等边三角形的判定与性质难题
一、选择题（共1小题）
1．（2006?）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A 等于（）
A．25°B．30°C．45°D．60°
二、填空题（共1小题）（除非特别说明，请填准确值）
2．一个六边形的六个角都是120度，连续四边的长为1，3，4，2，则该六边形的周长是_________．
三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）
3．如图，P是等边△ABC部一点，PC=3，PA=4，PB=5．求AC2．
4．如图（1），△ABC是等边三角形，DE是中位线，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE，EF．（1）求证：BE=EF；
（2）若将DE从中位线的位置向上平移，使点D，E分别在线段AB，AC上（点E与点A不重合），其他条件不变，如图（2），则（1）题中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
5．（2008?区二模）已知：在等边△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，点G为直线BC上一动点，当点G在CB延长线上时，有结论“在直线EF上存在一点H，使得△DGH是等边三角形”成立（如图①），且当点G与点B、E、C重合时，该结论也一定成立．
问题：当点G在直线BC的其它位置时，该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图②③④中，画出相应图形并证明相关结
论．
6．如图，P是等边三角形ABC的一点，连接PA、PB、PC，以BP为边作等边三角形BPM，连接CM．
（1）观察并猜想AP与CM之间的大小关系，并说明你的结论；
（2）若PA=PB=PC，则△PMC是_________三角形；
（3）若PA：PB：PC=1：：，试判断△PMC的形状，并说明理由．
7．（2006?）如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D1、E1、F1分别是△ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1=AB，连接D1E1、E1F1、F1D1，可得△D1E1F1是等边三角形，此时△AD1F1的面积S1=S，△D1E1F1的面积S1=S．
（1）当D2、E2、F2分别是等边△ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=AB时如图2，
①求证：△D2E2F2是等边三角形；
②若用S表示△AD2F2的面积S2，则S2=_________；若用S表示△D2E2F2的面积S2′，则S2′=_________．（2）按照上述思路探索下去，并填空：
当D n、E n、F n分别是等边△ABC三边上的点，AD n=BE n=CF n=AB时，（n为正整数）△D n E n F n是_________三角形；
若用S表示△AD n F n的面积S n，则S n=_________；若用S表示△D n E n F n的面积S n′，则S′n=_________．
8．（2009?）已知：等边△ABC的边长为a．
探究（1）：如图1，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG，求证：△MNG是等边三角形且MN=a；
探究（2）：在等边△ABC取一点O，过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分别为点D、E、F．
①如图2，若点O是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1．OD+OE+OF=a；结论2．AD+BE+CF=a；
②如图3，若点O是等边△ABC任意一点，则上述结论1，2是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
【考点训练】等边三角形的判定与性质-1
参考答案与试题解析
一、选择题（共1小题）
1．（2006?）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A 等于（）
A．25°B．30°C．45°D．60°
考点：等边三角形的判定与性质．
分析：先根据图形折叠的性质得出BC=CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE=AE=BE，进而可判断出△BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论．
解答：解：△ABC沿CD折叠B与E重合，
则BC=CE，
∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，
∴CE=BE=AE，
∴△BEC是等边三角形．
∴∠B=60°，
∴∠A=30°，
故选：B．
点评：考查直角三角形的性质，等边三角形的判定及图形折叠等知识的综合应用能力及推理能力．
二、填空题（共1小题）（除非特别说明，请填准确值）
2．一个六边形的六个角都是120度，连续四边的长为1，3，4，2，则该六边形的周长是17．
考点：等边三角形的判定与性质；多边形角与外角．
专题：计算题．
分析：先延长其中三边构造等边三角形，利用等边三角形的性质解题即可．
解答：解：如图所示，∵六个角都是120°，
∴三角形的每个角都是60°，即△CDE，△BFG，△AHI，△ABC都为等边三角形，
∴CE=2，BF=3，
∴BC=2+4+3=9，
∴AH=AB﹣GH﹣BG=9﹣1﹣3=5，
∴DI=AC﹣AI﹣CD=9﹣5﹣2=2，HI=AH=5，
∴该六边形的周长是：1+3+4+2+2+5=17．
故答案为17．
点评：主要考查了正多边形的相关性质．边相等，角相等．
三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）
3．如图，P是等边△ABC部一点，PC=3，PA=4，PB=5．求AC2．
考点：等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．
分析：首先将△BCP绕点C顺时针旋转60°得△ACQ，连接PQ．再过A作CP的延长线的垂线AD，垂足为D，易证得△PCQ是等边三角形，△APQ是直角三角形，则可求得∠APC的度数，然后可求得∠APD的度数，
在Rt△APD中，即可求得AD与CD的长，继而求得AC2．
解答：解：将△BCP绕点C顺时针旋转60°得△ACQ，连接PQ．再过A作CP的延长线的垂线AD，垂足为D，∴AQ=PB=5，CQ=PC，∠PCQ=60°，
∴△PCQ是等边三角形，
∴PQ=PC=3，∠QPC=60°，
在△PAQ中，∵PA=4，AQ=5，PQ=3，
∴AQ2=PA2+PQ2，
∴∠APQ=90°，
∴∠APC=∠APQ+∠QPC=150°，
∴∠APD=30°，
在Rt△APD中，AD=PA=2，PD=AP?cos30°=2，
则CD=PC+PD=3+2，
在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2=4+（3+2）2=25+12．
点评：此题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
4．如图（1），△ABC是等边三角形，DE是中位线，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE，EF．（1）求证：BE=EF；
（2）若将DE从中位线的位置向上平移，使点D，E分别在线段AB，AC上（点E与点A不重合），其他条件不变，如图（2），则（1）题中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
分析：（1）利用等边三角形的性质以及三线合一证明得出结论；
（2）由中位线的性质、平行线的性质，等边三角形的性质以及三角形全等的判定与性质证明．
解答：（1）证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=CA，
∵DE是中位线，
∴E是AC的中点，
∴BE平分∠ABC，AE=EC，
∴∠EBC=∠ABC=30°
∵AE=CF，
∴CE=CF，
∴∠CEF=∠F．
∵∠CEF+∠F=∠ACB=60°，
∴∠F=30°，
∴∠EBC=∠F
∴BE=EF；
（2）结论任然成立．
∵DE是由中位线平移所得，
∴DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC=60°，
∠AED=∠ACB=60°．
∴△ADE是等边三角形．
∴DE=AD=AE，
∵AB=AC，
∴BD=CE，
∵AE=CF，
∴DE=DF，
∵∠BDE=180°﹣∠ADE=120°，
∠FCE=180﹣∠ACB=120°，
∴∠FCE=∠EDB，
∴△BDE≌△ECF，
∴BE=EF．
点评：此题考查等边三角形以及三角形全等的判定与性质等知识点．
5．（2008?区二模）已知：在等边△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，点G为直线BC上一动点，当点G在CB延长线上时，有结论“在直线EF上存在一点H，使得△DGH是等边三角形”成立（如图①），且当点G与点B、E、C重合时，该结论也一定成立．
问题：当点G在直线BC的其它位置时，该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图②③④中，画出相应图形并证明相关结
论．
考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：连接DE、EF、DF．（1）当点G在线段BE上时，如图①，在EF上截取EH使EH=BG．由D、E、F是等边△ABC三边中点，可得△DEF、△DBE也是等边三角形且DE=AB=BD，可证明△DBG≌△DEH，然后即可证明；
（2）当点G在射线EC上时，如图②，在EF上截取EH使EH=BG．由（1）可证△DBG≌△DEH．可得DG=DH，∠BDG=∠EDH．由∠BDE=∠BDG﹣∠EDG=60°，可得∠GDH=∠EDH﹣∠EDG=60°，即可证明．（3）当点G在BC延长线上时，如图③，与（2）同理可证，结论成立．
解答：证明：连接DE、EF、DF．
（1）当点G在线段BE上时，如图①，
在EF上截取EH使EH=BG．
∵D、E、F是等边△ABC三边中点，
∴△DEF、△DBE也是等边三角形且DE=AB=BD．
在△DBG和△DEH中，，
∴△DBG≌△DEH（SAS），
∴DG=DH．
∴∠BDG=∠EDH．
∵∠BDE=∠GDE+∠BDG=60°，
∴∠GDH=∠GDE+∠EDH=60°
∴在直线EF上存在点H使得△DGH是等边三角形．
（2）当点G在射线EC上时，如图②，
在EF上截取EH使EH=BG．
由（1）可证△DBG≌△DEH．
∴DG=DH，∠BDG=∠EDH．
∵∠BDE=∠BDG﹣∠EDG=60°，
∴∠GDH=∠EDH﹣∠EDG=60°．
∴在直线EF上存在点H使得△DGH是等边三角形．
（3）当点G在BC延长线上时，如图③，与（2）同理可证，结论成立．
综上所述，点G在直线BC上的任意位置时，该结论成立．
点评：本题考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，难度较大，关键是巧妙地作出辅助线进行解题．
6．如图，P是等边三角形ABC的一点，连接PA、PB、PC，以BP为边作等边三角形BPM，连接CM．
（1）观察并猜想AP与CM之间的大小关系，并说明你的结论；
（2）若PA=PB=PC，则△PMC是等边三角形；
（3）若PA：PB：PC=1：：，试判断△PMC的形状，并说明理由．
考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．
专题：探究型．
分析：（1）通过观察应该是相等关系，可通过证三角形APB和BMC全等来实现，这两个三角形中已知的条件有：AB=BC，BP=BM，只要再得出这两组对应边的夹角相等即可得出全等的结论，我们发现∠ABP和∠MBC 都是60°﹣∠PBC，因此这两个角相等，也就凑成了三角形全等的所有条件．因此可得两三角形全等，也就证明了AP=CM；
（2）根据（1）的结论AP=CM，又有三角形BPM是等边三角形，因此PA=PB=PC可写成PM=PC=CM，也就是说三角形PMC是等边三角形．
（3）根据AP=CM，BP=PM，我们可将题中给出的比例关系式写成CM：PM：PC=1：：．我们发现这三边正好符合勾股定理的要求．因此三角形PMC是直角三角形．
解答：解：（1）AP=CM．
∵△ABC、△BPM都是等边三角形，
∴AB=BC，BP=BM，∠ABC=∠PBM=60°．
∴∠ABP+∠PBC=∠CBM+∠PBC=60°．
∴∠ABP=∠CBM．
∴△ABP≌△CBM．
∴AP=CM．
（2）等边三角形．
（3）△PMC是直角三角形．
∵AP=CM，BP=PM，PA：PB：PC=1：：，
∴CM：PM：PC=1：：．
设CM=k，则PM=k，PC=k，
∴CM2+PM2=PC2
∴△PMC是直角三角形，∠PMC=90°．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定以及直角三角形的判定．通过全等三角形得出线段相等是本题的解题关键．
7．（2006?）如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D1、E1、F1分别是△ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1=AB，连接D1E1、E1F1、F1D1，可得△D1E1F1是等边三角形，此时△AD1F1的面积S1=S，△D1E1F1的面积S1=S．
（1）当D2、E2、F2分别是等边△ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=AB时如图2，
①求证：△D2E2F2是等边三角形；
②若用S表示△AD2F2的面积S2，则S2=S；若用S表示△D2E2F2的面积S2′，则S2′=S．
（2）按照上述思路探索下去，并填空：
当D n、E n、F n分别是等边△ABC三边上的点，AD n=BE n=CF n=AB时，（n为正整数）△D n E n F n是等边三角形；若用S表示△AD n F n的面积S n，则S n=；若用S表示△D n E n F n的面积S n′，则S′n=．
考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
专题：探究型．
分析：（1）由等边三角形的性质和已知条件可证△AD2F2≌△BE2D2≌△CF2E2，得D2E2=E2F2=F2D2所以△D2E2F2为等边三角形．
（2）（3）由等边三角形的性质和面积公式可求．
解答：解：（1）①∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，（1分）
由已知得AD2=AB，BE2=BC，
∴AF2=AC，BD2=AB
∴AD2=BE2，AF2=BD2（2分）
△AD2F2≌△BE2D2（3分）
∴D2E2=F2D2
同理可证△AD2F2≌△CF2E2
F2D2=E2F2（4分）
∴D2E2=E2F2=F2D2
∴△D2E2F2为等边三角形；（5分）
②；（6分）
S′2=S﹣S×3=S（7分）
（2）由（1）可知：△D n E n F n等边三角形；（8分）
由（1）的方法可知：，S3=S，…；（9分）
S2′=S，S3′=…．（10分）
点评：本题考查了等边三角形等性质，和等边三角形等判断，以及接等边三角形的面积规律．
8．（2009?）已知：等边△ABC的边长为a．
探究（1）：如图1，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG，求证：△MNG是等边三角形且MN=a；
探究（2）：在等边△ABC取一点O，过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分别为点D、E、F．
①如图2，若点O是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1．OD+OE+OF=a；结论2．AD+BE+CF=a；
②如图3，若点O是等边△ABC任意一点，则上述结论1，2是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
考点：等边三角形的判定与性质；解直角三角形．
专题：综合题；压轴题．
分析：（1）本题中△ABC为等边三角形，AB=BC=a，∠ABC=60°，求出∠N，∠G的值，在直角△AMB、△CNB 中，可以先用a表示出MB，NB然后再表示出MN，这样就能证得MN=a；
（2）判定①是否成立可通过构建直角三角形，把所求的线段都转化到直角三角形中进行求解；
判断②是否成立，也要通过构建直角三角形，可根据勾股定理，把所求的线段都表示出来，然后经过化简得出结论②是否正确．
解答：（1）证明：如图1，∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°．
∵BC⊥MN，BA⊥MG，
∴∠CBM=∠BAM=90°．
∴∠ABM=90°﹣∠ABC=30°．
∴∠M=90°﹣∠ABM=60°．
同理：∠N=∠G=60°．
∴△MNG为等边三角形．
在Rt△ABM中，BM=a，
在Rt△BCN中，BN=a，
∴MN=BM+BN=a．
（2）②：结论1成立．
证明：如图3，过点O作GH∥BC，分别交AB、AC于点G、H，过点H作HM⊥BC于点M，
∴∠DGO=∠B=60°，∠OHF=∠C=60°，
∴△AGH是等边三角形，
∴GH=AH．
∵OE⊥BC，
∴OE∥HM，
∴四边形OEMH是矩形，
∴HM=OE．
在Rt△ODG中，OD=OG?sin∠DGO=OG?sin60°=OG，
在Rt△OFH中，OF=OH?sin∠OHF=OH?sin60°=OH，
在Rt△HMC中，HM=HC?sinC=HC?sin60°=HC，
∴OD+OE+OF=OD+HM+OF=OG+HC+OH
=（GH+HC）=AC=a．
（2）②：结论2成立．
证明：如图4，连接OA、OB、OC，根据勾股定理得：
BE2+OE2=OB2=BD2+OD2①，
CF2+OF2=OC2=CE2+OE2②，
AD2+OD2=AO2=AF2+OF2③，
①+②+③得：BE2+CF2+AD2=BD2+CE2+AF2，
∴BE2+CF2+AD2=（a﹣AD）2+（a﹣BE）2+（a﹣CF）2=a2﹣2AD?a+AD2+a2﹣2BE?a+BE2+a2﹣2CF?a+CF2整理得：2a（AD+BE+CF）=3a2∴AD+BE+CF=a．
点评：本题中综合考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，由于知识点比较多，本题的难度比较大．
等边三角形的判定和性质 (参考用时:30分钟) 1.下列三角形,①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形;③一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中能判定是等边三角形的个数是( A ) (A)3个(B)2个(C)1个(D)0个 2.如图,在 Rt△ABC 中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC 交AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为( B ) (A)4 (B)6 (C)4(D)8 第2题图 3.如图,在等边三角形ABC中,点D是边BC的中点,则∠BAD= 30°. 第3题图 4.如图,已知∠AOB=30°,点P在边OA上,点M,N在边OB上,且 PM=PN=10,MN=12,则OP= 16 .
第4题图 5.如图,等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部,∠BDC=90°,连接AD,过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形,则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是120,150 度. 第5题图 6. 如图,等边△ABC中,点D为BC延长线上一点,点E为CA延长线上一点,且AE=DC,求证:AD=BE. 证明:在等边△ABC中,∠BAC=∠ACB=60°, AB=AC, 所以∠BAE=∠ACD=120°. 因为AE=CD, 所以△ABE≌△CAD. 所以AD=BE. 7. 已知:如图,点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在边AC上,连接DF并延长交BC的延长线于点E,FE=FD.求证:AD=CE.
证明: 过点D作DM∥BE交AC于点M,则有∠MDF=∠E. 在△MDF与△CEF中, 因为∠MFD=∠CFE, FD=FE,∠MDF=∠E, 所以△MDF≌△CEF, 所以DM=CE. 因为△ABC为等边三角形, 所以∠A=∠B=60°. 因为DM∥BE, 所以∠ADM=∠B=60°,∠ADM=∠A=60°, 所以△ADM为等边三角形, 所以DM=AD, 所以AD=CE. 8. 如图所示,已知a∥b,c∥b,试用反证法证明:a∥c. 证明:假设a与c不平行,即a与c相交,不妨设交点为P,由于a∥b,c ∥b,于是可得经过P点有两条直线a,c与直线b平行,这与“经过直
13．3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质与判定 1．掌握等边三角形的定义、性质和判定，明确其与等腰三角形的区别和联系．(重点) 2．能应用等边三角形的知识进行简单的计算和证明．(难点) 一、情境导入 观察下面图形： 师：等腰三角形中有一种特殊的三角形，你知道是什么三角形吗？ 生：等边三角形． 师：对，等边三角形具有和谐的对称美．今天我们来学习等边三角形，引出课题． 二、合作探究 探究点一：等边三角形的性质 【类型一】利用等边三角形的性质求角度 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE ＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数． 解析：因为△ABC三个内角为60°，∠ABE＝40°，求出∠EBC的度数，因为BE＝DE，所以得到∠EBC＝∠D，求出∠D的度数，利用外角性质即可求出∠CED的度数．
解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°.∵∠ABE ＝40°，∴∠EBC ＝∠ABC －∠ABE ＝60°－40°＝20°.∵BE ＝DE ，∴∠D ＝∠EBC ＝20°，∴∠CED ＝∠ACB －∠D ＝40°. 方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常常应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟练掌握． 【类型二】 利用等边三角形的性质证明线段相等 如图：已知等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ， 垂足为M ，求证：BM ＝EM . 解析：要证BM ＝EM ，根据等腰三角形的性质可知，证明△BDE 为等腰三角形即可． 证明：连接BD ，∵在等边△ABC 中，D 是AC 的中点，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝1 2 ×60°＝30°，∠ ACB ＝60°.∵CE ＝CD ，∴∠CDE ＝∠E .∵∠ACB ＝∠CDE ＋∠E ，∴∠E ＝30°，∴∠DBC ＝∠E ＝30°， ∴BD ＝ED ，△BDE 为等腰三角形．又∵DM ⊥BC ，∴BM ＝EM . 方法总结：本题综合考查了等腰和等边三角形的性质，其中“三线合一”的性质是证明线段相等、角相等和线段垂直关系的重要方法． 【类型三】 等边三角形的性质与全等三角形的综合运用 △ABC 为正三角形，点M 是BC 边上任意一点，点N 是CA 边上任意一点，且BM ＝CN ，BN 与AM 相交于Q 点，∠BQM 等于多少度？ 解析：先根据已知条件利用SAS 判定△ABM ≌△BCN ，再根据全等三角形的性质求得∠BQM ＝∠ABC ＝60°. 解：∵△ABC 为正三角形，∴∠ABC ＝∠C ＝∠BAC ＝60°，AB ＝BC .在△AMB 和△BNC 中，
第1课时等边三角形的性质和判定（课堂训练） 一．选择题（共8小题） 1．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（）A． 180°B． 220°C． 240°D． 300° 2．下列说法正确的是（） A．等腰三角形的两条高相等C．有一个角是60°的锐角三角形是等边三角形 B．等腰三角形一定是锐角三角形D．三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等3．在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△ABC 为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（） A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个 4．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25° B． 30°C．45°D． 60° 5．如图，已知D、E、F分别是等边△ABC的边AB、BC、A C上的点， 且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则下列结论不成立的是（） A．△DEF是等边三角形B．△ADF≌△BED≌△CFE C．DE=AB D．S△ABC=3S△DEF 6．如图，在△ABC中，D、E在BC上，且BD=DE=AD=AE=EC，则∠BAC的度数是（）A． 30°B． 45°C． 120°D． 15° 7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A． 4cm B． 3cm C． 2cm D． 1cm 第1 题第4题第5题第7题8．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（） A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形二．填空题（共10小题） 9．已知等腰△ABC中，AB=AC，∠B=60°，则∠A=_________度． 10．△ABC中，∠A=∠B=60°，且AB=10cm，则BC=_________cm． 11．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是_________三角形． 12．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是_________ 13．如图，M、N是△ABC的边BC上的两点，且BM=MN=NC=AM=AN．则∠BAN= _________．
13.3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质与判定 01基础题 知识点1等边三角形的性质 1△．等边ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为(A) A．60°B．90°C．120°D．150° 2．如图△，过等边ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是(A) A．100°B．80°C．60°D．40° 3．如图△，ABC是等边三角形，AD＝CD，则∠ADB＝90°，∠CBD＝30°. 4．如图△，等边ABC的边长如图所示，那么y＝3． 5．如图所示△，ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE＝AD，则∠ADE＝75°． 6．如图所示△，等边ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F.求证：BF＝EF. 证明：∵BD是等边△ABC的中线， ∴BD平分∠ABC.
∴∠DBE＝∠ABC＝30°. ∴∠E＝∠ACB＝30°. 1 2 又∵CE＝CD， 1 2 ∴∠DBE＝∠E. ∴DB＝DE. ∵DF⊥BE， ∴DF为底边上的中线． ∴BF＝EF. 知识点2等边三角形的判定 7．下列推理错误的是(B) A△．在ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C△，∴ABC为等边三角形 B△．在ABC中，∵AB＝AC，且∠B＝∠C△，∴ABC为等边三角形 C△．在ABC中，∵∠A＝60°，∠B＝60°△，∴ABC为等边三角形 D△．在ABC中，∵AB＝AC，∠B＝60°△，∴ABC为等边三角形 8△．在ABC中，AB＝BC，∠B＝∠C，则∠A的度数是60°． 9．如图△，在ABC中，点D是AB上的一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°△.求证：ADC是等边三角形． 证明：∵DC＝DB， ∴∠B＝∠DCB＝30°， ∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝60°. 又∵AD＝DC， ∴△ADC是等边三角形． 10．如图所示△，锐角ABC中，∠A＝60°，它的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC，求证：
一．学习目标：（重难点） 1．掌握等边三角形的定义。 2．理解等边三角形的性质与判定定理。 3．让学生体会等边三角形的对称美。 二．预习导学：（学一学） 1．自读课本79—80内容（多读几遍）。 2．思考： ⑴等边三角形的定义： ⑵等边三角形有哪些性质？ 角： 边： ⑶在△ABC中，∠A = ∠B = ∠C，你能得到AB = BC = AC吗？为什么？ ⑷已知在△ABC中，AB = AC，∠A = 600。 ①求证：△ABC是等边三角形。 ②如果把∠A = 600，改为∠B = 600或∠C = 600，结论 还成立吗？ ③由上你可以得到什么结论？ 三．预习收获和障碍： 四．合作交流议一议： （一）预习交流（处理预习中的问题） 1．等边三角形的定义： 2．等边三角形的性质： 3．等边三角形的判定： （二）课堂训练（展示才能说一说，先练后展） 1．分小组思考并解答课本54页“探究”内容。 2．完成课本80页练习1，2。 3．已知，如图等边三角形ABC，点D、E、F分别是各 边上的一点，且AD＝BE＝CF．求证：△DEF是等边三角形． 4．已知，如图等边三角形ABC，点D是AC的中点， 且CE＝CD，DF⊥BE。求证：BF＝EF． 五．反思提升（想一想） 六．课堂检测（小试牛刀做一做） 1．等边△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则 ∠BIC等于( )A．600B．900C．1200D．1500 2．下列三角形：①有两个角等于600；②有一个角等于 600的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都 相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三 角形，其中是等边三角形的有( ) A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④ 3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且 AD＝BE = CF，则△DEF的形状是( ) A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 4．在三角形中，任何一个角的平分线都垂直于这个角所 对的边，则此三角形是( ) A．等腰三角形 B．钝角三角形C．直角三角形D、等边三角形 5．△ABC中，AB＝AC，∠A＝∠C，则∠B＝。 6．已知AD 是等边△ABC 的高，BE是AC边的中线， AD与BE交于点F，则∠AFE＝。 7．等边三角形是轴对称图形，它有条对称轴， 分别是。 8．已知，如右图，△ABC是等边三角形，BD是中线， 延长BC到E，使CE = CD，不添辅助线，请你写出三个正确 结论(1) (2) (3) 自我评价：教师评价： 日期： 陇县城关镇中学“导学单”设计稿 八年级班姓名：科目：数学课题：《等边三角形的性质和判定》课型：展示主备人：周鹏审核：周鹏组名：
附件：教学设计
教学环节所用 时间 教师活动 （教学内容的呈现） 学生活动 （学习活动的设计） 设计 意图 一、 知识回顾以点看面大约 2 分钟 复习等腰三角形的性质？ 1、考查对象：随机从各组4号选手抽取 4名 2、考查形式：在主黑板表格中简略书写 3、考查目的：了解4号学生对旧知掌握 情况 4、奖励方式：答对个人加5个√ 复习回顾，重点针 对4号待优生检测 旧知 二、 类比转化知识迁移大约 2 分钟归纳等边三角形的性质？ 1、考查对象：上一环节未被查的另外4 名4号学生 2、考查形式：在主黑板表格中简略书写 3、奖励方式：答对个人加5个√ 重点检测4号待优 生利用等腰三角形 的性质推到等边， 既复习应用了等腰 三角形的有关知 识，又拓宽了等腰 三角形的广度和深 度，培养了学生的 应用意识。 三、 基础检测趁热打铁大约 1 分钟 等边△ABC , AD是BC 边上的中线，求∠CAD的度数？ 配套习题检测4号待优生对新知的掌握情况 1、考查对象：各组4号学生 2、活动形式：4号学生在卷子背面写答 案（大号字体），侧黑板旁举牌展示， 查漏补缺 3、奖励方式：答对个人加10个√；团 队其他成员加5个√。 重点针对4号待优 生的跟踪配套练 习，会简单应用等 边三角形的性质处 理简单问题，提高 关注度，激发待优 生学习热情，以此 了解全班学生情况 四、 分层操作自主探究大约 10 分钟 利用规定道具动手制作等 边三角形探究等边三角形判定 方法。第2组在主黑板，物品： 圆规、直尺。第3组在侧黑板 （西），物品：含30°角的三 角板。第8组在侧黑板（东）， 物品：量角器、圆规。第1、4、 5、6、7组在本组座位。物品： 模具 1、合作分工: 1号督查指导全程维持纪律； 2号整理汇报、填写操作过程汇报表（小卷 中）； 3号实际动手操作作图（务必保留作图痕迹）； 4号辅助3号完成操作、观察过程； 2、奖励方式：最快或最多团队每人10个 √；其他团队每人5个√。 活动目标：以最快 的速度制作一个 （或三个）等边三 角形。 培养学生的动手、 动脑、动口、合作 交流、合作探究的 能力 五、 阶段小结夯基树本大约 1 分钟 总结等边三角形的判定方法师生互答夯基树本，总结判 定方法 B C D A
1.1 等边三角形之等腰三角形的性质与判定 知识点一：等边三角形的性质和判定 1.等边三角形是轴对称图形，它有_________条对称轴。 2.等边三角形两个内角的平分线所成的钝角的度数是_____________. 3.若一个三角形有两个外角都是120°，则这个三角形是__________三角形。 4.等边三角形的两条中线相交所成的锐角的度数是_________。 5.若等腰三角形腰上的中线垂直于腰，则这个三角形是_________三角形。 6.若右图所示，已知点D在BC上，点E在AD上，BE=AE=CE,并且∠1=∠2=60°.求证：△ABC是等边三 角形。 7.如右图所示，在等边三角形ABC的边AB、AC上分别截出AD=AE，△ADE是等边三角形吗？说明理由。 8.如右图所示，已知△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上的一点，CE评分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE 是等边三角形。 知识点二：含30°角的直角三角形的性质 1.在Rt△ABC中，∠C=90°∠A=30°，若AB=4cm,则BC=_______________.
2.等腰三角形一底角是30°，底边上的高为9cm，则其腰长为__________,顶角是__________. 3.在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠A=30°，则CD=____AC,BC=____AB,BD=____BC,BD=_____AB. 4.在△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm,CD⊥AB交BA的延长线与点D，则CD的长为___________. 5.如右图所示，△ABC为等边三角形，AD∥BC， CD⊥AD,若△ABC的周长为36cm,求AD的长。 6.如右图所示，在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于点D,AB=10，求DB的长。 7.如右图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于点D,AB=4cm,求BC、AD、BD的长和∠BCD 的度数。
等腰三角形与等边三角形的性质与判定 课首沟通 上讲回顾(错题管理)；作业检查；询问学生学习进度等。 知识导图 课首小测 1、（2014萝岗区期末）如果等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（） A.9 B.7 C.12 D.9或12
2、（2014番禺区期末）下列说法正确的是（） A.等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合 B.等腰三角形的两个底角相等 C.等腰三角形一边不可以是另一边的二倍 D.顶角相等的两个等腰三角形全等 3、（2014白云区期末）在△ABC中，∠A=42°，∠B=96°，则它是（） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 4、如图，△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=40°，则∠C= . 5、(2014天河区期末)如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分EC,垂足为D,ED=3，则CE 的长为。 知识梳理 一、等腰三角形 1. 定义 的叫做等腰三角形．相等的两条边叫做，另一条边叫做。两腰所夹 的角叫做，腰与底边的夹角叫做。 2. 性质 性质1：等腰三角形的两个底角。（简写成“”）。 性质2：等腰三角形的、、相互重合（简称“”）性质3：等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，即为。 3.判定 （1）有两条边的三角形是等腰三角形。 （2）如果三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“ ”）
二、等边三角形 1. 定义 都相等的三角形是等边三角形． 2. 性质 性质1：等边三角形的三个内角都，并且每一个角都等于； 性质2：等边三角形是，并且有对称轴，分别为三边的垂直平分线。 3.判定 （1）三个角都的三角形是等边三角形； （2）都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是600的是等边三角形。 三、含300的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它对的等于的一半. 导学一：等腰三角形的性质 知识点讲解1：“等边对等角” 例题 1、（2014华美英语实验期中）等腰三角形的其中一个角为50°，则它的顶角是___________ 度. 2、（2014四川南充）如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD， 则∠B的度数为（） A. 30°B．36°C．40°D．45° 3、如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF。 （1）求证：△EBD≌△PCE （2）若∠A=40°，求∠DEF的度数。
第2讲等腰三角形的性质和判定 教学目标：（1）掌握等腰三角形的性质定理和判定定理，并会灵活运用。 （2）能用上述结论进行分析与说理，进行初步的逻辑思维训练，形成一定的推理能力。重点、难点：重点是等腰三角形的性质定理和判定定理 难点是利用定理解决实际问题 . 教学过程： （一）知识梳理 知识点1：等腰三角形的性质定理1 （1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） （2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C （3）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。 知识点2：等腰三角形性质定理2 （1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”） （2）符号语言： ∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC ∠1=∠2 AD⊥BC BD=DC ∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠2 BD=DC AD⊥BC （3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。 说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。 知识3：等腰三角形的判定定理 （1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”） （2）符号语言：在△ABC中 ∵∠B=∠C ∴AB=AC
（3）证明： （4）定理的作用：证明同一个三角形中的边相等。 说明：①本定理的证明还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。 ②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义2、利用定理。【典型例题分析】 基础知识应用题： 例1. 如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。 解： 解答此类题的步骤如下： （1）利用等边对等角根据已知角的度数求另一个角的度数。 （2）利用三角形内角和定理，确定等量关系，借助等式或方程求解。 例2. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。 求证：△DEF是等腰三角形。 证明：
等边三角形的判定与性质难题 一、选择题（共1小题） 1．（2006?）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A 等于（） A．25°B．30°C．45°D．60° 二、填空题（共1小题）（除非特别说明，请填准确值） 2．一个六边形的六个角都是120度，连续四边的长为1，3，4，2，则该六边形的周长是_________． 三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷） 3．如图，P是等边△ABC部一点，PC=3，PA=4，PB=5．求AC2． 4．如图（1），△ABC是等边三角形，DE是中位线，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE，EF．（1）求证：BE=EF； （2）若将DE从中位线的位置向上平移，使点D，E分别在线段AB，AC上（点E与点A不重合），其他条件不变，如图（2），则（1）题中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 5．（2008?区二模）已知：在等边△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，点G为直线BC上一动点，当点G在CB延长线上时，有结论“在直线EF上存在一点H，使得△DGH是等边三角形”成立（如图①），且当点G与点B、E、C重合时，该结论也一定成立． 问题：当点G在直线BC的其它位置时，该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图②③④中，画出相应图形并证明相关结 论． 6．如图，P是等边三角形ABC的一点，连接PA、PB、PC，以BP为边作等边三角形BPM，连接CM． （1）观察并猜想AP与CM之间的大小关系，并说明你的结论； （2）若PA=PB=PC，则△PMC是_________三角形； （3）若PA：PB：PC=1：：，试判断△PMC的形状，并说明理由． 7．（2006?）如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D1、E1、F1分别是△ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1=AB，连接D1E1、E1F1、F1D1，可得△D1E1F1是等边三角形，此时△AD1F1的面积S1=S，△D1E1F1的面积S1=S． （1）当D2、E2、F2分别是等边△ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=AB时如图2， ①求证：△D2E2F2是等边三角形； ②若用S表示△AD2F2的面积S2，则S2=_________；若用S表示△D2E2F2的面积S2′，则S2′=_________．（2）按照上述思路探索下去，并填空：
第2课时 等边三角形的判定和性质 (参考用时:30分钟 ) 1.(2017沂源期中)下列三角形,①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形;③一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中能判定是等边三角形的个数是( A ) (A)3个 (B)2个 (C)1个 (D)0个 2.(2018淄博)如图,在 Rt △ABC 中,CM 平分∠ACB 交AB 于点M,过点M 作MN ∥BC 交AC 于点N,且MN 平分∠AMC.若AN=1,则BC 的长为( B ) (A)4 (B)6 (C)4 (D)8 第2题图 3.(2018湘潭)如图,在等边三角形ABC 中,点D 是边BC 的中点,则∠BAD= 30° . 第3题图 4.如图,已知∠AOB=30°,点P 在边OA 上,点M,N 在边OB 上,且PM=PN=10,MN=12,则OP= 16 . 第4题图 5.如图,等腰直角三角形BDC 的顶点D 在等边三角形ABC 的内部,∠BDC=90°,连接AD,过点D 作一条直线将△ABD 分割成两个等腰三 角形,则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是 120,150 度. 第5题图 6. 如图,等边△ABC 中,点D 为BC 延长线上一点,点E 为CA 延长线上一点,且AE=DC,求证 :AD=BE. 证明:在等边△ABC 中,∠BAC=∠ACB=60°, AB=AC, 所以∠BAE=∠ACD=120°. 因为AE=CD, 所以△ABE ≌△CAD. 所以AD=BE. 7. 已知:如图,点D 在等边三角形ABC 的边AB 上,点F 在边AC 上,连接DF 并延长交BC 的延长线于点E,FE=FD.求证 :AD=CE. 证明: 过点D 作DM ∥BE 交AC 于点M,则有∠MDF=∠ E. 在△MDF 与△CEF 中, 因为∠MFD=∠CFE, FD=FE,∠MDF=∠E, 所以△MDF ≌△CEF, 所以DM=CE.
等边三角形的性质和判定 一．选择题 1．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（）A．180°B． 220°C． 240°D 300°2．下列说法正确的是（） A等腰三角形的两条高相等 C有一个角是60°的锐角三角形是等边三角形 B等腰三角形一定是锐角三角形 D三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等 3在△ABC中，①若AB=BC=CA则△ABC为等边三角形；②若 ∠A=∠B=∠C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25°B．30°C．45°D．60° 5．如图，已知D、E、F分别是等边△ABC的边AB、BC、AC上的点，且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则下列结论不成立的是（A．△DEF是等边三角形B．△ADF≌△BED≌△CFE C． DE=AB D．S△ABC=3S△DEF 6．如图，在△ABC中，D、E在BC上，且BD=DE=AD=AE=EC，则∠BAC的度数是（ A．30°B．45°C．120°D．15° 7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 第1 题第4题第5题第7题
8．已知∠AOB=30°，点P 在∠AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则P 1，O ，P 2三点所构成的三角形是（ ） A ．直角三角形 B ． 钝角三角形 C ． 等腰三角形 D ． 等边三角形 二．填空题 9．已知等腰△ABC 中，AB=AC ，∠B=60°，则∠ A= _____ 度． 10 ．△ABC 中，∠A=∠B=60°，且AB=10cm ，则BC= ____ cm ． 11．在△ABC 中，∠A=∠B=∠C ，则△ABC 是 ______ 三角形． 12．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD 的形状是 _________ 13如图M 、N 是△ABC 的边BC 上的两点且 BM=MN=NC=AM=AN ．则∠BAN= _________ ． 14．如图，用圆规以直角顶点O 为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A 、B 两点，若再以A 为圆心，以OA 为半径画弧，与弧AB 交于点C ，则∠AOC 等于________ 15．已知：如图，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 到E ，使CE=CD ，不添辅助线，请你写出三个正确结论 (1)______________；(2)______________；(3)______________. 16．如图，将边长为6cm 的等边三角形△ABC 沿BC 方向向右平移后得△DEF ，DE 、AC 相交于点G ，若线段CF=4cm ，则△GEC 的周长是 _________ cm ． E D C B A
等腰三角形： 定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。在等腰 三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边， 两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 性质： 1.等腰三角形的两条腰相等； 2.等腰三角形的两个底角相等； 3.等腰三角形是轴对称图形； 4.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上 的高重合，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。判定： 1.有两条边相等的三角形是等腰三角形； 2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对 的边也相等。 等边三角形： 定义：三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三 角形。 性质： 1.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，任意边 的垂直平分线都是它的对称轴； 2.等边三角形的三个角都相等，每个角都是60°。 判定： 1.三条边都相等的三角形是等边三角形； 2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； 3.有两个角是60°的三角形是等边三角形。 直角三角形： 定义：有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形。 其中，构成直角的两边叫做直角边，直角边所对的边 叫做斜边。 性质： 1.直角三角形的两个余角互余； 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 3.直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半； 4.勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和、 等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 判定： 1．有一个角是直角的三角形是直角三角形； 2..有两个角互余的三角形是直角三角形； 3.如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的的一半，那么这个三角形是直角三角形； 4.如果三角形的三边长a、b、c满足于a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。 角平分线定理：在角的平分线上的点到这个角的两边 的距离相等 逆定理：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 中垂线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个 端点的距离相等 逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这 条线段的垂直平分线上 1 定理三角形两边的和大于第三边 2 推论三角形两边的差小于第三边 5外角2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 3 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 4外角1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个 内角的和 全等的判定： 6边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的 两个三角形全等 7角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等 的两个三角形全等 8推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的 两个三角形全等 9边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形 全等 10斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应 相等的两个直角三角形全等
第1课时等边三角形的性质和判定（课堂训练） 一 ?选择题（共8小题） 1?如图，一个等边三角形纸片 （ 2. ，剪去 B . 220 ° ）A . 180° F 列说法正确的是（ ） 等腰三角形的两条高相等 C . 等腰三角形一定是锐角三角形 D . 个角后得到一个四边形，则图中 / a +Z B 的度数是 C . 240° D . 300 有一个角是60。的锐角三角形是等边三角形 三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等 A . B . 3. 在△ AB C 中，①若AB=BC=CA ，则△ ABC 为等边三角形；②若/ A= / B= / C,则△ ABC 为等边三角形；③ 有两个角都是60°的三角形是等边三角形； ④一个角为60。的等腰三角形 是等边三角形?上述结论中正确的有（ ） A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 4. 占 八、、 5. 且 B . 2个 如图，CD 是Rt △ ABC 斜边AB 上的高，将△ BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在 AB 的中 E 处，则/ A 等于（ ）A . 25° B . 30 ° C . 45 如图，已知 D 、E 、 F 分别是等边 △ ABC 的边AB 、BC 、AC 上的点， DE 丄BC 、EF 丄AC 、FD 丄AB ，则下列结论不成立的是（ ） A . C . 6.如图， A . 30 ° 7 .如图，在 △ ABC 中，AB=AC , / A=120 ° BC=6cm , AB 的垂直平分线交 BC 于点 交AB 于点E , AC 的垂直平分线交 BC 于点N ，交AC 于点F ,则MN 的长为（ A . △ DEF 是等边三角形 B . △ ADF △ BED CFE DE=AB D . S A ABC=3S △ DEF 在厶ABC 中，D 、E 在 BC 上，且 BD=DE=AD=AE=EC ,贝U Z BAC B . 45° C . 120° D . 15° ) 的度数是（ 第 1 已知/ AOB=30 °,点 M ， -1.' 第 题 第7题 P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称， 第4题 P 在/ AOB 内部， C . 2 cm D . 1cm 8. 则P 1, O , P 2三点所构成的三角形是（ A .直角三角形 B . 钝角三角形 二.填空题（共10小题） 9 .已知等腰 △ ABC 中，AB=AC , Z B=60 ） C . 等腰三角形 D .等边三角形 ,则/ A= 度. 10. △ ABC 中，Z A= Z B=60°,且 AB=10cm ，贝U BC= _ _ cm . 11. 在△ ABC 中，Z A= Z B= Z 。，则厶ABC 是 _ _ 三角形.r 12. 如图，将两个完全相同的含有 30°角的三角板拼接在一起， 则拼接后的△ ABD 的形状是 13.如图，M 、N 是厶ABC 的边BC 上的两点，且 BM=MN=NC=AM=AN .则/ BAN= _
等边三角形的性质和判定 【学习内容】 等边三角形的性质：1 .三条边相等。2.等边三角形的内角都相等，且等于60 °3.等边三角形各边上中线，高和所对角的平分线都三线合一。4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 等边三角形的判定：1.三边都相等的三角形是等边三角形.（定义）。2.三个角都相等的三角形是等边三角形.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【知识整合】 【课堂练习】 1.如图，已知，△ABC是等边三角形，BD是中线，BD=6，延长BC到E。使CE=CD,求DE长。 2. 如图，△ABC是等边三角形，DE ∥BC，交AB、AC于D , E。求证：△ADE是等边三角形 3.用不同的分割方法,将一个等边三角形分割成四个等腰三角形(注明角度)
【巩固练习】 1．如图，△ABC是等边三角形，P为△ABC内部一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后能与△ACP′重合，如果AP=3，求PP′的长。 2．如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：（1）DE=DF；（2）若∠A=60°，BD=1，求△ABC的周长． 3．如图，等边△ABC中，点D在延长线上，CE平分∠ACD，且CE=BD． 求证：△ADE是等边三角形．
4．如图所示，点D 为等边△ABC 的AC 边上的一点，∠1=∠2，BD=CE ． 求证：△DAE 是等边三角形． 5．已知：如图，△DAC 、△EBC 均是等边三角形，点A 、C 、B 在同一条直线上，且AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ．求证：（1）AE=DB ；（2）△CMN 为等边三角形． 1 2 A B C D E
等腰三角形的性质和判定复习经典例习题 一、知识梳理 知识点1：等腰三角形的性质定理1 （1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） （2）符号语言：∵AB=AC（已知） ∴∠B=∠C（等边对等角） （3）证明：取BC的中点D，连接AD 在△ABD和△ACD中 ∴△ABD≌△ACD（SSS） ∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等） 思考：你还有其它证法吗？ （4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。 知识点2：等腰三角形性质定理2 （1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”） （2）符号语言： ∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC ∠1=∠2 （已知） AD⊥BC（已知） BD=DC（已知） ∴AD⊥BC，BD=DC （三线合一）∴∠1=∠2 BD=DC（三线合一）∴∠1=∠2 AD⊥BC（三线合一）（3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。 说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。 知识3：等腰三角形的判定定理 （1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”） （2）符号语言： ∵∠B=∠C （已知） ∴AB=AC（等角对等边）
（3）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。 在△ABD和△ACD中 ∴△ABD≌△ACD （AAS） ∴AB=AC（对应边相等） 思考：你还有其它证法吗？ （4）定理的作用：证明同一个三角形中的边相等。 说明：①本定理的证明还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。 ②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义 2、利用定理。 二、典型例题分析 例1、有关等腰三角形的基本图形． （1）如图3，若OD平分∠AOB，DE∥OB交OA于E．求证：EO＝ED．提问：这个结论的逆命题是否正确？ （2）如图3，若OD平分∠AOB，EO＝ED，求证：DE∥OB． （3）如图3，若DE∥OB交OA于E，EO＝ED，求证：OD平分∠AOB．（4）如图4，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB＝AD． （5）已知：如图5（a），AB＝AC，BD平分∠ABC，CD平分 ∠ACB．问： ①图中有几个等腰三角形？ ②如图5（b），若过D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，图中 又增加了几个等腰三角形？ ③如图5（c），若将第（2）题中的△ABC改为不等边三角形，其它条件不变，情况会如何？还可证出哪些线段的和差关系？ （6）如图6，若BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB，过D作DE∥AB 交BC于E，作DF∥AC交BC于F．求证：BC的长等于△DEF的周长． 例2. 已知：如图， 在△ABC中，∠B=∠
论全等三角形判定与性质及其技巧 令狐采学 袁崧浩 三角形是平面几何中最重要也是最基础的图形之一，大部分的平面几何都建立在三角形的基础上，本文将论述全等三角形的基础及其拓展。 一、全等三角形的判定公理 1、边边边（SSS） 三边对应相等的两个三角形全等 2、边角边（SAS） 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 3、角边角（ASA） 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 4、角角边（AAS） 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形 全等 5、斜边、直角边（HL） 直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等 的两个直角三角形全等 二、全等三角形的性质 1．全等三角形的对应角相等。 2．全等三角形的对应边相等。 3．全等三角形的对应边上的高对应相等。
4．全等三角形的对应角的角平分线相等。 5．全等三角形的对应边上的中线相等。 6．全等三角形面积相等。 7．全等三角形周长相等。 三、全等三角形题型的解题技巧 1、制造全等三角形 在一些题目中，你需要通过全等来解题但是在图形中找不到全等三角形，这时就需要通过辅助线来制 造全等三角形以解题，可利用等角和等边来作辅助 线，一下介绍两种比较经典的方法： （1）倍长中线法： 延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往 需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相 等。常用于构造全等三角形,例题如下: 如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证:2AD
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