当前位置：文档之家› 拉普拉斯变换公式总结

拉普拉斯变换公式总结

拉普拉斯变换公式总结 The pony was revised in January 2021

拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析

基本要求

通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。

知识要点

1. 拉普拉斯变换的定义及定义域

（1）定义

单边拉普拉斯变换：

正变换0[()]()()st

f t F s f t dt e ζ∞

==?

逆变换 1

[()]()()2j st

j F s f t F s ds j e σσζπ+∞

-∞

双边拉普拉斯变换：

正变换 ()()st

B s f t dt e F ∞

--∞

逆变换1

()()2j st

B j f t s ds j e F σσπ+∞

-∞

（2）定义域

若0σσ>时，lim ()0t

t f t e

σ-→∞

=则()t

f t e

σ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()st

f t dt e +∞

存

在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。

2. 拉普拉斯变换的性质

（1）线性性

若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则

11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2）原函数微分

若[()]()f t F s ζ=则()

[

]()(0)df t sF s f dt

ζ-=- 1

1()0

()[]()(0)n n n n r r n

r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中()

(0)r f

-是r 阶导数()

r r

d f t dt

在0-时刻的取值。（3）原函数积分

若[()]()f t F s ζ=，则(1)(0)()[()]t

f F s f t dt s s

ζ---∞

=+?

式中0(1)

(0)()f f t dt ---∞=?

（4）延时性

若[()]()f t F s ζ=，则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---=

（5） s 域平移

若[()]()f t F s ζ=，则[()]()at f t e F s a ζ-=+

（6）尺度变换

若[()]()f t F s ζ=，则1[()]()s

f at F a a

ζ=

（a >0）（7）初值定理lim ()(0)lim ()t o s f t f sF s +

+→→∞

（8）终值定理lim ()lim ()t s f t sF s →+∞

→∞

（9）卷积定理

若11[()]()f t F s ζ=，22[()]()f t F s ζ=，则有1212[()()]()()f t f t F s F s ζ*=

12121[()()][()()]2f t f t F s F s j

ζπ=

121

()()2j j F p F s p dp j σσ

π+∞-∞

3. 拉普拉斯逆变换

（1）部分分式展开法

首先应用海维赛展开定理将()F s 展开成部分分式，然后将各部分分式逐项进行逆变换，最后叠加起来即得到原函数()f t 。

（2）留数法

留数法是将拉普拉斯逆变换的积分运算转化为求被积函数()st F s e 在围线中所有极点的留数运算，即(1)

[()]()()[()]22j st st st j c

F s F s e ds F s e ds F s e j j σσ

ππ+∞--∞

=∑??

极点

的留数

若i p 为一阶级点，则在极点i s p =处的留数2

[()()]i

i i i s p i r s p F s e X ===-∑

若i p 为k 阶级点，则1

11[()()](1)!i

k k st i i s p k d r s p F s e k ds

-=-=

4. 系统函数（网络函数）H （s ）

（1）定义

系统零状态响应的拉普拉斯变换与激励的拉普拉斯变换之比称为系统函数，即

()

()()

zs R s H s E s =

冲激响应()h t 与系统函数()H s 构成变换对，即()[()]H s h t ζ=系统的频率响应特性()()()()j w s jw

H jw H s H jw e ?===式中，()H jw 是幅频响应特性，()w ?是相频响应特

性。

（2）零极点分布图

1212()()()

()()()()()()

m n K s z s z s z N s H s D s s p s p s

p ---=

=--- 式中，K 是系数；1z ，2z ，m z 为()H s 的零

点；1p ，2p ，，n p 为()H s 的极点。在s 平面上，用“

”表示零点，“X ”表示极

点。将()H s 的全部零点和极点画在s 平面上得到的图称为系统的零极点分布图。对于实系统函数而言，其零极点要么位于实轴上，要么关于实轴成镜像对称分布。

（3）全通函数

如果一个系统函数的极点位于左半平面，零点位于右半平面，而且零点与极点对于jw 轴互为镜像，那么这种系统函数称为全通函数，此系统则为全通系统或全通网络。全通网络函数的幅频特性是常数。

（4）最小相移函数

如果系统函数的全部极点和零点均位于s 平面的左半平面或jw 轴，则称这种函数为最小相移函数。具有这种网络函数的系统为最小相移网络。

（5）系统函数()H s 的求解方法

①由冲激响应()h t 求得，即()[()]H s h t ζ=。

②对系统的微分方程进行零状态条件下的拉普拉斯变换，然后由()

()()

zs R s H s E s =

获得。 ③根据s 域电路模型，求得零状态响应的像函数与激励的像函数之比，即为()H s 。

5. 系统的稳定性

若系统对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则此系统为稳定系统。

（1）稳定系统的时域判决条件()h t dt M +∞

-∞

≤?

（充要条件） ①

若系统是因果的，则①式可改写为0

()h t dt M +∞

≤?

（2）对于因果系统，其稳定性的s 域判决条件

①若系统函数()H s 的全部极点落于s 左半平面，则该系统稳定；

②若系统函数()H s 有极点落于s 右半平面，或在虚轴上具有二阶以上的极点，则该系统不稳定；

③若系统函数()H s 没有极点落于s 右半平面，但在虚轴上有一阶极点，则该系统临界稳定。

内容摘要

例题

·例题1：求拉氏变换

·例题2：求拉氏变换，拉氏变换的性质

·例题3：拉氏变换的微分性质

拉氏变换的定义和收

敛域

二．单边拉氏变换逆变换的求法

部分分式展开

法三．拉氏变换的基本性质四．用拉普拉斯变换法分析电路

五．系统函

数

一.拉普拉斯

·例题4：系统函数，求解系统的响应

·例题5：用拉氏变换法分析电路·

例4-1

求下列函数的拉氏变换 ()()1-=t tu t f

分析

拉氏变换有单边和双边拉氏变换,为了区别起见,本书以()s F 表示()t f 单边拉氏变换,以

()s F B 表示()t f 双边拉氏变换。若文字中未作说明,则指单边拉氏变换。单边拉氏变换只研

究0≥t 的时间函数,因此,它和傅里叶变换之间有一些差异,例如在时移定理,微分定理和初值定理等方面。本例只讨论时移定理。请注意本例各函数间的差异和时移定理的正确应用。

解答

()()[]()()()[]s s s

t u t u t L t tu L s F -???

??+=-+--=-=e 1111112

例4-2

求三角脉冲函数)(f t 如图4-2（a ）所示的象函数

()?????<<-<<=其他 02t 1 21t 0

t t t

分析

和傅里叶变换类似，求拉氏变换的时，往往要借助基本信号的拉氏变换和拉氏变换的性质，这比按拉氏变换的定义式积分简单，为比较起见，本例用多种方法求解。

解答

方法一：按定义式求解

方法二：利用线性叠加和时移性质求解

方法三：利用微分性质求解

方法四：利用卷积性质求解

方法一：按定义式求解

方法二：利用线性叠加和时移性质求解

由于

()()()()

222222221101010102

10e 11

e 1e 2e 2e 21e 1e 1d e d e 2d e 1e 1d e 2d e d e s

s s s s s st

st st st st

st st

s s

s s s s s s t t t t s s t t t t t t t f s F -------------∞

--=-++-+--=-++??? ??-=-+==??????-

于是

方法三：利用微分性质求解

分析

信号的波形仅由直线组成，信号导数的象函数容易求得，或者信号经过几次微分后出现原信号，这时利用微分性质比较简单。将()t f 微分两次，所得波形如图4-2（b ）所示。

显然

根据微分性质

()()()()()()

22112--+---=t u t t u t t tu t f ()[]()[]()0e 102

st s F t t f L s t tu L -=-=

()()

(

)

2222e 11

e e 211

s s s

s F ----=+-=

()()()()[]()

e 1212d d s

t δt δt δL t t f L --=-+--=??

????

由图4-2（b ）可以看出于是

方法四：利用卷积性质求解

()t f 可看作是图4-2(c ）所示的矩形脉冲()t f 1自身的卷积

于是，根据卷积性质而

所以例4-3

()()()()

--'-=?

????00d d 222sf f s F s t t f L ()

00=-f ()

0='-f ()()

2e 1s s F s --=()()

2e 11

s s

s F --=

()()()

t f t f t f 11*=

()()()

s F s F s F 11=()()s s

s F --=e 11

1()(

)

2e 11

s s

s F --=

图4-2

应用微分性质求图4-3（a）中的象函数下面说明应用微分性质应注意

图4-3（a）

解答

说明

（1）对于单边拉氏变换, (

)()(),

由于故二者的象函数相同，即

()()t f

(

(),

f()()()t f

图

4-4（b)

()()

()()()()()，因而

，但

虽然t

2≠

()

[]()

[]t f L

≠

()()，故

，由于

对于0

()

[]()3

()()，故

，由于

对于2

()

[]()1

因而

这是应用微分性质应特别注意的问题。

由图4-3（b ）知

例4-4

某线性时不变系统，在非零状条件不变的情况下，三种不同的激励信号作用于系统。

为图中所示的矩形脉冲时，求此时系统的输出

()()()()()，，一阶导数相同，但和虽然002033232==--f f t f t f 因此()()()()2

d 0d 0202+=+=??-

--x x δf x x δt f t

t ()()()()x

x δf x x δt f t

t d 0d 0303??-

-=+=-()()[]()s f s t δF s s F 3

01122=

+=-()()[]()s

f s t δF s s F 1

01133=

+=-()[]()3

01=-='s sF t f L ()s s F 31=

则()[]()122=-='s sF t f L ()s s F 3

则()()x x δt f t

d 03?-=()()[]()s

f s t δF s s F 101133=+=

-则()()()()()；时，系统的输出为当输入t u t t y t δt x t -+==e 11δ()()()()()；时，系统的输出为当输入t u t y t t u t x t -==e 322()t x 3当输入()。

3t y

阶跃响应

则

例4-5

电路如图4-5（a ）所示

（1）求系统的冲激响应。

（2）求系统的起始状态使系统的零输

入响应等于冲激响应。

()()()()()

t h t y t y t y t y +=+=zi zs zi 1()()()()()()()t g t y t h t y t y t y t y +=+=+=--zi )1(zi )

1(zs

zi 1()()()()()t

t t h t h t y t y ---=+=-e 2)1(21δ()()12

11+-

=-s s H s s H ()()()

t u t t h t --=e δ()()()()()()t u t y t y t y t y t h t

-=-=-=e 2zs 1zi 2()()()()

t u t y t y t g t -=-=e zi 2()()()()

()()()()()

3e 1e e 23131zi 3---+=---+=-----t u t u t u t g t g t y t y t t t +

()

t v C

(t e 4-5(a)

()(),

00C L --v i 、

（3）求系统的起始状态，

解答

（1）求系统的冲激响应。

系统冲激响应()t h 与系统函数()s H 是一对拉氏变换的关系。对()s H 求逆变换可求得()t h ，这种方法比在时域求解微分方程简便。

利用s 域模型图4-5（b ）可直写出图4-5（a ）电路的系统函数

冲激响应

（2）求系统的起始状态

为求得系统的零输入响应，应写出系统的微分方程或给出带有初值的s 域模型。下面我们用s 域模型求解。图4-5(a)电路的s 域模型如图4-5(b)。

由图4-5(b)可以写出

()的激励时的完

使系统对t u ()。

全响应仍为t u ()()()1

211

++=++=

=s s sC

sL R sC

s E s V s H o +-

()-01

C v s

()

s V o s

1()

s E s

()

-0L i 4-5(b)

()()[]()

t u t s H L t h t --==e 1()()()()()()()()()()1 00201112001

L C 2C L C o +++=++

++-=-----i v s s E v s s s

s i v s s E s V

上式中第二项只和系统起始状态有关，因此该项是零输入响应的拉氏变换。依题意的要求，该项应和()s H 相等，从而得

故系统的起始状态说明

通过本例可以看出，改变系统的起始状态可以使系统的完全响应满足某些特定要求。本质上，系统的零输入响应完全由系统的起始状态决定，对一个稳定系统而言，零输入响应是暂态响应中的一部分，因此，改变系统的起始状态只能改变系统的暂态响应，使暂态响应满足某些特定要求，例如，本例要求暂态响应为零。

（3）求系统的起始状态

()()()求得完全响应根据式当激励信号1t u t e =

()()()1

002L C =++-

i v s ()()1

000L C ==--i v ()()()()()()()()2 1

2002122

1 1

2002121

L C 22

L C 2o +++++++--+=+++++++=----s s i v s s s s s s s i v s s s s s V ()()有

等于激励信号完全响应由该式容易看出，要使,o t u t υ()()()0

2002L C =--++--

s i v s

从而求得系统的起始状态

附录A 拉普拉斯变换及反变换

1.表A-1 拉氏变换的基本性质

()()0

010L C ==--i v

2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表

3．用查表法进行拉氏反变换

用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式

1110

111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++=

=---- （m n >）式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将

)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。

① 0)(=s A 无重根

常用拉普拉斯变换总结 1、指数函数 000)(≥

若0σσ>时，lim ()0t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质（1）线性性若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2）原函数微分若[()]()f t F s ζ=则() [ ]()(0)df t sF s f dt ζ-=- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。（3）原函数积分若[()]()f t F s ζ=，则(1)(0)()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+? 式中0(1) (0)()f f t dt ---∞=? （4）延时性若[()]()f t F s ζ=，则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移

拉普拉斯变换公式总结Newly compiled on November 23, 2020

拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析基本要求通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域（1）定义单边拉普拉斯变换：正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ --==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ ==? 双边拉普拉斯变换：正变换 ()()st B s f t dt e F ∞--∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ? （2）定义域若0σσ>时，lim ()0t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质

（1）线性性若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则 11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2）原函数微分若[()]()f t F s ζ=则() []()(0)df t sF s f dt ζ-=- 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。（3）原函数积分若[()]()f t F s ζ=，则(1)(0) ()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+?式中0(1)(0)()f f t dt ---∞=? （4）延时性若[()]()f t F s ζ=，则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移若[()]()f t F s ζ=，则[()]()at f t e F s a ζ-=+ （6）尺度变换若[()]()f t F s ζ=，则1[()]()s f at F a a ζ= （a >0）（7）初值定理lim ()(0)lim ()t o s f t f sF s + +→→∞ == （8）终值定理lim ()lim ()t s f t sF s →+∞ →∞ = （9）卷积定理若11[()]()f t F s ζ=，22[()]()f t F s ζ=，则有1212[()()]()()f t f t F s F s ζ*= 12121[()()][()()]2f t f t F s F s j ζπ= *= 121 ()()2j j F p F s p dp j σσπ+∞ -∞ -? 3. 拉普拉斯逆变换（1）部分分式展开法

拉普拉斯变换公式总结..

若0 σσ>时，lim ()0 t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0 σσ>的全部范围内收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0 σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0 σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质（1）线性性若 11[()]() f t F S ζ=, 22[()]() f t F S ζ=, 1 κ, 2 κ为常数时，则 11221122[()()]()() f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2）原函数微分若[()]()f t F s ζ=则() []()(0)df t sF s f dt ζ- =- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中() (0) r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0- 时刻的取值。（3）原函数积分若 [()]() f t F s ζ=，则 (1)(0) ()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+ ? 式中 (1)(0)()f f t dt ---∞ =? （4）延时性若[()]()f t F s ζ=，则0 [()()]() st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移若[()]()f t F s ζ=，则[()]() at f t e F s a ζ-=+ （6）尺度变换

拉普拉斯变换公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

附录A 拉普拉斯变换及反变换 419

3．用查表法进行拉氏反变换 420

421 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >）式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ =-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2）或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1)()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；

拉普拉斯变换 Prepared on 22 November 2020

§13拉普拉斯变换重点：1.拉普拉斯反变换部分分式展开 2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路 3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤难点： 1.拉普拉斯反变换的部分分式展开法 2.电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用本章与其它章节的联系：是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。预习知识：积分变换 §13－1拉普拉斯变换的定义 1.拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。 2.拉普拉斯变换的定义一个定义在[0,+∞)区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为式中c为正的有限常数。注意： 1）定义中拉氏变换的积分从t=0-开始，即：它计及t=0-至0+，f(t)包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方便。 2）象函数F(s)一般用大写字母表示,如I(s)，U(s)，原函数f(t)用小写字母表示，如 i(t),u(t)。 3）象函数F(s)存在的条件： 3.典型函数的拉氏变换 1)单位阶跃函数的象函数

1 最全拉氏变换计算公式 1. 拉氏变换的基本性质 1 线性定理齐次性 )()]([s aF t af L = 叠加性 )()()]()([2121s F s F t f t f L ±=± 2 微分定理一般形式 = -=][ '- -=-=----=-∑1 1 )1() 1(1 22 2) ()() 0()()(0)0()(])([)0()(]) ([ k k k k n k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（初始条件为0时 )(])([s F s dt t f d L n n n = 3 积分定理一般形式 ∑???????????==+-===+=+ +=+= n k t n n k n n n n t t t dt t f s s s F dt t f L s dt t f s dt t f s s F dt t f L s dt t f s s F dt t f L 10 102 2022 ]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个共个共初始条件为0时 n n n s s F dt t f L ) (]))(([=??个共 4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=-- 5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=- 6 终值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t →∞ →= 7 初值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t ∞ →→= 8 卷积定理 )()(])()([])()([210 210 21s F s F d t f t f L d f t f L t t =-=-??τττττ

附录A 拉普拉斯变换及反变换表A-1 拉氏变换的基本性质

表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表

用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设 )(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >）式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2）或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 1 1 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + =n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；

附录A拉普拉斯变换及反变换

3．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10111) ()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++== ---- （m n >）式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ =-= -+ +-+ +-+ -= n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 1 2 21 1)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2）或 i s s i s A s B c ='= ) ()( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []?? ????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ())()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---=+ =n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -+ +-+ +-+ -+ +-+ -++-- 1 1111111) () () ( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；

附录A拉普拉斯变换及反变换 419

420

421 3．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =---- （m n >）式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(l i m s F s s c i s s i i -=→ （F-2）或 i s s i s A s B c ='=)() ( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；

§13 拉普拉斯变换重点：1.拉普拉斯反变换部分分式展开 2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路 3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤难点： 1. 拉普拉斯反变换的部分分式展开法 2. 电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用本章与其它章节的联系：是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。预习知识：积分变换 §13－1 拉普拉斯变换的定义 1. 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t) 与复变函数F(s) 联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。 2. 拉普拉斯变换的定义一个定义在[0,+∞) 区间的函数f(t) ，它的拉普拉斯变换式F(s) 定义为式中s=σ＋jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。由F(s) 到f(t) 的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为式中 c 为正的有限常数。注意： 1）定义中拉氏变换的积分从t=0- 开始，即：它计及t=0- 至0+ ，f(t) 包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方便。 2）象函数F(s) 一般用大写字母表示, 如I(s)，U(s) ，原函数f(t) 用小写字母表示，如i(t),u(t)。 3）象函数F(s) 存在的条件： 3.典型函数的拉氏变换 1) 单位阶跃函数的象函数

拉普拉斯变换公式总结 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】

（2）定义域若0σσ>时，lim ()0t t f t e σ-→∞=则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质（1）线性性若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则 11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2）原函数微分若[()]()f t F s ζ=则() [ ]()(0)df t sF s f dt ζ-=- 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。（3）原函数积分若[()]()f t F s ζ=，则(1)(0)()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+? 式中0(1) (0)()f f t dt ---∞=? （4）延时性若[()]()f t F s ζ=，则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移

1拉氏变换的定义若时间函数 f (t ) 在 t > 0 有定义，则 f (t ) 的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）为 ? ∞ -?= =0 )()()]([dt e t f s F t f L ts ???)()(t f s F 2拉普拉斯反变换 s s F t f st d e )(j 21 )( j j ?∞ +∞ -=σσ π ,可表示为：f (t ) =L -1[F (s )] 1.表A-1 拉氏变换的基本性质 1 线性定理齐次性 )()]([s aF t af L = 叠加性 )()()]()([2121s F s F t f t f L ±=± 2 微分定理一般形式 = -=][ '- -=-=----=-∑1 1)1() 1(1 22 2) ()() 0()()(0)0()(])([)0()(]) ([ k k k k n k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（初始条件为0时 )(])([s F s dt t f d L n n n = 3 积分定理一般形式 ∑???????????==+-===+=+ +=+= n k t n n k n n n n t t t dt t f s s s F dt t f L s dt t f s dt t f s s F dt t f L s dt t f s s F dt t f L 10 102 2022 ]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个共个共初始条件为0时 n n n s s F dt t f L ) (]))(([=??个共 4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=-- 5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=- 6 终值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t →∞ →= 7 初值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t ∞ →→= 8 卷积定理 )()(])()([])()([210 210 21s F s F d t f t f L d f t f L t t =-=-??τττττ 像原像

1 拉氏变换及反变换公式 1. 拉氏变换的基本性质 1 线性定理齐次性 )()]([s aF t af L = 叠加性 )()()]()([2121s F s F t f t f L ±=± 2 微分定理一般形式 = -=][ '- -=-=----=-∑ 1 1 ) 1() 1(1 2 2 2 ) ()() 0()() (0)0()(]) ([) 0()(])([k k k k n k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（初始条件为0时 )(]) ([ s F s dt t f d L n n n = 3 积分定理一般形式 ∑ ???????????==+-===+=+ + = + = n k t n n k n n n n t t t dt t f s s s F dt t f L s dt t f s dt t f s s F dt t f L s dt t f s s F dt t f L 1 1 2 2 2 2 ]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个共个共初始条件为0时 n n n s s F dt t f L )(]))(([=??个共 4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=-- 5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=- 6 终值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t →∞ →= 7 初值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t ∞ →→= 8 卷积定理 )()(])()([])()([210 210 21s F s F d t f t f L d f t f L t t =-=-??τττττ

拉氏变换及反变换公式 1

3 3．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =----ΛΛ （m n >）式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)(ΛΛ 式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ 或 i s s i s A s B c ='= )() ( 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 ② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= +Λ = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；

最全拉氏变换计算公式 1

拉普拉斯变换公式总结 The following text is amended on 12 November 2020.

附录A 拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质 419

2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表 420

421 3．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =????L L （m n >）式中系数n n a a a a ,,...,,110?，m m b b b b ,,,110?L 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=?=?++?++?+?=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)(L L （F-1）式中，n s s s ,,,21L 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i ?=→ （F-2）或 i s s i s A s B c =′= )() ( （F-3）式中，)(s A ′为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []???????==∑=??n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c ?=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ???= +L = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c ?++?++?+?++?+?++??L L L 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；

拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析基本要求通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域（1）定义单边拉普拉斯变换：正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ -- == ? # 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ ==? 双边拉普拉斯变换：正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ? （2）定义域若0σσ>时，lim () 0t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分 0()st f t dt e +∞ -- ? 存在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质（1）线性性 ^ 若 11[()]() f t F S ζ=, 22[()]() f t F S ζ=, 1 κ, 2 κ为常数时，则 11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2）原函数微分若[()]()f t F s ζ=则() [ ]()(0)df t sF s f dt ζ-=- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑

时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种。一、拉氏变换的定义已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换为 (2-45) 式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示为 (2-46) 因为是复自变量的函数，所以是复变函数。有时，拉氏变换还经常写为 (2-47) 拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为 (2-48) 上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。二、常用信号的拉氏变换系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。 (1)单位脉冲信号理想单位脉冲信号的数学表达式为 (2-49)

(2-50) 所以 (2-51) 说明：单位脉冲函数可以通过极限方法得到。设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，脉冲的高度为，面积为1。当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。在坐标图上经常将单位脉冲函数表示成单位高度的带有箭头的线段。由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。因此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。所以，关于拉氏变换的积分下限根据应用的实际情况有，，三种情况。为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。 (2)单位阶跃信号单位阶跃信号的数学表示为 (2-52) 又经常写为 (2-53) 由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为