**教育ISO讲义
考点考纲内容五年统计分析预测
数列的性质问题 1.数列的概念与简单
表示法
2.等差数列、等比数
列2017课标II，3
2018课标I，14
2018课标II，12
2019课标I, 14
2019课标II，19
1．由递推公式求通项公式与已知前n
项和或前n项和与第n项的关系式求通
项
2．等差数列与等比数列定义、性质、
前n项和公式
3．裂项相消和错位相减法及与不等式
恒成立等相关的数列综合问题
数列的通项、求和问题2016课标I，17 2017课标II，15
数列
一、概念
1．等差数列的定义
{a n }为等差数列?a n ＋1－a n ＝d (其中n ?N *，d 为常数)． 2．等比数列的定义
{a n }为等比数列?a n ＋1
a n ＝q (其中n ?N *，a n ≠0，q 为不为零的常数)．
3．等差、等比中项
(1)x ，A ，y 成等差数列?A 为x ，y 的等差中项?2A ＝x ＋y . (2)x ，G ，y 成等比数列?G 为x ，y 的等比中项?G 2＝xy . 二、重要公式 1．通项公式
(1)等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ?N *)． (2)等比数列的通项公式：a n ＝a 1q n －
1＝a m ·q n －m
(n ，m ?N *)
2．前n 项和公式
(1)等差数列的前n 项和公式d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
(2)等比数列的前n 项和公式1,11)1(1,111≠??
?
??--=--==q q q a a q q a q na S n n n .
3．数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 的关系式a n ＝?
????
S 1 n ＝1
S n －S n －1 n ≥2.
4．性质
三、数列综合
等差数列
等比数列 ?若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q
若m ＋n ＝2k ，则a m ＋a n ＝2a k a m ·a n ＝a p ·a q a m ·a n ＝a 2k ?若n 为奇数 S n ＝2
1+n na
n 为偶数
S 偶
S 奇
＝q (q 为公比) ?S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等差数列
S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等比数列
当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]
2＝2n 2，
令2n 2＞60n ＋800，即n 2－30n －400＞0， 解得n ＞40或n ＜－10(舍去)．
此时存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；
当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.
【变式训练2】在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．
【解析】 由题意知a 1＝7，且当且仅当n ＝8时，S n 取最大值，
?该数列为递减数列且a 8＞0，a 9＜0，即?
????7＋7d ＞0，7＋8d ＜0?－1＜d ＜－7
8.
【答案】 ?
???－1，－7
8 【变式训练3】已知各项都是正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若4a 4，a 3，6a 5成等差数列，且a 3＝3a 22
，则S 3＝________． 【答案】：
1327
【解析】：设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，则q>0，且a 1>0，由4a 4，a 3，6a 5成等差数列，得2a 3＝4a 4＋6a 5，即2a 3＝4a 3q ＋6a 3q 2，解得q ＝13.又由a 3＝3a 22，解得a 1＝13，所以S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝13＋19＋127＝1327. 考点二 等差(比)数列的性质
【例3】 设是等比数列的前n 项和，若
，则= ． 【解析】 由
，得，由S 5，S 10- S 5，S 15- S 10，S 20- S 15成等差数列， 故S 10- S 5 = 2 S 5，S 15- S 10 = 4S 5，S 20- S 15 = 8S 5，所以，，，故
．
【例4】已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项的和分别是A n 和B n ，且，使得为整数的正整数n 的个数为 ．
n S {}n a 51013S S =520
S
S 5101
3
S S =1053S S =1557S S =20515S S =520115
S S =551
3n n A n B n +=+n
n b a
【解析】 ，所以，，
要使得
为整数，则n +1为18的因数， n =1，2，5，8，17， 所以，使得
为整数的正整数n 共有5个． 【例5】设是等差数列，为等比数列，其公比，且，若，， 则有（ ） A ． B ． C ． D ．或
【答案】B
【解析】抓住，和，的序数和与，的关系，从而以此为入手点． 由等差数列性质出发，，， 因为，而为等比数列，联想到与有关，
所以利用均值不等式可得：；
（故，均值不等式等号不成立）
所以．即．故选B ．
【方法技巧】等差、等比数列性质问题的求解策略
抓关系
抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解
用性质
数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题
【变式训练1】已知数列，为等差数列，若，，则_______ 【答案】
【解析】?，为等差数列，?也为等差数列，
n
n
b a n
n
b a {}n a {}n b 1q ≠()01,2,3,,i b i n >=L 11a b =1111a b =66a b =66a b >66a b <66a b >66a b <1a 11a 1b 11b 6a 6b 11a b =1111111111a b a a b b =?+=+11162a a a +={}n b 111b b ?6b 2
11111166222b b b b b b +>==1q ≠111b b ≠1111116622a a b b a b +=+?>66a b >{}n a {}n b 117a b +=3321a b +=55a b +=35{}n a {}n b {}n n a b +
则， ?， ?
，故选A ． 【变式训练】已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝n n ＋2a n
，求通项公式a n .
【解析】：由已知得a n ＋1a n ＝n
n ＋2，分别令n ＝1,2,3，…，(n －1)，代入上式得n －1个等式累乘，
即a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13×24×35×46
×…×n －2n ×n －1n ＋1，所以a n a 1＝2
n n ＋1. 又因为a 1＝2
3也满足该式，所以a n ＝
4
3n n ＋1
. 【方法技巧】（1）一般地，对于型如
)
(1n f a a n n +=+类的通项公式，且)()2()1(n f f f +++Λ的和比较好求，
我们可以采用此方法来求n a
。
（2）利用恒等式a n ＝a 1·a2a1·a3a2…an
an －1(an≠0)求通项公式的方法称为累乘法．累乘法是求型如a n ＋1＝g(n)a n 的
递推数列通项公式的基本方法，其中g(n)可求前n 项积． 考点五
与
的关系的应用
【例8】在数列中，，，则的通项公式为_________．
【答案】．
【解析】?当时，，
，整理可得：，，
为公差为2的等差数列，，，．
【例9】设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . 求{a n }的通项公式； 【解析】因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，
故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)． 两式相减得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝2
2n －1
(n ≥2)．
()()()()()11221121211n n n n n a a a a a a a a n n n ---=-+-++-+=+++-=-????L L ()1111
11n a n n n n
==---231111111111112231n n a a a n n n n -??????+++=-+-++-=-= ? ? ?-??????
L L
又由题设可得a 1＝2，满足上式，从而{a n }的通项公式为a n ＝2
2n －1
.
【方法技巧】(1)给出S n 与a n 的递推关系求a n 的常用思路：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .
(2)形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠1，q ≠0)，可构造一个新的等比数列．
【变式训练1】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S n ＝2a n －3n ，则a 2 019＝( )
A ．－22 019－1
B ．32 019－6
C ．201921）（－72
D ．20193
1）（－103
【解析】因为a 1＝S 1，所以3a 1＝3S 1＝2a 1－3?a 1＝－3.
当n ≥2时，3S n ＝2a n －3n ，3S n －1＝2a n －1－3(n －1)，所以a n ＝－2a n －1－3，即a n ＋1＝－2(a n －1＋1)，所以数列{a n ＋1}是以－2为首项，－2为公比的等比数列．
所以a n ＋1＝(－2)×(－2)n －
1＝(－2)n ，则a 2 019＝－22 019－1.
【变式训练2】(2019·武昌区调研考试)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－1，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝( )
A ．40
B ．44
C ．45
D ．49
【解析】选B.法一：因为S n ＝n 2－1，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－1－(n －1)2＋1＝2n －1，又a 1＝S 1＝
0，所以a n ＝?
????0，n ＝1
2n －1，n ≥2，所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝0＋5＋9＋13＋17＝44.故选B.
考点六 构造法 【例10】数列
中，
，
，求数列
的通项公式．
【答案】． 【解析】设
即
，对比
，可得
，
，是公比为3的等比数列，
，
．
【例11】在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1＋2n ＋
1(n ≥2)，则a n ＝________. 【答案】 (2n －1)·2n
【解析】 ?a 1＝2，a n ＝2a n －1＋2n ＋
1(n ≥2)，
?a n 2n ＝a n －12n －1＋2.令b n ＝a n
2n ，则b n －b n －1＝2(n ≥2)，b 1＝1. ?b n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1，则a n ＝(2n －1)·2n .
【例12】已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n
2a n ＋1
，则其通项公式为________．
1231n n a -=?-
【答案】3
6n －5
【解析】两边取倒数，得1a n ＋1
＝
2a n ＋1a n ＝2＋1a n ，故有1a n ＋1－1
a n
＝2. 故数列}1{
n
a 是首项为1a 1＝1
3，公差为2的等差数列，
所以1a n ＝13＋2(n －1)＝6n －53，故a n ＝3
6n －5
【方法技巧】形如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 为常数，且pq (p －1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下： 第一步 假设递推公式可改写为a n ＋1＋t ＝p (a n ＋t )； 第二步 由待定系数法，解得t ＝q
p －1；
第三步 写出数列?
??
?
??a n ＋q p －1的通项公式；
第四步 写出数列{a n }通项公式．
【变式训练1】在数列{a n }中，a 1＝1，112a n ＝14a n －1＋1
3(n ≥2)，则{a n }的通项公式为 ．
【答案】13-n
【解析】?112a n ＝14a n －1＋1
3(n ≥2)，
?a n ＝3a n －1＋4，?a n ＋2＝3(a n －1＋2)．
又a 1＋2＝3，故数列{a n ＋2}是首项为3，公比为3的等比数列． ?a n ＋2＝3n ，即a n ＝3n －2.
【变式训练2】在数列{a n }中，a 1＝2，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2(n ?N *)，则a 10＝( ) A ．34 B ．36 C ．38 D ．40
【答案】C
【解析】?na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2，?a n ＋1n ＋1－a n n ＝2n (n ＋1)＝2????1n －1n ＋1.
?a 1010＝a 1010－a 99＋a 99－a 88＋…＋a 22－a 1
1
＋a 1 ＝2????????19－110＋????18－19＋…＋????1－12＋2 ＝ 3810
. ?a 10＝38. 故选C. 【变式训练3】已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－2a n ＝2n (n ?N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．
【解析】a n ＋1－2a n ＝2n 两边同除以2n ＋
1，可得a n ＋12
n ＋1－a n 2n ＝12，又a 12＝12，所以数列??????a n 2n 是以12为首项，12为公差的等差
等差数列；若n 为奇数，则()(1)n a f n f n ＝＋＋＝
22(1)21n n n -＋＋＝＋，为首项为13a ＝，公差为4的等差数列．
所以123100139924100()()a a a a a a a a a a L L L ＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＋
50495049
50345054=10022
????+?--?-＝＋
（）. 【方法技巧】如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和.
【变式训练1】设()442x x f x +＝，利用倒序相加法，可求得1210
()()()111111
f f f +++L 的值为________．
【答案】 5
【解析】 当121x x ＋＝时，()()121212444242
x x x x f x f x +++＋＝
＝12121212242(44)
14(44)24
x x x x x x
x x ++?+?+=++?+. 设S ＝1210(
)()()111111
f f f +++L ， 倒序相加有2S ＝11029101
[()()][()()][()()]10111111111111
f f f f f f ++++++=L ， 即S ＝5.
考点九 裂项相消法 【例15】设数列，其前项和，为单调递增的等比数列，， ．
（1）求数列
，
的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）时，
，
当时，符合上式，
，
?
为等比数列
，
，
12n n b +=1
112
1
n n T +=-
-
设的公比为，则
，而， ，解得
或，
?单调递增，，
．
（2），
．
【方法技巧】(1)裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项．
(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
【变式训练1】在数列中，，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）的两边同时除以，得
， ?数列是首项为4，公差为2的等差数列．
（2）由（1），得，
?，故， ? ．
【变式训练2】设数列{}n a 满足32121
2222
n n a a a a n -+
+++=L ，n N *
∈. {}n a 14a =()2
1122n n na n a n n +-+=+n a n ??
????
1n a ??
????
n n S ()
21n n
S n =
+()2
1122n n na n a n n +-+=+()1n n +()121n n
a a n n n
*+-=∈+N n a n ??
????
22n a
n n
=+2
22n a n n =+()()2
1111111222121n n n a n n n n n n +-??==?=?- ?+++??
11111
1122231n S n n ????????=
-+-+?+- ? ? ???+???????
?()
111111111112232312121n n n n n ????????=
+++?+-++?+=-= ? ? ???+++????????
【变式训练1】正项等差数列中，已知，，且，，构成等比数列的前三项．
（1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）设等差数列的公差为，则由已知得：，即， 又，解得或（舍去），，
?，又，，?，?；
（2）?， ，
两式相减得，则．
【变式训练2】已知
是等差数列，其前项和为，
是等比数列，且，，
．
（1）求数列
与
的通项公式；
（2）记，，求证：
．
【答案】（1），；（2）见解析． 【解析】（1）设的公差为
，的公比为，
则
，
，
即，解得：
，，
．
（2），? ，?
得
{}n a 0n a >12315a a a ++=12a +25a +313a +{}n b {}n a {}n b {}n n a b n n T 21n a n =+152n n b -=?()52121n
n T n ??=-+??d 1232315a a a a ++==25a =()()52513100d d -+++=2d =13d =-123a a d =-=()1121n a a n d n =+-?=+1125b a =+=22510b a =+=2q =152n n b -=?()21
535272212n n T n -??=+?+?+???++???()2325325272212n n T n ??=?+?+?+???++???()][()215[322222221251221]n n n n T n n --=+?+?+???+?-+?=--()52121n
n T n ??=-+??112a b ==4427a b +=1121n n n n T a b a b a b -=+++L 31n a n =-31n a n ∴=--②①
，
?所证恒等式左边，右边，即左边右边，所以不等式得证．
考点十一 分组求和
【例17】 (2019·福建高三毕业班3月质检)数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －n . (1) 求证：数列{a n ＋1}是等比数列，并求a n ；
(2) 若数列{b n }为等差数列，且b 3＝a 2，b 7＝a 3，求数列{a n b n }的前n 项和T n . 【解析】(1)证明：当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，所以a 1＝1.
因为S n ＝2a n －n ，?
所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－(n －1)，?
?－?得a n ＝2a n －2a n －1－1，所以a n ＝2a n －1＋1， 所以a n ＋1a n －1＋1＝2a n －1＋1＋1a n －1＋1＝2a n －1＋2a n －1＋1＝2，
所以{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以a n ＋1＝2·2n －
1，所以a n ＝2n －1.
(2) 由(1)知，a 2＝3，a 3＝7，所以b 3＝a 2＝3，b 7＝a 3＝7，
设{b n }的公差为d ，则b 7＝b 3＋(7－3)·d ，所以d ＝1， 所以b n ＝b 3＋(n －3)·d ＝n ，所以a n b n ＝n (2n －1)＝n ·2n －n . 设数列{n ·2n }的前n 项和为K n ，数列{n }的前n 项和为M n ， 所以K n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ，? 2K n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋
1，? ?－?得－K n
＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋
1＝
2(1－2n )1－2
－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋
1－2. 所以K n ＝(n －1)·2n ＋
1＋2，
又因为M n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)
2，
所以K n －M n ＝(n －1)·2n ＋
1－
n (n ＋1)
2
＋2. 所以数列{a n b n }的前n 项和T n ＝(n －1)·2n ＋
1－n (n ＋1)2
＋2.
【方法技巧】（1）在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n 进行讨论．最后再验证是否可以合并为一个表达式．
(2)分组求和的策略：?根据等差、等比数列分组．?根据正号、负号分组．
【变式训练1】已知数列{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，且a 5＝3a 2，S 7＝14a 2＋7.
?当n 为偶数时，a n ＝(a n －a n －2)＋(a n －2－a n －4)＋…＋(a 4－a 2)＋a 2＝n －2
2×4＋a 2＝2n －1.
综上，a n ＝2n －1(n ?N *).
(2)?b n ＝(－1)n a n ＝(－1)n ·(2n －1)，
?T 100＝b 1＋b 2＋…＋b 100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2＋2＋2＋…＋2＝2×100
2＝100.
【变式训练2】设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ?N *. (1) 证明：a n ＋2＝3a n ； (2) 求S n .
【解析】 (1)证明：由条件，对任意n ?N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，
因而对任意n ?N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3. 两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ，n ≥2.
又a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1. 故对一切n ?N *，a n ＋2＝3a n . (2)由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2
a n
＝3.
于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列； 数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列． 因此a 2n －1＝3n －
1，a 2n ＝2×3n －
1.
于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝(1＋3＋…＋3
n －1
)＋2(1＋3＋…＋3
n －1
)＝3(1＋3＋…＋3
n －1
)＝3(3n －1)2
，
从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3(3n －1)2－2×3n －1＝32
(5×3n －
2－1)．
综上所述，
考点十三 数列与函数的综合问题
【例19】(2019·上海市青浦区高三二模)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ?R )，且不等式|f (x )|≤2019|2x －x 2|对任意的x ?[0,10]都成立，数列{a n }是以7＋a 为首项，公差为1的等差数列(n ?N *)．
(1)当x ?[0,10]时，写出方程2x －x 2＝0的解，并写出数列{a n }的通项公式(不必证明)；
(2)若b n ＝a n ·????13 a
n (n ?N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ，对任意的n ?N *
，都有S n 由不等式|f (x )|≤2019|2 x －x 2|对任意的 x ?[0,10]都成立，可得????? |f (2)|≤0， |f (4)|≤0， 高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 条件中，使得()*∈ A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5= . 【答案】1 121 决战2020年高考冲刺卷（02） 数学（山东专版） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 姓名_____________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：高中全部内容. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．已知集合{}0,1,2,3,4A =，集合{} 21,B x x n n A ==+∈，则A B =I （ ） A ．{}1 B ．{}1,3 C ．{}2,4 D ．{}0,1,3 2．已知i 是虚数单位，复数1111i i --+的共轭复数是（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．-1 3．命题p ：对任意x R ∈，210x +>的否定是( ) A ．p ?：存在0x R ∈,0210x +≤ B ．p ?：存在0x R ∈,0210x +> C ．p ?：不存在0x R ∈,0210x +≤ D ．p ?：对任意x R ∈，210x +≤ 4．2018年5月1日，某电视台的节目主持人手里提着一个不透明的袋子，若袋中共有10个除颜色外完全相同的球，其中有7个白球，3个红球，若从袋中任取2个球，则“取得2个球中恰有1个白球1个红球”的概率为（ ） A ． 521 B ． 715 C ． 1115 D ．221 5．已知在ABC ?内有一点P ，满足0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r ，过点P 作直线l 分别交边AB 、AC 于M 、N ，若 AM mAB =u u u u r u u u r ，()0,0AN nAC m n =>>u u u r u u u r ，则mn 的最小值为（ ） A ． 49 B ． 53 C ． 43 D ．3 2017年高考数学山东卷（理科） 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分） 1、设函数24x y -=的定义域为A ，函数)1ln(x y -=的定义域为B ，则=B A （ ） A 、（1，2） B 、（1，2] C 、（－2，1） D 、[－2，1） 2、已知R a ∈，i 是虚数单位，若i a z 3+=，4=?z z ，则=a （ ） A 、1或－1 B 、7或7- C 、3- D 、3 3、已知命题p ：0>?x ，0)1ln(>+x ；命题q ：若b a >，则22b a >，下列命题为真命题的是（ ） A 、q p ∧ B 、q p ∧ C 、q p ∧ D 、q p ∧ 4、已知x 、y 满足约束条件?? ???≥+≤++≤+-0305303x y x y x ，则y x z 2+=的最大值是（ ） A 、0 B 、2 C 、5 D 、6 5、为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为a x b y +=，已知225101=∑=i i x ，160010 1=∑=i i y ，4=b ，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ） A 、160 B 、163 C 、166 D 、170 6、执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 值为7，第二次 输入的x 值为9，则第一次、第二次输出的a 值分别为（ ） A 、0，0 B 、1，1 C 、0，1 D 、1，0 7、若0>>b a ，且1=ab ，则下列不等式成立的是（ ） A 、)(log 212b a b b a a +<<+ B 、b a b a b a 1)(log 2 2+<+< C 、a b b a b a 2)(log 12<+<+ D 、a b b a b a 21)(log 2<+<+ 8、从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次， 每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ） A 、185 B 、94 C 、95 D 、9 7 20XX 年高考数学数列知识点及题型大总结 等差数列 知识要点 1．递推关系与通项公式 m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a m n n n m n n n n --= --= --=-+=-+==-+1; )1()()1(1111变式：推广：通项公式：递推关系： 为常数） 即：特征：m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(), (1+==-+= ),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。 2．等差中项： 若c b a ,,成等差数列，则b 称c a 与的等差中项，且2 c a b +=；c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。 3．前n 项和公式 2 )(1n a a S n n += ； 2)1(1d n n na S n -+= ) ,()(,)2(22212为常数即特征：B A Bn An S Bn An n f S n d a n d S n n n +=+==-+= 是数列 {}n a 成等差数列的充要条件。 4．等差数列 {}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中 ⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若反之，不成立。 ⑵d m n a a m n )(-=- ⑶m n m n n a a a +-+=2 ⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。 5．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法： ）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1?{}n a 是等差数列 ②中项法： )22 1*++∈+=N n a a a n n n （?{}n a 是等差数列 ③通项公式法： ),(为常数b k b kn a n +=?{}n a 是等差数列 ④前n 项和公式法： ),(2为常数B A Bn An S n +=?{}n a 是等差数列 练习：1．等差数列 {}n a 中， ) (3 1 ,1201191210864C a a a a a a a 的值为则-=++++ A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 165 1203232)(32) 2(3 1 318999119=?==-=+-=-a d a d a a a a 2．等差数列 {}n a 中，12910S S a =>，，则前10或11项的和最大。 解：0912129 =-=S S S S ， 003011111121110>=∴=∴=++∴a a a a a a ，又，， ∴ {}n a 为递减等差数列∴1110S S =为最大。 3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为－110 解：∵ ，，，，，1001102030102010S S S S S S S --- 成等差数列，公差为D 其首项为 10010=S ，前10项的和为10100=S 解 山东省滨州市高考数学冲刺模拟试卷（理科）（五） 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共10题；共20分) 1. （2分） (2018高三上·德州期末) 已知集合，，则 （） A . B . C . D . 2. （2分）(2017·天心模拟) 已知t∈R，若复数（i为虚数单位）为纯虚数，则 =（） A . 2 B . 4 C . 6 D . 8 3. （2分） (2018高一下·重庆期末) 若是整数，则称点为整点，对于实数，约束条件 所表示的平面区域内整点个数为（）个 A . B . C . D . 4. （2分） (2018高二上·泸县期末) “ ”是“ ”的（） A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 5. （2分） (2016高三上·巨野期中) 设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（） A . 函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1） B . 函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1） C . 函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2） D . 函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2） 6. （2分）(2017·滨州模拟) 将函数y=cos（2x+ ）的图象沿x轴向右平移φ（φ＞0）个单位，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为（） A . B . C . D . 7. （2分） (2017高二上·景德镇期末) 定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和．如：1= + + ，1= + + + ，1= + + + + ，…依此类推可得：1= + + + + + + + + + + + + ，其中m≤n，m，n∈N* ．设1≤x≤m，1≤y≤n，则的最小值为（） A . B . C . D . 8. （2分）(2014·安徽理) 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（） A . 21+ B . 18+ C . 21 D . 18 9. （2分）某单位购买10张北京奥运会某场足球比赛门票，其中有3张甲票，其余为乙票．5名职工从中各 1. 高考数学数列题型专题汇总 1 一、选择题 2 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 3 条件中，使得()*∈ 2. 4、如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且 19 1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ， 20 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）. 21 若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则 22 23 A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 24 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 25 【答案】A 26 27 28 29 30 二、填空题 31 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 32 6=S _______.. 33 【答案】6 34 35 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 36 专题08 数列大题部分 【训练目标】 1、 理解并会运用数列的函数特性； 2、 掌握等差数列，等比数列的通项公式，求和公式及性质； 3、 掌握根据递推公式求通项公式的方法； 4、 掌握常用的求和方法； 5、 掌握数列中简单的放缩法证明不等式。 【温馨小提示】 高考中一般有一道小题，一道大题，小题侧重于考等差数列与等比数列的性质，熟练的灵活的使用数列的性质会大大减少计算量；大题则侧重于考查根据递推公式求通项公式，求和的方法。总之，此类题目难度中等，属于必拿分题。 【名校试题荟萃】 1、（宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试卷）设数列{}n a 的前n 项和， 且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1 { }n a 的前n 项和n T ，求使得成立的n 的最小值. 【答案】（1）2n n a = （2）10 （2）由（1）可得 112n n a ?? = ??? ，所以， 由 ，即21000n >，因为 ，所以10n ≥，于是使得 成立的n 的最小值为10. 2、（宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试卷）设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上（*n N ∈） 。 （1）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为1 2ln 2-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 【答案】（1） （2） （2）由 函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线方程为 所以切线在x 轴上的截距为21 ln 2 a -，从而，故22a = 从而n a n =，2n n b =， 2n n n a n b = 绝密★启用前 试卷类型：A 高考仿真模拟冲刺考试（一）数学理 满分150分 考试用时120分钟 参考公式： 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概 率：).,,2,1,0() 1()(n k p p C k P k n k k n n =-=- 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1．设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数b a i +为纯虚数”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．已知全集U R =，集合{|2A x x =<-或3}x >，2{|340}B x x x =--≤， 则集合A B = （ ） A ．{|24}x x -≤≤ B ．{|13}x x -≤≤ C ．{|21}x x -≤≤- D ．{|34}x x <≤ 3．已知变量,x y 满足约束条件2 11y x y x y ≤?? +≥??-≤? ，则3z x y =+的最大值为 （ ） A ．12 B ．11 C ．3 D ．-1 4．等差数列{}n a 中，若 75913a a =，则139 S S = （ ） A ． 1 B ． 139 C ．9 13 D ．2 5．在△ABC 中，AB=2，AC=3，AB BC = 1则BC = （ ） A ． C D 6．已知命题p ：函数 12x y a +=-恒过（1，2）点；命题q ：若函数(1)f x -为偶函数，则()f x 的图像关于直线1x =对称，则下列命题为真命题的是 （ ） A ．p q ∧ B ．p q ?∧? 参考公式： 如果事件A 、B 互斥， 那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立， 那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ， 那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. m }， B ＝{1， m} ,A U B ＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点， 焦距为 4 一条准线为x=-4 ， 则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ， AB=2， CC 1=22 E 为CC 1的中点， 则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ， a 5=5， S 5=15， 则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中， AB 边的高为CD ， 若 a·b=0， |a|=1， |b|=2， 则 (A) （B ） (C) (D) 2016年山东省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求. 1．若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 解：复数z满足2z+=3﹣2i， 设z=a+bi， 可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i． 解得a=1，b=﹣2． z=1﹣2i． 故选：B． 2．设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（） A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（0，+∞） 解：∵A={y|y=2x，x∈R}=（0，+∞）， B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1）， ∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）． 故选：C． 3．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（） A．56 B．60 C．120 D．140 解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7， 故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140， 故选：D 4．若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（） A．4 B．9 C．10 D．12 解：由约束条件作出可行域如图， ∵A（0，﹣3），C（0，2）， ∴|OA|＞|OC|， 联立，解得B（3，﹣1）． ∵， ∴x2+y2的最大值是10． 故选：C． 5．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（） A．+πB．+πC．+πD．1+π 解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥， 半球的直径为棱锥的底面对角线， 由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=． 故R=，故半球的体积为：=π， 棱锥的底面面积为：1，高为1， 故棱锥的体积V=， 故组合体的体积为：+π， 专题14 与数列相关的综合问题 考纲解读明方向 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且 ．若 ， 则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 详解：令则 ，令 得，所以当时， ，当 时， ，因此 ， 若公比 ，则 ，不合题意；若公比 ，则 但，即 ，不合题意；因此， ，选B. 点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 2．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 【答案】27 【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 3．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，. （I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 （II）（i）由（I），有，故 . （ii）因为， 所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2021年山东省高考数学仿真模拟冲刺试题 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是（ ） A ．1．1 B ．1 C ．2．9 D ．2．8 2．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形ABCD 为朱方，正方形BEFG 为青方”，则在五边形AGFID 内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（ ） A ．1637 B ．949 C ．937 D ．311 3．已知函数()()3sin 3cos 0f x x x ωωω+>，对任意的1x ，2x ，当()()1212f x f x =-时，12min 2x x π-=，则下列判断正确的是（ ） A ．16f π??= ??? B ．函数()f x 在,62ππ?? ?? ?上递增 C ．函数()f x 的一条对称轴是76 x π= D ．函数()f x 的一个对称中心是,03π?? ??? 4．已知集合{}0,1,2,3A =，}{ 21,B x x n n A ==-∈，P A B =?，则P 的子集共有（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个 5．已知12,F F 分别为双曲线()22 22:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于,A B 两点，若22240,5BF AB BF AF ?==，则双曲线C 的离心率为（ ） A B ．4 C ．2 D 6．已知函数())f x x R =∈，若关于x 的方程()10f x m -+=恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．12) ,e B ．(0,2e C ．(1 1, 1)e + D ．1,12()e + 7．下列函数中，既是奇函数，又在(0,1)上是增函数的是（ ）． A ．()ln f x x x = B ．()x x f x e e -=- C ．()sin 2f x x = D ．3()f x x x =- 8．设复数z 满足21z i z -=+，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ） A ．2430x y --= B ．2430x y +-= C ．4230x y +-= D ．2430x y -+= 9．M 、N 是曲线y=πsinx 与曲线y=πcosx 的两个不同的交点,则|MN|的最小值为( ) A ．π B ．π C D ．2π 10．已知20,()1(0),{|()},{|(())()}a f x ax x x A x f x x B x f f x f x x >=-+>=≤=≤≤，若A B φ =≠则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,1] B ．3 (0,]4 C ．3 [,1]4 D ．[1,)+∞ 11．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（ ） 历届高考数学压轴题汇总及答案 一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分） 已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合 {}*|,n S x x b n N ==∈． （1）若120,3 a d π ==，求集合S ； （2）若12 a π = ，求d 使得集合S 恰好有两个元素； （3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的 值． 二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分) 已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34 a =-时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)对任意21[ ,)e x ∈+∞均有()2f x a ≤ 求a 的取值范围. 注： 2.71828e =为自然对数的底数. 设2 *012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=+++ +∈N .已知2 3242a a a =. （1）求n 的值； （2）设(1n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值. 四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。 (1)设{}n a 是首项为1，公比为1 2 的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由； (2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ； (3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在 2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围． 2019年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。 注意事项： 1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。 3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式： 锥体的体积公式：V=1 3 Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。 如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P(B)；如果事件A,B独立，那么P（AB）=P（A）·P （B）。 第I卷（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1 若复数x满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为 A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 2 已知全集={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则（CuA ）B为 A {1,2,4} B {2,3,4} C {0,2,4} D {0,2,3,4} 3 设a＞0 a≠1 ，则“函数f(x)= a3在R上是减函数”，是“函数g(x)=(2-a) 3x在R上是增函数”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 （4）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为 （A）7 （B）9 （C）10 （D）15 （5）的约束条件 2x y4 4x-y-1 + ? ? ? ≤ ≥ ，则目标函数z=3x-y的取值范围是 （A ） （B） 3 ,1 2 ??--???? 2012高考真题分类汇编：数列 一、选择题 1.【2012高考真题重庆理1】在等差数列}{n a 中，12=a ，54=a 则}{n a 的前5项和5S = A.7 B.15 C.20 D.25 【答案】B 【解析】因为12=a ，54=a ，所以64251=+=+a a a a ，所以数列的前5项和1562 52)(52)(542515=?=+=+=a a a a S ,选B. 2.【2012高考真题浙江理7】设n S 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列﹛a n ﹜的前n 项和，则下列命题错误的是 A.若d ＜0，则数列﹛S n ﹜有最大项 B.若数列﹛S n ﹜有最大项，则d ＜0 C.若数列﹛S n ﹜是递增数列，则对任意*N n ∈，均有0>n S D. 若对任意*N n ∈，均有0>n S ，则数列﹛S n ﹜是递增数列 【答案】C 【解析】选项C 显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n }是递增数列，但是S n ＞0不成立．故选C 。 3.【2012高考真题新课标理5】已知{} n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ） ()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7 【答案】D 【解析】因为}{n a 为等比数列，所以87465-==a a a a ，又274=+a a ，所以2474-==a a ，或4274=-=a a ，.若2474-==a a ，，解得18101=-=a a ，，7101-=+a a ；若4274=-=a a ，，解得18110=-=a a ，，仍有7101-=+a a ，综上选 D. 4.【2012高考真题上海理18】设25 sin 1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在 2008年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）（2008山东）满足M{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}的集合M 的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（5分）（2008山东）设z的共轭复数是，若，，则等于（）A．i B．﹣i C．±1D．±i 3．（5分）（2008山东）函数y=lncosx（）的图象是（） A．B．C．D． 4．（5分）（2008山东）设函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|的图象关于直线x=1对称，则a的值为（） A．3 B．2 C．1 D．﹣1 5．（5分）（2008山东）已知，则的值是（）A． B．C．D． 6．（5分）（2008山东）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（） A．9πB．10πC．11πD．12π 7．（5分）（2008山东）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（） A． B． C．D． 8．（5分）（2008山东）如图是根据《山东统计年鉴2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图．图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字．从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为（） A．304.6 B．303.6 C．302.6 D．301.6 9．（5分）（2008山东）展开式中的常数项为（） A．﹣1320 B．1320 C．﹣220 D．220 10．（5分）（2008山东）4．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（） A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 11．（5分）（2008山东）已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（） A．10B．20C．30D．40 12．（5分）（2008山东）设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象过区域M的a的取值范围是（） A．[1，3]B．[2，]C．[2，9]D．[，9] 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）（2008山东）执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的 第 1 页 共 4 页 2019年全国高考数学数列部分知识点考查分析 一、等差数列及其性质 1．（2019年全国Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知40S =，55a =，则( ) A ．25n a n =- B ．310n a n =- C ．228n S n n =- D ．21 22n S n n =- 2．（2019年全国Ⅲ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若10a ≠，213a a =，则105S S = ． 3．（2019年全国Ⅲ文）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若35a =，713a =，则10S = ． 4．（2019年北京理）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =-，510S =-，则5a = ，n S 的最小值为 ． 5．（2019年江苏）已知数列*{}()n a n N ∈是等差数列，n S 是其前n 项和．若2580a a a +=，927S =，则8S 的值是 ． 二、等比数列及其性质 1．（2019年全国Ⅲ文理）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3(a = ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 2．（2019年全国Ⅰ文）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，33 4 S =，则4S = ． 3.（2019年上海秋）已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足2n n S a +=，则5S =______. 三、数列综合 1．（2019年全国Ⅰ文）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知95S a =-． （1）若34a =，求{}n a 的通项公式； （2）若10a >，求使得n n S a …的n 的取值范围． 2．（2019年全国Ⅱ理）已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，1434n n n a a b +=-+，1434n n n b b a +=--． （1）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列； （2）求{}n a 和{}n b 的通项公式． 3．（2019年全国Ⅱ文）已知{}n a 的各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和． 4．（2019年北京文）设{}n a 是等差数列，110a =-，且210a +，38a +，46a +成等比数列． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最小值． 5．（2019年天津文）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0．已知113a b ==，23b a =，3243b a =+． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； 绝密★启用前 试卷类型A 1、 复数5 (3)z i i i =-+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为 （ ） A ．2i - B ．2i + C ．4i - D ．4i + 2、若[-1,1]{} 2 |1x x tx t ?-+≤,则实数t 的取值范围是 （ ） A ．[-1,0] B ．[222- C ．(,2]-∞- D ．[222-222+] 3、已知()2,M m 是抛物线()2 20y px p =>上一点，则“1p ≥”是“点M 到抛物线焦点 的距离不少于3”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4、若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线22 1y x m +=的离心率是 （ ） A 3 B 5 C 35 D 3 55、在ABC ?中，若0120,2==A b ，三角形的面积3=S ，则三角形外接圆的半径为（ ） A 3 B ．2 C ．23 D ．4 6、某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为 （ ） A ．3π B ．π4 C ．π2 D ．π2 5 7、定义,max{,},a a b a b b a b ≥?=?≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直 线10mx ny ++=上，其中m ，n 均大于0，则n m 2 1+的最小值为 （ ） A ．2 B ．4 2010年山东省高考数学试卷（文科） 2010年山东省高考数学试卷（文科） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1、（2010?山东）已知全集U=R，集合M={x|x2﹣4≤0}，则C U M=（） A、{x|﹣2＜x＜2} B、{x|﹣2≤x≤2} C、{x|x＜﹣2或x＞2} D、{x|x≤﹣2或x≥2} 2、（2010?山东）已知，其中i为虚数单位，则a+b=（） A、﹣1 B、1 C、2 D、3 3、（2010?山东）（山东卷文3）函数f（x）=log2（3x+1）的值域为（） A、（0，+∞） B、[0，+∞） C、（1，+∞） D、[1，+∞） 4、（2010?山东）在空间，下列命题正确的是（） A、平行直线的平行投影重合 B、平行于同一直线的两个平面平行 C、垂直于同一平面的两个平面平行 D、垂直于同一平面的两条直线平行 5、（2010?山东）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（） A、﹣3 B、﹣1 C、1 D、3 6、（2010?山东）在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数的平均值和方差分别为（） A、92，2 B、92，2.8 C、93，2 D、93，2.8 7、（2010?山东）设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的（） A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 8、（2010?山东）已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为 ，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（） A、13万件 B、11万件 C、9万件 D、7万件高考数学数列题型专题汇总
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