第一章三角形的证明
1.2直角三角形教学设计
第1课时
一、教学目标
1．进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力.
2．证明直角三角形的性质定理和判定定理.
3．结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.
二、教学重点及难点
重点：1．了解勾股定理及其逆定理的证明方法．
2．结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．
难点：勾股定理及其逆定理的证明方法．
三、教学用具
多媒体课件、直尺或三角板．
四、相关资源
微课，知识卡片图片
五、教学过程
【情境导入】
问题：房梁的一部分如图所示，，其中BC⊥AC，∠A=30°，AB=7.4 m，点D是AB的
中点，且ED⊥AC，垂足分别是E，那么BC的长是多少?
解决这个问题，主要利用了上节课已经证明的“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．”，得到BC=3.7 m．由此提问：“我们曾经探索过的直角三角形，还有哪些性质和判定方法?”．
设计意图：通过问题，让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形的一般性质．
【探究新知】
1．忆一忆
回顾直角三角形有哪些性质和判定方法？与同伴交流．
（1）直角三角形的两个锐角有怎么样的关系？为什么？
（2）如果一个直角三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？
定理：直角三角形的两个锐角互余．
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．
（1）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.
求证：∠A＋∠B=90°.
证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C=180°.
∵∠C=90°，
∴∠A＋∠B=180°－∠C=180°－90°=90°.
（2）已知：如图，在△ABC中，∠A＋∠B=90°.
求证：△ABC是直角三角形.
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证明：在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C =180°.
∵∠A ＋∠B =90°，
∴∠C =180°－（∠A ＋∠B ）=180°－90°=90°.
∴△ABC 是直角三角形.
2．证一证
我们曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理．如果利用拼图及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗?
图1
图2
利用图1 的边长为a ，b ，c 的全等的四个直角三角形拼成一个以c 为边的正方形
如图2，则图中的小正方形边长为(a -b )，它的面积为(a -b )2 ，四个直角三角形的面积和为(4×2
ab ) 由此可得：c 2 = (a -b )2+2ab = a 2-2ab +b 2+2ab = a 2+b 2．
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理．
反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的c
b a
c
b
a
方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗?
师生共同来完成．
已知：如图：在△ABC 中，AB 2+AC 2＝BC 2
求证：△ABC 是直角三角形．
分析：要从边的关系，推出∠A ＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC 与一个直角三角形全等，而得到∠A 与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证．
证明：
作Rt △A ′B ′C ′，使∠A ′＝90°，A ′B ′＝AB ，A ′C ′＝AC (如图)，
则A ′B ′2＋A ′C ′2 ＝B ′C ′2 (勾股定理)．
∵AB 2＋AC 2＝BC 2，
∴BC 2＝B ′C ′2．
∴BC ＝B ′C ′．
∴△ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ）．
∴∠A ＝∠A ′＝90°(全等三角形的对应角相等)．
因此，△ABC 是直角三角形．
总结得勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
设计意图：勾股定理及其逆定理的证明对学生有一定难度，接受并经历定理的探究过程，即明确有关定理即可．
3．议一议 C
B A
A'
B'C'
观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？在前面的学习中还有类似的命题吗?
通过观察，学生会发现：
上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．
这样的情况，在前面也曾遇到过．
例如：
“两直线平行，内错角相等”，“内错角相等，两直线平行”．
“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边就等于斜边的一半”．“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”．
让学生畅所欲言，体会逆命题与命题之间的区别与联系，要能够清晰地分别出一个命题的题设和结论，能够将一个命题写出“如果……；那么……”的形式，以及能够写出一个命题的逆命题．
活动中，教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，要先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结．活动时可以先让学生观察下面三组命题：
第一组：如果两个角是对顶角，那么它们相等．如果两个角相等，那么它们是对顶角．第二组：如果小明患了肺炎，那么他一定发烧．如果小明发烧，那么他一定患了肺炎．第三组：三角形中相等的边所对的角相等．三角形中相等的角所对的边相等．
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流．
不难发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命题的结论是第一个命题的条件．
▲在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题．
再来看“议一议”中的三组命题，它们就称为互逆命题，如果称每组的第一个命题为原命题，另一个则为逆命题．请同学们判断每组原命题的真假．逆命题呢?
在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．
在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．
在第三组中，原命题和逆命题都是真命题．
由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题．
设计意图：通过几对数学和生活中的命题，引导学生观察这些成对命题的结论与条件之间的关系，并归纳出它们的共性，得到互逆命题的概念．注意原命题正确，其逆命题不一定正确.
4．想一想
要写出原命题的逆命题，需先弄清楚原命题的条件和结论，然后把结论变换成条件，条件变换成结论，就得到了逆命题．
请学生写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题，它们都是真命题吗？
答：逆命题是“如果两个有理数的平方相等，那么它们相等”，原命题是真命题，逆命题是假命题.
从而引导学生思考：原命题是真命题吗?逆命题一定是真命题吗? 并通过具体的实例说明．
如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理.
其中逆命题称为原命题(即原定理)的逆定理．
能举例说出我们已学过的互逆定理?
如我们刚证过的勾股定理及其逆定理，“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．“全等三角形对应边相等”和“三边对应相等的三角形全等”、“等边对等角”和“等角对等边”等．
设计意图：本环节关键是让笑死我验证逆命题的正确性，并能意识到一对互逆命题的真假性不一定一致．
【典例精讲】
例 1 如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（）
A．相等B．互补C．相等或互补D．相等或互余
解析：C．
如图（1）所示，已知AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD⊥BC于点D，A′D′上B′C′于D′点，且AD＝A′D′，根据HL可判定Rt△ABD≌Rt△A′B′D′，从而证得∠B＝∠B′．如图（2）所示，可知此时两角互补．
例2 说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假;
（1）四边形是多边形；
（2）两直线平行，内旁内角互补；
（3）如果ab ＝0，那么a ＝0，b ＝0．
解析：互逆命题和互逆定理的概念，学生接受起来应不会有什么困难，尤其是对以“如果……那么……”形式给出的命题，写出其逆命题较为容易，但对于那些不是以这种形式给出的命题，叙述其逆命题有一定困难．可先分析命题的条件和结论，然后写出逆命题．
解：（1）多边形是四边形．原命题是真命题，而逆命题是假命题．
（2）同旁内角互补，两直线平行．原命题与逆命题同为真命题．
（3）如果a ＝0，b ＝0，那么ab ＝0．原命题是假命题，而逆命题是真命题．
设计意图：例题巩固了本节所学知识，在解答过程中，引导学生分析解决问题的方法．
【课堂练习】
1．以下各组数为边的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A ．3+1，3－1，22
B ．4，7.5，8.5
C ．7，24，25
D ．3.5，4.5，5.5
2．在直角三角形中，锐角顶点所引的两条线中线长为5
的斜边长（ ）
A ．10 B
．C
D
．3．如图，EA ⊥AB ，BC ⊥AB ，EA ＝AB ＝2BC ，D 为AB 中点，
有以下结论：（1）DE ＝AC ；（2）DE ⊥AC ；（3）∠CAB ＝30°；（4）
∠EAF ＝∠ADE ，其中结论正确的是（ ）
A ． （1），（3）
B ． （2），（3）
C ． （3），（4）
D ． （1），（2），（4） 4．如图所示，∠ACB ＝90°，BC =DB ，AC =A
E ，则∠DCE=（ ）
A ．60°
B ．50°
C ．45°
D ．30°
F E
D C
B
A
5．直角三角形两直角边长分别为6和 8，则斜边上的高为_________．
6．如图所示，在高为3m ，斜坡长为5m 的楼梯表面铺地毯，至少需要地毯多少米？
设计意图：及时巩固所学知识，了解学生的学习效果，增强学生灵活运用知识的能力． 参考答案：
1．D 2．D ． 3．D ． 4．C ．5．4.8
6．解析：毯子的长度恰好等于直角三角形两直角边的长度之和．
解：52－32＝16＝42，
∴3＋4＝7．
∴至少需要地毯7米．
六、课堂小结
1．直角三角形的性质和判定
定理：三角形的两个锐角互余．
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．
勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理．
勾股定理的逆定理:
如果三角形两边的平方和等于第三边平方，那么这个三角形是直角三角形．
2．命题与逆命题
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
E D C
B
A
3．定理与逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，理解直角三角形的相关定理和逆定理，综合运用直角三角形的相关定理解决问题．
七、板书设计
1.2直角三角形（1）
1．直角三角形的性质和判定
2．命题与逆命题
3．定理与逆定理