（Gauss-Jordan）消元法
选主元的高斯-约当（Gauss-Jordan）消元法在很多地方都会用到，例如求一个矩阵的逆矩阵、解线性方程组（插一句：LM算法求解的一个步骤），等等。它的速度不是最快的，但是它非常稳定（来自网上的定义：一个计算方法，如果在使用此方法的计算过程中，舍入误差得到控制，对计算结果影响较小，称此方法为数值稳定的），同时它的求解过程也比较清晰明了，因而人们使用较多。下面我就用一个例子来告诉你Gauss-Jordan法的求解过程吧。顺便再提及一些注意事项以及扩展话题。
对本文中所提到的“主元”等概念的解释，可以参考此链接。
假设有如下的方程组：
写成矩阵形式就是：AX=B，其中：
且X=(X
1, X2, X3)T。
文章来源：https://www.doczj.com/doc/ec14087895.html,/
现对矩阵A作初等变换，同时矩阵B也作同样的初等变换，则当A化为单位矩阵的时候，有：
显而易见，我们得到了方程组的解X=(1, 2, 4)T。
所以，我们要以一定的策略，对A和B施以一系列的初等变换，当A化为单位矩阵的时候，B就为方程组的解。
选主元的G-J消元法通过这样的方法来进行初等变换：在每一个循环过程中，先寻找到主元，并将主元通过行变换（无需列变换）移动到矩阵的主对角线上，然后将主元所在的行内的所有元素除以主元，使得主元化为1；然后观察主元所在的列上的其他元素，将它们所在的行减去主元所在的行乘以一定的倍数，使得主元所在的列内、除主元外的其他元素化为0，这样就使得主元所在的列化为了单位矩阵的形式。这就是一个循环内做的工作。然后，在第二轮循环的过程中，不考虑上一轮计算过程中主元所在的行和列内的元素，在剩下的矩阵范围内寻找主元，然后（如果其不在主对角线上的话）将其移动到主对角线上，并再次进行列的处理，将列化为单位矩阵的形式。余下的步骤依此类推。具体的计算过程的一个例子，请看下面我举的求逆矩阵的过程。
如果要解系数矩阵相同、右端向量不同的N个方程组，在设计程序的时候，没有必要”解N 次方程组“，我们完全可以在程序中，将所有的右端向量以矩阵的数据结构（类似于二维数组）来表示，在系数矩阵作行变换的时候，矩阵里的每一个右端向量也做同样的变换，这样，我们在一次求解运算的过程中，实际上就是同时在解N个方程组了，这是要注意的地方。
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那么，G-J法为什么可以用来求逆矩阵？
假设AX=E，其中，A为n阶系数矩阵（与上面的解线性方程组对照）；E为单位矩阵，即E=(e1,e2,…,e n)，其中e i (i=1,2,…,n) 为单位列向量；X为n个列向量构成的矩阵，即
X=(x1,x2,…,x n)，其中x i (i=1,2,…,n) 为列向量。于是，可以把等式AX=E看成是求解n个线性方程组Ax
i=e i(i=1,2,…,n)，求出了所有的x i之后，也即得到了矩阵X。而由AX=E可知，矩阵X是A的逆矩阵，即X=A-1。这样，就求出了A的逆矩阵了。于是，求逆矩阵的过程被化成了解线性方程组的过程，因此我们可以用Gauss-Jordan消元法来求逆矩阵。
求逆矩阵时，系数矩阵A和单位矩阵E可以共用一块存储区，在每一次约化过程中，系数矩阵逐渐被其逆矩阵替代。
在这里，我用一个实际的例子来说明G-J法求逆矩阵的过程：
有如下的方程组：
显而易见，该方程组对应的系数矩阵A和右端向量矩阵B（此处只有一个右端向量）分别为：
其实在求逆矩阵的过程中，矩阵B无关紧要，可以忽略，不过此处还是把它写出来了。下面，把单位矩阵E附在A的右边，构成另一个矩阵（A|E）：
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下面，我们就通过矩阵的初等变换，将A化为单位矩阵E，而E则化为了A的逆矩阵。以下是转化步骤：
?【Step 01】主元选为3，所以将Row1（第一行）与Row2（第二行）交换：
?【Step 02】主元所在行的所有元素除以主元：
?【Step 03】Row1 – Row2，Row3 – 2 × Row2：
现在，原来的矩阵A有一列被化为了单位阵的形式。
?【Step 04】重新选主元，这一次主元选为5/3，于是Row1 ÷ 5/3（主元所在行的所有元素除以主元）：
?【Step 05】Row2 – (1/3) × Row1，Row3 – (4/3) × Row1：
现在，原来的矩阵A又有一列被化为了单位阵的形式。
?【Step 06】重新选主元，这一次主元选为-1/5，于是Row3 ÷ (-1/5)（主元所在行的所有元素除以主元）：
【Step 07】Row1 – (2/5) × Row3，Row2 – (1/5) × Row3：
现在，原来的矩阵A的所有列都被化为了单位阵的形式。
可见，以上过程非常适合于计算机编程求解。
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至此，我们完成了从A到E的转换，这个过程中使用了选主元的方法，但没有使用列交换。
于是，原来的单位矩阵E就变成了A-1，即：
有人说，在进行转化的过程中，如果某一步发现选中的主元为0，怎么办？当然，这种情况就进行不下去了（矩阵是奇异的）。
实验一 列主元消去法 【实验内容】 1．掌握列主元消去法的基本思路和迭代步骤 2．并能够利用列主元的高斯消去法解任意阶数的线性方程组； 3、从课后题中选一题进行验证，得出正确结果，交回实验报告与计算结果。 【实验方法与步骤】 1．列主元消去法基本思路 设有线性方程组Ax b =，设A 是可逆矩阵。列主元消去法的基本思想就是通过列主元的选取将初等行变换作用于方程组的增广矩阵[]|B A b =，将其中的A 变换成一个上三角矩阵，然后求解这个三角形方程组。 2．列主元高斯消去法算法描述 将方程组用增广矩阵[]()(1)|ij n n B A b a ?+==表示。 步骤1：消元过程，对1,2,,1k n =-L （1） 选主元，找{},1,,k i k k n ∈+L 使得 ,max k i k ik k i n a a ≤≤= （2） 如果,0k i k a =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行（3）； （3） 如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应元素位置，k kj i j a a ?， ,,1j k n =+L ； （4） 消元，对,,i k n =L ，计算/,ik ik kk l a a =对1,,1j k n =++L ，计算 .ij ij ik kj a a l a =- 步骤 2：回代过程： （1） 若0,nn a =则矩阵奇异，程序结束；否则执行（2）； （2） ,1/;n n n nn x a a +=对1,,2,1i n =-L ，计算 ,11/n i i n ij j ii j i x a a x a +=+??=- ??? ∑
[实验程序] #include
高斯消元法解线性方程组 在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的结构如何呢？这就是下面要讨论的问题。 一、线性方程组 设含有n 个未知量、有m 个方程式组成的方程组 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m 11112211211222221122+++=+++=+++=???????ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ （3.1） 其中系数a ij ，常数b j 都是已知数，x i 是未知量（也称为未知数）。当右端常数项b 1, b 2, …, b m 不全为0时，称方程组（3.1）为非齐次线性方程组；当b 1=b 2= … =b m = 0时，即 a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n m m mn n 111122121122221122000 +++=+++=+++=???????ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ （3.2） 称为齐次线性方程组。 由n 个数k 1, k 2, …, k n 组成的一个有序数组（k 1, k 2, …, k n ），如果将它们依次代入方程组（3.1）中的x 1, x 2, …, x n 后，（3.1）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（k 1, k 2, …, k n ）为方程组（3.1）的一个解。显然由x 1=0, x 2=0, …, x n =0组成的有序数组（0, 0, …, 0）是齐次线性方程组（3.2）的一个解，称之为齐次线性方程组（3.2）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。 （利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。） 非齐次线性方程组（3.1）的矩阵表示形式为： AX = B 其中 A = ????????????mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211，X = ????????????n x x x M 21， B = ????? ???????n b b b M 21 称A 为方程组（3.1）的系数矩阵，X 为未知矩阵，B 为常数矩阵。将系数矩阵A 和常数矩阵B 放在一起构成的矩阵
算法设计与分析基础 实验报告 应用数学学院 二零一六年六月
实验高斯消去法算法 一、实验性质设计 二、实验学时14学时 三、实验目的 1、掌握高斯消去法的方法和原理。 2、掌握java语言实现该算法的一般流程。 四、实验内容 1、数组的输入。 2、高斯消去法的算法流程。 4、运行结果的输出。 五、实验报告 Ⅰ、算法原理 通过一系列的初等变换，交换方程组中两个方程的位置，把一个方程替换为它的非零倍，把一个方程替换为它和另一个方程倍数之间的和 或者差。 Ⅱ、Java算法代码： import java.util.Scanner; publicclass Gaosi { publicstaticvoid main(String[] args) { Gao ga = new Gao(); ga.set(); ga.yunSuan(); } } class Gao {
double A[][], B[], X[], ss, sum; int n, k, j, t; void set() { System.out.println("请输入方程组中方程的个数："); Scanner sc = new Scanner(System.in); n = sc.nextInt(); A = newdouble[n][n]; B = newdouble[n]; X = newdouble[n]; System.out.println("请输入各方程的系数："); Scanner sd = new Scanner(System.in); for (int i = 0; i 二元一次方程组的解法 ——加减消元法教学设计 姓名初亚兵 工作单位濮阳县化肥厂职工子弟学校 学科（专业）初中数学 二元一次方程组的解法 ——加减消元法教学设计 一、教学内容解析： 本节课内容节选自人教版七年级数学下册第8章第二节第2课时。是在学生学习了代入消元法解二元一次方程组的基础上，继续学习的另一种消元方法——加减消元，它是学生系统学习二元一次方程组知识的前提和基础。教材的编写目的是让学生通过学习加减消元法充分体会“化未知为已知”的转化过程，体会代数的一些特点和优越性。对于学生理解并掌握方程思想、转化思想、消元法等重要的数学思想方法有着重要的意义。理解并掌握解二元一次方程组的基本方法，为以后函数等知识的学习打下基础。 二、教学目标设置： 通过对新课程标准的学习，我把本节课的三维教学目标确定如下： （一）知识与技能目标： 1、学会用加减消元法解二元一次方程组； 2、灵活的对方程进行恒等变形使之便于加减消元； 3、理解加减消元法的基本思想，体会化未知为已知的化归思想。 （二）过程与方法目标： 1、通过经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会化“未知”为“已知”、化复杂问题为简单问题的化归思想方法； 2、经历个体思考探究、小组交流、全班交流的合作化学习过程理解根据加减消元法解二元一次方程组的一般步骤。 （三）情感态度及价值观： 1、培养学生学会自主探索、尝试、比较，养成与他人合作、交流思维过程的习惯； 2、通过交流学习获取成功体验，感受加减消元法的应用价值，激发学生的学习兴趣，品尝成功的喜悦，树立学习自信心； 教学重点：探索并掌握加减消元法解二元一次方程组，体会消元化归思想。 教学难点：灵活运用加减消元法的技巧，把“二元”转化为“一元”。三、学生学情分析： 我所任教的班级学生基础比较好，他们已经具备了一定的探索能力和思维能力，也初步养成了合作交流的习惯。大多数学生的好胜心比较强，性格比较活泼,他们希望有展现自我才华的机会，但是对于七年级的学生来说，他们独立分析问 加减消元法 教材：人教版七年级数学下册第八章二元一次方程组 教学内容分析： 本节课内容选自人教版七年级数学下册第八章第二节，是在学习了“代入消元法”的基础上，进一步来学习解二元一次方程组的另一种方法——“加减消元法”；加减消元法是灵活解答二元一次方程组、三元一次方程组和应用二元一次方程组解答实际问题的基础；同时也是以后学习函数等知识不可缺少的工具。有助于学生理解和掌握方程思想、消元思想、化归思想等数学思想方法。 学情分析： 本节课教学对象是七年级学生，具备以下知识和能力： ●掌握了一元一次方程的解答方法。 ●已经学习了代入消元法，对消元思想有了初步的认识。 ●思维比较活跃，喜欢发表自己的见解，但分析问题的能力还有待提高，有时候需要教师点拨、引导、归纳。 教学目标设置： 基于上述教材、学情的分析，在新课程的理念下，数学教学应以学生的发展为本，以学生的能力培养为重。由此确定本节课的教学目标为： ●知识与技能：理解加减消元法的含义；初步掌握加减消元法解二元一次方程组的几种方法与一般步骤； ●过程与方法：经历加减消元法的探究过程，进一步体会“消元思想”、“化归思想”。 ●情感态度与价值观：让学生在探究加减消元法的过程中，逐步培养探究、交流的意识，激发学生学习的兴趣。 教学重难点： 基于上述的教学目标，确定本节课的教学重难点： ●重点：加减消元法的含义及运用加减消元法解二元一次方程组的方法与步骤。 ●难点:不同系数的加减消元法，将“二元”转化为“一元”。 教学策略： 本节课采取学生“探究讨论”为主，教师“引导点拨”为辅的教学策略。在课程整体设计上，采用递进法，从直接加减消元到间接加减消元，步步深入。设计了“提出问题-观察思考-动手操作-归纳小结-类比探究-形成概念”的数学探究活动，引导学生学习新知。 教学准备： 电脑、实物投影仪 高斯列主元消元法解线性方程组 一、题目：用Gauss 列主元消去法解线性方程组Ax b =，其中， A=17.031 -0.615 -2.991 1.007 -1.006 0.000-1.000 34.211 -1.000 -2.100 0.300 -1.7000.000 0.500 13.000 -0.500 1.000 -1.5004.501 3.110 -3.907 -61.705 12.170 8.9990.101 -8.012 -0.017 -0.910 4.918 0.1001.000 2.000 3.000 4.500 5.000 21.803?? ? ? ? ? ? ? ? ??? 0.230 -52.322 54.000 240.236 29.304 -117.818b ?? ? ? ?= ? ? ? ? ??? T X=(0.907099 -1.961798 3.293738 -4.500708 3.029344 -5.255068) 二、原理及步骤分析 设 n n ij R a A ?∈=][)1(，n n R b b b b ∈=],,,[)1()2(2)1(1 。若约化主元素 ),,2,1(0)(n k a k kk =≠，则通过高斯消元法将方程b AX =约化为三角形方程组求解。 如果在消元过程中发现某个约化主元0) (=k kk a , 则第K 次消元就无法进行。此外，即 使所有约化主元全不为零，虽然可以完成方程组的求解，但也无法保证结果的可靠性，因为计算过程中存在舍入误差。 为减少计算过程中的舍入误差对解的影响，在每次消元前，应先选择绝对值尽可能大的元作为约元的主元，如果在子块的第一列中选取主元，则相应方法称为列主元消元法。相应过程为： （1）选主元：在子块的第一列中选择一个元) (k k i k a 使) (max k ik n i k k k i a a k ≤≤= 并将第k 行元与第k i 行元互换。 （2）消元计算：对k=1,2,……n-1依次计算 ()()()?? ?? ?????++=-=++=-=++==++n k k i b m b b n k k j i a m a a n k k i a a m k k ik k i k i k kj ik k ij k ij k kk k ik k ik ,,2,1,,2,1,,,2,1) ()()1() ()()1()() ()( （3）回代求解 西京学院数学软件实验任务书 《数值分析》实验报告 实验一 一、实验目的与要求 1．掌握高斯列主元消去法解线性方程组的基本思路； 2．了解一些计算机的算法，会以某种汇编语言实现算法结果（本实验主要用matlab编程） 二、实验内容 1．编写用高斯列主元消元法解线性方程组的MATLAB程序，并求解下面的线性方程组，然后用逆矩阵解方程组的方法验证. （1） 123 123 123 221 1 221 x x x x x x x x x +-= ? ? ++= ? ?++= ? （2） 123 123 123 21 1 21 x x x x x x x x x -+= ? ? ++= ? ?+-= ? 2．列主元消元法及其matlab程序function [Ra,Rb,n,X]=GaussXQLineMain(A,b) %高斯列主元消元法，其中B为增广矩阵 B=[A b]; %读入b的长度 n=length(b); %读出矩阵a,b秩 Ra=rank(A); Rb=rank(B); if (Rb-Ra)>0 disp('因为Ra不等于Rb，所以此方程组无解.') return end if Ra==Rb if Ra==n disp('因为Ra=Rb=n，所以此方程组有唯一解.') X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1); for p= 1:n-1 %找出列中最大的元素并指出他的位置 [Y,j]=max(abs(B(p:n,p))); C=B(p,:); B(p,:)= B(j+p-1,:); B(j+p-1,:)=C; for k=p+1:n m= B(k,p)/ B(p,p); B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1); end end b=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n); for q=n-1:-1:1 X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q); end else disp('因为Ra=Rb 8.2 消元——加减消元法解二元一次方程组（第1课时） 一、学习目标 1. 进一步体会解二元一次方程组的基本思想——消元思想。 2. 能理解、运用加减消元法解简单的二元一次方程组。 3. 培养阅读课本的方法，提高自学能力。 二、 温故知新： 1． 根据等式性质填空: <1>若a =b ，那么a ±c = . (等式性质1) <2>若a =b ，那么ac = . (等式性质2) <3>思考:若a =b ，c =d ,那么a ±c =b ±d 吗? 2．用代入法解方程的关键是什么？ 3．之前我们用什么方法解过下面这个方程组？ ???=+=+40 222y x y x 具体步骤是：由①得 =y . ③，把③代入①得 .从而达到消元的目的。（即把二元一次方程变成我们较熟悉的一元一次方程） 三、学习内容： （一）提出问题，阅读课本，得出加减法的定义。 1． 解这个方程组???=+=+40 222y x y x 除了用代入法，还有别的方法吗？ 2. 请大家认真阅读课本99面第二个思考前的内容。回答第一个思考中的问题。 3．探讨：课本上的这半句话：“②－①可消去y ，得 x =18”中隐含了那些步骤？ 4. 思考：联系上面的解法，想一想应怎样解方程组???=-=+. 81015,6.3104y x y x 5．总结得出加减法的定义。 初一（ ）班 号 姓名 2．填空题。 （1）已知方程组???=-=+6 32173y x y x 两个方程只要两边 就可以消去未知数 。 （2）已知方程组???=+=-10 62516725y x y x 两个方程只要两边 就可以消去未知数 。 3．选择题。 （1）用加减法解方程组???=--=+1756 76y x y x 应用 （ ） A.①-②消去y. B.①-②消去x. C. ②-①消去常数项. D. 以上都不对. （2）方程组???=-=+5231323y x y x 消去y 后所得的方程是 A.6x =8. B.6x =18. C.6x =5. D.x =18. （三）例题分析。 例3．用加减法解方程组 ???=-=+336516 43y x y x 解： （四）练习。 1．用加减法解下列方程组。 ???=+=+5238 52)1(y x y x ???-=-=+2 236 32)2(y x y x 四、小结。 五、布置作业。 P 103 习题8.2第3大题。 当我们在日常办公时，经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料。这些资料因为用的比较少，所以在全网范围内，都不易被找到。您看到的资料，制作于2021年，是根据最新版课本编辑而成。我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师，进行集体创作，将日常教学中的一些珍贵资料，融合以后进行再制作，形成了本套作品。 本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验，经过创作、审核、优化、发布等环节，最终形成了本作品。本作品为珍贵资源，如果您现在不用，请您收藏一下吧。因为下次再搜索到我的机会不多哦！ 加减消元法(第2课时) (30分钟50分) 一、选择题(每小题4分,共12分) 1.(2013·凉山州中考)已知方程组则x+y的值为( ) A.-1 B.0 C.2 D.3 2.方程组将②×3-①×2得( ) A.-3y=2 B.4y+1=0 C.y=0 D.7y=-8 3.小明在解关于x,y的二元一次方程组时得到了正确结果后来发现“?”“⊕”处被墨水污损了,请你帮他找出“?”“⊕”处的值分别是( ) A.?=1,⊕=1 B.?=2,⊕=1 C.?=1,⊕=2 D.?=2,⊕=2 二、填空题(每小题4分,共12分) 4.若单项式3x m+2n y和-4x3y3m-2n的和为单项式,则m= ,n= . 5.已知代数式x2+bx+c,当x=1时,其值是8;当x=-1时,其值为-2,则b= ,c= . 6.方程组的解应为一个同学把c看错了.因此解得则a+b+c= . 三、解答题(共26分) 7.(8分)(2013·黄冈中考)解方程组: 8.(8分)若关于x,y的方程3x-2ny=m-n 有一个解为此时m比 n的一半大1,则m,n的值分别为多少? 【拓展延伸】 9.(10分)学过了二元一次方程组的解法后,课堂上老师又写出了一个题目:你会解这个方程组吗? x y x y 3 , 610 x y x y 1 . 610 +- ? += ?? ? +- ?-=- ?? ① ② 小明、小刚、小芳争论了一会儿,他们分别写出了一种方法. 小明:把原方程组整理得 8x2y90 , 2x8y30 , += ? ? +=- ? ③ ④ ④×4-③得30y=-210,所以y=-7, 把y=-7代入③得8x=104,所以x=13, 即 小刚:设=m,=n,则 ③+④得m=1,③-④得n=2. 即所以所以 ③④组成方程组 实验一 列主元消去法 【实验内容】1. 掌握列主元消去法的基本思路和迭代步骤 2. 并能够利用列主元的高斯消去法解任意阶数的线性方程组； 【实验方法与步骤】列主元消去法编写程序 1．列主元消去法基本思路 设有线性方程组Ax b =，设A 是可逆矩阵。列主元消去法的基本思想就是通过列主元的选取将初等行变换作用于方程组的增广矩阵[]|B A b =，将其中的A 变换成一个上三角矩阵，然后求解这个三角形方程组。 2．列主元高斯消去法算法描述 将方程组用增广矩阵[]()(1)|ij n n B A b a ?+==表示。 步骤1：消元过程，对1,2,,1k n =- （1） 选主元，找{},1,,k i k k n ∈+ 使得 ,max k i k ik k i n a a ≤≤= （2） 如果,0k i k a =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行（3）； （3） 如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应元素位置，k kj i j a a ?， ,,1j k n =+ ； （4） 消元，对,,i k n = ，计算/,ik ik kk l a a =对1,,1j k n =++ ，计算 .ij ij ik kj a a l a =- 步骤 2：回代过程： （1） 若0,nn a =则矩阵奇异，程序结束；否则执行（2）； （2） ,1/;n n n nn x a a +=对1,,2,1i n =- ，计算 ,11/n i i n ij j ii j i x a a x a +=+??=- ??? ∑ 习题3第一题程序如下 #include 《Gauss列主元消去法》实验报告 实验名称：Gauss列主元消去法程序设计？？？成绩：_________ 专业班级：数学与应用数学1202班？姓名：王晓阳？??学号： 实？验？日？期：？2014?年11月10日 实验报告日期：？2014年？11月10日 一.实验目的 1. 学习Gauss消去法的基本思路和迭代步骤. 2. 学会运用matlab编写高斯消去法和列主元消去法程序，求解线性方程组. 3. 当绝对值较小时，采用高斯列主元消去法? 4. 培养编程与上机调试能力. 二、实验内容 用消去法解线性方程组的基本思想是用逐次消去未知数的方法把原线性方程组Ax二b 化为与其等价的三角形线性方程组，而求解三角形线性方程组可用回代的方法求解 1. 求解一般线性方程组的高斯消去法? (1) 消元过程： 设a kk k-0 ,第i个方程减去第k个方程的m ik Tk k倍，("k 1^1, n)，得到 A k1x=b k1. 经过n-1次消元，可把方程组A1^b1化为上三角方程组A n x=b n. ⑵回代过程: 以解如下线性方程组为例测试结果 2. 列主元消去法 由高斯消去法可知，在消元过程中可能出现a kk k =0的情况，这是消去法将无法进行, 即使主元素a kk k-0但很小时，用其作除数，会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算解不可靠.这时就需要选取主元素，假定线性方程组的系数矩阵A是菲奇异的. (1)消元过程： 对于k =1,2,川,n -1，进行如下步骤: 1) 按列选主元，记 2) 交换增广阵A的p,k两行的元素 A(k,j)=A(p,j) ( j=k,…,n +1) 3) 交换常数项b的p,k两行的元素。 b(k)=b(p) 4) 计算消元 (2) 回代过程 (3) 以解如下线性方程组为例测试结果 三、实验环境 MATLAB R2014a 四、实验步骤 8.2.2消元-----二元一次方程组的解法 （加减消元法） 授课年级：七年级 授课教师：武旭飞 8.2.2消元-----二元一次方程组的解法 （加减消元法） 授课年级：七年级授课教师：武旭飞 教学目标： 1、知识技能目标 掌握加减消元法的基本步骤，熟练运用加减消元法解简单的二元一次方程组 2、能力目标： 能够熟练运用加减消元法解二元一次方程组，训练学生的运算技巧，养成检验的习惯。 3、情感态度及价值目标： 通过研究解决问题的方法,培养合作交流意识和探究精神,进而体会数学的独特魅力。教学重点： 用加减法解二元一次方程组。 教学难点： 灵活运用加减消元法的技巧，把“二元”转化为“一元” 教学过程 （一）复习与准备 问题1：等式有哪些基本性质？如何用数学式子来表示它们？ 学生回顾结果： <1>若a=b,那么a±c=b±c <2>若a=b,那么ac=bc 让学生思考：若a=b,c=d,那么a+c=b+d吗? 问题2：前面我们学习了用代入法解二元一次方程组，同学们，回想一下，用代入法解二元一次方程组的基本思路是什么？其一般步骤有哪些？ 学生回顾回答： 基本思路：消元，把二元转化为一元 一般步骤：<1>变——用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数,写成y=ax+b或x=ay+b； <2>代——把变形后的方程代入到另一个方程中，消去一个未知数； <3>解——解得出的一元一次方程，求出一个未知数的值； <4>回代——把求出的未知数的值代回方程，求出另一个未知数的值； <5>联——用“﹛ ”把求出的未知数的值括起来。 设计意图：通过此活动，即复习巩固了前面所学知识，又为本节课的学习做了必要的铺垫。 （二）感受身边的数学，引入新课 问题3：列方程组解决下面的问题： 篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分。某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 学生思考，设未知数，设这个队胜x 场，负y 场，根据题意列出方程组： 列出方程组后，让同学用自己的方法把这个方程组解出来。 教师巡视观察学生的参与状况，并适时给与指导。 待学生解出后，师生一起总结归纳解题方法： 1、用前面学过的代入法来解 把其中一个未知数用另一个来表示，然后进行代入求解。如把②变形为 10y x =- ③，把③代入②就可以求出未知数x=6，再把x=6代入③，即可解出y=4.则该方程组的解为 2、有同学可能预习了后面的知识，会用到加减法，充分肯定后，一起来探讨发现这种方法。 设计意图：通过实际问题，引发学生思考，由于问题贴近生活，而且等量关系简单，学生比较容易列出方程组，列方程组是让学生感受实际生活与数学的密切联系，而如何解这个方程组才是我们这节课的重点。学生通过前面的学习，很容易想到用代入法来解决，要鼓励学生思考除代入法之外的解题办法。 （三）新知探求 问题4：你还能用其他方法解这个方程组吗？ 引导学生观察未知数的系数，找出其中的特点。（未知数y 的系数相等，都为1，）根据系数的特点，让学生思考发现新的解方程组的方法：利用等式的性质把两个方程的左右两边10216x y x y +=??+=?① ② 64 x y =??=?10216x y x y +=??+=?① ② 《加减消元法解二元一次方程组》说课稿 和政一中任梅香 各位领导，各位老师大家好： 今天我说课的内容是人教版初中数学，七年级下册第八章第二节《加减消元法解二元一次方程组》的第一课时。我主要从教材、教学目标、教法、学法、教学过程五个方面向大家汇报我对这节课的认识和理解。 一、说教材 二元一次方程组是初中数学的重点内容之一，是一元一次方程知识的延续和提高，又是学习其他数学知识的基础。本节课是在学生学习了代入法解二元一次方程组的基础上，继续学习另一种消元的方法---加减消元法，它是学生系统学习二元一次方程组知识的前提和基础。本节课通过加减来达到消元的目的，让学生从中体会化未知为已知的转化过程，理解并掌握解二元一次方程组的最常用的基本方法，为以后函数等知识的学习打下基础。 二、说教学目标 知识目标：理解加减消元法的概念，掌握加减消元法解二元一次方程组的基本步骤。 能力目标：1.理解并掌握直接用加减消元法，求同一个未知数系数相等或互为相反数的二元一次方程组的解。 2.理解并掌握根据等式性质，使用方程变形，再用加减消元法求二元一次方程组的解。 情感、态度、价值观：理解加减消元法的消元思想，体会化未知为已知的转化方法。 三、说教法 1.本节课我采用了四段八步教学法，整个课堂分为导读、导学、导练、导思四部分，并充分利用课件展示教师讲解题目与学生练习题目，有效地节省时间，加大了课堂练习容量。 2.在导学部分中，讲解加减消元法解二元一次方程组时，分三个类型讲解，第一类型：直接进行加减消元解方程组，第二类型：对其中一个方程进行变形，再进行加减消元解方程组，第三类型：对两个方程都进行变形，再进行加减消元解方程组，这一过程采用了由浅入深，由易到难的教学方法，更容易让学生理解与掌握。 3.采用小组评价机制，把全班同学分为10个小组，每小组中有4名同学，按学习情况依次分为1号，2号，3号和4号。1号为优等生，4号为学困生，在课堂教学中按问题的难易程度可以挑选1,2,3,4号同学回答，不同号数的同学答对一道问题所得的分数不同，最后根据每个小组的得分，评选一个最优小组，给予表扬鼓励，还可以对个别表现好的同学奖励积极发言卡或精彩发言卡，这种方法更能提高学生在课堂中的参与程度，更能提高学生学习的积极性。 四、说学法 §7.2二元一次方程组的解法 ——加减消元法教学设计 福建省晋江市第一中学许清海一、教学内容解析： 本节课内容节选自华师大版七年级数学下册第7章第二节第2课时。是在学生学习了代入消元法解二元一次方程组的基础上，继续学习的另一种消元方法——加减消元，它是学生系统学习二元一次方程组知识的前提和基础。教材的编写目的是让学生通过学习加减消元法充分体会“化未知为已知”的转化过程，体会代数的一些特点和优越性。对于学生理解并掌握方程思想、转化思想、消元法等重要的数学思想方法有着重要的意义。理解并掌握解二元一次方程组的基本方法，为以后函数等知识的学习打下基础。 本节内容的教学重点：探索并掌握加减消元法解二元一次方程组，体会消元化归思想。 二、教学目标设置： 通过对新课程标准的的学习，结合我班学生的实际情况，我把本节课的三维教学目标确定如下： （一）知识与技能目标： 1、学会用加减消元法解二元一次方程组； 2、灵活的对方程进行恒等变形使之便于加减消元； 3、理解加减消元法的基本思想，体会化未知为已知的化归思想。 （二）过程与方法目标： 1、通过经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会化“未知”为“已知”、化复杂问题为简单问题的化归思想方法； 2、经历个体思考探究、小组交流、全班交流的合作化学习过程理解根据加减消元法解二元一次方程组的一般步骤。 （三）情感态度及价值观： 1、培养学生学会自主探索、尝试、比较，养成与他人合作、交流思维过程的习惯； 2、通过交流学习获取成功体验，感受加减消元法的应用价值，激发学生的学习兴趣，品尝成功的喜悦，树立学习自信心； 3、通过知识的学习形成辩证唯物主义观以解决问题。 三、学生学情分析： 计算方法实验报告1 【课题名称】 用列主元高斯消去法和列主元三角分解法解线性方程 【目的和意义】 高斯消去法是一个古老的求解线性方程组的方法，但由它改进得到的选主元的高斯消去法则是目前计算机上常用的解低阶稠密矩阵方程组的有效方法。 用高斯消去法解线性方程组的基本思想时用矩阵行的初等变换将系数矩阵A 约化为具有简单形式的矩阵（上三角矩阵、单位矩阵等），而三角形方程组则可以直接回带求解 用高斯消去法解线性方程组b Ax =（其中A ∈Rn ×n ）的计算量为：乘除法运算步骤为 32(1)(1)(21)(1)(1)262233n n n n n n n n n n n MD n ----+= +++=+-，加减运算步骤为 (1)(21)(1)(1)(1)(25) 6226n n n n n n n n n n AS -----+= ++= 。相比之下，传统的克莱姆 法则则较为繁琐，如求解20阶线性方程组，克莱姆法则大约要19 510?次乘法，而用高斯消去法只需要3060次乘除法。 在高斯消去法运算的过程中，如果出现abs(A(i,i))等于零或过小的情况，则会导致矩阵元素数量级严重增长和舍入误差的扩散，使得最后的计算结果不可靠，所以目前计算机上常用的解低阶稠密矩阵方程的快速有效的方法时列主元高斯消去法，从而使计算结果更加精确。 2、列主元三角分解法 高斯消去法的消去过程，实质上是将A 分解为两个三角矩阵的乘积A=LU ，并求解Ly=b 的过程。回带过程就是求解上三角方程组Ux=y 。所以在实际的运算中，矩阵L 和U 可以直接计算出，而不需要任何中间步骤，从而在计算过程中将高斯消去法的步骤进行了进一步的简略，大大提高了运算速度，这就是三角分解法 采用选主元的方式与列主元高斯消去法一样，也是为了避免除数过小，从而保证了计算的精确度 【计算公式】 1、 列主元高斯消去法 设有线性方程组Ax=b ，其中设A 为非奇异矩阵。方程组的增广矩阵为 第1步（k=1）：首先在A 的第一列中选取绝对值最大的元素 1 l a ，作为第一步的主元素: 111211212222112[,]n n n l n nn n a a a a b a a a b a a a b ?????? ?? =?????? ?? ????a b 实验报告 学院：电子信息工程 实验课程：计算方法 学生姓名： 学号： 专业班级：通信工程 实验三线性方程组解法 1 目的与要求 （1）进一步理解和掌握求线性方程组数值解的有关方法和理论。（2）完成利用列主元高斯消去法、雅可比迭代法及高斯-赛德尔迭代法求线性方程组数值解的程序设计。本次实验只需完成列主元高斯消去法的程序设计。 （3）比较三种算法的不同特点。 2 实验内容 通过编制程序，分别用列主元高斯消去法、雅可比迭代法及高斯-赛德尔迭代法计算如下方程组的解。 设初始值为要求满足前后两次迭代结果的差向量的 1 范数小于 3 实验原理 1）列主元高斯消去法 列主元高斯消去法就是在顺序高斯消去法的基础上，每步消元之前都要进行选主元操作，即在第k 步消元前，在第k 列的元素 中选取绝对值最大的元素，设为 ，然后交换第 k 行和第 p 行，继续进行消去过程，直到获得上三角方程组，然后通过回代得到方程的根。 4 程序设计 （1）流程图 列主元高斯消去程序流程图 （2）程序代码 #include for(i=0;i<3;i++) //输入增广矩阵// { for(j=0;j<4;j++) { scanf("%f",&a[i][j]); } } printf("\n"); printf("Output the input matrix"); printf("\n"); for(i=0;i<3;i++) //输出输入的矩阵// { for(j=0;j<4;j++) { printf("%8.4f",a[i][j]); } printf("\n"); } printf("\n"); for(k=0;k<=2;k++) //在不同列中选主元// { m=k; 消元法解二元一次方程组 ——加减消元法 教学目标 【知识与技能】 1、探索经历加减消元法解二元一次方程组的过程，掌握加减消元法解二元一次方程组。 2、熟练掌握对二元一次方程恒等变形，利于用加减消元。 3、理解加减消元法的基本思路，体会化未知为已知的化归思想。 【过程与方法】 1、通过经历二元一次方程组解法的探究过程，体会化“未知”为“已知”、化复杂问题为简单问题的化归思想方法； 2、经历自主学习，小组活动，课堂展示的过程理解加减消元法解二元一次方程组的一般步骤。 【情感态度】 1、初步认识数学与人类生活的密切关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学解题的逻辑性。形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。 【教学重点】加减消元法. 【教学难点】对二元一次方程组变形进行加减消元 教学过程 一、自主预习（利用多媒体展示） <学生活动> 学生带着问题独立阅读课文，对所学知识进行全方位了解 二、情境导入，初步认识 问题1、22240.x y x y +=??+=?，① ②观察①、②中y 的系数____，②-①可消除未知数____，得x=____，从 而求得y=____.这种消元方法叫 __________. 问题2、???=-=+810158 .210y x y x 观察得①、②中y 的系数____，①+②得___________，解这个二元一 次方程组得x=_____，从而求得y=_____ 三、思考探究，获取新知 思考 什么叫做加减消元法？ <学生活动> 学生分组探究，得出结论 <学生活动> 学生小组发言，总结这两道题的解题方法，并指出方法的依据 <教师小结> 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 《合作探究》问题2 用加减法解方程组34165633.x y x y +=?? -=?， 追问1 直接加减是否可以消去一个未知数？ 追问2 能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相等？ <学生活动> 学生分组讨论，如何解决未知数系数的绝对值不相等的二元一次方程组的解法 #include "Stdio.h" #include "Conio.h" /*L是矩阵的行减1,从程序上看是最外层循环的次数 N 对应矩阵的行数，M对应矩阵的列数 可以通过改变L、N、M来控制矩的阶数 */ #define L 3 #define N 4 #define M 5 void gauss(double a[N][M],double x[N]) {int i,j,l,n,m,k=0; double temp[N]; /*第一个do-while是将增广矩阵消成上三角形式*/ do{n=0; for(l=k;l 《数值分析》实验报告 一、实验目的与要求 1．掌握高斯消去法的基本思路和迭代步骤； 2．培养编程与上机调试能力。 二、实验内容 1．编写用高斯消元法解线性方程组的MATLAB程序，并求解下面的线性方程组，然后用逆矩阵解方程组的方法验证. 5x?2x?x?80.101x?2.304x?3.555x?1.183??312312??（1）（2） 21x?8x?32x?2.137x?3.712x?4.623?1.347x???312312??1x?3x?6x??2.835x?1.072x?5.643x?3.035??132 312 2．编写用列主元高斯消元法解线性方程组的MATLAB程序，并求解下面的线性方程组，然后用逆矩阵解方程组的方法验证. 5x?2x?x?80.101x?2.304x?3.555x?1.183??312312??（1）（2） 2x?8x?3x?212.137?4.6231.347?x?3.712x?x??321321??1x?3x?6x??2.835x?1.072x?5.643x?3.035??132 312三．MATLAB计算源程序 AX?b MATLAB1. 程序用高斯消元法解线性方程组的b；输入的量：系数矩阵和常系数向量A RA,RB, n方程组中未知量的个数的秩输出的量：系数矩阵和增广矩阵BA.及其解的信息和有关方程组解X gaus(A,b) function [RA,RB,n,X]=B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0, disp('RA~=RB.') ，所以此方程组无解请注意：因为return end if RA==RB if RA==n disp('RA=RB=n.') ，所以此方程组有唯一解请注意：因为X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1); for p= 1:n-1 for k=p+1:n m= B(k,p)/ B(p,p); B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1);二元一次方程组的解法----加减消元法
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