2019年高一（下）第三次月考数学试卷
一、选择题
1. 下列程序框通常用来表示赋值、计算功能的是（）
A..
B.
C..
D..
2. 若下列不等式中不成立的是的是（）
A. B.
C. D.
3. 在中，角、、的对边分别为、、，已知，，，则
A. B. C. D.
4. 已知是首项为的等比数列，是的前项和，且，则数列的前项和为（）
A.或
B.或
C.
D.
5. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（）
A. B. C. D.
6. 等比数列中，，，则
A. B. C. D.
7. 不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
8. 设，．若是与的等比中项，则的最小值为（）A. B. C. D.
二、填空题
9. 在中，，则的值为________．
10. 不等式的解集是________．
11. 设变量，满足，则目标函数最大值为________．
12. 设集合，，则________．
13. 阅读程序框图，若输入，，则输出的结果是________．
14. 数列，，，________．
15. 在中，若，，成等比数列且，则________．
16. 已知数列：，，，…，，…．那么它的前项和为________．
三、解答题
17. 已知，，比较与的大小．
18. 解关于的不等式
（1）；
（2）；
（3）；
（4）已知不等式的解集为，求不等式的解集；（5）已知，求函数的最大值，并求出相应的值．
19. 一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园墙长，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
20. 已知数列是等差数列，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
21. 中，、、是，，所对的边，是该三角形的面积，且
（1）求的大小；
（2）若，，求的值．
22. 数列满足，．
（1）求证是等差数列；
（2）若，求的取值范围．
23. 已知数列的前项和，满足：
（1）求证：是等比数列
（2）求数列的通项
（3）若数列的满足，为数列的前项和，求证．
参考答案与试题解析
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
程序框图
【解析】
逐一分析程序框图的功能，可得答案．
【解答】
解：为起止框：表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的．
为判断框：判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“”；不成立时标明“否”或“”．
为处理框：赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内．为输入、输出框：表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置．
∴在程序框图中，具有赋值、计算功能的基本程序框是处理框（执行框）．
故选．
2.
【答案】
B
【考点】
不等式的概念
【解析】
由，可得，可得．即可判断出．
【解答】
解：∵，
∴，
∴．
因此不正确．
故选：．
3.
【答案】
B
【考点】
正弦定理的应用
余弦定理的应用
【解析】
方法一：可根据余弦定理直接求，但要注意边一定大于；
方法二：可根据正弦定理求出，进而求出，要注意判断角的范围．
【解答】
解：解法一：（余弦定理）由得：
，∴，∴或（舍）．
解法二：（正弦定理）由，得：，
∴，
∵，∴，从而，
∴，∴．
4.
【答案】
C
【考点】
等比数列的前n项和
等比数列的性质
【解析】
利用等比数列求和公式代入求得，进而根据等比数列求和公式求得数列的前项和．
【解答】
解：显然，所以
，
所以是首项为，公比为的等比数列，
前项和．
故选.
5.
【答案】
A
【考点】
程序框图
【解析】
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】
当时，满足继续循环的条件，故，；
当时，满足继续循环的条件，故，；
当时，满足继续循环的条件，故，；
当时，满足继续循环的条件，故，；
当时，不满足继续循环的条件，
故输出的值为，
6.
【答案】
A
【考点】
等比数列的性质【解析】
利用等比数列中每相邻两项的和也成等比数列可得，，成等比数列，故有，由此求得的值．
【解答】
解：∵正项等比数列中，若，，由于每相邻两项的和也成等比数列，
∴、、成等比数列，即，，成等比数列．
∴，解得，
故选：．
7.
【答案】
D
【考点】
其他不等式的解法
【解析】
本题为选择题，可考虑用排除法，也可直接求解．
【解答】
解：由不等式得，
变形得，
即，
解得.
故选.
8.
【答案】
B
【考点】
基本不等式
等比数列的性质
【解析】
由题设条件中的等比关系得出，代入中，将其变为，利用基本不等式就可得出其最小
值
【解答】
解：因为，所以，
，
当且仅当即时“”成立，
故选择．
二、填空题
9.
【答案】【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
由正弦定理化简已知的比例式，得到，及的比值，根据比例设出，及，再利用余弦定理表示出，将表示出的三边长代入，即可求出的值．
【解答】
解：∵在中，，
∴根据正弦定理得：，
设，，，
则由余弦定理得．
故答案为：
10.
【答案】
【考点】
绝对值不等式的解法
【解析】
利用绝对值不等式的解法可知，或，从而可得答案．
【解答】
解：∵，
∴或，
解得或，
∴不等式的解集是：．
故答案为：．
11.
【答案】
【考点】
简单线性规划
【解析】
先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，
分析后易得目标函数的最大值．
【解答】
解：由约束条件得如图所示的三角形区域，
三个顶点坐标为，，
将三个代入得的值分别为，，
直线过点时，取得最大值为；
故答案为：
12.
【答案】
或
【考点】
交集及其运算
【解析】
求出集合，的等价条件，根据集合的基本运算即可得到结论．
【解答】
解：集合，或，
则或，
故答案为：或．
13.
【答案】
【考点】
程序框图
【解析】
分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是当时计算并输出的值．
【解答】
解：当时，满足，执行循环体，，
此时，不满足，退出循环体，输出，
故答案为：．
14.
【答案】
【考点】
数列的概念及简单表示法
【解析】
根据题意，由数列的递推公式，利用累加法，结合等比数列的前项和，求出的通项公式．
【解答】
解：∵数列中，，，
∴，
∴
…∴
∴
．
故答案为：．
15.
【答案】
【考点】
余弦定理
等比数列的性质
【解析】
由，，成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再将代入，开方用表示出，然后利用余弦定理表示出，将表示出的和代入，整理后即可得到的值．
【解答】
解：∵，，成等比数列，
∴，又，
∴，即，
则．
故答案为：
16.
【答案】
【考点】
数列的求和
【解析】
利用分组求和法求解．
【解答】
解：∵数列：，，，…，，…，
它的前项和．
故答案为：．
三、解答题
17.
【答案】
解：∵，，
∴，当且仅当时取等号．
∴．
【考点】
利用不等式比较两数大小
【解析】
利用“作差法”，利用实数的性质、不等式的性质即可得出．
【解答】
解：∵，，
∴，当且仅当时取等号．
∴．
18.
【答案】
解：（1）化为，解得或，其解集为或；
（2），当时，满足不等式；当时，化为，解得或．
综上可得不等式的解集为或或．
（3）化为，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．
（4）已知不等式的解集为，∴，是的两个实数根，且．
∴，，即，．
∴不等式和，即，解得．∴不等式的解集
为
．
（5）∵，∴．
∴函数，当且仅当时取等号．
∴函数的最大值为，此时．
【考点】
一元二次不等式的解法
【解析】
（1）化为，利用一元二次不等式的解法即可得出；
（2），当时，满足不等式；当时，化为，解出即可；
（3）化为，对分，，讨论即可解出；
（4）不等式的解集为，可得，是的两个实数根，且
．利用一元二次方程的根与系数的关系即可解出．
（5）由，可得．变形为函数，利用基本不等式即可解出．
【解答】
解：（1）化为，解得或，其解集为或；
（2），当时，满足不等式；当时，化为，解得或．
综上可得不等式的解集为或或．（3）化为，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．
（4）已知不等式的解集为，∴，是的两个实数根，且．
∴，，即，．
∴不等式和，即，解得．∴不等式的解集
为
．
（5）∵，∴．
∴函数，当且仅当时取等号．
∴函数的最大值为，此时．
19.
【答案】
解：设矩形的宽为，面积为，根据题意得：
，
∵，∴
∴当时，最大，即长，宽时，面积最大为
【考点】
函数最值的应用
【解析】
设矩形的宽为，可得面积表达式，求得的范围，利用配方法，即可求得结论．
【解答】
解：设矩形的宽为，面积为，根据题意得：
，
∵，∴
∴当时，最大，即长，宽时，面积最大为
20.
【答案】
解：（1）∵数列是等差数列，且，，
∴，
解得，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，①
，②
①-②得
∴．
【考点】
数列的求和
等差数列的通项公式
【解析】
（1）由数列是等差数列，且，，利用等差数列的通项公式先求出，由此能求出数列的通项公式．
（2）由，知，所以，再由错位相减法能够求出数列的前项和．
【解答】
解：（1）∵数列是等差数列，且，，
∴，
解得，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，①
，②
①-②得
∴．
21.
【答案】
解：（1）由正弦定理得：，
∴，，，
代入已知的等式得：，
化简得：
，
又为三角形的内角，得出，
∴，即，
∵为三角形的内角，∴；（2）∵，，，
∴，
解得，又，，
根据余弦定理得：
，
解得．
【考点】
正弦定理
【解析】
（1）根据正弦定理化简已知的等式，然后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，提取，可得与至少有一个为，又为三角形的内角，故不可能为，进而求出的值，由的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出的度数；
（2）由第一问求出的的度数求出和的值，再由的值及的值，代入三角形的面积公式求出的值，然后再由的值，以及与的值，利用余弦定理即可求出的值．
【解答】
解：（1）由正弦定理得：，
∴，，，
代入已知的等式得：，
化简得：
，
又为三角形的内角，得出，
∴，即，
∵为三角形的内角，∴；
（2）∵，，，
∴，
解得，又，，
根据余弦定理得：
，
解得．
22.
【答案】
解：（1）由可得：所以数列是等差数列，首项，公差
∴
∴
（2）∵
∴
∴解得
【考点】
数列与不等式的综合
数列递推式
【解析】
（1）由可得：，从而可证；
（2）由（1）知，从而有，因此可化简为，故问题得解．【解答】
解：（1）由可得：所以数列是等差数列，首项，公差
∴
∴
（2）∵
∴
∴解得
23.
【答案】
（1）证明：当时，，
则当时，
两式相减得，
即，
∴，
∴，
当时，，则，
∴是以为首项，为公比的等比数列．
（2）解：∵是以为首项，为公比的等比数列，
∴，
∴．
（3）证明：，
∴，
则，①
，②
①-②，得：
，
∴．
当时，，
∴为递增数列，∴，
又∵，∴．
∴．
【考点】
数列的求和
【解析】
（1）由已知条件推导出，所以，由此能证明是以为首项，为公比的等比数列．
（2）是以为首项，为公比的等比数列，由此能求出数列的通项．（3）由，由此利用错位相减法能求出．由此能证明．
【解答】
（1）证明：当时，，
则当时，
两式相减得，
即，
∴，
∴，
当时，，则，
∴是以为首项，为公比的等比数列．
（2）解：∵是以为首项，为公比的等比数列，
∴，
∴．
（3）证明：，
∴，
则，①
，②
①-②，得：
，
∴．
当时，，∴为递增数列，∴，
又∵，∴．
∴．