5-3-4 一元二次方程的公共根与整数根.题库教师版

一、公共根问题

二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的

值和公共根．

二、整数根问题

对于一元二次方程20ax

bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ?=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．

方程有整数根的条件：

如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件：

⑴ 24b ac ?=-为完全平方数；

⑵ 2b ak -或2b ak -=，其中k 为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．

另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)

三、方程根的取值范围问题

先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围．

知识点睛

例题精讲

中考要求

一元二次方程的公共根与整数根

一、一元二次方程的公共根

【例1】 求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根．

【考点】一元二次方程的公共根 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】

【解析】不妨设a 是这两个方程相同的根，由方程根的定义有

210a ka +-= ……①， 2(2)0a a k ++-=……②．

①-②有，1(2)0ka a k ----=，即 (1)(1)0k a --=，∴1k =，或1a =． 当1k =时，两个方程都变为210x x +-=，

∴两个方程有两个相同的根1,2x =，没有相异的根；

当1a =时，代入①或②都有0k =，此时两个方程变为210x -=，220x x +-=．

解这两个方程，210x -=的根为11x =，21x =-；220x x +-=的根为11x =，22x =-． 1x =为两个方程的相同的根．

【答案】当1k =时，1,2x =；当1x =时，1x =

【例2】 设,,a b c 为ABC ?的三边，且二次三项式222x ax b ++与222x cx b +-有一次公因式，证明：ABC

?一定是直角三角形．

【考点】一元二次方程的公共根 【难度】4星 【题型】解答

【关键词】北京市，数学竞赛试题 【解析】略

【答案】因为题目中的两个二次三项式有一次公因式，

所以二次方程2220x ax b ++=与2220x cx b +-=必有公共根，设公共根为0x ，则

220020x ax b ++= ……①， 220020x cx b +-= ……②

两式相加得20022()0x a c x ++=，即002[()]0x x a c ++=． 若00x =，代入①式得0b =，这与b 为ABC ?的边不符，

∴公共根0()x a c =-+．把0()x a c =-+代入①式得22()2()0a c a a c b +-++=， 整理得222a b c =+，ABC ?为直角三角形．

【例3】 三个二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=有公共根．

⑴ 求证：0a b c ++=；

⑵ 求333

a b c abc

++的值．

【考点】一元二次方程的公共根 【难度】4星 【题型】解答

【关键词】配方思想

【解析】⑴ 设上述三个方程的公共根为0x ，则有

2000ax bx c ++=，2000bx cx a ++=，2000cx ax b ++=

三式相加并提取公因式可得，200()(1)0a b c x x ++++=

又22000131()024x x x ++=++>，故0a b c ++=，公共根为01x =或01b

x a

=--．

⑵ 由3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---及0a b c ++=可知

3

3

3

3a b c abc ++=，故333

3a b c abc

++=．

【答案】⑴见解析 ⑵3

【例4】 试求满足方程270x kx --=与26(1)0x x k --+=有公共根的所有的k 值及所有公共根和所有相异

根．

【考点】一元二次方程的公共根 【难度】4星 【题型】解答

【关键词】分类讨论

【解析】不妨设两个方程的公共根为0x ，则有20070x kx --=，2006(1)0x x k --+= 两式相减可得，0(6)(1)70k x k -++-=，即0(6)(1)0k x --=

若6k ≠，则01x =为两个方程的公共根，此时6k =-，2670x x +-=，2650x x -+=，相异根为-7

和5．

若6k =，则两个方程均为2670x x --=，此时有公共根7和-1，无相异实根．

【答案】当6k =-时，两个方程的公共根为1，相异根为-7和5；当6k =时，两个方程的公共根为7和-1，无

相异实根

【例5】 二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和

2

2

2

(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求b a

b

a

a b a b --++的值． 【考点】一元二次方程的公共根 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】

【解析】[]222(1)(2)(2)0()(1)(2)0a x a x a a x a a x a --+++=?---+=，故两根为a 和2

1

a a +-

同理，222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=的两根为b 和2

1

b b +-．

由题意可知，11a b a b -≠-?≠，故21b a b +=-或2

1

a b a +=-．

均可化简为：20ab a b ---=，即(1)(1)3a b --=

由a ，b 为正整数，故1113a b -=??-=?或1311a b -=??-=?，解得24a b =??=?，4

2a b =??=?

．

也可采取与例题相同的解法： 设公共根为0x ，

则22200(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=，22200(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=

消去20x 项并因式分解可得，0()(2)(1)0a b ab a b x -----=(由已知可得a b ≠) 若01x =，则有1a =(或1b =)，与已知矛盾； 若20ab a b ---=，解法同上．

故256b a

b a b a

a b a b a b

--+==+． 【答案】256

二、一元二次方程的整数根

【例6】 k 为什么实数时，关于x 的方程2(6)(9)(11715)540k k x k x ----+=的解都是整数？

【考点】一元二次方程的整数根 【难度】6星 【题型】解答 【关键词】

【解析】易知6k =或9k =时，原方程的解都是整数．

当6k ≠或9k ≠时，原方程化为：[][](6)9(9)60k x k x ----=，

从而解得19

3623

x k k

=

=--

，26

2933

x k k

=

=--

．

因为1x 、2x 为整数，易知3

k

为有理数． 不妨设

3k m

n

=，其中m 为整数，31n m -=±为正整数，且(m ，)1n =， 代入1x 、2x 中得到132n x n m =-，223n

x n m

=-．

因为(n ，2)(n m n -=，2(2))(n n m n --=，)1m =，(n ，3)(n m n -=，3(3))(n n m n --=，)1m =，故23n m -，32n m -．于是21n m -=±，3±；31n m -=±，2±．

因此，13k =，52，73，72，114，5，135，即3k =，152，7，212，334，15，39

5

．

综上所述，当3k =，6，7，152，395

，334，9，21

2，15时，原方程的解都是整数．

点评：一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，这些都是最自然的做法．

【答案】当3k =，6，7，152，395

，334，9，21

2，15时，原方程的解都是整数

【例7】 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个．

【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】

【解析】当6k =时，得2x =；当9k =时，得3x =-，当9k ≠时，解得196x k =

-，26

9x k

=-， 当6139k -=±±±，

，时，1x 是整数，这时753153k =-，，，，；当91236k -=±±±±，，，时，2x 是整数这时10811712153k =，，

，，，，综上所述，367915k =，，，，时原方程的解为整数． 【答案】367915k =，

，，，

【例8】 已知a 是正整数，如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方

程的整数根．

【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】解答

【关键词】2007年，全国初中数学联合竞赛

【解析】观察易知方程有一个整数根11x =，将方程的左边分解因式，得：2

(1)(18)560x x a x ??-+++=??．

因为a 是正整数，所以关于x 的方程：2(18)560x a x +++= ……① 的判别式2(18)2240a ?=+->，它一定有两个不同的实数根．

而原方程的根都是整数，所以方程①的根都是整数，

因此它的判别式2(18)224a ?=+-应该是一个完全平方数． 设22(18)224a k +-=(其中k 为非负整数)，

则22(18)224a k +-=，即：(18)(18)224a k a k +++-=．

显然18a k ++与18a k +-的奇偶性相同，且1818a k ++≥，1818a k a k +++-≥． 而2241122564288=?=?=?，所以： 18112182a k a k ++=??+-=?，或1856184a k a k ++=??+-=?，或1828

188a k a k ++=??

+-=? 解得3955a k =??=?，或1226a k =??=?，或010a k =??=?

．

而a 是正整数，所以只可能3955a k =??=?，或12

26a k =??=?

．

当39a =时，方程①即257560x x ++=，它的两根分别为1-和56-．

此时原方程的三个根为1，1-和56-．

当12a =时，方程①即230560x x ++=，它的两根分别为2-和28-． 此时原方程的三个根为1，2-和28-．

【答案】当39a =时，原方程的三个根为1，1-和56-；当12a =时，原方程的三个根为1，2-和28-

【例9】 若k 为正整数，且关于k 的方程22(1)6(31)720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】4星 【题型】解答

【关键词】2000年，全国联赛试题，

【解析】原方程变形、因式分解为2(1)(1)6(31)720k k x k x +---+=，

[(1)12][(1)6]0k x k x +---=．

即1121x k =+，26

1x k =-．

由121k +为正整数得1,2,3,5,11k =；由61k -为正整数得2,3,4,7k =． 所以2,3k =使得1x ，2x 同时为正整数，但当3k =时，123x x ==，与题目不符，所以，只有2k = 为所求．

【答案】2k =

【例10】 关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数．求满足条件的所有实数

k 的值．

【考点】一元二次方程的整数根 【难度】6星 【题型】解答 【关键词】

【解析】由2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=可知，

[][](4)(2)(2)(2)0k x k k x k -+--++=

故124k x k -=-

-，22

2k x k +=--(由题意可知，26802k k k -+≠?≠且4k ≠) 122(1)44k x k k -=-=-+--，224(1)22

k x k k +=-=-+--

于是有，1241

k x -=-

+，24

21k x -=-+，

两式相减可得，1212142

232011

x x x x x =-

+?++=++ 故12(3)2x x +=-，从而可知，12132x x =??+=-?，或12

1

32x x =-??+=?，或12231x x =??+=-?，

或12

231x x =-??+=?

又11x ≠-且21x ≠-，故1215x x =??=-?，或1224x x =??=-?，或1222

x x =-??=-?，故106,3,3k =．

注 得出122(1)44k x k k -=-=-+--，224

(1)22

k x k k +=-=-+--后，

直接有41,2k -=±±，21,2,4k -=±±±．由于上述两个等式是同时成立的， 故这样的k 只能取6,3k =．

此法不严密，k 不一定是整数，如果k 是整数，此法可用，如果不是，就不能用！ 如果要用，可采取分类讨论的方法：当k 是整数时，按上述方法可得6,3k =，

当k 是分数时，可设124,k t t -=，124

2,,k t t t

-=±±±，t 为整数，且1t ≠，2t ≠，4t ≠，

上述两等式同时成立，两式的差值为2，故24k t -=，42k t -=-，此时10

3

k =，

故10

6,3,3k =．这是本题的第二种解法，仅供参考．

【答案】10

6,3,3

k =

【例11】 当m 为何整数时，方程222525x mx m -+=有整数解． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】6星 【题型】解答 【关键词】

【解析】解法1：

将方程222525x mx m -+=左边因式分解可得 (2)(2)5x m x m --=

故2521x m x m -=??-=?，或2125x m x m -=??-=?，或2521x m x m -=-??-=-?，或2125x m x m -=-??-=-?

解得31x m =??=?，13x m =-??=-?，31x m =-??=-?，13x m =??=?

解法2：

将方程222525x mx m -+=整理成标准形式：2225250x mx m -+-=

由原方程有整数解，首先必须满足222(5)42(25)940m m m ?=-??-=+为一个完全平方数， 不妨设2(0)n n ?=>，则有22940(3)(3)40m n n m n m +=?-+=， 又3n m -、3n m +的奇偶性相同，

故它们必然同为偶数，则有32320n m n m -=??+=?，32032n m n m -=??+=?，32320n m n m -=-??+=-?，320

32n m n m -=-??+=-?，

34310n m n m -=??

+=?，31034n m n m -=??+=?，31034n m n m -=-??+=-?，34

310n m n m -=-??+=-? 解得311m n =??=?，311m n =-??=?，17m n =??=?，17m n =-??=?

522

m n

±=?中检验可知，均满足题意，故1m =±或3m =±．

注意，题中要求有整数解即可，没要求所有的根都是整数，要注意区分这一点．

点评：解法2看似复杂，但却是一元二次方程的整数根问题的通用解法，“希望杯”等考试中也常考到这种方法，值得引起注意．解法1看似简单，但使用起来有较多的局限性，如果无法进行因式分解，或者所分解的整数的因数过多，使用起来将很复杂．

【答案】1m =±或3m =±

【例12】 已知关于x 的方程24832x nx n --=和22(3)220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方

程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，

请说明理由．

【考点】一元二次方程的整数根 【难度】6星 【题型】解答 【关键词】

【解析】2(8)44(32)n n ?=--??--2(83)230n =++>．

可见，n 为任意实数，

方程2483x nx n -- 2=都有实数根，记这两个实数根为α、β，则2n αβ+=，32

4n αβ--=

． 2

22()()4432n n αβαβαβ-=+-=++．

由方程22(3)220x n x n -+-+=得[][](22)(1)0x n x n -++-=，解得122x n =+，21x n =-． 若1x 为整数，则243222n n n ++=+，从而10n =，214

n =-． 当10n =时，12x =是整数．当214

n =-

时，13

2x =不是整数，舍去．

若2x 为整数，则24321n n n ++=-，从而341

2

n n ==-．

当12n =-时，23

2

x =不是整数，舍去．

综上可知，当0n =时，第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根．

【答案】存在，0n =

【例13】 求所有有理数r ，使得方程2(1)(1)0rx r x r +++-=的所有根是整数． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】6星 【题型】解答 【关键词】

【解析】分析 首先对0r =和0r ≠进行讨论．0r =时，是关于x 的一次方程；0r ≠时，是关于x 的二次方程，

由于r 是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效．可用韦达定理，先把这个有理数r 消去．

解：当0r =时，原方程为10x -=，所以1x =．

12121111x x r

x x r

?

+=--???

?=-

??． 当0r ≠时，原方程是关于x 的一元二次方程，设它的两个整数根为1x ，2x ，且12x x ≥，则 消去r 得

12122x x x x --=?12(1)(2)3x x --=?121311x x -=??-=?或121113x x -=-??-=-?，即12

42x x =??=?或120

1x x =??=-?；

∴1211

17

r x x =

=-+或1．

综上所述，当1

7

r =-

，0，1时，方程的所有根都是整数． 【答案】1

7

r =-

，0，1

【例14】 已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】6星 【题型】解答 【关键词】

【解析】设两个根为12x x ≥，由韦达定理得

1212

6x x a

x x a +=-??

=?． 从上面两式中消去a 得12126x x x x ++=?12(1)(1)7x x ++=?121711x x +=??+=?或12

1117x x +=-??+=-?

即12

60x x =??=?或1228x x =-??=-?．

所以120a x x ==或16．

点评：利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于1x ，2x 的不定方程，而求解这个对称的不定

方程往往是容易入手的．

【答案】0或16

【例15】 已知k 为常数，关于x 的一元二次方程22(2)(46)80k k x k x -+-+=的解都是整数，求k 的值． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】6星 【题型】解答 【关键词】

【解析】当0k =时，原方程化为480x +=，解得2x =-．故当0k =时，原方程的解都是整数．

当2k =时，原方程化为880x -+=，解得1x =，故当2k =时，原方程的解都是整数． 当0k ≠且2k ≠时，原方程化为(2)[(2)4]0kx k x ---=．

解得12x k =，24

2

x k =-．

由12x k =，得12k x =．把12k x =代入24

2

x k =-中，得121220x x x x +-=．

故12(1)(2)21(2)2(1)x x -+=-=?-=?-．

因为1x 、2x 为整数，所以11x -、22x +也均为整数．于是，有 121122x x -=??

+=-?或121221x x -=-??+=?或121221x x -=??+=-?或1211

22x x -=-??+=?． 分别解得 1224x x =??=-?或1211x x =-??=-?或1233x x =??=-?或12

0x x =??

=?(舍去)． 故2

1,2,

3

k =-． 综上，k 的值为22,0,1,2,

3

-． 【答案】22,0,1,2,

3

-

【例16】 已知p 为质数，二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数，请求出p 的所有可能的值． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】

【解析】因为已知整系数二次方程有整数根，所以2244(51)4(51)p p p p ?=---=+为完全平方数，从而

51p +为完全平方数．令251p n +=，注意到2p ≥，故4n ≥，且n 为整数，于是5(1)(1)p n n =+-， 1n +、1n -中至少有一个是5的倍数，即51n k =±(k 为正整数)． 从而225125101p n k k +==±+，(52)p k k =±．

由于p 为质数，521k ±>，故1k =，3p =或7p =．

当3p =时，已知方程变为2670x x --=，解得11x =-，27x =．

当7p =时，已知方程变为214130x x -+=，解得11x =，213x =．综上可知3p =或7p =．

【答案】3p =或7p =

【例17】 已知1240m <<，且关于x 的二次方程222(1)0x m x m -++=有两个整数根，求整数m ． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】2007～2008，清华附中，初三第一次月考试题

【解析】由原方程由整数解可知，224(1)44(21)m m m ?=+-=+必然是一个完全平方数．

又1240m <<可知，252181m <+<，又21m +为奇数，故214924m m +=?=．

此时原方程的两个实数根为：1,22(1)5014

22

m x +±±=

=，不妨设12x x >，则132x =，218x =

故24m =．满足?为完全平方数只是条件之一，另外一个条件也必须同时满足，要引起注意．

【答案】24m =

【例18】 若一直角三角形两直角边的长，a 、b ()a b ≠均为整数，且满足2

4a b m ab m +=+??=?

．试求这个直角三角

形的三边长．

【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】

【解析】 因为a 、b 为正整数，所以，m 也为正整数．

从而，a 、b 是关于x 的方程2(2)40x m x m -++=的两个不等整数解．

所以22(2)16124m m m m ?=+-=-+必为完全平方数．

不妨设22124m m k -+=，k 为正整数，即221240m m k -+-= ……① 由此知关于m 的方程①应有整数解，则

222(12)4(4)4(32)k k '?=---=+也必为完全平方数．

于是232k +为完全平方数．

令2232()k n k +=+，其中n 为正整数．则2232()(2)n k k n n k =+-=+． 显然2n n k <+．又3213221648=?=?=?，于是，分三种情况讨论： 1n =时，1232k +=，无整数解；

2n =时，2216k +=，解得7k =，15m =，直角三角形的三边长分别为5，12，13； 4n =时，428k +=，解得2k =，12m =，直角三角形三边长分别为6，8，10． 综上，直角三角形的三边长分别为5,12,13或6,8,10．

【答案】5,12,13或6,8,10

【例19】 关于x 的方程22(3)(2)0ax a x a +-+-=至少有一个整数解，且a 是整数，求a 的值． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】

【解析】当0a =时，原方程变成620x --=，无整数解．

当0a ≠时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式 24(3)4(2)4(94)a a a a ?=---=-

为完全平方数，从而94a -是完全平方数．令294a n -=，n 是正奇数，

且3n ≠(否则0a =)，所以2

94

n a -=．由求根公式得

1,22

2(2)24(3)31129a n n n x a a n --±±±==-+=-+-．所以1413x n =-++，2

4

13x n =-+-． 要使1x 为整数，而n 为正奇数，只能1n =，从而2a =．要使2x 为整数，即(3)|4n -，n 可取1,5,7，从而2,4,10a =--．

综上所述，a 的值为2,4,10--．

点评：本题是前面两种方法的“综合”．既要用判别式是平方数，又要用直接求根．有时候，往往是几种方法一同使用．

【答案】2,4,10--

【例20】 已知方程()

22

238213150

a x a a x a a --+-+=(a 是非负整数)至少有一个整数根，那么a = ．

【考点】一元二次方程的整数根 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】

【解析】∵0a ≠，∴由公式法可得()

2212382322a a a a x a a -++==-，()2222

3825

12a a a a x a a --+==-．

即135a =，，

． 【答案】1,3,5

【例21】 当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是

整数．

【考点】一元二次方程的整数根 【难度】4星 【题型】解答

【关键词】2008年，西城区，初三抽样试题

【解析】由题意可知，方程2440mx x -+=的判别式21(4)1616(1)01m m m ?=--=-≥?≤

方程2244450x mx m m -+--=的判别式为

222(4)4(445)4(45)0m m m m ?=---=+≥

故5

4

m ≥-，又m 为整数，0m ≠，故1m =-或1m =

当1m =时，题干中的两个方程分别为2440x x -+=、2450x x --=，满足题意； 当1m =-时，题干中的两个方程分别为2440x x +-=、2430x x ++=，不合题意．

故1m =．也可通过方程是否有整数根的条件来判断出1m =，此时两个判别式都要是完全平方数． 【答案】1m =

【例22】 设m 为整数，且440m <<，方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根，求m 的值及方程的根．

【考点】一元二次方程的整数根 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】

【解析】4(21)m =+△为完全平方数，又m 为440m <<的整数，则12m =或24．当12m =时，116x =，226x =；当24m =时，338x =，452x =． 点评：测及一元二次方程的整数根问题，一般用公式法把根表示出来，再让其为整数即可；或先让24b ac -为完全平方数，再检验．当然测及二次项系数的讨论更容易错．

【答案】当12m =时，116x =，226x =；当24m =时，338x =，452x =．

【例23】 当m 为何整数时，方程222525x mx m -+=有整数解． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】

【解析】方法一：

将方程222525x mx m -+=左边因式分解可得

(2)(2)5x m x m --=

故2521x m x m -=??-=?，或2125x m x m -=??-=?，或2521x m x m -=-??-=-?，或21

25x m x m -=-??-=-?

解得31x m =??=?，13x m =-??=-?，31x m =-??=-?，1

3x m =??=?

方法二：

将方程222525x mx m -+=整理成标准形式：2225250x mx m -+-=

由原方程有整数解，首先必须满足222(5)42(25)940m m m ?=-??-=+为一个完全平方数，不妨

设2(0)n n ?=>，则有22940(3)(3)40m n n m n m +=?-+=，又3n m -、3n m +的奇偶性相同， 故它们必然同为偶数，则有32320n m n m -=??+=?，32032n m n m -=??+=?，32320n m n m -=-??+=-?，32032n m n m -=-??+=-?，34

310n m n m -=??

+=?

，31034n m n m -=??

+=?，31034n m n m -=-??+=-?，34

310n m n m -=-??+=-?

解得311m n =??=?，311m n =-??=?，17m n =??=?，17m n =-??=?

522

m n

±=?中检验可知，均满足题意，故1m =±或3m =±

注意，题中要求有整数解即可，没要求所有的根都是整数，要注意区分这一点．

点评：方法二看似复杂，但却是一元二次方程的整数根问题的通用解法，“希望杯”等考试中也常考到这种方法，值得引起注意．方法一看似简单，但使用起来有较多的局限性，如果无法进行因式分解，或者所分解的整数的因数过多，使用起来将很复杂． 【答案】31x m =??=?，13x m =-??=-?，31x m =-??=-?，1

3x m =??=?

【例24】 已知方程()

22

238213150

a x a a x a a --+-+=(a 是非负整数)至少有一个整数根，那么a = ．

【考点】一元二次方程的整数根 【难度】4星 【题型】填空

【关键词】

【解析】∵0a ≠，∴由公式法可得()

2212

382322a a a a x a a -++=

=-，()2222

3825

12a a a a x a a --+==-

． 即135a =，，

． 【答案】135a =，，

【例25】 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有

_______个．

【考点】一元二次方程的整数根 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】

【解析】当6k =时，得2x =；当9k =时，得3x =-，当9k ≠时，解得196x k =

-，26

9x k

=-， 当6139k -=±±±，

，时，1x 是整数，这时753153k =-，，，，；当91236k -=±±±±，，，时，2x 是整数这时10811712153k =，，

，，，，综上所述，367915k =，，，，时原方程的解为整数． 【答案】367915k =，

，，，

【例26】 设方程2(2)(3)0mx m x m --+-=有整数解，试确定整数m 的值，并求出这时方程所有的整数解． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】

【解析】若0m =，则230x -=，此时方程无整数解；

若0m ≠，∵方程有整数根，则2(2)4(3)0m m m ?=---≥，即23840m m --≤，

m ．∴m 只能取1，2，3． 当1m =时，方程有整数解2和1-； 当2m =时，方程无整数解； 当3m =时，方程有整数解0．

【答案】当1m =时，方程有整数解2和1-；

当2m =时，方程无整数解； 当3m =时，方程有整数解0．

【例27】 已知a 是正整数，且使得关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根，求

a 的值．

【考点】一元二次方程的整数根 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】

【解析】将原方程变形为2(2)2(6)x a x +=+

显然20x +≠，于是2

2(6)

(2)x a x +=+

由于a 是正整数，所以1a ≥，即

2

2(6)

1(2)x x ++≥ 所以2280x x +-≤，(4)(2)0x x +-≤， 所以42(2)x x -≠-≤≤

当4,3,1,0,1,2x =---时，得a 的值为14

1,6,10,3,

,19

，所以a 的值为1,3,6,10． 点评：从解题过程中知，当1a =时，有两个整数根4,2-；当3,6,10a =时，方程只有一个整数根．有

时候，在关于x 的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解．

【答案】1,3,6,10

【例28】 已知关于x 的方程2222(38)213150a x a a x a a --+-+= (其中a 是非负整数)至少有一个整数根，求

a 的值．

【考点】一元二次方程的整数根 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】

【解析】 “至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数

根．

因为0a ≠，所以

1,

2

x =

222

(38)(2)2a a a a a -±+=．

所以只要a 是3或5的约数即可，即1,3,5a =．

【答案】1,3,5a =

【例29】 已知b ，c 为整数，方程250x bx c ++=的两根都大于1-且小于0，求b 和c 的值． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】6星 【题型】解答

【关键词】1999年，全国联赛试题 【解析】解法1：

设方程的两根为12,x x ，由韦达定理可知，125b x x +=-，125

c

x x =，则有

由121,0x x -<<可知，1220x x -<+<，1201x x <<，则有205b -<-<，015

c

<<，

故010b <<，05c <<

由题意可知，0x =时，250x bx c c ++=>，1x =-时，25505x bx c b c b c ++=-+>?<+ 又b ，c 为整数，故09b <<，05c <<

又原方程有两个实数根，故2220020205b c b c b ?=-??≥≥≥≥ 故5,6,7,8b =，1,2,3,4c =．

当5b =时，1c =，此时满足5b c <+；

当6b =时，262001c c -?=≥，但此时由5b c <+知，1c >，矛盾； 当7b =时，272001,2c c -?=≥，又5b c <+，故2c >，矛盾；

当8b =时，282001,2,3c c -?=≥，又5b c <+，故3c >，矛盾． 综上，5b =，1c =．

另外，也可由121,0x x -<<建立不等式，121212(1)(1)0105x x x x x x b c ++>?+++>?<+! 点评：5b c <+这个隐含的结论非常重要，如果没有考虑到这一点，将会多出很多解． 解法2：

设2()5f x x bx c =++，则有

222

2

(1)505(0)020(4)62045045f b c b c f c c b c c c b c b ?

?-=-+>?<+??=>??+?+?????-????

≤≤≥≤≤

6c -≤

由韦达定理可知，01055

c

c <

，故06c <-≤1c =，5b =． 这个解题的技巧，能够避免复杂的讨论和多余的解，是一种非常好的方法！

【答案】5b =，1c =

【例30】 已知a ，b 都是正整数，试问关于x 的方程21

()02

x abx a b -++=是否有两个整数解？如果有，请求

出来；如果没有，请给出证明．

【考点】一元二次方程的整数根 【难度】6星 【题型】解答

【关键词】2007年，“数学周报”杯全国数学竞赛试题

【解析】设方程21

()02

x abx a b -++=的两个整数根为12,x x ，则有

12122

x x ab a b x x +=???+=?? 故1212124(1)(1)(21)(21)52

a b

x x x x ab x x a b +--=

-?--+--= 由a ，b 都是正整数可知，12,x x 均为正整数． 不妨设a b ≤，则 若121(1)(1)01x x x --=?=或21x =，则(21)(21)51,3a b a b --=?== 此时方程的两根为1,2．

若1212(1)(1)12x x x x --=?==，此时(21)(21)11a b a b --=?==

显然与124x x ab +==矛盾，不合题意

若12(1)(1)2x x --≥，则(21)(21)0a b --<，这显然与a ，b 都是正整数矛盾！ 故此方程的两整数根为1,2．

【答案】此方程的两整数根为1,2

【例31】 已知方程20x bx c ++=及20x cx b ++=分别各有两个整数根12,x x 及12,x x ''，且120x x >，120x x ''>．

⑴ 求证：10x <，20x <，10x '<，20x '<； ⑵ 求证：11b c b -+≤≤；

⑶ 求,b c 所有可能的值．

【考点】一元二次方程的整数根 【难度】6星 【题型】解答

【关键词】1993年，全国数学联赛试题

【解析】⑴ 由韦达定理可知，1212x x b x x c +=-??=?，1212x x c

x x b

?''+=-??''?=?

由120x x >，12

0x x ''>可知，0b >，0c >，故120x x +<，120x x ''+< 从而可知，10x <，20x <，10x '<，2

0x '< ⑵ 1111b c b c b -+?--≤≤≤≤ 12121212x x b

c b x x x x x x c +=-??-=++?

=? ……①， 12121212x x c

b c x x x x x x b

?''+=-?''''?-=++?

''?=? ……② 由121212(1)(1)101c b x x x x x x c b c b -=++?++=-+?--≥≥

1212121(1)(1)01b c x x x x b c x x c b ''''''-=++=-+=++?-≥≤ 从而可知，11b c b -+≤≤

⑶ ①+②可得，

1212121212120(1)(1)(1)(1)2x x x x x x x x x x x x ''''''+++++=?+++++=

由②可知，1 2.(1)(1)0x x ++≥，12('1)('1)0x x ++≥，又1212,,,x x x x ''均为整数可知

1212(1)(1)0(1)(1)2x x x x ++=???

''++=??，或1212(1)(1)1(1)(1)1x x x x ++=???''++=??，或1212(1)(1)2

(1)(1)0

x x x x ++=???''++=?? 此时，分别有65b c =??=?，44b c =??=?，5

6b c =??=?

【答案】⑴见解析 ⑵见解析 ⑶65b c =??=?，44b c =??=?，5

6b c =??=?

【例32】 设p q 、是两个奇整数，试证方程2220x px q ++=不可能有有理根． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】解答

【关键词】北京市数学竞赛 【解析】略

【答案】首先，方程的根不可能是奇数．事实上，若x 为奇数，则2x 为奇数，而22px q +是偶数，

因此222x px q ++取奇数值，不可能是0．

其次，方程的根不可能是偶数．事实上，若x 为偶数，则22x px +能被4整除，而这时常数项2q 被4除时余2，因此2220x px q ++≠．

最后，方程的根不可能是分数．事实上，若x 为分数，则x p +也是分数，而方程可以变为22()2x p p q +=-．等号右端的22p q -是一个整数，左端是一个分数，这是一个矛盾！

综上可知，当p q 、是两个奇整数时，方程2220x px q ++=不可能有有理根．

【例33】 试证不论n 是什么整数，方程21670s x nx -+=没有整数解，方程中的s 是任何正的奇数． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】解答

【关键词】北京市数学竞赛 【解析】略

【答案】设原方程的两根为12,x x ，则有1216x x n +=，127s x x =．

若原方程有一根是整数，则由1216x x n +=可知另一根也是整数．

因为7是质数，由127s x x =可知12x x 、可以写成如下形式127,7k h x x =±=±， 两式同时取正号或负号，k h s +=．

将127,7k h x x =±=±代入1216x x n +=得7716k h n +=±．

因为s 为奇数，所以我们不妨设k h >，并且22k h k h h s h -=+-=-仍为奇数，于是可得7(71)16h k h n -+=±．

当M 为奇数时，由恒等式1231(1)(1)M M M M x x x x x ---+=+-+-+ 可得：

123718(7771)k h k h k h k h -------+=?-+-+ ．

上式右边括号中的每一项都是奇数，并且项数k h -也是奇数，

故其代数和为奇数，将它记为m ，则由7(71)16h k h n -+=±可得7816h m n ?=±，即72h m n =±． 上式左边为奇数的积，仍为奇数，而右边是偶数，显然是不可能的． 这个矛盾证明了原方程无整数解．

【例34】 求方程33222240a b ab a b -+++=的所有整数解． 【考点】一元二次方程的整数根

【难度】5星 【题型】解答 【关键词】

【解析】解法1：

将上述方程看成一个关于2的二次方程，则222332()20a b a b ab ++?+-=

由于该方程有整数解，则22233442233()4()244a b a b ab a b a b a b ab ?=+--=++-+

442233222224442(2)a b a b a b ab a b a b ab =++-+-=--(此处参考答案中没有给出，能够直接运用

公式2222222()a b c ab bc ca a b c ++-+-=--，上述过程也可看成添项、拆项法，如下： 44223344223322222222442444()4()a b a b a b ab a b a b a b ab a b a b ab a b ++-+=+--++=--- 222224(2)a b a b ab +=--)

于是方程的两根分别为：2x b ab =--或2x a ab =-+

令22x b ab =--=，则0b ≠，2

a b b =--，由,a b 为整数，则1,2b =±±，此时3a =±

令22x a ab =-+=，则0a ≠，2

b a a

=+，由,a b 为整数，则1,2a =±±，此时3b =±．

故所有整数解为：31a b =??=-?，32a b =??=-?，31a b =-??=?，32a b =-??=?，13a b =-??=-?，23a b =-??=-?，13a b =??=?，2

3a b =??=?

解法2：

以下给出一种更好的解法：

33222222222240()2240()()2()40a b ab a b ab a b a b ab a b a b a b -+++=?-+++=?+-+++= 于是[][]()2()20a a b b a b -+++=，以下的过程同上!

可顺便讲解，[][]22()()1()1()1ab a b a b a a b b a b +-++=+-+-的因式分解．

x =2266x x x =?=?-= 22(6)6x x -=-，展开可得22422462666(21)60x x x x x x -?+=-?-+?++=

[]2

6(1)6(1)0x x x x ??-+--+=??

，故260x x +-=或250x x --=，解得2x =

(∵260x -，0x ≥，∴0x ≤也可参照例题解析中的解法(用求根公式)

当然，将22(6)6x x -=-展开后，可得4212300x x x -++=，此处介绍两种解法： 因式定理法：

观察可知，2x =是4212300x x x -++=的一个因式，然后用多项式除法或者待定系数法可得，

42322

1230(2)(2815)(2)(3)(5)

x x x x x x x x x x x -++=-+--=-+-- (∵30235=??，∴可考虑2,3,5±±±是否能使原式的值为0) 拆项添项法：

4222212322(4)(8)(2)(2)(3)(5)x x x x x x x x x x -++-=--+-=-+--

(4222212()12x x x x -=-可看成一个关于2x 的二次式，只需找一个常数即可，1248210....-=--=--=，但是考虑到分解成两个关于2x 的式子后要继续分解才能与后面的一次式提取公因式，因此只能是分解成1248-=--)

此题还有一种更妙的解法，仅供参考．

x (0)t t =≥，则原方程可化为：

22

6()(1)0

6x t x x t x t x t t ?-=?

??-+-=?-=?? 从而有，x t =，或者1x t +=，可很快求出原方程的解来． 解法3：

此题中含三次项，于是又有了另一种方法，如下： 将原方程看成一个关于a (或b )三次方程，则有

32322240ba a b a b +-++=，由三次方程的韦达定理可知

1232a a a b ++=-，2122331a a a a a a b ++=-，12342a a a b b ?

?=-+ ??

?

由此可知，1b =±，或2b =±，代回原式即可求得相应的a 的值．

由原式的特征可知，,a b 的地位对等，故还应考虑1a =±，2a =±的情况，共8组解． 此法默认方程的三个根123,,a a a 为整数，代入求出的a 可能不是整数，要注意检验！ 点评：对于一元二次方程20ax bx c ++=，我们有熟知的结论：

1212b x x a

c x x a ?

+=-???

?=??

， 对于一元三次方程320ax bx cx d +++=， 我们依然有下面的结论：

1

23121323123b x x x a

c x x x x x x a

d x x x a ?

++=-??

?

++=??

?=-??

更一般地，如果一元n 次方程11100n n n n a x a x a x a --++++=…的根是12n x x x ，，…，，那么：

11

2212131312312421012

(1)n n n n n n

n n n n n n n n n

a x x x a a x x x x x x a a x x x x x x x x x a a x x x a ------?

+++=-??

?++=??

??

++=-??

???=-????

…，…，…，…………… 以上定理确定了根与系数的关系，法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理． 【答案】31a b =??=-?，32a b =??=-?，31a b =-??=?，32a b =-??=?，13a b =-??=-?，23a b =-??=-?，13a b =??=?，2

3a b =??=?

【例35】 已知a 为整数，关于,x y 的方程组23

(2)(1)22x y a x

xy a x a +=+??=+-+?

的所有解均为整数解，求a 的值． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】

【解析】223

23

(2)(1)(1)220(1)22x y a x a x a x a xy a x a +=+??+-++-=?=+-+?

若101a a +=?=-，则2x =-，0y =，满足题意； 若101a a +≠?≠-，则由韦达定理可得

21212

111

a x x a a a ++==-+

++，332122(1)2(12)42(1)111a a x x a a a a a -+-===-+-+++ 由此可知，2

1

a +为整数，故11a +=±，或12a +=±，解之得3,2,0,1a =--

当3a =-时，2210560x x ---=，方程无整数解； 当2a =-时，25180x x ---=，方程无整数解；

当0a =时，220x x --=，此时12x =，21x =-，对应的12y =，21y =-；

当1a =时，2220x x -=，此时10x =，21x =，对应的10y =，22y =．

【答案】0a =或1a =

【例36】 求方程223

7

x y x xy y +=-+的所有正整数解．

【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】

【解析】原方程可化为关于x 的一元二次方程223(37)370x y x y y -++-=．

由于x 为实数，则判别式不小于0，即[]2

2(37)43(37)0y y y ?=-+-?-≥． 化简得227126490y y --≤

y ． 由于y 是正整数，则y 只能取1,2,3,4,5．分别将1,2,3,4,5y =代入原方程，

得原方程的两组正整数解为11

45x y =??=?，225

4x y =??=?．

【答案】11

45x y =??=?，225

4x y =??=?

【例37】 求所有的整数对(,)x y ，使32232244447x x y xy y x xy y -+-=-++． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】

【解析】322322222244447()()4()47x x y xy y x xy y x y x y x y xy -+-=-++?+-=+-+

不妨设x y a -=，xy b =，则有2222()22x y x y xy a b +=-+=+，上式可变为： 22(2)4()47a b a a b +=++ ……①，

整理可得322(2)447a b a a -=-++

若2a =，代入①式可得，48463b b +=+，无解，故2a ≠

故32244755

22422a a b a a a a -++==-+++

-- ……②(多项式除法) 从而可知，55

2

a -为整数，故21,5,11,55a -=±±±±，即3,1,7,3,13,9,57,53a =---

代回②式检验可知，当3a =时，28b =，此时(,)(7,4),(4,7)x y =--； 当7a =时，10b =-，此时(,)(5,2),(2,5)x y =--； 当1,3,13,9,57,53a =---时，方程无实根，不合题意

综上所述，所求的所有的整数解为(,)(7,4),(4,7),(5,2),(2,5)x y =----．

【答案】(,)(7,4),(4,7),(5,2),(2,5)x y =----

【例38】 设m 是不为零的整数，关于x 的二次方程2(1)10mx m x --+=有有理根，求m 的值． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】

【解析】一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令

22(1)4m m n ?=--=，

其中n 是非负整数，于是2261m m n -+=，所以22(3)8m n --=， 由于33m n m n -+--≥，并且(3)(3)8m n m n -+--=是偶数， 所以3m n -+与3m n --同奇偶，所以

3432m n m n -+=??

--=?

，或32

34m n m n -+=-??--=-?． 所以61m n =??=?，或01m n =??=?

(舍去)．

所以6m =，这时方程的两个根为12，1

3

．

点评：一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．

【答案】6m =

【例39】 当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是

整数．

【考点】一元二次方程的整数根 【难度】4星 【题型】解答

【关键词】2008年，西城区， 初三抽样试题

【解析】由题意可知，方程2440mx x -+=的判别式21(4)1616(1)01m m m ?=--=-?≥≤

方程2244450x mx m m -+--=的判别式为 222(4)4(445)4(45)0m m m m ?=---=+≥

故5

4

m -≥，又m 为整数，0m ≠，故1m =-或1m =

当1m =时，题干中的两个方程分别为2440x x -+=、2450x x --=，满足题意； 当1m =-时，题干中的两个方程分别为2440x x +-=、2430x x ++=，不合题意．

故1m =．也可通过方程是否有整数根的条件来判断出1m =，此时两个判别式都要是完全平方数．

【答案】1m =

【例40】 a 是正整数，关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数

根．

【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】解答

【关键词】2007年，全国联赛试题

【解析】356172=??，故可考查1,2,7x =±±±是否原方程的根，发现1x =是原方程的根，

于是可设322(17)(38)56(1)(56)18x a x a x x x bx b a +++--=-++?=+

由原方程的根均为整数可知，22

5656

(18)56018(0)x x a x a x x x x

++++=?+=-=--≠

由a 是正整数可知，56

18x x

-->，从而可知，28x =-，或56x =-，或1x =-，2x =-

此时对应的12a =或39a =．

【答案】12a =或39a =

【例41】 已知,a b 是实数，关于,x y 的方程组

32y x ax bx

y ax b

?=--?

=+?有整数解(,)x y ，求,a b 满足的关系式． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】解答

【关键词】2004年，“信利杯”全国初中数学竞赛

【解析】32333()(1)y x ax bx x x ax b x xy y x x =--=-+=-?+=

若10x +=，则1y a b

y a b

=--+??=-+?，显然无解，故1x ≠-，则有

321

111

x y x x x x ==-+-

++ 由,x y 均为整数可知，110x x +=±?=，或2x =-． 从而可得，280a b -+=或0b =(a 为任意实数)．

【答案】280a b -+=或0b =(a 为任意实数)

【例42】 已知p 为质数，使二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数，求出所有可能的p 的值． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】解答

【关键词】2002年，上海市，初中数学竞赛

【解析】由于这个整系数一元二次方程有整数根，所以

()()224451451p p p p ?=---=+

是完全平方数，从而51p +是完全平方数．令 251p n +=，n 是整数，

则()()511p n n =-+．

所以，()()5|11n n -+，即5|1n -或5|1n +．

若5|1n -，令15n k -=，则()52p k k =+，由于p 是质数，故1k =，7p =，此时方程为214130x x -+=，11x =，213x =满足条件．

若5|1n +，令15n k +=，则()52p k k =-，故1k =，3p =，此时方程为2670x x --=，11x =-，27x =满足条件．

综上所述，所求的质数p 为3或7．

【答案】3或7

【例43】 设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实

数k 的值．

【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】解答

【关键词】2000年，全国联赛

【解析】22222(264)4(4)(68)4(6)k k k k k k ?=-----+=-

由求根公式得222642(6)

2(68)

k k k x k k -++±-=-+

即 1224

1,142

x x k k =--=--

-- 由于x≠-1，则有1224

4,211

k k x x -=--=-++ 两式相减，得

1224

211

x x -=++ 即 12(3)2x x +=-

由于x 1，x 2是整数，故可求得122,4x x ==-或122,2x x =-=-或121,5x x ==-

分别代入，易得k =10

3

，6，3．

【答案】10

3

，6，3

一元二次方程公共根

一元二次方程公共根问题 若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题， 两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤： 1.设公共根为α，则α同时满足这两个一元二次方程； 2.用加减法消去α2的项，求出公共根或公共根的有关表达式； 3.把共公根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式． 一、公共根问题 二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根． 二、整数根问题 对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ?=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质． 方程有整数根的条件： 如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件： ⑴ 2?= ⑵ 2b ak -=或2b ak --，其中k 为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可． 另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数) 三、方程根的取值范围问题 先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围 1 已知一元二次方程x 2-4x +k =0有两个不相等的实数根， (1)求k 的取值范围． (2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个相同的根，求此时m 的值． 2 若两个关于x 的方程x 2+x +a =0与x 2+ax +1=0只有一个公共的实数根，求a 的值 3 已知a ＞2，b ＞2，试判断关于x 的方程x 2-（a +b ）x +ab =0与x 2-abx +（a +b ）=0有没有公共根，请说明理由． 4求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根． 5二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和 222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求a b b a b a a a --++的值

一元二次方程及根的定义

一元二次方程及根的定 义 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

一元二次方程及根的定义 1.已知关于的方程的一个根为2，求另一个根及 的值. 思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一个根即可. 解：将代入原方程，得 即 解方程，得 当时，原方程都可化为 解方程，得. 所以方程的另一个根为4，或-1. 总结升华：以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住“根”的概念，并以此为突破口. 举一反三： 【变式1】已知一元二次方程的一个根是，求代数式 的值. 思路点拨：抓住为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题. 解：因为是方程的一个根, 所以, 故, , 所以.

. 总结升华：“方程”即是一个“等式”，在“等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验. 类型二、一元二次方程的解法 2.用直接开平方法解下列方程： (1)3-27x2=0； (2)4(1-x)2-9=0. 解：(1)27x2=3 . (2)4(1-x)2=9 3.用配方法解下列方程： (1)；(2). 解：(1)由， 得， ，

， 所以， 故. (2)由， 得， ， ， 所以 故 4.用公式法解下列方程： (1)；(2)；(3). 解：(1)这里 并且 所以， 所以，. (2)将原方程变形为， 则 ， 所以，

所以. (3)将原方程展开并整理得， 这里， 并且， 所以. 所以. 总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握，它对我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材. 5.用因式分解法解下列方程： (1)；(2)； (3). 解：(1)将原方程变形为， 提取公因式，得， 因为，所以 所以或， 故 (2)直接提取公因式，得 所以或，(即 故. (3)直接用平方差公式因式分解得

一元二次方程经典测试题(附答案解析)

. . . 一元二次方程测试题 考试范围：一元二次方程；考试时间：120分钟；命题人：瀚博教育 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1．方程x（x﹣2）=3x的解为（） A．x=5 B．x1=0，x2=5 C．x1=2，x2=0 D．x1=0，x2=﹣5 2．下列方程是一元二次方程的是（） A．ax2+bx+c=0 B．3x2﹣2x=3（x2﹣2）C．x3﹣2x﹣4=0 D．（x﹣ 1）2+1=0 3．关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（） A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．3 4．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x，则下列方程中正确的是（） A．12（1+x）=17 B．17（1﹣x）=12 C．12（1+x）2=17 D．12+12（1+x）+12（1+x）2=17 5．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（） A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟 6．某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的长为x 米，可列方程为（） A．x（x+12）=210 B．x（x﹣12）=210 C．2x+2（x+12）=210 D．2x+2（x﹣12）=210 7．一元二次方程x2+bx﹣2=0中，若b＜0，则这个方程根的情况是（） A ．有两个正根B．有一正根一负根且正根的绝对值大 C．有两个负根D．有一正根一负根且负根的绝对值大 8．x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，若恰x12+x1x2+x22=2k2成立，k的值为（） A．﹣1 B．或﹣1 C．D．﹣或1 9．一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情况是（） A．有两个正根B．有两个负根 C．有一正根一负根且正根绝对值大D．有一正根一负根且负根绝对值大 10．有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a﹣c≠0，以下列四个结论中，错误的是（） A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根 B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同 C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1 11．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（） A．7 B．11 C．12 D．16

中考试题一元二次方程的整数根

学科：数学 专题：一元二次方程整数根 主讲教师：黄炜 北京四中数学教师 重难点易错点辨析 在解决整数根问题时，还是不要忽略了对二次项系数的讨论。 题一 题面：关于x 的方程()21210a x x a -+--=的根都是整数，求符合条件的a 的整数值. 金题精讲 题一 题面：已知关于x 的一元二次方程x 2+2x +2k -4=0有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围； (2)若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值. 判别式，考虑参数范围 满分冲刺 题一 题面：已知，关于x 的一元二次方程222(23)41480x m x m m --+-+= ⑴若0m >，求证：方程有两个不相等的实数根； ⑵若1240m <<的整数，且方程有两个整数根，求m 的值． 判别式，整数根

题二 题面：已知关于x 的一元二次方程x 2+(m +3)x +m +1=0. （1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）当m 为何整数时，原方程的根也是整数. 判别式，整数根 讲义参考答案 重难点易错点辨析 题一 答案：当1a =时，1x =； 当1a ≠时，122111 x x a ==-- -，（分离常数）， a ∵为整数 1023a =-∴，，， 综上，a 的整数值为10123-，，，，. 金题精讲 题一 答案：(1)52 k <；(2)k =2. 满分冲刺 题一 答案：⑴证明：[]2 2=2(23)4(4148)84m m m m ?----+=+ ∵0m >， ∴840m +>. ∴方程有两个不相等的实数根． ⑵(23)x m - 且m 为整数． 又∵1240m <<， ∴252181.m <+< ∴5． 21m +∵为奇数， 7= ∴24m =．

一元二次方程根的分布情况归纳总结

一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00??? -??? ->??f 综 合结论（不讨论 a ） ()00200b a a f ?>???-?? ()0 0200 b a a f ?>???->???>?? ()00

分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0??? -??? ->??k f 综 合结论（不讨论 a ） ()020b k a a f k ?>??? - ?? ()0 20 b k a a f k ?>??? - >???>?? ()0

一元二次方程经典测试题(附答案解析)复习过程

一元二次方程测试题 考试范围： 一元二次方程；考试时间：120分钟；命题人：瀚博教育 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1．方程x （x ﹣2）=3x 的解为（ ） A ．x=5 B ．x 1=0，x 2=5 C ．x 1=2，x 2=0 D ．x 1=0，x 2=﹣5 2．下列方程是一元二次方程的是（ ） A ．ax 2+bx+c=0 B ．3x 2﹣2x=3（x 2﹣2） C ．x 3﹣2x ﹣4=0 D ．（x ﹣ 1）2+1=0 3．关于x 的一元二次方程x 2+a 2﹣1=0的一个根是0，则a 的值为（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．1或﹣1 D ．3 4．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x ，则下列方程中正确的是（ ） A ．12（1+x ）=17 B ．17（1﹣x ）=12 C ．12（1+x ）2=17 D ．12+12（1+x ）+12（1+x ）2=17 5．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=8cm ，BC=6cm ．动点P ，Q 分别从点A ，B 同时开始移动，点P 的速度为1cm/秒，点Q 的速度为2cm/秒，点Q 移动到点C 后停止，点P 也随之停止运动．下列 时间瞬间中，能使△PBQ 的面积为15cm 2的是（ ） A ．2秒钟 B ．3秒钟 C ．4秒钟 D ．5秒钟 6．某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的长为x 米，可列方程为（ ） A ．x （x+12）=210 B ．x （x ﹣12）=210 C ．2x+2（x+12）=210 D ．2x+2（x ﹣12）=210 7．一元二次方程x 2+bx ﹣2=0中，若b ＜0，则这个方程根的情况是（ ） A ．有两个正根 B ．有一正根一负根且正根的绝对值大 C ．有两个负根 D ．有一正根一负根且负根的绝对值大 8．x 1，x 2是方程x 2+x+k=0的两个实根，若恰x 12+x 1x 2+x 22=2k 2成立，k 的值为（ ） A ．﹣1 B ．或﹣1 C ． D ．﹣或1 9．一元二次方程ax 2+bx+c=0中，若a ＞0，b ＜0，c ＜0，则这个方程根的情况是（ ） A ．有两个正根 B ．有两个负根 C ．有一正根一负根且正根绝对值大 D ．有一正根一负根且负根绝对值大 10．有两个一元二次方程：M ：ax 2+bx+c=0；N ：cx 2+bx+a=0，其中a ﹣c ≠0，以下列四个结论中，错误的是（ ） A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根 B ．如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同 C ．如果5是方程M 的一个根，那么是方程N 的一个根 D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是x=1 11．已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx+t 2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（ ） A ．7 B ．11 C ．12 D ．16

一元二次方程测试题及答案.doc

一元二次方程测试 姓名学号 一、选择题(每题 3 分,共 30 分)： 1.下列方程中不一定是一元二次方程的是 ( ) A.(a-3)x 2 =8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0 C.(x+3)(x-2)=x+5 D. 3x2 3 x 2 0 57 2 下列方程中 , 常数项为零的是 ( ) A.x 2+x=1 B.2x 2 -x-12=12 ； C.2(x 2-1)=3(x-1) D.2(x 2+1)=x+2 3. 一元二次方程2x2 -3x+1=0 化为 (x+a) 2=b 的形式 , 正确的是( ) 2 2 1 ;C. 2 1 ; A. x 3 16; B. 2 x 3 x 3 2 4 16 4 16 D.以上都不对 4. 关于x的一元二次方程 a 1 x2 x a2 1 0 的一个根是 0，则 a 值为（） A、 1 B 、 1 C 、1或 1 D 、1 2 5.已知三角形两边长分别为2 和 9, 第三边的长为二次方程 x2-14x+48=0 的一根 , 则这个三角形的周长为 ( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 6.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 2x2 8x 7 0 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（） A、 3 B 、3 C 、6 D 、9 7. 使分式 x 2 5x 6 的值等于零的 x 是( ) x 1 A.6 B.-1 或 6 C.-1 D.-6 8.若关于 y 的一元二次方程 ky2-4y-3=3y+4 有实根 , 则 k 的取值 范围是 ( ) A.k>- 7 B.k ≥ - 7 且 k ≠ 0 C.k ≥ - 7 D.k> 7 4 4 4 且 k≠ 0 4 9. 已知方程x2 x 2 ，则下列说中，正确的是（） （A）方程两根和是 1 （B）方程两根积是 2 （C）方程两根和是 1 （D）方程两根积比两根和大2 10.某超市一月份的营业额为200 万元, 已知第一季度的总营业 额共 1000 万元 , 如果平均每月增长率为 x, 则由题意列方程应 为( ) A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000 C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+ (1+x) 2]=1000 1

5[1].4.4一元二次方程的公共根与整数根.题库学生版

内容 基本要求 略高要求 较高要求 一元二次方程 了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义 能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值 一元二次方程的解法 理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据 能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况 能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题 一、公共根问题 二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的 值和公共根． 二、整数根问题 对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ?=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质． 方程有整数根的条件： 如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件： ⑴ 24b ac ?=-为完全平方数； ⑵ 242b b ac ak -+-=或242b b ac ak ---=，其中k 为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可． 另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数) 三、方程根的取值范围问题 先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围． 知识点睛 中考要求 一元二次方程的公共根与整数根

初三数学培优之一元二次方程的整数根

初三数学培优之一元二次方程的整数根 阅读与思考 解一元二次方程问题时，我们不但需熟练地解方程，准确判断根的个数、符号特征、存在范围，而且要能深入地探讨根的其他性质，这便是大量出现于各级数学竞赛中的一元二次方程的整数根问题。这类问题因涵盖了整数的性质、一元二次方程的相关理论，融合了丰富的数学思想方法而备受命题者的青睐.. 解整系数（即系数为整数）一元二次方程的整数根问题的基本方法有： 1．直接求解 若根可用有理式表示，则求出根，结合整除性求解. 2．利用判别式 在二次方程有根的前提下，通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举讨论、不等分析求解 3．运用根与系数的关系 由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解. 4．巧选主元 若运用相关方法直接求解困难，可选取字母为主元，结合整除知识求解. 例题与求解 【例1】 已知关于x 的方程032)1280()8)(4(2 =+----x k x k k 的解都是整数，求整数k 的值. （绍兴市竞赛试题） 解题思路：用因式分解法可得到根的表达式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定k 的值才能全面而准确. 【例2】 q p ,为质数且是方程0132 =+-m x x 的根，那么 q p p q +的值是（ ） A ．22121 B ．22123 C ．22125 D ．22 127 （黄冈市竞赛试题） 解题思路：设法求出q p ,的值，由题设条件自然想到根与系数的关系

【例3】 关于y x ,的方程2922 2=++y xy x 的整数解),(y x 的组数为（ ） A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．无穷多组 解题思路：把2922 2 =++y xy x 看作关于x 的二次方程，由x 为整数得出关于x 的二次方程的根的判别式是完全平方数，从而确定y 的取值范围，进而求出x 的值. 【例4】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2 =-+++r x r rx 有根且只有整数根. （全国初中数学联赛试题） 解题思路：因方程的类型未确定，故应分类讨论. 当0≠r 时，由根与系数的关系得到关于r 的两个不等式，消去r ，先求出两个整数根. 【例5】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数. （全国初中数学联赛试题） 解题思路：设前后两个两位数分别为y x ,，99,10≤≥y x ，则y x y x +=+100)(2 ，即 0)()50(222=-+-+y y x y x ，于是将问题转化为求一元二次方程有理根、整数根的问题. 【例6】 试求出所有这样的正整数解a ，使得二次方程0)3(4)12(22 =-+-+a x a ax 至少有一个整数根. （“祖冲之杯”竞赛试题） 解题思路：本题有两种解法. 由于a 的次数较低，可考虑“反客为主”，以a 为元，以x 为已知数整理成一个关于a 的一元一次方程来解答；或考虑因方程根为整数，故其判别式为平方式.

一元二次方程求根公式

一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式

法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，

最新一元二次方程经典测试题(含答案)

更多精品文档 一元二次方程测试题 考试范围： 一元二次方程；考试时间：120分钟；命题人：瀚博教育 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1．方程x （x ﹣2）=3x 的解为（ ） A ．x=5 B ．x 1=0，x 2=5 C ．x 1=2，x 2=0 D ．x 1=0，x 2=﹣5 2．下列方程是一元二次方程的是（ ） A ．ax 2+bx +c=0 B ．3x 2﹣2x=3（x 2﹣2） C ．x 3﹣2x ﹣4=0 D ．（x ﹣1）2+1=0 3．关于x 的一元二次方程x 2+a 2﹣1=0的一个根是0，则a 的值为（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．1或﹣1 D ．3 4．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x ，则下列方程中正确的是（ ） A ．12（1+x ）=17 B ．17（1﹣x ）=12 C ．12（1+x ）2=17 D ．12+12（1+x ）+12（1+x ）2=17 5．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=8cm ，BC=6cm ．动点P ，Q 分别从点A ， B 同时开始移动，点P 的速度为1cm/秒，点Q 的速度为2cm/秒，点Q 移动到点 C 后停止，点P 也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ 的面积为15cm 2的是（ ） A ．2秒钟 B ．3秒钟 C ．4秒钟 D ．5秒钟 6．某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的长为x 米，可列方程为（ ） A ．x （x +12）=210 B ．x （x ﹣12）=210 C ．2x +2（x +12）=210 D ．2x +2（x ﹣12）=210 7．一元二次方程x 2+bx ﹣2=0中，若b ＜0，则这个方程根的情况是（ ） A ．有两个正根 B ．有一正根一负根且正根的绝对值大 C ．有两个负根 D ．有一正根一负根且负根的绝对值大 8．x 1，x 2是方程x 2+x +k=0的两个实根，若恰x 12+x 1x 2+x 22=2k 2成立，k 的值为（ ） A ．﹣1 B ．或﹣1 C ． D ．﹣或1 9．一元二次方程ax 2+bx +c=0中，若a ＞0，b ＜0，c ＜0，则这个方程根的情况是（ ） A ．有两个正根 B ．有两个负根 C ．有一正根一负根且正根绝对值大 D ．有一正根一负根且负根绝对值大 10．有两个一元二次方程：M ：ax 2+bx +c=0；N ：cx 2+bx +a=0，其中a ﹣c ≠0，以下列四个结论中，错误 的是（ ） A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根 B ．如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同 C ．如果5是方程M 的一个根，那么是方程N 的一个根 D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是x=1 11．已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx +t 2﹣2t +4=0的两实数根，则（m +2）（n +2）的最小值是（ ） A ．7 B ．11 C ．12 D ．16 12．设关于x 的方程ax 2+（a +2）x +9a=0，有两个不相等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么实数 a 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（共8小题，每题3分，共24分） 13．若x 1，x 2是关于x 的方程x 2﹣2x ﹣5=0的两根，则代数式x 12﹣3x 1﹣x 2﹣6的值是 ． 14．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+ax ﹣2b=0的两实数根，且x 1+x 2=﹣2，x 1?x 2=1，则b a 的值是 ． 15．已知2x |m |﹣2+3=9是关于x 的一元二次方程，则m= ． 16．已知x 2+6x=﹣1可以配成（x +p ）2=q 的形式，则q= ． 17．已知关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣3x +1=0有两个不相等的实数根，且关于x 的不等式组 的解集是x ＜﹣1，则所有符合条件的整数m 的个数是 ． 18．关于x 的方程（m ﹣2）x 2+2x +1=0有实数根，则偶数m 的最大值为 ．

一元二次方程根的差别式

典型例题一 例 求证：如果关于x 的方程922+=+m x x 没有实数根，那么，关于y 的方程0522=+-+m my y 一定有两个不相等的实数根. 分析：由已知，可根据一元二次方程的根的判别式证之. 证明 设方程922+=+m x x 即0922=--+m x x 的根的判别式为1?，方程 0522=+-+m my y 的根的判别式为2?，则 . 36)4( 208)25(4. 440)9(42222221-+=-+=--=?+=++=?m m m m m m m ∵方程922+=+m x x 无实数根， 01+∴m ，即036)4(2>-+m . 故方程0522=+-+m my y 有两个不相等的实数根. 说明：上述证明中，判定02>?用到了01

分析：运用根的判别式判定根的情况时，要首先把方程变形为一元二次方程的一般形式，然后从求出的判别式的值来判定根的判别式的符号，尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“?”化成完全平方式或完全平方式加上（或减去）一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“?”的符号，从而判定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论.这是不解方程判别根的情况的关键. 解：（1）),1(4,2,1-=-==k c k b a )1(414)2(422-??--=-=?∴k k ac b )2(4)44(416 16422 2≥-=+-=+-=k k k k k ∴方程有两个实数根. （2）0≠a ， ∴方程02=+bx ax 是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项，将常数项看作零. ∴2204b a b =?-=?. ∴不论b 取任何实数，2b 均为非负数， 02≥=?b 恒成立. ∴方程有两个实数根. （3）0≠a ， ∴方程02=+c ax 是缺少一次项的不完全的一元二次方程，它的一次项系数0=b . ac a 40402-=?-=?， ∴需要讨论a 、c 的符号，才能确定?的符号. 当0=c 时，0=?，方程有两个相等的实数根； 当a 、c 异号时，0>?，方程有两个不相等的实数根； 当a 、c 同号时，0

一元二次方程试题及答案

一元二次方程试题 （时间： 90分钟，满分：120分） （班级：_____ 姓名：_____ 得分：_____） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程2x 2 －3x －4＝0的二次项系数是 （ ） A. 2 B. －3 C. 4 D. －4 2．把方程(x ＋(2x －1)2＝0化为一元二次方程的一般形式是 （ ） A ．5x 2－4x －4＝0 B ．x 2－5＝0 C ．5x 2－2x ＋1＝0 D ．5x 2－4x ＋6＝0 3．方程x 2－2x-3＝0经过配方法化为(x ＋a)2＝b 的形式，正确的是 （ ） A ．()412 =-x B ．()412=+x C ．()1612=-x D ．()1612=+x 4．方程()()121+=-+x x x 的解是 （ ） A ．2 B ．3 C ．-1,2 D ．-1,3 5．下列方程中，没有实数根的方程是 （ ） A ．212270x x -+= B ．22320x x -+= C ．223410x x +-= D ．2230x x k --=（k 为任意实数） 6．一个矩形的长比宽多2 cm ，其面积为2cm 8，则矩形的周长为 （ ） A ．12 cm B ．16 cm C ．20 cm D ．24 cm 7．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x ，根据题意列方程得 （ ） A.168（1+x ）2=128 B.168（1﹣x ）2 =128 C.168（1﹣2x ）=128 D.168（1﹣x 2）=128 8．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数比十位数大3，则这个两位数为 （ ） A ．25 B ．36 C ．25或36 D ．－25或－36 9．从一块正方形的木板上锯掉2 m 宽的长方形木条，剩下的面积是48㎡，则原来这块木板的面积是 （ ） A ．100㎡ B ．64㎡ C ．121㎡ D ．144㎡ 10．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程216600x x -+=的一个实 数根，则该三角形的面积是 （ ） A ．24 B ．24或 C ．48 D ． 二、填空题（每小题4分，共32分）

一元二次方程根与系数的关系各种类型题及训练

一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练 一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。 例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？ 分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。 解：∵方程（1）有两个不相等的实数根， ∴ 解得； ∵方程（2）没有实数根， ∴ 解得； 于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是 其中，的整数值有或 当时，方程（1）为，无整数根； 当时，方程（1）为，有整数根。 解得： 所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。 总结：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出 ，这也正是解答本题的基本技巧。 二、判别一元二次方程两根的符号。 例1：不解方程，判别方程两根的符号。

分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若 判定根的正负，则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。 解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0 ∴方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个根为， ∵＜0 ∴原方程有两个异号的实数根。 总结：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。 三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。 例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。 分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。 解法一：把代入原方程，得： 即 解得 当时，原方程均可化为： ，

一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） a

根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧 12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）0a >时，()()00f m f n ???>?? 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况： 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n

一元二次方程测试题(含答案)

一元二次方程测试题 一、填空题:（每题2分共50分） 1.一元二次方程(1－3x )(x +3)=2x 2 +1 化为一般形式为： ，二次项系数 为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。 2.若m 是方程x 2 +x －1＝0的一个根，试求代数式m 3 +2m 2 +2013的值为 。 3.方程 ()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 4.关于x 的一元二次方程()0422 2=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 5.若代数式5242 --x x 与122 +x 的值互为相反数，则x 的值是 。 6.已知322-+y y 的值为2，则1242 ++y y 的值为 。 7.若方程()112 =?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 8.已知关于x 的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 必有一根为 。 9.已知关于x 的一元二次方程x 2 +bx+b ﹣1=0有两个相等的实数根，则b 的值是 。 10.设x 1，x 2是方程x 2 ﹣x ﹣2013=0的两实数根，则 = 。 11.已知x=﹣2是方程x 2 +mx ﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是 。 12.若 ，且一元二次方程kx 2 +ax+b=0有两个实数根，则k 的取值范 围是 。 13.设m 、n 是一元二次方程x 2 ＋3x －7＝0的两个根，则m 2 ＋4m ＋n ＝ 。 14.一元二次方程（a+1）x 2 -ax+a 2 -1=0的一个根为0，则a= 。 15.若关于x 的方程x 2 +（a ﹣1）x+a 2 =0的两根互为倒数，则a = 。 16.关于x 的两个方程x 2 ﹣x ﹣2=0与有一个解相同，则a = 。 17.已知关于x 的方程x 2 ﹣（a+b ）x+ab ﹣1=0，x 1、x 2是此方程的两个实数根，现 给出三个结论：①x 1≠x 2；②x 1x 2＜ab ；③．则正确结论的序号 是 ．（填上你认为正确结论的所有序号） 18.a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项，且满足1-a +(b －2)2 +|a+b+c|=0，

一元二次方程公共根问题

一元二次方程公共根问题 1、若两个关于x的方程x2+x+a=0与x2+ax+1=0只有一个公共的实数根，求a的值 解：设两个方程的公共根为α，则有α2+α+a=0 ① α2+aα-1=0 ② ①-②得（1-a）α+a-1=0，即（1-a）（α-1）=0因为只有一个公共根，所以a≠1，所以α=1把α=1代入x2+x+a=0得12+1+a=0，a=-2 解：两个方程相减，得：x+a-ax-1=0，整理得：x（1-a）-（1-a）=0，即（x-1）（1-a）=0，若a-1=0，即a=1时，方程x2+x+a=0和x2+ax+1=0的b2-4ac都小于0，即方程无解；故a≠1，∴公共根是：x=1．把x=1代入方程有：1+1+a=0∴a=-2． 2、若两个方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0只有一个公共根，则（） A．a=b B．a+b=0 C．a+b=1 D．a+b=-1 3、关于x的方程x2+bx+1=0与x2-x-b=0有且只有一个公共根，求b的值． 解：设方程的公共根为x=t， 则 t2+bt+10 (1) t2?t?b＝0 (2) ， 由（2）得b=t2-t （3）将（3）代入（1）得：t3+1=0，解得，t=-1，当t=-1时，b=2． 4、已知关于x的方程x2+x-3m=0与x2-mx+3=0只有一个相同的实数根，求m的值．解：将方程x2+x-3m=0和x2-mx+3=0组成方程组得， x2+x?3m＝0 x2?mx+3＝0 ， 解得x=3，m=4． 4、若方程x2+mx+1=0和方程x2-x-m=0有一个相同的实数根，则m的值为（）A．2 B．0 C．-1 D．无法确定

一元二次方程整数根问题的几种思维策略

一元二次方程整数根问题的几种思维策略 一、利用判别式 例1. 当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+= 与2244450x mx m m -+--=的根都是整数。 解：∵方程2440mx x -+=有整数根， ∴⊿=16-16m ≥0，得m ≤1 又∵方程2244450x mx m m -+--=有整数根 ∴⊿=16m 2－4(4m 2－4m －5) ≥0 得54m ≥- . 综上所述，54 -≤m≤1 ∴x 可取的整数值是－1，0，1 当m=－1时，方程为－x 2-4x+4=0 没有整数解，舍去。 而m≠0 ∴ m=1 23.（东城） 已知关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=，0,0>>b a . （1）若方程有实数根，试确定a ，b 之间的大小关系； （2）若a ∶b 1222x x -=，求a ，b 的值； （3）在（2）的条件下，二次函数222y x ax b =++的图象与x 轴的交点为A 、C （点A 在点C 的左 侧），与y 轴的交点为B ，顶点为D .若点P （x ，y ）是四边形ABCD 边上的点，试求3x －y 的最大值. 解：(1) ∵ 关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实数根, ∴ Δ=,04)2(2 2≥-b a 有a 2－b 2≥0，（a+b ）（a-b ）≥0. ∵ 0,0>>b a , ∴ a+b ＞0,a －b ≥0. ∴ b a ≥. …………………………2分

（2） ∵ a ∶b ， ∴ 设2,a k b ==(k ＞0). 解关于x 的一元二次方程22430x kx k ++=， 得 -3x k k =-或. 当12,= -3x k x k =-时，由1222x x -=得2k =. 当123,= -x k x k =-时，由1222x x -=得25 k =- （不合题意，舍去）. ∴ 4,a b ==. …………………………5分 （3） 当4,a b ==2812y x x =++与x 轴的交点为、C 的交点坐标分别为A （－6，0）、（－2，0），与y 轴交点坐标为（0，12），顶点坐标D 为（－4，－4）. 设z ＝3x －y ，则3y x z =-. 画出函数2 812y x x =++和3y x =的图象，若直线3y x =平行移动时，可以发现当直线 经过点C 时符合题意，此时最大z 的值等于－6 ……………7分 二、利用求根公式 例2．设关于x 的二次方程2222 (68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数， 求满足条件的所有实数k 的值。 解：△=(2k 2-6k-4)2-4(k 2-4)(k 2-6k+8)=4(k-6)2 由求根公式得222642(6)2(68) k k k x k k -++±-=-+ 即 12241,142 x x k k =--=---- 只有当x≠－1时，则有12244,211k k x x -=- -=-++ 两式相减，得 1224211x x -=++, 去分母，整理得 12(3)2x x +=-