五年级奥数目录
（一）数的整除★★★（被整除也就是找这个数的倍数）
（二）定义新运算★★★（它的符号不同于课本上明确定义或已经约定的符号，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。）
（三）列方程解运用题★★★★（一些数量关系较复杂的问或较隐蔽的逆向问题。用算术方法解答比较困难，如果用方程解就简便得多）
（四）抽屉原理★★★（抽屉原理：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件）
（五）不规则图形面积的计算★★★★★（不规则图形，为了计算面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系）
（六）逻辑推理★★★（条件增多，考虑的范围增大）
（七）牛吃草★★★（重点是草的生长速度的的变量）
（八）流水行船★★★（难点在于是逆水行舟还是顺水行舟）
（九）奇数与偶数★★★（根据奇数和偶数的定理，求出几个数的和是什么数）（十）周期性问题★★★（找出循环，利用除法算式求出余数，最后根据余数的大小得出正确的结果，考点）
（一）数的整除
如果整除a除以不为零数b，所得的商为整数而余数为0，我们就说a能被
b整除，或叫b能整除a。如果a能被b整除，那么，b叫做a的约数，a叫做
b的倍数。
数的整除的特征：
（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0，那么这个整数一定能被2整除。
（2）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除，那么这个整数一定能被3（或9）整除。
（3）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4
（或25）整除，那么这个数就一定能被4（或25）整除。
（4）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么这个整数一定能被5整除。
（5）能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除，又能被3整除，那么这个数就一定能被6整除。
（6）能被7（或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是0或是7（或11或13）的倍数，这个数就能被7（或11或13）整除。
（7）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就一定能被8（或125）整除。
（8）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。
一、例题与方法指导
例1. 一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.
思路导航：
一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0
或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框
内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能
23 0 56 0 或23 8 56 8
又 230560÷88=2620
238568÷88=2711
所以,本题的答案是2620或2711.
例2. 123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____.
思路导航：
因为36=9?4,所以这个十一位数既能被9整除,又能被4整除.因为1+2+…+9=45，由能被9整除的数的特征，（可知□+□之和是0（0+0）、9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的数的特征:这个数的末尾两位数是4的倍数,可知□□是00,04,…，36，…，72，…96.这样,这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性.
所以,这个数的个位上的数最小是0.
例3. 下面一个1983位数33…3□44…4中间漏写了一个数字(方框),已 991个 991个
知这个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是_____.
思路导航：
33...3□44 (4)
991个 991个
=33...3?10993+3□4?10990+44 (4)
990个 990个
因为111111能被7整除，所以33…3和44…4都能被7整除,所以只要
990个 990个
3□4能被7整除，原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是6.
例4. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.
思路导航：
三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和是11的倍数,而3与11互质,所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99.所以有当和为33时,三个数是10,11,12；
当和为66时,三个数是21,22,23；
当和为99时,三个数是32,33,34.
所以，答案为 10,11,12或21,22,23或32,33,34。
[注]“三个连续自然数的和必能被3整除”可证明如下：
设三个连续自然数为n,n+1,n+2,则
n+(n+1)+(n+2)
=3n+3
=3(n+1)
所以，)2
+n
+
n
n能被3整除.
+
)1
(
(+
二、巩固训练
1.有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是____.
2.一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数
的乘积,那么这个自然数是_____.
3.任取一个四位数乘3456,用A表示其积的各位数字之和,用B表示A的各位数字之和,C表示B的各位数字之和,那么C是_____.
4.有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是_____.
三、拓展提升
1.找出四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可
以被它们的差整除,如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少？
2．只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修改？
3． 500名士兵排成一列横队.第一次从左到右1、2、3、4、5（1至5）名报数；第二次反过来从右到左1、2、3、4、5、6（1至6）报数，既报1又报6的士兵有多少名？
4.试问,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中,都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种排法；如果回答：“不能”，则需给出说明.
（二）定义新运算
定义新运算通常是用特殊的符号表示特定的运算意义。它的符号不同于课本
上明确定义或已经约定的符号，例如“+、-、×、÷、、>、<”等。表示运算意义的表达式，通常是使用四则运算符号，例如a☆b=3a-3b，新运算使用的符号是☆，而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。
正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义，严格按照规定的法则进行运算。如果没有给出用字母表示的规则，则应通过给出的具体的数字表达式，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。
值得注意的是：定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质，所以，不能盲目地运用定律和运算性质解题。
一、例题与方法指导
例1. 设 ab都表示数，规定a△b表示a的4倍减去b的3倍，即a△b=4×a-3×b,试计算5△6，6△5。
解5△6-5×4-6×3=20-18=2
6△5=6×4-5×3=24-15=9
说明例1定义的△没有交换律，计算中不得将△前后的数交换。
例2. 对于两个数a、b,规定a☆b表示3×a+2×b,试计算（5☆6）☆7，5☆（6☆7）。
思路导航：
先做括号内的运算。
解（5☆6）☆7=（5×3+6×2）☆7=27☆7=27×3+7×2=95
5☆（6☆7）=5☆（6×3+7×2）=5☆32=5×3+32×2=79
说明本题定义的运算不满足结合律。这是与常规的运算有区别的。
例3. 已知2△3=2×3×4，4△2=4×5，一般地，对自然数a、b，a△b 表示a×(a+1)×…（a+b-1）.
计算（6△3）-（5△2）。
思路导航：
原式=6×7--5×6
=336-30
规定：a△=a+(a+1)+(a+2)+…+（a+b-1）,其中a,b表示自然数。
例4. 求1△100的值。已知x△10=75,求x.
思路导航：
（1）原式=1+2+3+…+100=（1+100）×100÷2=5050
（2）原式即x+(x+1)+(x+2)+…+（X+9）=75,
所以
10X+(1+2+3+…+9)=75
10x+45=75
10x=30
x=3
二、巩固训练
1. 若对所有b,a△b =a×x,x是一个与b无关的常数；a☆b=(a+b)÷2,且（1△3）☆3=1△（3☆3）。
求（1△4）☆2的值。
2.如果规定：③=2×3×4，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……，⑨=8×9×10，求⑨+⑧-⑦+⑥-⑤+④-③的值。
三、能力提升
（三）列方程解应用题
同学们在解答数学问题时，经常遇到一些数量关系较复杂的，或较隐蔽的逆
向问题。用算术方法解答比较困难，如果用方程解就简便得多。它可以进一步培养我们分析问题和解决问题的能力，抽象思维能力，列方程解应用题一般分为五步：
（一）审题；（弄清已知数和未知数以及它们之间的关系）
（二）用字母表示未知数；（通常用“x”表示）
（三）根据等量关系列出方程；
（四）解方程求出未知数的值；
（五）验算并答题。
一、例题与方法指导
例1. 金台小学学生参加申奥植树活动，六年级共植树252棵，比五年级
植树总数的1
1
4倍少8棵，五年级植树多少棵？
思路导航：
六年级比五年级植树总数的1
1
4倍少8棵，就是六年级的
1
1
4倍的数少8，等
于六年级植树的总数。等量关系是：五年级的1
1
4倍－8＝六年级的植树总数。
解：设五年级植树x棵，根据题意列方程，得
11
4
8252
x-=
1
1
4
2528
x=+
1
1
4
260
x=
x
x
=÷
=
2601
1
4
208
验算：把x=208代入原方程
左边=?-=
1
1
4
2088252
右边＝252
左边＝右边
x=208是原方程的解。
答：五年级植树208棵。
例2. 一瓶农药700克，其中水比硫磺粉的6倍还多25克，含硫磺粉的重量是石灰的2倍，这瓶农药里，水、硫磺粉和石灰粉各多少克？
思路导航：
这是道比较复杂的“和倍应用题”，硫磺粉和水有直接关系，硫磺粉和石灰也有直接关系，因此应设未知数硫磺粉为x克。水的重量是硫磺的6倍还多25
克，也就是（6x＋25）克，石灰的重量就是硫磺粉的重量除以2，也就是1
2
x
克。
等量关系式表示为：
水＋硫磺粉＋石灰＝农药重量
解：设硫磺粉的重量是x克，那么，水的重量是（625
x+）克，石灰重
量是1
2
x
克。根据题意列方程，解。
625
1
2
700
x x x
+++=
7
1
2
70025
x=-
75675
.x=
x=90
验算：把x=90代入原方程
左边
=?+++?=
6902590
1
2
90700
右边＝700
左边＝右边
x=90是原方程的解。
例3. 两袋米同样重，第一袋吃去18千克，第二袋吃去25千克，余下
的第一袋刚好是第二袋的2倍，两袋原来各有多少千克？
思路导航：
题中告诉我们原来两袋大米同样重，解答时可以设两袋大米原来各重x 千克，第一袋剩下的则是()x -18千克，第二袋剩下的则是()x -25千克。根据题意，第一袋剩下的大米是第二袋剩下的2倍，也就是说，如果把第二袋剩下的扩大2倍就和第一袋剩下的相等。
解：设两袋大米原来的重量各为x 千克，根据题意，列方程得 ()x x -?=-25218 25018x x -=- 25018x x -=- x =32
验算：左边=-?=()3225214 右边＝32－18＝14 左边＝右边 x ＝32是原方程的解
答：两袋大米原来各重32千克。
二、巩固训练
1. 李红看一本小说，上午看了60页，相当于下午看的页数的7
8又4页，李
红这天共看了多少页小说？
2. 已知一个长方形的长是20米，如果把它的宽减少4米，新得到一个
长方形，它的面积想法于原来长方形的面积的5
7，原来长方形的周长是多少？
3. 两根绳共长90米，已知第一根绳长的2
5等于第二根绳长的
1
2，求两根绳各长
多少米？三、拓展提升
1. 甲乙两个粮仓共有粮食55万千克，如果甲仓运出3
5，乙仓运出6万千
克，则甲乙两仓存粮相等，甲、乙两仓原来各存粮多少万千克？
2. 用5千克含盐20%的盐水，如果把它稀释为含盐15%的盐水，需要加水多少千克？
3. 有甲、乙两筐苹果，如果从甲筐取10千克放入乙筐，则两筐相等；如果
从两筐中各取出10千克，这时甲筐余下的
3
10比乙筐余下的
1
3多5千克。求两筐
苹果原来各多少千克？
4. 同学们到郊区野炊。一个同学到老师那里去领碗，老师问他领多少，他说领55个。又问“多少人吃饭”，他说：“一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗。”算一算，有多少人吃饭。
（四）抽屉原理
如果将5个苹果放到3个抽屉中去，那么不管怎么放，至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。道理很简单，如果每个抽屉中放的苹果都少于2个，即放1个或不放，那么3个抽屉中放的苹果的总数将少于或等于3，这与有5个苹果的已知条件相矛盾，因此至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。
同样，有5只鸽子飞进4个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。
以上两个简单的例子所体现的数学原理就是“抽屉原理”，也叫“鸽笼原理”。抽屉原理1：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
说明这个原理是不难的。假定这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2件，那么每一个抽屉中的物品或者是一件，或者没有。这样，n个抽屉中所放物品的总数就不会超过n件，这与有多于n件物品的假设相矛盾，所以前面假定“这
n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2件”不能成立，从而抽屉原理1成立。
从最不利原则也可以说明抽屉原理1。为了使抽屉中的物品不少于2件，最不利的情况就是n个抽屉中每个都放入1件物品，共放入n件物品，此时再放入1件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有1个抽屉不少于2件物品。这就说明了抽屉原理1。
一、例题与方法指导
例1. 某幼儿园有367名1996年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？
分析与解：1996年是闰年，这年应有366天。把366天看作366个抽屉，将367名小朋友看作367个物品。这样，把367个物品放进366个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个物品。因此至少有2名小朋友的生日相同。
例2. 在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？
分析与解：因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形。我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”。一个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里。
将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以3的余数相同。这两个数的差必能被3整除。
例3. 在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数？
分析与解：根据例2的讨论，任何整数除以3的余数只能是0，1，2。现在，对于任意的五个自然数，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的数，于是可分下面两种情形来加以讨论。
第一种情形。有三个数在同一个抽屉里，即这三个数除以3后具有相同的余数。因为这三个数的余数之和是其中一个余数的3倍，故能被3整除，所以这三个数之和能被3整除。
第二种情形。至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每
个抽屉里各取一个数，这三个数被3除的余数分别为0，1，2。因此这三个数之和能被3整除。
综上所述，在任意的五个自然数中，其中必有三个数的和是3的倍数。
二、巩固训练
1. 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。
2.一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？
3. 从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。
（五）不规则图形面积计算（1）
我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：
实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。
那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。
一、例题与方法指导
例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10
厘米和12厘米.求阴影部分的面积。
思路导航：
阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。
例2
如右图，正方形ABCD 的边长为6厘米，△ABE 、△ADF 与四边形AECF
的面积彼此相等，求三角形AEF 的面积.
思路导航：
∵△ABE 、△ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等，
∴四边形 AECF 的面积与△ABE 、△ADF 的面积都等于正方形ABCD 的13
。
在△ABE 中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2， ∴△ECF 的面积为2×2÷2=2。
所以S △AEF=S 四边形AECF-S △ECF=12-2=10（平方厘米）。 例3
两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。如
右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。
思路导航：
在等腰直角三角形ABC 中 ∵AB=10
∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，
∴阴影部分面积=S △ABG-S △BEF=25-8=17（平方厘米）。 例4
如右图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=CD ，若△ABC （阴影部分）
面积为5平方厘米. 求△ABD 及△ACE 的面积.
思路导航：
B
C
取BD 中点F ，连结AF.因为△ADF 、△ABF 和△ABC 等底、等高，
所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.
∴△ACD 的面积等于15平方厘米，△ABD 的面积等于10平方厘米。 又由于△ACE 与△ACD 等底、等高，所以△ACE 的面积是15平方厘米。 二、巩固训练
1. 如右图，在正方形ABCD 中，三角形ABE 的面积是8平方厘米，它是三角形DEC 的面积的
4
5
，求正方形ABCD 的面积。
2. 如右图，已知：S △ABC=1，AE=ED,BD=
2
3
BC.求阴影部分的面积。
3. 如右图，梯形ABCD 的面积是45平方米，高6米，△AED 的面积是5平方米，BC=10米，求阴影部分面积.
D
4. 如右图，四边形ABCD和DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等.
（六）不规则图形面积计算（2）
不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”（即：集合A与集合B
之间有：S
A∪B ＝S
A
＋S
b
-S
A∩B
）合并使用才能解决。
一、例题与方法指导
例1 . 如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部分的面积。
解法1：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到右图.这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的
面积相等.所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。
解法2：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一半。
解法3：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图
所示.阴影部分的面积是正方形的一半.
例2. 如右图，正方形ABCD 的边长为4厘米，分别以B 、D 为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。
解：由容斥原理 S 阴影＝S 扇形ACB ＋S 扇形ACD -S 正方形ABCD
例3
如右图，矩形ABCD 中，AB ＝6厘米，BC ＝4厘米，扇形ABE 半径
AE ＝6厘米，扇形CBF 的半CB=4厘米，求阴影部分的面积。
例4. 如右图，直角三角形ABC 中，AB 是圆的直径，且AB ＝20厘米，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，求BC 长。 分析 已知阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，就是半圆面
积比三角形ABC 面积大7平方厘米；又知半圆直径AB ＝20厘米，可以