高一期末复习知识点回顾
必修一
一、集合
1、集合的概念：
（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；
例1 已知{}
2,2A k k =-，求实数k 的取值范围。（利用集合元素的互异性解题） （2）集合的分类：
①按元素个数分：有限集，无限集；
②按元素特征分；数集，点集。如数集2{}y y x =，表示非负实数集，点集2{(,)}x y y x =表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线；
（3）集合的表示方法：列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如{0,1,2,}N =；描述法（{}P P 满足的条件）
、图示法 特殊集合的表示：自然数集（非负整数集）：N ；正整数集：*
N N +或； 有理数集：Q ；实数集：R 2．集合的三种关系：①元素与集合：∈?，
②集合与集合：??刭，
或,或= ③相等关系：,A B B A A B ??=且则
φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
例2 已知集合{
}
{}
2
230,10A x x x B x ax =--==-=，若B A ?，求a 的值。 （;B A A
B B A B A ??=?= 注意：讨论的时候不要遗忘了B φ=的情况）
3．集合的三种运算：交集、并集、补集 （1）交，并，补的定义： ①交集：{,}A
B x x A x B =∈∈且，
A
B
A B
A B
②并集：{,}A
B x x A x B =∈∈或，
A
B
A
B
A B
③ 补集：{,}U C A x x U x A =∈?且，集合U 表示全集
A
U C U A
（2）运算律：)()()(C A B A C B A = )()()(C A B A C B A =
)()()()()()(B C A C B A C B C A C B A C U U U U U U ==
)()()()(B A Card B Card A Card B A Card -+=
（3）学会画Venn 图，并会用Venn 图来解决问题。 4．说明：
（1）解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{}x x P ∈,要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题
（2）注意空集?的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A B ?,则有A =?或A ≠?两种可能，此时应分类讨论
例3 设全集 U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，A = {3，4，5} B = {4，7，8}, 求：（C U A ）∩(C U B), (C U A)∪(C U B), C U (A ∪B), C U (A ∩B).
例4 （1）设{}{}
12,13A x x B x x =-<≤=<≤，求
A B A B 与
（2）设{}{}1,1A x x B x x =>-=≥，求A B A B 与 （3）设{
}
{
}
1,1A x x B x x =>-=≤，求
A B A B 与
例5 已知{}{}
3,15A x a x a B x x x =≤≤+=<->或 （1）若A
B =?，求a 的取值范围；
（2）若A B B =，求a 的取值范围。 5．若集合A 含有n 个元素，则集合A 的子集的个数为2n
个，非空子集的个数为21n
-个，真子集的个数为21n
-个，非空真子集的个数为22n
-个。
二、函数
1、函数的有关概念 （1）函数的概念
设,A B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个
数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为集合A 到集合
B 的一个函数，记作(),y f x x R =∈。
其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做定义域，与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{()}f x x A ∈叫做函数的值域。 （2）映射的概念
设,A B 是非空的集合，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为集合A 到集合
B 的一个映射。
（3）函数的三要素：定义域、值域、对应法则 例1（1） ①y x =;
②y =
③2y =;④
⑤3y =以上函数中与y x
=是同一函数的是 （2
）y y =
=
（4）函数的表示法
①解析法：用一个或几个表达式表示（换元法、配凑法、待定系数法） ②列表法：用表格表示 ③图像法：用图像表示
例4（1）已知()21f x x =-，求(1)f x +；（2）已知(1)21f x x +=+，求()f x 例5已知()f x 是一次函数，且[()]41f f x x =-，求()f x 的解析式。 例6 已知(1)21f x x +=-，求(2)f （5）分段函数：
例7设函数22,(,1]
()1,(1,)
x x f x x x
?∈-∞?
=?∈+∞??，则满足41)(=x f 的x 值为 。
2、定义域
（1）由表达式决定的定义域： 常见情况有：①
()
()
f x
g x 要求()0g x ≠
；②要求()0f x ≥；③0[()]f x 要求
()0f x ≠；④()log ()f x g x 要求()0f x >且()1f x ≠，()0g x >；⑤t a n ()
f x 要求()()
2
f x k k Z π
π≠
+∈；⑥[()]n
f x -要求()0f x ≠ （2）人为规定的定义域：
如函数2
(0)y x x =<，定义域为{0}x x <，而不是R （3）有实际意义限定的定义域：
自变量有实际意义时，还需考虑其实际意义。如圆的面积2
s r π=中，其定义域为
{0}r r >，而不是R
注意：（1）求函数定义域时，不能化简！ （2）定义域要用集合或区间表示！ 例2求下列函数的定义域 （1）)
34(log 1)(2
2-+-=
x x x f ；（2）4121
2-=--x y （4）复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复
合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。
例3（1）已知()f x 定义域为[]1,2，求(21)f x -的定义域； （2）已知(21)f x -的定义域为[]1,2，求()f x 的定义域。 3、求值域的常用方法;
（1）观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围
例（1） 2y =；（2）21(13)y x x =-+≤≤；
（2）单调性法：如果()f x 在[,]a b 上单调递增，则其值域为[(),()]f a f b ；如果()f x 在
[,]a b 上单调递减，则其值域为[(),()]f b f a 。如一次函数，形如(0)a
y x a x
=+>的函数。
例（1） []12
log (2,4)y x x =∈；（2）[]2(2,1)x
y x =∈--；
（3）换元法：形如y ax b =++(0)t t =≥，则2
t d x c
-=，
转化为关于t 的二次函数求值域；形如含有的结构的函数，可用三角换元，令
cos x a t =
求解。如()f x x =+
t =，化为2
1(0)y t t t =-++≥
；又如y x =cos (0)x θθπ=≤≤化为sin cos y θθ=+。
注意：换元必换限！ 例
2y x = ；
（4）反表示法：形如(0)cx d
y a ax b
+=
≠+，可以把y 关于x 的函数化为x 关于y 的函数。如221x y x -=
+，可化为212y x y +=-，由120y -≠，可求得y 的范围；再如1
1
x
x e y e -=+，可化为11x
y
e y
+=
-，利用x e 的有界性可求得y 的范围。 例（1）2
21
x y x -=+；（2）11x x e y e -=+
（5）配方法：试用于二次函数或可化为二次函数形式的函数。
注意：配方、画图、截段！
例（1）[]2
43(1,0)y x x x =-+∈-；（2）2
(sin )2sin 3y x x =-- ；
（6）判别式法：如2
1112
222
a x
b x
c y a x b x c ++=
++，其中12,a a 不全为0。
注意：用此方法求值域时函数的定义域一定要求为R ！
例 222342x x y x x
+-=+ ；
（7）不等式法：利用函数(0)k
y x k x
=+
>
在(,-∞
和)
+∞
上单调递增，在)??
和(
上单调递减来求解。
（8）求导法：当一个函数在定义域上可导时，可根据其导数求最值，再得值域；高次函数可用导数求值域。
（9）几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。 2、常见函数的值域：
（1）(0):y ax b a y R =+≠∈
（2）2
(0):y ax bx c a =++≠0a >时，2
4,4a c b y a
??
-
∈+∞??
????
；0a <时，
2
4,4ac b y a ??-∈-∞ ? ??
?
（3）(0):k
y k x
=≠{0}y y ≠
（4）(01):x
y a a a =>≠且{0}y y > （5）log (01):a y x a a =>≠且y R ∈ （6）sin ,cos :y x y x ==[1,1]y ∈- （7）tan :y x =y R ∈ （8）3
:y x =y R ∈
注意：值域要用集合或区间来表示 4．函数的简单性质： （一）单调性：
1、概念：设D 是函数()f x 定义域内的一个区间，
（1）()f x 是D 上的增函数12,x x D ??∈，1212()()x x f x f x
1212()[()()]0x x f x f x ?-->；
1212
()()
0f x f x x x -?
>-
（2）()f x 是D 上的减函数12,x x D ??∈，1212()()x x f x f x ； 1212()[()()]0x x f x f x ?--<； 1212
()()
0f x f x x x -?<-
2、单调函数图像的特点：
增函数的图像随x 的增大而上升；减函数的图像随x 的增大而下降。 3、单调函数的判定和证明：
（1）定义法：①取值：1212,,x x D x x ?∈<；②作差：12()()f x f x -；③化简：化简
12()()f x f x -为几个因式作积或作商的形式；④定号：判断12()()f x f x -的符号；⑤判断：
若12()()0f x f x -<，则为单调递增；若12()()0f x f x ->，则为单调递减。
（2）导数法：
①方法：一般地，对于函数()y f x =，如果在某个区间上'
()0f x >，那么()f x 为该区间上的增函数；如果在某区间上'
()0f x <，那么()f x 为该区间上的减函数。 ②求单调区间的步骤 （i ）求函数()f x 的定义域； （ii ）求导数'
()f x ；
（iii ）在函数定义域内解不等式'
'
()0()0f x f x ><或； （iv ）根据上述结果确定函数的单调区间 4、几个常用函数的单调性;
（1）(0)y ax b a =+≠：当0a >时在R 上单调递增；当0a <时在R 上单调递减。 （2）(0)k
y k x
=
≠：当0k >时，在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递增；当0k <时在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递减。
（3）2
(0)y ax bx c a =++≠：当0a >时，在,2b a ??-∞-
???上单调递减，在,2b a ??
-+∞????
上单调递增；当0a <时，在,2b a ?
?-∞-
???上单调递增，在,2b a ??
-+∞????
上单调递减。 （4）3
y x =：在R 上单调递增。
（5）(0,0)b
y ax a b x =+
>>：在,?-∞ ?和?+∞???上单调递增；在???????
和
? ?单调递减。 （6）(01)x
y a a a =>≠且：当1a >时在R 上单调递增；当01a <<时在R 上单调递减。 （7）log (01)a y x a a =>≠且：当1a >时在(0,)+∞上单调递增；当01a <<时在(0,)+∞上单调递减。 （8）
sin y x =：在[2,2]()2
2
k k k Z π
π
π
π-
++∈上单调递增；在
3[2,2]()22
k k k Z ππππ++∈
（9）cos y x =：在[2,2]()k k k Z πππ+∈上单调递增；在[2,22]()k k k Z ππππ++∈上单调递减。
（10）tan y x =：在(,
)()2
2
k k k Z π
π
ππ-++∈上单调递增。
5、单调函数的运算：
（1）增+增=增；减+减=减；增+减=不定 （2）-增=减；-减=增
（3）增-减=增；减-增=减；增-增=不定；减-减=不定 6、复合函数的单调性
（1）首先将原函数[()]y f g x =分解为基本函数：内函数()u g x =与外函数()y f u =；（2）分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；
（3）根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 7、注意：
（1）证明单调性要用定义法或导数法； （2）单调区间必须是定义域的子集；
（3）多个单调区间之间不能用“并集”符号，也不能用“或”联结； （4）单调区间不能用集合或不等式表示。
例8 已知2
()23f x x mx =-+，当[2,)x ∈-+∞时，()f x 为增函数，求m 的取值范
围。
例9 求函数21
23
y x x =++的单调区间。
（二）奇偶性：
1、概念：若函数()f x 的定义域为D
（1）()f x 是奇函数()()f x f x ?-=-?图像关于原点对称
()()0f x f x ?-+=（适用于对数式）
()
1()
f x f x -?
=-（适用于指数式） （2）()f x 是偶函数()()f x f x ?-=?图像关于y 轴对称
()()0f x f x ?--=（适用于对数式）
()
1()
f x f x -?
=（适用于指数式） 2、图像的特点：
奇函数的图像关于原点成中心对称；偶函数的图像关于y 轴成轴对称。 3、判定步骤：
法1：先看定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点对称，再求()f x -，看是否满足定义中的等式。
法2：图像法 4、说明：
（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要不充分条件．．．．．．．； （2）奇函数若在原点有意义，则必有(0)0f =；
（3）奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。
（4）函数()0f x =为既奇又偶函数。 5、运算：
（1）奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶 （2）奇?奇=偶；偶?偶=偶；奇?偶=奇
例10(1)已知()f x 是R 上的奇函数，在0x >时，2
()1f x x x =--，求()f x 的表达式； （2）已知5
3
()8f x x ax bx =++-，若(2)10f -=，求(2)f
例11已知奇函数()y f x =在定义域(1,1)-上是减函数，且(1)(12)0f a f a -+-<，求a 的取值范围
例12若22
()21
x x a a f x +-=+·为奇函数，则实数a =
5．函数图像
（一）图像的变化：由()y f x =得图像变化得到另外函数的图像 （1）平移变化：
（2）对称变化：
（3）翻转变化;
（4）伸缩变化：
（二）图像自身的对称
（1）若函数()y f x =满足()()f a x f b x +=- ，则()y f x =图像关于直线2
a b
x +=对称。
如，()y f x =满足(2)()f m x f x -=或()()f m x f m x +=-，则()y f x =图像关于直线x m =对称。
（2）若函数()y f x =满足(2)2()f m x n f x -=-，则()y f x =图像关于点(,)m n 对称。
（三）两个函数图像对称
（1）函数()y f x a =-与函数()y f a x =-的图像关于直线x a =对称；
（2）函数(0,1)x
y a a a =>≠与函数log (0,1)a y x a a =>≠的图像关于直线y x =对称。
（四）函数的周期性
(1)周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。
所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。
（2）三角函数的周期
①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；③π==T x y :tan ； ④|
|2:)cos(),sin(ωπ
?ω?ω=
+=+=T x A y x A y ；⑤||:tan ωπω==T x y ；
⑶函数周期的判定：①定义法（试值） ②图像法 ③公式法（利用（2）中结论） ⑷与周期有关的结论：
①已知条件中如果出现)()(x f a x f -=+、或)
(1
)(x f a x f =
+、或m x f a x f =+)()(（a 、m 均为非零常数，0>a ），都可以得出)(x f 的周期为a 2；
（五）说明：若函数()y f x =满足()()f x a f x b +=+，则()f x 的周期为b a - 6．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②对应形式是一对一，或多对一。 7．指数及其运算
（1）,,2)m
n
a m n Z n =∈≥ （2）1()p
p
a
p R a
-=
∈
（3）,,a n a n ?=?
?
为奇数
为偶数
（4）(0,,)p q p q
a a a
a p q R +?=>∈ （5）(0,,)p
q
p q
a a a
a p q R -÷=>∈
（6）()(0,,)p q
pq
a a a p q R =>∈ （7）()(0,0,)p p p
a b a b a b p R ?=?>>∈ （8）()(0,0,)p p p
a b a b a b p R ÷=÷>>∈ 8、指数函数
定义：(01)x
y a a a =>≠且
例14（1）函数2()
2
x x
y -=的单调递增区间是__________
（2）函数223
1()2
x x y -+=的值域为___________
9．对数及其运算 （1）定义：
log (0,1,0)b
a a N N
b a a N =?=>≠>
常用对数：10lg log N N =
自然对数：ln log e N N =，其中 2.71828e =是无理数常数
（2）性质：
①log 10(0,1)a a a =>≠ ②log 1(0,1)a a a a =>≠ ③lg 2lg51+=
④log log log ()(0,1,0,0)a a a M N M N a a M N +=?>≠>> ⑤log log log (0,1,0,0)a a a M
M N a a M N N
-=>≠>> ⑥log
log (0,1,0)m n
a a
n
b
b a a b m
=>≠> ⑦1
log (0,1,0,1)log a b b a a b b a
=
>≠>≠ ⑧log log (0,1,0,0,1)log c a c b
b a a b
c c a
=
>≠>>≠ ⑨log (0,1,0)a N
a N a a N =>≠>
10、对数函数
定义：log (01)a y x a a =>≠且
11．幂函数：
（1）定义：(y x α
α=为常数）
（2）性质与图像
（3）说明
（1）0α>时，图像都过(0,0),(1,1)点；0α<时，图像都过(1,1)点
（2）0α>时图像呈抛物线型且过原点，在[)0,+∞上是增函数；0α<时图像呈双曲线型，在()0,+∞上是减函数。
（3）1x >时，指数大的图像在上方；01x <<时，指数大的图像在下方。 12．二次函数：
（一）二次函数的解析式
（1）一般式：2
(0)y ax bx c a =++≠
（2）顶点式：2
24()(0)24b ac b
y a x a a a
-=++≠ （3）零点式(两根式)：12()()(0)y a x x x x a =--≠，（12,x x 是方程2
0ax bx c ++=的根） （二）二次函数2
(0)y ax bx c a =++>与二次方程、二次不等式之间的关系：
数
有相等两实根
（三）二次函数研究的四元素：开口、对称轴、顶点、与坐标轴的交点 （四）二次函数的最值问题：
2
()(0,[,])f x ax bx c a x m n =++>∈，设02b x a
=-
（1）当0x m ≤时，值域为[(),()]f m f n ； （2）当02
m n
m x +≤≤时，值域为0[(),()]f x f n ； （3）当
02
m n
x n +≤≤时，值域为0[(),()]f x f m ； （4）当0x n ≥时，值域为[(),()]f n f m
说明：①若只求最大值则可分0x m <和0x m ≥两种情况；
②若只求最小值则可分0x m <，0m x n ≤≤和0x n >三种情况；
③若最大值和最小值都求则分四种情况； ④0a <时可仿照上面的原理 （五）二次函数根的分布：
主要考虑以下几方面：①二次项系数a 的符号；②判别式的符号；③区间端点函数值的
正负；④对称轴2b
x a
=-
与区间端点的关系 设2
()(0)f x ax bx c a =++>的两根为120,,,2b
x x x m n a
=-
< （1）0120,()0()0x m x m x m f x f m
<?
（2）12()0x m x f m <
（3）0120,()0()0x m x m x m f x f m >??
>>?≤??>?
（4）12()0
()0
f m x m x n f n
>?
（5）1200()0()0()0f m f n m x x n f x m x n
>??>?
<≤
（6）12()0
,()0
f m x m x n f n ??
（7）12()0()0()0f m m x n x k f n f k >??
<<<?
13．函数零点与方程： （一）函数的零点
对于函数()y f x =，我们把使()0f x =得实数x 叫做函数()y f x =的零点。 函数的零点?方程()0f x =的根?()y f x =与x 轴交点的横坐标。 （二）根的存在性定理
如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有
()()0f a f b ?<，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。
说明：
（1）定理中的条件是充分不必要条件。当()f x 在[,]a b 上有零点时，不一定有
()()0f a f b ?<；
（2）条件成立时，零点不一定是唯一的。 （三）二分法
对于在区间[,]a b 上连续不断且满足()()0f a f b ?<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
给定精确度ε，用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤如下： （1）确定区间[,]a b ，验证()()0f a f b ?<，给定精确度ε； （2）求区间中点(,)a b 的中点1x ；
（3）计算1()f x ，若1()0f x =，则1x 就是函数的零点；若1()()0f a f x ?<，则令1b x =（此
时零点01(,)x a x ∈）；若1()()0f x f b ?<，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）
（4）判断是否达到精确度ε：若a b ε-<，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复（2）—（4） 注意：
（1）当区间长度小于精确度ε时，区间上任何一个数都可以做为零点的近似值，而并非一定是a （或b ）；
（2）经过n 次对分后区间长度为2
n
b a -，由
2
n
b a ε-<可以估计对分区间的次数。
14.函数的模型及应用 （一）几种常见函数模型 线性函数：(0)y ax b a =+≠ 反比例函数：(0)k
y k x
=
≠ 指数型函数：(0,0,1)x
y a b c a b b =?+≠>≠ 对数型函数：log (0,0,1)m y a x b a m m =+≠>≠
幂函数型：(0)y a x b a α
=?+≠ （二）几种模型的关系
在区间(,)a +∞上，函数(1)x y a a =>、log (1)a y x a =>和(0)n
y x n =>都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上。随着x 的增大，(1)x
y a a =>的增长速度越来越快，会超过并远远大于(0)n
y x n =>得增长速度，而log (1)a y x a =>得增长速度则会越来越慢。因此，总会存在一个0x ，当0x x >时，就有log n
x
a x x a <<
必修2
一、 平面几何 （一）直线
1、 直线的斜率与倾斜角 (1)斜率
①两点的斜率公式：1122(,),(,)P x y Q x y ，则21
2121
()PQ y y k x x x x -=≠-
②斜率的范围：k R ∈ (2)直线的倾斜角范围：)0,180
??
（3）斜率与倾斜角的关系：tan (90)k αα=≠
注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率；
（2）特别地，倾斜角为0的直线斜率为0；倾斜角为90的直线斜率不存在。 2、直线方程
(1)点斜式：00()y y k x x -=-；适用于斜率存在的直线 （2）斜截式：y kx b =+；适用于斜率存在的直线
注：b 为直线在y 轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零
（3）两点式：
11
12122121
(,)x x y y x x y y x x y y --=≠≠--；适用于斜率存在且不为零的直线
（4）截距式：
1x y
a b
+=；适用于斜率存在，且不为零且不过原点的直线 （5）一般式：0Ax By C ++=（,A B 不同时为0） （6）特殊直线方程
①斜率不存在的直线（与x 轴垂直）：0x x =；特别地，y 轴：0x = ②斜率为0的直线（与y 轴垂直）：0y y =；特别地，x 轴：0y = ③在两轴上截距相等的直线：（Ⅰ）y x b =-+；（Ⅱ）y kx = 在两轴上截距相反的直线：（Ⅰ）y x b =+；（Ⅱ）y kx =
在两轴上截距的绝对值相等的直线：（Ⅰ）y x b =-+；（Ⅱ）y x b =+；（Ⅲ）y kx = 3、平面上两直线的位置关系及判断方法
两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交。
（2）与直线0Ax By C ++=平行的直线可设为：0Ax By m ++=
与直线0Ax By C ++=垂直的直线可设为：0Bx Ay n -+= （3）说明：
①当两条直线的斜率都不存在时，12//l l ；
②当一条直线斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l ⊥； ③解题时一定不要忽略直线斜率不存在的情况。 4、其他公式
（1）平面上两点间的距离公式：1122(,),(,)A x y B x y ，则AB =（2）线段中点坐标公式：1122(,),(,)A x y B x y ，则,A B 中点的坐标为1212
(
,)22
x x y y ++ （3）三角形重心坐标公式：112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则三角形ABC 的重心坐标公式为：123123
(
,)33
x x x y y y ++++
（4）点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=
的距离公式：d =
（5）两平行线112212:0;:0()l Ax By C l Ax By C C C ++=++=≠间的距离
：
d =
（用此公式前要将两直线中,x y 的系数统一）
（6）点A 关于点P 的对称点B 的求法：点P 为,A B 中点
（7）点A 关于直线l 的对称点B 的求法：利用直线AB 与直线l 垂直以及AB 的中点在直线l 上，列出方程组，求出点B 的坐标。 3．对称问题
（1）点关于点的对称问题（对称中心恰为这两端点的线段的中点） 点00(,)P x y 关于点(,)A a b 对称的点为00(2,2)Q a x b y --
（2）点关于直线对称的问题
由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”。利用“垂直”，“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标。
一般情形如下： 设点00(,)P x y 关于直线y kx b =+的对称点为(,)Q a b ，则有
0000122
b y k a x b y a x k b -?
?=-?-?
?
++?=?+??，可求出,a b （3）曲线关于点的对称问题（转化为点的中心对称问题）
曲线(,)0f x y =关于已知点(,)A a b 的对称曲线的方程是(2,2)0f a x b y --= （4）曲线关于直线的对称问题（转化为点的轴对称问题）
曲线(,)0f x y =关于直线y kx b =+的对称曲线的求法：设对称曲线上任意一点为
(,)P x y ，其对称点在曲线(,)0f x y =上的坐标为00(,)Q x y ，可用(,)P x y 表示00(,)Q x y ，
将00(,)Q x y 代入已知曲线(,)0f x y =的方程，应有00(,)0f x y =。即可求出曲线
(,)0f x y =关于直线y kx b =+的对称曲线方程。
（5）点关于点的对称，点关于直线的对称的常见结论 ①点(,)x y 关于x 轴对称的点为(,)x y - ②点(,)x y 关于y 轴对称的点为(,)x y -
第一章 集合与函数概念 1.1集合 1.1.1 集合的含义及其表示 教学目的：（1）初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法； （2）初步了解“属于”关系的意义； （3）初步了解有限集、无限集、空集的意义； 教学重点：集合的含义与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。 教学过程： 一、问题引入： 我家有爸爸、妈妈和我； 我来自燕山中学； 省溧中高一（1）班； 我国的直辖市。 分析、归纳上述各个实例的共同特征，归纳出集合的含义。 二、建构数学： 1．集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set ）。集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A 、集合B …… 集合中的每一个对象称为该集合的元素（element ）,简称元。集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。如a 、b 、c 、p 、q …… 指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。 （1）我国的直辖市； （2）省溧中高一（1）班全体学生；（3）较大的数 （4）young 中的字母； （5）大于100的数； （6）小于0的正数。 2．关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 （3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。 3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示； （1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A （2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ?A （“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写） 4．有限集、无限集和空集的概念： 5．常用数集的记法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，， 210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数 =Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应 的=R
高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ， 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''， 1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度， 直角为π/2弧度。（答：25-；5 36 π- ） (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 （答：Z k k ∈+ ,3 2π π） 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第 二象限角，则2 α 是第_____象限角 （答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 （答：22cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么 s i n ,c o s y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠， ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。
1.1.1 集合 教学目标: 1、理解集合的概念和性质. 2、了解元素与集合的表示方法. 3、熟记有关数集. 4、培养学生认识事物的能力. 教学重点:集合概念、性质 教学难点:集合概念的理解 教学过程: 1、定义： 集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）. 元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 由此上述例中集合的元素是什么？ 例（1）的元素为1、3、5、7， 例（2）的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点， 例（3）的元素为满足不等式3x-2> x+3的实数x， 例（4）的元素为所有直角三角形， 例（5）为高一·六班全体男同学. 一般用大括号表示集合，{ …}如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}。则上几例可表示为…… 为方便，常用大写的拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5} 2
（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性. 3、元素与集合的关系：隶属关系 元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?（? 也可表示为 ）两种。 如A={2，4，8，16}，则4∈A ，8∈A ，32 A. 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集A 记作 a ∈A ，相反，a 不属于集A 记作 a ?A （或a A ） 注：1、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q …… 元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q …… 2、“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写。 4 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。 （2）非负整数集内排除0的集。记作N *或N + 。Q 、Z 、R 等其它数集内排除0 的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 请回答：已知a+b+c=m ，A={x|ax 2+bx+c=m}，判断1与A 的关系。 1.1.2 集合间的基本关系 教学目标：1.理解子集、真子集概念； 2.会判断和证明两个集合包含关系； 3 . 理解 ”、“?”的含义； 4.会判断简单集合的相等关系； 5.渗透问题相对的观点。 教学重点：子集的概念、真子集的概念 教学难点：元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算 教学过程： 观察下面几组集合，集合A 与集合B 具有什么关系？ (1) A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}. (2) A={x|x>3},B={x|3x-6>0}. (3) A={正方形}，B={四边形}. (4) A=?，B={0}. ∈?∈
第1页（共11页） 高中数学公式及知识点速记 （文科55个） 一、函数、导数 1、函数的单调性 (1)设2121],,[x x b a x x 、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在 上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在 上是减函数. (2)设函数)(x f y 在某个区间内可导，若0)( x f ，则)(x f 为增函数；若0)( x f ，则)(x f 为减函数. 2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f ，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f ，则)(x f 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 3、函数)(x f y 在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y 在点0x 处的导数是曲线)(x f y 在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ，相应的切线方程是))((000x x x f y y .
第2页（共11页） 4、几种常见函数的导数 ①'C 0 ；②1')( n n nx x ； ③x x cos )(sin ' ；④x x sin )(cos ' ； ⑤a a a x x ln )(' ；⑥x x e e ')(； ⑦a x x a ln 1)(log ' ；⑧x x 1)(ln ' 5、导数的运算法则 （1）' ' ' ()u v u v . （2）' ' ' ()uv u v uv . （3）'' '2()(0)u u v uv v v v . 6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数 y f x 的极值的方法是：解方程 0f x ．当 00f x 时： (1) 如果在0x 附近的左侧 0f x ，右侧 0f x ，那么 0f x 是极大值； (2) 如果在0x 附近的左侧 0f x ，右侧 0f x ，那么 0f x 是极小值． 二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 8、同角三角函数的基本关系式 22sin cos 1 ，tan = cos sin . 9、正弦、余弦的诱导公式 k 的正弦、余弦，等于 的同名函数，前面加上把 看成锐角时该函数的符号； 2 k 的正弦、余弦，等于 的余名函数，前面加上把 看成锐角时该函数的符号。
高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版 一、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合： 或 ，整数集合： ，有理数集合： ，实数集合： . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作 .
2、如果集合 ，但存在元素 ，且 ，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有 个子集， 个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作： . 2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作： . 3、全集、补集？ §1.2.1、函数的概念
1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合A中的任意一个数 ，在集合B中都有惟一确定的数 和它对应，那么就称 为集合A到集合B的一个函数，记作： . 2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设 那么 上是增函数； 上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设
集合 1.集合的含义与表示 （1 的元素，则记作x∈A。 （2）集合中的元素有三个特征： a.确定性（集合中的元素必须是确定的） b.互异性（集合中的元素互不相同。例如：集合A={1，a}，则a 不能等于1） c.无序性（集合中的元素没有先后之分。） （3）常见的集合符号表示： N：非负整数集合或自然数集合{0,1,2,3,…} N*或N+：正整数集合{1,2,3,…} Z：整数集合{…,-1,0,1,…} Q：有理数集合 Q+：正有理数集合 Q-：负有理数集合 R：实数集合(包括有理数和无理数） R+：正实数集合 R-：负实数集合 C：复数集合 ?：空集合（不含有任何元素的集合称为空集合，又叫空集） （4）表示集合的方法： a.列举法：{红，绿，蓝}，A={a,b,c,d}··· b.描述法：B={x|x2=2}，{代表元素|满足的性质}··· c.Venn 图：用一条封闭的曲线内部表示一个集合的方法。
（1）子集：对于两个集合A，B. 若任意a∈A，都有a∈B，则称集合A 被集合B 所 包含(或集合B 包含集合A)，记做A?B，此时称集合A 是集合B的子 集。 （2）真子集：若A?B，且存在a∈B但a?A 则称集合A是集合B的真子集，记做 A?B. （3）由子集的定义可知子集有这样三条主要的性质： a.规定: 空集(不含任何元素的集合叫做空集,记为f)是任何集合的子集 b. 任何一个集合是它本身的子集. c. 子集具有传递性. 如果A?B, B?C ,那么A?C. *假设非空集合A中含有n个元素，则有： 1.A的子集个数为2n。 2.A的真子集的个数为2n-1。 3.A的非空子集的个数为2n-1。 4.A的非空真子集的个数为2n-2。
高中数学常用公式及常用结论 1.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 2．集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2 个. 3.充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4.函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函 数. 5.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数 )(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 6．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 7.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2 b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2 b a x += 对称. 8.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2），)0)(()(1 )(≠=+x f x f a x f ，或1()() f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ； 9.分数指数幂 (1)m n a = （0,,a m n N * >∈，且1n >）.(2)1m n m n a a - = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 10．根式的性质 （1 ）n a =.（2）当n a =；当n ,0 ||,0a a a a a ≥?==? -∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r a b a b a b r Q =>>∈. 12.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. ①.负数和零没有对数，②.1的对数等于0：01log =a ，③.底的对数等于1：1log =a a ， ④.积的对数：N M MN a a a log log )(log +=，商的对数：N M N M a a a log log log -=，
高一数学集合知识点总结归纳 1.集合的有关概念。 1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素 注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 ②集合中的元素具有确定性(a?a和a?a，二者必居其一)、互异性(若a?a，b?a，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。 ③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件 2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类：有限集，无限集，空集。 4)常用数集：n，z，q，r，n* 2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集：若对x∈a都有x∈b，则a b(或a b); 2)真子集：a b且存在x0∈b但x0 a;记为a b(或，且 ) 3)交集：a∩b={x| x∈a且x∈b} 4)并集：a∪b={x| x∈a或x∈b} 5)补集：cua={x| x a但x∈u}
注意：①? a，若a≠?，则? a ; ②若，，则 ; ③若且，则a=b(等集) 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与、?的区别;(2) 与的区别;(3) 与的区别。 4.有关子集的几个等价关系 ①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub; ④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。 5.交、并集运算的性质 ①a∩a=a，a∩? = ?，a∩b=b∩a;②a∪a=a，a∪? =a，a∪b=b∪a; ③cu (a∪b)= cua∩cub，cu (a∩b)= cua∪cub; 6.有限子集的个数：设集合a的元素个数是n，则a有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。 【例1】已知集合m={x|x=m+ ,m∈z},n={x|x= ,n∈z},p={x|x= ,p∈z}，则m,n,p满足关系 a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m 分析一：从判断元素的共性与区别入手。 解答一：对于集合m：{x|x= ,m∈z};对于集合n：{x|x= ,n ∈z} 对于集合p：{x|x= ,p∈z}，由于3(n-1)+1和3p+1都
数学定义 一.集合与函数 1. 的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件? 进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特和殊情况，不要忘记了借助数轴文氏图进行求解. 2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况 3.你会用补集的思想解决有关问题吗? 4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间 5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别. 6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则. 7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称. 8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域. 9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调.例如：. 10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值, 作差, 判正负)和导数法 11. 求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示. 12.求函数的值域必须先求函数的定义域。 13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求 参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗? 14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗? (真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论 15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值? 16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。 17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形? 二.不等式 18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”. 19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么? 20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么? 21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”. 22. 在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示. 23. 两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即a>b 三.数列
高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理 判别式 b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根 b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根 降幂公式 （sin^2）x=1-cos2x/2 （cos^2）x=i=cos2x/2 万能公式 令tan(a/2)=t sina=2t/(1+t^2) cosa=(1-t^2)/(1+t^2) tana=2t/(1-t^2) 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα
高中数学-集合的概念及其基本运算练习 班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1.【新课标I 卷文】已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：利用集合的交集中元素的特征，结合题中所给的集合中的元素，求得集合中 的元素，最后求得结果. 详解：根据集合交集中元素的特征，可以求得 ，故选A. 2.【天津文】设集合{1,2,6},{2,4},{1,2,3,4}A B C ===，则()A B C =U I （A ）{2}（B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{1,2,3,4,6} 【答案】B 【解析】由题意可得：{}(){}1,2,4,6,1,2,4A B A B C =∴=U U I .本题选择B 选项. 3．【浙江省嘉兴市高三上期末】已知集合{|1}P x x =<， {} 0Q x x =，则（ ） A. P Q ? B. Q P ? C. P ? R C Q D. R C P Q ? 【答案】D 【解析】R C P =[1,)+∞∴ R C P Q ?,选D. 4．【浙江省嵊州市高三上期末】已知集合2 {|1}A x x =≤， {}21B =-，，则A B ?=（ ） A. {}1 B. {}21-， C. {|11}x x -≤≤ D. {|211}x x x =--≤≤， 或 【答案】A 【解析】Q {} 2|1A x x =≤ {}=|11x x -≤≤， {}21B =-，， {}1A B ∴?=，故选A. 5．【浙江省杭州市高三上期末】设集合{|22}A x x =+≤， [] 0,4B =，则()R C A B ?=（ ） A. R B. {}0 C. {|,0}x x R x ∈≠ D. ?
数学必修一基础要点归纳 第一章 集合与函数的概念 一、集合的概念与运算： 1、集合的特性与表示法：集合中的元素应具有：确定性、互异性、无序性；集合的表示法 有：列举法、描述法、文氏图等。 2、集合的分类：①有限集、无限集、空集。 ②数集：{ } 2 2y y x =- 点集： (){},1x y x y += 3、子集与真子集：若x A ∈则x B ∈?A B ? 若A B ?但A ≠B ?A B 若{}123,n A a a a a =，，，则它的子集个数为2n 个 4、集合的运算：①{}A B x x A x B =∈∈且，若A B A =则A B ? ②{}A B x x A x B =∈∈或，若A B A =则B A ? ③ {} U C A x x U x A =∈?但 5、映射：对于集合A 中的任一元素a,按照某个对应法则f ,集合B 中都有唯一的元素b 与 之对应，则称:f A B →为A 到的映射，其中a 叫做b 的原象，b 叫a 的象。 二、函数的概念及函数的性质： 1、函数的概念：对于非空的数集A 与B ，我们称映射:f A B →为函数，记作()y f x =， 其中,x A y B ∈∈,集合A 即是函数的定义域，值域是B 的子集。定义域、值域、对应法则称为函数的三要素。 2、 函数的性质： ⑴ 定义域：0 1 简单函数的定义域：使函数有意义的x 的取值范围，例： 25y x =- 的定义域为：25053302x x x ->??<? 2 复合函数的定义域：若()y f x =的定义域为[),x a b ∈，则复合函数 ()y f g x =????的定义域为不等式()a g x b ≤<的解集。 0 3 实际问题的定义域要根据实际问题的实际意义来确定定义域。
高一数学集合知识点归纳 高一数学的集合学习以及总结需要把集合相关知识点进行归纳，只有把知识点归纳好才可以学好高一数学集合，以下是我总结了高一数学的知识点，希望帮到大家更好地归纳好集合的知识点同时复习好集合。 一、知识点总结 1.集合的有关概念。 1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素 注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 ②集合中的元素具有确定性、互异性和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。 ③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件 2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类：有限集，无限集，空集。 4)常用数集：N，Z，Q，R，N* 2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集：若对x∈A都有x∈B，则AB(或AB); 2)真子集：AB且存在x0∈B但x0A;记为AB(或，且) 3)交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}
4)并集：A∪B={x|x∈A或x∈B} 5)补集：CUA={x|xA但x∈U} 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号。 4.有关子集的几个等价关系 ①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB; ④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。 5.交、并集运算的性质 ①A∩A=A，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪B=B∪A; ③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB; 6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。 二、集合知识点整合 集合具有某种特定性质的事物的总体。这里的“事物”可以是人，物品，也可以是数学元素。例如:1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集:紧急~。2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素:有理数的~。3、口号等等。集合在数学概念中有好多概念，如集合论:集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。康托(Cantor，G.F.P.，1845年—1918年，德国数学家先驱，是集合论的创始者，目前集合论的基本思想已经渗透到现代数学的所有领域。 集合，在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念?基础概念是不能用其他概念加以定义的概念。集合的概念，可通过直观、公理的方法来下“定义”。 集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，使之成为一个整体(或称为单体)，这一整体就是集合。组成一集合的那些对象称
高中数学公式大全.txt鲜花往往不属于赏花的人，而属于牛粪。。。道德常常能弥补智慧的缺陷，然而智慧却永远填补不了道德空白人生有三样东西无法掩盖：咳嗽贫穷和爱，越隐瞒，就越欲盖弥彰。抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a（x+h）* + k 就是y等于a乘以（x+h）的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2，0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi）(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a，b）是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 （一）椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 （二）椭圆面积计算公式 椭圆面积公式： S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及
高中数学基础知识整合 函数与方程区间建立函数模型 抽象函数复合函数分段函数求根法、二分法、图象法；一元二次方程根的分布 单调性：同增异减赋值法，典型的函数 零点函数的应用 A 中元素在 B 中都有唯一的象；可一对一（一一映射），也可多对一，但不可一对多 函数的基本性质 单调性奇偶性周期性 对称性 最值 1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性。 2.复合函数单调性：同增异减。 1.先看定义域是否关于原点对称，再看f (-x )=f (x )还是-f (x ). 2.奇函数图象关于原点对称，若x =0有意义，则f (0)=0. 3.偶函数图象关于y 轴对称，反之也成立。 f (x +T)=f (x )；周期为T 的奇函数有：f (T)=f (T/2)= f (0)=0.二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。 函数的概念 定义 列表法解析法图象法 表示三要素使解析式有意义及实际意义 常用换元法求解析式 观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等 定义域 对应关系值域 函数常见的几种变换平移变换、对称变换翻折变换、伸缩变换 基本初等函数正（反）比例函数、一次（二次）函数幂函数 指数函数与对数函数三角函数 定义、图象、性质和应用 函数 映 射 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 退出 上一页 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 导数 导数概念函数的平均变化率运动的平均速度曲线的割线的斜率 函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线的斜率 ()()的区别 与0x f x f ' '0 t t t v a S v ==，() 0' x f k =导数概念 基本初等函数求导 导数的四则运算法则简单复合函数的导数()()()()()()()().ln 1ln ln 1 log sin cos cos sin 01x x x x a n n e e a a a x x a x x x x x x nx x c c ==== -====-；；；；；；； 为常数()()()()[]()() ()()[]()()()()()()()()()()()[]2)3()2()1(x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f -=? ? ????+=?±=±是可导的，则有：，设()()[]()() x u u f x g f ' ' ' ?=1.极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点； 2.闭区间一定有最值，开区间不一定有最值。导数应用函数的单调性研究函数的极值与最值 曲线的切线变速运动的速度生活中最优化问题 ()()()(). 00''在该区间递减在该区间递增，x f x f x f x f ?1.曲线上某点处切线，只有一条；2.过某点的曲线的切线不一定只一条，要设切点坐标。 一般步骤：1.建模，列关系式；2.求导数，解导数方程；3.比较区间端点函数值与极值，找到最大（最小）值。 定 积分与微积分 定积分概念 定理应用 性质定理含意微积分基本 定理 曲边梯形的面积变力所做的功 ()的极限 和式i n i i x f ?∑-=1 1 ξ定义及几何意义 1.用定义求：分割、近似代替、求和、取极限； 2.用公式。 ()()()()[]()()()()()()()() c b a dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x g dx x f dx x g x f dx x f k dx x kf c b b a c a a b b a b a b a b a b a b a <<=-=±=±=?????????? .；；；()()()()()() 莱布尼兹公式牛顿则若--==?a F b F dx x f x f x F b a ,'1.求平面图形面积；2.在物理中的应用（1）求变速运动的路程： （2）求变力所作的功； ()?=b a dx x F W ()dt t v s a b ?=
集合与简易逻辑知识点 知识点内容典型题 元素与集合、集合与集合的关系 ①、∈只能表示元素与集合的关 系，而、、 ?、?、＝只能表示集 合与集合的关系. ②0、{0}、的关系是常见题型， 如:数集{0}与空集的关系是（） A.{0}＝ B.{0}∈ C.∈{0} D.?{0} ③常用数集:R、R*、R＋、R ＋ 、Q、 Z、N.（注意*、＋、＋的不同含义） ④是任何集合的子集，是任何非． 空．集合的真．子集. ⑤n个元素的集合的真子 ．．集．个数 为:2n－1. 1.下列关系中正确的是（） A.0 B.0∈ C.0＝ D.0≠ 2.已知a＝－3，A＝{x│x2＝9}，则下 列关系正确的是（） A.a A B.{a}A C.{a}∈A D.a A 3.下列命题为真命题的是（） A.3{3} B. 3∈{3} C.3{1，2，3} D. 3∈ 4.若a＝1，集合A＝{x│x＜2}，则下 列关系中正确的是（） A.a A B.{a}A C.{a}∈A D.{a}A 集合的运算 ①掌握好求交、并、补集的基本含 义和方法，特别是C U A的含义. ②有限元素集之间的运算，常根据 定义解答，如: ⑴{0，1，2}∩{0，3，5}＝. ⑵{x∈N│x＜3}∩{x∈Z│0＜x＜10} ＝. ③无限元素集之间的运算，可用数 轴法，如: 设集合A＝{x│－1＜x≤2}，B＝ {x│－2＜x≤1}则A∩B＝. ④点集运算，常联立解方程组，如: A＝{(x，y)│x＋y＝2}，B＝{(x , y)│x－ y＝1}，则A∩B＝. 5.设集合A＝{x∈Z│0＜x＜4}，B＝ {2,3,4,5,6}，则A∩B＝. 6.已知集合A＝{x│x＞0}，B＝{x│x＝ 0}，则A∩B是（） A.{x│x≥0} B.{x│x＞0} C.{0} D. 7.设M＝{x│2≤x≤5}，N＝{x│－1≤ x≤3}，则M∪N等于 . 8.设集合U＝R，A＝{x│－2＜x＜3}， 则集合C U A＝. 9.若全集U＝{x∈Z│x≥0}，则C U N＋ ＝. 10.已知全集U＝N，集合A＝{x∈N│ x＞10}，B＝{x∈N│x≥3}，则 C U(A∪B)＝.