2019北京市第八一学校高二(上)期中数学

2019-2020学年北京市八一学校高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}2R 9M x x =∈≤，{}4,2,3P =--，则M P ⋂=（ ）A ．PB ．()2,3-C ．[]2,3-D ．{}2,3-【答案】D【解析】先化简集合M ，再根据交集运算求解M P I . 【详解】因为29x ≤，所以33x -≤≤，又因为{}4,2,3P =--，所以M P ⋂={}2,3-. 故答案为：D. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，化简集合为最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.2．如果0a <，01b <<，那么下列不等式中正确的是（ ） A ．2a ab ab << B ．2ab a ab <<C ．2a ab ab <<D ．2ab ab a <<【答案】C【解析】利用01b <<先确定201b b <<<，再利用不等式的性质求解. 【详解】因为01b <<，所以201b b <<<， 因为0a <，所以2ab ab a >>. 故选：C. 【点睛】本题主要考查不等式的性质，不等式两边同乘一个负数，不等号要改变，侧重考查逻辑推理的核心素养.3．已知a 、b 、c 、d 的等比数列，则22a bc d +=+（ ）A ．1B ．12C ．14D ．18【答案】B【解析】先根据a 、b 、c 、d2,2c a d b ==，代入可求. 【详解】因为a 、b 、c 、d的等比数列，所以2,2c a d b ==， 所以2212422a b a b c d a b ++==++.故选：B. 【点睛】本题主要考查等比数列的运算，明确项之间的关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1354a a +=，2452a a +=，是55S a =（ ） A ．5 B ．-5C ．2.5D ．-2.5【答案】C【解析】根据条件先求解首项和公差，结合求和公式及通项公式可求. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1354a a +=，2452a a +=，所以24132143524a a a a a a a a d +--=-+-==，即58d =.由1315224a a a d +=+=可得10a =，所以515425524S a d ⨯=+=，51542a a d =+=. 所以5552S a =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查等差数列基本量的运算，熟记求和公式及通项公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.5．已知直线l 经过()1,0-，()0,1两点，且与曲线()y f x =切于点()2,3A ，则函数()y f x =在2x =处的导数值为（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2【答案】C【解析】先求解曲线的切线方程，结合导数的几何意义可得. 【详解】因为直线l 经过()1,0-，()0,1两点，所以直线l 的方程为10x y -+=，又直线l 与曲线()y f x =切于点()2,3A ，所以()y f x =在2x =处的导数值等于直线l 的斜率1.故选：C. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，切点处的导数值等于切线的斜率，这是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.6．已知数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，且2n S n λ=+.若数列{}n a 为递增数列，则实数λ的取值范围为（ ） A ．1λ< B ．2λ< C ．3λ< D ．4λ<【答案】B【解析】先根据条件求解通项公式，然后递增数列的特点求解λ的取值范围. 【详解】当1n =时，111a S λ==+；当2n ≥时，()122121n n n a n n S S n λλ-=-=-=-+--， 因为120n n a a --=>，所以当2n ≥时，数列{}n a 为递增数列. 若数列{}n a 为递增数列，只需21a a >，所以31λ>+，即2λ<. 故选：B. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解和数列的单调性，由n S 求解n a 时，公式1(2)n n n a S S n -=-≥是关键，侧重考查数学运算的核心素养.7．若x R ∃∈，2211x m x x +≥++成立，则自然数m 的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】把条件x R ∃∈，2211x m x x +≥++成立，转化为求解2211x y x x +=++的最大值来进行求解. 【详解】当0x =时，有1m £；当0x ≠时，222221*********x x x x x x x x x x x x x+++-==-=-++++++++. 因为0x >时，12x x+≥，所以2221131x x x +≤<++，且1x =时等号成立； 因为0x <时，12x x+≤-，所以221121x x x +<≤++，且1x =-时等号成立； 综上可得自然数m 的最大值为2.故选：C. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求解最值，区分恒成立与能成立的不同，同时还要注意基本不等式成立的条件，侧重考查数学运算的核心素养.8．对等差数列{}n a 和等比数列{}n b ，下列推断中有时不成立的是（ ） A ．若12a a >，则23a a > B ．若12b b >，则23b b >C ．1322a a a +≥D ．2132b b b ≥【答案】B【解析】利用等差数列和等比数列的性质进行判断. 【详解】对于等差数列{}n a ，若12a a >，则()()2312120a a a d a d a a -=+-+=->，故A 正确；由1322a a a +=可知，C 正确；对于等比数列{}n b ，2132b b b =，故D 正确；当10b >，公比0q <时，有12b b >，但是23b b <，所以B 选项有时不成立. 故选：B.本题主要考查等差数列和等比数列的性质，等比数列中公比和首项的符号共同决定数列的单调性，侧重考查逻辑推理的核心素养.9．《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布. A ．1631B ．1629C ．12D ．815【答案】B【解析】由题可知每天织的布的多少构成等差数列,其中第一天为首项15a =,一月按30天计可得30390S =,从第2天起每天比前一天多织的即为公差.又3030293053902S d ⨯=⨯+⨯=,解得1629d = .故本题选B. 10．对数列{}n a ，记前n 项和为()*n S n N ∈.下列四个结论中一定成立的是（ ）A ．若2n S an bn c =++（a 、b 、c 是常数），则{}n a 是等差数列B ．若()*1n n a a n N +=∈，则{}n a 既是等差数列又是等比数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等比数列，则m S ，2m m S S -，()*32m m S S m N -∈也成等比数列【答案】C【解析】结合等差数列和等比数列的性质进行逐项判断. 【详解】对于A ，当0c ≠时，{}n a 不是等差数列，故A 不正确；对于B ，若10n n a a +==，则{}n a 是等差数列，不是等比数列，故B 不正确； 对于C ，当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，1111(1)1(1)(1)2n n n n n n a S S ---=-=---+-=-⨯，所以{}n a 是等比数列；对于D ，若2320m m m m m S S S S S =-=-=，则m S ，2m m S S -，32m m S S -不成等比数列. 故选：C.本题主要考查等差数列和等比数列的性质，特例法是求解这类问题的妙方，侧重考查逻辑推理的核心素养.二、填空题11．若0x >时，函数21ax y x+=的最小值为5，则正实数a =____________.【答案】254【解析】利用基本不等式求出最小值，结合条件可得a 的值. 【详解】因为0a >，所以211ax y ax x x +==+≥5=，即254a =. 故答案为：254. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式求解最值时注意适用条件，侧重考查数学运算的核心素养.12．已知等差数列{}n a 中，前n 项和记为n S ，12a =，86a =，则9S =____________. 【答案】2707【解析】根据12a =，86a =，可求公差，结合等差数列的求和公式可得9S . 【详解】设等差数列的公差为d ，则817a a d =+，所以47d =， 9198270927S a d ⨯=+=. 故答案为：2707.【点睛】本题主要考查等差数列基本量的运算，根据通项公式求解公差是关键，侧重考查了数学运算的核心素养.13．数列{}n a 的通项公式是()*730n a n n N =-+∈，那么它的前n 项和最大时的n 的值是____________. 【答案】4【解析】先判断数列的单调性，找到符号变号的临界项就能得到结果.因为()*730n a n n N =-+∈，所以17n n a a --=-，即数列{}n a 是单调递减的等差数列，令0n a >得307n <，即4n ≤，所以前n 项和最大时的n 的值是4. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和的最值问题，一般有两种思路，一是利用通项公式寻求正负项的界限；二是利用二次函数知识求解.侧重考查数学运算的核心素养.14．已知抛物线2y x =的每个点都不在直线l 的下方.如果直线l 经过点()2,2，那么它的斜率k 的值可能是____________（写出1个满足条件的实数值即可）. 【答案】2(答案不唯一，满足44k -≤+)【解析】先求直线l 与抛物线相切时的斜率，从而可得满足条件的斜率k 的值. 【详解】设直线():22l y k x =-+恰好与抛物线相切，则由()222y x y k x ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩得2220x x k k -+-=，()24220k k ∆=--=，解得4k =±所以当44k -≤≤+2y x =的每个点都不在直线l 的下方. 故答案为：2(答案不唯一). 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，直线与抛物线相切时，一般利用判别式为零求解，侧重考查数学运算的核心素养.15．已知数列{}n a 满足，16a =，12nn n a a +=，则73a a 等于____________. 【答案】4【解析】根据12nn n a a +=，得出奇数项成等比数列，然后可求73a a . 【详解】因为12n n n a a +=，所以1122n n n a a +++=，两式相除可得22n na a +=， 所以奇数项成等比数列，且公比为2， 所以371362462a a ⨯==⨯.故答案为：4. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，根据条件得出等比数列是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.16．数列{}n a 满足：()11nn n a a n ++-=，*n N ∈，则此数列的前32项和=____________.【答案】272【解析】利用条件中递推关系式，得出数列的特点，相邻奇数项和为1，相邻偶数项的和为等差数列，然后利用分组求和进行求解. 【详解】因为()11nn n a a n ++-=，所以2132435432311,2,3,4,,31a a a a a a a a a a -=+=-=+=-=L ，所以314275861,5,1,13a a a a a a a a +=+=+=+=，11912101,21a a a a +=+=，L 所以依次取2个相邻奇数项的和都为1，从第二项起，依次取2个相邻偶数项的和构成等差数列，且首项为5，公差为8. 所以此数列的前32项和为87818582722⨯⨯+⨯+⨯=. 故答案为：272. 【点睛】本题主要考查数列的递推关系及数列求和问题，根据数列通项的特点选择合适的求和方法是解题关键，侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题17．设等差数列{}n a 中，28a =-，60a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 满足12b a =，2123b a a a =++，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）212n -;（2）()413n-.【解析】（1）根据28a =-，60a =，可得公差，然后可求数列{}n a 的通项公式； （2）先根据条件求出等比数列的首项和公比，然后利用求和公式求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为d ，则624a a d =+，所以2d =，所以()()66026212n a a n d n n =+-=+-=-. （2）由（1）知1221238,24b a b a a a ==-=++=-，所以公比为213b b =，所以()()81341313nn n S --==--. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及等比数列的求和，熟记相关公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.18．工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元.求：工厂和仓库之间的距离为多少千米时，运费与仓储费之和最小，最小为多少万元.【答案】工厂和仓库之间的距离为2千米时，运费与仓储费之和最小，最小为20万元. 【解析】先设出比例系数，利用已知求出系数，结合基本不等式求解最值. 【详解】设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为1y 万元，仓储费为2y 万元，则2112,k y k x y x==； 当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元， 所以125,20k k ==； 所以运费与仓储费之和为205x x+，因为20520x x +≥=，当且仅当205x x =，即2x =时，运费与仓储费之和最小为20万元.故工厂和仓库之间的距离为2千米时，运费与仓储费之和最小，最小为20万元. 【点睛】本题主要考查基本不等式的实际应用，关键是构建数学模型，侧重考查数学建模的核心素养.19．已知数列{}n a ，前n 项和记为n S ，1,2,3,n =L 请在如下3个条件下选择一个，然后求相应的通项公式及其前n 项和公式. （1）12a =，11nn n a a a +=-，1,2,3,n =L（2）11a =，113n n a S +=，1,2,3,n =L （3）0n a >，1n a +=1,2,3,n =L【答案】（1）2n a =，2n S n =；（2）211142()33n n n a n -⎧=⎪=⎨≥⨯⎪⎩，14()3n n S -=；（3）221,n n a n S n =-=.【解析】（1）对已知条件11nn n a a a +=-取倒数构造等差数列，利用等差数列的知识可求； （2）利用,n n a S 的关系进行求解，结合等比数列的通项公式和求和公式可得； （3）利用,n n a S 的关系进行求解，结合等差数列的通项公式和求和公式可得. 【详解】 （1）因为11nn n a a a +=-，所以11111n n n n a a a a +-==-，即1111n n a a ++=，21111n n a a +++=；两式相减可得211n na a +=，即2n n a a +=； 因为12a =，所以22a =，所以2n a =，其前前n 项和为2n S n =. （2）当1n =时，211133a S ==； 当2n ≥时，113n n a S +=，113n n a S -=，两式相减可得113n n n a a a +-=，即143n na a +=， 所以222414()()333n n n a a --==⨯； 综上211142()33n n n a n -⎧=⎪=⎨≥⨯⎪⎩；当1n =时，其前n 项和公式为1n S =；当2n ≥时，121114()11443331()1()4333313n n n n S ----⨯=+++⨯=+=-L .（3）当1n =时，11a +==11a =； 当2n ≥时，()241n n S a =+，()21141n n S a --=+两式相减可得()()221411n n n a a a -=+-+，整理可得()()()1112n n n n n n a a a a a a ---++-=，因为0n a >，所以12n n a a --=，所以12(1)21n a n n =+-=-，21212n n S n n +-=⋅=. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解方法，知n S 求通项公式公式时，要注意分类讨论，验证首项是否满足，侧重考查数学运算的核心素养.20．已知有限项的、正整数的递增数列{}n a ，并满足如下条件：对任意不大于各项总和S 的正整数k ，总存在一个子列，使得该子列所有项的和恰好等于k .这里的‘子列’是指由原数列中的一部分项（包括一项、所有项）组成的新数列.（1）写出1a ，2a 的值；（2）“{}n a 成等差数列”的充要条件是“{}n a 各项总和S 恰好是其项数、项数平方值的等差中项”.为什么？请说明理由.（3）若2019S =，写出“{}n a 项数最少时，{}n a 中的最大项”的值.【答案】（1）121,2a a ==;（2）证明见解析；（3）当n 取最小值11时，n a 的最大值为1010.【解析】（1）利用数列是正整数的递增数列及题意可求；（2）先利用等差数列求和公式证明必要性，再利用放缩法证明充分性；（3）由题意可知，12m m a -≤恒成立，由112201912221n n n a a a -=+++≤+++=-L L 可得11n ≥，由集合分类进行验证可得n a 的最大值.【详解】（1）因为0n a >，且{}n a 是递增的正整数数列，由题意可知121,2a a ==.（2）先证必要性：因为121,2a a ==，且{}n a 成等差数列，所以n a n =，所以()2122n n n n n S ++==. 再证充分性：因为{}n a 是递增的正整数数列，121,2a a ==，所以343,4,,n a a a n ≥≥≥L ， 所以12(1)122n n n S a a a n +=+++≥+++=L L ，又因为(1)2n n S +=，所以m a m =（1,2,,m n =L ）， 故{}n a 是等差数列.（3）先证明12m m a -≤恒成立.假设存在12p p a ->，且p 为最小的正整数.依题意3p ≥，则2112112221p p p a a a ---+++≤+++=-L L ， 又因为12n a a a L <<<，故当1(21,)p p k a -∈-时，k 不能等于任何子列所有项的和.故假设不成立，即12m m a -≤恒成立.因此112201912221n n n a a a -=+++≤+++=-L L ，即22020n ≥，所以11n ≥.因为2019S =，则1212019n n a a a a -+++=-L ，若20191n n a a -<-时，则当(2019,)n n k a a ∈-时，k 不能等于任何子列所有项的和. 故20191n n a a -≥-，即1010n a ≤.此时可构造集合{}1,2,4,8,16,32,64,128,256,498,1010A =.当{}2,3k ∈时，k 可以等于集合{}1,2中若干个元素的和；当{}4,5,6,7k ∈时，k 可以等于集合{}1,2,4中若干个元素的和；L L当{}88882,21,22,,2255k ∈+++L 时，k 可以等于集合{}81,2,4,,2L 中若干个元素的和；当{}4984,4985,,498511k ∈+++L 时，k 可以等于集合{}81,2,4,,2,498L 中若干个元素的和；当{}1010,10101,,10101009k ∈++L 时，k 可以等于集合{}81,2,4,,2,498,1010L 中若干个元素的和；所以当n 取最小值11时，n a 的最大值为1010.【点睛】本题主要考查数列的通项公式，综合了充要条件，数列最值等问题，难度较大，综合性较强，充分理解题意是求解的关键，侧重考查学生的创新能力.。

北京101中学2018－2019学年上学期高二年级期中考试数学试卷一、选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知向量a=（8，x，x），b=（x，1，2），其中.若a∥b，则x的值为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】根据两向量平行的等价条件及题意，得到存在实数λ>0，使得，即，然后根据向量相等得到关于的方程组，解方程组可得所求．【详解】∵∥且，∴向量共线同向，∴存在实数λ>0，使得，即，∴，解得．故选A．【点睛】本题考查两向量共线的等价条件及其应用，考查计算能力，属于基础题．2.双曲线的焦点坐标为（）A. （±l，0）B. （±，0）C. （±，0）D. （±4，0）【答案】B【解析】【分析】先确定双曲线焦点的位置，然后根据曲线方程得到实半轴和虚半轴的值，进而得到半焦距的值，由此可得焦点坐标．【详解】由题意得双曲线的焦点在轴上，且，∴，∴双曲线的焦点坐标为．故选B．【点睛】判断双曲线的焦点位置时，要看曲线方程中变量的正负，焦点在正的项对应的变量所在的轴上，然后再根据求出半焦距后可得焦点的坐标．3.直线被圆截得的弦长为（）A. 1B. 2C. 4D.【答案】C【解析】因为化为，可知圆的圆心为,半径为，圆心到直线的距离为，由勾股定理可得直线被圆截得的弦长为，故选.【此处有视频，请去附件查看】4.已知圆：与圆：相内切，那么等于（）A. 4B. 5C. 6D.【答案】C【解析】【分析】根据两圆相内切得到圆心距和两半径间的关系，由此可得所求的值．【详解】由题意得．∵圆和圆相内切，∴，即，解得或（舍去）．故选C．【点睛】本题考查两圆位置关系的运用，当两圆相内切时，两圆的圆心距等于两半径之差的绝对值，同时也考查数形结合的应用．5.直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由时,圆心到直线的距离.所以弦长为.所以.所以充分性成立,由图形的对成性当时,的面积为.所以不要性不成立.故选A.考点：1.直线与圆的位置关系.2.充要条件.【此处有视频，请去附件查看】6.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将抛物线的方程化为标准形式后可得焦点坐标．【详解】由题意得抛物线的标准方程为，∴焦点在轴的负半轴上，且，∴，∴抛物线的焦点坐标为．故选B．【点睛】本题考查抛物线的基本性质，解题的关键是把曲线方程化为标准形式，然后得到相关参数，进而得到所求，属于基础题．7.已知双曲线（a>0，b>0）的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程为可得，即，由此可得，故双曲线的焦点为．再由题意得到抛物线的准线方程为，故得，于是可得曲线方程．【详解】由，得，即为双曲线的渐近线方程，又双曲线的一条渐近线方程是，∴，，∴，∴双曲线的焦点坐标为．又抛物线的准线方程为，双曲线的焦点在抛物线的准线上，∴，∴，∴双曲线的方程为．故选D．【点睛】（1）已知双曲线的标准方程求其渐近线方程时，可把等号后的“1”改为“0”，变形为一次的形式后即为渐近线的方程．（2）解答本题的关键是理清条件中各个量间的关系，求出双曲线方程中的参数的值．8.正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1BD与平面ABCD所成角的正切值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出图形，作出所求的角，然后通过解三角形得到正切值．【详解】如图，连，交于，则为的中点，连．∵ABCD－AB1C1D1是正方体，1∴，∴，∴即为平面A1BD与平面ABCD所成二面角的平面角．在中，，设正方体的棱长为，则，∴，∴平面A1BD与平面ABCD所成角的正切值为．故选A．【点睛】解答类似问题的关键是作出两平面所成角的平面角，将空间问题转化为平面问题求解，再通过解三角形的方法得到所求角（或其三角函数值），考查作图能力和计算能力，属于中档题．9.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，平面A1B1C1D1内的一动点P，满足到点A1的距离与到线段C1D1的距离相等，则线段PA长度的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，由题意得点P在以点A1为焦点、以C1D1为准线的抛物线上，由此可得点P坐标间的关系，然后根据空间中两点间的距离公式求解可得结果．【详解】如图，以A1D1的中点为原点，以A1D1为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，则．由于动点P到点A1的距离与到线段C1D1的距离相等，所以点P在以点A1为焦点、以C1D1为准线的抛物线上．由题意得，在平面内，抛物线的方程为，设点P的坐标为，则，所以，又，所以当时，有最小值，且．故选C．【点睛】本题考查空间中两点间的距离公式及最值问题，解题的关键有两个：（1）建立空间直角坐标系，并得到相关点的坐标；（2）根据题意得到点P在抛物线上，进而消去一个参数将所求距离化为二次函数的问题处理．10.若存在直线l与曲线C1和曲线C2都相切，则称曲线C1和曲线C2为“相关曲线”，有下列四个命题：①有且只有两条直线l使得曲线C1：和曲线C2：为“相关曲线”；②曲线C1：和曲线C2：是“相关曲线”；③当b>a>0时，曲线C1：和曲线C2：一定不是“相关曲线”；④必存在正数a使得曲线C1：和曲线C2：为“相关曲线”.其中正确命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】【分析】根据“相关曲线”的定义，只需判断每个命题中的两条曲线是否有公切线即可，若有公切线，则为“相关曲线”，否则则不是．【详解】对于①，由题意得曲线C1是以(0,0)为圆心，2为半径的圆；曲线C2是以(2,−1)为圆心，半径为1的圆．两圆的圆心距为，由于，故两圆相交，因此有两条外公切线，故①正确．对于②，由题意得曲线C1，C2是共轭双曲线（它们各自在x轴上方的部分），具有相同的渐近线，因此两曲线没有公切线，故②不正确．对于③，因为b>a>0，在同一坐标系内画出两曲线，如下图中的图形．由图可得圆在抛物线的内部，所以两曲线不会有公切线，故③正确．对于④，当a=1时，曲线C1：，此时直线与曲线C1和曲线C2都相切，故④正确．综上可得有三个命题正确．故选C．【点睛】解答本题的关键是正确理解题意，并找出两曲线的公切线，解题时要注意对每个结论中两曲线形状、性质的分析和判定，进而得到两曲线是否有公切线．考查理解和运用知识解决问题的能力．二、填空题，共6小题.11.已知⊙M：，则⊙M的半径r=____________.【答案】【分析】把圆的一般方程化为标准方程后可得圆的半径．【详解】由题意得圆的标准方程为，所以该圆的圆心为，半径为．故答案为．【点睛】本题考查圆的一般方程和标准方程间的转化，考查变形能力和辨识能力，属于简单题．12.如图所示，正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，线段B'D'上有点H，满足D'H=1，则异面直线DH与CC'所成角的大小为___________.【答案】【解析】【分析】根据两异面直线所成角的定义得到即为所求的角（或其补角），结合条件在求解可得所求．【详解】如图，因为，所以即为异面直线DH与CC'所成的角（或其补角）．在中，，所以，所以异面直线DH与CC'所成的角为．故答案为．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，解题的关键是根据定义作出两直线所成的角，同时还应注意两异面直线所成角的范围，这一点在解题中容易被忽视．13.已知椭圆焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，则△F1PF2的周长为__________.【答案】【解析】【分析】结合图形根据椭圆的定义求解即可得到三角形的周长．【详解】由题意得．∵P为椭圆上一点，∴，∴△F1PF2的周长为．故答案为．【点睛】椭圆上的点和两焦点构成的三角形称为焦点三角形，解决有关焦点三角形的问题时往往要用到椭圆的定义，然后再结合正弦、余弦定理等知识求解，解题时注意整体代换（即椭圆定义）的应用．14.若向量，且夹角的余弦值为，则=__________.【答案】【解析】【分析】根据向量的数量积得到关于的方程，解方程可得所求的值．【详解】∵，∴．又夹角的余弦值为，∴，整理得，解得．当时，，不合题意，舍去．当时，，符合题意．∴．故答案为1．【点睛】本题考查空间向量数量积的应用，解题时根据数量积的两种表示方法得到关于参数的方程，求解后可得所求．本题也可直接根据夹角的求法得到关于参数的方程后求解．15.若椭圆W：的离心率是，则m=___________.【答案】或【解析】【分析】按照椭圆的焦点在轴和在轴上两种情况分别求解，可得所求结果．【详解】①当椭圆的焦点在轴上时，则有，由题意得，解得．②当椭圆的焦点在轴上时，则有，由题意得，解得．综上可得或．故答案为或．【点睛】解答本题的关键有两个：一个是注意分类讨论思想方法的运用，注意椭圆焦点所在的位置；二是解题时要分清椭圆方程中各个参数的几何意义，然后再根据离心率的定义求解．16.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b（0<a<b），原点O为AD的中点，抛物线经过C，F两点，则=__________.【答案】【解析】试题分析：由题意，代入抛物线方程得：，因为，消去得：，化简整理得：，即，解得：，故填．考点：1．抛物线的标准方程；2．齐次方程的求解．【此处有视频，请去附件查看】三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.已知抛物线C：的焦点为F，直线l：y=与抛物线C交于A，B两点.（1）求AB弦长；（2）求△FAB的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用代数方法，根据弦长公式求解；（2）在（1）的基础上，再求出点F到直线AB的距离，最后根据三角形的面积公式求解即可．【详解】（1）由消去整理得，其中，设A（，），B（，）.则，.所以，所以=.（2）由题意得点F（1，0），故点F到直线AB的距离，所以.即△FAB的面积为．【点睛】直线和圆锥曲线相交所得的弦长即为两交点间的距离，解题时可根据弦长公式求解，由于涉及到大量的运算，所以解题中要注意“设而不求”和“整体代换”等方法的运用，以减少运算量，提高解题的效率和准确程度．18.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面A1AB⊥平面A1BC，且AH⊥A1B交线段A1B于点H，AB=BC=2，CC1=3.点M是棱CC1的中点.（1）证明：BC⊥平面A1AB；（2）求直线MB与平面A1BC所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2）【解析】【分析】（1）由平面A1AB⊥平面A1BC，且AH⊥A1B可得AH⊥平面A1BC，于是得AH⊥BC；再根据直三棱柱可得BC⊥B1B，于是可得BC⊥平面ABB1A1，即BC⊥平面A1AB；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，利用向量的夹角可求出线面角的正弦值．【详解】（1）因为平面A1AB⊥平面A1BC，平面A1AB∩平面A1BC=A1B，AH⊥A1B，所以AH⊥平面A1BC．又BC平面A1BC，所以AH⊥BC．因为ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以AA1⊥BC．又AA1∩AH=A，所以BC⊥平面ABB1A1，即BC⊥平面A1AB．（2）由BC⊥平面ABB1A1可得BC⊥AB，所以BA, BC, BB1两两垂直．以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，则,所以.设平面A1BC的法向量为，由，得，令得．设直线MB与平面A1BC所成的角为，则，即直线MB与平面A1BC所成角的正弦值为．【点睛】利用向量法求线面角时，可利用平面的法向量和直线的方向向量来求，即设平面的法向量为，直线的方向向量为，直线与平面所成的角为，则．解题时注意向量的夹角和直线与平面所成角之间的关系．19.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，O为AD 中点，AB=1，AD=2，AC=CD=.（1）证明：直线AB∥平面PCO；（2）求二面角P－CD－A的余弦值；（3）在棱PB上是否存在点N，使AN⊥平面PCD，若存在，求线段BN的长度；若不存在，说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据条件AC=CD可得，又AB⊥AD，所以AB∥CO，然后根据线面平行的判定定理可得结论；（2）以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面PCD和平面ABCD的法向量，根据两向量的夹角求解可得所求余弦值；（3）假设存在点N满足条件，设出点N的坐标，根据直线AN的方向向量和平面PCD的法向量平行可得结论．【详解】（1）因为AC=CD，O为AD中点，所以．又AB⊥AD，所以AB∥CO，又AB平面PCO，CO平面PCO，所以AB∥平面PCO．（2）因为PA=PD，所以PO⊥AD.又因为PO平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.因为CO平面ABCD，所以PO⊥CO.因为AC=CD，所以CO⊥AD.如图建立空间直角坐标系O－.则A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，－1，0），P（0，0，1）.设平面PCD的法向量为，则，得'令z=2，则．又平面ABCD的法向量为=（0，0，1），所以.由图形得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．（3）假设存在点N是棱PB上一点，使得AN⊥平面PCD，则存在∈[0，1]使得，因此.由（2）得平面PCD的法向量为.因为AN⊥平面PCD，所以∥，即.解得=∈[0，1]，所以存在点N是棱PB上一点，使AN⊥平面PCD，此时=.【点睛】（1）用向量法求二面角时，先求出两平面法向量的夹角，再通过观察图形得到二面角为锐角还是钝角，最后才能得到结论．（2）解决立体几何中的探索性问题时，一般先假设存在满足条件的元素（点或线），然后以此作为条件进行推理，看能否得到矛盾，若得到矛盾，则假设不成立；若得不到矛盾，则假设成立．20.平面直角坐标系中，已知点M（，1）和点N（，）都在椭圆C：上.（1）求椭圆C的方程及其离心率e；（2）已知O是坐标系原点，一条直线l与椭圆C交于A，B两点，与y轴正半轴交于点P，令.试问：是否存在定点P，使得t为定值.若存在，求出点P的坐标和t的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1），；（2），.【解析】【分析】（1）将点M,N的坐标代入椭圆方程，求出的值后可得椭圆方程，进而可得离心率；（2）由题意直线的斜率存在，设其方程为，代入椭圆方程后消元得到关于的二次方程，结合根与系数的关系得到t=，故得当时t为定值，并可求出点P的坐标．【详解】（1）因为点M（，1）和点N（，）在椭圆上，所以，解得，所以椭圆C的方程为．又，所以离心率.（2）由题意得直线的斜率存，设直线l的方程为，由消去y整理得.因为直线直线与椭圆交于A，B两点，所以.（*）设直线l与椭圆C交于两点A，B，则，.根据条件可知P（0，m），则t=.所以当m2=1，即时，（*）式成立，t为定值－3，所以直线l过定点P（0，1），此时t=－3.【点睛】存在性问题通常采用“肯定顺推法”求解，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．。

2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.请把答案写在答题纸上.第Ⅰ卷（共60分）一．选择题（每小题只有一个正确答案，每题5分，共60分）二．1．若集合2|4Mx x，3|01xNx x ，则M N ( )A ．|2x xB ．|23x x C ．|2x3x x或D ．|3x x2．等差数列{}n a 中，22a ，34a ，则8a ()A ．10B ．12C ．14 D．163．等比数列{}n a 中，1516a a ，则3a ()A ．8 B．4 C．4 D．44. 在3与27之间插入7个数,使它们成为等差数列,则插入的7个数的第四个数是( )A. 18B. 9C. 12 D . 155.若a ，b ，c 满足cba ，且0ac ，则下列选项中不一定成立的是( )A ．abac B.()0c ba C.22cbab D.()a a c 6．在ABC 中，若cos cos a A b B ，则ABC 的形状是（）A ．锐角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形 D. 等腰或直角三角形7．等差数列{}n a 中，若123a a ，345a a ，则78a a ( )A ．7 B.8 C .9 D.10 8. 已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且1012S ，则56a a ( )A ．125B．12C ．6 D ．659．已知B C D ,,三点在地面同一直线上，DC100米，从D C ,两点测得A 点仰角分别是60°，30°，则A 点离地面的高度AB 等于（）A ．503米 B ．1003米 C．50米 D ．100米10.如图,不等式()()x y x y 0表示的平面区域是（）11.等比数列n a 中，n S 是其前n 项和，若9,3105S S ，则15S 的值为（）A. 27 B . 21 C . 18 D . 15 12 .等差数列n a 中，10a，nS 为前n 项和，且316S S，则nS 取最小值时，n 的值为（）A ．9 B．10 C．9或 10 D．10或11第Ⅱ卷（共90分）二．填空题（每小题5分，共20分）13.若不等式20xax b的解集为{x |23x }，则a b ＝________.14.关于x 的方程2(1)20xm x m 有两个正实根，则m 的取值范围是．15.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2,2,absin cos 2B B，则角A 的大小为16.下列关于星星的图案构成一个数列,该数列的一个通项公式是三．解答题（共6小题，共70分）17．（本题满分10分）已知0,0a b c d ，求证：ab d c18.（本题满分12分）在等差数列{}n a 中,138a a ,且4a 为2a 和9a 的等比中项,求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和.19.（本题满分12分）已知函数,34)(2ax axx f （I ）当1a时，求关于x 的不等式0)(x f 的解集；（Ⅱ）若对于任意的R x，均有不等式0)(x f 恒成立，求实数a 的取值范围。

北京市八一学校2018-2019学年高二9月月考数学试题解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．64B ．72C ．80D ．112【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力与运算求解能力. 2． 设n S 是等差数列{}n a 的前项和，若5359a a =，则95SS =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3． 对于复数,若集合具有性质“对任意,必有”,则当时,等于 ( )A1 B-1 C0 D4． （文科）要得到()2log 2g x x =的图象，只需将函数()2log f x x =的图象（ ）A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向上平移1个单位D ．向下平移1个单位5．已知，y满足不等式430,35250,1,x yx yx-+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则目标函数2z x y=+的最大值为（）A．3 B．132C．12 D．15 6．已知全集U R=，{|239}xA x=<≤，{|02}B y y=<≤，则有（）A．AØB B．A B B=C．()RA B≠∅ðD．()RA B R=ð7．如果对定义在R上的函数)(xf，对任意nm≠，均有0)()()()(>--+mnfnmfnnfmmf成立，则称函数)(xf为“H函数”.给出下列函数：①()ln25xf x=-；②34)(3++-=xxxf；③)cos(sin222)(xxxxf--=；④⎩⎨⎧=≠=,0|,|ln)(xxxxf．其中函数是“H函数”的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【命题意图】本题考查学生的知识迁移能力，对函数的单调性定义能从不同角度来刻画，对于较复杂函数也要则几何体的体积为（）34意在考查学生空间想象能力和计算能=和2l：01=-+yx上移动，则AB中点M所6=+D．06=-+yx240xyy xy x≤⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪--≤⎩内的概率为（）A ．56 B ．12 C ．512 D ．712【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查基本运算能力．11．已知α，β是空间中两个不同的平面，为平面β内的一条直线，则“//l α”是“//αβ”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 12．设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，又(5)0f =，则使()0f x >的的取值范围是（ ） A ．50x -<<或5x > B ．5x <-或5x > C ．55x -<< D ．5x <-或05x <<二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．在ABC ∆中，90C ∠=，2BC =，M 为BC 的中点，1sin 3BAM ∠=，则AC 的长为_________.14．直线l 1和l 2是圆x 2+y 2=2的两条切线，若l 1与l 2的交点为（1，3），则l 1与l 2的夹角的正切值等于 _________ 。

2019-2020学年北京八十中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知等差数列{}n a 中，27a =，415a =，则前10项的和10(S = ) A ．100B ．210C ．380D ．4002．已知a ，b R ∈，下列命题正确的是( ) A ．若a b >，则||||a b > B ．若a b >，则11a b<C ．若||a b >，则22a b >D ．若||a b >，则22a b >3．已知数列{)n a 的通项公式为2n a n n =-，则下列各数中不是数列中的项的是( ) A ．2B ．40C ．56D ．904．不等式2230x x +->的解集是( ) A ．{|31}x x -<<B ．{|13}x x -<<C ．{|13}x x <…D ．3{|3}2x x -<…5．抛物线22y x =的焦点到其准线的距离为( ) A ．2B ．1C ．12D ．146．下列说法正确的是( )①数列1，3，5，7与数列7，3，5，1是同一数列；②数列0，1，2，3⋯的一个通项公式为1n a n =-；③数列0，1，0，1⋯没有通项公式； ④数列{}1nn +是递增数列 A ．①③B ．②④C ．②③D ．②③④7．已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点，P ，Q 为双曲线C 上的点，若线段PQ 的长等于16，点(5,0)A 在线段PQ 上，则PQF ∆的周长为( ) A ．44B ．34C ．32D ．468．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为y =，且它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为( )A ．221279x y -= B ．22136108x y -=C ．221927x y -= D ．22110836x y -= 9．若抛物线23y x =的焦点是F ，准线是l ，点(3M ，)(0)m m >是抛物线上的一点．则经过点F ，M 且与l 相切的圆共有( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个10．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的两个动点A ，B 始终满足60AFB ∠=︒，过弦AB 的中点H 作抛物线的垂线HN ，垂足为N ，则||||HN AB 的取值范围是( ) A ．(0B．，]+∞ C ．[1，]+∞ D ．(0，1]二、填空题（本大题共9个小题，每小题5分，共45分，把答案填在题中横线上） 11．已知抛物线22y ax =过点(1,4)-，则抛物线的焦点坐标为 ． 12．函数41(0)y x x x=-+>的最小值为 ．此时x = ．13．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3230S S +=，则公比q = ．14．双曲线22134x y -=的焦点坐标为 ，渐近线方程是 ． 15．已知等比数列{}n a 的前n 项和31n n S =-，则数列{}n a 的通项公式是 ．16．如果关于x 的不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，那么k 的取值范围是 ．17．河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m 时，水面宽为8m ，一小船宽4m ，高2m ，载货后穿露出水面上的部分高0.75m ，则水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距 m 时，小船开始不能通航．18．已知数列{}n a 满足：11a =，22a =，()()223nn na n a a n +⎧⎪=⎨+⎪⎩为奇数为偶数，则数列{}n a 的前2n 项和2n S = ．19．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n -=．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 ；双曲线N 的离心率为 ．三、解答题：版大题有4小题，共55分．解答应写出文字证明，证明过程或演算步骤．20．已知等差数列{}n a 中，125a =，且1a ，11a ，13a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的公差小于零，求数列{}n a 的前n 项和n S 的表达式及其最大值； （3）求14732n a a a a -+++⋯+．21．解关于x 的不等式222()ax x ax a R --∈…．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线20y x -+=相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设(P -，0)，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点G ．23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(1,0)F ，离心率为12，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上异于A 的两个动点，直线AP ，AQ 与直线:4l x =分别交于M ，N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若PAF ∆与PMF ∆的面积之比为15，求M 的坐标；（Ⅲ）设直线l 与x 轴交于点R ，若P ，F ，Q 三点共线，判断MFR ∠与FNR ∠的大小关系，并说明理由．2019-2020学年北京八十中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知等差数列{}n a 中，27a =，415a =，则前10项的和10(S = ) A ．100 B ．210C ．380D ．400【解答】解：421574422a a d --===-，13a =， 1010941032S ⨯⨯∴=⨯+ 210=，故选：B ．2．已知a ，b R ∈，下列命题正确的是( ) A ．若a b >，则||||a b > B ．若a b >，则11a b<C ．若||a b >，则22a b >D ．若||a b >，则22a b >【解答】解：A ．错误，比如34>-，便得不到|3||4|>-； B ．错误，比如34>-，便得不到1134<-； C ．错误，比如|3|4>-，得不到223(4)>-；D ．正确，||a b >，则0a >，根据不等式的性质即可得到22a b >．故选：D ．3．已知数列{)n a 的通项公式为2n a n n =-，则下列各数中不是数列中的项的是( ) A ．2B ．40C ．56D ．90【解答】解：由数列{)n a 的通项公式为2n a n n =-， 2n =时，22a =．8n =时，856a =．10n =时，1090a =．令240n a n n =-=，无整数解． 则下列各数中不是数列中的项的是B ． 故选：B ．4．不等式2230x x +->的解集是( )A ．{|31}x x -<<B ．{|13}x x -<<C ．{|13}x x <…D ．3{|3}2x x -<…【解答】解：因为2230x x +->，所以(3)(1)0x x -+<， 所以13x -<<，所以不等式的解集为{|13}x x -<<． 故选：B ．5．抛物线22y x =的焦点到其准线的距离为( ) A ．2B ．1C ．12D ．14【解答】解：抛物线22y x =化为标准方程为212x y =∴抛物线22y x =的焦点到其准线的距离为111224⨯=故选：D ．6．下列说法正确的是( )①数列1，3，5，7与数列7，3，5，1是同一数列；②数列0，1，2，3⋯的一个通项公式为1n a n =-；③数列0，1，0，1⋯没有通项公式； ④数列{}1nn +是递增数列 A ．①③B ．②④C ．②③D ．②③④【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于①、数列1，3，5，7与数列7，5，3，1中顺序不同，不是同一数列，故①错误； 对于②、数列0，1，2，3，⋯的通项公式是1n a n =-，故②正确；对于③、数列0，1，0，1⋯它的一个通项公式为：0,1,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，故③错误；对于④、数列{}1nn +是递增数列，故④正确． 故选：B ．7．已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点，P ，Q 为双曲线C 上的点，若线段PQ 的长等于16，点(5,0)A 在线段PQ 上，则PQF ∆的周长为( ) A ．44B ．34C ．32D ．46【解答】解：双曲线22:1916x y C -=的左焦点(5,0)F -，∴点(5,0)A 是双曲线的右焦点， 双曲线图象如图： ||||26PF AP a -==，① ||||26QF QA a -==，②而||16PQ =， ①+②得：||||||12PF QF PQ +-=，∴周长为：||||||122||44PF QF PQ PQ ++=+=．故选：A ．8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为y =，且它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为( )A ．221279x y -= B ．22136108x y -= C ．221927x y -= D ．22110836x y -=【解答】解：由题意可得：ba=6c =，联立解得：3a =，b =．∴双曲线的方程为：221927x y -=， 故选：C ．9．若抛物线23y x =的焦点是F ，准线是l ，点(3M ，)(0)m m >是抛物线上的一点．则经过点F ，M 且与l 相切的圆共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个【解答】解：抛物线23y x =的焦参数32p =，所以3(4F ，0)，直线3:4l x =-，即304x +=， 点(3M ，)(0)m m >是抛物线上的一点．可得点(3,3)M 、经过点M 、3(4F ，0)，且与直线l 相切的圆的圆心为G ，如图：由抛物线的定义以及圆的性质可知：GN l ⊥于N ，GN GF GM ==， 所以满足条件的圆有两个． 故选：C ．10．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的两个动点A ，B 始终满足60AFB ∠=︒，过弦AB 的中点H 作抛物线的垂线HN ，垂足为N ，则||||HN AB 的取值范围是( )A ．(0B ．，]+∞C ．[1，]+∞D ．(0，1]【解答】解：设||AF a =，||BF b =， 由抛物线定义，得||||AF AQ =，||||BF BP = 在梯形ABPQ 中，2||||||HN AQ BP a b ∴=+=+． 由余弦定理得，22222||2cos60AB a b ab a b ab =+-︒=+-，配方得，22||()3AB a b ab =+-， 又()2a b ab + (2)， 222231()3()()()44a b ab a b a b a b ∴+-+-+=+…，得到1||()2AB a b +…．∴||1||HN AB …， 故选：D ．二、填空题（本大题共9个小题，每小题5分，共45分，把答案填在题中横线上） 11．已知抛物线22y ax =过点(1,4)-，则抛物线的焦点坐标为 (4,0)- ． 【解答】解：抛物线22y ax =过点(1,4)-， 可得162a =-，解得8a =-． 所以抛物线方程为：216y x =-， 抛物线的焦点坐标(4,0)-． 故答案为：(4,0)-12．函数41(0)y x x x=-+>的最小值为 3 ．此时x = ．【解答】解：0x >，由基本不等式可得4113y x x x x=+--=…， 当且仅当4x x=即2x =时，函数取得最小值3 故答案为：3；213．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3230S S +=，则公比q = 2- ． 【解答】解：由题意可得，1q ≠ 3230S S +=∴3211(1)3(1)011a q a q q q--+=-- 32340q q ∴+-= 2(1)(2)0q q ∴-+=1q ≠ 2q ∴=-故答案为：2-14．双曲线22134x y -=的焦点坐标为 (，渐近线方程是 ． 【解答】解：双曲线22134x y -=可得a =2b =，双曲线的焦点坐标为(，0)，双曲线的渐近线方程为：y =．故答案为：(，0)；y =． 15．已知等比数列{}n a 的前n 项和31n n S =-，则数列{}n a 的通项公式是 123n n a -= ． 【解答】解：由31n n S =-，得111312a S ==-=；当2n …时，11131(31)23n n n n n n a S S ---=-=---=， 验证12a =适合上式， ∴123n n a -=．故答案为：123n n a -=．16．如果关于x 的不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，那么k 的取值范围是 (3-，0] ．【解答】解：不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，0k =时，不等式化为308-<恒成立，0k ≠时，应满足2038()08k k k <⎧⎪⎨--<⎪⎩， 解得30k -<<．综上，不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(3-，0]．故答案为：(3-，0]．17．河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m 时，水面宽为8m ，一小船宽4m ，高2m ，载货后穿露出水面上的部分高0.75m ，则水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距 2 m 时，小船开始不能通航．【解答】解：以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y 轴建立如图的平面直角坐标系，使得抛物线开口向下；设拱桥型抛物线方程为22x py =-(0)p >； 1(2,)A y ，(4,5)B - 将(4,5)B -代入抛物线方程 得 1.6p =； 所以抛物线方程为2 3.2x y =-； 当船两侧与抛物线接触时不能通过， 由212 3.2y =-，得1 1.25y =-，（因为船露出水面的部分高0.75米）； 所以1||0.752h y =+=米．故水面上涨到与抛物线拱顶距2米时，小船开始不能通行． 故答案为：2．18．已知数列{}n a 满足：11a =，22a =，()()223n n na n a a n +⎧⎪=⎨+⎪⎩为奇数为偶数，则数列{}n a 的前2n 项和2n S = 212n - ．【解答】解：当n 为奇数时，22n n a a +=，∴奇数项成等比数列，首项为1，公比为2，135211(12)2112n n n a a a a -⨯-∴+++⋯+==--，当n 为偶数时，23n n a a +-=，∴偶数项成等差数列，首项为2，公差为3，22462(1)32322n n n n na a a a n -+∴+++⋯+=+⨯=．223212nn n nS +=-+．故答案为：23212nn n+-+．19．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n -=．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心1- ；双曲线N 的离心率为 ．【解答】解：椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n -=．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标(,0)c ，正六边形的一个顶点(2c，可得：22223144c c a b +=，可得22131144(1)e e +=-，可得42840e e -+=，(0,1)e ∈，解得1e =．nm= 可得：223n m =，即2224m n m +=，可得双曲线的离心率为2e ==．1-；2．三、解答题：版大题有4小题，共55分．解答应写出文字证明，证明过程或演算步骤． 20．已知等差数列{}n a 中，125a =，且1a ，11a ，13a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的公差小于零，求数列{}n a 的前n 项和n S 的表达式及其最大值；（3）求14732n a a a a -+++⋯+．【解答】解：（1）等差数列{}n a 的公差设为d ，125a =，且1a ，11a ，13a 成等比数列，可得211311a a a =，即225(2512)(2510)d d +=+，解得0d =或2d =-，则25n a =或252(1)272n a n n =--=-；（2）数列{}n a 的公差小于零，可得2d =-，125a =， 数列{}n a 的前n 项和2125(1)(2)262n S n n n n n =+-⨯-=-+2(13)169n =--+，可得13n =时，n S 取得最大值169；（3）当0d =时，1473225252525n a a a a n -+++⋯+=++⋯+=； 当0d <时，147322519(631)n a a a a n -+++⋯+=++⋯+-+ 21(25631)2832n n n n =-+=-． 21．解关于x 的不等式222()ax x ax a R --∈…． 【解答】解：原不等式变形为2(2)20ax a x +--…． ①0a =时，1x -…；②0a ≠时，不等式即为(2)(1)0ax x -+…， 当0a >时，2x a…或1x -…；由于22(1)a a a+--=，于是 当20a -<<时，21x a-剟；当2a =-时，1x =-； 当2a <-时，21xa-剟． 综上，当0a =时，1x -…；当0a >时，2x a …或1x -…；当20a -<<时，21x a-剟；当2a =-时，1x =-；当2a <-时，21xa-剟．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线20y x -+=相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设(P -，0)，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点G ．【解答】解：（1）c e a =，所以2212c a =，设以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆方程为222x y b +=，则圆心到直线的距离d b ==， 解得22b =，所以24a =，椭圆C 的方程为22142x y +=， （2）设1(B x ，1)y ，2(E x ，2)y ，1(A x ，1)y -由题知PB 斜率肯定存在，设直线PB方程为(y k x =+，联立22(142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222(12)1640k x x k +++-=，则12x x +=，212216412k x x k -=+，直线AE 的方程为：212221()y y y y x x x x +-=--，令0y =，则122112x y x y x y y +=+，将11(y k x =+，22(y k x =+代入得x =，所以(G ，0)， 故直线AE过定点(G ，0)，23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(1,0)F ，离心率为12，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上异于A 的两个动点，直线AP ，AQ 与直线:4l x =分别交于M ，N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若PAF ∆与PMF ∆的面积之比为15，求M 的坐标；（Ⅲ）设直线l 与x 轴交于点R ，若P ，F ，Q 三点共线，判断MFR ∠与FNR ∠的大小关系，并说明理由．【解答】（Ⅰ）解：由题意得1c =，又12c a =，解得2a =，1c =． 222a b c -=，23b ∴=．∴椭圆C 的方程为22143x y +=； （Ⅱ）解：PAF ∆与PMF ∆的面积之比为15，1||||5AP PM ∴=，则16AP AM =， 设(4M ，)(0)m m ≠，0(P x ，0)y ， 则0(2x +，01)(6,)6y m =，解得01x =-，06m y =． 将其代入22143x y +=，解得9m =±． M ∴的坐标为(4,9)或(4,9)-；（Ⅲ）证明：设(4,)M m ，(4,)N n ，0(P x ，0)y ，若0m =，则P 为椭圆C 的右顶点，由P ，F ，Q 三点共线知，Q 为椭圆C 的左顶点，不符合题意．0m ∴≠．同理0n ≠．直线AM 的方程为(2)6my x =+． 由22(2)6143m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，整理得2222(27)4(4108)0m x m x m +++-=． △2222(4)4(27)(4108)0m m m =-+->成立．由2024108227m x m --=+，解得20254227m x m -=+．∴00218(2)627m my x m =+=+． 得22542(27m P m -+，218)27mm +．当||3m =时，||3n =，22542127m m -=+，即直线PQ x ⊥轴． 由椭圆的对称性可得||||||3MR FR NR ===． 又90MRF NRF ∠=∠=︒， 45MFR FNR ∴∠=∠=︒．当||3m ≠时，||3n ≠，直线FP 的斜率22221806275429127FPmm m k m m m-+==---+，同理269FQ n k n =-． P ，F ，Q 三点共线，∴226699m nm n =--，得9mn =-． 在Rt MRF ∆和Rt NRF ∆中，||||tan ||3MR m MFR FR ∠==，||3||tan ||||3FR m FNR NR n ∠===， tan tan MFR FNR ∴∠=∠．MFR ∠，FNR ∠均为锐角， MFR FNR ∴∠=∠．综上，若P ，F ，Q 三点共线，则MFR FNR ∠=∠．。

北京101中学2018－2019学年上学期高二年级期中考试数学试卷一、选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知向量a=（8，x，x），b=（x，1，2），其中.若a∥b，则x的值为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】根据两向量平行的等价条件及题意，得到存在实数λ>0，使得，即，然后根据向量相等得到关于的方程组，解方程组可得所求．【详解】∵∥且，∴向量共线同向，∴存在实数λ>0，使得，即，∴，解得．故选A．【点睛】本题考查两向量共线的等价条件及其应用，考查计算能力，属于基础题．2.双曲线的焦点坐标为（）A. （±l，0）B. （±，0）C. （±，0）D. （±4，0）【答案】B【解析】【分析】先确定双曲线焦点的位置，然后根据曲线方程得到实半轴和虚半轴的值，进而得到半焦距的值，由此可得焦点坐标．【详解】由题意得双曲线的焦点在轴上，且，高二数学期中试题∴，∴双曲线的焦点坐标为．故选B．【点睛】判断双曲线的焦点位置时，要看曲线方程中变量的正负，焦点在正的项对应的变量所在的轴上，然后再根据求出半焦距后可得焦点的坐标．3.直线被圆截得的弦长为（）A. 1B. 2C. 4D.【答案】C【解析】因为化为，可知圆的圆心为,半径为，圆心到直线的距离为，由勾股定理可得直线被圆截得的弦长为，故选.【此处有视频，请去附件查看】4.已知圆：与圆：相内切，那么等于（）A. 4B. 5C. 6D.【答案】C【解析】【分析】根据两圆相内切得到圆心距和两半径间的关系，由此可得所求的值．【详解】由题意得．∵圆和圆相内切，∴，即，解得或（舍去）．故选C．【点睛】本题考查两圆位置关系的运用，当两圆相内切时，两圆的圆心距等于两半径之差的绝对值，同时也考查数形结合的应用．5.直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由时,圆心到直线的距离.所以弦长为.所以.所以充分性成立,由图形的对成性当时,的面积为.所以不要性不成立.故选 A.考点：1.直线与圆的位置关系.2.充要条件.【此处有视频，请去附件查看】6.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将抛物线的方程化为标准形式后可得焦点坐标．【详解】由题意得抛物线的标准方程为，∴焦点在轴的负半轴上，且，∴，∴抛物线的焦点坐标为．故选B．【点睛】本题考查抛物线的基本性质，解题的关键是把曲线方程化为标准形式，然后得到相关参数，进而得到所求，属于基础题．7.已知双曲线（a>0，b>0）的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程为可得，即，由此可得，故双曲线的焦点为．再由题意得到抛物线的准线方程为，故得，于是可得曲线方程．【详解】由，得，即为双曲线的渐近线方程，又双曲线的一条渐近线方程是，∴，，∴，∴双曲线的焦点坐标为．又抛物线的准线方程为，双曲线的焦点在抛物线的准线上，∴，∴，∴双曲线的方程为．故选D．【点睛】（1）已知双曲线的标准方程求其渐近线方程时，可把等号后的“１”改为“0”，变形为一次的形式后即为渐近线的方程．（2）解答本题的关键是理清条件中各个量间的关系，求出双曲线方程中的参数的值．8.正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1BD与平面ABCD所成角的正切值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出图形，作出所求的角，然后通过解三角形得到正切值．【详解】如图，连，交于，则为的中点，连．∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴，∴，∴即为平面A1BD与平面ABCD所成二面角的平面角．在中，，设正方体的棱长为，则，∴，∴平面A1BD与平面ABCD所成角的正切值为．故选A．【点睛】解答类似问题的关键是作出两平面所成角的平面角，将空间问题转化为平面问题求解，再通过解三角形的方法得到所求角（或其三角函数值），考查作图能力和计算能力，属于中档题．9.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，平面A1B1C1D1内的一动点P，满足到点A1的距离与到线段C1D1的距离相等，则线段PA长度的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，由题意得点P在以点A1为焦点、以C1D1为准线的抛物线上，由此可得点P坐标间的关系，然后根据空间中两点间的距离公式求解可得结果．【详解】如图，以A1D1的中点为原点，以A1D1为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，高二数学期中试题则．由于动点P到点A1的距离与到线段C1D1的距离相等，所以点P在以点A1为焦点、以C1D1为准线的抛物线上．由题意得，在平面内，抛物线的方程为，设点P的坐标为，则，所以，又，所以当时，有最小值，且．故选C．【点睛】本题考查空间中两点间的距离公式及最值问题，解题的关键有两个：（1）建立空间直角坐标系，并得到相关点的坐标；（2）根据题意得到点P在抛物线上，进而消去一个参数将所求距离化为二次函数的问题处理．10.若存在直线l与曲线C1和曲线C2都相切，则称曲线C1和曲线C2为“相关曲线”，有下列四个命题：①有且只有两条直线l使得曲线C1：和曲线C2：为“相关曲线”；②曲线C1：和曲线C2：是“相关曲线”；③当b>a>0时，曲线C1：和曲线C2：一定不是“相关曲线”；④必存在正数a使得曲线C1：和曲线C2：为“相关曲线”.其中正确命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】【分析】根据“相关曲线”的定义，只需判断每个命题中的两条曲线是否有公切线即可，若有公切线，则为“相关曲线”，否则则不是．【详解】对于①，由题意得曲线C1是以(0,0)为圆心，2为半径的圆；曲线C2是以(2,-1)为圆心，半径为1的圆．两圆的圆心距为，由于，故两圆相交，因此有两条外公切线，故①正确．对于②，由题意得曲线C1，C2是共轭双曲线（它们各自在x轴上方的部分），具有相同的渐近线，因此两曲线没有公切线，故②不正确．对于③，因为b>a>0，在同一坐标系内画出两曲线，如下图中的图形．由图可得圆在抛物线的内部，所以两曲线不会有公切线，故③正确．对于④，当a=1时，曲线C1：，此时直线与曲线C1和曲线C2都相切，故④正确．综上可得有三个命题正确．故选C．【点睛】解答本题的关键是正确理解题意，并找出两曲线的公切线，解题时要注意对每个结论中两曲线形状、性质的分析和判定，进而得到两曲线是否有公切线．考查理解和运用知识解决问题的能力．二、填空题，共6小题.11.已知⊙M：，则⊙Ｍ的半径r=____________.【答案】【分析】把圆的一般方程化为标准方程后可得圆的半径．【详解】由题意得圆的标准方程为，所以该圆的圆心为，半径为．故答案为．【点睛】本题考查圆的一般方程和标准方程间的转化，考查变形能力和辨识能力，属于简单题．12.如图所示，正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，线段B'D'上有点H，满足D'H=1，则异面直线DH与CC'所成角的大小为___________.【答案】【解析】【分析】根据两异面直线所成角的定义得到即为所求的角（或其补角），结合条件在求解可得所求．【详解】如图，因为，所以即为异面直线DH与CC'所成的角（或其补角）．在中，，所以，所以异面直线DH与CC'所成的角为．故答案为．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，解题的关键是根据定义作出两直线所成的角，同时还应注意两异面直线所成角的范围，这一点在解题中容易被忽视．13.已知椭圆焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，则△Ｆ1PF2的周长为__________.【解析】【分析】结合图形根据椭圆的定义求解即可得到三角形的周长．【详解】由题意得．∵P为椭圆上一点，∴，∴△Ｆ1PF2的周长为．故答案为．【点睛】椭圆上的点和两焦点构成的三角形称为焦点三角形，解决有关焦点三角形的问题时往往要用到椭圆的定义，然后再结合正弦、余弦定理等知识求解，解题时注意整体代换（即椭圆定义）的应用．14.若向量，且夹角的余弦值为，则=__________.【答案】【解析】【分析】根据向量的数量积得到关于的方程，解方程可得所求的值．【详解】∵，∴．又夹角的余弦值为，∴，整理得，解得．当时，，不合题意，舍去．当时，，符合题意．∴．故答案为1．【点睛】本题考查空间向量数量积的应用，解题时根据数量积的两种表示方法得到关于参数的方程，求解后可得所求．本题也可直接根据夹角的求法得到关于参数的方程后求解．15.若椭圆W：的离心率是，则m=___________.【答案】或【解析】【分析】按照椭圆的焦点在轴和在轴上两种情况分别求解，可得所求结果．【详解】①当椭圆的焦点在轴上时，则有，由题意得，解得．②当椭圆的焦点在轴上时，则有，由题意得，解得．综上可得或．故答案为或．【点睛】解答本题的关键有两个：一个是注意分类讨论思想方法的运用，注意椭圆焦点所在的位置；二是解题时要分清椭圆方程中各个参数的几何意义，然后再根据离心率的定义求解．16.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b（0<a<b），原点O为AD的中点，抛物线经过C，F两点，则=__________.【答案】【解析】试题分析：由题意，代入抛物线方程得：，因为，消去得：，化简整理得：，即，解得：，故填．考点：1．抛物线的标准方程；2．齐次方程的求解．【此处有视频，请去附件查看】三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.已知抛物线C：的焦点为F，直线l：y=与抛物线C交于A，B两点.（1）求AB弦长；（2）求△FAB的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用代数方法，根据弦长公式求解；（2）在（1）的基础上，再求出点F到直线AB的距离，最后根据三角形的面积公式求解即可．【详解】（1）由消去整理得，其中，设A（，），B（，）.则，.所以，所以=.（2）由题意得点F（1，0），故点F到直线AB的距离，所以.即△FAB的面积为．【点睛】直线和圆锥曲线相交所得的弦长即为两交点间的距离，解题时可根据弦长公式求解，高二数学期中试题由于涉及到大量的运算，所以解题中要注意“设而不求”和“整体代换”等方法的运用，以减少运算量，提高解题的效率和准确程度．18.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面A1AB⊥平面A1BC，且AH⊥Ａ1B交线段A1B于点H，AB=BC=2，CC1=3.点M是棱CC1的中点.（1）证明：BC⊥平面A1AB；（2）求直线MB与平面A1BC所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2）【解析】【分析】（1）由平面A1AB⊥平面A1BC，且AH⊥Ａ1B可得AH⊥平面A1BC，于是得AH⊥BC；再根据直三棱柱可得BC⊥Ｂ1B，于是可得BC⊥平面ABB1A1，即BC⊥平面A1AB；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，利用向量的夹角可求出线面角的正弦值．【详解】（1）因为平面A1AB⊥平面A1BC，平面A1AB∩平面A1BC=A1B，AH⊥Ａ1B，所以AH⊥平面A1BC．又BC平面A1BC，所以AH⊥BC．因为ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以AA1⊥BC．又AA1∩AH=A，所以BC⊥平面ABB1A1，即BC⊥平面A1AB．（2）由BC⊥平面ABB1A1可得BC⊥AB，所以BA, BC, BB1两两垂直．以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，则,所以.设平面A1BC的法向量为，由，得，令得．设直线MB与平面A1BC所成的角为，则，即直线MB与平面A1BC所成角的正弦值为．【点睛】利用向量法求线面角时，可利用平面的法向量和直线的方向向量来求，即设平面的法向量为，直线的方向向量为，直线与平面所成的角为，则．解题时注意向量的夹角和直线与平面所成角之间的关系．19.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，O为AD 中点，AB=1，AD=2，AC=CD=.（1）证明：直线AB∥平面PCO；（2）求二面角P－CD－A的余弦值；（3）在棱PB上是否存在点N，使AN⊥平面PCD，若存在，求线段BN的长度；若不存在，说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据条件AC=CD可得，又AB⊥AD，所以AB∥CO，然后根据线面平行的判定定理可得结论；（2）以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面PCD和平面ABCD的法向量，根据两向量的夹角求解可得所求余弦值；（3）假设存在点N满足条件，设出点N的坐标，根据直线AN的方向向量和平面PCD的法向量平行可得结论．【详解】（1）因为AC=CD，O为AD中点，所以．又AB⊥AD，所以AB∥CO，又AB平面PCO，CO平面PCO，所以AB∥平面PCO．（2）因为PA=PD，所以PO⊥AD.又因为PO平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.因为CO平面ABCD，所以PO⊥CO.因为AC=CD，所以CO⊥AD.如图建立空间直角坐标系O－.则A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，－1，0），P（0，0，1）.设平面PCD的法向量为，则，得'令z=2，则．又平面ABCD的法向量为=（0，0，1），所以.由图形得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．（3）假设存在点N是棱PB上一点，使得AN⊥平面PCD，则存在∈[0，1]使得，因此.由（2）得平面PCD的法向量为.因为AN⊥平面PCD，所以∥，即.解得=∈[0，1]，所以存在点N是棱PB上一点，使AN⊥平面PCD，此时=.【点睛】（1）用向量法求二面角时，先求出两平面法向量的夹角，再通过观察图形得到二面角为锐角还是钝角，最后才能得到结论．（2）解决立体几何中的探索性问题时，一般先假设存在满足条件的元素（点或线），然后以此作为条件进行推理，看能否得到矛盾，若得到矛盾，则假设不成立；若得不到矛盾，则假设成立．20.平面直角坐标系中，已知点M（，1）和点N（，）都在椭圆C：上.（1）求椭圆C的方程及其离心率e；（2）已知O是坐标系原点，一条直线l与椭圆C交于A，B两点，与y轴正半轴交于点P，令.试问：是否存在定点P，使得t为定值.若存在，求出点P的坐标和t的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1），；（2），.【解析】【分析】（1）将点M,N的坐标代入椭圆方程，求出的值后可得椭圆方程，进而可得离心率；（2）由题意直线的斜率存在，设其方程为，代入椭圆方程后消元得到关于的二次方程，结合根与系数的关系得到t=，故得当时t为定值，并可求出点P的坐标．【详解】（1）因为点M（，1）和点N（，）在椭圆上，所以，解得，所以椭圆C的方程为．又，所以离心率.（2）由题意得直线的斜率存，设直线l的方程为，由消去y整理得.因为直线直线与椭圆交于A，B两点，所以.（*）设直线l与椭圆C交于两点A，B，则，.根据条件可知P（0，m），则t=.所以当m2=1，即时，（*）式成立，t为定值－3，所以直线l过定点P（0，1），此时t=－3.【点睛】存在性问题通常采用“肯定顺推法”求解，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．。

2018-2019学年北京市十一学校高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.椭圆的焦距为（）A. 10B. 5C.D.2.已知双曲线x2-=1，那么它的焦点到渐近线的距离为（）A. 1B.C. 3D. 43.函数f（x）=1-x+x2，则函数y=f（x）在x=3处的瞬时变化率为（）A. 7B. 6C. 5D. 84.直线l：x=my+2与圆M：（x+1）2+（y+1）2=2相切，则m的值为（）A. 1或B. 1或C. 或7D. 1或5.若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（）A. B. C. D.6.设双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率是3，则其渐近线的方程为（）A. B. C. D.7.已知曲线-=1右焦点为F，P为双曲线左支点上一点，点A（0，），则△APF周长的最小值为（）A. B. C. D.8.已知圆M：x2+y2-2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：（x-1）2+（y-1）2=1的位置关系是（）A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离9.已知曲线C1：|y|-x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A. B.C. D. ，10.点P在曲线C：+y2=1上，若存在过P的直线交曲线C于A点，交直线l：x=4于B点，满足|PA|=|PB|或|PA|=|AB|，则称点P为“H点”，那么下列结论正确的是（）A. 曲线C上的所有点都是“H点”B. 曲线C上仅有有限个点是“H点”C. 曲线C上的所有点都不是“H点”D. 曲线C上有无穷多个点但不是所有的点是“H点”二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.由直线y=x+3上的点向圆（x-3）2+（y+2）2=1引切线，则切线长的最小值为______．12.过点（1，2）且与y2=4x有且只有一个公共点的直线方程为______．13.点P是椭圆+=1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1||PF2|=12，则∠F1PF2的大小______．14.已知点P（x，y）是椭圆=1上的动点，则2x+4y的取值范围是______．15.已知直线y=与双曲线（a＞0，b＞0）交于两点，则该双曲线的离心率的取值范围是______．16.已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m=______．17.设椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若椭圆C上存在点P，使得过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，满足=0，则椭圆的离心率的取值范围是______．18.曲线C为到两定点M（-2，0），N（2，0）距离的乘积为常数16的动点P的轨迹，以下结论中，正确的为______（把你认为正确的序号都填在横线上）①曲线C一定经过原点；②曲线C关于x轴对称，但不关于y轴对称；③△MPN的面积不大于8；④曲线C在一个面积为60的矩形范围内．三、解答题（本大题共4小题，共46.0分）19.已知点P（2，2），圆C：x2+y2-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．20.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为2，F为椭圆的右焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点A（3，0），P是椭圆上的点，求的最小值；（3）点M是以长轴为直径的圆O上一点，圆O在点M处的切线交直线x=3于点N；求证：过点M且垂直于ON的直线l过定点．21.已知抛物线y2=2px（p＞0）上点M（3，m）到焦点F的距离为4．（Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ）点P为准线上任意一点，AB为抛物线上过焦点的任意一条弦，设直线PA，PB，PF的斜率为k1，k2，k3，问是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3恒成立．若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．22.如图，曲线Γ由两个椭圆T1：=1（a＞b＞0）和椭圆T2：=1（b＞c＞0）组成，当a，b，c成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”（1）若猫眼曲线Γ过点M（0，）），且a，b，c的公比为，求猫眼曲线Γ的方程；（2）对（1）中求出的猫眼曲线Γ，任意作一条斜率为k（k≠0）且不过原点的直线与椭圆T1，T2均相交，交椭圆T1所得弦的中点为M，交椭圆T2所得弦的中点为N，设O为坐标原直线OM，ON的斜率分别为k OM，k ON，求证为定值；（3）已知t1的长轴长是4，T2的离心率是，斜率为的直线1为椭圆T2的切线交椭圆T1于点A，B，N为椭圆T1上的任意一点（点N与点A，B不重合），求△ABN 面积的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵椭圆方程为∴a2=16，b2=9，得c==由此，可得椭圆的焦距等于2c=2故选：D．根据椭圆标准方程得a2=16，b2=9．再根据椭圆基本量的关系得c==，由此即可得到该椭圆的焦距．本题给出椭圆的方程，求椭圆的焦距，着重考查了椭圆的标准方程和椭圆基本量的关系等知识，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：双曲线x2-=1的焦点F（2，0），一条渐近线的方程为y= x，由点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为=，故选：B．根据双曲线的方程求出焦点坐标和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式求得焦点到渐近线的距离．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．3.【答案】C【解析】解∵f（x）=1-x+x2，∴f′（x）=2x-1，即当x=3时，f′（3）=5，即在点x=2处的瞬时变化率估计是3，故选：C．根据导数的物理意义求函数的导数即可．本题主要考查导数的物理意义的应用，求函数的导数解决本题的关键．比较基础．4.【答案】B【解析】解：根据题意，直线l：x=my+2与圆M：（x+1）2+（y+1）2=2相切，圆M的圆心为（-1，-1），半径r=，则有d==，变形可得：m2+6m-7=0，解可得：m=1或-7；故选：B．根据题意，由直线与圆的位置关系，分析可得d==，变形解可得m的值，即可得答案．本题考查直线与圆相切的判断，注意直线与圆相切的性质即可，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由题意设双曲线方程为，离心率为e椭圆长轴的端点是（0，），所以a=．∵椭圆的离心率为∴双曲线的离心率e=，⇒c=2，∴b=，则双曲线的方程是y2-x2=2．故选：D．根据椭圆方程求得其长轴的端点坐标和离心率，进而可得双曲线的顶点和离心率，求得双曲线的实半轴和虚半轴的长，进而可得双曲线的方程．本题主要考查了双曲线的性质和椭圆的标准方程．要记住双曲线和椭圆的定义和性质．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．利用双曲线的离心率，这求出a，b的关系式，然后求渐近线方程．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率是3，可得，则==．双曲线=1（a＞0，b＞0）的其渐近线的方程为：x．故选A．7.【答案】A【解析】解：曲线-=1右焦点为F（，0），△APF的周长l=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+2a+|PF′|+|AP|，要△APF的周长最小，只需|PF′|+|AP|，最小，如图，当A、P、F三点共线时取到，故l=2|AF|+2a=4（1+）．故选：A．利用双曲线的性质，转化求解三角形的面积的最小值，判断最小值的位置是解题关键．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．8.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查圆的弦长，两圆位置关系的判断，求出a的值是解决本题的关键.写出圆M的圆心坐标和半径，求出圆M的圆心到直线x+y=0的距离，构造直角三角形，求出a的值，根据两圆的位置关系的判断方法进行判断即可.【解答】解：圆的标准方程为M：x2+（y-a）2=a2 （a＞0），则圆心为（0，a），半径R=a，故圆心到直线x+y=0的距离d=，∵圆M：x2+y2-2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，∴2=2=2=2，即=，即a2=4，a=2，则圆心为M（0，2），半径R=2，易知圆N：（x-1）2+（y-1）2=1的圆心为N（1，1），半径r=1，则|MN|==，∵R+r=3，R-r=1，∴R-r＜|MN|＜R+r，故两个圆相交.故选B.9.【答案】C【解析】解：由x=|y|-2可得，y≥0时，x=y-2；y＜0时，x=-y-2，∴函数x=|y|-2的图象与方程y2+λx2=4的曲线必相交于（0，±2），所以为了使曲线C1：|y|-x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则将x=y-2代入方程y2+λx2=4，整理可得（1+λ）y2-4λy+4λ-4=0，当λ=-1时，y=2满足题意，∵曲线C1：|y|-x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，∴△＞0，2是方程的根，∴＜0，即-1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数λ的取值范围是[-1，1）．故选：C．利用绝对值的几何意义，由x=|y|-2可得，y≥0时，x=y-2；y＜0时，x=-y-2，函数x=|y|-2的图象与方程y2+λx2=4的曲线必相交于（0，±2），为了使曲线C1：|y|-x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它交点．x=y-2代入方程y2+λx2=4，整理可得（1+λ）y2-4λy+4λ-4=0，分类讨论，可得结论，根据对称性，同理可得y＜0时的情形．本题考查曲线的交点，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：由题意，P、A的位置关系对称，于是不妨设-2≤x P＜x A≤2，（此时PA=AB）．由相似三角形，2|4-x A|=|4-x P|即：x P=2x A-4…①设PA：y=kx+m，与椭圆联立方程组，解得x A x P=…②∵△＞04k2＞m2-1…③联立①②③，得x A2-2x A＜而0＜＜2即x A2-2x A＜2即1-≤x A≤2而当x A＜1时，x P=2x A-4＜-2，故此时不存在H点又因为P的位置可以和A互换（互换后即PA=PB），所以H点的横坐标取值为[-2，0]U[1，2]故选：D．设出-2≤x P＜x A≤2，利用相似三角形求得x P和x A的关系，设出PA的方程与椭圆方程联立求得x A x P的表达式，利用判别式大于0求得k和m的不等式关系，最后联立①②③求得x A的范围，进而通过x A＜1时，x P=2x A-4＜-2，故此时不存在H点，进而求得H点的横坐标取值范围，判断出题设的选项．本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系问题．解题的关键是求得H点的横坐标取值范围．11.【答案】【解析】解：根据题意，设圆（x-3）2+（y+2）2=1的圆心为C，则C（3，-2），其半径为1，设P为直线y=x+3上任意一点，过点P向圆C引切线，切点为T，则|PT|=，则当|PC|最小时，|PT|最小，而|PC|的最小值为C到直线的距离d，且d==4，则切线长|PT|的最小值为=；故答案为：．根据题意，由圆的方程可得圆心与半径，设P为直线y=x+3上任意一点，过点P向圆C引切线，切点为T，分析可得可得当圆心C和直线上点的距离最小时，切线长最短，据此分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意分析切线长最短的条件，属于基础题．12.【答案】y=2或（）x-y+3-=0，或（）x+y-3-=0【解析】解：由题意可设直线方程为：y=k（x-1）+2，代入抛物线方程整理可得k2x2+（2k2+4k-4）x+k2+4k+4=0（*）直线与抛物线只有一个公共点等价于（*）只有一个根，①k=0时，y=2，符合题意；②k≠0时，△=（2k2+4k-4）2-4k2（k2+4k+4）=0，整理，得k2+2k-1=0，解得k=或k=-，故所求直线方程为：y=2或y=（）（x-1）+2或y=-（）（x-1）+2．所求直线方程为：y=2或（）x-y+3-=0，或（）x+y-3-=0．故答案为：y=2或（）x-y+3-=0，或（）x+y-3-=0．设出直线方程代入抛物线方程，整理可得k2x2+（2k2+4k-4）x+k2+4k+4=0（*），直线与抛物线只有一个公共点⇔（*）只有一个根，对k讨论即可得到．本题主要考查了由直线与抛物线的位置关系，求解参数的取值范围，一般的思路是把位置关系转化为方程解的问题，体现了转化的思想．13.【答案】60°【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．利用椭圆的定义，结合余弦定理，已知条件，转化求解即可．【解答】解：椭圆+=1，可得2a=8，设|PF1|=m，|PF2|=n，可得，化简可得：cos∠F1PF2=∴∠F1PF2=60°故答案为：60°．14.【答案】[-10，10]【解析】解：目标函数z=2x+4y，P代表椭圆上动点，直线则代表目标函数，在直线移动的过程中，直线越往上移动，所代表的截距越大，那么目标函数值z也越大，反之则越小．由此我们可以得出在相切时，z分别取到最大最小值，图象如下．为了研究相切时的情况，联立椭圆=1和直线z=2x+4y的方程，得到二次方程，25x2-8zx+z2-36=0由于相切时方程有且仅有一解，所以令判别式△=0得到64z2-100（z2-36）=0即z2=100，此时z=±10，所以，z max=10，z min=-10，因此目标函数2x+4y的取值范围是[-10，10]．故答案为：[-10，10]．目标函数z=2x+4y，P代表椭圆上动点，直线则代表目标函数，我们会发现，在直线移动的过程中，直线越往上移动，所代表的截距越大，那么目标函数值z也越大，反之则越小．由此我们可以得出在相切时，z分别取到最大最小值，即可得出结论．本题考查椭圆方程，考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．15.【答案】（，）【解析】解：把直线y=代入双曲线（a＞0，b＞0），并整理，得，∵直线y=与双曲线（a＞0，b＞0）交于两点，∴4b2＞a2，即b2＞，∴c2=a2+b2＞a+=，∴c＞，∴e=＞．故答案为：（，+∞）．由直线y=与双曲线（a＞0，b＞0）交于两点，推导出4b2＞a2，由此能够推导出离心率的取值范围．本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意一元二次方程的解的个数的应用．16.【答案】【解析】解：由题意可知：F（1，0），由抛物线定义可知A（x1，y1），可知B（x2，y2），∵=2，可得：2（x 2-1，y2）=（1-x1，-y1），可得y2=-，x2=，，解得x1=2，y1=±2．||=||，可得|m-1|=，解得m=．故答案为：．画出图形，利用已知条件求出A，B的坐标，通过向量关系求出m值即可．本题考查直线与抛物线方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．17.【答案】[，1）【解析】解：由=0可得∠APB=90°，由圆的切线质可得|PA|=|PB|，∠OAP=∠OBP=∠APB=90°，且|OA|=|OB|=b，则四边形OABP是正方形，|OP|=b，∴|OP|2=2b2≤a2，∴a2≤2c2，∴e2=≥，即e的范围为[，1）．故答案为：[，1）．由题意可得∠APB=90°，运用圆的切线性质，可得四边形OABP是正方形，|OP|=b，又|OP|2=2b2≤a2，由此能求出椭圆离心率e的取值范围．本题考查椭圆的离心率的范围，注意运用圆的切线性质和椭圆上的点与原点的距离的范围，考查运算能力，属于中档题．18.【答案】②【解析】解：设P（x，y），则•=16，①，（0，0）代入，方程不成立，即曲线C一定经过原点，不正确；②，以-x代替x，-y代替y，方程成立，即曲线C关于x、y轴对称，不正确；③，x=0，y=，△MPN的最大面积=×=4＜8，故正确；，④令y=0，可得x=±2，曲线C在一个面积为4×=16的矩形范围内，不正确．故答案为：②．设P（x，y），则•=16，对选项分别进行判断，即可得出结论．本题考查轨迹方程，考查曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.【答案】解：（1）由圆C：x2+y2-8y=0，得x2+（y-4）2=16，∴圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4．设M（x，y），则，，，．由题意可得：．即x（2-x）+（y-4）（2-y）=0．整理得：（x-1）2+（y-3）2=2．∴M的轨迹方程是（x-1）2+（y-3）2=2．（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆，由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM．∵k ON=3，∴直线l的斜率为-．∴直线PM的方程为，即x+3y-8=0．则O到直线l的距离为．又N到l的距离为，∴|PM|==．∴△ ．【解析】本题考查圆的轨迹方程的求法，训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．（1）由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标，由与数量积等于0列式得M的轨迹方程；（2）设M的轨迹的圆心为N，由|OP|=|OM|得到ON⊥PM．求出ON所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度，代入三角形面积公式得答案．20.【答案】解：（1）由长轴长为2，且离心率为．可得a=，e==，a2-b2=c2，解得b=，c=1．则椭圆的方程为+=1；（2）设P（m，n），则2m2+3n2=6．-又A（3，0），F（1，0）∴=（3-m，-n）•（1-m，-n）=（3-m）（1-m）+n2=m2+n2-4m+3=∴当m=-时，的最小值4+6；（3）证明：由题意知，圆O的方程为x2+y2=3．设N（3，t），M（x0，y0），x02+y02=3．由|ON|2=3+|MN|2，得32+t2=3+（x0-3）2+（y0-t）2，即9+t2=3+x02-6x0+9+y02-2ty0+t2，因为x02+y02=3，所以3x0+y0t-3=0．当t=0时，x0=1，直线l的方程为x=1，直线l过椭圆C的右焦点F（1，0）．当t≠0时，直线MN的方程为，即ty-ty0=-3x+3x0，即ty=-3（x-1），直线l过椭圆C的右焦点F（1，0）．综上所述，直线l过椭圆C的右焦点F（1，0）．【解析】（1）由题意可得2a=2，e==，a2-b2=c2，解方程可得a=2，进而得到椭圆方程；（2）设P（m，n），则2m2+3n2=6．-．=（3-m，-n）•（1-m，-n）=（3-m）（1-m）+n2=m2+n2-4m+3=，根据m的范围求得最值．（3）求得圆O的方程，根据题意|ON|2=3+|MN|2，求得3x0+y0t-3=0，分类讨论，当t≠0时，直线MN的方程，则ty=-3（x-1），直线l过椭圆C的右焦点F（1，0）．本题考查椭圆的标准方程及性质，向量数量积运算，定点问题，考查圆方程的应用，考查转化思想，属于中档题．21.【答案】解：（I）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），准线为x=，由抛物线的定义可知：4=3，p=2∴抛物线方程为y2=4x；（II）由于抛物线y2=4x的焦点F为（1，0），准线为x=-1，设直线AB：x=my+1，与y2=4x联立，消去x，整理得：y2-4my-4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（-1，t），有易知，而====2k3∴存在实数λ=2，使得k1+k2=λk3恒成立．【解析】（Ⅰ）由抛物线的定义：到焦点的距离等于到准线的距离，即可求出p，从而得到方程；（Ⅱ）求出焦点和准线，设出直线AB，联立方程，消去x得到y的方程，运用韦达定理，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（-1，t），运用斜率公式，化简整理，注意点在抛物线上，且全部转化为y的式子，即可判断．本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义、性质和方程，同时考查联立方程，运用韦达定理，运用斜率公式，考查运算化简能力，是一道中档题．22.【答案】解：（1）由题意知，b=，，∴a=3，c=1，∴T1：+=1，∴T2：+x2=1；（2）证明：设斜率为k的直线交椭圆T1于点C（x1，y1），D（x2，y2），线段CD中点M（x0，y0），∴x0=，y0=，由+=1，+=1，相减得+=0，∵k存在且k≠0，∴x1≠x2，且x0≠0，∴•=-，即k•k OM=-；同理，k•k ON=-3；∴=；（3）设直线l的方程为y=x+m，联立方程得，化简得，（b2+2c2）x2+2mc2x+m2c2-b2c2=0，由△=0化简得m2=b2+2c2，l1：y=x+，联立方程得，化简得（b2+2a2）x2+2ma2x+m2a2-b2a2=0，由△=0得m2=b2+2a2，l2：y=x-，两平行线间距离d=，∴|AB|=，∴△ABN的面积最大值为S=|AB|•d=．T1的长轴长是4，T2的离心率是，可得a=2，b=c，由a，b，c成等比数列可得b2=ac，可得a=2，c=1，b=，则△ABN面积的最大值S=．【解析】（1）由题意知b=，从而求猫眼曲线Γ的方程；（2）设交点C（x1，y1），D（x2，y2），从而可得x0=，y0=，联立方程化简可得k•k OM=-，k•k ON=-2；从而解得；（3）设直线l的方程为y=x+m，联立方程化简（b2+2c2）x2+2mc2x+m2c2-b2c2=0，从而可得l1：y=x+，同理可得l2：y=x-，从而利用两平行线间距离表示三角形的高，再求|AB|=，从而求最大面积．本题考查了学生的化简运算的能力及椭圆与直线的位置关系的判断，属于难题．。