学科数学
年级高三教科书版本及章节苏教版高中必修五1.1
单元（或主题）教学设计
单元（或主题）名称必修五第一章解三角形复习课
1.单元（或主题）教学设计说明
设计理念：坚持“以学生的发展为本”、充分体现学生的主体地位；尊重学生身心发展规律，渗透现代教育思想；展示知识形成过程，努力达成课程的核心素养培养的目标要求。
2.单元（或主题）学习目标与重点难点
、教学重难点设计
基于教材内容的地位、课程标准的要求、根据学生的认知水平和学习经验，确定本节课的学习重难点：
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题。
过程与方法：采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架，并通过练习、训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯，让学生在具体的实践中结合图形灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，有利地进一步突破难点。
情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验
教学重点
1. 三角形的形状的确定（大边对大角，“两边和其中一边的对角”的讨论）；
2. 应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化问题（内角和的灵活运用）。
教学难点
让学生转变观念，由记忆到理解，由解题公式的使用到结合图形去解题和校验。
3.单元（或主题）整体教学思路（教学结构图）
教学思路策略选择
以任务驱动，合作探究的方式围绕教学目标展开教与学，以“问题串”的形式引导学生主动建构，积极探究、思考。
六、教学媒体选择
学案，三角板，投影仪，几何画板软件，ppt课件，多媒体教室.
第1课时教学设计（其他课时同）
课题必修五第一章解三角形复习教案
新授课□章/单元复习课□专题复习课□
课型
习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□
1.教学内容分析
一、教学内容分析
本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学5必修（A版）》的第一章《解三角形》。其主要内容是应用正余弦解三角形，它完善、发展了解三角形的方法体系，也为《应用举例》提供解题依据、奠定基础。同时，本节课也是渗透化归与转化思想、培养抽象概括能力的重要阵地。通过本节课的学习，对系统地掌握解三角形乃至于创新能力的培养都具有十分重要的意义。
2.学习者分析
二、学习者特征分析
学生已经复习并掌握了三角函数的性质及三角恒等变换、向量等知识，为解三角形的顺利复习奠定了基础。学生思维普遍活跃，对进一步探索解三角形有了比较浓厚的兴趣，有了较强的求知欲望。但是，合作学习的经验还不足，需要教师在一定程度上加以引导。
3.学习目标确定
三、教学目标设计
本着教材的特点和高三学生的认知能力与数学思维特征，设定的教学目标为：能较熟练地应用正余弦定理解三角形相关元素；能较熟练求解以三角形为背景，以三角恒等式为工具的小型综合题。在经历解题视角的变换，突破成规，感受数学的系统特征、辩证特征、开放特征；在经历发现高考试题的错误中，挑战权威，培养勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，从而树立科学的治学态度。并通过例题与习题的解题训练，使数学解题意志、习惯和个性素养得以发展。
4.学习重点难点
正余弦定理及其应用。
5.学习评价设计
从近年高考看，解三角形的题目一般在解答题第一题，以及填空、选择题中应用为主，难度要求每年有所不同，结合大题17题出题；关键是借三角形对于我们结合图形分析做题，以及锻炼严谨慎密的逻辑思维，首先复习导入正余弦定理的基本定理及解题思路及方法，到学生合作探究，寻找解决解三角形问题的一般方法与途径；再进行随堂检测，让学生充分掌握：1、一般的解三角形的问题可归纳为“知三求其它”的问题，做题中注意结合画图和正余弦定理的使用条件可较快的得出解题思路。2、已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理；解三角形时可能有一解、两解和无解三种情况）．再进行课后达标训练，使学生进一步掌握解三角形问题得基本方法、基本规律以及特殊三角形问题的知识点及隐含的“陷阱”，探索解决问题的思路与一般技巧：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化问题，要注意公式及题目的隐含条件，解三角形问题要注意结合图形，特别是三角形的相关性质( 内角和、边角关系)等；在进行巩固训练以便达成最后任务与目标：1、我们在解三角函数的
练习过程中，还需要注意什么细节？（把小组收集的错题展示，这是得分落后小组反超的机会） 2、在完成课后练习的同时，每人根据自己的薄弱环节（或易错点）进行命题。（本章结束后再进行小组间互测——基础分3分，出错题扣一分，对方出错加一分） ，以进一步提升学生发现问题、解决问题的能力与数学素养。 6.学习活动设计 教师活动
学生活动
环节一：（一、知识回顾） 教师活动1
斜三角形中各元素间的关系：
在ABC ?中，,,a b c 为ABC ?的三个内角,,A B C 所对的边。由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形． 解斜三角形的主要依据是： （1）角与角关系：
三角形内角和定理A B C ++=π；
()()()sin sin ,cos cos ,
tan tan A B C A B C A B C
+=+=-+=-
2sin 2cos ,2cos 2sin
C
B A
C B A =+=+；
（2）边与边关系：,,a b c b c a a c b +>+>+>； （3）边与角关系： 大边对大角
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）；[来源:学科网]
变形：2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，
学生活动1 教师展示幻灯片。 教师提问复习知识点，学生思考并回答。
sin sin sin ::A B C a b c =：：，
余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+-，2222cos c a b ab C =+-。
变形：bc a c b A 2cos 2
22-+=
，222cos 2a c b B ac +-=，222
cos 2a b c C ab +-=
。
三角形的面积公式：
（1）111
222ABC a b c S a h b h c h ?=?=?=?（,,a b c h h h
分别表示
边,,a b c 上的高）；
（2）
111sin sin sin 2224ABC abc
S ab C bc A ac B R ?====
R 为外接圆半径）。
活动设计意图：激发学生学习兴趣引导学生学习数学的方法。温故而知新。 环节二：
教师活动2 二、双基练习
问题1． 已知锐角ABC ?中，6
A π
=
，求
22sin cos 22A B C +??+ ???
的取值范围．
问题2．设函数()x x x f x a b c =+-，,,a b c 为
ABC ?的三个内角,,A B C 所对的边．若C 为钝角，
证明：?()1,2x ∈，使()0f x =．
问题3．已知,,a b c 是ABC ?的三个内角,,A B C 所对的边． （1）若61,,23
a c C π
==
=，求b ． （2）若1,31,3
a b C π
==-=，求B ． （3）若1,,43
a B C ππ
==
=，求b ． （4）若3,5,7a b c ===，求C ．
问题4．在ABC ?中，,,a b c 为ABC ?的三
个内角,,A B C 所对的边，且
B
C
b c cos cos =
．试证明：ABC ?是等腰三角形．
问题5．（2010年高考陕西卷）在ABC ?中，已知
45B =,D 是BC 边
上
的
一
点
，
10AD =,14AC =,
6DC =，
求AB 的长． 学生活动2
注意应用内
角和定理进行转化，并利用于限制角的范围。
复习内角和定理。
注意条件C 为钝角，及隐含条件——两边之和大于第三边，结合零点存在性定理求解。 复习边与边的关系。 四种不同解三角形类型的问题求解。并就此题，进行拓展，纠正说明正余弦定理的使用范围。
复习正余弦定理解三角形的方法。 尝试通过不同角度进行解题——边化角，角化边。建立事物是普遍联系的观点。
复习用正余弦定理实现边角互化，判断三角形的形状。
在具体图形中解三角形，反复应用正、余弦定理。
复习用正余弦定理
解多个三角形的方法。 活动意图说明：以问题串引导学生自主学习，通过自主阅读、任务驱动完成知识建构。
C
A
B
D
环节三：
教的活动3
巩固提升
引导学生观察、分析、思考。教师巡视、答疑学的活动3
练习1置于问题4之后，以巩固知识、方法；练习2置于问题5之后，以巩固知识、方法；练习3置于问题6之后，以巩固知识、方法。
活动意图说明
巩固课堂上所学的知识和方法。
7.板书设计
课题解三角形[来源:学,科,网]问题1：
问题2：
问题3：问题4：
问题5：
练习及点评小结与反思课后作业
8.作业与拓展学习设计
作业布置：《江海名师》：正弦定理、余弦定理的应用以及“每日一题”
9.特色学习资源分析、技术手段应用说明（结合教学特色和实际撰写）
学生学案预习，三角板，投影仪，几何画板软件，ppt课件等多媒体灵活运用.
10.教学反思与改进（单节课教与学的经验性总结，基于学习者分析和目标达成度进行对比反思，教学自我评估与教学改进设想。课后及时撰写，突出单元整体实施的改进策略，后续课时教学如何运用本课学习成果，如何持续促进学生发展）
解三角形问题是新课程标准中的考查的主要知识点，本节课丛正弦定理、余弦定理的概念、公式复习入手，结合三角形中的边与边的关系，角与角的关系；探索解决解三角形问题的基本方法与途径，首先通过基础训练，让学生感受解决解三角形问题的一般方法与途径，温故知新；再通过典型例题的讲解，以问题串引导学生自主学习，通过自主阅读、合作探究等学习形式，使形式能较好的完成任务驱动、完成知识建构，进一步帮助学生提升分析问题、解决问题的能力。但本节课缺乏对新问题、新情境的探索与研究，对学生探索新问题的信息，构建数学模型，解决实际问题的能力与培养还较欠缺，今后将加大这一方面的教学与研究
高一必修5 解三角形单元测试题 1．在△ABC 中，sinA=sinB ，则必有 （ ） A ．A=B B ．A ≠B C ．A=B 或A=C －B D ．A+B= 2 π 2．在△ABC 中，2cosBsinA=sinC ，则△ABC 是 （ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 3．在ABC ?中，若 b B a A cos sin =，则B 的值为 （ ） A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ． 90 4．在ABC ?中，bc c b a ++=2 2 2 ，则角A 等于 （ ） A ．60° B ．45° C ．120° D ．30° 5．在△ABC 中，b =， ，C=600，则A 等于 （ ） A ．1500 B ．750 C ．1050 D ．750或1050 6．在△ABC 中，A:B:C=1:2:3，则a:b:c 等于 （ ） A ．1:2:3 B ．3:2:1 C ． 2: D ． 7．△ABC 中，a=2，A=300，C=450，则S △ABC = （ ） A B ． C 1 D ．11)2 8．在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则acosB+bcosA 等于 （ ） A ． 2 b a + B ． b C ． c D ．a 9．设m 、m ＋1、m ＋2是钝角三角形的三边长，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．0＜m ＜3 B ．1＜m ＜3 C ．3＜m ＜4 D ．4＜m ＜6 10．在△ABC 中，已知a=x ， A=450，如果利用正弦定理解这个三角形有两个解， 则x 的取值范围为 （ ） A ． B ．2
解三角形 一.三角形中的基本关系： (1)sin()sin ,A B C += cos()cos ,A B C +=- tan()tan ,A B C +=- (2)sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== (3)a>b 则Ａ＞Ｂ则sinA>sinB,反之也成立 二.正弦定理： 2sin sin sin a b c R C ===A B ．R 为C ?AB 的外接圆的半径） 正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 两类正弦定理解三角形的问题：
①已知两角和任意一边求其他的两边及一角. ②已知两边和其中一边的对角，求其他边角. (对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、无解）) 三．余弦定理： 222 2cos a b c bc =+-A 222 2cos b a c ac =+-B 222 2cos c a b ab C =+-． 注意：经常与完全平方公式与均值不等式联系 推论： 222 cos 2b c a bc +-A = 222 cos 2a c b ac +-B = 2 2 2 cos 2a b c C ab +-= ．
解三角形 【知识要点】 1.正弦定理： a ＝ b ＝ c ＝ 2R(2R 为△ ABC 外接圆的直径 )． sin A sin B sin C 变形： a＝ 2Rsin A， b＝ 2Rsin B， c＝ 2Rsin C. a b c sin A＝2R， sin B＝2R， sin C＝2R. 2．余弦定理： a2＝ b2＋ c2－ 2bccos A， b2＝ a2＋ c2－ 2accos B， c2＝ a2＋ b2－ 2abcos C. 推论： cos A＝b2＋ c2－ a2 a2＋ c2－ b2 ， cos C＝ a2＋ b2－ c2 . 2bc ，cos B＝2ac 2ab 3.三角形面积公式：S 1 ab sin C 1 bc sin A 1 ac sin B 2 2 2 4．三角形中的常用结论 (1)三角形内角和定理：A＋ B＋ C＝π , sin A B sin C, cos A BcosC (2)A>B>C? a>b>c? sin A>sin B>sin C. 5.仰角和俯角 __________ 的角叫仰角，在水平线 ______ 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 的角叫俯角 ( 如图① ) ． 6．方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 7．方向角 相对于某一方向的水平角( 如图③ ) ． B 点的方位角为α(如图②) ． 图③ (1)北偏东α°：指北方向向东旋转α °到达目标方向． (2)东北方向：指北偏东 45°或东偏北 45°. (3)其他方向角类似．
一、选择题： 1. 在△ ABC中， a＝ 10，B=60°,C=45°, 则 c 等于（） A．10 3B．10 3 1 C． 3 1 D．10 3 2. 在△ ABC中， b= 3，c=3， B=300，则 a 等于 （）A ． 3 B ．12 3 C ．3或 2 3 D ．2 3. 已知△ ABC 的周长为9 ，且 sin A : sin B : sin C 3 : 2 : 4 ，则 cosC 的值为 （） A． 1 B．1 C ． 2 ． 2 4 4 3 D 3 4. 在△ ABC 中， bcosA=acosB，则三角形为（） A. 直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 5．在 ABC 中，已知(a c)(a c) b(b c) ，则A为（）A． 30 0 B ．45 0 C ．60 0 D ．120 6. △中， 45 o ，C 60 o c 1，则最短边的边长等于（） ABC B ， A 6 B 6 C 1 D 3 3 2 2 2 7. 长为 5、 7、8 的三角形的最大角与最小角之和为（） A 90 ° B 120 ° C 135 ° D 150 ° 8. △ ABC中， a b c ，则△一定是（） cos A cos B cosC ABC A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 9. △ ABC中， b 8 ， c 8 3 ，S V ABC 16 3 ，则 A 等于（）A 30o B 60o C 30o或150o D 60o或 120o 10. 在△ ABC 中， a2 2 2 ，则 A 等于（） =b +c +bc A.60° B.45° C.120 D.30° 11. 在△ ABC 中， a=2， A=30° ,C=45°，则△ ABC 的面积 S△ABC等于（） A. B.2 C. +1 D. ( +1) 12. 已知△ ABC的三边长 a 3, b 5, c 6 ，则△ABC的面积为（） A．14B． 2 14C．15D．2 15
（数学5必修）第一章：解三角形 [基础训练A 组] 一、选择题 1．在△ABC 中，若0 30,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ． A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ） A ．2 B ． 2 3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2 2 2 _________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20 _________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-= AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。 三、解答题 1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？
课 题：余 弦 定 理 编制人：徐 璟 主审人： 曹 飞 一、新课引入 问 题：（1）设ABC ?，角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，若角=C 45°，85a b ==，，求边c . （2）设ABC ?，角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，若角7,5,3===c b a ，求角C . 这两个问题正弦定理能解决吗？ 二、概念建构 引导学生从平面几何、实践作图方面对上述问题进行估计判断，请同学们阅读课本. 问题1：有更好的具体的量化方法吗？从平面几何、三角函数、坐标法等方面进行分析讨论 想法1：在ABC ?中，已知,AC b,AB BAC c α∠===，利用向量的方法来求出2BC ， 并由此证明余弦定理 想法2：在ABC ?中，已知,AC b,AB BAC c α∠===，如图建立直角坐标系，利用两点 之间的距离公式计算2BC ，并由此证明余弦定理. 余弦定理 : 在一个三角形中,任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹 角的余弦的积的两倍.即： A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+= A B C
问题2：你能由余弦定理写出它的恒等变形吗？ 222cos 2b c a A bc +-=； 222cos 2a c b B ac +-=； 222 cos 2a b c C ab +-=. 问题3：利用余弦定理可以解决三角形中的哪些类型问题？ （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 三、例题选讲 例1.已知在ABC ?中，12a b ==，， 060,C =则c 等于( ) A.3 B.2 C.5 D ．5 【答案】A 变式：在△ABC 中，边,a b 的长是方程2520x x -+=的两个根，060,C =求边c . 思路：可利用韦达定理 【答案】c 例2.已知ABC ?的三边长为3,4,a b c ===求△ABC 的最大内角． 解析：根据“大边对大角”， c 边最大，C 为最大角由余弦定理得， C ab b a c cos 22 22-+= 2221cos 22a b c C ab +-==- ),0(π∈C Θ ，32π=∴C 为最大角. 变式：求长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和． 【答案】120?. 例3.用余弦定理证明：在△ABC 中，当C 为锐角时，222a b c +>； 当C 为钝角时，222a b c +<. 解析：当C 为锐角时，cos 0.C > 由余弦定理得，222 cos 0,2a b c C ab +-=>2220,a b c +->222.a b c +>即 当C 为钝角时，cos 0.C < 由余弦定理得，222 cos 0,2a b c C ab +-=<2220,a b c +-<222.a b c +<即
高中数学必修五第一章《解三角形》知识 点
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 构成三角形个数问题 1在 ABC 中，已知a x,b 2,B 45°，如果三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A. 2 x 2\f2 B. X 2 血 C . V2 x 2 D. 0x2 2 ?如果满足 ABC 60 , AC 12 , BC k 的厶ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是 3.在 ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A* CJ = S J fr = 10^ A = 45" E ? 口 = 60 r ￡* = S1 B = 6（T * C. a — 7 > ￡> = 5 ? A - &0= D ? 口二 14# 6 - 20 , -4-45"心 求边长问题 A. 5 B 5?在△ ABC 中, a 1,B 450, S ABC 2，则 b = _________________ 三. 求夹角问题 6.在 ABC 中， ABC -, AB 2,BC 3，则 sin BAC （） 4 10 10 3 10 5 A. 10 B 5 C 10 D 5 7 .在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别a,b,C,S 为表示△ ABC 的面积，若 4.在 ABC 中，角 A, B,C 所对边 a,b,c ，若 a 3,C 1200 , ABC 的面积S 15 3 4 1 2 2 2 acosB bcosA csinC, S -(b c a )，则/ B=() 4 A. 90° B . 60° C . 45° D . 30° 四.求面积问题 &已知△ ABC中，内角A，B, C所对的边长分别为a,b,c.若a 2bcosA, B -,c 1，则 3 △ ABC的面积等于( ) 书书书书 A B------ B ■ C i D i +11 8 6 4 2 A 9.锐角ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知cos2C j (i)求sinC的值； (n)当a 2, 2si nA si nC时，求b的长及| ABC的面积. 10?如图，在四边形ABCD 中，AB 3,BC 7J3,CD 14, BD 7, BAD 120 (1 )求AD边的长; (2)求ABC的面积. 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 课题: §1．1．1正弦定理 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中， 角与边的等式关系。 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则 sin sin a b A B =， C 同理可得 sin sin c b C B =， b a 从而sin sin a b A B =sin c C = A c B 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C = [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C 从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 例1．在?ABC 中，已知045A =，075B =，40a =cm ，解三角形。 例2．在?ABC 中，已知20=a cm ，202b =cm ，045A =，解三角形。 人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 锐角△ABC 中，已知a =√3，A =π 3，则b 2+c 2+3bc 的取值范围是( ) A. (5，15] B. (7，15] C. (7，11] D. (11，15] 2. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sinA =2sinBcosC ，则△ABC 的形状为( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 3. 在△ABC 中，∠A =60°，b =1，S △ABC =√3，则 a?2b+c sinA?2sinB+sinC 的值等于 ( ) A. 2√39 3 B. 263 √3 C. 8 3√3 D. 2√3 4. 在△ABC 中，有正弦定理：a sinA =b sinB =c sinC =定值，这个定值就是△ABC 的外接圆 的直径.如图2所示，△DEF 中，已知DE =DF ，点M 在直线EF 上从左到右运动(点 M 不与E 、F 重合)，对于M 的每一个位置，记△DEM 的外接圆面积与△DMF 的外接圆面积的比值为λ，那么( ) A. λ先变小再变大 B. 仅当M 为线段EF 的中点时，λ取得最大值 C. λ先变大再变小 D. λ是一个定值 5. 已知三角形ABC 中，AB =AC ，AC 边上的中线长为3，当三角形ABC 的面积最大 时，AB 的长为( ) A. 2√5 B. 3√6 C. 2√6 D. 3√5 6. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边， b = c ，且满足sinB sinA =1?cosB cosA .若 点O 是△ABC 外一点，∠AOB =θ(0<θ<π)，OA =2OB =2，平面四边形OACB 面积的最大值是( ) A. 8+5√34 B. 4+5√34 C. 3 D. 4+5√32 7. 在△ABC 中，a =1，b =x ，∠A =30°，则使△ABC 有两解的x 的范围是( ) A. (1，2√3 3 ) B. (1，+∞) C. (2√3 3 ，2) D. (1，2) 8. △ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB ????? +AC ????? =2AO ????? ，且|OA ????? |=|AC ????? |，则△ABC 的面积为( ) A. √3 B. √32 C. 2√3 D. 1 9. 在△ABC 中，若sinBsinC =cos 2A 2，则△ABC 是( ) 高中数学必修五解三角形教案 高中数学必修五解三角形教案篇一：高中数学必修5解三角形知识总结及练习 解三角形 一、知识点： 1、正弦定理：在???C中，a、b、c分别为角?、?、C的对边，R 为???C的外接圆的半径，则有abc???2R．（两类正弦定理解三角形的问题：1、已知sin?sin?sinC 两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.） 2、正弦定理的变形公式：①a?2Rsin?，b?2Rsin?，c?2RsinC；②sin??等式中） ③a:b:c?sin?:sin?:sinC；abc，sin??，sinC?；（正弦定理的变形经常用在有三角函数的2R2R2R a?b?cabc???．sin??sin??sinCsin?sin?sinC 1113、三角形面积公式：S???C?bcsin??absinC?acsin? 222④ ?a2?b2?c2?2bccosA?2224．余弦定理：?b?a?c?2accos(本文来自：https://www.doczj.com/doc/ec10270613.html, 教师联盟网:高中数学必修五解三角形教案)B 或 ?c2?b2?a2?2bacosC??b2?c2?a2?cosA?2bc?a2?c2?b2? ?cosB?2ac?? b2?a2?c2 ?cosC?2ab? （两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.） 2225、设a、b、c是???C的角?、?、C的对边，则：①若a?b?c，则C?90?为 222222直角三角形；②若a?b?c，则C?90?为锐角三角形；③若a?b?c，则C?90?为 钝角三角形． 6．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 7．解题中利用?ABC中A?B?C??，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC, sin A?BCA?BCA?BC?cos,cos?sin,tan?cot 222222 二、知识演练 1、ΔABC中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B等于（） A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120° 2、若(a+b+c)(b+c－a)=3bc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形 3．己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( )． 必修五第一章测试题 班级： 组名： 姓名： 设计人：连秀明 审核人：魏帅举 领导审批： 一 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知△ABC 中，30A =，105C =，8b =，则等于 （ ） A 4 B 2. △ABC 中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于 （ ） A 3 B 2 C 1 2 D 2 3.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( ) A 90° B 120° C 135° D 150° 4.△ABC 中，cos cos cos a b c A B C == ，则△ABC 一定是 （ ） A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 5.△ABC 中，60B =，2 b a c =，则△ABC 一定是 （ ） A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 6.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( ) A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定 7. △ABC 中，8b = ，c = ，ABC S =A ∠等于 （ ） A 30 B 60 C 30或150 D 60或 120 8.△ABC 中，若60A = ，a =sin sin sin a b c A B C +-+-等于 （ ） A 2 B 1 2 9. △ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ ） A 13 B 12 C 34 D 0 10.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 由增加的长度决定 11 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ） 2019-2020学年高中数学 1.2.2《解三角形应用举例》教案 北师大 版必修5 ●教学目标 知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题 过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间 情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力 ●教学重点 结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题 ●教学难点 能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题 Ⅱ.讲授新课 [范例讲解] 例1、AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法。 分析：求AB 长的关键是先求AE ，在?ACE 中，如能求出C 点到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由C 点观察A 的仰角，就可以计算出AE 的长。 解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上。由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD = a ，测角仪器的高是h ，那么，在?ACD 中，根据正弦定理可得 AC = ) sin(sin βαβ-a 一．选择题（共10小题） 1．在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 2．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（） A．（2，+∞）B．（0，2）C．（2，2）D．（，2） 3．在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围（） A．B．C．（0，2）D． 4．在△ABC中，下列等式恒成立的是（） A．csinA=asinB B．bcosA=acosB C．asinA=bsinB D．asinB=bsinA 5．已知在△ABC中，若αcosA+bcosB=ccosC，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形或钝角三角形B．以a或b为斜边的直角三角形C．以c为斜边的直角三角形D．等边三角形 6．在△ABC中，若cosAsinB+cos（B+C）sinC=0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形 7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=，则∠B为（） A．B．C．D． 8．在△ABC中，已知sinA=2sinBcosC，则该三角形的形状是（） A．等边三角形B．直角三角形 C．等腰三角形D．等腰直角三角形 9．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，b=1，则角B 等于（） A．B．C．D．或 10．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D． 二．填空题（共1小题） 11．（文）在△ABC中，∠A=60°，b=1，△ABC的面积为，则 的值为． 三．解答题（共7小题） 12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A ﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB （1）求角C的大小； （2）求△ABC的面积的最大值． 13．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知bccosA=3，△ABC的面积为2． （Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）若a=2，求b+c的值． 14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且=． （1）求角B的大小； （2）△ABC的外接圆半径是，求三角形周长的范围． 第十二讲 解三角形 1 、三角形三角关系： A+B+C=180 °； C=180 °— (A+B) ； 3 、三角形中的基本关系： sin( A B) sin C , cos( A B) cosC , tan(A B) tanC , sin A B cos C ,cos A B sin C , tan A B cot C 2 2 2 2 2 2 4 、正弦定理：在 C 中， a 、 b 、 c 分别为角 、 、 C 的对边， R 为 C 的外接圆的半 径，则有 a b c 2R ． sin sin C sin 5 、正弦定理的变形公式： ①化角为边： a 2Rsin ， b 2Rsin ， c 2R sin C ； ②化边为角： sin a ， sin b c ； ， sin C 2R 2R 2R ③ a : b: c sin :sin :sin C ；④ a b c a b c ． sin sin sin C sin sin sin C 7 、余弦定理：在 C 中，有 a 2 2 c 2 2bc cos 等，变形： cos b 2 c 2 a 2 b 等， 2bc 8 、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。②已知三边求角） 9 、三角形面积公式： 1 1 1 S C bc sin ab sin Cac sin ． 2 2 2 10 、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形 式或角的形式设 a 、 b 、 c 是 C 的角 、 、 C 的对边，则： ①若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ；②若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ；③若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ． 11 、三角形的四心： 垂心——三角形的三边上的高相交于一点 高中数学必修5 《解三角形》 知识点： 1、 正弦定理：在ABC ?中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为ABC ?的外接圆的半径，则有2sin sin sin C a b c R ===A B ． 2、 正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sinC c R =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin C 2c R =； ③::sin :sin :sinC a b c =A B ； ④ sin sin sin C sin sin sin C a b c a b c ++===A +B +A B ． 3、 三角形面积公式：111sin sin C sin 222ABC S bc ab ac ?=A ==B ． 4、 余弦定理:在C ?AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cosC c a b ab =+-． 5、 余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos C 2a b c ab +-=． 6、 设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =； ②若222 a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >． 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系．主要有以下五大命题热点： 一、求解斜三角形中的基本元素 是指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高、角平分线、中线)及周长等基本问题． 例1 ABC ?中，3π= A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为( ) A ．33sin 34+??? ?? +πB B ．36sin 34+??? ? ?+πB 高二数学必修五第一章解三角形教案） （一）教学目标 1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2 . 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。（二）教学重、难点重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。（三）学法与教学用具学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。教学用具：直尺、投影仪、计算器（四）教学设想 [创设情景] 如图1．1-1，固定 ABC的边CB及 B，使边AC绕着顶点C转动。 A 思考： C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角 C的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又 , A 则 b c 从而在直角三角形ABC中， C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当 ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD= ,则， C 同理可得， b a 从而 A c B (图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。（证法二）：过 一． 构成三角形个数问题 1．在ABC ?中，已知,2,45a x b B === ，如果三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A ．． D.02x << 2．如果满足 60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是__________． 3．在ABC ?中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） 二． 求边长问题 4．在ABC ?中，角,,A B C 所对边,,a b c ，若03,120a C ==，ABC ?的面积则c =（ ） A ．5 B ．6 C ．7 5．在△ABC 中，01,45,2ABC a B S ?===，则b =_______________. 三． 求夹角问题 6．在ABC ?中，，则=∠BAC sin （ ） A 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别S c b a ,,,为表示△ABC 的面积，若 ,sin cos cos C c A b B a =+ B=( ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30° 四． 求面积问题 8．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为c b a ,,.若2cos ,,13 a b A B c π ===，则 △ABC 的面积等于 （ ） 9．锐角ABC ?中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，已知 （Ⅰ）求C sin 的值； （Ⅱ）当2=a ，C A sin sin 2=时，求b 的长及ABC ?的面积． 10．如图，在四边形ABCD 中， （1）求AD 边的长； （2）求ABC ?的面积． 人教版必修5课题：《解三角形应用举例》 教材：人教版 教学目标： （1）学会使用测角仪和皮尺等测量工具，根据实际问题设计合适的方案来测量距离；（2）能够运用直角三角形的边与角的关系以及正弦、余弦定理等解三角形的知识，解决不可到达点的距离测量问题； （3）数学建模思想的体会与运用，知识与生活联系，解决生活中的实际问题，学以致用；（4）培养学生的小组合作交流与自主研究学习的能力； （5）指导学生学会评价分析与改进优化。 教学重点、难点： 分析测量问题的实际情景，从而找到合适的测量距离的方法。 教学方法与手段： 学生小组合作探究问题——设计解决问题的方案——交流学习——评价分析，采用问题启发教学、开放式交流讨论教学与师生合作研究等教学方式，使学生在探究式、开放式的教学思想与模式下学会学习、学会探究、学会与人合作、学会评价分析与改进优化，掌握运用课堂学科知识解决生活中的实际问题，做到学以致用。 教学内容设计： 一、情境导入 位于珠江新城的双子塔（西塔与东塔，西塔已竣工，东塔正在建）与海心塔是广州的标志性建筑，它们隔着珠江相望，并与中信广场形成广州的新中轴，其效果图如下图所示： 探究活动一：假设你处于海心塔所在的海心沙岛上，如何测量海心塔与西塔的距离？（假设海心塔与西塔的底部在同一水平线上） 测量工具为：测角仪与皮尺 首先通过示图，了解测角仪的原理与作用 测角仪常用于测量： （1）仰角与俯角（如图1）；（2）方向角（如图2）；（3）方位角（如图3） 图1 图2 图3 此问题在课前作为课后研究学习的资料让学生分小组合作研究，提出测量的设计方案。 二、学生设计方案交流 从学生提交的测量设计方案中选取优秀的几个方案，让学生在课堂上作简短的介绍，让同学们交流学习。 三、分析与解决问题 学生每介绍完一个设计的方案，教师要对该方案进行评价分析，指导设计组的学生进一步改进方案，并指导同学们从中学习方法、积累经验，进而总结思想方法。 交流方案一：（以张靖同学为组长来介绍） 如图4，线段CA 表示西塔，线段DB 表示海心塔 在海心塔的底部B 可测得CA 的仰角α，西塔CA 的高 度可通过电脑查得，记为h ，则由直角CAB ?得 海心塔与西塔的距离α tan h AB = 教师指导学生评价分析方案一 图4 优点：（1）简单、明了，图简单、测量简单、计算简单； （2）采用直角三角形，熟悉、方便； （3）从主视图的角度分析问题，采用线段表示物体，符合示意图的要求； （4）懂得利用电脑查询西塔的高度，多样化解决问题。 不足与改进：（1）测角仪器本身的高度没有考虑，会产生误差。改进如图5； 则两塔间的距离为 α tan d h AB -= （2）如果在AB 间有一幢较高的楼房挡住了视线，让测量者无法看到西塔的底部A ，而也不知两塔的底部在不在同一水平线上，则仰角α无法测量。改进如图6，把测量的地点改到能看到西塔底部的地方，或是岛上的其它点，或是在海心塔的顶部测俯角； 图5 图6 αcot 1h AE =，βcot 2h EB =， C A α B D h 仰角 A B C 俯角 水平线 方向角 测量点 北 西 东 南 α C A α B D h d C D α β A B E h 2 h 1(完整版)必修五-解三角形-题型归纳
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