72
第八章 正弦交流电路
序号 内 容
学时 1 第一节 纯电阻电路 2 2 第二节 纯电感电路 2 3 第三节 纯电容电路
2 4 第四节 电阻、电感、电容的串联电路 2 5 第五节 串联谐振电路
2 6 第六节 电阻、电感、电容的并联电路 2 7
第七节 电感线圈和电容器的并联谐振电路 2 8 第八节
交流电路的功率 2 9 实验8.1 单相交流电路 2 10 实验8.2 串联谐振电路 2 11 实验8.3 日光灯电路 2 12 本章小结与习题 2 13
本章总学时
24
1．掌握电阻、电感、电容元件的交流特性。
2．掌握R-L-C 串联电路与并联电路的分析计算方法，理解阻抗与阻抗角的物理意义。
3．了解R-L-C 串联谐振电路与并联谐振电路的特性。 4．理解交流电路中有功功率、无功功率、视在功率以及功率因数的概念。
5．掌握提高交流电路功率因数的方法。
1．熟练掌握分析计算交流电路电压、电流、阻抗、阻抗角、功率等方法。
2．理解谐振电路选频特性的原理。
73
第一节 纯电阻电路
只含有电阻元件的交流电路叫做纯电阻电路，如含有白炽灯、电炉、电烙铁等电路。
一、电压、电流的瞬时值关系
电阻与电压、电流的瞬时值之间的关系服从欧姆定律。设加在电阻R 上的正弦交流电压瞬时值为u = U m sin(ω t )，则通过该电阻的电流瞬时值为
)sin()sin(m m t I t R
U R u i ωω===
其中 R
U I m m =
是正弦交流电流的振幅。这说明，正弦交流电压和电流的振幅之间满足欧姆定律。
二、电压、电流的有效值关系
电压、电流的有效值关系又叫做大小关系。
由于纯电阻电路中正弦交流电压和电流的振幅值之间满足欧姆定律，因此把等式两边同时除以2，即得到有效值关系，即
RI U R
U
I ==
或 这说明，正弦交流电压和电流的有效值之间也满足欧姆定律。
三、相位关系
电阻的两端电压u 与通过它的电流i 同相，其波形图和相量图如图8-1所示。
解：解析式 071.7==R u
i sin(314t + 30?) A ，大小(有效值)为A 52
07.7==I
第二节 纯电感电路
一、电感对交流电的阻碍作用
1．感抗的概念
图8-1 电阻电压u 与电流i 的
波形图和相量图
【例8-1】在纯电阻电路中，已知电阻R = 44 Ω，交流电压u = 311sin(314t + 30?) V ，求通过该电阻的电流大小？并写出电流的解析式。
动画M8-1 电感对电流阻碍作用
74
2．感抗的因素
纯电感电路中通过正弦交流电流的时候，所呈现的感抗为
X L =ωL =2πfL
式中，自感系数L 的国际单位制是亨利(H)，常用的单位还有毫亨(mH)、微亨(μH)，纳亨(nH)等，它们与H 的换算关系为
1 mH = 10-3 H ，1 μH = 10-6 H ，1 nH = 10-9 H 。
如果线圈中不含有导磁介质，则叫作空心电感或线性电感，线性电感L 在电路中是一常数，与外加电压或通电电流无关。
如果线圈中含有导磁介质时，则电感L 将不是常数，而是与外加电压或通电电流有关的量，这样的电感叫做非线性电感，例如铁心电感。
3．线圈在电路中的作用
用于“通直流、阻交流”的电感线圈叫做低频扼流圈，用于“通低频、阻高频”的电感线圈叫做高频扼流圈。
二、电感电流与电压的关系
1．电感电流与电压的大小关系 电感电流与电压的大小关系为
L
X U I =
显然，感抗与电阻的单位相同，都是欧姆(Ω)。
2．电感电流与电压的相位关系
电感电压比电流超前90?(或 π/2)，即电感电流比电压滞后90?，如图8-2所示。
动画M8-3 电感电压与电流 动画M8-4 电感电压电流相位差
动画M8-2 影响感抗的因素
75
解：(1) 电路中的感抗为
X L = ωL = 314 ? 0.08 ≈ 25 Ω
(2) A 22550
===L L L X U I
(3) 电感电流i L 比电压u L 滞后90°，则 A )25314sin(22ο-=t i L
第三节 纯电容电路
一、电容对交流电的阻碍作用
1．容抗的概念
反映电容对交流电流阻碍作用程度的参数叫做容抗。容抗按下式计算
fC C X L π=
=21
1ω 容抗和电阻、电感的单位一样，也是欧姆(Ω)。
2．电容在电路中的作用
在电路中，用于“通交流、隔直流”的电容叫做隔直电容器；用于“通高频、阻低频”将高频电流成分滤除的电容叫做高频旁路电容器。
二、电流与电压的关系
1．电容电流与电压的大小关系
图8-2 电感电压与电流的波形图与相量图
【例8-2】 已知一电感L = 80 mH ，外加电压u L = 502sin(314t + 65?) V 。试求：(1) 感抗X L ， (2) 电感中的电流I L ，(3) 电流瞬时值i L 。
动画M8-5 电容对电流阻碍作用
76
电容电流与电压的大小关系为
C
X U I =
2．电容电流与电压的相位关系
电容电流比电压超前90?(或 π/2)，即电容电压比电流滞后90?，如图8-3所示。
解：(1) Ω==
251
C X C ω (2) A 8.02520
===C C X U I
(3) 电容电流比电压超前90?，则A )110314sin(28.0ο+=t i C
第四节 电阻、电感、电容的串联电路
一、R-L-C 串联电路的电压关系
由电阻、电感、电容相串联构成的电路叫做R-L-C 串联电路。
图8-3 电容电压与电流的波形图与相量图
图8-4 R-L-C 串联电路
动画M8-6 电容电压与电流
【例8-3】已知一电容C = 127 μF ，外加正弦交流电压V )20314sin(220ο+=t u C ，试求：(1) 容抗X C ； (2) 电流大小I C ；(3) 电流瞬时值C i 。
动画M8-7 电容电压电流相位差
设电路中电流为i = I m sin(ωt)，则根据R、L、C的基本特性可得各元件的两端电压：u R =RI m sin(ωt)，u L=X L I m sin(ωt+ 90?)，u C =X C I m sin(ωt- 90?) 根据基尔霍夫电压定律(KVL)，在任一时刻总电压u的瞬时值为
u = u R +u L +u C
作出相量图，如图8-5所示，并得到各电压之间的大小关系为
2
2)
(C
L
R
U
U
U
U-
+
=
上式又称为电压三角形关系式。
二、R-L-C串联电路的阻抗
由于U R = RI，U L = X L I，U C = X C I，可得
2
2
2
2)
(
)
(C
L
C
L
R
X
X
R
I
U
U
U
U-
+
=
-
+
=
令
2
2
2
2)
(X
R
X
X
R
I
U
Z C
L
+
=
-
+
=
=
上式称为阻抗三角形关系式，|Z|叫做R-L-C串联电路的阻抗，其中X = X L -X C叫做电抗。阻抗和电抗的单位均是欧姆(Ω)。阻抗三角形的关系如图8-6所示。
图8-6 R-L-C串联电路的阻抗三角形
图8-5 R-L-C串联电路的相量图
77
78
由相量图可以看出总电压与电流的相位差为
R
X
R X X U U U C L R C L arctan arctan arctan =-=-=?
上式中 ? 叫做阻抗角。
三、R-L-C 串联电路的性质
根据总电压与电流的相位差(即阻抗角 ?)为正、为负、为零三种情况，将电路分为三种性质。
1. 感性电路：当X > 0时，即X L > X C ，? > 0，电压u 比电流i 超前?，称电路呈感性；
2. 容性电路：当X < 0时，即X L < X C ，? < 0，电压u 比电流i 滞后|?|，称电路呈容性；
3. 谐振电路：当X = 0时，即X L = X C ，? = 0，电压u 与电流i 同相，称电路呈电阻性，电路处于这种状态时，叫做谐振状态(见本章第五节)。
解：(1) X L = 2πfL ≈ 140 Ω，X C = fC
π21
≈ 100 Ω，Ω=-+=50)(22C L X X R Z ，则
A 4.4==Z
U I
(2)ο1.5330
40
arctan arctan
==-=R X X C L ?，即总电压比电流超前53.1?，电路呈感性。 (3) U R = RI = 132 V ，U L = X L I = 616 V ，U C = X L I = 440 V 。
本例题中电感电压、电容电压都比电源电压大，在交流电路中各元件上的电压可以比总电压大，这是交流电路与直流电路特性不同之处。
四、R-L 串联与R-C 串联电路
1．R-L 串联电路
只要将R-L-C 串联电路中的电容C 短路去掉，即令X C = 0，U C = 0，则有关R-L-C 串联电路的公式完全适用于R-L 串联电路。
【例8-4】 在R-L-C 串联电路中，交流电源电压U = 220 V ，频率f = 50 Hz ，R = 30 Ω，L = 445 mH ，C = 32 μF 。试求：(1) 电路中的电流大小I ；(2) 总电压与电流的相
位差 ?；(3) 各元件上的电压U R 、U L 、U C 。
【例8-5】在R-L 串联电路中，已知电阻R = 40 Ω，电
感L = 95.5 mH ，外加频率为f = 50 Hz 、U = 200 V 的交流
电压源，试求：(1) 电路中的电流I ； (2) 各元件电压U R 、U L ；(3) 总电压与电流的相位差 ? 。
79
解：(1) X L = 2πfL ≈ 30 Ω，Ω=+=502
2L X R Z ，则A 4==
Z
U
I (2) U R = RI = 160 V ，U L = X L I = 120 V ，显然2
2L
R U U U += 。 (3)ο9.3640
30
arctan arctan
===R X L ?，即总电压u 比电流i 超前36.9?，电路呈感性。 2．R-C 串联电路
只要将R-L-C 串联电路中的电感L 短路去掉，即令X L = 0，U L = 0，则有关R-L-C 串
联电路的公式完全适用于R-C 串联电路。
解：(1) 由V 1002
2.141,1008012
2==Ω=+=Ω==U X R Z C X C C ，ω，则电流为
A 1==Z
U I
(2) U R = RI = 60 V ，U C = X C I = 80 V ，显然 2
2C
R U U U += 。 (3) ο53.1)60
80
(arctan )arctan(C -=-=-
=R X ?，
即总电压比电流滞后53.1?，电路呈容性。
第五节 串联谐振电路
工作在谐振状态下的电路称为谐振电路，谐振电路在电子技术与工程技术中有着广泛的应用。谐振电路最为明显的特征是整个电路呈电阻性，即电路的等效阻抗为Z 0 = R ，总电压u 与总电流i 同相。
一、谐振频率与特性阻抗
R-L-C 串联电路呈谐振状态时，感抗与容抗相等，即X L = X C ，设谐振角频率为 ω0，
则C
L 001
ωω=，于是谐振角频率为
LC
1
0=ω
动画8-8 串联谐振电路
【例8-6】在R-C 串联电路中，已知：电阻R = 60 Ω，电容C = 20 μF ，外加电压为u = 141.2sin628t V 。
试求：(1) 电路中的电流I ；(2) 各元件电压U R 、U C ；
(3) 总电压与电流的相位差 ? 。
80
由于 ω0 = 2πf 0，所以谐振频率为
LC
f π=
21
由此可见，谐振频率f 0只由电路中的电感L 与电容C 决定，是电路中的固有参数，所以通常将谐振频率f 0叫做固有频率。
电路发生谐振时的感抗或容抗叫做特性阻抗，用符号 ρ 表示，单位为欧姆(Ω)。
C
L
C L ==
=001ωωρ 二、串联谐振电路的特点
1．电路呈电阻性
当外加电源u S 的频率f = f 0时，电路发生谐振，由于X L = X C ，则此时电路的阻抗达到
最小值，称为谐振阻抗Z 0或谐振电阻R ，即
Z 0 = |Z |max = R
2．电流呈现最大
谐振时电路中的电流则达到了最大值，叫做谐振电流I 0，即
R U I S 0=
3．电感L 与电容C 上的电压
串联谐振时，电感L 与电容C 上的电压大小相等，即
U L = U C = X L I 0 = X C I 0 = QU S
式中Q 叫做串联谐振电路的品质因数，即
CR
R L R Q 001
ωωρ=
== R-L-C 串联电路发生谐振时，电感L 与电容C 上的电压大小都是外加电源电压U S 的Q 倍，
所以串联谐振电路又叫做电压谐振。一般情况下串联谐振电路都符合Q >>1的条件。
三、串联谐振的应用
串联谐振电路常用来对交流信号的选择，例如接收机中选择电台信号，即调谐。 在R-L-C 串联电路中，阻抗大小2
2)1(C
L R Z ωω-+=，设外加交流电源(又称信号 源)电压u S 的大小为U S ，则电路中电流的大小为
2
2S
S
)1
(C
L R U Z U I ωω-+= 由于则， 1
00S 0CR
R L Q R U I ωω===，
图8-7 R-L-C 串联电路的
谐振特性曲线
81
2
0020
)(
11
ω
ωωω-+=Q I I
此式表达出电流大小与电路工作频率之间的关系，叫做串联电路的电流幅频特性。电流大小I 随频率f 变化的曲线，叫做谐振特性曲线，如图8-7所示。
当外加电源u S 的频率f = f 0时，电路处于谐振状态；当f ≠ f 0时，称为电路处于失谐状态，若f < f 0，则X L < X C ，电路呈容性；若f > f 0，则X L > X C ，电路呈感性。
在实际应用中，规定把电流I 范围在(0.7071I 0 < I < I 0)所对应的频率范围(f 1 ~ f 2)叫做串联谐振电路的通频带(又叫做频带宽度)，用符号B 或 ?f 表示，其单位也是频率的单位。
理论分析表明，串联谐振电路的通频带为
Q f
f f f B 012=-=?=
频率f 在通频带以内 (即f 1 < f < f 2 )的信号，可以在串联谐振电路中产生较大的电流，而频率f 在通频带以外 (即f < f 1或f > f 2 )的信号，仅在串联谐振电路中产生很小的电流，因此谐振电路具有选频特性。
Q 值越大说明电路的选择性越好，但频带较窄；反之，若频带越宽，则要求Q 值越小，而选择性越差；即选择性与频带宽度是相互矛盾的两个物理量。
解： (1)kHz 50 40 MHz 2π2000======Q B R Q LC
f ，，
(2) I 0 = U /R = 1/9.4 = 0.106 mA ，U L0 = U C0 = QU = 40 mV
(3) 当f = f 0 + ?f = 2.2 MHz 时，B = 2?f = 13.816 ? 106 rad/s
mA
014.072)1(2
2==Ω=-
+=Z
U ΙC
L R Z ωω
仅为谐振电流I 0的13.2%。
第六节 电阻、电感、电容的并联电路
【例8-7】 设在R-L-C 串联电路中，L = 30 μH ，C = 211 pF ， R = 9.4 Ω，外加电源电压为u =2sin(2πf t ) mV 。试求：
(1) 该电路的固有谐振频率f 0与通频带B ；
(2) 当电源频率f = f 0时(即电路处于谐振状态)电路中的
谐振电流I 0、电感L 与电容C 元件上的电压U L 0、U C 0 ；
(3) 如果电源频率与谐振频率偏差 ?f = f - f 0 = 10% f 0 ，电路中的电流I 为多少？
82
一、R 、L 、C 并联电路的电流关系
由电阻、电感、电容相并联构成的电路叫做R 、L 、C 并联电路。
设电路中电压为u =U m sin(ω t )，则根据R 、L 、C 的基本特性可得各元件中的电流：
??? ?
?π+=??? ??π-==2sin 2sin )sin(m m m t X U i t X U i t R U i C C L L R ωωω，，
根据基尔霍夫电流定律(KCL)，在任一时刻总电流i 的瞬时值为
i= i R + i L +i C
作出相量图，如图8-9所示，并得到各电流之间的大小关系。
从相量图中不难得到
2
C L 2
2L C 2R )()(I I I I I I I R -+=-+=
上式称为电流三角形关系式。
二、R 、L 、C 并联电路的导纳与阻抗
在R 、L 、C 并联电路中，有 U B X U I U B X U I GU R U I C C
C L L L R ====== ，，
其中L L X B 1=叫做感纳、C
1
X B C =叫做容纳，单位均为西门子(S)。于是
2L C 22L C 2
R )()(B B G U I I I I -+=-+=
图8-8 R 、L 、C 并联电路
图8-9 R 、L 、C 并联电路的相量图
83
令U
I
Y =
，则 222L C 2)(B G B B G Y +=-+=
上式称为导纳三角形关系式，式中|Y |叫做R 、L 、C 并联电路的导纳，其中B = B C - B L 叫做电纳，单位均是西门子(S)。导纳三角形的关系如图8-10所示。
电路的等效阻抗为
221
1B
G Y I U Z +=
==
由相量图可以看出总电流i 与电压u 的相位差为
G B
G B B I I I 'L C R L C arctan arctan arctan =-=-=?
式中? '叫做导纳角。
由于阻抗角 ? 是电压与电流的相位差，因此有
G
B 'arctan
-=-=?? 三、R 、L 、C 并联电路的性质
同样是根据电压与电流的相位差(即阻抗角 ?)为正、为负、为零三种情况，将电路分为三种性质：
1．感性电路：当B < 0时，即B C < B L ，或X C > X L ，? > 0，电压u 比电流i 超前 ?，称电路呈感性；
2．容性电路：当B > 0时，即B C >B L ，或X C < X L ，? < 0，电压u 比电流i 滞后|?|，称电路呈容性；
3．谐振电路：当B = 0时，即B L = B C ，或X C = X L ，? = 0，电压u 与电流i 同相，称电路呈电阻性。
值得注意：在R-L-C 串联电路中，当感抗大于容抗时电路呈感性；而在R 、L 、C 并联电路中，当感抗大于容抗时电路却呈容性。当感抗与容抗相等时(X C = X L )两种电路都处于谐振状态。
图8-10 R 、L 、C 并联电路的导纳三角形
【例8-8】在R 、L 、C 并联电路中，已知：电源电压U = 120 V ，频率f = 50 Hz ，R = 50 Ω，L = 0.19 H ，
C = 80 μF 。试求：(1) 各支路电流I R 、I L 、I C ；(2) 总电流I ，并说明该电路成何性质？(3) 等效阻抗|Z |。
84
解：(1)ω = 2πf = 314 rad/s ，X L =ωL = 60 Ω，X C = 1/(ωC ) = 40 Ω
I R = U /R = 120/50 = 2.4 A ，I L = U /X L = 2 A ，I C = U /X C = 3 A
(2) A 6.2)(22
=-+=L C R I I I I ，因X L > X C ，则电路呈容性。
(3) |Z |= U /I = 120/2.6 = 46 Ω。
四、R 、L 并联与R 、C 并联电路
在讨论R 、L 、C 并联电路的基础上，容易分析R 、L 并联和R 、C 并联电路的电流情况，只需将R 、L 、C 并联电路中的电容开路去掉(I C = 0)，即可获得R 、L 并联电路；若将R 、L 、C 并联电路中的电感开路去掉(I L = 0)，即可获得R 、C 并联电路。有关R 、L 、C 并联电路的公式对这两种电路也完全适用。
解：(1)由 I R = U/R = 220/50 = 4.4 A ，X L = 2πfL ≈ 100 Ω，I L = U /X L = 2.2 A ，可得 A 92.42
2=+=L R I I I
(2) |Z |= U/I = 220/4.92 = 44.7 Ω
(3) 在R 、L 并联电路中，B C = 0，B L > 0，则B = B C - B L < 0，电路呈感性。
解：(1) 由I R = U/R = 220/40 = 5.5 A ，X C = 1/(2πfC ) ≈ 150 Ω，I C = U /X C = 1.47 A ，得
A 69.52
2=+=C R I I I
(2) |Z |= U/I = 220/5.69 = 38.7 Ω
(3) 在R 、C 并联电路中，B C > 0，B L = 0，则B =B C -B L > 0，电路呈容性。
第七节 电感线圈和电容的并联谐振电路
一、电感线圈和电容的并联电路
实际电感与电容并联，可以构成LC 并联谐振电路(通常称为LC 并联谐振回路)，由于实际电感可以看成一只电阻R (叫做线圈导线铜损电阻)与一理想电感L 相串联，所以LC 并联谐振回路为R-L 串联再与电容C 并联，如图8-11所示。
图8-11 电感线圈和电容的并联电路
【例8-9】 已知在R 、L 并联电路中，R = 50 Ω，L = 0.318 H ，工频电源f = 50 Hz ，电压U = 220 V ，试求：(1) 求各支路电流I R 、I L 、总电流I ；(2) 等效阻抗大小|Z |；(3) 电路呈何性质。
【例8-10】 已知在R 、C 并联电路中，电阻R = 40 Ω，电容C = 21.23 μF ，工频电源f = 50 Hz ，电压U = 220 V ，试求：(1) 各支路电流I R 、I C 、总电流I ；(2) 等效阻抗大小|Z |；(3) 电路呈何性质。
85
电容C 支路的电流为
CU X U
I C
C ω==
电感线圈R-L 支路的电流为
21212
21L R L
I I X R U
I +=+=
其中I 1R 是I 1中与路端电压同相的分量，I 1L 是I 1中 与路端电压正交(垂直)的分量，如图8-12所示。
由相量图可求得电路中的总电流为
2121)(C L R I I I I -+=
路端电压与总电流的相位差(即阻抗角)为
R
C L I I
I 11arctan --=?
由此可知：如果当电源频率为某一数值f 0，使得 I 1L = I C ，则阻抗角 ? = 0，路端电压与总电流同相，即 电路处于谐振状态。
二、并联谐振电路的特点
1．谐振频率
对LC 并联谐振是建立在100>>=
R
L
Q ω条件下的，即电路的感抗X L >> R ，Q 0叫做谐 振回路的空载Q 值，实际电路一般都满足该条件。
理论上可以证明LC 并联谐振角频率 ω0与频率0f 分别为
LC
f LC π≈
≈21
, 10ω 2．谐振阻抗
谐振时电路阻抗达到最大值，且呈电阻性。谐振阻抗和电流分别为
CR L R Q Q R Z =≈+=2
0200)1( 3．谐振电流
电路处于谐振状态，总电流为最小值
图8-12 电感线圈和电容并联电
路的相量图
动画M8-9 并联谐振电路
86
0Z U I =
谐振时X L 0 ≈ X C 0，则电感L 支路电流I L 0与电容C 支路电流I C 0为
000
000I Q X U
X U I I L C C L =≈=≈
即谐振时各支路电流为总电流的0Q 倍，所以LC 并联谐振又叫做电流谐振。 当f ≠ f 0时，称为电路处于失谐状态，对于LC 并联电路来说，若f < f 0，则X L < X C ，电路呈感性；若f > f 0，则X L > X C ，电路呈容性。
4．通频带
理论分析表明，并联谐振电路的通频带为
12Q f f f B =
-= 频率f 在通频带以内 (即f 1 ≤ f ≤ f 2 )的信号，可以在并联谐振回路两端产生较大的电压，而频率f 在通频带以外 (即f < f 1或f > f 2)的信号，在并联谐振回路两端产生很小的电压，因此并联谐振回路也具有选频特性。
解：(1) 50 MHz 121
rad/s 1025.610060==≈π=?≈=R L Q LC
f LC ωω，，
Ω====k 25 kHz 202
000
0R Q Z Q f B ，
(2) I L 0 ≈ I C 0 = Q 0I = 5 mA 。
第八节 交流电路的功率
一、正弦交流电路功率的基本概念
1．瞬时功率p
设正弦交流电路的总电压u 与总电流i 的相位差(即阻抗角)为 ?，则电压与电流的瞬时值表达式为
u = U m sin(ω t + ?)，i = I m sin(ω t )
瞬时功率为
p = ui = U m I m sin(ω t + ?)sin(ω t )
【例8-11】 如图8-11所示电感线圈与电容器构成的LC 并联谐振电路，已知R = 10 Ω，L = 80 μH ，C = 320 pF 。 试求：(1) 该电路的固有谐振频率f 0、通频带B 与谐振阻抗|Z 0|；(2) 若已知谐振状态下总电流I = 100 μA ，则电感L 支路与电容C 支路中的电流I L 0、I C 0为多少？
87
利用三角函数关系式sin(ω t + ?) = sin(ω t )cos ? + cos(ω t )sin ? 可得
)
2sin(sin )]2cos(1[cos sin 2
)
2sin(cos 2)2cos(1]
sin )cos()sin(cos )([sin )sin(]sin )cos(cos )[sin(m m m m 2m m m m t UI t UI t I U t I U t t t I U t t t I U p ω?ω??
ω?ω?ωω?ωω?ω?ω+-=+-=+=+= 式中2m U U =为电压有效值，2
m I
I =为电流有效值。
2．有功功率P 与功率因数 λ
瞬时功率在一个周期内的平均值叫做平均功率，它反映了交流电路中实际消耗的功
率，所以又叫做有功功率，用P 表示，单位是瓦特(W)。
在瞬时功率P = UI cos ?[1 - cos(2ω t )] + UI sin ? s in(2ω t )中，第一项与电压电流相位差 ? 的余弦值cos ? 有关，在一个周期内的平均值为UI cos ? ；第二项与电压电流相位差 ? 的正弦值sin ? 有关，在一个周期内的平均值为零。则瞬时功率P 在一个周期内的平均值(即有功功率)为
P = UI cos ? = UI λ
其中λ = cos ? 叫做正弦交流电路的功率因数。
3．视在功率S
定义：在交流电路中，电源电压有效值与总电流有效值的乘积(UI )叫做视在功率，用S 表示，即S =UI ，单位是伏安(V A)。
S 代表了交流电源可以向电路提供的最大功率，又称为电源的功率容量。于是交流电路的功率因数等于有功功率与视在功率的比值，即
S
P
==?λcos
所以电路的功率因数能够表示出电路实际消耗功率占电源功率容量的百分比。
4．无功功率Q
在瞬时功率p = UI cos ?[1- cos(2ω t )] + UI sin ? s in(2ω t )中，第二项表示交流电路与电源之间进行能量交换的瞬时功率，|UI sin ? |是这种能量交换的最大功率，并不代表电路实际消耗的功率。定义：
Q = UI sin ?
把它叫做交流电路的无功功率，用Q 表示，单位是乏尔，简称 乏(Var)。
当 ? > 0时，Q > 0，电路呈感性；当 ? < 0时，Q < 0，电 路呈容性；当 ? = 0时，Q = 0，电路呈电阻性。显然，有功功率 P 、无功功率Q 和视在功率S 三者之间成三角形关系，即
22Q P S +=
这一关系称为功率三角形，如图8-13所示。
图8-13 功率三角形
88
二、电阻、电感、电容电路的功率
1．纯电阻电路的功率
在纯电阻电路中，由于电压与电流同相，即相位差 ? = 0，则瞬时功率
p R = UI cos ?[1- cos(2ω t )] + UI sin ? s in(2ω t ) = UI cos ?[1- cos(2ω t )]
有功功率 P R = UI cos ? = UI = I 2
R =R
U 2；
无功功率 Q R = UI sin ? = 0； 视在功率 R P Q P S =+=22 即纯电阻电路消耗功率(能量)。
2．纯电感电路的功率
在纯电感电路中，由于电压比电流超前90?，即电压与电流的相位差 ? = 90?，则 瞬时功率 p L = UI cos ?[1- cos(2ω t )] + UI sin ? s in(2ω t ) = UI sin(2ω t )； 有功功率 P L = UI cos ? = 0； 无功功率
Q L = UI = I 2X L =
L
X U 2
； 视在功率 L Q Q P S =+=22
即纯电感电路不消耗功率(能量)，电感与电源之间进行着可逆的能量转换。
3．纯电容电路的功率
在纯电容电路中，由于电压比电流滞后90?，即电压与电流的相位差 ? = - 90?，则 瞬时功率 p C = UI cos ?[1- cos(2ω t )] + UI sin ? s in(2ω t ) = -UI sin(2ω t )； 有功功率 P C = UI cos ? = 0； 无功功率大小 Q C
= UI = I 2X
C =C
X U 2
， 视在功率 C Q Q P S =+=22
即纯电容电路也不消耗功率(能量)，电容与电源之间进行着可逆的能量转换。
三、功率因数的提高
1．提高功率因数的意义
在交流电力系统中，负载多为感性负载。例如常用的感应电动机，接上电源时要建立磁场，所以它除了需要从电源取得有功功率外，还要由电源取得磁场的能量，并与电源作周期性的能量交换。在交流电路中，负载从电源接受的有功功率P = UI cos ?，显然与功率因数有关。功率因数低会引起下列不良后果。
(1) 负载的功率因数低，使电源设备的容量不能充分利用。因为电源设备(发电机、变压器等)是依照它的额定电压与额定电流设计的。例如一台容量为S = 100 kV A 的变压器，若负载的功率因数 λ =１时，则此变压器就能输出100 kW 的有功功率；若 λ = 0.6时，则此变压器只能输出60 kW 了，也就是说变压器的容量未能充分利用。
(2) 在一定的电压U 下，向负载输送一定的有功功率P 时，负载的功率因数越低，输
89
电线路的电压降和功率损失越大。这是因为输电线路电流I = P /(U cos ?)，当 λ = cos ? 较小时，I 必然较大。从而输电线路上的电压降也要增加，因电源电压一定，所以负载的端电压将减少，这要影响负载的正常工作。从另一方面看，电流I 增加，输电线路中的功率损耗也要增加。因此，提高负载的功率因数对合理科学地使用电能以及国民经济都有着重要的意义。
常用的感应电动机在空载时的功率因数约为0.2 ~ 0.3，而在额定负载时约为0.83 ~ 0.85，不装电容器的日光灯，功率因数为0.45 ~ 0.6，应设法提高这类感性负载的功率因数，以降低输电线路电压降和功率损耗。
2．提高功率因数的方法
提高感性负载功率因数的最简便的方法，是用适当容量的电容器与感性负载并联，如图8-14所示。
这样就可以使电感中的磁场能量与电容 器的电场能量进行交换，从而减少电源与负 载间能量的互换。在感性负载两端并联一个适 当的电容后，对提高电路的功率因数十分有效。
借助相量图分析方法容易证明：对于额定 电压为U 、额定功率为P 、工作频率为f 的感
性负载R-L 来说，将功率因数从 λ1= cos ?1提高
到 λ2 = cos ?2，所需并联的电容为
)tan (tan 2212
??-π=fU P C 其中?1 = arccos λ1，?2 = arccos λ2，且 ?1 > ?2，λ1 < λ2 。
解：(1) 首先求未并联电容时负载的功率因数 λ1= cos ?1 因 P = UI cos ?1，则
λ1= cos ?1 = P /(UI ) = 0.5994， ?1 = arccos λ1 = 53.2?
(2) 把电路功率因数提高到 λ2 = cos ?2 = 0.9 时，?2 = arccos λ2 = 25.8?，则
F 74.6)4834.03367.1(220
314120)tan (tan 22
212μ=-?=-π=??fU P C
本 章 小 结
图8-14 功率因数的提高方法
【例8-12】已知某单相电动机(感性负载)的额定参数是功率P = 120 W ，工频电压U = 220 V ，电流I = 0.91 A 。试求：把电路功率因数 λ 提高到0.9 时，应使用一只多大的电容C 与这台电动机并联？
一、R-L-C元件的特性
二、R-L-C串、并联电路
说明：
(1) R-L串联电路：只需将R-L-C串联电路中的电容C短路去掉，即令X C = 0，U C = 0，则表中有关串联电路的公式完全适用于R-L串联情况。
(2) R-C串联电路：只需将R-L-C串联电路中的电感L短路去掉，即令X L = 0，U L = 0，
90
91
则表中有关串联电路的公式完全适用于R-C 串联情况。
(3) R-L 并联电路：只需将R-L-C 并联电路中的电容C 开路去掉，即令X C = ∞，I C = 0，则表中有关并联电路的公式完全适用于R-L 并联情况。
(4) R-C 并联电路：只需将R-L-C 并联电路中的电感L 开路去掉，即令X L = ∞，I L = 0，则表中有关并联电路的公式完全适用于R-C 并联情况。
三、R -L -C 串、并联谐振电路
四、提高功率因数的方法
提高感性负载(R-L )功率因数的方法，是用适当容量的电容器与感性负载并联。对于额定电压为U 、额定功率为P 、工作频率为f 的感性负载来说，将功率因数从 λ1= cos ?1提高到λ2= cos ?2，所需并联的电容为
)tan (tan 2212??-π=fU P C
其中?1 = arccos λ1，?2 = arccos λ2，且?1 > ?2，λ1 < λ2 。