点集拓扑学练习题
一、单项选择题（每题1分）
1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T
② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T
③ {,,{},{,}}X a a b φ=T
④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T
答案：③
2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T
③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T
答案：②
3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T
③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T
答案：①
4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T
③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T
答案：②
5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T
③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T
答案：④
6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T
③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T
答案：③
7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ）
①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d
答案：④
8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ）
①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d
答案：④
9、 已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）
①φ ② X ③ {}a ④ {}b
答案：②
10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（ ）
①φ ② X ③ {}a ④ {}b
答案：④
11、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）
①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d
答案：②
12、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =（ ）
①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d
答案：④
13、设{,,,}X a b c d =，
拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4
答案：②
14、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真
子集的个数为（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4
答案：②
15、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真
子集的个数为（ ）
① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3
答案：①
16、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为
（ ）
① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3
答案：③
17、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个
数为（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4
答案：④
18、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又
闭的非空真子集的个数为（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4
答案：②
19、在实数空间中，有理数集Q 的内部Q 是（ ）
①φ②Q③R -Q④R
答案：①20、在实数空间中，有理数集Q的边界()
?是（）
Q
①φ②Q③R -Q④R
答案：④
21、在实数空间中，整数集Z的内部Z是（）
①φ②Z③R-Z④R
答案：①22、在实数空间中，整数集Z的边界()
?是（）
Z
①φ②Z③R-Z④R
答案：②
23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（）
①φ②[0,1]③{0,1}④(0,1)
答案：③
24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（）
①φ②[2,3]③{2,3}④(2,3)
答案：③
25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（）
①φ②[0,1]③{0,1}④(0,1)
答案：④
26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（ ）
① ()()()d A B d A d B ?=? ② A B A B ?=?
③ ()()()d A B d A d B ?=? ④ A A =
答案: ③
27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）
① ()()()d A B d A d B ?=? ② A B A B -=-
③ ()()()d A B d A d B ?=? ④ A A =
答案: ①
28、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）
① ()d A B A B ?=? ② A B A B -=-
③ ()()()d A B d A d B ?=? ④ (())()d d A A d A ??
答案: ④
29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ）
① ()d A φ= ② ()d A X A =-
③ ()d A A = ④ ()d A X =
答案：①
30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确
的是（ ）
① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-
③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠
答案：④
31、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的
是（ ）
① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =
③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A =
答案：①
32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d
=B ,则由B 产生的X 上的拓
扑是（ ）
① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}
② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}
③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }}
④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }}
答案：①
33、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=?∈?T
是X 的拓扑，则（ ）是T 的基.
① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈
③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈-
答案：③
34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（ ）以{,,{}}S X a φ=为子基. ① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}
③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }
答案：②
35、离散空间的任一子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭
36、平庸空间的任一非空真子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭
答案：④
37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )
① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭
答案：②
38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（ ）
①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A
答案：③
39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（ ）
① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集
答案：①
40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（ ）
① 整数集Z ② 有理数集
③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '
答案：④
41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（
）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4
答案：④
42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）
① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个
答案：④
43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（ ）个
① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9
答案：④
44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )
①T , T X φ∈? ② T ,T X φ?∈
③当T T '?时,T T U U '∈∈ ④ 当T T '?时,T T U U '
∈∈
45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（ ）
① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭
答案：③
46、设X 是一个拓扑空间，,A B X ?,且满足()d A B A ??,则B 是
（ ） ① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭
答案：②
47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,
则X 的子空间A 的拓扑为( )
① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=
③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ=
答案：③
48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,3}A =,
则X 的子空间A 的拓扑为( )
① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=
③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=
答案：②
49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2,3}A =,
则X 的子空间A 的拓扑为( )
① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=
③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ=
答案：②
50、设{1,23}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X
的子空间A 的拓扑为( )
① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=
③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=
答案：①
51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )
① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=
③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ=
答案：②
52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，
{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )
① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=
③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ=
答案：④
53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（ ）
① {,}T Z φ= ② ()T P Z =
③ T Z = ④ {}T Z =
答案：②
54、设126X X X X =???是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到
1X 的投射，则1P 是（ ）
① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射
答案：④
55、设126X X X X =???是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到
2X 的投射，则2P 是（ ）
① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射
答案：④
56、设126X X X X =???是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到
3X 的投射，则3P 是（ ）
① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射
答案：④
57、设126X X X X =???是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到
4X 的投射，则4P 是（ ）
① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射
答案：④
58、设126X X X X =???是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到
5X 的投射，则5P 是（ ）
① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射
答案：④
59、设126X X X X =???是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到
6X 的投射，则6P 是（ ）
① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射
答案：④
60、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ?是它们的积空间,1A X ?，
2B X ?，则有（ ）
① A B A B ?≠? ② A B A B ?=?
③()A B A B ?≠? ④ ()()()A B A B ??=???
答案：②
61、有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集
③ 开集 ④ 以上都不对
答案：①
62、整数集Z 是实数空间R 的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集
③ 开集 ④ 以上都不对
答案：①
63、无理数集是实数空间R 的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集
③ 开集 ④ 以上都不对
答案：①
64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ??, 则Z
为( )
①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集
答案：②
65、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ?是（ ）
① 离散空间 ② 不一定是平庸空间
③ 平庸空间 ④ 不连通空间
答案：③
66、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ?是（ ）
① 离散空间 ② 不一定是离散空间
③ 平庸空间 ④ 连通空间
答案：①
67、设12,X X 是连通空间，则积空间12X X ?是（ ）
① 离散空间 ② 不一定是连通空间
③ 平庸空间 ④ 连通空间
答案：④
68、实数空间R 中的连通子集E 为( )
① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对
答案：④
69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )
① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对
答案：③
70、实数空间R 中的连通子集E 为( )
① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点
答案：④
71、下列叙述中正确的个数为（ ）
（Ⅰ）单位圆周1S 是连通的； （Ⅱ）{0}R -是连通的
（Ⅲ）2{(0,0)}R -是连通的 （Ⅳ）2R 和R 同胚
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4
答案：②
72、实数空间R ( )
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理
③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对
答案：③
73、整数集Z 作为实数空间R 的子空间（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理
③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对
答案：③
74、有理数集Q 作为实数空间R 的子空间（ ）
①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理
③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对
答案：③
75、无理数集作为实数空间R的子空间（）
①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理
③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对
答案：③作为实数空间R的子空间（）
76、正整数集Z
+
①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理
③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对
答案：③作为实数空间R的子空间（）
77、负整数集Z
-
①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理
③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对
答案：③
78、2维欧氏间空间2R（）
①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理
③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对
答案：③
79、3维欧氏间空间3R（）
①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理
③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对
答案：③
80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）
①平庸性②连通性
③离散性④第一可数性公理
答案：②
81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）
①第一可数性公理②连通性
③第二可数性公理④平庸性
答案：②
82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）
①第一可数性公理②可分性
③ 第二可数性公理 ④ 离散性
答案：②
83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）
① 平庸性 ② 可分性
③ 离散性 ④ 第二可数性公理
答案：②
84、设X 是一个拓扑空间，若对于,,x y X x y ?∈≠,均有{}{}x y ≠,
则X 是( )
① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对
答案：①
85、设{1,2}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )
① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对
答案：①
86、设{1,2}X =，{,,{2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )
① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 道路连通空间
答案：①
87、设{1,2,3}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )
① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对
答案：④
88、设{1,2,3}X =，{,,{23}}X φ=，
T ，则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对
答案：④
89、设{1,2,3}X =，{,,{13}}
X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对
答案：④
90、设{1,2,3}X =，{,,{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )
① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对
答案：④
91、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )
①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对
答案：①
92、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，
则X 是（ ）
①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间
答案：③
93、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个有限子集都是闭集，
则X 是（ ）
①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间
答案：③
94、设X 是一个拓扑空间，若对x X ?∈及x 的每一个开邻域U ，都存在
x 的一个开邻域V ,使得V U ?,则X 是（ ）
①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间
答案：①
95、设X 是一个拓扑空间，若对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻
域U ，都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ?,则X 是（ ）
①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间
答案：②
96、设{1,23}X =，
，{,,{1},{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间
答案：④
97、设{1,23}X =，，{,,{2},{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )
①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间
答案：④
98、设{1,23}X =，，{,,{3},{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )
①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正则空间
答案：④
99、设{1,23}X =，
，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间
答案：④
100、设{1,23}X =，
，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间
答案：④
101、设{1,23}X =，
，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间
答案：④
二、填空题（每题1分）
1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;
答案：{,}T X φ=
2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;
答案：{,,{},{}}T X a b φ=
３、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案：拓扑不变性质
4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________.
答案： R
5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;
答案： ({})U A x φ?-≠
6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ;
答案：X
7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则A = ;
答案：X
8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ;
答案：X
9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则A = ;
答案：X
10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A =
的内部为 ;
答案：{2}
11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A =
的内部为 ;
答案：{1}
12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A =
的内部为 ;
答案：{1}
13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A =
的内部为 ;
答案：φ
14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;
答案：{,}T X φ=
15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 ;
答案：{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=
16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3T X φ=,则X 的子集
{1,3}
A = 的内部为 ; 答案：{3}
17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,T X φ=,则X 的子集
{1,2}A = 的内部为 ;
答案：{1}
18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一
个 .
答案：嵌入
19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且
Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一
个 ;
答案：商映射
20、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一
个 ;
答案：开映射
21、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一
个 ;
答案：闭映射
22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ?=?=,则X 是一个 ；
答案：不连通空间
23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ?=?=,则X 是一个 ；
答案：不连通空间
24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一
个 ；
答案：不连通空间
25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ?满足Y Z Y ??，则Z 也
是X 的一个 ;
答案：连通子集
26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任
何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一
个 ；
答案：在连续映射下保持不变的性质
27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任
何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ；
答案：可商性质
28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间
12n X X X ???也具有性质P ，则性质P 称为 ;
答案：有限可积性质
29、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得
A B X ?=,则称X 是一个 ；
答案：不连通空间.
30、若12,X X 满足第一可数性公理，则积空间12X X ?满足 ;
答案：第一可数性公理
31、若12,X X 满足第二可数性公理，则积空间12X X ?也满
足 ;
答案：第二可数性公理
32、如果一个拓扑空间具有性质P,那么它的任何一个子空间也具有性质
P,则称性质P为 ;
答案：可遗传性质
33、设D是拓扑空间X的一个子集，且D X
,则称D是X的一个；
答案：稠密子集
34、若拓扑空间X有一个可数稠密子集，则称X是一个；
答案：可分空间
35、设X是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，
则称X是一个；
答案：Lindel?ff空间
36、如果一个拓扑空间具有性质P,那么它的任何一个开子空间也具有性
质P,则称性质P为 ;
答案：对于开子空间可遗传性质
37、如果一个拓扑空间具有性质P,那么它的任何一个闭子空间也具有性
质P,则称性质P为 ;
答案：对于闭子空间可遗传性质
38、设X是一个拓扑空间，如果
T空间;
则称X是一个
答案：X中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点
39、设X是一个拓扑空间，如果
T空间;
则称X是一个
1
答案：X中任意两个不相同的点中每一点都有一个开邻域不包含另一点
40、设X是一个拓扑空间，如果
T空间;
则称X是一个
2
答案：X中任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交
T空间称为；
41、正则的
1
第4章连通性 本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间． §4.1连通空间 本节重点: 掌握连通与不连通的定义； 掌握如何证明一个集合的连通与否； 掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性． 我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R中的两个区间（0，l）和［1，2），尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）∪［l，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）∪（1，2）是明显的两个“部分”．产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形． 定义4.1.1 设A和B是拓扑空间X中的两个子集．如果 则称子集A和B是隔离的．
明显地，定义中的条件等价于和同时成立，也就是说，A与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点．应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的，而子集（0，l）和[1，2)不是隔离的． 又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的． 定义4.1.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=A∪B，则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间．显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间． 定理4.1.1 设X是一个拓扑空间．则下列条件等价： （l）X是一个不连通空间； （2）X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A∩B=和A∪B＝X成立； （3）X中存在着两个非空的开子集A和B使得A∩B=和A∪B＝X成立； （4）X中存在着一个既开又闭的非空真子集． 证明条件（l）蕴涵（2）:设（1）成立．令A和B是X中的两个非空的隔离子集使得A∪B＝X，显然A∩B=，并且这时我们有 因此B是X中的一个闭子集；同理A也是一个X中的一个闭子集．这证明了集合A和B满足条件（2）中的要求． 条件（2）蕴涵（3）．如果X的子集A和B满足条件（2）中的要求，所以A、B为闭集，则由于这时有A＝和B=，因此A、B也是开集，所以A 和B也满足条件（3）中的要求．
影视鉴赏 影视概说 1 【单选题】（A）属于纪实感很强的电影。 A、《三峡好人》 B、《英雄》 C、《小时代》 D 、《杜拉拉升职记》2 【单选题】（B）类电影尤其具有“窗户”功能。 A 、幻想风格 B、现实风格 C、惊悚风格 D 、喜剧风格3 【判断题】从某种角度上来说，贾樟柯的电影具有社会活化石的作用。（V） 4 【判断题】电影可以说就是我们的生活，已经成为了我们生活的一部分。（V） 电影就是我们的生活 1 【单选题】关于电影《摇尾狗》，下列说法错误的是（D）。 A、影片内容是总统如何利用影像的力量影响公众 B、这是一部美国电影 C、影片反思了影像与现实间的关系 D、影片采用了纪实的表现方式 2 【单选题】理论家波德里亚认为电影与现实的关系不包括（A）。 A、影像以符号的形式包围着现实 B、影像是现实的反映 C、影像掩盖真实的不在场 D、影像掩盖和篡改现实 3 【判断题】《西蒙妮》讲述的是导演通过电脑技术虚拟出一位完美男主角的故事。（X）4 【判断题】电影就像镜子，因为我们会把电影里的人生和自己进行比较。（V） “影像文化”及其革命性意义 【单选题】根据麦克卢汉提出的“一切媒体都是人体延伸”的观点，电影是人类（A）的延伸。
A、想象 B、触觉 C、视觉 D、听觉 2 【判断题】电影所代表的形象思维，会与逻辑思维相互对立并互补。所以一般形象思维比较好的人逻辑思维就比较差。（X） 3 【判断题】好莱坞电影中“奇观化”法则指的是电影要表现出现实生活中难得一见的东西。（V）4 【判断题】电影具有艺术特质，但不完全等同于艺术的产物，其还会受到技术、市场规律等影响。（V） 影视文化的负面价值 1 【单选题】面对当今的电影，我们应该反思和批判的是（D）。 A、意识形态欺骗性 B、电影的平面化、单面化问题 C、媒体的强势话语霸权 D 、以上都对 2 【单选题】关于“摄影机如自来水”，下列说法有误的是（B）。 A、它是电影理论史上非常有名的一句话。 B、这句话主要是强调摄影师对电影创作的重要性。 C、由法国电影理论家阿斯特吕克提出。 D、意思是运用摄影机语言漂亮流畅地表达思想，叙述故事。 3 【单选题】只有电影（A）的时候，电影才开始被看成是艺术的。 A、有自己的语言方式 B、具有戏剧性 C、被社会大众接受 D 、成为全方位的欣赏 4 【单选题】根据库勒的“游戏冲动说”，能够缓和感性和理性冲动间矛盾的游戏是（B）。 A、阅读和体验 B、艺术创造 C、社会交往 D、辩证思维 5 【多选题】电影中属于文学性的是（BCD）。 A、舞蹈设计 B、对话设计
运筹学基础及应用习题解答 z 3。 (b) 用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解。 (a)约束方程组的系数矩阵 12 3 6 3 0 A 8 1 4 0 2 3 0 0 0 0 基基解是否基可行解目标函数值 X1 X2 X3 X4 X5 X6 P1 P2 P3 16 3 7 -6 0 0 0 否 P1 P2 P4 0 10 0 7 0 0 是10 P1 P2 P5 0 3 0 0 7 2 是 3 习题一P46 x i 1 -的所有X i,X2，此时目标函数值
o (b)约束方程组的系数矩阵 A 12 3 4 A 2 2 12 ⑻ (1)图解法 基 基解 是否基可行解 目标函数值 X 1 X 2 X 3 X 4 P 1 P 2 4 11 否 "2 P 1 P 3 2 0 11 0 是 43 5 ~5 ~5 P 1 P 4 1 11 否 — 3 6 P 2 P 3 1 2 是 5 2 P 2 P 4 1 否 2 2 P 3 P 4 0 0 1 1 是 5
max z 10x 1 5x 2 0x 3 0x 4 3x i 4X 2 X 3 st. 5x 1 2x 2 x 4 8 9 8 1 2。 min —,— — 5 3 5 C j 10 5 0 0 C B 基 b X 1 X 2 X 3 X 4 21 14 3 0 X 3 — 1 — "5" 5 5 8 2 1 10 X 1 1 C j 10 5 0 0 C B 基 b X 1 X 2 X 3 X 4 0 X 3 9 3 4 1 0 0 X 4 8 [5] 2 0 1 C j Z j 10 5 令 X i X 2 0,0,9,8，由此列出初始单纯形表 最优解即为3x1 4x2 9的解x 5x 1 2x 2 8 1,-，最大值z 竺 2 2 (2)单纯形法 首先在各约束条件上添加松弛变量, 将问题转化为标准形式 则P 3，P 4组成一个基。 得基可行解x
！！！！！！！！！！！！ 第3章子空间（有限）,积空间，商空间在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法．为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在§3.2中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去作． §3.1子空间 本节重点：掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念，子空间的拓扑与大空间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集之间的关系及表示法． 讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集，按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立的对象进行考察．所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题，我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发． 考虑一个度量空间和它的一个子集．欲将这个子集看作一个度量空间，必须要为它的每一对点规定距离．由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点，因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分自然的．我们把上述想法归纳成定义： 定义3.1.1 设（X，ρ）是一个度量空间，Y是X的一个子集.因此，Y×Y X×X．显然：Y×Y→R是Y的一个度量（请自行验证）．我们称Y的度量，是由X的度量ρ诱导出来的度量.度量空间（Y，ρ）称为度量空间（X，ρ）的一个度量子空间．
我们常说度量空间Y是度量空间X的一个度量子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的度量是由X的度量诱导出来的．我们还常将一个度量空间的任何一个子集自动地认作一个度量子空间而不另行说明．例如我们经常讨论的：实数空间R中的各种区间（a，b），[a，b]，（a，b]等；n＋1维欧氏空间 中的 n维单位球面: n维单位开、闭球体: 以及n维单位开、闭方体和等等，并且它们也自然被认作是拓扑空间（考虑相应的度量诱导出来的拓扑）． 定理3.1.1 设Y是度量空间X的一个度量子空间．则Y的子集U是Y中的一个开集当且仅当存在一个X中的开集V使得U＝V∩Y． 证明由于现在涉及两个度量空间，我们时时要小心可能产生的概念混淆．对于x∈X（y∈Y），临时记度量空间X（Y）中以x（y）为中心以ε＞0为 半径的球形邻域为，. 首先指出：有=∩Y. 这是因为z∈X属于当且仅当z∈Y且(z,y)<ε. 现在设U∈，由于Y的所有球形邻域构成的族是Y的拓扑的一个基，U可以表示为Y中的一族球形邻域，设为A的并．于是
尔雅网课15年影视鉴赏课后答案1 电影具有“窗户”功能，尤其是（）类电影。 ? A 幻想风格 ? B 喜剧风格 ? C 惊悚风格 ? D 现实风格 2 电影就是我们的生活，已经成为我们生活的一部分。（） ? ? 3 某种角度上，贾樟柯的电影具有社会活化石的作用。（） ? ? 4 以下哪一部电影属于纪实感很强的电影？（） ? A 《杜拉拉升职记》 ? B 《英雄》 ? C 《三峡好人》 ? D 《小时代》
电影就是我们的生活 1 下列关于电影《摇尾狗》说法不正确的是（）。 ?A、这是一部美国电影 ?B、影片采用了纪实的表现方式 ?C、影片反思了影像与现实间的关系 ?D、影片内容是总统如何利用影像的力量影响公众 我的答案：B 2 下列关于电影与现实关系的说法中，不属于理论家波德里亚观点的是（）。 ?A、影像是现实的反映 ?B、影像掩盖和篡改现实 ?C、影像掩盖真实的不在场 ?D、影像以符号的形式包围着现实 我的答案：D 3 电影像镜子，是因为我们把电影里的人生和自己进行比较。（） 我的答案：√ 4 电影《西蒙妮》讲述了一个导演通过电脑技术虚拟出了一位完美男主角的故事。（）我的答案：× 电影就是我们的生活 1 根据麦克卢汉“一切媒介都是人体延伸”说，电影是人类（）的延伸。 ? A 视觉 ? B 听觉 ? C 想象 ? D 触觉
2 电影具有艺术的特质，但不完全是艺术的产物，它还受技术、市场规律等影响。（） ? ? 3 美国好莱坞电影的“奇观化”法则指电影要表现出现实生活当中难得一见的东西。（） ? ? 4 电影所代表的形象思维，它与逻辑思维相互对立和互补，因此一般形象思维好的人逻辑思维则比较差。（） ? ? 影视文化的负面价值 1 电影中不属于文学性的是（）。 ? A 人物关系设计 ? B 对话设计 ? C 舞蹈设计 ? D 故事设计 2
《点集拓扑学》第一章集合论初步本章介绍有关集合论的一些基本知识．从未经定义的“集合”和“元素”两个概念出发，给出集合运算、关系、映射以及集合的基数等方面的知识．至于选择公理，只是稍稍提了一下，进一步的知识待到要用到时再阐述．旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中。 这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”，如果对集合的理论有进一步的需求，例如打算研究集合论本身或者打算研究数理逻辑，可以去研读有关公理集合论的专著． 即令就朴素集合论本身而言，我们也无意使本章的内容构成一个完全自我封闭的体系，主要是我们没有打算重建数系，而假定读者了解有关正整数，整数，有理数，实数的基本知识，以及其中的四则运算，大小的比较(＜和?)，和实数理论中关于实数的完备性的论断（任何由实数构成的集合有上界必有上确界）等，它们对于读者决不会是陌生的．此外，对于通常的（算术）归纳原则也按读者早已熟悉的方式去使用，而不另作逻辑上的处理． §1.1集合的基本概念 集合这一概念是容易被读者所理解的，它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体．例如我们常说“正在这里听课的全体学生的集合”，“所有整数的集合”等等．集合也常称为集，族，类．
集合（即通常所谓的“集体”）是由它的元素（即通常所谓的“个体”构成的．例如正在这里听课的全体学生的集合以正在听课的每一个学生为它的元素；所有整数的集合以每一个整数为它的元素．元素也常称为元，点，或成员． 集合也可以没有元素．例如平方等于2的有理数的集合，既大于1又小于2的整数的集合都没有任何元素．这种没有元素的集合我们称 之为空集，记作．此外，由一个元素构成的集合，我们常称为单点集． 集合的表示法： （1）用文句来描述一个集合由哪些元素构成（像前面所作的那样），是定义集合的一个重要方式． （2）描述法：我们还通过以下的方式来定义集合：记号 {x|关于x的一个命题P} 表示使花括号中竖线后面的那个命题P成立的所有元素x构成的集合．例如，集合{x|x为实数，并且0 度量空间与连续映射2章第 它们的定义域和值域从数学分析中已经熟知单变量和多变量的连续函数，都是欧氏空间（直线，平面或空间等等）或是其中的一部分．在这一章中我们将连续首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间，然函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射（参见§2.1）．随给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射（参见§2.2）．后将两者再度抽象，后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域，闭包，内部，边界，基和子基，序列等等． 度量空间与连续映射§2.1 本节重点：掌握拓扑学中度量的概念及度量空间中的连续映射的概念．注意区别：数学分析中度量、连续映射的概念与本节中度量、连续映射的概念．应细细体会证明的方法．注意，在本节的证明中, R→Rf：首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义．函数，使＞00，存在实数δ∈R称为在点处是连续的，如果对于任意实数ε＞|x-得对于任何x∈R，当|f(x)-f()|<ε.在这个定义中只涉及时|<δ,有两个实数之间的距离（即两个实数之差的绝对值）这个概念；为了验证一个函而与实数的数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，其它性质无关，关于多元函数的连续性情形也完全类似．以下，我们从这一考. 察出发，抽象出度量和度量空间的概念 ，z∈X，，xy是一个集合，定义2.1.1 设Xρ：X×X→R．如果对于任何有页40 共** 页1 第 （1）（正定性），ρ(x,y)≥0并且ρ(x,y)＝0当且仅当x=y； （2）(对称性)ρ(x,y)=ρ(y,x)； （3）（三角不等式）ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z) 则称ρ是集合X的一个度量． 如果ρ是集合X的一个度量，称（X，ρ）是一个度量空间，或称X是一个对于ρ而言的度量空间．有时，或者度量ρ早有约定，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们称X是一个度量空间．此外，对于任意两点x，y ∈X，实数ρ(x，y)称为从点x到点y的距离． 着重理解：度量的本质是什么？ 例2.1.1 实数空间R． 对于实数集合R，定义ρ：R×R→R如下：对于任意x，y∈R，令 ρ（x，y）=|x-y|．容易验证ρ是R的一个度量，因此偶对（R，ρ）是一个度量空间．这个度量空间特别地称为实数空间或直线．这里定义的度量ρ，称为R 的通常度量，并且常常略而不提，迳称R为实数空间．（今后我们说实数空间，均指具有通常度量的实数空间．） 维欧氏空间．例2.1.2 n对于实数集合R的n重笛卡儿积 ＝R×R×…×R 运筹学(胡运权)第五版课后答案-运筹作业 47页1.1b 用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解47页1.1d 无界解 1 2 3 4 5 4 3 2 1 - 1 -6 -5 -4 -3 -2 X2 X1 2x1- -2x1+3x 1 2 3 4 4 3 2 1 X1 2x1+x2=2 3x1+4x2= X 1.2（b） 约束方程的系数矩阵A= 1 2 3 4 2 1 1 2 P1 P2 P3 P4 基 基解 是否可行解目标函数值X1 X2 X3 X4 P1 P2 -4 11/2 0 0 否 P1 P3 2/5 0 11/5 0 是43/5 P1 P4 -1/3 0 0 11/6 否 P2 P3 0 1/2 2 0 是 5 P2 P4 0 -1/2 0 2 否 P3 P4 0 0 1 1 是 5 最优解A=(0 1/2 2 0)T和(0 0 1 1)T 49页13题 设Xij为第i月租j个月的面积 minz=2800x11+2800x21+2800x31+2800x41+4500x12+4500x22+4500x32+6000x1 3 +6000x23+7300x14 s.t. x11+x12+x13+x14≥15 x12+x13+x14+x21+x22+x23≥10 x13+x14+x22+x23+x31+x32≥20 x14+x23+x32+x41≥12 Xij≥0 用excel求解为： ( ) 用LINDO求解： LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION V ALUE 2018年博士研究生招生考试参考书目 考试科目参考书目编著者出版社1001英语无 1002俄语无 1003日语无 1004德语无 2001马克思主义原理（含原著）原著部分参考书目：《共产党宣言》、《德意志意识形态》、《资本论》第1卷 2002运动生理学《运动生理学高级教程》田野高等教育出版社2003年 2003中外文论《中国美学史大纲》叶朗 北京大学出版社1985年 版 《当代文学理论导读》 【英】拉曼·塞 尔登等著；刘象 愚译 北京大学出版社2006年 版 《理论是什么——文学理论反思 研究》 邢建昌人民出版社2011年 2004汉语言文字学（综合卷）《中国语言学史》王力 复旦大学出版社2014年 版 《汉语音韵学》王力中华书局2014年版 《汉语语法分析问题》吕叔湘商务印书馆1979年版《汉语词汇学史》符淮青 外语教育与研究出版社， 2012年版 2005文史综合《中国文学史》袁行霈 高等教育出版社2005年 版 《中国通史》吕思勉 上海古籍出版社2009年 版 《中国文献学》张舜徽 上海古籍出版社2006年 版 2006中国现当代文学与文论无 2007中国考古学《中国大百科全书·考古卷》夏鼐等 大百科全书出版社 1986 年版 《新中国的考古发现和研究》社科院考古所文物出版社 1984年版《新中国考古五十年》 文物编辑委员 会 文物出版社 1999年版 2008中国古代史无2009中国近现代史无 2010专业综合一（点集拓扑、近世代数、泛函分析）《点集拓扑讲义》（第四版）熊金城高等教育出版社，2011 《近世代数基础》（修订本）张禾瑞高等教育出版社，2010 《泛函分析讲义》（上册） 张恭庆 林源渠 北京大学出版社，1987 2011专业综合二（概率论、模式识别、泛函分析）《概率论与数理统计教程》 （第二版） 魏宗舒高等教育出版社，2008 《模式识别》（第三版）张学工清华大学出版社，2010 《泛函分析讲义》（上册） 张恭庆 林源渠 北京大学出版社,1987 2012量子力学《量子力学》周世勋高等教育出版社，2005年 2013地理科学导论《地理学：科学地位与社会功能》蔡运龙陈彦光 阙维民等 科学出版社 （2012年第一版） 2014植物学《植物学》马炜梁主编高等教育出版社 2015分子生物学《分子生物学》（第四版）朱玉贤编高等教育出版社 2016高级生态学《现代生态学》戈峰科学出版社（第二版） 2017医学分子生物学《医学分子生物学》药立波主编人民卫生出版社（第三版） 3001国际政治理论《国际政治学概论》李少军上海人民大学出版社，2005年版，2009年10月 一、证明下列是否为拓扑 1、Tf={U包含于X|X-U有限}∪{空集} 满足①全集、空集包含于Tf ②任意A、B∈Tf 若A、B中有一个为空集，A∩B=空集∈T。若不是，（A∩B）′=A′∪ B′，A∪B∈T ③设T1∈T，令T2=T1-{空集}。显然有∪A∈T1(A)=∪A∈T2(A).如果T2=空集，则∪A ∈T1(A)=∪A∈T2(A)=空集∈T。设T2≠空集。任取A0∈T2.这时（∪A∈T1(A)）′=（∪A∈T2(A)）′=∪A∈T2(A′)∈A0′是X的一个有限子集，所以∪A∈T1(A) ∈T。所以为拓扑。 2、Tc={U包含于X|X-U可数}∪{空集} 3、T∞={U包含于X|X-U无限}∪{空集}∪{X} 二、计算实值标准拓扑R子空间Y=（0，1]，子集（0.1/2）=A。求A在Y、R中的闭包、内 部。 Y中：闭包（0,1/2].内部（0，1/2） R中：闭包[0,1/2].内部（0，1/2） 三、A包含于Y，Y包含于X，为闭子空间。若A包含于Y则A为X中闭集。 Y包含于X闭，所以存在X中闭集B使得A=Y∩B（子空间闭集定义），所以Y包含于X 闭，所以A为X中闭集。 四、设A、B、Aa包含于X，证明：1、A包含于B=A的闭包包含于B的闭包。2、A∪B= A∪B。 3、∪Aa包含∪Aa。 1、 五、X、Y有子集A包含于X，B包含于Y，则A*B=A*B 六、R:K={1/n|n∈R+}求在T1、T2、T3、T4、T5中的闭包。 f（A）。4、任意B包含于Y，f-1（B）包含f-1（B）。5、任意B包含于Y，f-1（B°） 包含于（f-1（B））°证明1~5等价。 八、连续的满的闭映射为商映射。 1、1 影视鉴赏引言（一） 《虚拟偶像》是下面哪一部电影的另外一个名字：（） 运筹学基础及应用 习题解答 习题一 P46 1.1 (a) 该问题有无穷多最优解，即满足2 1 0664221≤≤=+x x x 且的所有()21,x x ，此时目标函数值3=z 。 (b) 用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解。 1.2 (a) 约束方程组的系数矩阵 ???? ? ??--=1000030204180036312A 4 最优解()T x 0,0,7,0,10,0=。 (b) 约束方程组的系数矩阵 ? ?? ? ??=21224321A 最优解T x ??? ??=0,511,0,5 2。 1.3 (a) (1) 图解法 最优解即为?? ?=+=+82594321 21x x x x 的解??? ??=23,1x ，最大值235=z (2)单纯形法 首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式 ???=++=+++++=8 25943 ..00510 max 421321 4321x x x x x x t s x x x x z 则43,P P 组成一个基。令021==x x 得基可行解()8,9,0,0=x ，由此列出初始单纯形表 21σσ>。5 839,58min =?? ? ??=θ 02>σ，23 28,1421min =??? ? ?=θ 0,21<σσ，表明已找到问题最优解0 , 0 , 2 3 1,4321====x x x x 。最大值 2 35*=z (b) (1) 图解法 最优解即为?? ?=+=+5 24262121x x x x 的解??? ??=23,27 x ，最大值217=z (2) 单纯形法 首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式 1234523124125 max 2000515.. 6224 5z x x x x x x x s t x x x x x x =+++++=?? ++=??++=? 21=+x x 2621+x x 第3章子空间（有限）,积空间，商空间在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法．为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在§3.2中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去作． §3.1子空间 本节重点：掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念，子空间的拓扑与大空间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集之间的关系及表示法． 讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集，按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立的对象进行考察．所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题，我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发． 考虑一个度量空间和它的一个子集．欲将这个子集看作一个度量空间，必须要为它的每一对点规定距离．由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点，因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分自然的．我们把上述想法归纳成定义： 定义3.1.1 设（X，ρ）是一个度量空间，Y是X的一个子集.因此，Y×Y X×X．显然：Y×Y→R是Y的一个度量（请自行验证）．我们称Y的度量，是由X的度量ρ诱导出来的度量.度量空间（Y，ρ）称为度量空间（X，ρ）的一个度量子空间． 我们常说度量空间Y是度量空间X的一个度量子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的度量是由X的度量诱导出来的．我们还常将一个度量空间的任何一个子集自动地认作一个度量子空间而不另行说明．例如我们经常讨论的：实数空间R中的各种区间（a，b），[a，b]，（a，b]等；n＋1维欧氏空间 中的 n维单位球面: n维单位开、闭球体: 以及n维单位开、闭方体和等等，并且它们也自然被认作是拓扑空间（考虑相应的度量诱导出来的拓扑）． 定理3.1.1 设Y是度量空间X的一个度量子空间．则Y的子集U是Y中的一个开集当且仅当存在一个X中的开集V使得U＝V∩Y． 证明由于现在涉及两个度量空间，我们时时要小心可能产生的概念混淆．对于x∈X（y∈Y），临时记度量空间X（Y）中以x（y）为中心以ε＞0为 半径的球形邻域为，. 首先指出：有=∩Y. 这是因为z∈X属于当且仅当z∈Y且(z,y)<ε. 现在设U∈，由于Y的所有球形邻域构成的族是Y的拓扑的一个基，U可以表示为Y中的一族球形邻域，设为A的并．于是 【800份热门课后习题答案大全】 ▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆ 熊金城点集拓扑讲义第六章答案分离性公理 https://www.doczj.com/doc/ea13941902.html,/html/lxda/2010/0522/2447.html 刘振鹏《操作系统》习题答案 https://www.doczj.com/doc/ea13941902.html,/html/lxda/2010/0519/2397.html 《编译原理》答案蒋立源 https://www.doczj.com/doc/ea13941902.html,/html/lxda/2010/0519/2393.html 陈火旺《编译原理》课后习题答案 https://www.doczj.com/doc/ea13941902.html,/html/lxda/2010/0519/2390.html （简明版）Visual FoxPro及其应用系统开发习题答案 https://www.doczj.com/doc/ea13941902.html,/html/lxda/2010/0519/2387.html 谭浩强《Visual FoxPro及其应用系统开发》课后答案 https://www.doczj.com/doc/ea13941902.html,/html/lxda/2010/0519/2384.html 刘卫国《Visual FoxPro程序设计教程》习题答案 https://www.doczj.com/doc/ea13941902.html,/html/lxda/2010/0519/2381.html 《SQL SERVER 2005 数据库开发与实现》课后答案微软公司 https://www.doczj.com/doc/ea13941902.html,/html/lxda/2010/0519/2379.html 21世纪大学实用英语第二册课后翻译答案UNIT3 https://www.doczj.com/doc/ea13941902.html,/html/lxda/2010/0519/2372.html 21世纪大学实用英语第二册课后翻译答案 https://www.doczj.com/doc/ea13941902.html,/html/lxda/2010/0519/2369.html 有机化学第二版课后习题答案王积涛 https://www.doczj.com/doc/ea13941902.html,/html/lxda/2010/0519/2365.html 徐寿昌有机化学第二版课后习题答案第8章 https://www.doczj.com/doc/ea13941902.html,/html/lxda/2010/0516/2338.html NEIE全新版视听说4网络版答案 https://www.doczj.com/doc/ea13941902.html,/html/lxda/2010/0515/2330.html NEIE全新版视听说3答案 https://www.doczj.com/doc/ea13941902.html,/html/lxda/2010/0515/2329.html NEIE全新版视听说2网络版答案 https://www.doczj.com/doc/ea13941902.html,/html/lxda/2010/0515/2328.html C程序设计（第二版）答案谭浩强 https://www.doczj.com/doc/ea13941902.html,/html/lxda/2010/0512/2210.html 谭浩强《C程序设计》（第三版）习题答案 https://www.doczj.com/doc/ea13941902.html,/html/lxda/2010/0512/2206.html 吕凤翥《C++语言程序设计教程》习题解答 https://www.doczj.com/doc/ea13941902.html,/html/lxda/2010/0512/2202.html 李椿《热学》课后答案 https://www.doczj.com/doc/ea13941902.html,/html/lxda/2010/0510/2103.html 《热力学·统计物理》习题答案汪志诚 https://www.doczj.com/doc/ea13941902.html,/html/lxda/2010/0510/2097.html 运筹学[胡运权]第五版课后 答案,运筹作业 -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 47页1.1b 用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解47页1.1d 无界解 1.2（b） 约束方程的系数矩阵 A= 1 2 3 4 ( ) 2 1 1 2 P1 P2 P3 P4 最优解A=(0 1/2 2 0)T和(0 0 1 1)T 49页13题 设Xij为第i月租j个月的面积 minz=2800x11+2800x21+2800x31+2800x41+4500x12+4500x22+4500x32+6000x13 +6000x23+7300x14 s.t. x11+x12+x13+x14≥15 x12+x13+x14+x21+x22+x23≥10 x13+x14+x22+x23+x31+x32≥20 x14+x23+x32+x41≥12 Xij≥0 用excel求解为： 用LINDO求解： LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 118400.0 VARIABLE VALUE REDUCED COST Z 0.000000 1.000000 X11 3.000000 0.000000 X21 0.000000 2800.000000 X31 8.000000 0.000000 X41 0.000000 1100.000000 X12 0.000000 1700.000000 X22 0.000000 1700.000000 X32 0.000000 0.000000 X13 0.000000 400.000000 X23 0.000000 1500.000000 X14 12.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 -2800.000000 3) 2.000000 0.000000 4) 0.000000 -2800.000000 5) 0.000000 -1700.000000 NO. ITERATIONS= 3 答若使所费租借费用最小，需第一个月租一个月租期300平方米，租四个月租期1200平方米，第三个月租一个月租期800平方米， § $ 1 ?fi? (1) §1.1 $3 (1) §1.2 $#$ (1) §1.3§fi (5) §1.4§'§fi (6) §1.5$‰ (6) §1.6*t%#$ (9) §1.7a .,fla ., 9 §1.8???3 (10) $2?@fl67fl?:$‰ (12) §2.1<67fl?:$‰§2.2@fl67fl?:$‰ (12) (15) §2.3=>fl=>fi (16) §2.4fl,‰,‰￠ (16) §2.5?C,4E (18) §2.6fl? (21) §2.7@fl67?§fi (23) $ 3 ? L67,M67 (26) §3.1?67 (26) §3.2($)L67 (28) §3.3M67 (31) $ 4 ??N? (35) §4.1?N67 (35) §4.2?N?$‰RS T$ (38) §4.3?N y@ (40) §4.4C?N67§4.5‰Z?N67 (41) (42) $5?$§a.??3 (44) §5.1$—fl$=a.??3 (44) §5.2ay67 (46) §5.3L i nd e l o¨ f67 (47) $ 6 ?y$??3 (49) §6.1T,T,H a u z d o r f67 (49) §6.2fl^,flfi,T,T67 (51) §6.3U r y z o hn fl3aT i e t z e flfl?3 (53) I ?fl (76) # §6.4yK fl^67,T y s h o n o f67 (54) §6.5y$??3fl?67,( L67aM67 (55) §6.6 (57) $ 7 ?hi? (58) §7.1hi67 (58) §7.2hi?fly$??3 (59) §7.3n‰fi?67R? hi ? (60) §7.4fi?hi??t%7 §fi (61) §7.5<67? hi? (63) §7.6Chi67,fihi67 (64) $ 8 ?yq <67 (66) §8.1 (66) §8.2<67yq?fl hi?,B a i r e?3 (67) $ 9 ?L67 (69) §9.1 * $?"L (69) §9.2L67 (69) §9.3aL @fl?u (72) §9.4T y s h o n o f v L?3 (74) §9.5@fl67flfifl ?z$ (75) $ 10 ?$‰67 (76) §10.1Afi~?@fl (76) §10.2—i~? 《点集拓扑学》教学大纲 课程名称：《点集拓扑学》Point Set Topology 课程性质：数学与应用数学专业必修课 学时数：36 教材:《点集拓扑讲义》熊金城编著.高等教育出版社, 2011年12月第4版. 主要参考书： 《点集拓扑学》徐森林编著，高等教育出版社，2007年7月第1版. 《基础拓扑学》胡适耕编著，华中科技大学出版社，2007年8月第1版. 《基础拓扑学讲义》尤承业编著，北京大学出版社，1997年11月第1版. 《拓扑学》 [美] 芒克里斯编著，熊金城等翻译，机械工业出版社，2006年4月第1版. 授课方式：课堂讲授为主 所属院系：数学学院数学与应用数学系 课程基础：《数学分析》、《实变函数论》 一、课程简介 拓扑学是近代数学的三大基础之一，是研究抽象空间的理论的一门学科，它具有高度的概括性和抽象性.点集拓扑学产生于19世纪.G.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果.1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始. 泛函分析的兴起，希尔伯特空间和巴拿赫空间的建立，促进了把点集当作空间来研究.数学分析研究的中心问题是极限，而收敛与连续又是极限的基本问题.为把收敛与连续的研究推广到一般集合上，需要在一般集合上描述与点或与集合“邻近”的概念.如何描述“邻近”，可以用“距离”，但“距离”与“邻近”并无必然的联系.1914年F.豪斯道夫开始考虑用“开集”来定义拓扑.对一个非空集合X，规定X的每点有一个包含此点的子集作成的子集族，满足一组开集公理（即仿照欧几里得空间邻域所具特性给出的一组性质）.该子集族中的每个集合称为这点的一个邻域，这就给出了X的一个拓扑结构，X连同此拓扑结构称为一个拓扑空间. X的每点有邻域，故可研究一点的邻近，由此可仿照微积分的方法定义两个拓扑空间之间的连续映射的概念.若一个映射连续，且存在逆映射，逆映射也连续，则称此映射为同胚映射.具有同胚映射的两个拓扑空间称为同胚的（直观地说即两个空间相应的图形从一个可连续地形变为另一个）.要证明两个空间同胚，只要找到它们之间的同胚映射即可.在欧几里得直线上，作为子空间，两个任意的闭区间同胚；任意两开区间同胚；半开半闭的区间[c,d)与[a,b)同胚；二维球面挖去一个点S2－p与欧几里得平面K2同胚. 要证明两个拓扑空间不同胚，需证明它们之间不存在同胚映射.方法是找同胚不变量或拓扑不变性（即在同胚映射下保持不变的性质）；第一个空间具有某同胚不变量，另一个空 紧致性第7章 7.1 紧致空间§ 本节重点：（这些方法哪些掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法． 是充要条件）；掌握紧致性是否是连续映射可保留的，是否是可遗传的、有限可积的． 中，我们用关于开覆盖和子覆盖的术语刻画了一类拓扑空间，即在§5.3空间定义中的“可数LindeloffLindeloff空间．现在来仿照这种做法，即将子覆盖”换成“有限子覆盖”，以定义紧致空间．读者在数学分析中早已见过的任何一个子集为有界闭集的充分必R的Heine－Borel定理断言：实数空间中我们将要推广要条件是它的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖．（在§7.3 这个定理．）因此我们现在作的事也应当在意料之中． 的每一个开覆盖有一个有限子X7.1.1 设X是一个拓扑空间．如果定义 X是一个紧致空间．覆盖，则称拓扑空间空间．但反之不然，例如包含着Lindeloff明显地，每一个紧致空间都是空间，但它不是一个紧致空间．无限但可数个点的离散空间是一个Lindeloff 不是一个紧致空间．这是因为如果我们设实数空间R例7.1.1 AA）R|b∈Z+},则的任何一个有限子族，＝{（－nn 由于它的并为{ }, }) (-max{},max{ 1 A的开覆盖没有任何一个有限子覆盖．R的一个子覆盖．因此R所以不是 的X中的一个子集,如果Y作为定义7.1.2 设X是一个拓扑空间，Y是X 的一个紧致子集．子空间是一个紧致空间，则称Y是拓扑空间X 的紧致子集意味着每一个由子X拓扑空间X中的一个子集Y是根据定义，这并不明显地意味着由的开覆盖有一个有限子覆盖，空间Y中的开集构成的Y的覆盖都有有限子覆盖．所以陈述以下定理是必要YX中的开集构成的每一个的． 的一XX中的一个子集．则Y是X定理7.1.1 设是一个拓扑空间，Y是此的覆盖都有有限子覆盖．（个紧致子集当且仅当每一个由X中的开集构成的Y定理表明开覆盖中的开子集可以是X的，也可以是Y的） A是Y,中的一个紧致子集的一个覆盖，它证明必要性设Y是拓扑空间X A}也是中的开集构成．则容易验证集族Y由X的一个覆盖，它A有一个有限子覆盖，设为由Y中的开集构成．因此 A的有限子族覆盖Y{},于是． 充分性，假定每一个由X的开集构成的Y的覆盖都有一个有限子覆盖．设AA存在X中的一个中的开集构成．则对于每一个A∈的一个覆盖，是Y它由Y 问题三： 1． 可分拓扑空间的子空间不一定是可分的。 答：可分拓扑空间的商空间必定可分。可分拓扑空间的开子空间也一定可分。但是，可分拓扑空间的闭子空间未必可分。证明和反例如下： （1） 可分拓扑空间的商空间必定可分。 设X 是拓扑空间，～是X 上的等价关系，A 是X 的可数稠密子集，则A X =。令{[]|}B x x A =∈，则B 是可数集，下证X B =～。事实上，[]X x ?∈～，对[]x 的任意一个开邻域U ，有1()p U ?是x 的开邻域，于是1()p U A ?≠?∩。设1()y p U A ?∈∩，则[]y U B ∈∩，故U B ≠?∩，于是[]x B ∈，从而X B =～。所以X ～可分。 （2） 可分拓扑空间的开子空间也一定可分。 设X 是拓扑空间，C 是X 中的非空开集，A 是X 的可数稠密子集，则A X =。令B A C =∩，则B 是可数集，下证B C =。事实上，x C ?∈，对x 的任意一个开邻域U （在C 中），U 也是x 在X 中的开邻域，从而U C ∩是x 在X 中的开邻域。因A X =，故()U C A ≠?∩∩，于是 ()U B U C A =≠?∩∩∩，故x B ∈，所以B C =。故C 是可分空间。 （3） 可分拓扑空间的闭子空间未必可分。 反例：设X 为不可数集，p X ∈。命X 的开集为?以及含有点p 的任意子集。易见，单点集{}p 在X 中稠密，从而X 可分。又，{}X p ?是X 的闭子空间，因X 不可数，{}X p ?中的任意一个子集既是开集，又是闭集，故{}X p ?不可分。 2． 设X 是拓扑空间，,A B 为X 的非空闭子集，A B ∪和 A B ∩连通，则A 和B 连通。 证：假设A 不连通，则存在A 的非空闭子集1A 和2A 使得12A A A =∪，12A A =?∩。而 1212()()()A B A A B A B A B ==∩∪∩∩∪∩ 因A B ∩连通，1A B ∩和2A B ∩都是A B ∩的闭子集，且12()()A B A B =?∩∩∩，于是1A B ∩和2A B ∩中至少有一个是空集，不妨设1A B =?∩。 1212()()A B A A B A A B ==∪∪∪∪∪， 12121()()()A A B A A A B ==?∩∪∩∪∩ 于是A B ∪可以分解成两个互不相交非空闭集的并，完整word版点集拓扑讲义学习笔记
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影视鉴赏(尔雅通识课)第一二章
1
下面哪一部是折射隐喻现实的电影：（）
? ? ? ?
A、《神话》 B、《阿甘正传》 C、《后窗》 D、《淘金记》 正确答案： C
2
陈旭光提出电影鉴赏的最高境界是艺术修养等思维能力的养成。 正确答案：√
3
素质教育通选课主要是传授某种知识，并不在于思想的传播。 正确答案：×
4
陈旭光提出的电影鉴赏的层次、境界有几个：（）
? ? ? ?
A、6 个 B、5 个 C、4 个 D、3 个 正确答案： D
5
通选课的教学宗旨，不是重在启发思想，培养自主学习和创新的能力和素质，而是重在传授 某种专门的知识。 正确答案：×
1、2 影视鉴赏引言（二）
1
? ? ? ?
A、《阿凡达》 B、《西蒙尼》 C、《黑客帝国》 D、《摇尾狗》 正确答案： B
2
美国电影《摇尾狗》是以海湾战争为背景题材的。 正确答案：×
3
“不是艺术摹仿生活，而是生活摹仿艺术”源自于：（）
? ? ? ?
A、莎士比亚 B、王尔德 C、培根 D、海明威 正确答案： B
4
陈旭光提出的电影鉴赏的关键词不包括下列哪个词：（）
? ? ? ?
A、窗户 B、镜子 C、房子 D、梦 正确答案： C
5
电影是梦或神话，比如《淘金记》《甲方乙方》《小五》等作品均体现了这点。 正确答案：×
1、3 影视鉴赏引言（三）
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