高等数学方明亮版
习 题 8-1
1．设有一个面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布有面密度为(,)x y μμ=的电荷，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q ．
解 用一组曲线将D 分成n 个小闭区域i σ?，其面积也记为(1,2,,)i i n σ?= .任取一点(,)i i i ξησ∈?,则i σ?上分布的电量(,)i i i Q μξησ?≈?.通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为
1
lim (,)(,)d ,n
i i i i D
Q x y λμξησμσ→==?=∑??
其中1max{i i n
λσ≤≤=?的直径}．
2. 设
1
2231()d D I x y σ
=+??其中
1{
(,)11,22}
D x y x y =-≤≤
-≤≤
；又2
2
2
3
2(
)d D I x y σ=+
??其中2{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤．试利用二重积分的几何意义说
明1I 与2I 之间的关系．
解 由二重积分的几何意义知，1I 表示底为1D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体1Ω的体积；2I 表示底为2D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体2Ω的体积．由于位于1D 上方的曲面223()z x y =+关于yOz 面和zOx 面均对称，故yOz 面和zOx 面将1Ω分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为2Ω．由此可知124I I =．
3. 利用二重积分定义证明： (1) d ()D
D σσσ=??其中为的面积；
(2) (,)d (,)d ()D
D
kf x y k f x y k σσ=????其中为常数；
(3) 1
2
(,)d (,)d (,)d ,D
D D f x y f x y f x y σσσ=+??????其中12D D D = ，1D 、2D 为两个无
公共内点的闭区域.
证 (1) 由于被积函数(,)1f x y ≡，故由二重积分定义得
11
d lim (,)lim lim .n
n
i
i
i
i i i D
f λ
λλσξησσσσ→→→===?=?==∑∑??
(2) 0
1
1
(,)d lim (,)lim (,)(,)d .n
n
i i i i i i i i D
D
kf x y kf k f k f x y λλσξησξησσ→→===?=?=∑∑????
(3) 因为函数(,)f x y 在闭区域D 上可积，故不论把D 怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D 时，可以使1D 和2D 的公共边界永远是一条分割线。这样(,)f x y 在12D D 上的积分和就等于1D 上的积分和加2D 上的积分和，记为
12
1
2
(,)(,)(,).i i i i i i i i i D D D D f f f ξησξησξησ?=?+?∑∑∑
令所有i σ?的直径的最大值0λ→，上式两端同时取极限，即得
12
1
2
(,)d (,)d (,)d .D D D D f x y f x y f x y σσσ=+??????
4. 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：
(1) 2()d D
x y σ+??与3()d D
x y σ+??，其中积分区域D 是由x 轴、y 轴与直线
1x y +=所围成；
(2) 2()d D
x y σ+??与3()d D
x y σ+??，其中积分区域D 是由圆周22(2)(1)2
x y -+-=所围成；
(3) ln()d D
x y σ+??与2[ln()]d D
x y σ+??，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为
(1,0),(1,1),(2,0)；
(4) ln()d D
x y σ+??与2[ln()]d D
x y σ+??，其中{(,)35,01}D x y x y =≤≤≤≤.
解 (1) 在积分区域D 上，01x y ≤+≤，故有32()()x y x y +≤+，根据二重积分的性质４，可得32()d ()d .D
D
x y x y σσ+≤+????
(2) 由于积分区域D 位于半平面{(,)|1}x y x y
+≥内，故在D 上有
23()()x y x y +≤+．从而23()d ()d .D
D
x y x y σσ+≤+????
(3) 由于积分区域D 位于条形区域{(,)|12}x y x y ≤+≤内，故知D 上的点满足
0ln()1x y ≤+≤，从而有2[ln()]ln()x y x y +≤+．因此2[ln()]d ln()d .D
D
x y x y σσ+≤+????
(4) 由于积分区域D 位于半平面{(,)|e}x y x y +≥内，故在D 上有ln()1x y +≥，从而有2[ln()]ln()x y x y +≥+．因此2[ln()]d ln()d .D
D
x y x y σσ+≥+????
5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值： (1) ()d D
I xy x y σ=+??其中{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤；
(2) 22sin sin d D
I x y σ=??其中{(,)0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤；
(3) (1)d D
I x y σ=++??其中{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤；
(4) 22(49)d D
I x y σ=++??其中22{(,)4}D x y x y =+≤.
解 (1) 在积分区域D 上，01x ≤≤，01y ≤≤，从而0()2xy x y ≤+≤，又D 的面积等于1，因此0()d 2.D
xy x y σ≤+≤??
(2) 在积分区域D 上，0sin 1x ≤≤，0sin 1y ≤≤，从而220sin sin 1x y ≤≤，又D 的面积等于2π，因此2220sin sin d π.D
x y σ≤≤??
(3) 在积分区域D 上，014x y ≤++≤，D 的面积等于2，因此
2(1)d 8.D
x y σ≤++≤??
(4) 在积分区域D 上，2204x y ≤+≤，从而22229494()925,x y x y ≤++≤++≤，又D 的面积等于4π，因此2236π(49)d 100π.D
x y σ≤++≤??
习 题 8-2
1. 计算下列二重积分：
(1) 22()d D
x y σ+??，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤；
(2) (32)d D
x y σ+??，其中D 是由两坐标轴及直线2x y +=所围成的闭区域；
(3) 323(3)d D
x x y y σ++??，其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤；
(4) cos()d D
x x y σ+??其中D 是顶点分别为(0,0)，(π,0)和(π,π)的三角形闭区
域．
解 (1) 1
31
1
1
12222
221111128()d d ()d d (2)d .333D
y x y x x y y x y x x x σ-----??+=+=+=+=??????????
(2) D 可用不等式表示为03,02y x x ≤≤-≤≤，于是
222
22000
2
20(32)d d (32)d [3]d 20
(422)d .3
x
x
D
x y x x y y xy y x
x x x σ--+=+=+=+-=????
??
(3)
11
323323
(3)d d (3)d D
x x y y y x x y y x σ++=++???? 1
41
1333000
1d ()d 1.44x x y y x y y y y ??
=++=++=??????
(4) D 可用不等式表示为0,0πy x x ≤≤≤≤，于是
π
π
00
π
0cos()d d cos()d [sin()]d 3
(sin 2sin )d π.2
x
x
D
x x y x x x y y x x y x x x x x σ+=+=+=-=-??????
2. 画出积分区域，并计算下列二重积分：
(1) D
σ??，其中D
是由两条抛物线y 2y x =所围成的闭区域；
(2) 2d D
xy σ??，其中D 是由圆周224x y +=及y 轴所围成的右半闭区域；
(3) e d x y D
σ+??，其中{(,)|||||1}D x y x y =+≤；
(4) 22()d D
x y x σ+-??，其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =所围成的闭区域．
解 (1) D
可用不等式表示为201x y x ≤≤≤≤，于是
237
1114240
00226
d d (-)d .3355
D
x x x y x y x x x x σ?====?????????
(2) D
可用不等式表示为022x y ≤-≤≤，于是
2
22
2
22
2
2164d d d (4)d .215
D
xy y y x y y y σ--==
-=???? (3) 12D D D = ，其中1{(,)|11,10}D x y x y x x =--≤≤+-≤≤，
1{(,)|11,01}D x y x y x x =-≤≤-+≤≤，于是
1
2
1
11
11
01
012112111
e d e d e d e d e d e d e d (e e )d (e e )d e e .
x y x y x y
D D D x x x y x y x x x x x y x y x x σσσ+++++----+----=+=+=-+-=-????????
??
??
(4) D 可用不等式表示为,022
y
x y y ≤≤≤≤，于是
2
2222
2
322
223
20
02()d d ()d 19313d d .322486y
y D
y y x y x y x y x x x x y x y y y y σ+-=+-????=+-=-=?? ?????
?????
?
3. 化二重积分
(,)d D
I f x y σ=??
为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域D 是：
(1) 由直线y x =及抛物线24y x =所围成的闭区域； (2) 由x 轴及半圆周222(0)x y r y +=≥所围成的闭区域； (3) 由直线y x =，2x =及双曲线1(0)y x x
=>所围成的闭区域； (4) 环形闭区域22{(,)|14}x y x y ≤+≤．
解 (1) 直线y x =及抛物线24y x =的交点为(0,0)和(4,4)，于是
4
0d (,)d x
I x f x y y =?或240
4
d (,)d y
y I y f x y x =??
(2) 将D
用不等式表示为0y r x r ≤≤-≤≤，于是可将I 化为
d (,)d r
r I x f x y y -=?；
如将D
用不等式表示为0x y r ≤≤≤，于是可将I 化为
0d (,)d .r
I y f x y x =?
(3) 三个交点为(1,1)、1(2,)2
和(2,2)，于是2
11d (,)d x
x
I x f x y y =??或
1222
111
2
d (,)d d (,)d .y
y
I y f x y x y f x y x =+????
(4) 将D 划分为４块，得
1
1
211
21
1
d (,)d d (,)d d (,)d d (,)d .
I y f x y x y f x y x
y f x y x y f x y x ----=+++???
??
或
1
1
2
11
21
1
d (,)d d (,)d d (,)d d (,)d .
I x f x y y y f x y y
y f x y y y f x y y ----=+++????
?
4. 改换下列二次积分的积分次序：
(1) 100d (,)d y y f x y x ?? ； (2) 2
220d (,)d y
y y f x y x ?? ；
(3) 1
0d (,)d y f x y x ? ；
(4) 2
12d (,)d x
x f x y y -? ；
(5) e
ln 10d (,)d x x f x y y ?? ； (6) π
sin 0sin 2
d (,)d x
x x f x y y -?? ．
解 (1) 所给二次积分等于二重积分(,)d D
f x y σ??，其中
{(,)|0,01}D x y x y y =≤≤≤≤，D 可改写为{(,)|1,01}x y x y x ≤≤≤≤，于是
原式11
0d (,)d .x x f x y y =??
(2) 所给二次积分等于二重积分(,)d D
f x y σ??，其中
2{(,)|2,02}D x y y x y y =≤≤≤≤，D
可改写为{(,)|
04}2
x
x y y x ≤≤≤，于是
原式4
02
d (,)d .x x f x y y =??
(3) 所给二次积分等于二重积分(,)d D
f x y σ??
，其中
{(,)|01}D x y x y =≤≤≤，D
可改写为{(,)|011}x y y x ≤≤-≤≤，于是
原式1
10
d (,)d .x f x y y -=?
(4) 所给二次积分等于二重积分(,)d D
f x y σ??
，其中
{(,)|212}D x y x y x =-≤≤≤≤，D
可改写为
{(,)|2101}x y y x y -≤≤≤≤，于是
原式1
102d (,)d .y
y f x y x -=??
(5) 所给二次积分等于二重积分(,)d D
f x y σ??，其中
{(,)|0ln ,1e}D x y y x x =≤≤≤≤，D 可改写为{(,)|e e,01}y x y x y ≤≤≤≤，于是
原式1e
0e d (,)d .y
y f x y x =??
(6) 所给二次积分等于二重积分(,)d D
f x y σ??，将D 表示为12D D ，其中
1{(,)|arcsin πarcsin ,01}D x y y x y y =≤≤-≤≤，2{(,)|2arcsin π,10}D x y y x y =-≤≤-≤≤，于是
原式1πarcsin 0π
0arcsin 1
2arcsin d (,)d d (,)d .y
y
y
y f x y x y f x y x ---=+????
5. 计算由四个平面0x =，0y =，1x =，1y =所围成柱体被平面0z =及
236x y z ++=截得的立体的体积．
解 此立体为一曲顶柱体，它的底是xOy 面上的闭区域
{(,)|01,01}D x y y x =≤≤≤≤，顶是曲面623z x y =--，因此所求立体的体积为
11007
(623)d d d (623)d .2D
V x y x y x x y y =--=--=???? 6. 求由曲面222z x y =+及2262z x y =--所围成的立体的体积． 解 所求立体在xOy 面上的投影区域为
22{(,)|2}D x y x y =+≤
所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差：
22222222π20
(62)d (2)d (633)d (63)d d d 3)d 6π.
D
D
D
D
V x y x y x y σσ
σρρθθρρρ=---+=--=-=-=?????????
7. 画出积分区域，把积分(,)d D
f x y σ??表示为极坐标形式的二次积分，其中
积分区域D 是：
(1) 222{(,)|}(0)x y x y a a +≤>； (2) 22{(,)|2}x y x y x +≤； (3) 2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤，其中0a b <<； (4) {(,)|01,01}x y y x x ≤≤-≤≤． 解 (1) 在极坐标中，{(,)|0,02π}D a ρθρθ=≤≤≤≤，故
2π0
(,)d (cos ,sin )d d d (cos ,sin )d .a
D
D
f x y f f σρθρθρρθθρθρθρρ==??
????
(2) 在极坐标中，π
π{(,)|02cos ,}22
D ρθρθθ=≤≤-≤≤，故
π2cos 2π0
2
(,)d (cos ,sin )d d d (cos ,sin )d .D
D
f x y f f θ
σρθρθρρθθρθρθρρ-==??
????
(3) 在极坐标中，{(,)|,02π}D a b ρθρθ=≤≤≤≤，故
2π0
(,)d (cos ,sin )d d d (cos ,sin )d .b
a
D
D
f x y f f σρθρθρρθθρθρθρρ==??
????
(4) 在极坐标中，直线1x y +=的方程为1
sin cos ρθθ
=
+，故
1π
{(,)|0,0}sin cos 2
D ρθρθθθ=≤≤
≤≤+，
于是
π
12sin cos 0
(,)d (cos ,sin )d d d (cos ,sin )d .D
D
f x y f f θθσρθρθρρθθρθρθρρ+==?????
?
8. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：
(1) 1
1
00d (,)d x f x y y ?? ； (2) 2
0d (,)d x x f x y y ? ；
(3) 1
01d (,)d x
x f x y y -? ； (4) 2
1
d (,)d x x f x y y ?? ．
解 (1) 用直线y x =将积分区域D 分成1D 、2D 两部分：
1π
{(,)|0sec ,0}4D ρθρθθ=≤≤≤≤，
2ππ
{(,)|0c ,
}.42
D cs ρθρθθ=≤≤≤≤， 于是
原式sec csc 4
20
4
d (cos ,sin )d d (cos ,sin )d .f f ππ
θ
θ
πθρθρθρρθρθρθρρ=+????
(2) 在极坐标中，直线2,x y x ==和y =的方程分别是π
2sec ,4
ρθθ==
和3
π
θ=
。因此ππ
{(,)|02sec ,
}43
D ρθρθθ=≤≤≤≤，又()f f ρ=，于是 原式π2sec 3π0
4
d ()d .f θ
θρρρ=??
(3) 在极坐标中，直线1y x =-的方程为1
sin cos ρθθ
=+，圆y =程为1ρ=，因此1π
{(,)|
1,0}sin cos 2
D ρθρθθθ=≤≤≤≤+，故
原式π
1210
sin cos d (cos ,sin )d .f θθ
θρθρθρρ+=??
(4) 在极坐标中，直线1x =的方程为sec ρθ=，抛物线2y x =的方程为
22sin cos ρθρθ=，即tan sec ρθθ=；两者的交点与原点的连线的方程是π
4
θ=
。因此π
{(,)|tan sec sec ,0}4
D ρθθθρθθ=≤≤≤≤，故
原式πsec 40
tan sec d (cos ,sin )d .f θ
θθ
θρθρθρρ=?? 9. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：
(1) 22200
d )d a
x x y y +? ；
(2) 00
d a x y ?? ；
(3) 2
11
2
22
0d ()d x
x x x y y -+?? ；
(4) 2200
d )d a
y x y x +? ． 解 (1) 在极坐标中，π
{(,)|02cos ,0}2
D a ρθρθθ=≤≤≤≤，故
原式π2cos 2420
3d d π.4
a a θ
θρρρ=?=??
(2) 在极坐标中，π{(,)|0sec ,0}4
D a ρθρθθ=≤≤≤≤，故
原式π3
sec 40
d d 1)].6
a a θ
θρρρ=?=??
(3) 在极坐标中，抛物线2y x =的方程为22sin cos ρθρθ=，即t a n s e c ρθθ=；直线y x =的方程是π4θ=，故π{(,)|0tan sec ,0}4
D ρθρθθθ=≤≤≤≤，故
原式πtan sec 40
1
d d 1.θθ
θρρρ
=?=??
(4) 在极坐标中，积分区域
π
{(,)|0,0}2
D a ρθρθ=≤≤≤≤，
于是
原式π2420
0πd d .8
a
a θρρρ=?=??
10. 利用极坐标计算下列各题：
(1) 2
2
e d x y D
σ+??，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域；
(2) arctan d D
y x
σ??，其中D 是由圆周224x y +=，221x y +=及直线0y =，y x
=所围成的在第一象限内的闭区域.
解 (1) 在极坐标中，{(,)|02,02π}D ρθρθ=≤≤≤≤，故
原式2
2π
2
400d e d π(e 1).ρθρρ=?=-??
(2) 在极坐标中，π{(,)|12,0}4
D ρθρθ=≤≤≤≤，故
原式π2
2
40
13d d π.64
θρρ==
?? 11. 选用适当的坐标计算下列各题： (1) 2
2
d D
x y σ??
，其中D 是由直线2x =，y x =及曲线1xy =所围成的闭区域；
(2) D
σ，其中D 是由圆周221x y +=及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；
(3) 22()d D
x y σ+??，其中D 是由直线y x =，y x a =+，y a =，3(0)y a a =>所
围成的闭区域；
(4) D
σ，其中D 是圆环形闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤．
解 (1) 选用直角坐标，1
{(,)|,12}D x y y x x x
=≤≤≤≤，故
22
212219d .4x x D
x x dx dy y y σ==???? (2) 选用极坐标，π{(,)|01,0}2
D ρθρθ=≤≤≤≤，故
π2
0d d d d ππ
d (π2).28
D
D
σρρθθρρρρ===
?=-???
(3) 选用直角坐标，
3
332
2
22
2
2
40
()d d ()d (2)d 14.3
a y a
y a
D
a x
y y x y x ay a y y a σ-+=+=-+=????
?
(4) 选用极坐标，π{(,)|01,0}2
D ρθρθ=≤≤≤≤，故
2π
2330
2
d d d d π().3
b a
D
D
b a σρρρθθρρ=?==
-???? 12. 求由平面0y =，(0)y kx k =>，0z =以及球心在原点、半径为R 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积（图8-21）．
解
3
00
d d
d d arctan.
3
D D
a
V
R
k
σρρθ
θρρ
==
==
??
习题8-3
1. 化三重积分(,,)d d d
I f x y z x y z
Ω
=???为三次积分，其中积分区域Ω分别是:
(1) 由双曲线抛物面xy z
=及平面10
x y
+-=，0
z=所围成的闭区域；
(2) 由曲面22
z x y
=+及平面1
z=所围成的闭区域；
(3) 由曲面22
2
z x y
=+及2
2
z x
=-所围成的闭区域；
(4) 由曲面(0)
cz xy c
=>，
22
22
1
x y
a b
+=，0
z=所围成的在第一卦限内的闭区域.
解 (1) Ω可用不等式表示为：0,01,01
z xy y x x
≤≤≤≤-≤≤，因此
11
000
d d(,,)d.
x xy
I x y f x y z z
-
=???
(2) Ω
可用不等式表示为：221,11
x y z y x
+≤≤≤-≤≤，因
此
22
11
1
d(,,)d.
x y
I x y f x y z z
-+
=??
(3) Ω可用不等式表示为
：2222
221,11
x y z x x y x x +≤--≤≤--≤
，因此
2
22
12
12
d(,,)d.
x
x y
I x y f x y z z
-
-+
=??
(4) Ω
可用不等式表示为：0,00
xy
z y x a
c
≤≤≤≤≤≤，因此
00
d(,,)d.
xy
a
c
I x y f x y z z
=???
2. 计算23d d d
xy z x y z
Ω
???，其中Ω是由曲面z xy
=，与平面y x
=，1
x=和0
z=所
围成的闭区域.
解Ω可用不等式表示为：0,0,01
z xy y x x
≤≤≤≤≤≤，因此
1
2323
000
11
4612
000
d d d d d d
111
d d d.
428365
x xy
x
xy z x y z x x y y z z
x x x y y x x
Ω
=
===
??????
???
3. 计算3
d d d (1)x y z
x y z Ω
+++???
，其中Ω为平面0x =，0y =，0z =，1x y z ++=所围
成的四面体.
解 Ω可用不等式表示为：01,01,01z x y y x x ≤≤--≤≤-≤≤，因此
11133
000111112200
11
200
d d d d d d (1)(1)1
11
d d d d 2(1)82(1)115
d (ln 2).82(1)28x x y x y
x
x
x
x y z z x y x y z x y z x y x y x y z x y y x x y ---Ω
-----=++++++????-==-+????+++++????
??=--=-??++??????????
??
? 4. 计算d d d xyz x y z Ω
???，其中Ω为球面2221x y z ++=及三个坐标面所围成的在
第一卦限内的闭区域.
解 Ω
可用不等式表示为：0001z y x ≤≤≤≤≤≤，因此
1
2
2
2
4
1
1200001220d d d d d d 11d d (1)d 222411(1-)d .848xyz x y z x x y y z
x y y y x x y x x x x x x Ω
=?--=?
=--??
??==????
???
5.计算d d d xz x y z Ω
???，其中Ω是由平面0z =，z y =，1y =以及抛物柱面2y x =所
围成的闭区域.
解 Ω可用不等式表示为：20,1,11z y x y x ≤≤≤≤-≤≤，因此
22111
21
1
1
611
d d d d d d 1d d (1)d 0.26y
x
x xz x y z x x y z z
y x x y x x x -Ω
--===-=?????????
6. 计算d d d z x y z Ω
???，其中Ω
是由锥面z (0,0)z h R h =>>所
围成的闭区域.
解 Ω在xOy 面上的投影区域
222{(,)|}xy D x y x y R =+≤
，{(,,),(,)}xy x y z z h x y D Ω=≤∈.于是
2
222
2
222
2π
2222322
2200
1
d d d d d d()d d
2
11
d d()d dπd dπ.
2224
xy xy
xy xy
h
D D
R
D D
h
z x y z x y z h x y x y
R
h h h
h x y x y x y R R h
R R
θρρ
Ω
??
==-+
??
??
??
??
=-+=?-=
??
??
???????
??????
7. 利用柱面计算下列三重积分:
(1) d z v
Ω
???，其中Ω
是由曲面z=22
z x y
=+所围成的闭区域；
(2) 22
()d
x y v
Ω
+
???，其中Ω是由曲面222
x y z
+=及平面2
z=所围成的闭区域.
解 (1) Ω在xOy面上的投影区域22
{(,)|1}
xy
D x y x y
=+≤，利用柱面坐标，Ω可
用不等式表示为：201,02π
z
ρρθ
≤≤≤≤≤≤，因此
2
2π1
00
1
46
2π1242
00
d d d d d d d
117π
d(2)d2π.
224612
z v z z z
ρ
ρρθθρρ
ρρ
θρρρρρ
ΩΩ
==
??
=--=?--=
??
??
????????
??
(2) 由222
x y z
+=及2
z=消去z得224
x y
+=，从而知Ω在xOy面上的投影区域为22
{(,)|4}
xy
D x y x y
=+≤，利用柱面坐标，Ω可表示为：
2
2,02,02π.
2
z
ρ
ρθ
≤≤≤≤≤≤，
因此
2
2π22
2223
00
2
2
246
2π2
3
00
()d d d d d d d
16π
d(2)d2π.
22123
x y v z z
ρ
ρρρθθρρ
ρρρ
θρρ
ΩΩ
+=?=
??
=-=-=
??
??
?????????
??
8. 利用球面坐标计算下列三重积分:
(1) 222
()d
x y z v
Ω
++
???，其中Ω是由球面2221
x y z
++=所围成的闭区域;
(2) d z v
Ω
???，其中Ω闭区域由不等式2222
()
x y z a a
++-≤，222
x y z
+≤所确定.
解 (1)
22222
1
5
2ππ14π
000
()d sin d d d
4π
d sin d d2π[-cos].
55
x y z v r r r
r
r r
??θ
θ???
ΩΩ
++=?
??
===
??
??
??????
???
(2) 在球面坐标系中，不等式2222
()
x y z a a
++-≤，即2222
x y z az
++≤，变为
22cos r ar ?≤，即2cos r a ?≤；222x y z +≤变为2222sin cos r r ??≤，即tan 1?≤，亦即
π4
?≤
.因此Ω可表示为π
02cos ,0,02π4r a ??θ≤≤≤≤≤≤,于是
2
π
4
2π
2cos 3
40
d cos sin d d d 7πd sin cos d d .
6
a z v r r r a r r ?
???θ
θ???Ω
Ω
=?==?????????
9. 选用适当的坐标计算下列三重积分:
(1) d xy v Ω
???，其中Ω为柱面221x y +=及平面1z =，0z =，0x =，0y =所围
成的在第一卦限内的闭区域；
(2) v Ω
，其中Ω是由球面222x y z z ++=所围成的闭区域；
(3) 22()d x y v Ω
+???，其中Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区
域;
(4)22()d x y v Ω
+???，其中Ω
闭区域由不等式0a A <≤，0z ≥所确
定.
解 (1) 利用柱面坐标，Ω可表示为：π
01,01,02
z ρθ≤≤≤≤≤≤，因此
2
π1
1
320
00d sin cos d d d 1
sin cos d d d .
8
xy v z
z ρ
θθρρθθθθρρΩ
Ω
=?==???????
??
(2) 在球面坐标系中，球面222x y z z ++=的方程为2cos r r ?=，即cos r ?=.Ω可表示为π
0cos ,0,02π2
r ??θ≤≤≤≤≤≤,于是
2π2πcos 320
sin d d d πd sin d d .
10
v r r r r r ?
??θ
θ??Ω
Ω
=?==??????
(3) 利用柱面坐标，Ω可表示为：
55,02,02π2
z ρ
ρθ≤≤≤≤≤≤，因此 2
222π2
5
3
50
2
()d d d d d d d 8π.
x
y v z
z ρρρρθθρρΩ
Ω
+=?==?????????
(4) 在球面坐标系中，Ω可表示为π,0,02π2
a r A ?θ≤≤≤≤≤≤,于是
2
222π2π345
520
()d sin sin d d d 4πd sin d d ().
15
A
x
y v r r r r r A a ???θ
θ??Ω
Ω
+=?==-?????????
习 题 8-4
1. 求球面2222x y z a ++=含在圆柱面22x y ax +=内部的那部分面积. 解
上半球面的方程为z =．
z z x
y
??===??
由曲面的对称性得所求面积为
π
cos 220
4d 4d 4d d 4d 2(π2).
D
D a D
A x y x y
a a a θ
ρρθθρ=====-??
2.
求锥面z =22z x =所割下部分的曲面面积. 解 由
2
2.
z z x ?=??=?? 解得222x y x +=，故曲面在xOy 面上的投影区域22{(,)|2}D x y x y x =+≤．被割
曲面的方程为z =
== 于是所求曲面的面积为：
π
2cos 20
d 2d d .D
A x y θθρ==??
3. 求底圆半径相等的两个直交圆柱面222x y R +=及222x z R +=所围立体的表面积.
解 设第一卦限内的立体表面位于圆柱面222x z R +=上的那一部分的面积为A ，则由对称性知全部表面的面积为16A ．
200
d 4d d d .
D D
R D
A x y x y x y R x y R =====?
故全部表面积为216R ．
4. 设薄片所占的闭区域D 如下，求均匀薄片的质心:
(1) D
由0,0y x x y ===，所围成；
(2) D 是半椭圆形闭区域22
22(,)|1,0x y x y y a b ??+≤≥????
；
(3) D 是介于两个圆cos ,cos (0)r a r b a b θθ==<<之间的闭区域. 解 (1) 设质心为(,)x y ．
00d d d x D
A x y x y ===
???
d d d x D
x x y x x y ==
???
20
d d d d ,2
x D
px y x y x y ==???
于是0013
13d d ,d d ,58D
D x x x y x y y x y y A A =
==
==????故所求质心为0033
(,)58
x y ． (2) 因D 对称于y 轴，故质心(,)x y 必位于y 轴上，于是0x =．
0114d d d d .3π
a
a
D b
y y x y x y A A -===
??? 因此所求质心为4(0,
)3π
b
． (３) 因D 对称于x 轴，故质心(,)x y 必位于x 轴上，于是0y =．
2
2
22πππ(),224b a A b a ????
=-=- ? ?????
π
cos 2332πcos 2
πd d cos d d cos d d (),8
b a D
D
x x y b a θ
θ
ρθρρθθθρρ-=?==-??????
故22
1d d .2()D a ab b x x x y A a b ++==+??所求质心为22,02()a ab b a b ??++
?+??
． 5. 设平面薄片所占的闭区域D 由抛物线2y x =及直线y x =所围成，它在点
(,)x y 处的面密度2(,)x y x y μ=，求该薄片的质心.
解 求得
21
220
1d d d d ;35
x
x
D
M x y x y x x y y ===
???? 21
22220
1(,)d d d d d d ;54
x x x
D
D
M y x y x y x y x y x x y y μ====
?????? 21330
1(,)d d d d d d ,48
x
y x
D
D
M x x y x y x y x y x x y y μ====
?????? 于是3535,.48
64y
x M M x y M M =
==
=所求质心为3535
(,).4864
6. 设有一等腰直角三角形薄片，腰长为a ，各点处的面密度等于该点到直角
顶点的距离的平方，求这片薄片的质心.
解 面密度22(,)x y x y μ=+，由对称性知x y =．
2222400
1
()d d d ()d ;6a
a x D
M x y x y x x y y a -=+=+=????
22225
00
1()d d xd ()d ,15
a a x
y D
M x x y x y x x y y a -=+=+=
????
于是22,.55y
M x a y x a M =
===所求质心为22
(,).55
a a
7. 利用三重积分计算下列由曲面所围立体的质心(设密度1ρ=): (1) 222,1z x y z =+=；
(2) (0),0z z A a z ==>>=； (3) 22,,0,0,0z x y x y a x y z =++====．
解 (1) 曲面所围立体为圆锥体，其顶点在原点，并关于z 轴对称，又由于它是匀质的，因此它的质心位于z 轴上，即0x y ==．立体的体积为1π3
V =
.
22221221
1
2π
1
20
01
111
d d d d (1)d d 2113
d (1)d ,24
x y x y z z v x y z x y x y V V
V
V
θρρρΩ
+≤+≤==
=
--=-=????????
?
故所求质心为3(0,0,)4
.
(2) 立体由两个同心的上半球面和xOy 面所围成,关于z 轴对称,又由于它是匀质的,故其质心位于z 轴上，即0x y ==．立体的体积为232
π(-)3
V A a =.
2
π4
4
2π
32330
11d cos sin d d d 13()
d sin cos d d ,
8()
A
a
z z v r r
r V V
A a r r V
A a ???θ
θ???Ω
Ω
==
?-=
=
-???????
??
故所求质心为44333()
(0,0,)8()
A a A a --.
(3) 22{(,,)|0,0,0}.x y z x a y a x z x y Ω=≤≤≤≤-≤≤+
22
400
1
d d d d ;6
a
a x x y V v x y z a -+Ω
===?????
?
22
2
117d d d d ;30
a
a x
x y z z v x y z z a V
V -+Ω
===
????
?
?
22000112
d d d d .5
a a x x y x x v x x y z z a V V -+Ω===?????? 由于立体匀质且关于平面y x =对称，故2
5y x a ==，所求质心为2
227(,,
)5530
a a a ． 8. 设球体占有闭区域222{(,,)|2}x y z x y z Rz Ω=++≤，它在内部各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，试求这球体的质心.
解 在球面坐标系中，Ω可表示为
π
02cos ,0,02π.2
r R ??θ≤≤≤≤≤≤
球体内任意一点(,,)x y z 处的密度大小为2222x y z r ρ=++=．由于球体的几何形状及质量分布均关于z 轴对称，故可知其质心位于z 轴上，因此0x y ==．
π2π
2cos 225
200
32d d d sin d π;15
R M v r r r R ?
ρθ??Ω
==?=
??????
π
2π
2cos 2220
11
5d d d cos sin d ,4
R z z v r r r r R M
M ?
ρθ???Ω
=
=??=
????
??
故球体的质心为5(0,0,)4
R .
9. 设均匀薄片(面密度为常数1)所占闭区域D 如下，求指定的转动惯量:
(1) 22
22(,)|1x y D x y a b ??=+≤????
，求y I ；
(2) D 由抛物线292
y x =与直线2x =所围成，求x I 和y I ； (3) D 为矩形闭区域{(,)|0,0}x y x a y b ≤≤≤≤，求x I 和y I . 解
(1)
2
2
24d d d a
a a y a
a D
b b I x x y x x y x x x x a a --===
=????? 令sin x a t =，则
上式πππ
3232
4322200041sin cos cos d 4sin d sin d π.4
b a t t a t t a b t t t t a b a ??=?=-=???????
(2) (,)|02.D x y y x ???
?
=-≤≤≤?????
?
32
22
220
0272d d 2d d d ;35
x D
I y x y x y x ====????
?
52
2
2
2
2
96d d 2d 2d .7
y D
I x x y x x y x ====
????
?
(３) 3
22
00
d d d d ;3
a
b
x D
ab I y x y x y y ===????
32
2
0d d d d .3
a
b
y D
a b
I x x y x x y ===???
? 10. 已知均匀矩形板(面密度为常量μ)的长和宽分别为b 和h ，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.
解 223222
2
1
d d d d ;12
b
h b h x D
I y x y x y y bh μμμ--===
???? 2
2
3222
2
1
d d d d .12
b h b h y D
I x x y x x y hb μμμ--===
???? 11. 一均匀物体(密度ρ为常量)占有的闭区域Ω由曲面22z x y =+和平面
0,||,||z x a y a ===所围成,
(1) 求物体的体积；
(2) 求物体的质心；
(3) 求物体关于z 轴的转动惯量. 解 (1) 22
32
2
24000
0008
4d d d 4d ()d 4d .33a
a
x y a
a
a
a V x y z x x y y ax x a +??==+=+= ??
??????? (2) 224224
2000001
4417d d d d d (2)d .215a a x y a a z z v x y z z x x x y y y a M
V V ρ+Ω
=
==++=????????
(３) 22
2
2
226
000
112()d 4d d ()d .45
a a
x y z I x y v x y x y z a ρρρ+Ω
=+=+=
?????? 12. 求半径为a 、高为h 的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量(设密度1ρ=).
解 222
(,,)|,(,,)|02π,0,2
22
2h h h h x y z x y a z z a z ρθθρ????Ω=+≤-≤≤=≤≤≤≤-≤≤?????
??
?
2π
222
3
420
2
1
()d d d d d d d π.2
h
a
h z I x y v z z ha ρρρθθρρ-Ω
Ω
=+=?==
????????? 13. 设面密度为常量μ的匀质半圆环形薄片占有闭区
域
12{(,,0)|,0}D x y R R x =≤≤≥，求它对位于z 轴上点0(0,0,)(0)M a a >处单位质
量的质点引力F .
解 332222222
2
()
d ,d .()
()
x z x
a dF G
dF G
x y a x y z μμσσ-==++++
2
1
π2π33222222
2
2
cos d d d ()
()
2;R x R D
x F G G x y a a G ρθ
μσμθρρ
ρ-==?+++?? =- ???
??
2
1
π2π33222222
2
2
1d d d ()
()
π.R z R D
F Ga Ga x y a a Ga ρ
μσμθρ
ρμ-=-=-+++??=??
??
由于D 关于x 轴对称，且质量均匀分布，故0.y F = 因此引力为：
2,0,π.F G Ga μ??
???? ? = ??
??
14. 设均匀柱体密度为ρ，占有闭区域222{(,,)|,0}x y z x y R z h Ω=+≤≤≤，求它对于位于点0(0,0,)()M a a h >处的单位质量的质点的引力.
解 由柱体的对称性和质量分布的均匀性知0x y F F ==．引力沿z 轴的分量
高等数学 院系_______学号_______班级_______姓名_________得分_______ 总分 题号选择题填空题计算题证明题其它题 型 题分2020202020核分人 得分复查人 一、选择题（共 20 小题，20 分） 1、设 Ω是由z ≥及x2+y2+z2≤1所确定的区域，用不等号表达I1，I2，I3三者大小关系是 A. I1>I2>I3; B. I1>I3>I2; C. I2>I1>I3; D. I3>I2>I1. 答 ( ) 2、设f(x,y)为连续函数，则积分 可交换积分次序为 答 ( ) 3、设Ω是由曲面z=x2+y2,y=x,y=0,z=1所围第一卦限部分的有界闭区域，且f(x,y,z)在Ω上连续，则等于
(A) (B) (C) (D) 答 ( ) 4、设u=f(t)是(－∞,+∞)上严格单调减少的奇函数，Ω是立方体：|x|≤1;|y|≤1;|z|≤1. I=a,b,c为常数，则 (A) I>0 (B) I<0 (C) I=0 (D) I的符号由a,b,c确定 答 ( ) 5、设Ω为正方体0≤x≤1;0≤y≤1;0≤z≤(x,y,z)为Ω上有界函数。若 ，则 (A) f(x,y,z)在Ω上可积 (B) f(x,y,z)在Ω上不一定可积 (C) 因为f有界，所以I=0 (D) f(x,y,z)在Ω上必不可积 答 ( ) 6、由x2+y2+z2≤2z,z≤x2+y2所确定的立体的体积是 (A) (B) (C) (D) 答 ( ) 7、设Ω为球体x2+y2+z2≤1,f(x,y,z)在Ω上连续，I=x2yzf(x,y2,z3),则I= (A) 4x2yzf(x,y2z3)d v (B) 4x2yzf(x,y2,z3)d v (C) 2x2yzf(x,y2,z3)d v (D) 0
《 高等数学》 一.选择题 1.当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+?D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C ）、()()x f dx x f dx d x a =???????D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7.设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（）
第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221) 1(),(y x y x y x f ---= 222{(,)|(,)R ,1};x y x y y x ∈+≠ 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、22 2)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 24 2)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2 x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数?? ??? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22 y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01 sin lim 2 2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y x e x y + ,验证 z xy +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 4 2244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：
第八章 空间解析几何与向量代数 单元测试题 参考答案： 一、填空题 1.点(),,M x y z 关于x 轴的对称点为1M (),,x y z --;关于x O y 平面的对称点为 2M (),,x y z -；关于原点的对称点为3M (),,x y z ---. 2. 平行于a ={1，1，1} 若向量}5,1,{λ=a 与向量}50,10,2{=b 平行，λ为 15 . 3.已知两点() 1,2,41M 和()2,0,32M ，则向量21M M 在三个坐标轴上的投影分别是 –1 2- 、 1 ，在坐标轴方向上的分量分别是i - 、j 2- 、k , = 2 , 方向余弦 =αcos 21-、 =βcos 2 2-、=γcos 21 , 方向角=α 0120、 =β 0 135、 =γ 060, 与21M M 同方向的单位向量是??????--21,22,21 . 4. 已知两向量k j i a 1046+-=，k j i b 943-+=,则=+b a 2k j i 8412-+， =-b a 23k j i 482012+-,b a 23-在oz 轴上的投影为48 . 5．过点(1,2,1)M -且与直线2341x t y t z t =-++??=-??=-? 垂直的平面方程是340x y z --+= 二、选择题 1. 向量a 与b 的数量积?a b =（ C ）. A a rj P b a ； B ?a rj P a b ； C a rj P a b ； D b rj P a b ． 2. 非零向量,a b 满足0?=a b ，则有（ C ）． A a ∥b ; B =λa b (λ为实数)； C ⊥a b ； D 0+=a b ． 3. 设a 与b 为非零向量，则0?=a b 是（ A ）． A a ∥b 的充要条件； B a ⊥b 的充要条件; C =a b 的充要条件； D a ∥b 的必要但不充分的条件．
8.1（A ） 1、（1）{ }y x y x y x ≥≥≥2,0,0),(；（2）{}1),(2>-x y y x ； （3）{ }1),(22>+y x y x ； （4）{}0,0,0),,(>>>z y x z y x 。 2、（1）0；（2）6 1-；（3）e ；（4）1；（5）0. （B ） 1、提示：令kx y =。 8.2（A ） 1、（1）223y y x x z -=??；xy x y z 23-=??。（2）2x y y x z -=??；x x y z 1+=??。 （3）]1)1[ln()1(xy xy xy xy x z x ++++=??；12)1(-+=??x xy x y z 。 （4）22y x y x z +-=??；22y x x y z +=??。 （5） )sin()cos(y x x y x x z +-+=??；)sin(y x x y z +-=??。 （6）21y x x z +=??；2 2y x y y z +=??。 （7）1-=??z y x z y x u ；x z x y u z y ln =??；x z yx z u z y ln 2-=??。 （8）x y x y x z 2csc 22-=??；x y x y z 2csc 2=??。 2、（1）222)(2y x y x x z --=??；2 2)(y x y y x z -=???。 （2）2222222)(y x x y x z +-=??；2222) (2y x xy y x z +-=???。 （3）222)1(--=??y x y y x z ；222)(ln x x y z y =??。 3、2)1,0,0(=xx f ；0)0,1,0(=yz f 。 （B ）
《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin
高数第9章答案
高等数学（化地生类专业）（下册） 姜作廉主编 《习题解答》 习题9
1,{6,6,3},6(2)6(1)3(2)0,2280.3(2,3,n AB x y z x y z π==---++-=-+-=v v u u u v 指出下列平面与坐标系的位置关系，并作图：（1）x-2y+1=0;(2)3z+2=0;(3)x+2y+3z=1;(4)2y+z=0. 2已知A(2,-1,2)和B(8,-7,5),求一平面通过A 且垂直于线段AB. 解：设所求平面的法向量为n 由点法式方程，有：故平面方程为：求过点0),(2,3,4),(0,6,0)0,230 230,,,.46460 Ax By Cz D A B D D D D A B c D A B C B D --+++=++=?? --++==-=-=-? ?+=? ≠的平面方程。 解：设所求平面方程为将已知三点带入，解得：显然，由题意D 0,故所求方程为：3x+2y+6z-12=0 4求过点(-1,-1,2)且在三个坐标轴上有相同截距的平面方程。解：设平面在三个坐标轴上的截距为t ，则平面方程由截距式1,,0,3 y z t t D x ++=?≠≠=可得：x 将点（1,-1,2）代入，1-1+2=t t=2.t 故平面方程：x+y+z-2=0.5(1)通过x 轴和M(2,-1,1) 解：设所求过x 轴平面方程为By+Cz+D=0,将M 代入：-B+C+D=0,又D=0,故B=C(0),平面方程y+z=0(2)平行于yOz 平面且经过点（3,0,5） D 解：设平面为Ax+D=0,将点代入：3A+D=0,A=-显然 3 故平面方程(0) ,202. 6(1,2,1),(3,2,1)31,,3121 133,3,.32121 3D B C y A B y x y z A B A C A C A C A C ? =-≠???? ???=?=--++=?+-=??=-=-? ?-++=??(3)通过(1,2,-1)和(-5,2,7)且平行于x 轴。解：设平面方程为By+Cz+D=0, 2B-C+D=0故平面方程：2B+7C+D=0平面过在轴的截距为解：设平面方程 将代入解得：故平面方程为21,230333 x y z x y z -+-=-++=：即：
第八章 空间解析几何与向量代数 §8.1向量及其线性运算 1.填空题 （1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）. （2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）. 2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21=M M ，方向余弦为2 2 cos = α，2 2 cos = β，0cos =γ，方向角为4πα=，4πβ=， 2πγ=. 3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则 222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ， 即?????-+-+=-+-+-+=-+2 2222 2) 3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得???==33y z ，则该点为)3,3,0(. 4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式. 解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为 29)4(32||222=-++=a ，所以)432(29 1k j i e a -+± =. 5.设k j i m 22-+=，k j i n ++=2，求向量n m a +=4在各坐标轴上的投影及分向量. 解：因为k j i k j i k j i n m a 796)2()22(44-+=+++-+=+=， 所以在x 轴上的投影为6=x a ，分向量为i i a x 6=，y 轴上的投影为 9=y a ，分向量为j j a y 9=，z 轴上的投影为7-=z a ，分向量为k k a z 7-=. 6. 在yOz 平面上，求与)1,2,1(A 、)0,1,2(B 和)1,1,1(-C 等距离的点.
四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B )
(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）
《高等数学(下册)》第八章练习题 一、填空题 1、________________ )sin(==dz xy z 则， 设 2、设),cos(2y x z =,则=??)2,1(πx z 3、函数22)(6y x y x z ---=的极值点为 4、设xy e z =,则=dz 5、设y z ln z x =,则=?zx z 二、选择题 )2 0( D. )0 2( C. )0 0( B. )2 2( A.) (33) ( 12233，，，，的极小值点为，函数、y x y x y x f --+= 2、),(y x f 在点),(00y x 处偏导数),(),(0000y x f y x f y x ''、存在就是),(y x f 在该点连续的( )、 (a)充分条件, (b)必要条件, (c)充要条件, (d)既非充分条件又非必要条件。 3、设)2ln(),(x y x y x f +=,则＝（）)1,1(-'x f 、 (A)，31 (B)，31- (C)，65 (D).6 5- 三、计算题 方程。处的切线方程与法平面，，在点求曲线、)1 2 1( 2 132 ???==x z x y 2、设),(y x z z =就是由方程0),(=--z y z x F 确定的隐函数,F 具有一阶连续偏导数,且,0≠'+'v u F F 其中,,z y v z x u -=-=求.,y z x z ???? 3、求曲面3222-=+-z xz y x 在点)1,2,1(处的切平面及法线方程。 4、设,222z y x e u ++=而y x z sin 2=,求x u ??、 5、求曲线t z e y e x t t ===-,,,对应于0=t 点处的切线与法平面方程。 6、求函数)4(2y x y x z --=在闭域4,0,0≤+≥≥y x y x 上的最大值及最小值。
高等数学（下）模拟试卷一 一、填空题（每空3分，共15分） （1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 （2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人
第9章 多元函数微分学及其应用总结 一、多元函数的极限与连续 1、n 维空间 2R 为二元数组),(y x 的全体，称为二维空间。3R 为三元数组),,(z y x 的全体，称为三 维空间。 n R 为n 元数组),,,(21n x x x 的全体，称为n 维空间。 n 维空间中两点1212(,,,),(,,,)n n P x x x Q y y y 间的距离： ||PQ = 邻域: 设0P 是n R 的一个点，δ是某一正数，与点0P 距离小于 δ的点P 的全体称为点0P 的δ 邻域，记为),(0δP U ，即00(,){R |||}n U P P PP δδ=∈< 空心邻域: 0P 的 δ 邻域去掉中心点0P 就成为0P 的δ 空心邻域,记为 0(,)U P δ =0{0||}P PP δ<<。 内点与边界点：设E 为n 维空间中的点集，n P ∈R 是一个点。如果存在点P 的某个邻域 ),(δP U ，使得E P U ?),(δ，则称点P 为集合E 的内点。 如果点P 的任何邻域内都既有 属于E 的点又有不属于E 的点，则称P 为集合E 的边界点, E 的边界点的全体称为E 的边界． 聚点：设E 为n 维空间中的点集，n P ∈R 是一个点。如果点P 的任何空心邻域内都包含E 中的无穷多个点，则称P 为集合E 的聚点。 开集与闭集: 若点集E 的点都是内点，则称E 是开集。设点集n E ?R , 如果E 的补集 n E -R 是开集，则称E 为闭集。 区域与闭区域：设D 为开集，如果对于D 内任意两点，都可以用D 内的折线（其上的点都属于D ）连接起来, 则称开集D 是连通的．连通的开集称为区域或开区域．开区域与其边界的并集称为闭区域． 有界集与无界集: 对于点集E ，若存在0>M ，使得(,)E U O M ?，即E 中所有点到原点的距离都不超过M ，则称点集E 为有界集，否则称为无界集． 如果D 是区域而且有界，则称D 为有界区域．
第九章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意 常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。 三、可降阶的高阶微分方程
第八章空间解析几何与向量代数单元测试题参考答案： 一、填空题 1. 点M x, y, z关于x轴的对称点为M1 x, y, z ;关于xOy平面的对称点为M 2x, y, z ；关于原点的对称点为M3 x, y, z . 2. 平行于a ={1 ，1，1} 的单位向量为1 1,1,1 ；若向量 a { ,1,5} 与向量 b { 2,10,50} 3 平行，为1 . 5 3. 已知两点M1 4, 2,1 和 M 2 3,0,2 ，则向量M1M2在三个坐标轴上的投影分别是–1 2 、1 ，在坐标轴方向上的分量分别是i 、 2 j 、 k , M1M 2 2 , 方向余弦cos 1 、 cos 2 、 cos 1 , 方向角1200 、 2 2 2 1350 、60 0 , 与M1M2 同方向的单位向量是 1 , 2 , 1 . 2 2 2 4. 已知两向量a 6i 4 j 10k ， b 3i 4 j 9k ,则 a 2b 12i 4 j 8k ， 3a 2b 12i 20 j 48k , 3a 2b 在oz轴上的投影为48 . x t 2 5．过点 M (1,2, 1) 且与直线y 3t 4 垂直的平面方程是 x 3 y z 4 0 z t 1 二、选择题 1.向量a与b的数量积 a b=（C）. A a rj 2.非零向量 A a ∥b b a ；B a rj a b ； C a rj a b ； D b rj a b．a, b 满足a b0 ，则有（C）． ; B a b (为实数)；C a b ；D a b0 ． 3.设 a 与b为非零向量，则a A a ∥b的充要条件； C a b 的充要条件；b0是（A）． B a ⊥b的充要条件; D a ∥b的必要但不充分的条件．
第八章 空间解析几何与向量代数 单元测试题 参考答案 ： 一、填空题 1. 点 M x, y, z 关 于 x 轴 的 对 称 点 为 M 1 x, y, z ; 关 于 xOy 平 面 的 对 称 点 为 M 2 x, y, z ；关于原点的对称点为 M 3 x, y, z . 2. 平行于 a ={1，1，1}的单位向量为 1 1,1,1 ；若向量 a { ,1,5} 与向量 b { 2,10,50} 3 平行， 为 1 . 5 3. 已知两点 M 1 4, 2,1 和 M 2 3,0,2 ，则向量 M 1 M 2 在三个坐标轴上的投影分别是 1 – 2 、 1 ，在坐标轴方向上的分量分别是 i 、 2 j 、 k , M 1 M 2 2 , 方向余弦 cos 1 、 cos 2 、 cos 1 , 方向角 1200 、 2 2 2 1350 、 60 0 , 与 M 1 M 2 同方向的单位向量是 1 , 2 , 1 . 2 2 2 4. 已知两向量 6 4 j 10 k ， b 3i 4 j 9k , 则 a 2b 12i 4 j 8k ， ai 3a 2b 12i 20 j 48k , 3a 2b 在 oz 轴上的投影为 48 . x t 2 5．过点 M (1,2, 1) 且与直线 y 3t 4 垂直的平面方程是 x 3 y z 4 0 z t 1 二、选择题 1. 向量 a 与 b 的数量积 a b =（ C ）. A a rj b a ； B a rj a b ； C a rj a b ； D b rj a b ． 2. 非零向量 a, b 满足 a b 0 ，则有（ C ）． A a ∥ b ; B a b ( 为实数 )； C a b ； D a b 0． 3. 设 a 与 b 为非零向量，则 a b 0 是（ A ）． A a ∥ b 的充要条件； B a ⊥ b 的充要条件 ; C a b 的充要条件； Da ∥ b 的必要但不充分的条件．
《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin
第9章（之1） （总第44次） 教学内容:§微分方程基本概念 *1． 微分方程7 359)(2xy y y y =''''-''的阶数是 （ ） （A ）3； （B ）4； （C ）6； （D ）7． 答案（A ） 解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数． *2． 下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是 （ ） （ （A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=； （B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=； （C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=； （D ）)2cos(α+=x C y ． 答案 （D ） 解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数． （A ）中的函数只有一个任意常数C ； （B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解； （C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ，但当令kC C =时，函数就变成了 x C x C y 2sin 12cos 2 ++=，实质上只有一个任意常数； （D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解． *3．在曲线族 x x e c e c y -+=21中，求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线． : 解 根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ， 由x x e c e c y -+=21， x x e c e c y --='21，可得1,02121=-=+c c c c ， 故21,2121-==c c ，这样就得到所求曲线为)(2 1 x x e e y --=，即x y sinh =． *4．证明：函数y e x x =-233321 2 sin 是初值问题??? ????===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y x y 的解．
第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2 2≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、222)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2 x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数?? ??? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01 sin lim 2 2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z x y +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：
1、党在过渡时期的总路线提出的主要任务是解决所有制问题 参考答案：错误。 党在这个过渡时期的总路线和总任务，是要在一个相当长的时期内，逐步实现国家的社会主义工业化，并逐步现实国家对农业、手工业和资本主义工商业的社会主义改造。过渡时期总路线构想出了一条经济文化落后国家发展社会主义的新思路，这就是建设与改造并举、发展与变革同行，把国家工业化和社会主义改造紧密结合起来，在变革生产关系中促进社会生产力发展的新思路。其中，社会主义工业化是目的，社会主义改造是不可或缺的条件和手段。 2、中国的民族资产阶级在社会主义革命阶段仍然具有两面性 参考答案：正确。 中国的民族资产阶级，不仅在民主革命阶段具有两面性，曾经是中国共产党的同盟者。在社会主义革命阶段仍然具有两面性，它有剥削工人阶级取得利润的一面，又有拥护宪法、愿意接受社会主义改造的一面。中国共产党正是根据中国民族资产阶级这一基本特点，制定了利用、限制、改造的政策，用和平赎买的方式完成了对资本主义工商业的社会主义改造。 3、对资本主义工商业的社会主义改造就是指的对生产资料所有制的改造 参考答案：错误。 国家对资本主义工商业的社会主义改造是把对所有制的改造和对人的改造结合起来进行的，在把生产资料私有制改造成为社会主义公有制的同时，把资本家由剥削者改造成为自食其力的劳动者。对资本主义工商业的和平改造在内容上包括两个方面：一方面是企业的、制度的改造，包括企业所有制和企业管理制度等，最终把资本主义私营工商企业改造为由工人当家作主，实行社会主义企业管理的全民所有制企业；另一方面是对人即对资本家的改造。对资本主义工商业的社会主义改造，是一场深刻的社会变革。如何在改造过程中，实施团结教育的功能，化解他们的消极甚至抵抗的情绪，使他们成为自食其力的劳动者，这同样十分重要。 4、社会主义改造的完成，标志着中国完全建成了社会主义社会 参考答案：错误。 社会主义改造完成后，中国进入社会主义社会初级阶段，不经过生产力的巨大发展，中国无法超越初级阶段这个现实。只有生产力高度发展了，物质精神成果丰富，我们才能完成建成社会主义社会。
习题8.1 1. 解 2. 解 3.解 4.解设 则 5. 解 A: Ⅴ B : Ⅳ C: Ⅶ D : Ⅲ 6. A点在XOY 面上，点 B在 YOZ 面上， C点在 Z轴上，点D 在Y轴上。 7. (1) A点关于 xOy 平面的对称点是（2，-3，1） B点关于 xOy 平面的对称点是（a，b，-c） A点关于 yOz 平面的对称点是（-2，-3，1） B点关于 xOy 平面的对称点是（-a，b，c） A点关于 xOz 平面的对称点是（2，3，-1） B点关于 xOz 平面的对称点是（a，-b，c） A点关于x轴、y轴、z轴的对称点分别是（2,3,1）（-2，-3,1）（-2,3，-1） B点关于 x轴、y轴、z轴的对称点分别是（a,-b,-c) (-a,b,-c) (-a,-b,c) A点关于原点的对称点为（-2,3-1） B点关于原点的对称点为（-a,-b,-c) 8. 9.解 所以△M1M2M3为等腰三角形。 10.解
11. 解 12. 解 13. 解 14. 解 15. 解（1） 16. 解 17. 解 18 解 19. 解 习题8.2 1. 解（1）
（2） （3） 2. 解（1）（2）（3） (4) (5) 3. 解 4. 解 5. 解 6. 解利用向量积的几何意义 7. 解（1） （2） 8. 解 (1)
(2) (3) 10. 解（1） （2） 13. 解 习题8.3 1. 解 2. 解 3. 解（1）（2） 4~8见课本P317
9. 10. 解习题 8.4 1. 解
2. 解（1）平面中表示点（-6，-8），空间中表示一条直线； （2）平面中表示点（2,0），空间中表示一条直线； （3）平面中表示点（1,0），（0,1），空间中表示两条直线； 3. 解 4. （1）解 （2）解 （3） 解 5. （1）解 （2） 解 6. 解由参数方程得于是 于是得到在xOy坐标面上的投影为 在xOz坐标面上的投影为 在xOz坐标面上的投影为
高数第八章
第八章 第一节 向量及其线性运算 重点：1.方向角与方向余弦 2.向量在轴上的投影 典型题目： 例7.已知两点M 1(2，2，2)和M 2（1.，3，0），计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角。 解：21M M =（1-2，3-2，0-2）=（-1，1，-2）， |21M M |= 2 222)(-(1)(-1)++= 2 211=++; COS α=-21,COS β=21 ,COS γ=-2 2 ; α=π32,β=3π,γ=4 3π. 例9.设立方体的一条对角线为OM ，一条棱为OA ，且|OA|=a ，求. P OM OA OA rj 方向上的投影在 解：记∠MOA=θ，有COS θ=3 1| || |=OM OA ， θθ 于是OA rj P =|3 a θ||= COS ．
θ 马云赵振 第二节数量积向量积混合积 1.两向量的数量积 a·b=│a││b│cos θ θ为两向量间的角度 （1）a·a=│a│2 （2）如果两个向量垂直，那么数量积为0，反之亦然（3）数量积满足交换律，分配率 结合律如下时才成立 (Λa)·b=Λ（a·b） 2.向量积 a·b=│a││b│sin θ （1）b×a=-a×b a×b=0的充分必要条件是a平行于b
（2）满足分配率 结合律如下时才成立 （3）(Λa)×b=a×（Λb ）=Λ（a×b ） 用三阶行列式表示 i j k a×b= │ a x a y a z │ b x b y b z 例题 1.已知三角形ABC 的顶点分别是A （1,2,3）,B （3,4,5）,C （2,4,7），求三角形的面积 解：S ABC =1∕2│c ││b │sinA =1∕2│c ×b │ i j k c ×b= │ 2 2 2 │ =4i-6j+2k 1 2 4 S ABC =1∕2│4i-6j+2k │= 2222)6(4+-+=14 2.a=3i-j-2k ，b=i+2j-k ，求