圆锥曲线中点差法的应用
一、知识点归纳：
1、 若椭圆的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，即焦点在x 轴上，若直线l 与椭圆相交，被椭圆所截得弦为AB ，其中点设为P ，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之积为常数，即22l PO b k k a
=- ； 若椭圆的方程为22
221(0)y x a b a b
+=>>，即焦点在y 轴上，若直线l 与椭圆相交，被椭圆所截得弦为AB ，其中点设为P ，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之积为常数，即22l PO a k k b
=- ； 2、 若双曲线的方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，即焦点在x 轴上，若直线l 与椭圆相交，被椭圆所截得弦为AB ，其中点设为P ，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之积为常数，即2
2l PO b k k a
= ； 若双曲线的方程为22
221(0,0)y x a b a b
-=>>，即焦点在y 轴上，若直线l 与椭圆相交，被椭圆所截得弦为AB ，其中点设为P ，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之积为常数，即2
2l PO a k k b
= ； 二、练习题
1、已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为 (A) 22136x y -= (B) 22
145x y -= (C) 22163x y -= (D) 22154
x y -= 2、已知椭圆E ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的右焦点为F （3,0），过点F 的直线交E 于A ，
B 两点.若A B 的中点坐标为（1，-1），则E 的方程为
（A ）1364522=+y x （B ）127
362
2=+y x （C ）1182722=+y x （D ）191822=+y x 3、设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。若AB 的中点为（2，2），则直线ι的方程为_____________.
三、 适用的题型
（一）以定点为中点的弦所在直线的方程
1、已知抛物线x y 42=，过点)4,3(P 的直线l 交抛物线于A 、B 两点且点P 平分AB ，求直线l 的方程。
2、过椭圆14
162
2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
(二)过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹
3、已知椭圆125
752
2=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。 （三）圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
4、已知椭圆13
42
2=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
（四）证明定值问题
5、已知AB 是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>不垂直于x 轴的任意一条弦，P 是AB 的中点，O 为椭圆的中心.求证：直线AB 和直线OP 的斜率之积是
高考专题圆锥曲线中的最值和范围问题 ★★★高考要考什么 1 圆锥曲线的最值与范围问题 (1)圆锥曲线上本身存在的最值问题： ①椭圆上两点间最大距离为2a (长轴长)． ②双曲线上不同支的两点间最小距离为2a (实轴长)． ③椭圆焦半径的取值范围为[a －c ，a ＋c ]，a －c 与a ＋c 分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离． ④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近． (2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解． (3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法． (4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理． (5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解． 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数， 通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是 均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 ★★★突破重难点 【练习】1、点A （3，2）为定点，点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在抛物线y 2=4x 上移动，若|P A|+|PF| 取得最小值，求点P 的坐标。若A （1，3）为定点，点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在抛物线y 2=4x 上移动，若|P A|+d|取得最小值，其中d 是点P 到准线的距离，求点P 的坐标 2．已知A （3，2）、B （－4，0），P 是椭圆x y 22 259 1+=上一点，则|P A |＋|PB|的最大值为（） A ．10 B ．105- C ．105+D ．1025+ 3．已知双曲线22 1169 x y -=，过其右焦点F 的直线l 交双曲线于AB ，若|AB |=5，则直线l 有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 4．已知点P 是抛物线y 2=4x 上一点，设P 到此抛物线的准线的距离为d 1,到直线x +2y+10=0的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值为（）
圆锥曲线最值问题及练习 中学数学最值问题遍及代数、三角,立体几何及解析几何各科之中,且与生产实际联系密切，最值 问题有两个特点:①覆盖多个知识点（如二次曲线标准方程,各元素间关系,对称性，四边形面积,解二元二次方程组，基本不等式等)②求解过程牵涉到的数学思想方法也相当多（诸如配方法,判别式法,参数法,不等式,函数的性质等)计算量大，能力要求高。 １、回到定义 例１、已知椭圆 22 1259 x y +=,A （4,０）,B （2,２)是椭圆内的两点,P 是椭圆上任一点，求：(1)求5||||4 PA PB +的最小值; (2)求|ＰA|+|PB|的最小值和最大值。 略解：(1)A 为椭圆的右焦点。作PQ ⊥右准线于点Q,则由椭圆的第二定义 ||4 ||5 PA e PQ ==， ∴ 5 ||||||||4 PA PB PQ PB +=+.问题转化为在椭圆上找一点P ,使其到点B 和右准线的距离之和最小,很明显,点P 应是过B 向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为174 。 （2)由椭圆的第一定义,设C 为椭圆的左焦点，则|ＰA|＝2a-|P Ｃ｜ ∴｜P A|+|ＰB|=２a-|PC|+｜ＰＢ|=10+(|PB ｜ -|PC|） 根据三角形中，两边之差小于第三边,当P 运动到与B 、C 成一条直线时,便可取得最大和最小值。即-|BC|≤|ＰB| -|PC|≤｜BC|.当P 到Ｐ"位置时，|PB| －｜PC|=|BC|,｜P A|＋|PB|有最大值,最大值为１0＋|BC| ＝ 10+当P 到P"位置时,|PB| -|PC|=－|B Ｃ|,|P Ａ|＋|PB ｜有最小值，最小值为10-|BC| ＝10- 回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用。(2)中的最小值还可以利用椭圆的光学性质来解释:从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点,而光线所经过的路程总是最短的。 ２、利用闭区间上二次函数最值的求法 例2、在抛物线2 4x y =上求一点，使它到直线y=4x －5的距离最短。 解:设抛物线上的点)4,(2 t t P ，点P 到直线4x-y －5＝0的距离17 4)21(4175442 2 +-=+-=t t t d
圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？
22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什 么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，
圆锥曲线定义的运用》案例分析 双鸭山31 中郭秀涛 一、教学内容分析 本课选自《全日制普通高级中学教科书（必修）?数学》（人教版）高二（上），第八章（圆锥曲线方程复习课） 圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性, 它是无数次实践后的高度抽象. 恰当地利用定义解题, 许多时候能以简驭繁. 因此, 在学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程、几何性质后,我认为有必要再一次回到定义, 熟悉“利用圆锥曲线定义解题”这一重要的解题策略. 二、学生学习情况分析 我所任教班级的学生是初中开始“课程改革”后的第一届毕业生，他们在初中三年的学习中，接受的是“新课改”的理念，学习的是“新课标”下的课程、教材，由于05 年高中“课改”还未全面推行，因此如今他们面对的高中教材还是旧教材。 与以往的学生比较，这届学生的特点是：参与课堂教学活动的积极性更强，思维敏捷，敢于在课堂上发表与众不同的见解，但计算能力较差，字母推理能力较弱，使用数学语言的表达能力也略显不足。 三、设计思想 由于这部分知识较为抽象, 难以理解. 如果离开感性认识, 容易使学生陷入困境,降低学习热情. 在教学时, 我有意识地引导学生利用波利亚的一般解题方法处理习题, 针对学生练习中产生的问题, 进行点评, 强调“双主作用”的发挥. 借助多媒体动画, 引导学生主动发现问题、解决问题, 主动参与教学,在轻松愉快的环境中发现、获取新知, 提高教学效率. 四、教学目标 1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题；熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、准线方程、渐近线、焦半径等概念和求法；能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。 2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解，培养思维的深刻性、创造性、科学性和批判性, 提高空间想象力及分析、解决问题的能力；通过对问题的不断引申, 精心设问, 引导学生学习解题的一般方法及联想、类比、猜测、证明等合情推理方法. 3．借助多媒体辅助教学, 激发学习数学的兴趣. 在民主、开放的课堂氛围中, 培养学生敢想、敢说、勇于探索、发现、创新的精神. 五、教学重点与难点: 教学重点
高中数学：圆锥曲线中的最值问题 在圆锥曲线中常遇到面积最大最小问题，距离的最长最短问题，不定量的最大最小问题等等，应从函数、方程、三角、几何、导数等多个角度思考问题。下面举例说明。 一、利用圆锥曲线的对称性求最值 例1. 设AB是过椭圆中心的弦，椭圆的左焦点为，则△F1AB的面积最大为（） A. B. C. D. 解析：抓住△F1AB中为定值，以及椭圆是中心对称图形。如图1，由椭圆对称性知道O为AB的中点，则△F1OB的面积为△F1AB面积的一半。又，△F1OB边OF1上的高为，而的最大值是b，所以△F1OB的面积最大值为。所以△F1AB的面积最大值为cb。
图1 二、利用圆锥曲线的参数方程求最值 例2. 已知点P是椭圆上到直线的距离最小的点，则点P的坐标是（） A. B. C. D. 解析：化椭圆，利用三角函数的方法将最值转化为角变量来确定。将化成参数方程，设，则 ， 其中，
当时，。 此时可以取得，从而可得到。故选A。 三、利用重要不等式求最值 例3. 已知圆C过坐标原点，则圆 心C到直线l：距离的最小值等于（） A. B. 2 C. D. 解析：抓住定值，利用重要不等式求最值，但是不要忽视等号成立的条件。圆C过原点，则。圆心C（a，b）到直线l：的距离 所以圆心到直线l距离的最小值为。 四、利用圆锥曲线的定义求最值
例4. 已知双曲线的左右焦点分别为F 1，F2，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值是（） A. B. C. 2 D. 解析：“点P在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键，也是不等关系成立的条件。利用这个结论得出关于a、c的不等式，从而得出e的取值范围。由双曲线的第一定义，得 又， 所以， 从而 由双曲线的第二定义可得， 所以。又， 从而。故选B。
专题10.4 圆锥曲线的综合应用试题 文 【三年高考】 1. 【2016高考四川文科】在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为 '2222 ( ,)y x P x y x y -++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，现有下列命题： 若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A. 单元圆上的“伴随点”还在单位圆上. 若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称 ④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是 . 【答案】②③ 线分别为2222( ,)0y x f x y x y -=++与 2222 (,)0y x f x y x y --=++的图象关于y 轴对称，所以②正确；③令单位圆上点的坐标为(cos ,sin )P x x 其伴随点为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故③正确；对于④，直线 y kx b =+上取点后得其伴随点2222 ( ,)y x x y x y -++消参后轨迹是圆，故④错误.所以正确的为序号为②③. 2．【2016高考山东文数】已知椭圆C :（a >b >0）的长轴长为4，焦距为2 . （I ）求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴与点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点B . (i)设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k'，证明为定值. (ii)求直线AB 的斜率的最小值. (Ⅱ)(i)设()()0000,0,0P x y x y >>，由()0,M m ，可得()()00,2,,2.P x m Q x m - 所以 直线PM 的斜率 002m m m k x x -= = ，直线QM 的斜率0023'm m m k x x --==-.此时'3k k =-，所以' k k 为定值3-. (ii)设()()1122,,,A x y B x y ，直线PA 的方程为y kx m =+，直线QB 的方程为3y kx m =-+.联立 22142 y kx m x y =+???+ =?? ，整理得()222214240k x mkx m +++-=.由20122421m x x k -=+可得()()212 02221m x k x -=+ ，所以() ()2112 02221k m y kx m m k x -=+= ++，同理() ()() ()22222 2 2262,181181m k m x y m k x k x ---= = +++.所以 () ()() ()() ()()2222212 2 2 2 00 22223221812118121m m k m x x k x k x k k x -----= - = ++++， ()()()()()()()() 2 2 2 2 21 2 2 2 2 622286121812118121k m m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++ ，所以2212161116.44AB y y k k k x x k k -+??===+ ?-?? 由00,0m x >>，可知0k >，所以1626k k +≥，等号当且仅
圆锥曲线定义的应用 一、复习提问：（写成学案的形式由学生填写） 先由学生讨论回答定义中应注意的几个问题及定义的作用 教师总结： （1）注意将定义中的常数a 2与|F 1F 2|进行比较 （2）注意双曲线定义中的绝对值对轨迹的影响 （3）第一定义给出了圆锥曲线上的点与两焦点间距离的和（或差）的关系； 第二定义是圆锥曲线上的点到焦点的距离与到相应准线的距离之间进 行转化的依据 一、 思维点拨 1、涉及到圆锥曲线上的点与两焦点问题可考虑利用第一定义解决 2、涉及焦点、准线、离心率及圆锥曲线上的点中的三者，常用第二定义解决 二、 基础练习 1、已知21,F F 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点，A 、B 时过焦点的弦，则2ABF ?的周长为（ ） （A ） 2 a (B) 4 a (C) 8 a (D) 2 a + 2 b 2、已知两定点)0,5(1-F ，)0,5(2F ，动点P 满足-||1PF ,2||2a PF =当3=a 和 5=a 时，点P 的轨迹分别为（ ） （A ）两个双曲线 (B) 两条射线 (C) 双曲线的一支和一条射线 (D) 双曲线的两支
3、P 是双曲线136 642 2=-y x 上一点，21,F F 是它的两个焦点，且,17||1=PF 则=||2PF ____________ 4、椭圆116 252 2=+y x 上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到椭圆右准线的距离为_________，点P 到左右准线的距离比为_________。 评注：（1）第3题学生往往忽视||1PF ≥a c -导致得出错误结论 （2） 第4题可利用第二定义将点P 到左右准线的距离比转化为到相应的 两焦点的距离比 三、 典例解析 例1、相距2000m 的两个哨所A 、B 听到远出传来的炮弹爆炸声。已知当时声 速是330m/s ，在A 哨所听到爆炸声的时间比在B 哨所听到的时间相差4s ， 试判断爆炸点P 在什么样的曲线上，并求出曲线方程。 思路分析：（1）什么原因导致在在A 哨所和在B 哨所听到爆炸声的时间不同 ？ （2）应如何理解时间“相差”4s ？ 解答：（略） 学生思考：如何改变条件轨迹变为双曲线的一支？ 评注：1、有关动点与两定点的距离和（或差）为定值的轨迹问题，应利用定 义法求轨迹，并注意将定值与两定点间的距离进行比较 2、求轨迹的题目中若没有建系，则应建系设点，写出对应的轨迹方程， 若轨迹为双曲线则更应注意绝对值对轨迹的影响 练习1、在平面直角坐标系中，已知三角形ABC 中BC 边长为4，且三边AC 、 BC 、AB 长依次成等差数列，求顶点A 的轨迹方程。 思考：若增加条件∣AC ∣>∣BC ∣>∣AB ∣顶点A 的轨迹方程会如何改变 ？ 练习2、已知定圆9)3(:,1)3(:222221=++=+-y x C y x C ，动圆C 与C 1、C 2 都相内切，求动圆圆心C 的轨迹方程。 思考：若将条件改为与C 2相切，动圆圆心C 的轨迹方程回如何改变 ？
圆锥曲线第二定义在一些题目中的应用 北京一零一中学数学组 何效员 圆锥曲线的第二定义：平面上到定点与到定直线的距离的比为常数e 的点的轨迹是圆锥曲线概念的重要组成部分，它揭示了圆锥曲线之间的内在联系，是圆锥曲线在极坐标系下 具有统一形式的基本保证。利用圆锥曲线的第二定义，在某些情形下，可以更方便的求解一些题目。 但当我们利用第二定义时，有时候会忽略一个条件，即平面上的这个定点不能在定直线上，否则得到的曲线不是圆锥曲线。如：考虑坐标平面上，到定点(1,1)与到定直线1x =的距离之比为常数e 的点的轨迹讨论如下： ① 当1e =时，点的轨迹方程为1,(1)y x =≠， 直线去掉一点； ② 当1e >时，点的轨迹方程为211(1),y e x -=±-- (1)x ≠，两条直线去掉一点； ③ 当1e <时，点的轨迹不存在。 下面我们就一些具体的题目来体会第二定义的妙用。 例1 已知椭圆22 143 x y +=内一点(1,1)P -，F 为右焦点，椭圆上有一点M 使 ||2||MP MF +的值最小，求点M 的坐标。 分析：若按常规思路，设点(,)M x y ，右焦点(1,0)F ， 则2222 ||2||(1)(1)2(1)MP MF x y x y +=-+++-+， 求其最小值无疑是困难，观察2||MF ，设M 点到右准线的距离d ， ||1 2 MF c e d a ===，2||MF d ∴=，这样 ||2||MP MF +就转化为在椭圆上寻找一点到(1,1)P -的距离与到直线2 4a x c == M P F M x = 4 O y x
的距离和最小，当且仅当MP ⊥直线4x =时，点M 在点P 和直线4x =之间时取得，此时M 的坐标为26 ( ,1)3 -. 例2 已知椭圆方程为22 221(0)y x a b a b +=>>，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得 它们的交点为顶点的四边形的面积最大，并求出相应的四边形的顶点坐标。 分析：本体若通过椭圆与双曲线方程联立求解交点坐标， 继而讨论四边形面积的表达式，求出使面积最大时 的双曲线方程，计算会十分麻烦，考虑到椭圆和双 曲线有共同的焦点，不妨利用第二定义求解。 设所求双曲线方程为 22 2 21(,0)y x m n m n -=>，其中 22222c a b m n =-=+，设两曲线在第一象限内的交点111(,)P x y ，12,l l 分别为椭圆，双曲线的上准线，过1P 作11PQ l ⊥于Q ，1 2PR l ⊥于R ， 22 1211111||||||||||c a c m PF e PQ e PR y y a c m c === -=-， 2211()()a m m y a y c c ∴-=-，解得 1am y c =，代入椭圆方程22221y x a b +=，得 1bn x c = ，利用双曲线与椭圆的对称性知 22 1122 4422abmn m n S x y ab ab c c +==≤?=，等号当且仅当22m n c ==时取得，故所求双曲线方程为22 2 2 2 a b y x --=，相应的四个顶点坐标为22(,)b a ±±. 例3 已知椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的两个焦点分别为()1,0F c -和()2,0F c ，过点
圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题 会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建 . 一、主要知识及主要方法： 1. 形式出现，特殊方法往往比较奏效。 2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。 3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值. 二、精选例题分析 【举例1】 （05广东改编）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同 动点A 、B 满足AO BO ⊥． （Ⅰ）求AOB △得重心G 的轨迹方程； （Ⅱ）AOB △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值； 若不存在，请说明理由． 【举例2】已知椭圆2 2142x y +=上的两个动点,P Q 及定点1,2M ? ?? ，F 为椭圆的左焦点，且PF ，MF ，QF 成等差数列.()1求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ； ()2设点A 关于原点O 的对称点是B ，求PB 的最小值及相应的P 点坐标. 【举例3】（06全国Ⅱ改编）已知抛物线2 4x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且 AF FB λ=u u u r u u u r （0λ>）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线（切线斜率分别为0.5x A ，0.5x B ），设其交点为 M 。 （Ⅰ）证明FM AB ?u u u u r u u u r 为定值；
圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备: １. 直线方程的形式 （１）直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式： 2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y =- (4)两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=－１ ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式) 标准方程:22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 距离式方程2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种
标准方程:22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程 :|2a = (３)、三种圆锥曲线的通径你记得吗? 22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4）、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如:已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点,平面内一个动点M 满足 221=-MF MF 则动点Ｍ的轨迹是( ) Ａ、双曲线;B 、双曲线的一支；C 、两条射线；D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式:1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S (其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） （6)、记住焦半径公式:(1） 00 ;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为,可简记为“左加右减,上加下减”。 (2)0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 (3)11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 （6）、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 １、点差法（中点弦问题) 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有
圆锥曲线的定义及其应用 一、教学目标： 1.进一步明确圆锥曲线定义，并用定义解决有关问题； 2.通过发散思维和创新思维的训练，培养学生的探究能力； 3.培养学生用运动变化的观点分析和解决问题． 二、教学重点、难点：圆锥曲线定义的灵活应用． 三、教学方法：教师引导启发与学生自主探索相结合． 四、教学过程： （一）引入： 问题1：平面内到定点12(3,0),(3,0)F F -的距离之和为8的点P 的轨迹是什么？ 121286PF PF F F +=>= ∴P 的轨迹是以12(3,0),(3,0)F F -为焦点的椭圆，方程是22 1167 x y + = 问：（1）若到两定点距离之和为改为6，则点P 的轨迹是什么？ （ 以12,F F 为端点的线段） （2）若改为到两定点距离之差为2，则P 点的轨迹是什么？ （以12,F F 为焦点的双曲线的一支） （3）若改为到两定点距离之差为6，则P 点的轨迹是什么？ （以12,F F 为端点的射线） （通过提问，让学生对圆锥曲线的第一定义进行回顾，并且进一步明确定义中所含的限制条件） 由学生总结椭圆和双曲线的定义 问题2：已知定点F （1，0），定直线:1l x =-，设一动点P 到直线l 的距离为d ，若有PF d =，则P 点的轨迹是什么？ （F l ?，∴P 点的轨迹是以F （1，0）为焦点，以直线:1l x =-为准线的抛物线。） 问：（1）若点F 改为（－1，0），则点P 的轨迹是什么？ （2）当 PF d 为何值时，所求轨迹是椭圆？ （3）当PF d 为何值时，所求轨迹是双曲线？ (通过提问，让学生对圆锥曲线的统一定义进行回顾和巩固，注意圆锥曲线第二定义的联系和区别) 由学生总结圆锥曲线的统一定义，。
圆锥曲线中的最值、范围问题 圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法 (1)两种类型 ① 涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题； ② 求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些 问题. (2)两种解法 ① 几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来 解决； ② 代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系， 则可先建立起目标函数， 再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解. ［典例］(2018武昌调研)已知椭圆的中心在坐标原点， A(2,0), B(0,1)是它的两个顶点, 直线y = kx(k>0)与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于 E , F 两点. (1) 若 ED — = 6I D F ，求 k 的值； (2) 求四边形AEBF 的面积的最大值. ［思路演示］ 2 解：(1)由题设条件可得，椭圆的方程为 X + y 2= 1,直线AB 的方程为x + 2y — 2= 0. 4 设 D(x o , kx o ), E(X 1, kx 1), F(X 2, kx ?),其中 X 1
高三数学专题复习 圆锥曲线中的最值问题和范围的求解策略 最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。以下从五个方面予以阐述。 一．求距离的最值或范围： 例1.设AB 为抛物线y=x 2 的一条弦，若AB=4，则AB 的中点M 到直线y+1=0的最短距离为 ， 解析：抛物线y=x 2 的焦点为F （0 ， 41），准线为y=41-，过A 、B 、M 准线y=4 1-的垂线，垂足分别是A 1、B 1、M 1，则所求的距离d=MM 1+43=21(AA 1+BB 1) +43=21(AF+BF) +4 3 ≥ 21AB+43=21×4+43=411,当且仅当弦AB 过焦点F 时，d 取最小值4 11， 评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。 练习： 1、(2008海南、宁夏理)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之 和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ）A. （ 4 1 ，－1） B. （ 4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 2、（2008安徽文）设椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>其相应于焦点(2,0)F 的准线方程为4x =. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）已知过点1(2,0)F -倾斜角为θ的直线交椭圆C 于,A B 两点，求证：242 2AB COS θ =-; （Ⅲ）过点1(2,0)F -作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于,A B 和,D E ,求AB DE + 的最小值 解 ：（1）由题意得： 2 22 2222 8 44c a a c b a b c =???=??=??=????=+?∴ ∴椭圆C 的方程为22 184 x y += (2)方法一： 由（1）知1(2,0)F -是椭圆C 的左焦点，离心率2 2 e = 设l 为椭圆的左准线。则:4l x =- 作1111,AA l A BB l B ⊥⊥于于，l 与x 轴交于点H(如图) ∵点A 在椭圆上 112 2AF AA =∴ 112 (cos )2 FH AF θ=+ 12 2cos 2AF θ=+ 12cos AF θ =-∴ 同理 12cos BF θ =+
圆锥曲线的综合应用及其求解策略 有关圆锥曲线的综合应用的常见题型有：①、定点与定值问题；②、最值问题；③、求参数的取值范围问题；④、对称问题；⑤、实际应用问题。 解答圆锥曲线的综合问题，应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的相关知识，将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、不等式、函数等），再结合代数知识去解答。解答过程中要重视函数思想、方程与不等式思想、分类讨论思想和数形结合思想的灵活应用。 一、定点、定值问题： 这类问题通常有两种处理方法：①、第一种方法：是从特殊入手，先求出定点（或定值），再证明这个点（值）与变量无关；②、第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。 ★【例题1】（2007年高考〃湖南文科〃19题〃13分）已知双曲线222x y -=的右焦点为F ，过点F 的 动直线与双曲线相交于A 、B 两点，又已知点C 的坐标是(10)，．（I ）证明CA 〃CB 为常数；（II ）若动 点M 满足CM CA CB CO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程． ◆解：由条件知(20)F ， ，设11()A x y ，，22()B x y ，． （I ）当AB 与x 轴垂直时，可求得点A 、B 的坐标分别为(2 ，(2， ，此时则有 (12)(11CA CB =?=-，． 当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=，则有 2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根， 所以212241k x x k +=-，2122421 k x x k +=-，于是 212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2) CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--2 2 2 1212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++22222 22 (1)(42)4(21)4111 k k k k k k k +++=-++--22(42)411k k =--++=-． ∴ 综上所述，CA CB 为常数1-． （II ）设()M x y ，，则(1)CM x y =-，，11(1)CA x y =-，，22(1)CB x y =-，，(10)CO =-，，由 CM CA CB CO =++得：121213x x x y y y -=+-??=+?，即1212 2x x x y y y +=+??+=?，于是AB 的中点坐标为222x y +?? ???，．
圆锥曲线中的最值问题 主讲：秦岭老师 9816秦岭数学18届群：307181356 9816秦岭数学19届群：151219471 9816秦岭数学20届群：481591151 一、知识回顾 1．圆锥曲线的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．即：|MF1|＋|MF2|＝2a>2c＝|F1F2|； （2）平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．即：||MF1|－|MF2||＝2a<2c=|F1F2|； （3）平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．即：|MF|=d . 2. 直线与圆锥曲线的位置关系 将直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0 (或ay2＋by＋c＝0)． (1)当a≠0，考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ①Δ>0?直线与圆锥曲线相交； ②Δ＝0?直线与圆锥曲线相切； ③Δ<0?直线与圆锥曲线相离． (2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点， ①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行； ②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 3．圆锥曲线的弦长 设斜率为k (k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
圆锥曲线的综合 【复习目标】 1、在理解和掌握圆锥曲线的定义和简单几何性质的基础上，把握有关圆锥曲线的知识的内在联系，灵活运用解析几何的常用方法解决问题，培养运用各种知识解决问题的能力； 2、通过问题的解决，理解函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想。 【教学重点、难点】 1.灵活运用圆锥曲线的几何性质解决问题； 2.理解函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想，通过问题解决的过程中，提高分析问题、解决问题的能力，同时培养运算能力。 【教学过程】 一、圆锥曲线的几何性质在高考中的地位 圆锥曲线的几何性质是在每年的高考中必考的一个知识点，这一类问题的考查大多数出现在填空题中，属于中低档题，有时也会出现在解答题的第一、第二问中，分值大约在4至8分。 【相关知识链接】 1.椭圆、双曲线第一、第二定义各是什么？ 2.圆锥曲线的标准方程形式反应了其怎样的特点？ 3.椭圆、双曲线中c b a ,,存在什么样的等量关系? 4.性质中的不等关系： 对于圆锥曲线标准方程中变量y x ,的范围、离心率的范围等，在求与圆锥曲线有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值，最小值时，经常用到这些不等关系。 5.求椭圆、双曲线的离心率问题的一般思路： 求椭圆、双曲线的离心率时，一般是依据题设得出一个关于c b a ,,的等式（或不等式），利用c b a ,,之间的等量关系消去b ，即可求得离心率（或离心率的范围）。 题型一 活用圆锥曲线的几何性质 1.若椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为)0,(),0,21c F c F -（, 以点2F 为圆心，半径为c 画圆，圆2F 交椭圆于点M ，直线1MF 与圆2F 相切，则该椭圆离心率为
高中数学学案：圆锥曲线的定义在解题中的应用 1. 了解圆锥曲线的统一定义,能够运用定义求圆锥曲线的标准方程. 2. 理解圆锥曲线准线的意义,会利用准线进行相关的转化和计算. 1. 阅读：选修11第52～53页(理科阅读选修21相应内容)；阅读之前先独立书写出圆锥曲线的统一定义,并尝试根据圆锥曲线的统一定义推导出椭圆方程. 2. 解悟：①写出圆锥曲线的统一定义,写出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)和双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0,b>0)的准线方程；②椭圆、双曲线、抛物线各有几条准线？有什么特征？ 3. 在教材上的空白处完成选修11第54页练习第2题(理科完成选修21相应任务). 基础诊断 1. 点P 在椭圆x 225＋y 2 9＝1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P 到左准线 的距离为 25 3 . 解析：设椭圆的左,右焦点分别为F 1,F 2,由题意知PF 1＋PF 2＝2a ＝10,PF 1＝2PF 2,所以PF 1＝203,PF 2＝103.因为椭圆x 225＋y 29＝1的离心率为e ＝45,所以点P 到左准线的距离d ＝PF 1e ＝20 345＝253. 2. 已知椭圆x 225＋y 29＝1上一点的横坐标为2,则该点到左焦点的距离是 33 5 . 解析：椭圆x 225＋y 29＝1,则a ＝5,b ＝3,c ＝4,所以离心率e ＝c a ＝4 5.由焦半径公式可得该点到左 焦点的距离为a ＋ex ＝5＋45×2＝33 5. 3. 焦点在x 轴上,且一个焦点到渐近线的距离为3,到相应准线的距离为9 5的双曲线的标准 方程为 x 216－y 2 9＝1 . 解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1,焦点为(－c,0),(c,0),渐近线方程为y ＝±b a x,准线方程为x ＝±a 2c ,由题意得焦点到渐近线的距离d ＝bc a 2＋ b 2＝bc c ＝ b ＝3,所以b ＝3.因为焦点到相应准线的
第52讲 圆锥曲线的综合应用——定点、定值问题 思维导图 知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程． 例：由????? Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则： Δ>0?直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0?直线与圆锥曲线C 相离． (2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时， 若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2．弦长公式 设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 或|AB |＝ 1＋1k 2·|y 1－y 2|＝ 1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 3．定点问题 (1)参数法：参数法解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为k )；②利用条件找到k 与过定点的曲线F (x ，y )＝0之间的关系，得到关于k 与x ，y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点． (2)由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 4.定值问题
圆锥曲线中的最值和范围问题 高考在考什么 【考题回放】 1．已知双曲线122 22=-b y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲 线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,)+∞ D.(2,+∞) 2． P 是双曲线 22 1916 x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为（ ） A. 6 B.7 C.8 D.9 3．抛物线y=-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是( ) A ． 43 B ．75 C ．8 5 D ．3 4．已知双曲线22 221,(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右 支上，且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（ ） (A) 4 3 (B) 5 3 (C)2 (D) 73 5．已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 . 6．设椭圆方程为14 2 2 =+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足OP (21=OA +)OB ，点N 的坐标为)2 1 ,21(，当l 绕点M 旋转时，求（1）动点P 的 轨迹方程；（2）||NP 的最小值与最大值.
高考要考什么 【考点透视】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。 【热点透析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 突破重难点 【范例1】已知动点P 与双曲线13 22 2=-y x 的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为9 1 -． （１）求动点P 的轨迹方程； （２）若已知D (0,3)，M 、N 在动点P 的轨迹上且DN DM λ=，求实数λ的取值范围． 【范例2】给定点A (-2,2)，已知B 是椭圆2212516x y +=上的动点，F 是右焦点，当53 AB BF +