目录
摘要 (2)
Abstract (2)
1绪论 (3)
1.1多元统计分析技术的起源 (3)
1.2多元统计分析技术的简介 (3)
2常用的多元统计分析方法以及运用所需要注意的问题 (4)
2.1聚类分析方法及应用中注意的事项 (4)
2.2判别分析方法及应用中注意的事项 (5)
2.3主成分分析和因子分析方法及应用中的注意事项 (5)
2.4其他多元统计分析方法及应用中注意事项的简介 (6)
3各地区农村居民人均现金收入指标的确定以及多元统计分析技术的应用 (7)
3.1各地区农村居民家庭平均每人现金收入指标的确定 (7)
3.2多元统计分析技术在各地区农村居民家庭平均每人现金收入中的应用 (7)
3.2.1聚类分析 (9)
3.2.2主成分分析 (10)
4.总结 (12)
4.1分析结果 (12)
4.2指导意义 (13)
致谢 (14)
参考文献 (15)
多元统计分析技术的应用
——各地区农村人均现金收入
摘要
随着经济的发展农村居民的收入在整个国民经济总收入中所占的比重越来越大，所以农村居民的收入问题也越来越得到人们的重视，本文通过对2006年第一季度各地区农村居民家庭平均现金收入的分析，希望可以有针对性的提一些建议，各个地区的地理环境不同，所以农村居民的收入来源的侧重点也不同。所选择的数据指标为：期内现金总收入（X），工资性收入（X1），农业收入（X2），林业收入（X3），牧业收入（X4），渔业收入（X5），财产性收入（X6），转移性收入（X7）七个指标。本文所选用的方法主要是聚类分析和主成分分析法通过SPSS软件来实现。文章的结尾会给出分析结果及相关的一些建议。因地制宜的发展农村经济，提高农民的经济收入和生活水平。
关键词：多元统计分析，聚类分析，主成分分析，指标的综合分析
Abstract
Along with the economic development income of rural residents in the entire economy,the proportion of total revenue growing.Therefore,the income of rural residents also increasingly heeded.All through the first quarter of2006in various regions of the average cash income of rural households in the analysis that can be targeted to some of the recommendations,Various different geographical areas,so the source of income of rural residents are also different focus。Choice of data indicators:total period cash income(X),the wage income of(x1),agricultural income(x2),forestry income(x3),pasture income(x4),fisheries income(x5),the property of income(x6),agricultural income(x7),seven indicators.Various different geographical areas,so
the source of income of rural residents was also the focus of this paper is to use different methods of analysis and targeting mainly through SPSS software main components analysis to achieve。Articles will be given at the end of the analysis and related recommendations.Local development of the rural economy and improving their economic income and standard of living.
Keywords:multiple statistical analysis,cluster analysis,the main components of the analysis,a comprehensive analysis of indicators。
1绪论
1.1多元统计分析技术的起源：
多元统计分析是统计学中的一个非常重要的分支，在国外，从20世纪30年代起，已经开始在自然科学、管理科学和社会、经济等领域广泛应用。我国自20世纪80年代起在许多领域拉开了多元统计分析应用的帷幕。例如在工业、农业、医学、气象、环境以及经济、管理等诸多领域中，多元统计分析都是不可或缺的一中应用方法。
1.2多元统计分析技术的简介：
多元统计分析是进行科学研究的一项重要工具，在自然科学、社会科学等方面有广泛的应用。多元分析研究的是多个变量的统计总体，这使它能够一次性处理多个变量的庞杂数据，而不需考虑异度量的问题，即它是处理多个变量的综合统计分析方法，它可以把多个变量对一个或多个变量的作用程度大小线性地表示出来，反映事物多变量间的相互关系；可以消除多个变量的共线性，将高维空间的问题降至低维空间中，在尽量保存原始信息量的前提下，消除重叠信息，简化变量间的关系；可以通过事物的表象，挖掘事物深层次的、不可直接观测到的属性即引起事物变化的本质；也可以透过繁杂事物的某些性质，将事物进行识别、归类。
从某种意义上讲，多元分析是一些方法的“混合体”，我们难于给其确切的概念和难于对其所有方法进行归类，但是它可以同时展示异度量的多个变量(指标间)的关系和同时处理再生产过程中呈现出指标(变量)间的各种关系，并且不损失原有的信息量。多元统计分析中包含很多统计方法，例如聚类分析，判别分析，主成分分析，因子分析，对应分析，典型相关分析，路径分析，联合分析等。同是多元统计分析和回归分析又有所不同，回归分析是通过把变量的剔除来简化工作量，而多元统计分析则是通过把多个元的线性组合来变多元为少元，从而使得在实际工作中，样本的估计更能接近总体。误差更小。
2常用的多元统计分析方法以及运用所需要注意的问题
正如我前面提到的，多元统计分析方法中包含许多方法：聚类分析，判别分析，主成分分析，因子分析，对应分析，典型相关分析，路径分析，联合分析等。下面我就要对这些方法进行逐个分析它们在实际中的应用。
2.1聚类分析方法及应用中注意的事项
什么是聚类分析呢？俗语说，物以类聚、人以群分。当有一个分类指标时，分类比较容易。但是当有多个指标，要进行分类就不是很容易了。比如，要想把中国的县分成若干类，
可以按照自然条件来分：考虑降水、土地、日照、湿度等各方面。也可以考虑收入、教育水准、医疗条件、基础设施等指标；对于多指标分类，由于不同的指标项对重要程度或依赖关系是相互不同的，所以也不能用平均的方法，因为这样会忽视相对重要程度的问题。所以需要进行多元分类，即聚类分析。最早的聚类分析是由考古学家在对考古分类中研究中发展起来的，同时又应用于昆虫的分类中，此后又广泛地应用在天气、生物等方面。对于一个数据，人们既可以对变量（指标）进行分类(相当于对数据中的列分类)，也可以对观测值（事件，样品）来分类（相当于对数据中的行分类）。
聚类方法的注意事项：类平均法比较好，因为与类平均法相比，最短和重心法是“空间浓缩”，即并类的距离范围小，区别类的灵敏度差；与类平均法相比，其他方法是“空间扩张”，即并类距离范围大，区别类的灵敏度强。最短距离比最长距离法好聚类结果中，如果孤类点太多，则说明该种聚类方法不好。如果从减少孤类来看，一般情况下用Word’s 方法最好.
2.2判别分析方法及应用中注意的事项
判别分析和前面的聚类分析有什么不同呢？主要不同点就是，在聚类分析中一般人们事先并不知道或一定要明确应该分成几类，完全根据数据来确定。而在判别分析中，至少有一个已经明确知道类别的“训练样本”，利用这个数据，就可以建立判别准则，并通过预测变量来为未知类别的观测值进行判别了。
判别分析要注意的问题：样本中必须有所有要判别的类型，分类必须清楚，不能有混杂。要选择好可能用于判别的预测变量。这是最重要的一步。当然，在应用中，选择的余地不见得有多大。要注意数据是否有不寻常的点或者模式存在。还要看预测变量中是否有些不适宜的；这可以用单变量方差分析（ANOVA）和相关分析来验证。判别分析是为了正确地分类，但同时也要注意使用尽可能少的预测变量来达到这个目的。使用较少的变量意味着节省资源和易于对结果进行解释。
2.3主成分分析和因子分析方法及应用中的注意事项
在对某一事物进行证实研究中，为了更全面、准确地反映出事物特征极其发展规律，人们往往要考虑与其有关系的多个指标，这些指标在多元统计中也称为变量，这样就产生了如下问题：一方面人们为了避免遗漏重要的信息而考虑尽可能多的指标，而另一方面随着考虑指标的增多增加了问题的复杂性，同时由于各指标均是对同一事物的反映，不可避免的造成信息的大量重叠，这些信息的重叠有时甚至会抹杀事物的真正与内在规律。基于上述
问题，人们就希望在定量研究中涉及的变量较少，而得到的信息量又较多。主成分分析正是研究如何通过原来变量的少数几个线性组合来解释原来变量绝大多数信息的一种多元统计方法。既然研究某一问题涉及的众多变量之间有一定的相关性，就必然存在着起支配作用的共同因素，根据这一点，通过对原始变量相关矩阵或协方差矩阵内部结构关系的研究，利用原始变量的线性组合形成几个综合指标（主成分），在保留原始变量主要信息的前提下起到降维与简化问题的作用，使得在研究复杂问题时更容易抓住主要矛盾。那么怎样找综合指标？
若有一些指标，取综合指标即它们的线性组合F ，当然有很多，我们希望线性组P X X ,,1L 合F 包含很多的信息，即var(F)最大，这样得到F 记为，然后再找，与无关，1F 2F 1F 2F 以此类推，我们找到了一组综合变量，这组变量基本包含了原来变量的所有信m F F F ,,,21K 息。
主成分分析数学模型
设样本资料阵为：???
?
?
?
??????==np n p p x x x x x x x x ,,,,),,(K M K K 111121综合指标为p
p x a x a x a F 12211111+++=K 。。。
m
pm m m m x a x a x a F +++=K 2211简写为
p
pi zi i i x a x a x a F +++=L 211)
,,(m i K 1=并取
1
2
21=++pi i a a L 要求（1）不相关。（2）是的线性函数中方差最大的，依此类推。
j i F F ,1F p X X L 12.4其他多元统计分析方法及应用中注意事项的简介
多元统计方法中还包括对应分析，典型相关分析，路径分析，联合分析等，它们都是统计
计算实际应用中比较好的方法。对应分析是指利用降维的思想以达到简化数据结构的目的，不过与因子分析不同的是，他同时对数据表中的行与列进行处理，寻求以低维图形表示数据表中行与列之间的关系。典型相关分析是借用主成分降维的思想，分别对两组变量提取主成分，且使两组变量提取的主成分之间的相关程度达到最大，而从同一组内部提取的各主成分之间不相关，用从两组之间分别提取的主成分的相关性来描述两组变量整体的线形相关关系。由于本文在解决问题时主要用了聚类分析和主成分分析两种方法，所以其它的方法这里不再赘述。
3各地区农村居民家庭平均每人现金收入指标的确定以及多元统计分析技术的应用
3.1各地区农村居民家庭平均每人现金收入指标的确定
农村居民的收入来源是各种各样的，随着改革开放，中国加入WTO，中国的农民也开始寻找出路，很多农村开始招商引资，带动农村经济的发展，也有很多青年外出务工，到一些沿海开放的大城市淘金。由于地理环境的不同各地区的农作物是不一样的。有的地区的地理环境是水塘比较多，那就比较适合渔业，同样如果是平原地带，那林业和农业的收入就会在总收入中占有很大的比例。不同的地区农民生活的环境及思想也是差异很大，有的地区城市人民收入水平很高，但是并不是说它的农村人均收入也很高。所以我选取了七个指标，这七个指标很大程度上包括了农民收入的主要来源。即期内现金总收入（X），工资性收入（X1），农业收入（X2），林业收入（X3），牧业收入（X4），渔业收入（X5），财产性收入（X6），转移性收入（X7）。
3.2多元统计分析技术在各地区农村居民家庭平均每人现金收入中的应用
我们现在以各地区农村居民家庭平均每人现金收入为例，来说明多元统计分析技术在实际问题中的应用。涉及到的指标为与农民生活息息相关的七个指标工资性收入（X1），农业收入（X2），林业收入（X3），牧业收入（X4），渔业收入（X5），财产性收入（X6），转移性收入（X7）。以下为收集的到原始数据单位（元）：
期内现金总收入（X）工资性
收入
（X1）
农业收
入（X2）
林业收
入（X3）
牧业收
入（X4）
渔业收
入（X5）
财产性
收入
（X6）
转移性
收入
（X7）
北京2878.711851.28128.637.74143.637.26199.03211.61天津1895.23845.22262.450.6291.8514.5655.661.5河北986.11345.9205.97 2.17178.73.11.332.29山西700.87324.22118.66 1.2775.91.23.3140.37内蒙1057.8138.17543.19 4.29218.620.017.76118.87辽宁1574.48533.82493.67 4.66315.159.5328.3185.28吉林1298.59145.38848.87.4180.660.0222.2549.51黑龙江1338.75181.91840.63 1.84229.370.0627.0724.64上海4067.273094.594.920.1314.6234.82215.63509.09江苏2250.331392.47150.9215.43124.0239.0863.17114.8浙江3030.711356.87229.4836.46185.6676.68167.02187.33安徽938.4500.28139.9411.25101.8215.1210.8852.04福建1315.12503.04199.3220.83126.0431.3524.02132.3江西928.82402.53191.812.72127.7914.4213.1239.25山东1339.37500.79301.8418199.73 6.7836.2159.98河南709.14247.55189.079.37146.49 2.9113.9327.58湖北935.9392.08199.211.03123.2273.87 5.3734.47湖南1069.96430.41126.5916.82153.5924.6914.01114.45广东1609.43711.05212.75 6.59162.3293.42101.4115.3广西862.81205.01347.2813.21171.1210.768.4535.01海南946.96145.79305.5863.95145.4692.610.6564.37重庆862.41390.2498.8 3.14174.7512.668.1697.12四川925.43382.9381.038.71225.2117.5425.783.25贵州468.55185.9547.78 5.23105.740.21 6.7449.65云南601.8125.46142.3218.15162.590.6239.734.04西藏400.7577.0146.5416.1672.040.3328.6450.94陕西726.62238.18198.21 3.78114.22 1.8817.9254.53甘肃524.06196.92170.33 5.0156.680.12 2.4229.25青海573.33194.76116.65 3.2668.780.2510.2872.07宁夏768.49165.7203.63 1.41246.52 1.179.9332.09新疆613.5262.6242.316.22174.89.13.9932.57
3.2.1聚类分析
首先我们同通过SPSS软件用聚类的方法将这31个省市分成三类，我们可以很清楚的看到，哪些个省的农村人均收入水平是差不多的。因为上面的图中有三个省的数据有缺损，所以聚类中没有这三个省（河北，山西，新疆）。所得聚类结果如下：（1）
Dendrogram using Average Linkage(Within Group)
（2）
Rescaled Distance Cluster Combine
C A S E0510152025
Label Num+---------+---------+---------+---------+---------+
安徽10ò?
江西12ò?ò?
河南14òúùò?
陕西25ò÷óó
云南23òòò÷ó
甘肃26ò?ó
青海27ò?ò?ùòòò?
贵州22ò÷ùò÷ó
西藏24òòò÷óùò?
福建11ò?òòò÷óó
湖南16ò÷óó
江苏8òòòòòòòòò÷ó
山东13òòò?òòò?ó
广西18òòò÷ùòòòüòòò?
重庆20òòò?ò?óóó
四川21òòò÷ùò÷óùòòòòò?
宁夏28òòòòò÷óóó
湖北15òòòòòòòòòòò÷óùòòò?
广东17òòòòòòòòòòòòòòò÷óùòòòòòòò?
北京1òòòòòòòòòòòòòòòòòòòòò÷óùòòò?
浙江9òòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòò÷óó
海南19òòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòò÷
ùòòòòòòòòòòò?
天津2òòòòòòò?òòòòòòòòòòò?óó
辽宁4òòòòòòò÷ùòòòòòòòòòòòòòòòòò÷ó
吉林5ò?òòòòò?óó
黑龙江6ò÷ùòòòòòòòòòòò÷ó
内蒙3òòòòòòò÷ó
上海7
òòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòò÷
图一为观测值处理综合，图上显示有三个样本没有被聚类。而图二就是聚类的过程我结果，因为在聚类过程中，要求样本被聚为三类，所以可以看到{上海}为一类，{天津，内蒙古，辽宁，吉林，黑龙江}为一类，其余的{北京，江苏，浙江，安徽，湖北，湖南，江西，广东，广西，海南，重庆，四川，贵州，云南，西藏，陕西，甘肃，宁夏，青海，福建，山
东，河南}为一类。从我们收集到的原始数据可以看出，上海的农村人均收入水平是远远高于其他地区的，也是远远高于全国的平均水平。上海农村居民家庭人均收入为4067.27元，而工资性收入为3094.5元，可见工资性收入占了总收入的70%多。我们知道上海人口很多，而且很多都是从外地来的，多数是从农村来的体力劳动者，上海的地价很高，这就导致上海的农村居民不能靠农业，林业，渔业生存，大量的外地务工人员不可能在上海买的起房子，所以只能租住，这又增加了农民的另一项收入，既财产性收入。上海的农村居民早在奔小康的时候在全国就是最早达到小康生活的。这与上海的地理位置是有极大关系的。在第二类里面，辽宁，吉林，黑龙江都是东北的老工业基地。而天津离首都北京很近。内蒙古是一个地域辽阔的大省。之所以这几个省聚为一类，因为这几个省的农村居民的收入主要来源都是家庭性收入和工资性收入，虽说是工业基地，但是对农村居民来说还是农业大省，农业的收入还是占很大的比重。其他的聚为一类，并不是他们的农村居民的收入水平很相似，而是农村居民的收入来源很相似，现在中原地区的发展确实有点落后，所以现在有“振兴中部”的口号。那么怎么振兴中部呢，首先农民收入的增加这就是很重要的一个需要解决的问题。对这个问题的进一步分析，还需要进行下面的主成分分析。
3.2.2主成分分析
因为原始数据有七个变量，现在把这些变量线形组合。做出能最大程度解释这几个变量的变量，以减少运算量。通过SPSS软件分析如下：
由上表可以看到，这七个变量构成了三个主成分，但是如果想要把这七个变量更大程度的解释，取四个主成分是比较合适的，因为其提取原始变量的总信息达到92%，算是很高了，所以我们从新确定主成分为四个。
该表显示了各主成分解释原始变量的总方差的情况。
同样我们也可以以碎石图来帮助确定应保留主成分的个数，如下：
上面的表格表示用原始变量表示主成分的个数。
现在我们确定了四个主成分，第一个主成分是最有效的。先来看看第一个主成分，工资性收入，财产性收入，转移性收入的系数相比较其他的来说都较大，这就说明各地农村居民的收入还是以工资性收入，财产性收入和转移性收入为主。这似乎和我们预先想象的结果有出入，下面就来分析一下，为什么是这种结果。
4.总结
4.1分析结果
由上面的计算结果我们可以看出，现在的农村居民的生活和思想都跟以前不一样了，十几
年前，可能农民就只知道种地，文化水平也很低，很少有会去想别的办法来增加收入。可是现在他们的思想观念全都改变了，从上面的结论就可以知道，现在的农村居民的主要收入来源已经不再是那几亩田地了。分析一下主要原因可能有以下几个：
1.教育的越来越普及，农村居民也在接受新的思想。发达地区的农村居民可能是思想变化最早的，城市经济的发展让他们看到了自己生活的落后，而那些贫困地区的农民呢，温饱问题尚不能解决，迫使的一些人不得不背井离乡，但是这些背井离乡的人反而经济得到改善。这也为农村居民打开了一扇窗。
2.昂贵的学费迫使人们寻找出路。很多农民都知道没有知识不行，特别是当他们走出去，看到城乡的差别，看到脑力劳动和体力劳动的不同待遇。他们开始对子女教育的投资。但是如果只是依靠那些贫瘠的土地是远远不够的，所以他们开始长年在外漂泊赚钱。
3.为什么农民的农业收入却越来越少了呢。因为越来越多的人出去工作，就必然导致土地的荒废。现在农村的流动人口越来越多，特别的是在农闲的时候，在一些村子里面，可能就只有老人和孩子。越来越多的人走出去，就有越来越的人向往城市生活，不愿意再回到农村，导致农业这一项原本是他们主要的生活来源的最基本的劳动却渐渐丢失。
4.2指导意义
由我们对各地区农村居民人均现金收入的分析可以看出，农民的收入来源已经转移了，这有好的一面，毕竟可以增加农民的收入，提高农村居民的生活水平。但是这也同样给全社会带来了一些影响。
首先，农民只顾出来赚钱养家，却把土地荒废。现在环境恶化很严重，土地也在不停流失，沙漠在扩大，绿地在减少。人类的生活空间越来越小。大量的人口涌入城市，对城市的环境破坏也很大。人们要吃，要穿，要住房，给城市带来的负担越来越重，有资料显示，由于人口太多，上海市正在下沉，也许若干年以后，我们再也不知道上海在哪儿了。
其次，农民出来务工，在某种程度上也导致了现在的就业难题。因为他们对薪水的要求不高，对工作更是尽心尽力，出于农民们善良的天性，多做一点少做一点他们根本不会计较。所以现在的就业堵塞与农村居民的外出务工有着极大的关系。有资料显示，如果农民工全部从城市撤离，那么城市将陷入瘫痪。这又充分说明城市离不开农民工。
所以，我们一方面希望农村居民奔小康，生活水平上一个台阶，另一方面又不希望对社会造成不良影响。那么我们要做的第一件事就是让他们中的一部分人回归自然。我们不禁会想为什么他们愿意在外漂泊，而不愿意待在家里呢。我们要找原因，首先一点就是农民在农业方面的投资太大，肥料，种子太贵，害虫太多，还有税收，等到收获的时候，算算尽收益实在是少的可怜。所以如果这些投资能少一些，让他们多一些信心在农业方面，首先对环境保护就是一个大的贡献。现在也有些农村开始招商引资，其实这一点很好，农民不仅多了一项收入来源，也不会荒废土地，如果这样可以大力发展开来，对整个社会都将有很大的意义。
.致谢
今天这个课程设计终于完成了。首先我要感谢余新新副教授，因为如果没有余新新副教授的悉心指导和耐心的帮助，就没有今天这个课题。这里面包含了余老师的心血，我所取得的每一个进步都离不开余老师的耐心讲解。余老师严谨的治学态度深深感染了我，并将成为我以后工作和学习中的好榜样。余老师是个师长，同时也是个朋友，他思维敏捷，他的帮助无处不在，他一丝不苟，冒着酷暑指导我的课题，这种精神值得我们每一个人学习。
其次，感谢唐湘晋副教授，他无微不至的帮助才使得我的课题这么顺利的完成。
我还要感谢我的同学，也是我的好朋友，他们给予我学习上的帮助，精神上的鼓励。他们
的学习态度和精神值得我好好学习。
同时，我也要感谢我的爸爸妈妈，他们给予我的关心和爱护，我会用一生来好好收藏。
参考文献
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[18]姚德海,出版市场数学模型分析,蓝天出版社,2004。
2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。 解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)p X X X X '=L 的联合分布密 度函数是一个p 维的函数，而边际分布讨论是12(,,)p X X X X '=L 的子向量的概率分布，其概率密度 函数的维数小于p 。 2.2设二维随机向量1 2()X X '服从二元正态分布，写出其联合分布。 解：设1 2()X X '的均值向量为()1 2μμ'=μ，协方差矩阵为21 122212σσσσ?? ? ?? ，则其联合分布密度函数为 1/2 12 2 2112112222122121()exp ()()2f σσσσσσσσ--???????? '=---?? ? ??? ?????? x x μx μ。 2.3已知随机向量12()X X '的联合密度函数为 12121222 2[()()()()2()()] (,)()()d c x a b a x c x a x c f x x b a d c --+-----= -- 其中1a x b ≤≤，2c x d ≤≤。求 （1）随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数； （3）判断 1X 和2X 是否相互独立。 （1）解：随机变量 1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； 11212122 2[()()()()2()()] ()()()d x c d c x a b a x c x a x c f x dx b a d c --+-----=--? 1221222222 2()()2[()()2()()]()()()() d d c c d c x a x b a x c x a x c dx b a d c b a d c -------=+----? 121 222202()()2[()2()]()()()() d d c c d c x a x b a t x a t dt b a d c b a d c ------= +----? 221212222 2()()[()2()] 1()()()()d c d c d c x a x b a t x a t b a d c b a d c b a ------=+= ----- 所以 由于1X 服从均匀分布，则均值为2b a +，方差为 ()2 12 b a -。
一、填空题（20分） 1、若),2,1(),,(~)(n N X p 且相互独立，则样本均值向量X 服从的分布 为 2、变量的类型按尺度划分有_间隔尺度_、_有序尺度_、名义尺度_。 3、判别分析是判别样品 所属类型 的一种统计方法，常用的判别方法有__距离判别法_、Fisher 判别法、Bayes 判别法、逐步判别法。 4、Q 型聚类是指对_样品_进行聚类，R 型聚类是指对_指标(变量)_进行聚类。 5、设样品),2,1(,),,(' 21n i X X X X ip i i i ，总体),(~ p N X ，对样品进行分类常用的距离 2 ()ij d M )()(1j i j i x x x x ，兰氏距离()ij d L 6、因子分析中因子载荷系数ij a 的统计意义是_第i 个变量与第j 个公因子的相关系数。 7、一元回归的数学模型是： x y 10，多元回归的数学模型是： p p x x x y 22110。 8、对应分析是将 R 型因子分析和Q 型因子分析结合起来进行的统计分析方法。 9、典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种多元统计方法。 二、计算题（60分） 1、设三维随机向量),(~3 N X ，其中 200031014，问1X 与2X 是否独立？),(21 X X 和3X 是否独立？为什么？ 解： 因为1),cov(21 X X ，所以1X 与2X 不独立。 把协差矩阵写成分块矩阵 22211211，),(21 X X 的协差矩阵为11 因为12321),),cov(( X X X ，而012 ，所以),(21 X X 和3X 是不相关的，而正态分布不相关与相互
一、填空题： 1、多元统计分析是运用数理统计方法来研究解决多指标问题的理论和方法. 2、回归参数显著性检验是检验解释变量对被解释变量的影响是否著. 3、聚类分析就是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。通常聚类分析分为 Q型聚类和 R型聚类。 4、相应分析的主要目的是寻求列联表行因素A 和列因素B 的基本分析特征和它们的最优联立表示。 5、因子分析把每个原始变量分解为两部分因素：一部分为公共因子，另一部分为特殊因子。 6、若 () (,), P x N αμα ∑=1,2,3….n且相互独立，则样本均值向量x服从的分布 为_x~N(μ，Σ/n)_。 二、简答 1、简述典型变量与典型相关系数的概念，并说明典型相关分析的基本思想。 在每组变量中找出变量的线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合，使其配对，并选取相关系数最大的一对，如此下去直到两组之间的相关性被提取完毕为止。被选出的线性组合配对称为典型变量，它们的相关系数称为典型相关系数。 2、简述相应分析的基本思想。 相应分析，是指对两个定性变量的多种水平进行分析。设有两组因素A和B，其中因素A包含r个水平，因素B包含c个水平。对这两组因素作随机抽样调查，得到一个rc的二维列联表，记为。要寻求列联表列因素A和行因素B的基本分析特征和最优列联表示。相应分析即是通过列联表的转换，使得因素A
和因素B 具有对等性，从而用相同的因子轴同时描述两个因素各个水平的情况。把两个因素的各个水平的状况同时反映到具有相同坐标轴的因子平面上，从而得到因素A 、B 的联系。 3、简述费希尔判别法的基本思想。 从k 个总体中抽取具有p 个指标的样品观测数据，借助方差分析的思想构造一个线性判别函数 系数： 确定的原则是使得总体之间区别最大，而使每个总体内部的离差最小。将新样品的p 个指标值代入线性判别函数式中求出 值，然后根据判别一定的规则，就可以判别新的样品属于哪个总体。 5、简述多元统计分析中协差阵检验的步骤 第一，提出待检验的假设 和H1； 第二，给出检验的统计量及其服从的分布； 第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域； 第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。 协差阵的检验 检验0=ΣΣ 0p H =ΣI ： /2 /21exp 2np n e tr n λ???? =-?? ? ???? S S 00p H =≠ΣΣI ： /2 /2**1exp 2np n e tr n λ???? =-?? ? ???? S S
多元统计分析模拟试 题
多元统计分析模拟试题（两套：每套含填空、判断各二十道） A卷 1)判别分析常用的判别方法有距离判别法、贝叶斯判别法、费歇判别法、逐 步判别法。 2)Q型聚类分析是对样品的分类，R型聚类分析是对变量_的分类。 3)主成分分析中可以利用协方差矩阵和相关矩阵求解主成分。 4)因子分析中对于因子载荷的求解最常用的方法是主成分法、主轴因子法、 极大似然法 5)聚类分析包括系统聚类法、模糊聚类分析、K-均值聚类分析 6)分组数据的Logistic回归存在异方差性，需要采用加权最小二乘估计 7)误差项的路径系数可由多元回归的决定系数算出，他们之间的关系为 = 8)最短距离法适用于条形的类，最长距离法适用于椭圆形的类。 9)主成分分析是利用降维的思想，在损失很少的信息前提下，把多个指标转 化为几个综合指标的多元统计方法。 10)在进行主成分分析时，我们认为所取的m（m 22121212121 ~(,),(,),(,),, 1X N X x x x x x x ρμμμμσρ ?? ∑==∑= ??? +-1、设其中则Cov(,)=____. 10 31 2~(,),1,,10,()()_________i i i i X N i W X X μμμ=' ∑=--∑L 、设则=服从。 ()1 2 34 433,4 92, 3216___________________ X x x x R -?? ?'==-- ? ?-? ? =∑、设随机向量且协方差矩阵则它的相关矩阵 4、 __________， __________， ________________。 215,1,,16(,),(,)15[4()][4()]~___________i p p X i N X A N T X A X μμμμ-=∑∑'=--L 、设是来自多元正态总体和分别为正态总体的样本均值和样本离差矩阵,则。 12332313116421(,,)~(,),(1,0,2),441, 2142X x x x N x x x x x μμ-?? ?'=∑=-∑=-- ? ?-?? -?? + ??? 、设其中试判断与是否独立？ (), 1 2 3设X=x x x 的相关系数矩阵通过因子分析分解为 211X h = 的共性方差111X σ= 的方差21X g = 1公因子f 对的贡献1213 30.93400.1280.9340.4170.8351100.4170.8940.02700.8940.44730.8350.4470.10320 13 R ? ? - ????? ? -?? ? ? ?=-=-+ ? ? ? ??? ? ? ????? ? ??? 应用多元统计分析课后答案 第五章 聚类分析 判别分析和聚类分析有何区别 答：即根据一定的判别准则，判定一个样本归属于哪一类。具体而言，设有n 个样本，对每个样本测得p 项指标（变量）的数据，已知每个样本属于k 个类别（或总体）中的某一类，通过找出一个最优的划分，使得不同类别的样本尽可能地区别开，并判别该样本属于哪个总体。聚类分析是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。在聚类之前，我们并不知道总体，而是通过一次次的聚类，使相近的样品（或变量）聚合形成总体。通俗来讲，判别分析是在已知有多少类及是什么类的情况下进行分类，而聚类分析是在不知道类的情况下进行分类。 试述系统聚类的基本思想。 答：系统聚类的基本思想是：距离相近的样品（或变量）先聚成类，距离相远的后聚成类，过程一直进行下去，每个样品（或变量）总能聚到合适的类中。 对样品和变量进行聚类分析时， 所构造的统计量分别是什么简要说明为什么这样构造 答：对样品进行聚类分析时，用距离来测定样品之间的相似程度。因为我们把n 个样本看作p 维空间的n 个点。点之间的距离即可代表样品间的相似度。常用的距离为 （一）闵可夫斯基距离：1/1 ()() p q q ij ik jk k d q X X ==-∑ q 取不同值，分为 （1）绝对距离（1q =） 1 (1)p ij ik jk k d X X ==-∑ （2）欧氏距离（2q =） 2 1/21 (2)()p ij ik jk k d X X ==-∑ （3）切比雪夫距离（q =∞） 1()max ij ik jk k p d X X ≤≤∞=- （二）马氏距离 （三）兰氏距离 2 1()()()ij i j i j d M -'=--X X ΣX X 11()p ik jk ij k ik jk X X d L p X X =-=+∑ 一、判断题 （ 对 ）112(,,,)p X X X X '=L 的协差阵一定是对称的半正定阵 （ 对 ）2标准化随机向量的协差阵与原变量的相关系数阵相同。 （ 对）3典型相关分析是识别并量化两组变量间的关系，将两组变量的相关关系 的研究转化为一组变量的线性组合与另一组变量的线性组合间的相关关系的研究。 （ 对 ）4多维标度法是以空间分布的形式在低维空间中再现研究对象间关系的数据分析方法。 （ 错）5),(~),,,(21∑'=μp p N X X X X Λ，,X S 分别是样本均值和样本离差阵，则, S X n 分别是,μ∑的无偏估计。 （ 对）6),(~),,,(21∑'=μp p N X X X X Λ，X 作为样本均值μ的估计，是 无偏的、有效的、一致的。 （ 错）7 因子载荷经正交旋转后，各变量的共性方差和各因子的贡献都发生了变化 （ 对）8因子载荷阵()ij A a =中的ij a 表示第i 个变量在第j 个公因子上的相对重要性。 （ 对 ）9 判别分析中，若两个总体的协差阵相等，则Fisher 判别与距离判别等 价。 （对）10距离判别法要求两总体分布的协差阵相等，Fisher 判别法对总体的分布无特定的要求。 二、填空题 1、多元统计中常用的统计量有：样本均值向量、样本协差阵、样本离差阵、样本相关系数矩阵． 2、设∑是总体1(,,)m X X X =L 的协方差阵，∑的特征根(1,,)i i m λ=L 与相应的单 位正交化特征向量 12(,,,)i i i im a a a α=L ，则第一主成分的表达式是 11111221m m y a X a X a X =+++L ，方差为 1λ。 3设∑是总体1234(,,,)X X X X X =的协方差阵，∑的特征根和标准正交特征向量分别 为：' 112.920(0.1485,0.5735,0.5577,0.5814)U λ==--- ' 221.024(0.9544,0.0984,0.2695,0.0824)U λ==- '330.049(0.2516,0.7733,0.5589,0.1624)U λ==-- 多元统计分析中的应用研究 , 摘要：许多实际问题往往需要对数据进行统计分析，建立合适的统计模型，过去一般采用SAS 、SPSS软件分析，本文给出 Matlab软件在多元统计分析上的应用, 主要介绍Matlab 在聚类分析、判别分析、主成份分析上的应用,文中均给以实例, 结果令人满意。 关键词：Matlab软件；聚类分析；主成份分析 Research for application of Multivariate Statistical Analysis Abstract:Many practice question sometimes need Statistical Analysis to data.,and establish appropriate Statistical model SAS and SPSS software were commonly used in foretime ,this paper give the application of Matlab software in Multivariate Statistical Analysis,mostly introduce the application of Matlab software in priciple component analysis and cluster analysis and differentiate analysis.The example are given in writing and the result are satisfaction. Key words: Matlab software; cluster analysis; priciple component analysis 0 引言 许多实际问题往往需要对数据进行多元统计分析, 建立合适的模型, 在多元统计分析方面, 常用的软件有SAS 、SPSS 、S-PLUS等。我们在这里给出Matlab在多元统计分析上的应用, 在较早的版本中, 统计功能不那么强大, 而在Matlab6.x版本中, 仅在统计工具中的功能函数就达200多个, 功能已足以赶超任何其他专用的统计软件,在应用上Matlab具有其他软件不可比拟的操作简单,接口方便, 扩充能力强等优势, 再加上Matlab的应用范围广泛, 因此可以预见其在统计应用上越来越占有极其重要的地位，下面用实例给出Matlab 在聚类分析、主成份分析上的应用。 1 聚类分析 聚类分析法是一门多元统计分类法，其目的是把分类对象按一定规则分成若干类，所分成的类是根据数据本身的特征确定的。聚类分析法根据变量（或样品或指标）的属性或特征的相似性，用数学方法把他们逐步地划类，最后得到一个能反映样品之间或指标之间亲疏关系的客观分类系统图，称为谱系聚类图。 聚类分析的步骤有：数据变换，计算ｎ个样品的两两间的距离，先分为一类，在剩下的ｎ－１个样品计算距离，按照不同距离最小的原则，增加分类的个数，减少所需要分类的样品的个数，循环进行下去，直到类的总个数为１时止。根 第一章： 多元统计分析研究的内容（5点） 1、简化数据结构（主成分分析） 2、分类与判别（聚类分析、判别分析） 3、变量间的相互关系（典型相关分析、多元回归分析） 4、多维数据的统计推断 5、多元统计分析的理论基础 第二三章： 二、多维随机变量的数字特征 1、随机向量的数字特征 随机向量X 均值向量： 随机向量X 与Y 的协方差矩阵： 当X=Y 时Cov （X ，Y ）=D （X ）；当Cov （X ，Y ）=0 ，称X ，Y 不相关。 随机向量X 与Y 的相关系数矩阵： )',...,,(),,,(2121P p EX EX EX EX μμμ='=Λ)')((),cov(EY Y EX X E Y X --=q p ij r Y X ?=)(),(ρ 2、均值向量协方差矩阵的性质 (1).设X ，Y 为随机向量，A ，B 为常数矩阵 E （AX ）=AE （X ）； E （AXB ）=AE （X ）B; D(AX)=AD(X)A ’; Cov(AX,BY)=ACov(X,Y)B ’; (2).若X ，Y 独立，则Cov(X,Y)＝０，反之不成立． (3).X 的协方差阵D(X)是对称非负定矩阵。例2.见黑板 三、多元正态分布的参数估计 2、多元正态分布的性质 (1).若 ,则E(X)= ,D(X)= . 特别地，当 为对角阵时， 相互独立。 (2).若 ，Ａ为sxp 阶常数矩阵，d 为s 阶向量， ＡＸ＋d ～ . 即正态分布的线性函数仍是正态分布． (3).多元正态分布的边缘分布是正态分布，反之不成立． (4).多元正态分布的不相关与独立等价． 例３．见黑板． 三、多元正态分布的参数估计 (1)“ 为来自p 元总体X 的（简单）样本”的理解---独立同截面． (2)多元分布样本的数字特征---常见多元统计量 样本均值向量 ＝ 样本离差阵Ｓ＝ 样本协方差阵Ｖ＝ S ;样本相关阵Ｒ (3) ,Ｖ分别是 和 的最大似然估计； (4)估计的性质 是 的无偏估计； ,Ｖ分别是 和 的有效和一致估计； ； Ｓ～ ， 与Ｓ相互独立； 第五章 聚类分析： 一、什么是聚类分析 ：聚类分析是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。用于对事物类别不清楚，甚至事物总共可能有几类都不能确定的情况下进行事物分类的场合。聚类方法：系统聚类法（直观易懂）、动态聚类法（快）、有序聚类法（保序）...... Q-型聚类分析（样品）R-型聚类分析（变量） 变量按照测量它们的尺度不同，可以分为三类：间隔尺度、有序尺度、名义尺度。 二、常用数据的变换方法:中心化变换、标准化变换、极差正规化变换、对数变换（优缺点） 1、中心化变换（平移变换）：中心化变换是一种坐标轴平移处理方法，它是先求出每个变量的样本平均值，再从原始数据中减去该变量的均值，就得到中心化变换后的数据。不改变样本间的相互位置，也不改变变量间的相关性。 2、标准化变换：首先对每个变量进行中心化变换，然后用该变量的标准差进行标准化。 经过标准化变换处理后，每个变量即数据矩阵中每列数据的平均值为0，方差为1，且也不再具有量纲，同样也便于不同变量之间的比较。 3、极差正规化变换（规格化变换）：规格化变换是从数据矩阵的每一个变量中找出其最大值和最小值，这两者之差称为极差，然后从每个变量的每个原始数据中减去该变量中的最小值，再除以极差。经过规格化变换后，数据矩阵中每列即每个变量的最大数值为1，最小数值为0，其余数据取值均在0－1之间；且变换后的数据都不再具有量纲，便于不同的),(~∑μP N X μ∑μp X X X ,,,21Λ),(~∑μP N X ) ,('A A d A N s ∑+μ)()1(,, n X X ΛX )',,,(21p X X X Λ)')(()()(1X X X X i i n i --∑=n 1X μ∑μX )1,(~∑n N X P μ),1(∑-n W p X X 第一章： 多元统计分析研究的容（5点） 1、简化数据结构（主成分分析） 2、分类与判别（聚类分析、判别分析） 3、变量间的相互关系（典型相关分析、多元回归分析） 4、多维数据的统计推断 5、多元统计分析的理论基础 第二三章： 二、多维随机变量的数字特征 1、随机向量的数字特征 随机向量X均值向量： 随机向量X与Y的协方差矩阵： 当X=Y时Cov（X，Y）=D（X）；当Cov（X，Y）=0 ，称X，Y不相关。 随机向量X与Y的相关系数矩阵： 2、均值向量协方差矩阵的性质 (1).设X，Y为随机向量，A，B 为常数矩阵 E（AX）=AE（X）； E（AXB）=AE（X）B; D(AX)=AD(X)A’; )' ,..., , ( ) , , , ( 2 1 2 1P p EX EX EX EXμ μ μ = ' = )' )( ( ) , cov(EY Y EX X E Y X- - = q p ij r Y X ? =) ( ) , (ρ Cov(AX,BY)=ACov(X,Y)B ’; (2).若X ，Y 独立，则Cov(X,Y)＝０，反之不成立． (3).X 的协方差阵D(X)是对称非负定矩阵。例2.见黑板 三、多元正态分布的参数估计 2、多元正态分布的性质 (1).若 ,则E(X)= ,D(X)= . 特别地，当 为对角阵时， 相互独立。 (2).若 ，Ａ为sxp 阶常数矩阵，d 为s 阶向量， ＡＸ＋d ～ . 即正态分布的线性函数仍是正态分布． (3).多元正态分布的边缘分布是正态分布，反之不成立． (4).多元正态分布的不相关与独立等价． 例３．见黑板． 三、多元正态分布的参数估计 (1)“ 为来自p 元总体X 的（简单）样本”的理解---独立同截面． (2)多元分布样本的数字特征---常见多元统计量 样本均值向量 ＝ 样本离差阵Ｓ＝ 样本协方差阵Ｖ＝ S ;样本相关阵Ｒ (3) ,Ｖ分别是 和 的最大似然估计； (4)估计的性质 是 的无偏估计； ,Ｖ分别是 和 的有效和一致估计； ； Ｓ～ ， 与Ｓ相互独立； 第五章 聚类分析： 一、什么是聚类分析 ：聚类分析是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。用于对事物类别不清楚，甚至事物总共可能有几类都不能确定的情况下进行事物分类的场合。聚类方法：系统聚类法（直观易懂）、动态聚类法（快）、有序聚类法（保序）...... Q-型聚类分析（样品）R-型聚类分析（变量） 变量按照测量它们的尺度不同，可以分为三类：间隔尺度、有序尺度、名义尺度。 二、常用数据的变换方法:中心化变换、标准化变换、极差正规化变换、对数变换（优缺点） 1、中心化变换（平移变换）：中心化变换是一种坐标轴平移处理方法，它是先求出每个变量的样本平均值，再从原始数据中减去该变量的均值，就得到中心化变换后的数据。不改变样本间的相互位置，也不改变变量间的相关性。 2、标准化变换：首先对每个变量进行中心化变换，然后用该变量的标准差进行标准化。 经过标准化变换处理后，每个变量即数据矩阵中每列数据的平均值为0，方差为1，且也不再具有量纲，同样也便于不同变量之间的比较。 3、极差正规化变换（规格化变换）：规格化变换是从数据矩阵的每一个变量中找出其最大值和最小值，这两者之差称为极差，然后从每个变量的每个原始数据中减去该变量中的最小值，再除以极差。经过规格化变换后，数据矩阵中每列即每个变量的最大数值为1，最小数值为0，其余数据取值均在0－1之间；且变换后的数据都不再具有量纲，便于不同的变量之间的比较。 4、对数变换：对数变换是将各个原始数据取对数，将原始数据的对数值作为变换后的新值。它将具有指数特征的数据结构变换为线性数据结构。 三、样品间相近性的度量 研究样品或变量的亲疏程度的数量指标有两种：距离，它是将每一个样品看作p 维空),(~∑μP N X μ∑μp X X X ,,,21 ),(~∑μP N X ),('A A d A N s ∑+μ)()1(,,n X X X )',,,(21p X X X )')(()()(1X X X X i i n i --∑=n 1X μ ∑μX )1,(~∑n N X P μ),1(∑-n W p X X 多元统计分析重点宿舍版 第一讲：多元统计方法及应用；多元统计方法分类（按变量、模型、因变量等） 多元统计分析应用 选择题：①数据或结构性简化运用的方法有：多元回归分析，聚类分析，主成分分析，因子分析 ②分类和组合运用的方法有：判别分析，聚类分析，主成分分析 ③变量之间的相关关系运用的方法有：多元回归，主成分分析，因子分析， ④预测与决策运用的方法有：多元回归，判别分析，聚类分析 ⑤横贯数据：{因果模型(因变量数)：多元回归，判别分析相依模型(变量测度)：因子分析，聚类分析 多元统计分析方法 选择题：①多元统计方法的分类：1）按测量数据的来源分为：横贯数据（同一时间不同案例的观测数据），纵观数据（同样案例在不同时间的多次观测数据） 2）按变量的测度等级（数据类型）分为：类别（非测量型）变量，数值型（测量型）变量 3）按分析模型的属性分为：因果模型，相依模型 4）按模型中因变量的数量分为：单因变量模型，多因变量模型，多层因果模型 第二讲：计算均值、协差阵、相关阵；相互独立性 第三讲：主成分定义、应用及基本思想，主成分性质，主成分分析步骤 主成分定义：何谓主成分分析 就是将原来的多个指标（变量）线性组合成几个新的相互无关的综合指标（主成分），并使新的综合指标尽可能多地反映原来的指标信息。 主成分分析的应用 ：（1）数据的压缩、结构的简化；（2）样品的综合评价，排序 主成分分析概述——思想：①（1）把给定的一组变量X1,X2,…XP ,通过线性变换，转换为一组不相关的变量Y1，Y2，…YP 。（2）在这种变换中，保持变量的总方差（X1，X2，…Xp 的方差之和）不变，同时，使Y1具有最大方差，称为第一主成分；Y2具有次大方差，称为第二主成分。依次类推，原来有P 个变量，就可以转换出P 个主 Abbo无私奉献，只收1个金币，BS收5个金币的… 何老师考简单点啊…… 第九章 典型相关分析 9.1 什么是典型相关分析？简述其基本思想。 答： 典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种多元统计方法。用于揭示两组变量之间的内在联系。典型相关分析的目的是识别并量化两组变量之间的联系。将两组变量相关关系的分析转化为一组变量的线性组合与另一组变量线性组合之间的相关关系。 基本思想： （1）在每组变量中找出变量的线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。即： 若设(1) (1)(1) (1)12(,,,)p X X X =X 、(2) (2)(2)(2) 12(,,,)q X X X =X 是两组相互关联的随机变量， 分别在两组变量中选取若干有代表性的综合变量Ui 、Vi ，使是原变量的线性组合。 在(1)(1)(1)(2)()()1D D ''==a X b X 的条件下，使得(1)(1)(1)(2)(,)ρ''a X b X 达到最大。（2）选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合，使其配对，并选取相关系数最大的一对。 （3）如此继续下去，直到两组变量之间的相关性被提取完毕为此。 9.2 什么是典型变量？它具有哪些性质？ 答：在典型相关分析中，在一定条件下选取系列线性组合以反映两组变量之间的线性关系，这被选出的线性组合配对被称为典型变量。具体来说， ()(1) ()(1)()(1)()(1) 11 22i i i i i P P U a X a X a X ' =+++a X ()(2) ()(2)()(2) ()(2) 11 22i i i i i q q V b X b X b X ' =+++b X 在(1)(1)(1)(2)()()1D D ''==a X b X 的条件下，使得(1)(1)(1)(2)(,)ρ''a X b X 达到最大，则称 (1)(1)'a X 、(1)(2) 'b X 是(1)X 、(2)X 的第一对典型相关变量。 典型变量性质： 典型相关量化了两组变量之间的联系，反映了两组变量的相关程度。 1. ()1,()1 (1,2,,)k k D U D V k r === (,)0, (,)0 ()i j i j C ov U U C ov V V i j ==≠ 2. 0 (,1,2,,)(,)0()0()i i j i j i r C ov U V i j j r λ≠==?? =≠??>? 9.3 试分析一组变量的典型变量与其主成分的联系与区别。 答：一组变量的典型变量和其主成分都是经过线性变换计算矩阵特征值与特征向量得出的。主成分分析只涉及一组变量的相互依赖关系而典型相关则扩展到两组变量之间的相互依赖关系之中，度量了这两组变量之间联系的强度。 ()(1)()(1)()(1)()(1) 1122i i i i i P P U a X a X a X '=+++a X ()(2)()(2)()(2)()(2) 1122i i i i i q q V b X b X b X '=+++b X (1)(1)(1)(1)1 2 (,,,)p X X X = X 、(2)(2)(2)(2)1 2 (,,,)q X X X = X 多元统计分析 题型一定义、名词解释 题型二计算（协方差阵、模糊矩阵） 题型三解答题 一、定义 二名词解释 1、多元统计分析：多元统计分析是运用数理统计的方法来研究多变量（多指标）问题的理论和方法，是一元统计学的推广 2、聚类分析:是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。将个体或对象分类，使得同一类中的对象之间的相似性比与其他类的对象的相似性更强。使类内对象的同质性最大化和类间对象的异质性最大化 3、随机变量：是指变量的值无法预先确定仅以一定的可能性(概率)取值的量。它是由于随机而获得的非确定值，是概率中的一个基本概念。即每个分量都是随机变量的向量为随机向量。类似地，所有元素都是随机变量的矩阵称为随机矩阵。 4、统计量：多元统计研究的是多指标问题,为了了解总体的特征,通过对总体抽样得到代表总体的样本,但因为信息是分散在每个样本上的,就需要对样本进行加工,把样本的信息浓缩到不包含未知量的样本函数中,这个函数称为统计量 三、计算题 解： 答： 答： 题型三解答题 1、简述多元统计分析中协差阵检验的步骤 答： 第一，提出待检验的假设和H1； 第二，给出检验的统计量及其服从的分布； 第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域； 第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。 2、简述一下聚类分析的思想 答：聚类分析的基本思想，是根据一批样品的多个观测指标，具体地找出一些能够度量样品或指标之间相似程度的统计量，然后利用统计量将样品或指标进行归类。把相似的样品或指标归为一类，把不相似的归为其他类。直到把所有的样品（或指标）聚合完毕. 3、多元统计分析的内容和方法 答：1、简化数据结构,将具有错综复杂关系的多个变量综合成数量较少且互不相关的变量，使研究问题得到简化但损失的信息又不太多。（1）主成分分析（2）因子分析（3）对应分析等 2、分类与判别,对所考察的变量按相似程度进行分类。（1）聚类分析：根据分析样本的各研究变量，将性质相似的样本归为一类的方法。（2）判别分析：判别样本应属何种类型的统计方法。 、判断题 （对）1X （兀公2丄，X p）的协差阵一定是对称的半正定阵 （对）2标准化随机向量的协差阵与原变量的相关系数阵相同。 （对）3典型相关分析是识别并量化两组变量间的关系，将两组变量的相关关系的研究转化为一组变量的线性组合与另一组变量的线性组合间的相关关系的研究。 （对）4多维标度法是以空间分布的形式在低维空间中再现研究对象间关系的数据分析方法。（错）5X （X-X2，,X p） ~ N p（ , ），X,S分别是样本均值和样本离 S 差阵，则X,—分别是，的无偏估计。 n （对）6X （X「X2， ,X p） ~ N p（ , ），X作为样本均值的估计，是无偏的、有效的、一致的。 （错）7因子载荷经正交旋转后，各变量的共性方差和各因子的贡献都发生了变化 （对）8因子载荷阵A （a j）中的a ij表示第i个变量在第j个公因子上的相对重要性。 （对）9判别分析中，若两个总体的协差阵相等，则Fisher判别与距离判别等价。（对）10距离判别法要求两总体分布的协差阵相等，Fisher判别法对总体的分布无特 定的要求。 二、填空题 1、多元统计中常用的统计量有：样本均值向量、样本协差阵、样本离差阵、样本相关系数矩阵. 2、设是总体X （X」,X m）的协方差阵，的特征根i（i 1,L ,m）与相应的单 位正交化特征向量i （盼无丄,a m），则第一主成分的表达式是 y1 Q1X1 812X2 L QmX m 方差为1。 3设是总体X （X1,X2,X3, X4）的协方差阵，的特征根和标准正交特征向量分别为： 1 2.920 U；(0.1485, 0.5735, 0.5577, 0.5814) 2 1.024 U2(0.9544, 0.0984,0.2695,0.0824) 3 0.049 U3(0.2516,0.7733, 0.5589, 0.1624) 0.007U4 （ 0.0612,0.2519,0.5513, 0.7930），则其第二个主成分的表达式是 4 二名词解释 1、 多元统计分析：多元统计分析是运用数理统计的方法来研究多变量（多指标）问题的理 论和方法，是一元统计学的推广 2、 聚类分析：是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方 法。将个体或对象分类，使得同一类中的对象之间的相似性比与其他类的对象的相似性更强。 使类内对象的同质性最大化和类间对象的异质性最大化 3、 随机变量：是指变量的值无法预先确定仅以一定的可能性 （概率）取值的量。它是由于随 机而获得的非确定值，是概率中的一个基本概念。即每个分量都是随机变量的向量为随机向 量。类 似地，所有元素都是随机变量的矩阵称为随机矩阵。 4、统计量：多元统计研究的是多指标问题 ，为了了解总体的特征,通过对总体抽样得到代表 总体的样本，但因为信息是分散在每个样本上的 ，就需要对样本进行加工，把样本的信息浓缩 到不包含未知量的样本函数中，这个函数称为统计量 二、计算题 ^16 -4 2 k 设H = 其中启= （1Q —纣眉=-4 4-1 [― 试判断叼+ 2吟与 「花一? [是否独立？ 解: "10 -6 -15 -6 1 a 2U -16 20 40 故不独立口 -r o 2丿 按用片的联合分帚再I -6 lti 20 -1G 20 ) -1V16 -4 0 -4 A 2 丿"-1 2.对某地区农村的百名2周宙男翌的身高、胸圉、上半骨圉进行测虽，得相关数据如下』根据汶往资料，该地区城市2周岁男婴的遠三个指标的均值血二（90Q乩16庆现欲在多元正态性的假定下检验该地区农村男娶是否与城市男婴有相同的均值?伽厂43107-14.62108.946^1 ]丼中乂=60.2x^)-1=(115.6924)-1-14.6210 3.172-37 3760 、8.9464-37 376035.S936」= 0.01, (3,2) = 99.2, 03) =293 隔亠4) =16.7) 答: 2、假设检验问题：比、# =险用‘//H地 r-8.o> 经计算可得：X-^A 22 厂 「3107 -14.6210 ST1=(23J3848)-1 -14.6210 3.172 8 9464 -37 3760 E9464 -37.3760 35.5936 构造检验统计量：尸=旳（丟-間）〃丿（巫-角） = 6x70.0741=420.445 由题目已知热“（3,）= 295由是 ^I =^W3,3）^147.5 所以在显著性水平ff=0.01下，拒绝原设尽即认 为农村和城市的2周岁男婴上述三个指标的均 值有显著性差异 （］ 4、设盂=（耳兀.昂工/ ~M（（XE）,协方差阵龙=P P （1）试从匸出发求X的第一总体主成分; 答: （2）试|可当卩取多大时才链主成分册贡蕭率达阳滋以上. 第2章聚类分析及其应用实例 2. 1聚类分析简介 聚类分析是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统 计分析方法，它们讨论的对象是大量的样品，要求能合理地按各自的特性來进行合理的分类，没有任何模式可供参考或依循，即是在没有先验知识的情况下进行的[']。 聚类分析方法有很多，按不同的分类方式，有不同的分类。按聚类方法的不 同可分为以下几种： (1)系统聚类法：对所在的指标进行分类，每一次将最相似的两个数据合并 成一类，合并之后和其他数据的距离会重新计算，这个步骤会不断重复下去直至所有指标合并成一类，并类的过程可用一张谱系聚类图描述. (2)调优法（动态聚类法）：所谓调优法，从表面意思就可以看出是在对n 个对象初步分类后，根据分类后的信息损失尽可能小的原则对分类进行择优调整，直到分类合理为止. (3)有序样品聚类法：在很多实际问题中，所谓的样品都是相互独立的个体， 因此可以平等的划分。但是有序样品聚类法的存在就是因为在另外一些实际问题中，样品之间是存在着某种联系而在分类中是不允许打乱顺序的。有序样品聚类法开始时将所有样品归为一类，然后根据某种分类准则将其分为二类等等，一直往下分类下去直至满足分类要求。它的思想正好与系统聚类法的相反。 (4)模糊聚类法：利用模糊聚集理论来处理分类问题，它对经济领域中具有 模糊特征的两态数据或多态数据具有明显的分类效果. (5)图论聚类法：在处理分类问题中独创性的引入了图论中最小支撑树的概 念。 (6)聚类预报法：顾名思义，就是用聚类分析的方法来在各个领域中进行预 报。在多元统计分析中，判别分析、回归分析等方法都可以用来做预报，但是在 一些异常数据面前，这些方法做的预报都不是很准确，方法也不好准确的实施， 而聚类预报则很好的解决了这一点。可以预见，聚类预报法经过更深入的研究后，一定会得到更加广泛的应用。 按聚类对象的不同，聚类分析可分为2型[对样品（CASES)聚类]与型[对 变量（V ARIABLE)聚类]，两种聚类在方法和步骤上都基本相同. 2. 2聚类分析方法介绍 数学方法在实际应用中是否受欢迎，最主要的一点就是它能不能适用于大型 6 第2章聚类分析及.11；应用实例 计算的问题。图论聚类法、基于等价关系的聚类方法和谱系聚类法在大型问题中 难以快速有效处理数据而应用甚少。基于目标函数的聚类方法因其设计简单，在 实际生活中被广泛运用，其主要思想是将问题转换为带约束条件的非线性优化， 这样就可以运用完备的线性最优化知识解决问题，而且这种方法也易于在计算机 上实现。而伴随着计算机技术的突飞猛进，基于目标函数的聚类方法必定会成为 研究的热点。 2. 2. 1谱系聚类方法 在待分析样本数较小时，通常采用谱系聚类方法（系统聚类法）。谱系聚类法 是按距离准则来对样本进行分类的，例如我们要将样本集X中的《个样本划分为C 一、什么是多元统计分析 ?多元统计分析是运用数理统计的方法来研究多变量（多指标）问题的理论和方法，是一元统计学的推广。 ?多元统计分析是研究多个随机变量之间相互依赖关系以及内在统计规律的一门统计学科。 二、多元统计分析的内容和方法 ?1、简化数据结构（降维问题） 将具有错综复杂关系的多个变量综合成数量较少且互不相关的变量，使研究问题得到简化但损失的信息又不太多。 （1）主成分分析 （2）因子分析 （3）对应分析等 ?2、分类与判别（归类问题） 对所考察的变量按相似程度进行分类。 （1）聚类分析：根据分析样本的各研究变量，将性质相似的样本归为一类的方法。 （2）判别分析：判别样本应属何种类型的统计方法。 例5：根据信息基础设施的发展状况，对世界20个国家和地区进行分类。 考察指标有6个： 1、X1：每千居民拥有固定电话数目 2、X2：每千人拥有移动电话数目 3、X3：高峰时期每三分钟国际电话的成本 4、X4：每千人拥有电脑的数目 5、X5：每千人中电脑使用率 6、X6：每千人中开通互联网的人数 ?3、变量间的相互联系 一是：分析一个或几个变量的变化是否依赖另一些变量的变化。（回归分析） 二是：两组变量间的相互关系（典型相关分析） ?4、多元数据的统计推断 点估计 参数估计区间估计 统u检验 计参数t检验 推F检验 断假设相关与回归 检验卡方检验 非参秩和检验 秩相关检验 ?1、假设检验的基本原理 小概率事件原理 ? 小概率思想是指小概率事件（P<0.01或P<0.05等）在一次试验中基本上不会发生。反证法思想是先提 出假设(检验假设H0)，再用适当的统计方法确定假设成立的可能性大小，如可能性小,则认为假设不成立；反之，则认为假设成立。 ? 2、假设检验的步骤 （1）提出一个原假设和备择假设 ? 例如：要对妇女的平均身高进行检验，可以先假设妇女身高的均值等于 160 cm （u=160cm ）。这种原 假设也称为零假设（ null hypothesis ），记为 H 0 。 2.1 均值向量的检验 ? 1、正态总体均值检验的类型 ? 根据样本对其总体均值大小进行检验（ One-Sample T Test ） 如妇女身高的检验。 ? 根据来自两个总体的独立样本对其总体均值的检验（ Indepent Two-Sample T Test ） 如两个班平均成绩的检验。 ? 配对样本的检验（ Pair-Sample T Test ） 如减肥效果的检验。 ? 多个总体均值的检验 ? A 、总体方差已知 用u 检验，检验的拒绝域为 即 ? B 、总体方差未知 用样本方差 代替总体方差 ，这种检验叫t 检验. （2）根据来自两个总体的独立样本对其总体均值的检验 ? 目的是推断两个样本分别代表的总体均数是否相等。其检验过程与上述两种t 检验也没有大的差别，只 是假设的表达和t 值的计算公式不同。 ? 两样本均数比较的t 检验,其假设一般为： 12 { }W z u α- =>112 2 {} W z u z u αα - - =<->或2 s 2σ Ⅲ 0μμ= 0μμ< α--<1u z )1(1--<-n t t α多元统计分析期末试题及答案
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