八年级数学上册压轴题训练
1.问题背景：
如图1：在四边形ABC中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；
探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：
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如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
]
2.【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即
“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=D F，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
(1)如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根
据，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
(2)如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、
∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
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第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
(3)在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF
和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
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(4)∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，
且∠B、∠E都是锐角，若，则△ABC≌△DEF．
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3．有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗请画示意图说明剪法．
我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：
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定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
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(1)请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；
（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）
(2)△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设
∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；
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[
]
4.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使
用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC）
(1)在图1中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是度
和度；
(2)在图2中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；
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(3)继续按以上操作发现：在△ABC中画n条线段，则图中有个等腰三角形，其中有个黄金等腰
三角形．
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5.在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．（无需写证明过程）
(1)在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；
(2)在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等请直接写出你的结论，无需证明．
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6.如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
(1)当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；
(2)将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；
(3)将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，(2)中的结论是否仍成立若成立，试证明之，若不成立，请说明理
由．
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7.【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上
的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．
小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．;
小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．
【变式探究】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD－PE=CF.
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8.在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不与B、C重合），M在BC的延长线上．
(1)如图1，△ABC和△APE均为正三角形，连接CE．
①求证：△ABP≌△ACE．
②∠ECM的度数为°．
(2)①如图2，若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形，连接CE．则∠ECM的度数为°．
②如图3，若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形，连接CE．则∠ECM的度数为°．
…
(3)如图4，n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形，连接CE，请你探索并猜想∠ECM的度数与正多边形边数
n的数量关系（用含n的式子表示∠ECM的度数），并利用图4（放大后的局部图形）证明你的结论．
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9、如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，过点A作射线AE，过点C作CF⊥AE于点F，过点B作BG⊥AE于点G，连接FD并延长，交BG于点H
（1）求证：DF=DH；
（2）若∠CFD=120°，求证：△DHG为等边三角形．
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10、已知两等边△ABC，△DEC有公共的顶点C。
（1）如图①，当D在AC上，E在BC上时，AD与BE之间的数量关系为______________________；
（2）如图②，当B、C、D共线时，连接AD、BE交于M，连接CM，线段BM与线段AM、CM之间有何数量关系试说明理由；
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（3）如图③，当B、C、D不共线时，线段BM与线段AM、CM之间的数量关系是_________________。
（不要求证明）。
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3、在△ABC中，∠ACB为锐角，动点D（异于点B）在射线BC上，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．
（1）若AB=AC，∠BAC=90°那么
①如图一，当点D在线段BC上时，线段CF与BD之间的位置、大小关系是_________( 直接写出结论)图二，当点D在线段BC的延长上时，①中的结论是否仍然成立请说明理由．
（2）若AB≠AC，∠BAC≠90°．点D在线段BC上，那么当∠ACB等于多少度时线段CF与BD之间的位置关系仍然成立．请画出相应图形，并说明理由．
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4、如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．
（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；
（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF= 1/2∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．
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答案)
1、全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．
分析：（1）首先证明∠1=∠2，再证明△DCF ≌△DBH 即可得到DF=DH ；
（2）首先根据角的和差关系可以计算出∠GFH=30°，再由∠BGM=90°可得∠GHD=60°，再根据直角三角形的性质可得，HG=2
1HF ，进而得到结论． 解答：证明：（1）∵CF ⊥AE ，BG ⊥AE ，
∴∠BGF=∠CFG=90°，
∴∠1+∠GMB=∠2+∠CME ，
∵∠GMB=∠CME ，
∴∠1=∠2，
∵点D 为边BC 的中点，
∴DB=CD ，
在△BHD 和△CED 中，
∠1＝∠2
DB ＝CD
∴△BHD ≌△CED （ASA ），
∴DF=DH ；
（2）∵∠CFD=120°，∠CFG=90°，
∴∠GFH=30°，
∵∠BGM=90°，
∴∠GHD=60°，
∵△HGF 是直角三角形，HD=DF ，
∴HG=2
1HF=DH ∴△DHG 为等边三角形．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是掌握全等三角形的判定定理．
2、解：（1）AD=BE
（2）BM=AM+CM
理由：在BM 上截取BM ′=AM ，连接CM ′
∵△ABC 、△CED 均为等边三角形，
∴BC=AC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=60°
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE 即
∠BCE=∠ACD
∴在△BCE 和△ACD 中
AC=BC
∠BCE=∠ACD
CE=CD
∴△BCE ≌△ACD （SAS ）
∴∠1=∠2
BM′=AM
∠1=∠2
BC=AC
∴△BM′C≌△AMC（SAS）
∴∠3=∠4，CM= CM′
∵∠ACB＝∠3＋∠5=60°
∴∠4＋∠5=60°即∠MM′C=60°
∴△MM′C为等边三角形
∴CM= MM′
∴BM=B M′+M M′=AM+CM
（3）BM=AM+CM
4、