第一章 《整式的乘除》回顾与思考 学习目标：
1.梳理全章内容，建立知识体系。
2.熟练运用运算法则、整式乘除法进行运算，灵活运用运算公式解决问题。 知识框架：
1.判断以下各题是否正确
(1) 3332a a a =? ( ) (2).53232)(x x x x -=-=-?+ ( ) (3). 6336)2(x x -=- ( ) (4). 532)()()(y x x y y x -=-?- ( ) (5). 20102=- ( ) (6).235)()(m m m -=-÷- ( )
2．计算
（1） )423)(2(22b ab a ab ---- （2）021)2019(3)2
1
(-----π
（3）)3
1
()963(2234a a a a ÷+- （4）)2)(()2(2y x y x y x ++--
2.某公园有一正方形草坪，需要修整成一长方形草坪，在修整时一边长加长了4米，另一边长减少了4米，这时得到的长方形草坪的面积比原来正方形草坪的边长减少2米后的正方形面积相等，求原正方形草坪的面积是多少？
新人教版小学六年级数学上册圆的理解单元知识结构框架 在各个学段中，《课程标准》安排了“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”四个学习领域。 在空间与图形方面，本册教材安排了《位置》、《圆》两个单元。在《圆》这个单元中，通过对曲线图形——圆的特征和相关知识的探索与学习，初步理解研究曲线图形的基本方法，促动学生空间观点的进一步发展。下面，我将从以下几个方面来谈我对这个单元教材的理解和我的主要教学策略：（出示课件） 一、课标要求： 关于圆，在第一学段（1—3年级）的要求是： 1．会辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形。 2．能用简单的语言描述它的特征。初步了解它是轴对称图形。 3．能对简单图形实行分类并会用各种平面图形拼图。 在本学段，即第二学段（4—6年级）的要求是： 1．通过观察、操作，理解圆，掌握圆的特征，会用圆规画圆； 2．知道圆是轴对称图形，进一步理解轴对称图形，能使用平移、轴对称和旋转设计简单的图案。
3．探索并掌握圆的周长和面积公式，能够准确计算圆的周长和面积。4．经历从实际生活中发现问题、提出问题、解决问题的过程，体会圆的知识在生活中的广泛应用，初步形成综合使用数学知识解决问题的水平。 圆是一种曲线图形，它同直线图形有不同的特点。在本册之前各册教材出现的平面图形都是直线图形。所以“圆”的教学是学生系统理解曲线图形特征的开始。在低年级的教学中虽然也出现过圆，但仅仅直观的理解，比如： 人教版一年级上册第四、五单元《理解物体和图形》《分类》，初步理解圆并能够对基本图形实行分类。 一年级下册第三单元《图形的拼组》，尝试用不同的立体图形或平面图形实行设计和拼组。 二年级上册第五单元《观察物体》，初步了解圆是轴对称图形，并知道它有无数条对称轴。 本册的第四单元《圆》，要理解圆的基本特征，会画圆，会计算圆的周长和面积并会灵活应用这些知识解决实际问题。从学习直线图形到学习曲线图形，不论是内容本身、还是研究问题的方法，都有所变化，教材通过对圆的研究，使学生初步理解研究曲线图形的基本方法，同时，也渗透了曲线图形与直线图形的内在联系。在这个单元里，教材还利用学生已有的对轴对称图形的初步理解探讨圆的轴对称特点，给出轴对称图形
整 式 的 乘 除 知识点归纳： 1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，所有字母指数和叫单项式的次数。 如：bc a 22-的 系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。 2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。 如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。 3、整式：单项式和多项式统称整式。 注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 4、多项式按字母的升（降）幂排列： 如：1223223--+-y xy y x x 按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+-- 按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x 5、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=?（n m ,都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 如：532)()()(b a b a b a +=+?+ 6、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即m n n m m n a a a )()(== 如：23326)4()4(4== 已知：23a =，326b =，求3102a b +的值； 7、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数） 积的乘方，等于各因数乘方的积。 如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=???-
圆的认识知识点总结 圆的认识知识点总结? 圆的定义：圆是一种几何图形。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。相关定义: 1 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。 2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。 3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。直径所在的直线是圆的对称轴。4 连接圆上任意两点的线段叫做弦。最长的弦是直径,直径是过圆心的弦。 5 圆上任意两点间的部分
叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。 6 两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。7 弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。8 顶点在圆心上的角叫做圆心角。9 顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。10 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个无限不循环小数，通常用π表示，π=……在实际应用中，一般取π≈。11圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。 12 圆是一个正n边形，边长无限接近0但不等于0。圆的集合定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长是半径。? 圆的字母表示：以点O 为圆心的圆记作“⊙O”，读作O”。圆—⊙；半径—r或R；弧—⌒；
知识点 1：幂的运算 4）同底数幂的除法法则： 知识点 5 ：因式分解 因式分解是指把一个多项式化成几个整式的积的形式，也叫分解因式。 因式分解最终结果特别注意以下几点： 第一，必须分解成积的形式； 第二，分解成的各因式必须是整式； 第三，必须分解到不能再分解为止。 1） 同底数幂的乘法法则： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即， n m n aa 2） 幂的乘方法则： 幂的乘方，底数不变，指数相乘。即， mn a m )n mn a 3） 积的乘方法则： 积的乘方，等于把积中每一个因式分别乘方， 再把所得的幂相乘。即， n n n ( ab) a b 同底数幂相除，底数不变，指数相减。即， mn aa mn a 知识点 2：整式的乘法运算 1）单项式与单项式相乘法则： 单项式与单项式相乘， 只要将系数、 相同字母的幂分别相乘， 对于只在一个单项式中出现的 字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式 2）单项式与多项式相乘法则： 单项式与多项式相乘，先用单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。 3）多项式与多项式相乘法则： 多项式与多项式相乘， 先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项， 再把所得 的积相加。 知识点 3：整式的除法运算 1）单项式与单项式相除法则： 单项式除以单项式， 只要将系数、 相同字母的幂分别相除， 对于只在一个被除式中出现的字 母，则连同它的指数一起作为商的一个因式 2）多项式除以单项式法则： 多项式除以单项式，先用多项式的每一项分别除以单项式， 再把所得的商相加。 知识点 4：乘法公式 1）两数和乘以这两数的差公式（又叫做：平方差公式） 2）两数和的平方公式（又叫做：完全平方和公式） 3）两数差的平方公式（又叫做：完全平方差公式） ： (a ： ( a b) 2 ： ( a b)2 b)(a 2 a b) 2ab 2ab a 2 b 2 b 2 b 2
整式的乘除与因式分解知识点 一、整式乘除法 同底数幕相乘，底数不变，指数相加. a m a n =a m+n ［m,n 都是正整数］ 同底数幕相除，底数不变，指数相减? a m %n =a m-n ［a 工0,m,都是正整数 且m>n ］ 任何不等于0的数或式子的0次幕都等于1. a °=1［a 老］,0°无意义 幕的乘方,底数不变，指数相乘? (a m )n =a mn ［m,n 都是正整数］(a m )n 表示n 个a m 相乘，a 的(m n )幕表示m 积的乘方，等于把积的 每一个因式分别乘方，再把所得幕相乘.(ab) n =a n b n ［n 为正整数］注：不要漏积中任何一个因式 单项式与单项式相乘，把它们的系数,相同字母 分别相乘,对于只在一个单项式里 含有的字母，则连同它的指数作为积的 一个因式.ac 5 bc 2=(a b) (c 5 c 2)=abc 5+2 =abc 7注：运算顺序 先乘方，后乘除，最后加减 单项式相除，把系数与同底数幕分别相除作为商的因式 ，只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的 积相加，m(a+b+c)=ma+mb+mc 注：不重不 漏，按照顺序，注意常数项、负号 .本质是乘法分配律。 多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的 商相加. 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相乘 (a+b)(m+n)=am+a n+bm+b n 乘法公式：平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.(a+b)(a-b)=a 2-b 2 完全平方公式：两数和［或差］的平方，等于它们的平方和，加［或减］它们积的2倍.(a ±))2=a 2±2ab+b 2 因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式，也叫做把这个多项式分解因式 . 因式分解方法： 1、 提公因式法?关键:找出公因式 公因式三部分：①系数(数字)一各项系数 最大公约 数；②字母--各项含有的 相同字母；③指数--相同字母的最低次数； 步骤：第一步是 找出公因式；第二步是 提取公因式并确定另一因式?需注意，提取完公因式后，另一个因式的项数与 原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项. 注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式， 即分解到 底”②如果多项式的 第一项的系数是负的，一般要提出?” 号，使括号内的第一项的系数是正的. 2、 公式法?①a 2-b 2=(a+b)(a-b) 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 a 、b 可以是数也可是式子 ② a 2±?ab+b 2=(a ±b)2完全平方两个数平方和加上或减去这两个数的积的 2倍,等于这两个数的和［或差］的平方. ③ x 3-y 3 =(x-y)(x 2+xy+y 2)立方差公式 3、 十字相乘(x+p)(x+q)=x 2+(p+q)x+pq 因式分解三要素：(1)分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式 (2) 因式分解必须是恒等变形； (3) 因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止. 弄清因式分解与整式乘法的内在的关系 ：互逆变形，因式分解是把 和差化为积的形式，而整式乘法是把 积化为和差 添括号法则：如括号前面是 正号，括到括号里的 各项都不变号，如括号前是 负号各项都得改符号。用去括号法则验证 都可逆用 灵活做题
《圆的认识》单元知识点 1、圆的认识 (1) 直径是圆中所有线段中最长的一条。 (2) 半径和直径的关系：同一个圆里，直径是半径的两倍，半径 是直径的一半。 (3) 在同一个圆里，有无数条半径，所有半径的长度都相等。 (4) 在同一个圆里，有无数条直径，所有直径的长度都相等。 (5) 画圆时，圆规针尖固定的一点是圆心，圆规两脚之间距离是 半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小 、知识结构图 广 圆各部分名称(圆心、直径、半径) 圆的认识 < 圆的画法、对称轴 圆的周长 圆 的 认 识 r 推导过程(渗透转化思想) 圆的面积 2 . . 2 圆面积=n r X r= n r 。即：S=n r 与圆相关的计算 二、核心知识点 半圆的周长、面积计算 圆的周长=圆周率x 直径=圆周率x 半 径 X 2 (C =n d 或 C = 2 n r ) 组合图形求面积
(6) 圆是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴就是直径所在的 直线 (7) 正方形里最大的圆：圆心是对角线交点，半径是正方形边长 的一半。 (8) 长方形里最大的圆：圆心是对角线交点，半径是长方形宽的一半。 2、圆的周长 (1) 圆周率：任何一个圆的周长除以它直径的商都是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母n表示。n是一个无限不循环小数，n~ 3.14。 (2) 圆的周长二圆周率X直径二圆周率x半径X 2 (C=n d或C= 2 (3) 半圆的周长二圆周长的一半+直径(C半圆二n d宁2+ d, C半圆二n r + 2r (4)常用数据(略，自己背诵) (5)同一个圆里，圆的周长是直径的n倍，圆的周长是半径的2 n倍。 3、圆的面积 (1) 圆面积公式的推导过程 把圆分成若干等份，剪开后，拼成了一个近似的长方形。长方形 的面积与圆的面积相等；长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于 圆的半径。 因为：长方形面积二长X宽，所以：圆面积二n r X r= n r2。即：S=n r2。
同底数幂的乘法：m n a a ?= 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 幂的乘方：()n m a = 幂的乘方，底数不变，指数相乘 积的乘方：a n n b = 积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相 乘 同底数幂的除法： a m n a ÷= （a 0≠,m,n 都是 正整数，并且m>n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减 0a = a 0≠（） 任何不等于0的数的0次幂都等于 整式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的系数、字母 ，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积 的 。如：52 ac bc =g 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘 多项式的 ，再把所的积 如：22132(2)ab ab ab -=g 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 ，再把所得的积相加 如：(8)()x y x y --= 乘法 公式 平方差公式： (a+b)(a-b)= 两个数的 与这两个数的 的积，等于这两个数的 完全平方公式： 2 a+b =（） 2a b -=（） 添括号的法则： 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都 ；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都 。 如：a b c ++= a b c --= 单项式相除，把系数与同底数幂 作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的 。 如：42328x y 7x y ÷= 整式 的除法 多项式除以单项式，先把这个多项式的 除以这个单项式，再把所得的 如：3212a 63)3a a a -+÷=（ 把一个多项式化成几个整式的 ，这样的式子的变形叫做把这个多项式 。也叫做把这个多项式 。 因式分 解 整式乘除 与 因式分解 提公因式法： 2a()3()b c b c +-+= 公式法： 22a b -= 22 a +2ab+ b = 22a -2ab+b = 22()()x p x q +-+=
多阅读和积累,可以使学生增长知识，使学生在学习中做到举一反三。在此本站初中频道为您提供圆的认识知识点，希望给您学习带来帮助，使您学习更上一层楼! 圆的定义： 圆是一种几何图形。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。 在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 相关定义: 1 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。 2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。 3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。直径所在的直线是圆的对称轴。 4 连接圆上任意两点的线段叫做弦。最长的弦是直径,直径是过圆心的弦。 5 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。 6 由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。 7 由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。 8 顶点在圆心上的角叫做圆心角。 9 顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 10 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个无限不循环小数，通常用π表示，π=3.14159265……在实际应用中，一般取π≈3.14。 11圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。 12 圆是一个正n边形(n为无限大的正整数)，边长无限接近0但不等于0。 圆的集合定义： 圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长是半径。 ? 圆的字母表示： 以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作O”。 圆—⊙ ; 半径—r或R(在环形圆中外环半径表示的字母); 弧—⌒ ; 直径—d ; 扇形弧长—L ; 周长—C ; 面积—S。 圆的性质: (1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。 圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。 逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。 (2)有关圆周角和圆心角的性质和定理 ①在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有
整式的乘除 1.同底数幂的乘法 【知识盘点】 若m、n均为正整数，则a m·a n=_______，即同底数幂相乘，底数________，指数_______． 【基础过关】 1．下列计算正确的是（） A．y3·y5=y15 B．y2+y3=y5 C．y2+y2=2y4 D．y3·y5=y8 2．下列各式中，不能用同底数幂的乘法法则化简的是（） A．（a+b）（a+b）2 B．（a+b）（a－b）2 C．－（a－b）（b－a）2 D．（a+b）（a+b）3（a+b）2 3．下列计算中，错误的是（） A．2y4+y4=2y8 B．（－7）5·（－7）3·74=712 C．（－a）2·a5·a3=a10 D．（a－b）3（b－a）2=（a－b）5 【应用拓展】 4．计算： （1）－a4（－a）4 = （2）－x5·x3·（－x）4 = （3）（x－y）5·（x－y）6 = 5．计算： （1）（－b）2·（－b）3+b·（－b）4（2）a·a6+a2·a5+a3·a4 6．已知a x=2，a y=3，求a x+y的值． 7．已知4·2a·2a+1=29，且2a+b=8，求a b的值． 【综合提高】 8．小王喜欢数学，爱思考，学了同底数幂乘法后，对于指数相同的幂相乘，他发现：由（2×3）2=62=36，22×32=4×9=36，得出（2×3）2=22×32 由23×33=8×27=216，（2×3）3=6=216，得出（2×3）2=23×33 请聪明的你也试一试： 24×34=_______，（2×3）4=________，得出__________； 归纳（2×3）m=________（m为正整数）； 猜想：（a×b）m=_______（m为正整数，ab≠0）． 2.积的乘方 【知识盘点】 积的乘方法则用字母表示就是：当n为正整数时，（ab）n=_______． 【基础过关】 1．下列计算中：（1）（xyz）2=xyz2；（2）（xyz）2=x2y2z2；（3）－（5ab）2=－10a2b2；（4）－（5ab）2=－25a2b2；其中结果正确的是（）
思维辅导 整式的乘除知识点及练习 基础知识： 1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，所有字母指数和叫单项式的次数。 如：bc a 22-的 系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。 2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。 如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2 a 、a b 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。 3、整式：单项式和多项式统称整式。 注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 4、多项式按字母的升（降）幂排列： 如：1223223--+-y xy y x x 按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+-- 按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x 知识点归纳： 一、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=?（n m ,都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 如：532)()()(b a b a b a +=+?+ 【基础过关】 1．下列计算正确的是（ ） A ．y 3·y 5=y 15 B ．y 2+y 3=y 5 C ．y 2+y 2=2y 4 D ．y 3·y 5=y 8 2．下列各式中，结果为（a+b ）3的是（ ） A ．a 3+b 3 B ．（a+b ）（a 2+b 2） C ．（a+b ）（a+b ）2 D ．a+b （a+b ）2 3．下列各式中，不能用同底数幂的乘法法则化简的是（ ） A ．（a+b ）（a+b ）2 B ．（a+b ）（a －b ）2 C ．－（a －b ）（b －a ）2 D ．（a+b ）（a+b ）3（a+b ）2 4．下列计算中，错误的是（ ） A ．2y 4+y 4=2y 8 B ．（－7）5·（－7）3·74=712 C ．（－a ）2·a 5·a 3=a 10 D ．（a －b ）3（b －a ）2=（a －b ）5 【应用拓展】 5．计算： （1）64×（－6）5 （2）－a 4（－a ）4 （3）－x 5·x 3·（－x ）4 （4）（x －y ）5·（x －y ）6·（x －y ）7 6．已知a x =2，a y =3，求a x+y 的值．
《圆》单元知识结构图 在《圆》这一单元中，通过对曲线图形——圆的特征和有关知识的探索与学习，初步认识研究曲线图形的基本方法，促进学生空间观念的进一步发展。下面，我将从以下几个方面来谈我对这一单元教材的认识和我的主要教学策略： 一、课标要求： 关于圆，在第一学段（1—3年级）的要求是： 1．会辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形。2．能用简单的语言描述它的特征。初步了解它是轴对称图形。3．能对简单图形进行分类并会用各种平面图形拼图。 在本学段，即第二学段（4—6年级）的要求是： 1．通过观察、操作，认识圆，掌握圆的特征，会用圆规画圆；2．知道圆是轴对称图形，进一步认识轴对称图形，能运用平移、轴对称和旋转设计简单的图案。 3．探索并掌握圆的周长和面积公式，能够正确计算圆的周长和面积。4．经历从实际生活中发现问题、提出问题、解决问题的过程，体会圆的知识在生活中的广泛应用，初步形成综合运用数学知识解决问题的能力。 圆是一种曲线图形，它同直线图形有不同的特点。在本册之前各册教材出现的平面图形都是直线图形。所以“圆”的教学是学生系统认识曲线图形特征的开始。在低年级的教学中虽然也出现过圆，但只是直观的认识，
本册的第五单元《圆》，要认识圆的基本特征，会画圆，会计算圆的周长和面积并会灵活应用这些知识解决实际问题。从学习直线图形到学习曲线图形，不论是内容本身、还是研究问题的方法，都有所变化，教材通过对圆的研究，使学生初步认识研究曲线图形的基本方法，同时，也渗透了曲线图形与直线图形的内在联系。在这一单元里，教材还利用学生已有的对轴对称图形的初步认识探讨圆的轴对称特点，给出轴对称图形的概念，使学生关于轴对称图形的知识系统化，从而更好地发展学生的空间观察。 二、知识结构： 本单元教材主要内容有：认识圆、圆的周长和圆的面积等。 圆的认识包括圆的基本特征（认识圆心、半径和直径、半径和直径的长度间的关系）、掌握用圆规画圆的方法（加深对圆的认识）、圆是轴对称图形，有无数条对称轴。 圆的周长和面积计算公式的教学，加强了启发性和探索性，注意让学生动手操作，使学生在实践活动中通过交流、思考来探究圆的周长和面积计算方法，逐步导出和掌握计算公式。对于圆的周长，让学生通过用线绕一绕，把圆放在直尺上滚一滚等方法来测量，然后再通过填表，运用不完全归纳法来探寻周长与直径的比值的规律，从而引出圆周率的概念。对于圆的面积教学，则采用转化的方法，把圆的面积转化为熟悉的直线图形的面积来计算。 三、教学目标： 1．知识与技能目标：认识圆，掌握圆的基本特征，理解直径与半径
第一章《整式的乘除》知识点 一、幂的四种运算： 1、同底数幂的乘法： ⑴语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； ⑵字母表示：a m ·a n = a m+n ；(m ，n 都是整数) ； ⑶逆运用：a m+n = a m ·a n 2、幂的乘方： ⑴语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘； ⑵字母表示：(a m ) n = a mn ；(m ，n 都是整数)； ⑶逆运用：a mn =(a m )n =(a n )m ； 3、积的乘方： ⑴语言叙述：积的乘方，等于每个因式乘方的积； ⑵字母表示：(ab)n = a n b n ；(n 是整数)； ⑶逆运用：a n b n = (a b)n ； 4、同底数幂的除法： ⑴语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减； ⑵字母表示：a m ÷a n = a m-n ；(a≠0，m 、n 都是整数)； ⑶逆运用：a m-n = a m ÷a n ⑷零指数与负指数： 01a =(a≠0)； 1p p a a -= (a≠0)； ③ 用科学记数法表示较小的数如：即0.000 ……01=10－n 二、整式的乘法： 1、单项式乘以单项式： ⑴语言叙述：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的 指数不变，作为积的因式。 ⑵实质：分三类乘：⑴系数乘系数；⑵同底数幂相乘；⑶单独一类字母，则连同它的指数照抄； 2、单项式乘以多项式： ⑴语言叙述：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。 ⑵字母表示：＝ma ＋mb ＋mc ；（注意各项之间的符号！） 3、多项式乘以多项式： (1)语言叙述：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再 (2)字母表示：＝mn ＋mb ＋an ＋ab ；（注意各项之间的符号！） 注意点：
关于《圆》的知识结构整理 一．主要定理及其作用： 1．圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理: 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角②两条弧,③两条弦④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等：（等弧---等角---等弦……） 用的最多的依据： ①在同圆或等圆中,如果两个圆心角相等,那么它们所对的两条弧相等 ②等弧所对的圆心角相等： ③在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的两条弧相等 ④等弧所对的两条弦相等 2．垂径定理: 如果一条直线①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧.只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. （直角三角形---等弧……）用的最多的依据： ①垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧 ②平分弦(非直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. ③一条弦的垂直平分线||经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧 ④平分弧的直径过圆心的直线垂直平分这条弧所对的弦. 3．圆周角定理: (1)直径所对的圆周角是直角； (2)90°的圆周角所对的弦是直径。 (3)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； (4)同弧所对的圆周角相等； (5)等弧所对的圆周角相等； (6)在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等； （等弧---等角---直角三角形） 4．切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径（直径）。(垂直关系) 5．切线的判定定理： 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 6．切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。（等弦---等弧---等角） 7．相切和相交两圆的性质定理： 如果两圆相切，连心线必过切点。如果两圆相交，连心线垂直平分公共弦 二．主要辅助线及其作用： 1．作弦心距：弦的中点．弧的中点。 2．过某一点作弦：构造相等的圆周角。 3．作直径：构造直角三角形和同弧所对的圆周角。 4．连结过切点的半径：“题中若有圆切线圆心切点连一连”。 5．两圆相切和两圆相交时，作连心线和公共弦。
整式的乘除第二课时 一复习回顾： 二今天的学习内容： 1．平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即22))((b a b a b a -=-+。 其结构特征是： ①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数； ②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。 2．完全平方公式 1． 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍， 即2 222)(b ab a b a +±=±； 口决：首平方，尾平方，2倍乘积在中央； 2．结构特征： ①公式左边是二项式的完全平方； ②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。 3．在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现222)(b a b a ±=±这样的错误。 3．整式的除法 1．单项式除以单项式
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式； 2．多项式除以单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。 三整式的乘除检测题 一、填一填（每小题3分，共30分） 1．计算：（a2b3）2=________． 2．计算：（4m+3）（4m－3）=_________． 3．a2－3a+_______=（a－_______）． 4．澳洲科学家称他们发现了迄今全世界最小、最轻的鱼．?据说这种小型鱼类仅有7毫米长，1毫克重，没有发育出鳍牙齿，寿命仅为两个月，那么600?条这种鱼的总质量为 ___________________千克（用科学记数法表示）． 5．若a m=3，a n=2，则a m+n=_________． 6．若（x－3）（x+1）=x2+ax+b，则b a=________． 7．有一块绿地的形状如图所示，则它的面积表达式经化简后结果为______． 8．若x+y=5，x－y=1，则xy=________． 9．计算（－0.25）2006×42006=________． 10．研究下列算式，你能发现什么规律？请运用你发现的规律完成下列填空：1×3+1=4=22； 2×4+1=9=32； 3×5+1=16=42； 4×6+1=25=52； 第100个等式为：_________________； 第n个等式为：___________________．
圆的认识 圆的定义： 圆是一种几何图形。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。 在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 相关定义: 1 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。 2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。 3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。直径所在的直线是圆的对称轴。 4 连接圆上任意两点的线段叫做弦。最长的弦是直径,直径是过圆心的弦。 5 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。 6 由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。 7 由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。 8 顶点在圆心上的角叫做圆心角。
9 顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 10 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个无限不循环小数，通常用π表示，π=3.14159265……在实际应用中，一般取π≈3.14。 11圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。 12 圆是一个正n边形（n为无限大的正整数），边长无限接近0但不等于0。 圆的集合定义： 圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长是半径。 圆的字母表示： 以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作O”。 圆—⊙； 半径—r或R（在环形圆中外环半径表示的字母）； 弧—⌒； 直径—d ； 扇形弧长—L ； 周长—C ； 面积—S。 圆的性质: （1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。 圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
☆☆☆ 北师大版数学七年级【下册】 第一章 整式的乘除 一、 同底数幂的乘法 同底数幂的乘法法则: n m n m a a a +=?(m,n 都是正数)是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要 注意以下几点: ①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a 可以是一个具体的数字式字母，也可以是 一个单项或多项式； ②指数是1时，不要误以为没有指数； ③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加； ④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为p n m p n m a a a a ++=??（其中m 、n 、p 均为正数）； ⑤公式还可以逆用：n m n m a a a ?=+（m 、n 均为正整数） 二．幂的乘方与积的乘方 1. 幂的乘方法则：mn n m a a =)((m,n 都是正数)是幂的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆. 2. ),()()(都为正数n m a a a mn m n n m ==. 3. 底数有负号时,运算时要注意,底数是a 与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底， 如将（-a ）3化成-a 3 ???-=-). (), ()(,为奇数时当为偶数时当一般地n a n a a n n n 4．底数有时形式不同，但可以化成相同。 5．要注意区别（ab ）n 与（a+b ）n 意义是不同的，不要误以为（a+b ）n =a n +b n （a 、b 均不为零）。 6．积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即n n n b a ab =)(（n 为正整数）。 7．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。 三. 同底数幂的除法 1. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即n m n m a a a -=÷ (a ≠0,m 、n 都是正数, 且m>n). 2. 在应用时需要注意以下几点: ①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a ≠0. ②任何不等于0的数的0次幂等于1,即)0(10 ≠=a a ,如1100=,(-2.50=1),则00无意义. ③任何不等于0的数的-p 次幂(p 是正整数),等于这个数的p 的次幂的倒数,即p p a a 1= -( a ≠0,p 是
知识点1：幂的运算 （1）同底数幂的乘法法则： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即，n m n m a a a +=? （2）幂的乘方法则： 幂的乘方，底数不变，指数相乘。即，mn n m a a =）（ （3）积的乘方法则： 积的乘方，等于把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即，n n n b a ab =)( （4）同底数幂的除法法则： 同底数幂相除，底数不变，指数相减。即，n m n m a a a -=÷ 知识点2：整式的乘法运算 （1）单项式与单项式相乘法则： 单项式与单项式相乘，只要将系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式 （2）单项式与多项式相乘法则： 单项式与多项式相乘，先用单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。 （3）多项式与多项式相乘法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 知识点3：整式的除法运算 （1）单项式与单项式相除法则： 单项式除以单项式，只要将系数、相同字母的幂分别相除，对于只在一个被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式 （2）多项式除以单项式法则： 多项式除以单项式，先用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 知识点4：乘法公式 （1）两数和乘以这两数的差公式（又叫做：平方差公式）：22))((b a b a b a -=-+ （2）两数和的平方公式（又叫做：完全平方和公式）：2222)(b ab a b a ++=+ （3）两数差的平方公式（又叫做：完全平方差公式）：2 222)(b ab a b a +-=- 知识点5：因式分解 因式分解是指把一个多项式化成几个整式的积的形式，也叫分解因式。 因式分解最终结果特别注意以下几点： 第一，必须分解成积的形式； 第二，分解成的各因式必须是整式；
整式运算 考点1、幂的有关运算 ①=?n m a a （m 、n 都是正整数） ② =n m a )( （m 、n 都是正整数） ③ =n ab )( （n 是正整数） ④=÷n m a a （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m>n ） ⑤=0 a （a ≠0） ⑥=-p a （a ≠0，p 是正整数） 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 例：在下列运算中，计算正确的是（ ） （A ）326a a a ?= （B ）235()a a = （C ）824a a a ÷= （D ）2224()ab a b = 练习： 1、() ()10 3 x x -?-=________. 2、()()() 3 2 10 1036a a a a -÷-÷-÷ = 。 3、2 3132--??-+ ??? = 。 4、322(3)---?- = 。 5、下列运算中正确的是（ ） A ．336x y x =； B ．235()m m =； C ．22 122x x -= ； D ．633 ()()a a a -÷-=- 6、计算() 8p m n a a a ?÷的结果是（ ） A 、8 mnp a - B 、()8 m n p a ++ C 、8 mp np a +- D 、8 mn p a +- 7、下列计算中，正确的有（ ）
①325a a a ?= ②()()()4 2 2 2ab ab ab ab ÷= ③()322a a a a ÷÷= ④()7 52a a a -÷=。 A 、①② B 、①③ C 、②③ D 、②④ 8、在①5x x ? ②7x y xy ÷ ③()3 2x - ④()233x y y ÷中结果为6x 的有（ ） A 、① B 、①② C 、①②③④ D 、①②④ 提高点1：巧妙变化幂的底数、指数 例：已知：23a =，326b =，求3102 a b +的值； 1、 已知2a x =，3b x =，求23a b x -的值。 2、 已知36m =，92n =，求241 3 m n --的值。 3、 若4m a =，8n a =，则32m n a -=__________。 4、 若5320x y --=，则531010x y ÷=_________。 5、 若31 29 327m m +÷=，则m =__________。 6、 已知8m x =，5n x =，求m n x -的值。 7、 已知102m =，10 3n =，则3210m n +=____________． 提高点2：同类项的概念 例： 若单项式2a m+2n b n-2m+2与a 5b 7是同类项，求n m 的值． 练习： 1、已知31323m x y -与521 14n x y +-的和是单项式，则53m n +的值是______. 经典题目： 1、已知整式210x x +-=，求322014x x -+的值。 考点2、整式的乘法运算 例：计算：31(2)(1)4 a a -?- = ． 解：)141()2(3-?-a a ＝1)2(41)2(3?--?-a a a ＝a a 22 1 4+-. 练习： 8、 若()() 32261161x x x x x mx n -+-=-++，求m 、n 的值。
一、幂的四种运算： 1、同底数幂的乘法： 表示：a m ·a n = a m+n ；(m ，n 都是整数) ；逆运用：a m+n = a m ·a n 2、幂的乘方： 表示：(a m ) n = a mn ；(m ，n 都是整数)；逆运用：a mn =(a m )n =(a n )m ； 3、积的乘方： 表示：(ab)n = a n b n ；(n 是整数)； 逆运用：a n b n = (a b)n ； 4、同底数幂的除法： 表示：a m ÷a n = a m-n ；(a≠0，m 、n 都是整数)；逆运用：a m-n = a m ÷a n 零指数与负指数： 01a =(a≠0)； 1p p a -=(a≠0)； 二、整式的乘法： 1、单项式乘以单项式： 实质：分三类乘：⑴系数乘系数；⑵同底数幂相乘；⑶单独一类字母，则连同它的指数照抄； 2、单项式乘以多项式： 表示：m(a ＋b ＋c)＝ma ＋mb ＋mc ；（注意各项之间的符号！） 的符号！） 注意点： ⑴在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。 ⑵多项式的每一项都包含它前面的符号，确定乘积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。 ⑶运算结果中如果有同类项，则要 合并同类项 ！ 三、乘法公式：（重点） 1、平方差公式： 表示：()().22b a b a b a -=-+； (3平方差公式的条件：⑴二项式×二项式； ⑵要有完全相同项与互
为相反项； 平方差公式的结论：⑴二项式；⑵(完全相同项)2－(互为相反项)2； 2、完全平方公式： 表示：()2222b ab a b a ++=+； ().222 2b ab a b a +-=- 完全平方公式的条件：⑴二项式的平方； 完全平方公式的结论：⑴ 三项式 ；⑵有两项平方项，且是正的；另一项是二倍项，符号看前面；口诀记忆：“首平方，尾平方，首尾两倍中间放”； 变形： 四、整式的除法： 1、单项式除以单项式： 实质：分三类除：⑴系数除以系数；⑵同底数幂相除；⑶被除式单独一类字母，则连同它的指数照抄； 2、多项式除以单项式： 表示： (a ＋b ＋c)÷m ＝a ÷m ＋b ÷m ＋c ÷m ； () ab b a b a 2222-+=+() ab b a b a 2222+-=+()() ab b a b a 422=--+