2019-2020学年高中数学 第二章 参数方程 一 曲线的参数方程 第2课时 圆的参数方程高效演练 新人教A版选修4-
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2019-2020学年高中数学第二讲参数方程 2.2 圆锥曲线参数方程领学案新人教A版选修4-4学习目标1.理解椭圆参数方程的概念.2.能选取适当的参数,求简单曲线的参数方程.3.掌握参数方程化为普通方程的几种基本方法.4.利用椭圆的参数方程来确定最值,解决有关点的轨迹问题,通过椭圆参数方程的推定过程,了解数形结合思想、化归思想.学习疑问学习建议【相关知识点回顾】椭圆的标准方程:【知识转接】引例【预学能掌握的内容】如下图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作AN⊥ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M,则当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程为22194x y+=求椭圆的参数方程,ϕϕ设x=3cos,为参数;椭圆的参数方程:【探究点一】〖合作探究与典例解析〗〖概括小结〗〖课堂检测〗►变式训练1.写出圆锥曲线(x-1)23+(y+2)25=1的参数方程.⎩⎪⎨⎪⎧⎩⎪⎨⎪⎧2.已知椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x=2cos t,y=4sin t(t为参数),点M在椭圆上,对应参数t=π3,点O为原点,求直线OM的斜率.分析:求直线OM的斜率,就要先求出点M的坐标.解析:点M的坐标为⎩⎨⎧x=2cos π3=1,y=4sinπ3=23,直线OM的斜率k=23=2 3.【层次一】 1.椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x =a cos θ,y =b sin θ(θ为参数),若θ∈[0,2π),则椭圆上的点(-a ,0)对应的θ=( )A .π B.π2 C .2π D.3π22.椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x =4+2cos θ,y =1+5sin θ(θ为参数)的焦距为( )A.21 B . 221 C.29 D .2293.当参数θ变化时,动点P (2cos θ,3sin θ)所确定的曲线必过( )A .点(2,3)B .点(2,0)C .点(1,3)D .点⎝⎛⎭⎪⎫0,π24.点P (x ,y )在椭圆4x 2+y 2=4上,则x +y 的最大值为______,最小值为________. 【层次二】6.点(2,33)对应曲线⎩⎪⎨⎪⎧x =4cos θ,y =6sin θ(θ为参数)中参数θ的值为( )A .k π+π6(k ∈Z)B .k π+π3(k ∈Z)C .2k π+π6(k ∈Z)D .2k π+π3(k ∈Z)5.设O 是椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x =3cos φ,y =2sin φ(φ为参数)的中心,P 是椭圆上对应于φ=π6的点,那么直线OP 的斜率为( )A.33 B. 3 C.332 D.2396.椭圆x 29+y 24=1的点到直线x +2y -4=0的距离的最小值为( )A.55 B. 5 C.655D .0 【思维导图】(学生自我绘制)。
第1课时 参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化A 级 基础巩固一、选择题1.方程⎩⎪⎨⎪⎧x =1+sin θ,y =sin 2θ(θ为参数)所表示曲线经过下列点中的( )A .(1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32,12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32,32 D.⎝⎛⎭⎪⎫2+32,-12解析:当θ=π6时,x =32,y =32,所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫32,32在方程⎩⎪⎨⎪⎧x =1+sin θ,y =sin θ(θ为参数)所表示的曲线上.答案:C2.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x =1+t 2,y =t -1与x 轴交点的直角坐标是( )A .(0,1)B .(1,2)C .(2,0)D .(±2,0)解析:设与x 轴交点的直角坐标为(x ,y ),令y =0得t =1,代入x =1+t 2,得x =2, 所以曲线与x 轴的交点的直角坐标为(2,0). 答案:C3.由方程x 2+y 2-4tx -2ty +3t 2-4=0(t 为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x =2t ,y =t(t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x =-2t ,y =t(t 为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x =2t ,y =-t (t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x =-2t ,y =-t (t 为参数) 解析:设(x ,y )为所求轨迹上任一点. 由x 2+y 2-4tx -2ty +3t 2-4=0得: (x -2t )2+(y -t )2=4+2t 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧x =2t ,y =t(t 为参数)答案:A4.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =2+sin 2θ,y =-1+cos 2θ(θ为参数)化为普通方程是( )A .2x -y +4=0B .2x +y -4=0C .2x -y +4=0,x ∈[2,3]D .2x +y -4=0,x ∈[2,3]解析:由x =2+sin 2θ,则x ∈[2,3],sin 2θ=x -2,y =-1+1-2sin 2θ=-2sin 2θ=-2x +4,即2x +y -4=0.故化为普通方程为2x +y -4=0,x ∈[2,3]. 答案:D5.设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2+3cos θ,y =-1+3sin θ(θ为参数),直线l 的方程为x -3y +2=0,则曲线C 上到直线l 的距离为71010的点的个数为( )A .1B .2C .3D .4解析:由⎩⎪⎨⎪⎧x =2+3cos θ,y =-1+3sin θ得(x -2)2+(y +1)2=9.曲线C 表示以点(2,-1)为圆心,以3为半径的圆, 则圆心C (2,-1)到直线l 的距离d =710=71010<3, 所以直线与圆相交,所以过圆心(2,-1)与l 平行的直线与圆的2个交点满足题意,又3-d <71010,故满足题意的点有2个.答案:B 二、填空题6.若x =cos θ,θ为参数,则曲线x 2+(y +1)2=1的参数方程为______________. 解析:把x =cos θ代入曲线x 2+(y +1)2=1, 得cos 2θ+(y +1)2=1,于是(y +1)2=1-cos 2θ=sin 2θ,即y =-1±sin θ. 由于参数θ的任意性, 可取y =-1+sin θ,因此,曲线x 2+(y +1)2=1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θ,y =-1+sin θ(θ为参数). 答案:⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θy =-1+sin θ(θ为参数)7.在平面直角坐标系中,曲线C :⎩⎪⎨⎪⎧x =2+22t ,y =1+22t (t为参数)的普通方程为________________.解析:因为x =2+22t ,所以22t =x -2,代入y =1+22t , 得y =x -1,即x -y -1=0. 答案:x -y -1=08.已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x =3+3cos θ,y =1+3sin θ(θ为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π6=0,则圆C 截直线所得弦长为________.解析:圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x =3+3cos θ,y =1+3sin θ圆心为(3,1),半径为3,直线的普通方程为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π6-sin θsin π6=32x -12y =0,即3x -y =0,圆心C (3,1)到直线3x -y =0的距离为d =|(3)2-1|3+1=1,所以圆C 截直线所得弦长|AB |=2r 2-d 2=232-12=4 2.答案:42 三、解答题9.已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =t -1t,y =3⎝ ⎛⎭⎪⎫t +1t (t 为参数,t >0),求曲线C 的普通方程.解:由x =t -1t两边平方得x 2=t +1t-2,又y =3⎝ ⎛⎭⎪⎫t +1t ,则t +1t =y 3(y ≥6). 代入x 2=t +1t -2,得x 2=y 3-2,所以3x 2-y +6=0(y ≥6).故曲线C 的普通方程为3x 2-y +6=0(y ≥6).10.如图所示,OA 是圆C 的直径,且OA =2a ,射线OB 与圆交于Q 点,和经过A 点的切线交于B 点,作PQ ⊥OA 交OA 于D ,PB ∥OA ,试求点P 的轨迹的参数方程.解:设P (x ,y )是轨迹上任意一点,取∠DOQ =θ, 由PQ ⊥OA ,PB ∥OA ,得x =OD =OQ cos θ=OA cos 2θ=2a cos 2θ, y =AB =OA tan θ=2a tan θ.所以点P 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2a cos 2θ,y =2a tan θθ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2.B 级 能力提升1.当参数θ变化时,由点P (2cos θ,3sin θ)所确定的曲线过点( ) A .(2,3)B .(1,5) C.⎝⎛⎭⎪⎫0,π2D .(2,0)解析:先将P (2cos θ,3sin θ)化为方程为x 24+y 29=1,再将选项代进去,可得到的是(2,0).答案:D2.已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x =1+5cos α,y =2+5sin α(α为参数),以直角坐标系的原点O为极点,x 轴的正半轴为极轴,并取相同的长度单位建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程是__________________.解析:曲线C 的普通方程为(x -1)2+(y -2)2=5,即x 2+y 2-2x -4y =0,把ρ2=x 2+y 2,x =ρcos θ,y =ρsin θ代入,得其极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ=0,即ρ=2cos θ+4sin θ. 答案:ρ=2cos θ+4sin θ3.在直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =35t ,y =1+45t (t 为参数).以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程;(2)若P (x ,y )在直线l 上,且在曲线C 内,求x -y 的取值范围; (3)若Q (x ,y )在曲线C 上,求Q 到直线l 的最大距离d max .解:(1)因为ρ=2sin θ, 所以ρ2=2ρsin θ, 所以x 2+y 2=2y , 即x 2+(y -1)2=1,所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+(y -1)2=1. (2)因为x -y =35t -⎝ ⎛⎭⎪⎫1+45t =-15t -1,又-1<t <1. 所以-15<-15t <15,所以-65<-15t -1<-45,即x -y 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-65,-45.(3)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θ,y =1+sin θ(θ为参数),直线l 的普通方程为4x -3y +3=0,d =|4cos θ-3sin θ|5=|sin(θ-φ)|,tan φ=43,所以d max =1.。
2019-2020年高中数学 2.2 圆锥曲线的参数方程教案 新人教A 版选修4-41.椭圆的参数方程(1)抛物线y 2=2px 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =2pt 2y =2pt (t ∈R ,t 为参数).(2)参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.1.椭圆的参数方程中,参数φ是OM 的旋转角吗?【提示】 椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =a cos φy =b sin φ(φ为参数)中的参数φ不是动点M (x ,y )的旋转角,它是点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角,称为离心角,不是OM 的旋转角.2.双曲线的参数方程中,参数φ的三角函数sec φ的意义是什么?【提示】 sec φ=1cos φ,其中φ∈[0,2π)且φ≠π2,φ≠32π.3.类比y 2=2px (p >0),你能得到x 2=2py (p >0)的参数方程吗?【提示】⎩⎪⎨⎪⎧x =2pt ,y =2pt 2.(p >0,t 为参数,t ∈R )椭圆的参数方程及应用将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =5cos θy =3sin θ(θ为参数)化为普通方程,并判断方程表示曲线的焦点坐标.【思路探究】 根据同角三角函数的平方关系,消去参数,化为普通方程,进而研究曲线形状和几何性质.【自主解答】 由⎩⎪⎨⎪⎧x =5cos θy =3sin θ得⎩⎨⎧cos θ=x 5,sin θ=y 3,两式平方相加,得x 252+y 232=1.∴a =5,b =3,c =4.因此方程表示焦点在x 轴上的椭圆,焦点坐标为F 1(4,0)和F 2(-4,0).椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =a cos θ,y =b sin θ,(θ为参数,a ,b 为常数,且a >b >0)中,常数a 、b 分别是椭圆的长半轴长和短半轴长,焦点在长轴上.若本例的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =3cos θy =5sin θ,(θ为参数),则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标?【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x =3cos θy =5sin θ,化为⎩⎨⎧x3=cos θ,y5=sin θ,两式平方相加,得x 232+y 252=1.其中a =5,b =3,c =4.所以方程的曲线表示焦点在y 轴上的椭圆,焦点坐标为F 1(0,-4)与F 2(0,4).已知曲线C 1:⎩⎪⎨⎪⎧x =-4+cos t y =3+sin t ,(t 为参数),曲线C 2:x 264+y 29=1.(1)化C 1为普通方程,C 2为参数方程;并说明它们分别表示什么曲线?(2)若C 1上的点P 对应的参数为t =π2,Q 为C 2上的动点,求PQ 中点M 到直线C 3:x -2y -7=0距离的最小值.【思路探究】 (1)参数方程与普通方程互化;(2)由中点坐标公式,用参数θ表示出点M 的坐标,根据点到直线的距离公式得到关于θ的函数,转化为求函数的最值.【自主解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x =-4+cos t ,y =3+sin t ,得⎩⎪⎨⎪⎧cos t =x +4,sin t =y -3. ∴曲线C 1:(x +4)2+(y -3)2=1,C 1表示圆心是(-4,3),半径是1的圆.曲线C 2:x 264+y 29=1表示中心是坐标原点,焦点在x 轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =8cos θ,y =3sin θ,(θ为参数)(2)依题设,当t =π2时,P (-4,4);且Q (8cos θ,3sin θ),故M (-2+4cos θ,2+32sin θ).又C 3为直线x -2y -7=0,M 到C 3的距离d =55|4cos θ-3sin θ-13|=55|5cos(θ+φ)-13|, 从而当cos θ=45,sin θ=-35时,(其中φ由sin φ=35,cos φ=45确定)cos(θ+φ)=1,d 取得最小值855.1.从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越性.2.第(2)问设计十分新颖,题目的要求就是求动点M 的轨迹上的点到直线C 3距离的最小值,这个最小值归结为求关于参数θ的函数的最小值.(xx·开封质检)已知点P 是椭圆x 24+y 2=1上任意一点,求点P 到直线l :x +2y =0的距离的最大值.【解】 因为P 为椭圆x 24+y 2=1上任意一点,故可设P (2cos θ,sin θ),其中θ∈[0,2π). 又直线l :x +2y =0.因此点P 到直线l 的距离d =|2cos θ+2sin θ|12+22=22|sin θ+π4|5.所以,当sin(θ+π4)=1,即θ=π4时,d 取得最大值2105.双曲线参数方程的应用 求证:双曲线x 2a 2-y2b2=1(a >0,b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值.【思路探究】 设出双曲线上任一点的坐标,可利用双曲线的参数方程简化运算.【自主解答】 由双曲线x 2a 2-y 2b2=1,得两条渐近线的方程是:bx +ay =0,bx -ay =0, 设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ,b tan φ), 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2,则d 1·d 2=|ab sec φ+ab tan φ|b 2+a 2·|ab sec φ-ab tan φ|b 2+-a 2=|a 2b 2sec 2 φ-tan 2 φ|a 2+b 2=a 2b 2a 2+b2(定值).在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时,使用曲线的参数方程非常简捷方便,其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用,另外本题要注意公式sec 2 φ-tan 2 φ=1的应用.如图2-2-1,设P 为等轴双曲线x 2-y 2=1上的一点,F 1、F 2是两个焦点,证明:|PF 1|·|PF 2|=|OP |2.图2-2-1【证明】 设P (sec φ,tan φ),∵F 1(-2,0),F 2(2,0), ∴|PF 1|=sec φ+22+tan 2φ=2sec 2φ+22sec φ+1,|PF 2|=sec φ-22+tan 2φ=2sec 2φ-22sec φ+1, |PF 1|·|PF 2|=2sec 2φ+12-8sec 2φ=2sec 2φ-1. ∵|OP |2=sec 2φ+tan 2φ=2sec 2φ-1, ∴|PF 1|·|PF 2|=|OP |2.抛物线的参数方程设抛物线y 2=2px 的准线为l ,焦点为F ,顶点为O ,P 为抛物线上任一点,PQ ⊥l 于Q ,求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程.【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程,然后化为普通方程即可.【自主解答】 设P 点的坐标为(2pt 2,2pt )(t 为参数),当t ≠0时,直线OP 的方程为y =1tx ,QF 的方程为y =-2t (x -p2),它们的交点M (x ,y )由方程组⎩⎨⎧y =1txy =-2t x -p2确定, 两式相乘,消去t ,得y 2=-2x (x -p2),∴点M 的轨迹方程为2x 2-px +y 2=0(x ≠0).当t =0时,M (0,0)满足题意,且适合方程2x 2-px +y 2=0. 故所求的轨迹方程为2x 2-px +y 2=0.1.抛物线y 2=2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2pt 2,y =2pt (t 为参数),参数t 为任意实数,它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.2.用参数法求动点的轨迹方程,其基本思想是选取适当的参数作为中间变量,使动点的坐标分别与参数有关,从而得到动点的参数方程,然后再消去参数,化为普通方程.(xx·天津高考)已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2pt 2,y =2pt (t 为参数),其中p >0,焦点为F ,准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线,垂足为E ,若|EF |=|MF |,点M 的横坐标是3,则p =________.【解析】 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2=2px ,所以y 2M =6p ,所以E (-p 2,±6p ),F (p 2,0),所以p2+3=p 2+6p ,所以p 2+4p -12=0,解得p =2(负值舍去).【答案】 2(教材第34页习题2.2,第5题)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1上任意一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1,B 2的连线分别与x轴交于P 、Q 两点,O 为椭圆的中心.求证:|OP |·|OQ |为定值.(xx·徐州模拟)如图2-2-2,已知椭圆x24+y 2=1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点.图2-2-2求证:|OP |·|OQ |为定值. 【命题意图】 本题主要考查椭圆的参数方程的简单应用,考查学生推理与数学计算能力.【证明】 设M (2cos φ,sin φ)(φ为参数), B 1(0,-1),B 2(0,1).则MB 1的方程:y +1=sin φ+12cos φ·x ,令y =0,则x =2cos φsin φ+1,即|OP |=|2cos φ1+sin φ|.MB 2的方程:y -1=sin φ-12cos φx ,∴|OQ |=|2cos φ1-sin φ|.∴|OP |·|OQ |=|2cos φ1+sin φ|·|2cos φ1-sin φ|=4.因此|OP |·|OQ |=4(定值).1.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θy =2sin θ,(θ为参数)化为普通方程为( )A .x 2+y 24=1 B .x 2+y 22=1C .y 2+x 24=1D .y 2+x24=1【解析】 易知cos θ=x ,sin θ=y2,∴x 2+y24=1,故选A.【答案】 A2.方程⎩⎪⎨⎪⎧x cos θ=a ,y =b cos θ,(θ为参数,ab ≠0)表示的曲线是( )A .圆B .椭圆C .双曲线D .双曲线的一部分【解析】 由x cos θ=a ,∴cos θ=ax,代入y =b cos θ,得xy =ab ,又由y =b cos θ知,y ∈[-|b |,|b |], ∴曲线应为双曲线的一部分. 【答案】 D3.(xx·陕西高考)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x =t 2,y =2t (t 为参数)的焦点坐标是________.【解析】 将参数方程化为普通方程为y 2=4x ,表示开口向右,焦点在x 轴正半轴上的抛物线,由2p =4⇒p =2,则焦点坐标为(1,0).【答案】 (1,0)4.(xx·湖南高考)在直角坐标系xOy 中,已知曲线C 1:⎩⎪⎨⎪⎧x =t +1,y =1-2t (t 为参数)与曲线C 2:⎩⎪⎨⎪⎧x =a sin θ,y =3cos θ(θ为参数,a >0)有一个公共点在x 轴上,则a =________. 【解析】 将曲线C 1与C 2的方程化为普通方程求解.∵⎩⎪⎨⎪⎧ x =t +1,y =1-2t ,消去参数t 得2x +y -3=0. 又⎩⎪⎨⎪⎧x =a sin θ,y =3cos θ,消去参数θ得x 2a 2+y 29=1.方程2x +y -3=0中,令y =0得x =32,将(32,0)代入x 2a 2+y 29=1,得94a 2=1.又a >0,∴a=32. 【答案】32(时间40分钟,满分60分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.曲线C :⎩⎨⎧x =3cos φy =5sin φ,(φ为参数)的离心率为( )A.23B.35C.32D.53【解析】 由题设,得x 29+y 25=1,∴a 2=9,b 2=5,c 2=4,因此e =c a =23.【答案】 A2.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =sin α2+cos α2y =2+sin α,(α为参数)的普通方程是( )A .y 2-x 2=1B .x 2-y 2=1C .y 2-x 2=1(1≤y ≤3)D .y 2-x 2=1(|x |≤2)【解析】 因为x 2=1+sin α,所以sin α=x 2-1. 又因为y 2=2+sin α=2+(x 2-1), 所以y 2-x 2=1.∵-1≤sin α≤1,y =2+sin α, ∴1≤y ≤ 3.∴普通方程为y 2-x 2=1,y ∈[1,3]. 【答案】 C3.点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x =t2y =2t (参数t ∈R )上的点的最短距离为( )A .0B .1 C. 2 D .2【解析】 d 2=(x -1)2+y 2=(t 2-1)2+4t 2=(t 2+1)2, 由t 2≥0得d 2≥1,故d min =1. 【答案】 B4.已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x =3cos θy =4sin θ,(θ为参数,0≤θ≤π)上的一点P ,原点为O ,直线PO 的倾斜角为π4,则P 点的坐标是( ) A .(3,4) B .(322,22) C .(-3,-4) D .(125,125) 【解析】 由题意知,3cos θ=4sin θ, ∴tan θ=34,又0≤θ≤π,则sin θ=35,cos θ=45,∴x =3×cos θ=3×45=125, y =4sin θ=4×35=125, 因此点P 的坐标为(125,125). 【答案】 D二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x =2cos t y =4sin t(t 为参数),点M 在椭圆上,对应参数t =π3,点O 为原点,则直线OM 的斜率为________.【解析】 由⎩⎨⎧x =2cos π3=1,y =4sin π3=2 3. 得点M 的坐标为(1,23).直线OM 的斜率k =231=2 3. 【答案】 236.(xx·江西高考)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =t ,y =t 2(t 为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为________.【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x =t ,y =t 2化为普通方程为y =x 2,由于ρcos θ=x ,ρsin θ=y ,所以化为极坐标方程为ρsin θ=ρ2cos 2θ,即ρcos 2θ-sin θ=0.【答案】 ρcos 2θ-sin θ=0三、解答题(每小题10分,共30分)7.(xx·平顶山质检)如图2-2-3所示,连接原点O 和抛物线y =12x 2上的动点M ,延长OM 到点P ,使|OM |=|MP |,求P 点的轨迹方程,并说明是什么曲线?图2-2-3【解】 抛物线标准方程为x 2=2y ,其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x =2t ,y =2t 2.得M (2t,2t 2).设P (x ,y ),则M 是OP 中点.∴⎩⎨⎧2t =x +02,2t 2=y +02,∴⎩⎪⎨⎪⎧x =4t y =4t 2(t 为参数), 消去t 得y =14x 2,是以y 轴对称轴,焦点为(0,1)的抛物线.8.(xx·龙岩模拟)已知直线l 的极坐标方程是ρcos θ+ρsin θ-1=0.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,椭圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θy =sin θ(θ为参数),求直线l 和椭圆C 相交所成弦的弦长.【解】 由题意知直线和椭圆方程可化为:x +y -1=0,①x 24+y 2=1,② ①②联立,消去y 得:5x 2-8x =0,解得x 1=0,x 2=85. 设直线与椭圆交于A 、B 两点,则A 、B 两点直角坐标分别为(0,1),(85,-35),则|AB |=-35-12+852=825. 故所求的弦长为825. 9.(xx·漯河调研)在直角坐标系xOy 中,直线l 的方程为x -y +4=0,曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x =3cos αy =sin α (α为参数). (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,点P 的极坐标为(4,π2),判断点P 与直线l 的位置关系; (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值.【解】 (1)把极坐标系下的点P (4,π2)化为直角坐标,得点(0,4).因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x -y +4=0,所以点P 在直线l 上.(2)因为点Q 在曲线C 上,故可设点Q 的坐标为(3cos α,sin α),从而点Q 到直线l 的距离为d =|3cos α-sin α+4|2=2cos α+π6+42=2cos(α+π6)+22,由此得,当cos(α+π6)=-1时,d 取得最小值,且最小值为 2. 教师备选10.设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x 轴上,离心率e =32,已知点P (0,32)到这个椭圆上的点的最远距离是7,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标.【解】 设椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =a cos θy =b sin θ,其中,a >b >0,0≤θ<2π. 由e 2=c 2a 2=a 2-b 2a 2=1-(b a )2可得b a =1-e 2=12即a =2b . 设椭圆上的点(x ,y )到点P 的距离为d ,则d 2=x 2+(y -32)2=a 2cos 2θ+(b sin θ-32)2 =a 2-(a 2-b 2)sin 2θ-3b sin θ+94=4b 2-3b 2sin 2θ-3b sin θ+94=-3b 2(sin θ+12b)2+4b 2+3, 如果12b >1即b <12,即当sin θ=-1时,d 2有最大值,由题设得(7)2=(b +32)2,由此得b =7-32>12,与b <12矛盾. 因此必有12b≤1成立, 于是当sin θ=-12b时,d 2有最大值, 由题设得(7)2=4b 2+3,由此可得b =1,a =2.所求椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θ,y =sin θ.由sin θ=-12,cos θ=±32可得,椭圆上的点(-3,-12),点(3,-12)到点P 的距离都是7..。
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第2课时 圆的参数方程
[A级 基础巩固]
一、选择题
1.曲线x=-1+2cos θ,y=3+2sin θ(θ为参数)围成图形的面积等于( )
A.π B.2π
C.3π D.4π
答案:D
2.圆x2+(y+1)2=2的参数方程为( )
A.x=2cos θ,y=1+2sin θ(θ为参数)
B.x=2cos θ,y=1+2sin θ(θ为参数)
C.x=2cos θ,y=-1+2sin θ(θ为参数)
D.x=2cos θ,y=-1+2sin θ(θ为参数)
解析:由x=2cos θ,y+1=2sin θ知参数方程为x=2cos θ,y=-1+2sin θ(θ为参数).
答案:D
3.已知圆O的参数方程是x=2+4cos θ,y=-3+4sin θ(0≤θ<2π),圆上点A的坐标是(4,-33),
则参数θ=( )
A.7π6 B.4π3 C.11π6 D.5π3
解析:由题意4=2+4cos θ,-33=-3+4sin θ(0≤θ<2π),
所以cos θ=12,sin θ=-32(0≤θ<2π),解得θ=5π3.
答案:D
4.若x,y满足x2+y2=1,则x+3y的最大值为( )
2
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:由于圆x2+y2=1的参数方程为x=cos θ,y=sin θ(θ为参数),则x+3y=3sin θ+
cos θ=2sinθ+π6,故x+3y的最大值为2.
答案:B
5.直线:3x-4y-9=0与圆:x=2cos θ,y=2sin θ(θ为参数)的位置关系是( )
A.相切 B.相离
C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心
解析:圆心坐标为(0,0),半径为2,显然直线不过圆心,
又圆心到直线距离d=95<2.
所以直线与圆相交,但不过圆心.
答案:D
二、填空题
6.设y=tx(t为参数),则圆x2+y2-4y=0的参数方程是________.
解析:把y=tx代入x2+y2-4y=0得x=4t1+t2,
y
=4t21+t2,
所以参数方程为x=4t1+t2,y=4t21+t2(t为参数).
答案:x=4t1+t2,y=4t21+t2(t为参数)
7.已知曲线方程x=1+cos θ,y=sin θ(θ为参数),则该曲线上的点与定点(-1,-2)的距离
的最小值为________.
解析:设曲线上动点为P(x,y),定点为A,
则|PA|=(1+cos θ+1)2+(sin θ+2)2=
9+42sinθ+π4,
3
故|PA|min=9-42=22-1.
答案:22-1
8.曲线C:x=cos θ,y=-1+sin θ(θ为参数)的普通方程为__________.如果曲线C与直线
x
+y+a=0有公共点,那么a的取值范围是________.
解析:x=cos θ,y=-1+sin θ(θ为参数)消参可得
x2+(y
+1)2=1,
利用圆心到直线的距离d≤r得|-1+a|2≤1,
解得1-2≤a≤1+2.
答案:x2+(y+1)2=1 [1-2,1+2]
三、解答题
9.已知P(x,y)是圆x2+y2-2y=0上的动点.
(1)求2x+y的取值范围;
(2)若x+y+c≥0恒成立,求实数c的取值范围.
解:方程x2+y2-2y=0变形为x2+(y-1)2=1,
其参数方程为x=cos θ,y=1+sin θ(θ为参数).
(1)2x+y=2cos θ+sin θ+1=5sin(θ+φ)+1(其中φ由tan φ=2确定),
所以1-5≤2x+y≤1+5.
(2)若x+y+c≥0恒成立,即c≥-(cos θ+sin θ+1)对一切θ∈R恒成立.
因为-(cos θ+sin θ+1)的最大值是2-1,
所以当且仅当c≥2-1时,x+y+c≥0恒成立.
10.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆
C
的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈0,π2.
(1)求C的参数方程;
(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=3x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方
程,确定D的坐标.
解:(1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).
可得C的参数方程为x=1+cos t,y=sin t(t为参数,0≤t≤π).
(2)设D(1+cos t,sin t),由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.
4
因为C在点D处的切线与l垂直,
所以直线GD与l的斜率相同,tan t=3,t=π3.
故D的直角坐标为1+cosπ3,sin π3,即32,32.
B级 能力提升
1.若x,y满足(x-1)2+(y+2)2=4,则2x+y的最小值为________.
解析:令x-1=2cos θ,y+2=2sin θ,
则有x=2cos θ+1,y=2sin θ-2,
故2x+y=4cos θ+2+2sin θ-2=4cos θ+2sin θ=
25sin(θ+φ)(其中φ由tan φ=2确定).
所以-25≤2x+y≤25.
即2x+y的最小值为-25.
答案:-25
2.已知直线y=x与曲线x=1+2cos α,y=2+2sin α(α为参数)相交于两点A和B,求弦长|AB|.
解:由x=1+2cos α,y=2+2sin α,得x-1=2cos α,y-2=2sin α.
所以(x-1)2+(y-2)2=4,其圆心为(1,2),半径r=2,
则圆心(1,2)到直线y=x的距离d=|1-2|12+(-1)2=22.
所以|AB|=2r2-d2=222-222=14.
3.已知圆C:x=1+cos θ,y=sin θ(θ为参数)和直线lx=2+tcos α,y=3+tsin α(其中t为参数,α
为直线l的倾斜角),
(1)当α=2π3时,求圆上的点到直线l距离的最小值;
(2)当直线l与圆C有公共点时,求α的取值范围.
解:(1)当α=2π3时,直线l的直角坐标方程为3x+y-33=0,圆C的圆心坐标为(1,
0),圆心到直线的距离d=232=3,圆的半径为1,故圆上的点到直线l距离的最小值为3-
1.
(2)圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,
5
得t2+2(cos α+3sin α)t+3=0,这个关于t的一元二次方程有解,故Δ=4(cos α+3
sin α)2-12≥0,则sin2α+π6≥34,即sinα+π6≥32或sinα+π6≤-32.又0≤α
≤π,故只能sinα+π6≥32,即π3≤ α+π6≤2π3,即π6≤ α≤π2.
故α的取值范围是π6,π2.