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历届中考二次函数试题精选
一、填空题
1．（ 2012?烟台）已知二次函数y=2（ x﹣ 3）2 +1．下列说法：① 其图象的开口向下；② 其图象的对称轴为
直线 x=﹣ 3；③ 其图象顶点坐标为（ 3，﹣ 1）；④ 当 x＜ 3 时，y 随 x 的增大而减小．则其中说法正确的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
2．（ 2012 泰安）设 A ，，B ，，C ，是抛物线
y (x 1) 2
a
上的三点，则
y1
，
y2
，
y3
( 2 y1 ) (1 y2 ) (2 y3 )
的大小关系为（）
A．y1 y2 y3 B．y1 y3 y2 C．y3 y2 y1 D．y3 y1 y2
3．（ 2012 潜江）已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为
（﹣ 1， 0），（ 3， 0）．对于下列命题：① b﹣ 2a=0；② abc＜ 0；③ a﹣ 2b+4c＜ 0；
④ 8a+c＞ 0．其中正确的有（）
A．3 个B．2 个C．1 个D．0 个
4. （ 2011 湖北襄阳）已知函数y ( k 3)x 2 2x 1 的图象与x轴有交点，则k 的取值范
围是（）
A. k 4
B. k 4
C. k 4且k 3
D. k 4 且 k 3
5． (20XX 年北京崇文区 ) 函数 y=x 2-2x-2 的图象如右图所示，根据其中提供的信息，
可求得使 y≥ 1 成立的 x 的取值范围是（）
A． 1 x 3 B ． 1 x 3 C ．x 1或x 3 D ．x 1或x 3
6. （ 2011 山东菏泽）如图为抛物线y ax 2 bx c 的图像，A、B、C为抛物线与坐标
轴的交点，且OA=OC=1 ，则下列关系中正确的是
A． a＋b=－ 1 B． a－ b=－ 1 C． b<2a D． ac<0 y 7. （ 2011 甘肃兰州）如图所示的二次函数y ax 2 bx c 的图象中，刘星同学观察得出了下面
四条信息：（1）b2 4ac 0 ；（2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+c<0。你认为其中错误
1 的
．．
有（）-1 O 1 x
A．2 个B．3 个C．4 个D．1 个
8.（ 2011 江苏宿迁）已知二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c（ a≠ 0）的图象如图，则下列结论中
正确的是（）
A． a＞ 0 B．当 x＞ 1 时， y 随 x 的增大而增大
C． c＜ 0 D． 3 是方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0 的一个根
2
时，总有 y≤0，
9．（ 2012?德阳）设二次函数 y=x +bx+c ，当 x≤1 时，总有 y≥0，当 1≤x≤3
那么 c 的取值范围是（）
A． c=3 B． c≥3 C ． 1≤c≤3 D ． c≤3
10．（ 2012?杭州）已知抛物线y=k（ x+1）（ x﹣）与 x 轴交于点 A， B，与 y 轴交于
点 C，则能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是（）
A． 2 B． 3 C ． 4 D． 5
11．（ 2012 菏泽）已知二次函数y ax2bx c 的图像如图所示，那么一次函数y bx c 和反比例函数y
a
x 在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）
A B C D
2 k k 12. （ 2011 江苏无锡）如图，抛物线y = x + 1 与双曲线 y = x的交点 A 的横坐标是1，则关于 x 的不等式x
+ x2 + 1 < 0 的解集是( )
y
A A． x > 1 B． x < - 1 C．0 < x < 1 D．- 1 < x < 0
x 13．（2010河北）已知抛物线y x2 bx c 的对称轴为 x 2 ，点A，B均在
抛物线上，且AB 与 x 轴平行，其中点 A 的坐标为（0， 3），则点 B 的坐标为（）
（第 12 题）A．（ 2， 3）B．（ 3， 2）C．（ 3， 3）D．（ 4，3）
14．（ 2010 四川乐山） . 设 a、 b 是常数，且 b＞ 0，抛物线 y=ax2+bx+a2-5 a-6 为下图中四个图象之一，则 a 的值为（）
y y y y
－1O 1 x－1O 1 x O x
O
x
A. 6 或－1
B. －6或1
C. 6
D. －1
15．（ 2010 浙江台州市）如图，点A， B 的坐标分别为（ 1, 4）和（ 4, 4） ,抛物线y a x m 2 n
的顶点
( )
在线段 AB 上运动，与x 轴交于 C、 D 两点（ C 在 D 的左侧），点 C 的横坐标最小值为坐标最大值为 ( )
A．－ 3 B． 1 C ． 5 D． 8
二、选择题
1．（ 2012 苏州）已知点A（ x1， y1）、 B（x2， y2）在二次函数y=（ x﹣ 1）2 +1 的图象上，若 x1＞ x2＞ 1，则 y1 y2（填“＞”、“＜”或“=”）．
2、（ 20XX 年内蒙古包头）已知二次函数y ax2 bx c 的图象与 x 轴交于点 ( 2，0) 、3，则点D的横
y
A(1,4) B(4,4) C O D
x （第 15 题）
( x1，0) ，且 1 x1 2 ，与y 轴的正半轴的交点在(0，2) 的下方．下列结论：①
4a 2b c 0 ；② a b 0 ；③ 2a c 0 ；④ 2a b 1 0 ．其中正确结论的个
数是个．
3（、 20XX 年娄底）如图 7，⊙O 的半径为2，C 1是函数 y= 1
x2的图象，C 2是函数 y=-
1
x2 2 2
的图象，则阴影部分的面积是.
4 ．（2010 江苏镇江）已知实数 x, y满足 x2 3x y 3 0, 则x y 的最大值
为.
5． (2012 ?扬州 ) 如图，线段AB 的长为2， C为 AB上一个动点，分别以腰直角三角形△ACD和△ BCE，那么 DE长的最小值是．6．（2010浙江义乌）（1）将抛物线y1＝ 2x2向右平移 2 个单位，得到则 y2= ；
（ 2）如图， P 是抛物线 y2对称轴上的一个动点，直线x＝ t 平行于 y x、抛物线y2交于点 A、 B．若△ ABP 是以点 A 或点 B 为直角顶点的
满足条件的t 的值，则 t＝．
AC、BC为斜边在 AB的同侧作两个等
y
y 抛物x线y2的图象，
y
2轴，分别与直线y＝
等腰直角三角形，求
·P
7. (20XX 年本溪 )如图所示，抛物线y ax2bx c（a0 ）与O x x 轴的两个交点分别为 A( 1，0) 和 B(2，0) ，当 y 0时， x 的取值范围是．
8.(20XX年浙江省金华)已知二次函数y=ax2＋ bx－3 的图象经过点A（ 2，－ 3），
B（－ 1，0）．要使该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，应把图象沿y 轴向上平移个
单位．
9．（ 2012 广安）如图，把抛物线y= x2平移得到抛物线m，抛物线m 经过
点 A（﹣ 6， 0）和原点 O（ 0， 0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线 y= x2交于点
Q，则图中阴影部分的面积为．
y=－ x2+3x
10. （ 2011 浙江义乌， 16， 4 分）如图，一次函数y=－ 2x 的图象与二次函数
图象的对称轴交于点 B.
（ 1）写出点 B 的坐标；
（2）已知点P是二次函数y=－x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将
．．
直线 y=－ 2x 沿 y 轴向上平移，分别交x 轴、 y 轴于 C、D 两点 . 若以 CD 为直角边
的△ PCD 与△ OCD 相似，则点 P 的坐标为.
三、解答题
1．【 14. 2012?扬州】已知抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c 经过 A(－ 1， 0)、 B( 3，0)、 C( 0， 3)三点，直线 l 是抛物线的对称轴．
( 1) 求抛物线的函数关系式；
( 2) 设点P是直线l上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；
( 3) 在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点若不存在，请说明理由．D
C
O
B
M的坐标；
2．（ 2012?乐山）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（ m， m），点 B 的坐标为（ n，﹣ n），抛物线经过 A 、O、 B 三点，连接 OA 、 OB、 AB，线段 AB 交 y 轴于点 C ．已知实数 m、 n（ m＜ n）分别是方
程x2﹣2x﹣3=0 的两
根．（1）求抛物线的解析
式；
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（ 2）若点 P 为线段 OB 上的一个动点（不与点O、 B 重合），直线PC 与抛物线交于D、E 两点（点 D 在y 轴右侧），连接 OD、 BD．
①当△ OPC 为等腰三角形时，求点P 的坐标；
②求△ BOD 面积的最大值，并写出此时点 D 的坐标．
3．（ 2012 铜仁）如图，已知：直线y x 3 交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax 2+bx+c 经过 A、
B、C（1， 0）三点 .
（ 1）求抛物线的解析式;
（ 2）若点 D 的坐标为（-1， 0），在直线y x 3 上有一点P,使ABO 与ADP相似，求出
点
P 的坐标；
（ 3）在（ 2）的条件下，在的面积？如果存在，请求出点
x 轴下方的抛物线上，是否存在点
E 的坐标；如果不存在，请说明理由．
E ，使ADE 的面积等于四边形APCE
4.（ 20XX 年山东省济南市）如图，已知抛物线y x2bx c 经过点（1，-5）和（-2，4）
（1）求这条抛物线的解析式．
（2 ）设此抛物线与直线y x相交于点 A ， B （点 B 在点 A 的右侧），平行于y轴的直线
x m 0
m 5 1 与抛物线交于点 M ，与直线 y x 交于点 N ，交 x 轴于点 P ，求线段 MN 的长（用
含 m 的代数式表示） ．
（ 3）在条件（ 2）的情况下，连接 OM 、BM ，是否存在 m 的值，使 △ BOM 的面积 S 最大？若存在，请 求出 m 的值，若不存在，请说明理由．
y
x=m
y=x B
N
O
P
x
A
M
5. (20XX 年兰州市 )（本题满分 11 分）如图 1，已知矩形 ABCD 的
顶点 A 与点 O 重合，AD 、AB 分别在 x 轴、y 轴上，且 AD=2，
AB=3；抛物线
y
x
2
bx c
经过坐标原点 O 和 x 轴上另一点 E （4,0 ）
（ 1）当 x 取何值时，该抛物线的最大值是多少？
（2）将矩形
以每秒 1 个单位长度的速度从图 1 所示的位置沿 x 轴的正方向匀速平行移动，同时一
ABCD
动点 P 也以相同的速度从点 A 出发向 B 匀速移动 . 设它们运动的时间为 t 秒（ 0≤ t ≤ 3），直线 AB 与 该 抛物线的交点为 （如图 2 所示） .
N
11
t
时，判断点 P 是否在直线 ME 上，并说明理由；
① 当 4
② 以 、 、 、 为顶点的多边形面积是否可能为
5，若有可能，求出此时 N 点的坐标；若无可能，
P N C D
请说明理由．
《二次函数
的应用》中考题集锦
10 题已知抛物线 y
x 2 mx 2m 2 (m 0) ． （ 1）求证：该抛物线与 x 轴有两个不同的交点；
（ 2）过点 P(0， n) 作
y 轴的垂线交该抛物线于点 A 和点 B （点 A 在点 P 的左边），是否存在实数 m ，n ，使
得 AP 2PB ？若存在，则求出 m ， n 满足的条件；若不存在，请说明理由．
答案：解：（ 1）证法 1：
2 9 m2
，
y x2 mx 2m2 x m
2 4
当 m 0 时，抛物线顶点的纵坐标为9 m2 0 ，
4
顶点总在 x 轴的下方．
而该抛物线的开口向上，
该抛物线与x 轴有两个不同的交点．
（或者，当 m 0 时，抛物线与 y 轴的交点(0，2m2)在x轴下方，而该抛物线的开口向上，该抛物线与x 轴有两个不同的交点．）
证法2：
m2 4 1 ( 2m2 ) 9m2，
当 m 0 时，9m2 0 ，
该抛物线与x 轴有两个不同的交点．
（ 2）存在实数m， n ，使得 AP2PB ．
设点 B 的坐标为(t，n)，由 AP 2PB 知，y
①当点 B 在点 P 的右边时， t 0 ，点 A 的坐标为( 2t， n) ， A PB
x
且 t， 2t 是关于x的方程x2 mx 2m2 n 的两个实数根．O
m2 4( 2m2 n) 9m2 4n 0 ，即n 9 m2．
4
且 t ( 2t) m （I）， t ( 2)t
2
（II）m n
由（ I ）得，t m，即 m 0 ．
将 t m代入（II）得， n 0 ．
y 当 m 0 且 n 0 时，有 AP 2PB ．
②当点 B 在点 P 的左边时， t 0 ，点 A 的坐标为(2t，n)，
且 t，2t 是关于x 的方程 x 2
mx 2m
2
n 的两个实数根．
x
O
m2 4( 2m2 n) 9m2 4n 0 ，即n 9 m2．
4 A B P 且 t 2t m （I），t 2t 2m2 n （II）
由（ I ）得，t m
0 ．3 ，即 m
将 t m
代入（ II ）得，n
20
m2且满足 n 9 m2．3 9 4
当 m 0 且 n 20
m2时，有 AP 2PB 9
第 11题 一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，
滑下的距离 （米）与时间 （秒）间的关系式为
2
，
S t
S 10t t 若滑到坡底的时间为 2 秒，则此人下滑的高度为（
）
Ａ．24米 Ｂ． 12 米 Ｃ．12 3米 Ｄ．
6 米 答案：Ｂ
第 12 题 我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的
3 月 25 日起的 180
天内，绿茶市场销售单价
y
（元）与上市时间 t （天）的关系可以近似地用如图（
1
）中的一条折线表示．绿
茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价 z （元）与上市时间 t （天）的关系可以近似地
用如图（ 2）的抛物线表示．
y (天)
z(元 ) 160
60 140
（ 180， 92）
50 120
40
100
85
80
3 60
20
40
10
20
140 160
100 120
O204060 80 100 120150 180 t(天) O 20 40
60 80
110
140 160 180
t(天 )
（ 1）直接写出图（ 1）中表示的市场销售单价
y （元）与上市时间 t （天）（ t 0 ）的函数关系式；
图 (1)
图 (2)
（ 2）求出图（ 2）中表示的种植成本单价
z （元）与上市时间 t （天）（ t 0 ）的函数关系式；
（ 3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？ （说明： 市场销售单价和种植成本单价的单位：元／
500 克．）
答案：解：（ 1）依题意，可建立的函数关系式为：
2 ，
t 160 (0
t 120)3
≤ ，
y 80 (120 t 150)
2
t 20 (150≤ t ≤ 180)．
5
（ 2）由题目已知条件可设 z a(t
110)2 20 ．
图象过点
85 ) ，
，(60
3
85 a(60 110) 2 20． a
1 ．
3
300
z
1
(t 110)2 20 (t 0 )． 300
（ 3）设纯收益单价为
W 元，则 W =销售单价
成本单价．
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2
t 160 1
(t
2
20 (0 t
，
3 300 110) 120)
1
故 2 ≤，
W 80 (t 110) 20 (120 t 150)
300
2 1 (t 2 ≤t ≤．
t 20 110)20 (150 180)
5 300
化简得
1
(t 10) 2 100 (0 t ，
300 120)
W 1 2 60 (120 ≤t，
(t 110)150)
300
1 (t 170)
2 56 (150 ≤t ≤180) ．
300
①当 W 1 (t 10)2 100(0 t 120) 时，有 t 10 时， W 最大，最大值为100；
300
②当 W 1 (t 110)2 60(120≤ t 150) 时，由图象知，有 t 120时， W 最大，最大值为592
；
300 3 ③当 W 1 (t 170)2 56(150≤ t ≤ 180) 时，有 t 170时， W 最大，最大值为56．
300
综上所述，在 t 10 时，纯收益单价有最大值，最大值为100 元．
第 13 题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面 1 米的 A 处飞出（ A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6 米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约 4 米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．
（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取 4 3 7）
（ 3）运动员乙要抢到第二个落点 D ，他应再向前跑多少米？（取 2 6 5 ）
y
M
4
2
1 A
O B C D x
答案：解：（ 1）（3 分）如图，设第一次落地时，
抛物线的表达式为y a( x 6) 2 4．
y
由已知：当 x 0 时 y 1．
M
4
2E F N
O B C D x
即 1
36a 4， a
1 ．
12
表达式为 y
1
(x 6)2 4．
1 x
2 12 （或 y
x 1 ）
12
0， 1
（ 2）（3 分）令 y
( x 6)2 4
0．
12
( x
6)2
48．x 4 3 6 ≈ 13，x
2
4 3 6 0 （舍去）．
1
足球第一次落地距守门员约 13 米．
（ 3）（4 分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为 CD
根据题意： CD
EF （即相当于将抛物线
AEMFC 向下平移了 2 个单位）
2
1
(x 6)2 4 解得
x 1
6 ，
x 2 6 2 ．
12
2 6
6
CD
x 1 x 2 4 6 ≈10．
BD 13 6 10 17 （米）．
解法二： 令
1
( x 6)2 4 0．
12
解得 x 1
6 4 3 （舍）， x 2 6 4 3 ≈13．
点 C 坐标为（ 13， 0）．
设抛物线 CND 为 y
1
(x k) 2 2．
12
将
C 点坐标代入得： 1 2
．
(13
k )
2
12
解得： k 1 13 2 6 13（舍去），
k 2 64326≈67518．
y
1
( x 18)2 2
12
令 y
0， 0
1
(x 18)2 2．
12
x 1
18 2 6 （舍去）， x 2 18 2 6≈23．
BD 23 6 17 （米）．
解法三：由解法二知， k 18，
所以 CD
2(18 13) 10，
所以 BD
(13 6) 10 17．
答：他应再向前跑
17 米．
第 14 题 荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过
调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7 万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大
棚面积（公顷） 的平方成正比， 比例系数为 0.9 ；另外每公顷种植蔬菜需种子、 化肥、农药等开支 0.3 万元． 每
公顷蔬菜年均可卖 7.5 万元．
x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为 y （万元），写出 y 关于 x 的
（ 1）基地的菜农共修建大棚 函数关系式．
（ 2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得
5 万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．
（用分数表
示即可）
（ 3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施
3 年内不需增加投资仍可继续使用．如果按 3 年计
算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．
答案：（1） y
7.5x
2.7x 0.9x 2 0.3x 0.9x 2
4.5x ．
（ 2）当 0.9x
2
4.5 x 5 时，即 9x 2 45 x
50 0 ， x 1 5
， x 2 10
3
3
从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建
5
公顷大棚．
（ 3）设 3 年内每年的平均收益为
Z （万元）
3
Z 7.5x
0.9x 0.3x 2 0.3x 0.3x 2 6.3x
0.3 x 10.5 2
33.075（ 10 分）
不是面积越大收益越大．当大棚面积为 10.5公顷时可以得到最大收益．
建议：①在大棚面积不超过
10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益．
②大棚面积超过 10.5 公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．
③当 0.3 x 2
6.3x
0 时， x 1 0 ， x 2 21 ．大棚面积超过 21公顷时，不但不能收益，反而会亏本． （说
其中一条即可）
第 15 题 一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为
18 元，按定价 40 元出售，每月
可销售 20
万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价
1
2
万
元，月销售量可增加
件．
（ 1）求出月销售量 y （万件）与销售单价 x （元）之间的函数关系式（不必写
x 的取值范围）；
（ 2）求出月销售利润 z （万元）（利润＝售价－成本价） 与销售单价 x （元）之间的函数关系式 （不必写 x 的
取值范围）；
（ 3）请你通过（ 2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于
480 万元．
答案：略．
第 16 题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为 8m ，宽为 2m ，隧道最高点 P 位于 AB 的
中央且距地面 6m ，建立如图所示的坐标系
（ 1）求抛物线的解析式；
（ 2）一辆货车高 4m ，宽 2m ，能否从该隧道内通过，为什么？
（ 3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？
y
P
A B
O
C
x
答案：（1）由题意可知抛物线经过点
A 0，2 ，P 4，6 ，
B 8，2
设抛物线的方程为 y ax 2
bx
c
将 A ，P ，D 三点的坐标代入抛物线方程． 解得抛物线方程为
y 1 x 2 2x 2
1 x
2 4
（2）令 y 4 ，则有
2x
2 4
4
解得 x 1 4 2 2，x 2 4 2 2
x 2 x 1 4 2 2
货车可以通过．
（3）由（ 2）可知
1
x 2 x 1 2 2 2
2 货车可以通过．
第 17 题 如图，在矩形 ABCD 中， AB 2AD ，线段 EF
10．在 EF 上取一点 M ，分别以 EM ，MF 为一边
作矩形 EMNH 、矩形 MFGN ，使矩形 MFGN ∽ 矩形
D C ABCD ． 令
M N ，当 x 为何值时，矩形 EMNH 的面积 S 有最
大值？最大值是
A B 多少？
H
N G
E
M
F
答案：解：
矩形 MFGN ∽ 矩形 ABCD ，
MN MF ．
AD
AB
AB 2AD ， MN x ，
MF 2x ．
EM EF MF
10 2x ．
S x(10 2 x) 2
x 2 10x
5 2
2 2 5 x
．
2
2
当 x
5
时， S 有最大值为
25
．
2 2
第 18 题某企业信息部进行市场调研发现：
信息一：如果单独投资 A 种产品，则所获利润y A（万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：y A kx ，并且当投资 5 万元时，可获利润 2 万元．
信息二：如果单独投资 B 种产品，则所获利润y B（万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：y B ax2bx ，并且当投资 2 万元时，可获利润 2.4 万元；当投资 4 万元时，可获利润 3.2 万元．
（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；
（2）如果企业同时对A，B两种产品共投资 10 万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此
方案能获得的最大利润是多少？
答案：解：（
1）当
x 5
时，
，，，
2 2 5k k 0.4
y1
y A 0.4 x ，当x 2 时，y B 2.4 ；当x 4 时，y B 3.2．
2.4 4a 2b
3.2 16a 4b
解得
a 0.2
b 1.6
y B 0.2 x2 1.6 x ．
（ 2）设投资B种商品x万元，则投资 A 种商品(10 x) 万元，获得利润W万元，根据题意可得
W 0.2x2 1.6x 0.4(10 x) 0.2 x2 1.2 x 4
W 0.2( x 3)2 5.8
当投资 B 种商品 3 万元时，可以获得最大利润 5.8 万元，所以投资 A 种商品7万元， B 种商品3万元，这样投资可以获得最大利润 5.8 万元．
第 19 题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m，支柱A3B3 50m ，5 根支柱 A1 B1， A2 B2， A3 B3， A4 B4， A5 B5之间的距离均为15m， B1B5∥ A1 A5，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中．
（1）直接写出图（ 2）中点 B1，B3， B5的坐标；
（2）求图（ 2）中抛物线的函数表达式；
（ 3）求图（ 1）中支柱 A2 B2， A4 B4的长度．B3 y
B2
B4
30m B3
B1
B5
B1 B5
A1 A2 A3 A4 A5 O l
图 (1)图(2)
答案：B1 ( 30，0) ， B3 (0，30) ， B5 (30，0) ；
（ 1）
（ 2）设抛物线的表达式为y a( x 30)( x 30) ，把 B3 (0，30) 代入得 y a(0 30)(0 30) 30 ．
∴ a 1
．
30 1
( x 30)( x 30) ．
∵ 所求抛物线的表达式为：y
30 （ 3）∵B4点的横坐标为15，
∴ B4的纵坐标y4 1
(15
45 30
30)(15 30)．
2
∵ A3 B3 50 ，拱高为30，
∴立柱 A4B4 20 45 85
(m) ．
2 2 85
(m) 。
由对称性知：A2 B2 A4 B4
2
第 20 题某商场购进一种单价为 40 元的篮球，如果以单价 50元售出，那么每月可售出 500 个．根据销售经验，售价每提高 1元．销售量相应减少 10 个．
（ 1 ）假设销售单价提高x 元，那么销售每个篮球所获得的利润是________元；这种篮球每月的销售量是_________个．（用含x的代数式表示）（ 4 分）
（ 2）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，此
时篮球的售价应定为多少元？（8 分）
答案：（ 1）10x ， 500 10x ；
（ 2）设月销售利润为y 元，
由题意 y 10 x 500 10x ，
2
整理，得 y10 x 209000 ．
当 x 20 时， y 的最大值为 9000，
20 50 70．
答： 8000 元不是最大利润，最大利润为9000元，此时篮球的售价为70 元．
初中数学二次函数中考题集锦
第 1 题(2006 梅州课改 ) 将抛物y(x 1)2向左平移1个单位后，得到的抛物线的解析式是．第 2 题(2006 泰安非课改 ) 下列图形：
y y y y
y 3x 2
2 y
y x 2 y x 1 x
O
O x O 1 x x O x
①②③④
其中，阴影部分的面积相等的是（Ａ．①② Ｂ．②③
）
Ｃ．③④Ｄ．④①
第 3 题(2006 泰安非课改) 抛物线y ax2 bx c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：
x 3 2 1 0 1
y 6 0 4 6 6
容易看出，2，0 是它与x 轴的一个交点，则它与x 轴的另一个交点的坐标为_________．
第 5 题（2006 芜湖课改）如图，在平面直角坐标系中，二次
y
2
c( a 0) 的图象过正方形ABOC 的三个顶点A
函数 y ax
A，B，C ，则ac的值是．
C
B
第 6 题（ 2006 滨州非课改）已知抛物线O x y x2 (m 1)x (m 2) 与 x 轴相交于A，B 两点，且线段
AB 2 ，则m的值为．
第 7 题. （2006 滨州非课改）已知二次函数不经过第一象限，且与x 轴相交于不同的两点，请写出一个
满足上述条件的二次函数解析式．
第 8 题. （2006 河南课改）已知二次函数yx2 2x c2 的对称轴和 x 轴相交于点m，0 ，则m的值为 ________．
第 9 题（ 2006 临沂非课改）若A 13
， y1 ， B 1， y2， C
5
， y3为二次函数 y x2 4x 5 的4 3
图象上的三点，则y1， y2， y3的大小关系是（）
Ａ． y1 y2 y3 Ｂ． y3 y2 y1
Ｃ． y3 y1 y2 Ｄ． y2 y1 y3
第 12 题 (2006 广东课改 ) 求二次函数y x2 2x 1 的顶点坐标及它与x 轴的交点坐标。
第 13 题 (2006 河北非课改 ) 在同一平面直角坐标系中，一次函数 y ax b 和二次函数 y ax 2 bx 的图象可能为（） y y y y
O x O x O x O x Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
第 14 题 (2006 江西非课改 ) 一条抛物线
1
x 2 mx n 经过点 3 与
3
．y 0，4，
4 2 2
（ 1）求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标；
（ 2）现有一半径为1，圆心P在抛物线上运动的动圆，当P 与坐标轴相切时，求圆心P 的坐标．
友情提示：抛物线y ax 2
bx c a 0 的顶点坐标是
b 4a
c b2
．
2a ，4a
第 17 题 (2006 上海非课改 ) 二次函数 y x 1 2
3 图象的顶点坐标是（）
Ａ．13，Ｂ．13，Ｃ．1， 3 Ｄ．1， 3
第 18 题 (2006 烟台非课改 ) 已知抛物线 2 bx c 过点 A 3
，其顶点 E 的横坐标为 2 ，此抛物
y ax 1，
2
线与x
轴分别交于
B x，0 ，
C x ，0 两点 x x 2 2 ．
，且 1 2
1 2 1 2 x x 16
（ 1）求此抛物线的解析式及顶点 E 的坐标；
（ 2）若D是y轴上一点，且△CDE为等腰三角形，求点 D 的坐标．
第 19 题 (2006 广州课改 ) 抛物线y x2 1 的顶点坐标是（）
A ．(0，1) B．(0，1) C．(1，0) D．( 1，0)
第 22 题. （2006 白银课改）二次函数 y ax2 bx c 图象上部分点的对应值如下表：
x 3 2 1 0 1 2 3 4
y 6 0 4 6 6 4 0 6
则使 y 0 的 x 的取值范围为．
第 23 题 . （ 2006海南课改）一位篮球运动员站在罚球线后投篮，球入篮得分．下列图象中，可以大致反映篮球出手后到入篮框这一时间段内，篮球的高度h(米 ) 与时间 t(秒) 之间变化关系的是（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
第 24 题（ 2006 梧桐非课改）二次函数y ax 2 bx 和反比例函数 y b
在同一坐标系中的图象大致是x
（）
y y y y
O x O x O x O x
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
第 25 题（ 2006 天津非课改）已知抛物线y 4x2 11x 3 ．
（I ）求它的对称轴；
（II ）求它与x轴、y轴的交点坐标．
第 26（2006 广东非课改）抛物线y 2 x2 6x c 与 x 轴的一个交点为(10)，，则这个抛物线
的顶点坐标是．
第 27 题（2006 菏泽非课改）若抛物线y x2 2x a 的顶点在 x 轴的下方，则 a 的取值范围是（）Ａ． a 1 Ｂ． a 1 Ｃ． a ≥ 1 Ｄ． a ≤ 1
第 28 题（ 2006 菏泽课改）二次函数y ax2 bx c 的图象如图所示，则直
y
线 y bx c 的图象不经过（）
Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象 O x 限
第 29 题、（ 2006 衡阳课改）抛物线y(x 1)23的顶点坐标为．
第 30 题、（ 2006 无锡课改）已知抛物线y ax2bx c(a 0) 的顶点是 C (01)，，直线 l : y ax 3 与这条抛物线交于P， Q 两点，与 x 轴，y轴分别交于点M 和 N ．
（1）设点P到x轴的距离为 2，试求直线l的函数关系式；
（2）若线段MP与PN的长度之比为3:1，试求抛物线的函数关系式．
1 答案：y x2
2答案：Ｃ
3答案： 3，0
5 答案： 2
6 答案： 1 ， 5
7 答案： y x2 x 答案不唯一
8 答案： 1
9 答案：Ｃ
12 答案：解：y x2 2x 1
x2 2x 1 2
(x 1)2 2 .
二次函数的顶点坐标是
(1， 2) ．
设 y
0，则 x 2
2x 1 0 ，
2
(x 1 )
2
2
(x 1 )
，2 x 1
，2
x 1 1 2，x 2 1 2 ．
二次函数与 x 轴的交点坐标为 (1
2，0)(1 2，0) 。
13 答案：Ａ
14 答案： 解：（1）由抛物线过
3 3 两点，得
0，
，4，
2
2
n 3 ，
m
，
2
1
解得
3 ．
1 42
4m
n 3 ． n
2
4
2
抛物线的解析式是
y
1 x
2 x
3 ．
4
2
由 y 1 2
3 1 ( x 2) 2
1 1
x
x
4
，得抛物线的顶点坐标为 2， ．
4
2 2
2
（2）设点 P 的坐标为 (x 0， y 0 ) ，
当
P 与 y 轴相切时，有 | x 0 | 1， x 0
1．
由 x 0
1，得 y 0
1 1
2 1
3 3 ；
4
2 4
由 x 0
1，得 y 0
1
(1)
2
(1)
3 11
．
4
2 4
此时，点 P 的坐标为 P 1
3
， P 2
11
．
， ，
1
1
4
4
当
P 与 x 轴相切时，有 | y 0 | 1．
抛物线的开口向上，顶点在
x 轴的上方， y 0 0， y 0 1．
由 y 0
1 ，得 1 x 0
2 x 0
3 1 ．解得 x 0
2 2 ．
4
2
此时，点 P 的坐标为 P 3 (2 21)，，P 4 (2 21)， ．
P
3 11
P3 (2 21)，，P4 (2 ，。P1 1 P2 1
综上所述，圆心的坐标为，，，，
4 4
17 答案：Ｂ
18 答案：解：（1）设所求抛物线为y a( x 2)2 n．
即 y ax2 4ax 4a n ．
3 3
a n ．①
点 A(1， ) 在抛物线上，
2
2
x1， x2是方程 ax 2 4ax 4a n 0 的两实根，
x1 x2 4， x1x2 4a n
a
．
2
4a n
16 ， 4a n 0 ．②
又 x12 x22 ( x1 x2 ) 2 2x1 x2 42
1 a
由①②得 a 2 ．
， n
2 1
( x 1 x2
所求抛物线解析式为y 2)2 2 ，即y 2x ．
2 2
顶点 E 的坐标为(2，2)．
（2）由（ 1）知B(0，0)，C (4，0) ．
又 E(2，2) ，故△BCE为等腰直角三角形，如图．
由等腰△CDE 知， CE 为腰或 CE 为底．
①当 CE 为腰时，又 D 在 y 轴上，则只能有DE EC ，显然 D 点为(0，0) 或 (0，4) （这时D，E，C共线，舍去）．
D 点只能取(0，0)．
②当 CE 为底时，
设抛物线对称轴与 x 轴交于点F，因△CEF为等腰直角三角形，则
线段 CE 的垂直平分线过点 F ，设交 y 轴于点 D ．
故∠OFD 45 ．OD DF 2．
D 点坐标为(0，2)．
综上所述，点 D 的坐标为(0，0)或(0，2)．
19 答案： B
22 答案： 2 x 3
23 答案：Ｄ
24 答案：Ｂ
25 答案：解：（ I）由已知，a 4，b
b 11 11 11，得
8
．
2a 8