，Z k ∈，解得52+266
k x k ππππ-+≤≤，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为52+266k k ππππ??-+????
，，Z k ∈.
（2）由()132sin 135f παα??=++= ???，得4sin 35πα??+= ??
?. 因为263π
πα<<
，所以23ππαπ<+<时，得3cos 35πα??+=- ???. 所以2sin 2sin233ππαα?
???+=+= ? ?????2sin cos 33ππαα????++= ? ????
?432425525-??=-. 21.（本小题12分）（1）化简求值：
3sin()cos()cos()2cos(3)sin(3)ππαπααπαπα-++-+； （2）设25sin 5α=-，1tan 3β=，02πα-<<，02
πβ<<，求αβ+的值． 【答案】（1）sin α-；（2）4π-
． 【解析】
（1）原式＝sin (cos )sin (cos )(sin )
ααααα---＝sin α-． （2）02,552sin <<--
=απα ， 2tan ,5
5cos -==∴αα， 1tan tan 1tan tan )tan(-=-+=
+βαβαβα ． 22π
βαπ
<+<- 又，
4π
αβ∴+=-.
22.（本小题12分）【山东，理16】设函数()sin()sin()62f x x x ππ
ωω=-+-，其中03ω<<.已知()06
f π
=. （Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左
平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44
ππ-上的最小值. 【答案】（Ⅰ）2ω=.（Ⅱ）得最小值32-.
试题解析：（Ⅰ）因为()sin()sin()62f x x x ππ
ωω=-+-， 所以31()sin cos cos 22
f x x x x ωωω=-- 33sin cos 22
x x ωω=- 133(sin cos )2x x ωω=- 3(sin )3
x πω=- 由题设知()06
f π
=， 所以63k ωπ
π
π-=，k Z ∈.
故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<，
所以2ω=.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.（5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）
A.圆柱
B.圆锥
C.四面体
D.三棱柱
2.（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）
A.﹣2﹣3i
B.﹣2+3i
C.2﹣3i
D.2+3i
3.（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a6等于（）
A.8
B.10
C.12
D.14
4.（5分）若函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）
A. B. C.
D.
5.（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）
A.18
B.20
C.21
D.40
6.（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
7.（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）
A.f（x）是偶函数
B.f（x）是增函数
C.f（x）是周期函数
D.f（x）的值域为[﹣1，+∞）
8.（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）
A.=（0，0），=（1，2）
B.=（﹣1，2），=（5，﹣2）
C.=（3，5），=（6，10）
D.=（2，﹣3），=（﹣2，3）
9.（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）
A.5
B.+
C.7+
D.6
10.（5分）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）
A.（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5
B.（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5
C.（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）
D.（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置
11.（4分）若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为.
12.（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于.
13.（4分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（单位：元）14.（4分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为.
15.（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：
①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是.
三、解答题：本大题共4小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
16.（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣.
（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间.
17.（13分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折
起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图.
（1）求证：AB⊥CD；
（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.
18.（13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：
①顾客所获的奖励额为60元的概率；
②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.
19.（13分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，
l2：y=﹣2x.
（1）求双曲线E的离心率；
（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由.
在2123题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修42：矩阵与变换
20.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1.
（1）求a的值及函数f（x）的极值；
（2）证明：当x＞0时，x2＜ex；
（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜cex. 21.（7分）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）.
（1）求矩阵A；
（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.
五、选修44：极坐标与参数方程
22.（7分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为
（θ为常数）.
（1）求直线l和圆C的普通方程；
（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.
六、选修45：不等式选讲
23.已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a.
（1）求a的值；
（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3.
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案） (2)
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）
A.圆柱
B.圆锥
C.四面体
D.三棱柱
【分析】直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状，即可. 【解答】解：圆柱的正视图为矩形，
故选：A.
【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题.
2.（（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）
A.﹣2﹣3i
B.﹣2+3i
C.2﹣3i
D.2+3i
【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简z，则其共轭可求.
【解答】解：∵z=（3﹣2i）i=2+3i，
∴.
故选：C.
【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题.
3.（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a6等于（）
A.8
B.10
C.12
D.14
【分析】由等差数列的性质和已知可得a2，进而可得公差，可得a6
【解答】解：由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，
解得a2=4，∴公差d=a2﹣a1=4﹣2=2，
∴a6=a1+5d=2+5×2=12，
故选：C.
【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题.
4.（5分）若函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）
A. B. C.
D.
【分析】由题意可得a=3，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可.
【解答】解：由题意可知图象过（3，1），
故有1=loga3，解得a=3，
选项A，y=a﹣x=3﹣x=（）x单调递减，故错误；
选项B，y=x3，由幂函数的知识可知正确；
选项C，y=（﹣x）3=﹣x3，其图象应与B关于x轴对称，故错误；
选项D，y=loga（﹣x）=log3（﹣x），当x=﹣3时，y=1，
但图象明显当x=﹣3时，y=﹣1，故错误.
故选：B.
【点评】本题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题.
5.（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）
A.18
B.20
C.21
D.40
【分析】算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，计算满足条件的S值，可得答案. 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，
∵S=21+22+1+2=2+4+1+2=9＜15，S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=20≥15.
∴输出S=20.
故选：B.
【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.
6.（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
【分析】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.
【解答】解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，
则圆心到直线距离d=，|AB|=2，
若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立.
若△OAB的面积为，则S==×2×==，
即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0，
则（|k|﹣1）2=0，
即|k|=1，
解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立.
故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件.
故选：A.
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键.
7.（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）
A.f（x）是偶函数
B.f（x）是增函数
C.f（x）是周期函数
D.f（x）的值域为[﹣1，+∞）
【分析】由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可.
【解答】解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx为周期函数，
当x＞0时，f（x）=x2+1，为二次函数的一部分，
故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，
故可排除A、B、C，
对于D，当x≤0时，函数的值域为[﹣1，1]，
当x＞0时，函数的值域为（1，+∞），
故函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），故正确.
故选：D.
【点评】本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题.
8.（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）
A.=（0，0），=（1，2）
B.=（﹣1，2），=（5，﹣2）
C.=（3，5），=（6，10）
D.=（2，﹣3），=（﹣2，3）
【分析】根据向量的坐标运算，，计算判别即可.
【解答】解：根据，
选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；
选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能.
选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能. 选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能.
故选：B.
【点评】本题主要考查了向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题.
9.（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）
A.5
B.+
C.7+
D.6
【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离.
【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则
∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，
∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，
∴P，Q两点间的最大距离是5+=6.
故选：D.
【点评】本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.
10.（5分）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5