黑龙江省大庆铁人中学2020届高三数学考前模拟训练试题 文（含解
析）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知全集U =R ，{}
2
|9A x x =<，{}|24B x x =-<<，则(
)R
A
B 等于（ ）
A. {}|32x x -<<-
B. {}|34x x <<
C. {}|23x x -<<
D. {}|32x x -<≤-
【答案】D 【解析】 【分析】
解出集合A ，然后利用补集和交集的定义可求出集合(
)R
A B .
【详解】
{}
{}2933A x x x x =<=-<<，{}24B x x =-<<，则
{2U
B x x =≤-或
}4x ≥，
因此，(
){}32R
A B x x ?=-<≤-.
故选：D.
【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，同时也考查了二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.
2.已知复数z 满足()2020
33z i i +=+，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数z 的虚部为（ ）
A. 2
5
i - B. 25-
C.
25
i D.
25
【答案】D 【解析】 【分析】
先利用复数的除法求出复数z ，利用共轭复数的概念可得出复数z ，由此可得出复数z 的虚部. 【详解】
()505
2020
41i
i
==，在等式()2020
33z i i
+=+两边同时除以3i +得
()()()20204336233355
i i z i i i i -+===-++-，62
55z i ∴=+，
因此，复数z 的虚部为2
5
. 故选：D.
【点睛】本题考查复数虚部的求解，涉及复数的除法以及共轭复数的概念，考查计算能力，属于基础题.
3.已知a 、b R ∈，且a b >，则（ ）
A. 11a b
<
B. sin sin a b >
C. 1133a b
????< ? ?????
D. 22a b >
【答案】C 【解析】 【分析】
利用特殊值法和函数单调性可判断出各选项中不等式的正误. 【详解】对于A 选项，取1a =，1b =-，则a b >成立，但
11
a b
>，A 选项错误； 对于B 选项，取a π=，0b =，则a b >成立，但sin sin0π=，即sin sin a b =，B 选项错误；
对于C 选项，由于指数函数13x y ??= ???
在R 上单调递减，若a b >，则1133a b
????< ? ?????，C 选项正
确；
对于D 选项，取1a =，2b =-，则a b >，但22a b <，D 选项错误. 故选：C.
【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用特殊值法、函数单调性与不等式的性质来进行判断，考查推理能力，属于中等题.
4.已知非零向量a b ，满足2a b =，且b a b ⊥（–），则a 与b 的夹角为 A.
π
6
B.
π3
C.
2π3
D.
5π6
【答案】B 【解析】 【分析】
本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数
学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．
【详解】因为()a b b -⊥，所以2
()a b b a b b -?=?-=0，所以2
a b b ?=，所以
cos θ=22
||122||
a b
b b a b ?==?，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π． 5.我们从这个商标
中抽象出一个图像如图，其对应的函数可能是( )
A. ()21
1f x x =-
B. ()21
1
f x x =+
C. ()11
f x x =
- D.
()1
1
f x x =
- 【答案】D 【解析】 【分析】
由图像分析得函数为偶函数，排除法即可.
【详解】由图像得函数的定义域为{}
1x x ≠±，排除B,C. 由1()02
f > 排除A. 故选：D.
【点睛】本题考查的是利用函数的图像分析判断出函数是偶函数的问题，属于基础题. 6.从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为
A.
25
B.
35
C. 38
D.
58
【答案】D 【解析】 【分析】
直接列举出所有的抽取情况，再列举出符合题意的事件数，即可计算出概率．
【详解】从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数为4416n =?=，即()()()()
()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,4,1,4,2,4,3,4,4，
抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的基本事件数为10m =，即
()()()()()()()()()()1,1,2,1,3,1,4,1,2,2,3,2,4,2,3,3,4,3,4,4，
故所求概率105168
m P n =
==，故选D ． 【点睛】本题主要考查古典概型概率的求法．
7.已知小明需从几门课程中选择一门作为自己的特长课程来学习，小明选完课后，同寝室的其他3位同学根据小明的兴趣爱好对小明选择的课程猜测如下： 甲说：“小明选的不是篮球，选的是排球”； 乙说：“小明选的不是排球，选的是书法” 丙说：“小明选的不是排球，选的也不是现代舞”.
已知3人中有1人说的全对，有1人说对了一半，另1人说的全不对，由此可推测小明选择的（ ） A. 可能是书法 B. 可能是现代舞 C. 一定是排球 D. 可能是篮
球 【答案】D 【解析】 【分析】
由题意依次假设小明的选择，逐一验证即可得解.
【详解】若小明选的是书法，则甲说的对一半，乙说的全对，丙说的全对，不合题意，故A 错误；
若小明选的是现代舞，则甲说的对一半，乙说的对一半，丙说的对一半，不合题意，故B 错误；
若小明选的是排球，则甲说的全对，乙说的全不对，丙说的对一半，符合题意，
若小明选的是篮球，则甲说的全不对，乙说的对一半，丙说的全对，符合题意，故C 错误，D 正确. 故选：D.
【点睛】本题考查了推理案例，考查了逻辑推理能力，有条理的逐一验证是解题关键，属于基础题.
8.已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ）
A. ,5()4k k π??
-∈
???
Z B. ,5()48k k ππ??
+-∈
???Z C. ,4()5k k π??
-∈
???
Z D. ,4()510k k ππ??
+-∈
???
Z 【答案】B 【解析】 【分析】
由值域为[5,3]-确定,a b 的值，得()5cos4g x x =--，利用对称中心列方程求解即可 【详解】因为()[,2]f x b a b ∈+，又依题意知()f x 的值域为[5,3]-，所以23a b += 得
4a =，5b =-，
所以()5cos4g x x =--，令4()2
x k k π
π=+
∈Z ，得()48
k x k ππ
=
+∈Z ，则()g x 的图象的对称中心为,5()48k k ππ??
+-∈ ???
Z . 故选：B
【点睛】本题考查三角函数 的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为0
9.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人所得与下三人等．问各得几何？”其意思是：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，戊所得为（ ）
A.
3
4
钱 B.
23
钱 C.
1
2
钱 D.
4
3
钱 【答案】B 【解析】 【分析】
由题意列出等差数列各项，再根据已知条件求得各项值，从而得到答案.
【详解】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a+d ，a+2d ， 由甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等， 即a ﹣2d+a ﹣d ＝a+a+d+a+2d ，得a ＝﹣6d ，
又五人分五钱，则a ﹣2d+a ﹣d+a+a+d+a+2d ＝5a ＝5， ∴a ＝1，则a+2d ＝a+2×6a ??- ???
＝
22
33a =． 故选B ．
【点睛】本题考查等差数列的通项和等差数列性质的应用，考查前n 项和的应用，属于基础题.
10.已知α∈R ，sin 2cos 2
αα+=
，则tan2α=( ) A.
43
B.
34 C. 34
-
D. 43
-
【答案】C 【解析】 【分析】
将sin 2cos 2
αα+=
两边同时平方，利用商数关系将正弦和余弦化为正切，通过解方程求出tan α，再利用二倍角的正切公式即可求出tan2α. 【
详
解
】
()22222
225sin 4sin cos 4cos sin 2cos =sin 4sin cos 4cos =2sin cos αααααααααααα++=++++再同时除以2
cos α，整理得22
tan 4tan 45tan 12
ααα++=?+23tan 8tan 30αα--=
故tan 3α=或1tan 3α=-，代入22tan tan21tan α
αα=-，得3tan 24
α=-.
故选C.
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和求值，考查了二倍角的正切公式以及平方关系，商数关系，属于基础题. 11.设点P 在曲线12
x
y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（ ）
A. 1ln2-
ln 2)-
C. 1ln2+
D.
ln 2)+
【答案】B 【解析】
【详解】由题意知函数y ＝12
e x
与y ＝ln(2x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，两曲线上点之间的最小距离就是y ＝x 与y ＝12e x 上点的最小距离的2倍．设y ＝1
2
e x 上点(x 0，y 0)
处的切线与直线y ＝x 平行．则
1=12
x e ，∴x 0＝ln 2，y 0＝1，
∴点(x 0，y 0)到y ＝x ＝
2
(1－ln 2)，
则|PQ |(1(1－ln 2)．
12.已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ，过点1F 且垂直于x 轴
的直线与该双曲线的左支交于A ,B 两点，若2ABF 的周长为24，则当2ab 取得最大值时，该双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A. 1
C. 2
D. 【答案】D 【解析】 【分析】
结合题意求出A ,B 两点坐标，根据双曲线定义用,a b 表示出2ABF 的周长，然后构造函数，利用导数研究2ab 的最大值，结合点到线的距离公式即可求解.
【详解】设1F ,2F 的坐标分别为()1,0F c -,()2,0F c ，将x c =-代入22221x y
a b
-=可得
2
b y a
=±
，不妨设22,,,b b A c B c a a ????
--- ? ??
???，由双曲线定义可知
21212,2,AF AF a BF BF a -=-=所
以
2
ABF 的周长为
22
22
224424,6,6b b AF BF AB a a b a a a a
++=+=+==-，令
()22326006,'12334y ab a a a y a a a a ==->?<<=-=-，故函数y 在()0,4上单调递
增，在()4,6上单调递减，所以当2
4,8a b ==时，2ab 取得最大值，又双曲线的渐近线方程
为b
y x a
=±
bc b ==
故选：D
【点睛】本题主要考查双曲线的定义及焦点到渐近线距离，利用导数研究函数的最值，属于中档题.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上） 13.已知点(1,2)M 在抛物线2
:2(0)C y px p =>上，则p =______；点M 到抛物线C 的焦点
的距离是______.
【答案】 (1). 2 (2). 2 【解析】 【分析】
将点M 坐标代入抛物线方程可得p 值，然后由抛物线的定义可得答案. 【详解】点(1,2)M 代入抛物线方程得：
2221p =?，解得：2p ＝；
抛物线方程为：2
4y x =，准线方程为：1x ＝-， 点M 到焦点的距离等于点M 到准线的距离：112--=（） 故答案为2,2
【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线的标准方程，属于简单题.
14.若x ，y 满足约束条件220
100x y x y y --≤??
-+≥??≤?
，则32z x y =+的最大值为_____________．
【答案】6 【解析】 【分析】
首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式31
22
y
x z =-+，之后在图中画出直线32y x =-
，在上下移动的过程中，结合1
2
z 的几何意义，可以发现直线31
22
y x z =-+过B 点时取得最大值，联立方程组，求得点B 的坐标代入目标函数解析式，求
得最大值.
【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：
由32z x y =+，可得31
22
y x z =-+， 画出直线3
2
y x =-
，将其上下移动， 结合
2z
的几何意义，可知当直线3122
y x z =-+在y 轴截距最大时，z 取得最大值， 由2200
x y y --=??=?，解得(2,0)B ， 此时max 3206z =?+=，故答案为6.
点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解. 15.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知4
A π
=，22
2
12
a c
b -=
，则sin C 的值为________________.
【答案】10
； 【解析】 【分析】
由题意结合余弦定理得b =，进而可得a =，再由正弦定理即可得解.
【详解】4
A π
=
，∴由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-即222a c b -=-，
又2
2
212a c b -=
，∴221
2
b b =，∴b =，
∴()
22221
2
4a c c -=?=，∴a =，
∴sin C A ===
故答案为：
10
. 【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理的综合应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，
属于中档题.
16.已知三棱锥P ABC -中，1PA =，7PB =
，22AB =，5CA CB ==，面PBA ⊥
面ABC ，则此三棱锥的外接球的表面积为____． 【答案】
253
π 【解析】 【分析】
作示意图，由勾股定理分析出PA PB ⊥，设H 为AB 的中点，得到CH ⊥面PAB ， 再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得HA HB HC ==，从而得到外接球球心O 在CH 上，再求出外接球半径，从而求出外接球的表面积. 【详解】作示意图如图所示：
设H 为AB 的中点，由5CA CB ==CH AB ⊥，又面PBA ⊥面ABC ， 则CH ⊥面PAB ，
由题222PA PB AB +=，故PA PB ⊥，则HA HB HP ==， 故三棱锥的外接球球心O 在CH 上，球半径为R ，则R =AO CO =，
223CH AC AH =-=3OH CH R R =-=-，
又2
2
2
AO OH AH =+，得22
(3)2R R =-+，得23
R =
，
三棱锥的外接球的表面积为2
244(
23
R ππ=?253
π
=
. 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，找出外接球球心的位置是解决问题的关键. 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.在数列{}n a 中，任意相邻两项为坐标的点()1,n n P a a +均在直线2y x k =+上，数列{}n b 满
足条件：12b =，()
*
1n n n b a a n N +=-∈.
（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）若21
log n n n
c b b =?，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（1）()*
2n
n b n N =∈；
（2）()()1*122n n
S n n N +=--?-∈.
【解析】 【分析】
（1）由题意得出12n n a a k +=+，利用等比数列的定义可证明出数列{}n b 是以2为首项，以2为公比的等比数列，由此可求出数列{}n b 的通项公式； （2）求出数列{}n c 的通项公式，然后利用错位相减法能求出n S .
【详解】（1）
数列{}n a 中，任意相邻两项为坐标的
点()1,n n P a a +均在直线2y x k =+上，
12n n a a k +∴=+，12n n n n n n b a a a k a a k +∴=-=+-=+.
()11222n n n n n b a k a k k a k b ++∴=+=++=+=，1
2n n
b b +∴
=， 12b =，∴数列{}n b 是以2为首项，以2为公比的等比数列. ∴数列{}n b 的通项公式为()
*2n n b n N =∈；
（2）由于2
211log 2log 22
n n
n n n n c b n b ==?=-?， 231222322n n S n ∴-=?+?+?+
+?，①
()23412122232122n n n S n n +∴-=?+?+?+
+-?+?，②
①-②得(
)()231
1
121222222
2
12212
n
n
n n n n
S n n n +++?-=++++-?=
-?=--?--.
【点睛】本题考查利用等比数列的定义求数列的通项，同时也考查了利用错位相减法求数列的和，考查计算能力，属于中等题.
18.微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.据统计，某公司200 名员工中90%的人使用
微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信时间在一小
时以上，若将员工分成青年(年龄小于40 岁)和中年(年龄不小于40 岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人.若规定:每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中
2
3
都是青年人. (1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出并完成22? 列联表：
(2)由列联表中所得数据判断，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？ (3)采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取6人，从这6人中任选2人，求选出的2人均是青年人的概率. 附：
2
2
()()()()()
n ad bc k a b c d a c b d -=++++.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2
5
【解析】
试题分析：（1）由已知可得，该公司员工中使用微信的有20090%180?=人，进而得到使用微信的人数和青年人的人数等，从而列出22?的列联表，； （2）根据列联表的数据，求解2K 的值，得出结论； （3）从“经常使用微信”的人中抽取6人，其中，青年人有
80
64120
?=人，中年人有
40
62120
?=，进而利用古典概率，即可求解概率． 试题解析：(Ⅰ)由已知可得，该公司员工中使用微信的有20090%180?=人， 经常使用微信的有18060120-=人，其中青年人有2
120803
?=人，使用微信的人中青年人有18075%135?=人．
所以22?列联表为：
(Ⅱ)将列联表中数据代入公式可得：()2
21808055540k 13.3331206013545
?-?=
≈???，由于
13.33310.828>，
所以有99.9%
的
把握认为“经常使用微信与年龄有关”．
(Ⅲ)从“经常使用微信”的人中抽取6人，其中，青年人有80
64120
?=人， 中年人有
40
62120
?=， 记4名青年人的编号分别为1，2，3，4，记2名中年人的编号分别为5，6，
则从这6人中任选2人的基本事件有()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,3，()2,4，
()2,5，()2,6，()3,4，()3,5，()3,6，()4,5，()4,6，()5,6，共15个，其中选出的2人
均是青年人的基本事件有()1,2，()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，()3,4，共6个，故所求事件的概率为62
P 155
=
=． 点睛：本题考查了独立性检验及概率的计算：其中（1）根题设条件得出使用微信的中年人和青年人人数，列出2*2的列联表；（2）根据独立性检验的公式准确计算2K 的值；（3）求出被抽的6人中青年人和中年人的人数，列出基本事件的个数，利用古典概率及其概率的计算公式求解概率即可．
19.如图，等腰梯形ABCD 中，,1,2AB CD AD AB BC CD ====∥，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE 折起，使点D 到达点P 的位置（P ?平面ABCE ）．
（Ⅰ）证明：AE PB ⊥；
（Ⅱ）当四棱锥P ABCE -体积最大时，求点C 到平面PAB 的距离． 【答案】()I 证明见解析；()II 15
5
. 【解析】 【分析】
()I 通过等腰梯形中的长度和平行关系可证得BD AE ⊥，可知翻折后OP AE ⊥，OB AE ⊥，从而可得AE ⊥平面POB ，进而证得结论；()II 求解出三棱锥P ABC -体积后，利用
C P A ABC P B V V --=求出结果.
【详解】()I 证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O
//,AB CE AB CE = ∴四边形ABCE 为平行四边形
AE BC AD DE ∴=== ADE ∴?为等边三角形
∴在等腰梯形ABCD 中，3
C ADE π
∠=∠=
,BD BC ⊥ BD AE ∴⊥
翻折后可得：,OP AE OB AE ⊥⊥
又OP ?平面POB ，OB ?平面POB ，OP OB O = AE ∴⊥平面POB
PB ?平面POB AE PB ∴⊥
()II 当四棱锥P ABCE -的体积最大时平面PAE ⊥平面ABCE
又
平面PAE
平面ABCE AE =，PO ?平面PAE ,PO AE ⊥
OP ∴⊥平面ABCE
3OP OB ==
6PB ∴= 1AP AB == 3
1112cos 24
PAB +-
∴∠=
=
15sin PAB ∴∠= 115sin 2PAB
S
PA AB PAB ∴=
?∠=
又1
13313
3248
P ABC ABC
V OP S -=
?=??= 设点C 到平面PAB 的距离为d
3
315
8158
C PAB
PAB
V d S -∴=
==【点睛】本题考查立体几何中线线垂直的证明、点到平面距离的求解.在立体几何问题中，证
明线线垂直通常采用先证线面垂直，再利用线面垂直性质得到结论；求解点到平面距离的解题方法是利用体积桥的方式建立方程.
20.过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，
与y 轴的交点为C ，已知6
13
AB BC =. （1）求椭圆的离心率；
（2）设动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，若x 轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥，求椭圆的方程.
【答案】（1）12e =；（2）22
143
x y +=.
【解析】
【详解】（1）∵A (,0)a -,设直线方程为2()y x a =+,11(,)B x y 令0x =,则2y a =,∴(0,2)C a ,
∴1111(,),(,2)AB x a y BC x a y =+=--∵6
13
AB BC =
，∴1x a +=
11166
(),(2)1313x y a y -=-, 整理得111312
,1919
x a y a =-=
∵B 点在椭圆上,∴22221312()()11919a b
+?=,∴2
2
3
,4
b a ∴222
3,4
a c a -=即2
314e -=,∴12e = （2）∵2
2
3
,4
b a
可设223.4b t a t ==, ∴椭圆的方程为2
2
34120x y t +-=
由2234120{x y t y kx m
+-==+得222(34)84120k x kmx m t +++-=
∵动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P ∴0?=,即2
2
2
2
644(34)(412)0k m m m t -+-=
整理得2234m t k t =+ 设P 11(,)x y 则有122842(34)34km km x k k =-=-++,112
334m
y kx m k
=+=+ ∴22
43(,)3434km m
P k k -
++
又(1,0)M ,Q (4,4)k m +
若x 轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥, ∴22
43(1,)(3,(4))03434km m
k m k k +
-?--+=++恒成立
整理得2234k m +=,
∴223434k t k t +=+恒成立,故1t =
所求椭圆方程为22
143
x y +=
考点：椭圆的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，共线向量，平面向量垂直的充要条件. 21.已知函数()()11x
f x x e x =---（e 是自然对数的底数）.证明:
（1）()f x 存在唯一的极值点; （2）0f x
有且仅有两个实根，且两个实根互为相反数.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）要证明()f x 存在唯一极值点，通常情况下，即证明()0f x '=有唯一解，且在此解左右两边的单调性不一致即可；
（2）首先借助第（1）问的结论与零点存在定理证明在0(,)x -∞只有一个零点，在0(,)x +∞只有一个零点，然后令()10f x =去证明()10f x -=，即可得到()0f x =的两根互为相反数. 【详解】证明:（1）()f x 的定义域为(),,-∞+∞
()()'111x x x f x e e x xe =+--=-，
当0x ≤时,()10x
f x xe '=-<；
当0x >时,()"1()0x
f x x e =+>,即()'f x 在(0,)+∞上是增函数，
又()()'010,'110f f e =-<=->， 所以存在()00,1x ∈,使得()0'0,f x =
并且当00x x <<时()'0f x <,当0x x >时,()0f x '>， 所以当0(,)x x ∈-∞时,()()'0,f x f x <是减函数， 当0,( )x x ∈+∞时,()()'0,f x f x >是增函数， 即0x 是()f x 唯一的极值点,且是极小值点。
（2）由（1）得： ()f x 在0(,)x x ∈-∞上是减函数，其中()00,1x ∈， 又()()2
2
3
23110,020,f e
f e --=-+=-
>=-< 所以()f x 在0(,)x -∞只有一个零点，且这个零点在区间(2,0)-上，
()f x 在0,( )x x ∈+∞上是增函数，
又()2
230f e =->，()0(0)0f x f <<，
所以()f x 在0(,)x +∞只有一个零点，且这个零点在区间0(,2)x 上， 所以()f x 仅有两个零点,分别记作()1212,0.x x x x << 由于()0f x =，
所以()()1
111110x f x x e x =---=，即1
1111x x e x +=
-，故1
11
11x x e x --=+.
()()()
11111111
1
111101x x f x x e x x x x ---=--+-=--+-=+ 即1x -也是()f x 的零点,即12x x -=
所以120x x +=,即()0f x =的两根互为相反数.
【点睛】本题考查了极值点、零点的存在问题，解题的关键是熟练运用零点存在定理，借助
函数的单调性得出零点的唯一性。
请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.
选修4-4：坐标系与参数方程
22.已知直线L 的参数方程为：()x 2t cos t y=tsin α
α=-+???
为参数 ，以坐标原点为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为=2sin -2cos ρθθ . （Ⅰ）求曲线C 的参数方程；
（Ⅱ）当4
π
α=
时，求直线l 与曲线C 交点的极坐标. 【答案】（Ⅰ）()12cos 12sin x y ?
??
?=-+??=+??为参数
（Ⅱ）()2+2k k 2
Z π
π?
?∈ ??
?
，，
；(2，2+2k π), ()k Z ∈ 【解析】 【分析】
（Ⅰ）先两边同乘以ρ，利用2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== 即可得到曲线C 的直角
坐标方程，化为标准方程后可得到其参数方程；（Ⅱ）将直线的参数方程利用代入法消去参数得到普通方程，将直线的普通方程与曲线的直角坐标方程联立可得交点的直角坐标，化为极坐标即可得结果. 【详解】（Ⅰ）由，可得
所以曲线的直角坐标方程为
，
标准方程为
，
曲线的极坐标方程化为参数方程为