有关概念：
热运动：分子做不停的无规则运动
热现象：物质中大量分子的热运动的宏观表现（如：热传导、扩散、液化、凝固、溶解、汽化等都是热现象）。
分子物理学与热力学的研究对象：热现象
微观量：描述单个分子运动的物理量。（如：分子质量、速度、能量等）
宏观量：描述大量分子热运动集体特征的物理量。（如：气体体积、压力、温度等）统计方法: 对个别分子运动用力学规律，然后对大量分子求微观两的统计平均值。
分子物理学研究方法: 建立宏观量与微观量统计平均值的关系从微观角度来说明
宏观现象的本质。分子物理学是一种微观理论。
热力学研究方法: 实验定律为基础,从能量观点出发,研究热现象的宏观规律。它是
一种宏观理论。
一、热学的基本概念
热学是物理学的一个重要分支学科，它研究的是热现象的宏观特征及其微观本质。热学研究的对象是大量粒子（如原子、分子）组成的物质体系，称为热力学系统或简称系统。
二、分子运动的基本概念
从微观上看，热现象是组成系统的大量粒子热运动的集体表现，热运动也称为分子运动、分子热运动。它是不同于机械运动的一种更加复杂的物质运动形式。因此，对于大量粒子的无规则热运动，不可能像力学中那样，对每个粒子的运动进行逐个的描述，而只能探索它的群体运动规律。就单个粒子而言，由于受到其它粒子的复杂作用，其具体的运动过程可以变化万千，具有极大的偶然性；但在总体上，运动却在一定条件下遵循确定的规律，如分子的速率分布，平均碰撞频率等，正是这种特点，使得统计方法在研究热运动时得到广泛应用，从而形成了统计物理学。统计物理学是从物质的微观结构出发，依据每个粒子所遵循的力学规律，用统计的方法来推求宏观量与微观量统计平均值之间的关系，解释与揭示系统宏观热现象及其有关规律的微观本质。
三、相关的一些概念
通常我们把描述单个粒子运动状态的物理量称为微观量，如粒子的质量、位置、动量、能量等，相应的用系统中各粒子的微观量描述的系统状态，称为微观态；描述系统整体特性的可观测物理量称为宏观量，如温度、压强、热容等，相应的用一组宏观量描述的系统状态，称为宏观态。
四、热学相关内容的分类
按研究角度和研究方法的不同，热学可分成热力学和气体动理论两个组成部分。热力学不涉及物质的微观结构，只是根据由观察和实验所总结得到的热力学规律，用严密的逻辑推理方法，着重分析研究系统在物态变化过程中有关热功转换等关系和实
现条件。而气体动理论则是从物质的微观结构出发，依据每个粒子所遵循的力学规律，用统计的方法来推求宏观量与微观量统计平均值之间的关系，解释并揭示系统宏观热现象及其有关规律的微观本质。可见热力学与气体动理论的研究对象是一致的，但是研究的角度和方法却截然不同。在对热运动的研究上，气体动理论和热力学二者起到了相辅相成的作用。热力学的研究成果，可以用来检验微观气体动理论的正确性；气体动理论所揭示的微观机制，可以使热力学理论获得更深刻的意义。
第五章 气体动理论
§5-1平衡态 理想气体的状态方程
一、状态参量
用来描述气体状态的物理量称为状态参量。一般用气体体积V ，压强P 和温度T 来作为状态参量。
注意： ⑴V 是气体分子能到达的空间体积，单位：()
33m 米
⑵P 是气体作用于器壁单位面积上的正压力，单位：帕斯卡（Pa ）。有时
也用下面单位：
Pa cmHg atm 51001325.1761?==
⑶温度是描述物体冷热程度的物理量。表示温度常用两种温标（温度的标尺）来表示，即 温标
)
()
(C t K T
单位：摄氏度摄氏温标：单位：开尔文热力学温标：
T 与t 关系：15.273+=t T
当系统处于平衡态时，系统的宏观性质将不再随时间变化，因此可以使用相应的物理量来具体描述系统的状态。这些物理量通称为状态参量，或简称态参量。在这里我们将给大家介绍体积V 、压强P 和温度T 这三个状态参量。在实际问题中，用那些参量才能对系统的状态描述完全，是由系统本身的性质和所研究的问题决定。
1、体积
气体的体积，通常是指组成系统的分子的活动范围。由于分子的热运动，容器中的气体总是分散在容器中的各个空间部分，因此气体的体积，也就是盛气体容器的容积，在国际单位制中，体积的单位是米3，用符号m 3表示，常用单位还有升，用符号L 表示。
2、压强：气体的压强，表现为气体对容器壁单位面积上产生的压力，是大量气体分子频繁碰撞容器壁产生的平均冲力的宏观表现，显然与分子无规则热运动的频繁程度和剧烈程度有关。在国际单位制中，压强的单位是帕斯卡，用符号Pa表示，常用的压强单位还有：厘米汞高、标准大气压等，它们与帕斯卡的关系是：
1cmHg（厘米汞高）＝1.333×103Pa
1atm（标准大气压）＝76cmHg＝1.013×105Pa
3、温度
体积V和压强P都不是热学所特有的，体积属于几何参量，压强属于力学参量，而且它们都不能直接表征系统的“冷热”程度。因此，在热学中还必须引进一个新的物理量——温度来描述状态的热学性质。
气体的温度，宏观上表现为气体的冷热程度，而微观上看它表示的是分子热运动的剧烈程度。
在生活中，往往认为热的物体温度高，冷的物体温度低，这种凭主观感觉对温度的定性了解，在要求严格的热学理论和实践中，显然是远远不够的，必须对温度建立起严格的科学的定义。假设有两个热力学系统A和B，原先处在各自的平衡态，现在使系统A和B互相接触，使它们之间能发生热传递，这种接触称为热接触。一般说来，热接触后系统A和B的状态都将发生变化，但经过充分长一段时间后，系统A和B将达到一个共同的平衡态，由于这种共同的平衡态是在有传热的条件下实现的，因此称为热平衡。如果有A、B、C三个热力学系统，当系统A和系统B都分别与系统C处于热平衡，那么系统A和系统B此时也必然处于热平衡。这个实验结果通常称为热力学第零定律。这个定律为温度概念的建立提供了可靠的实验基础。根据这个定律，我们有理由相信，处于同一热平衡状态的所有热力学系统都具有某种共同的宏观性质，描述这个宏观性质的物理量就是温度。也就是说，一切互为热平衡的系统都具有相同的温度，这为我们用温度计测量物体或系统的温度提供了依据。
温度的数值表示法称为温标，常用的有热力学温标T，摄氏温标t等等。国际单位制中采用热力学温标，温度的单位是开尔文，用符号K表示。摄氏温标与热力学温标的关系是
t＝T－273.15
在大学物理中我们规定使用热力学温标。
二、平衡态平衡过程
系统与外界：研究的对象称为系统，系统所处的环境称为外界。
1、平衡态
在不受外界影响的条件下，气体的宏观性质不随时间改变的状态称为平衡态。这里
的外界影响指与外界无能量交换。
说明：平衡态是一种热动平衡。 2、平衡过程
当气体与外界交换能量时，它的状态就会发生变化，一个状态连续变化到另一个状态所经历的过程叫做状态的变化过程，如果过程中的每一中间状态都无限趋于平衡态，这个过程成为平衡过程。 3、P —V 图
如图5-1，P —V 图上一个点代表系统的一个
平衡态，P —V 图上一条曲线表示系统一平衡过程。
注意：不是平衡态不能在P —V 图上表示。
三、理想气体状态方程 1．理想气体
服从下面三个定律的气体
)
()
()
(不变吕萨克定律盖不变查理定律不变马略特定律玻意耳P const T
V
V const T
P
T const PV =?==- 2、理想气体状态方程
用上述三条定律可证明，对一定质量的气体有
const T
PV
= （5-1） 设0P 、0V 、0T 是标准状态下P 、V 、T 值，
0T V P T PV =
? （5-2） 设M 为气体质量，则
mol V M
V μ
=0（μ、mol V 为摩尔质量和标准状态下摩尔体积）
∴
0T V P M T PV mol
μ=
令 ???
?
??
?==（摩尔气体常数）（摩尔数）
0T V P R M
V mol
μ
P
V
图 5-1
（5-3）
上式为理想气体状态方程
R 数值及单位：
k
mol l atm k
mol
l atm k
mol J k mol
m pa R ??=??=???=
-/082.015.273/4.221/31.815.273/104.2210013.1335 §5-2 理想气体的压强公式
一、理想气体微观模型
⑴分子大小不计（视为质点） ⑵碰撞外分子间作用不计
⑶分子间及分子与器壁间碰撞看作完全弹性碰撞 二、统计假设
⑴分子不存在特殊位置，在各位置出现可能性均等 ⑵分子沿各个方向运动的可能性是均等的 三、压强公式推导
为方便，考虑边长为1l 、2l 、3l 的长方体容器，设有N 个分子，分子质量为m ，如图5-2所取坐标，气体处于平衡态时，容器器壁上各处的压强相同，∴在此只计算一个面上的压强即可。以A 面为例。
第一步：分子i 在单位时间内对A 面的冲量
设第i 个分子速度为i v
，分量式：
k v j v i v v iz iy ix i
++= （5-4） 由动量定理知，分子i 与A 面碰撞1次受冲量为(用了微观模型 ⑴、⑶)：
ix ix ix ix mv mv mv I 2-=--= （5-5）
分子i 与A 碰后又弹到B 面（不计分子间碰撞），之后由B 面又弹回A 面，如此往复. 单位时间内分子i 与A 面碰撞次数为
1
12211l v
v l x x
===
一次碰撞所用时间秒次数 （5-6）
单位时间内分子i 受冲量为
2
1
1122ix ix ix ix mv l l v mv I -=?
-= （5-7）
i v ' i
v 1
A 图 5-2
单位时间内A 受分子i 冲量为
2
1
1'ix ix ix mv l I I =
-= （5-8） 由上可知，每一分子对器壁的碰撞以及作用在器壁上的冲量是间歇的不连续的。但是，实际上容器内分子数目极大，他们对器壁的碰撞就象密集雨点打到雨伞上一样，对器壁有一个均匀而连续的压强。
第二步：单位时间内所有分子对A 面的冲量
211
1211ix N
i N i ix Nx
x x x mv l I I I I I ∑∑====+???++=∑==N i ix v l m 12
1 （5-9）
第三步：压强公式
设单位时间内A 面受平均冲力大小为F ，有
∑===?N i ix x v l m I F 1
2
11 （5-10）
所求压强为
∑===N i ix v l l l m l l F P 12321322
123
21/x N i ix v nm N v m l l l N =???????=∑= （5-11）
①
式中： ）
用了统计假设（单位体积内分子数，)1(3
21l l l N
n = N v v N
i ix x
/1
2
2∑== 可知 22
22i iz iy
ix v v v v =++ （5-12）
可有
N
v
N
v
N
v
N
v
N
i i
N
i iz
N
i iy
N
i ix
∑∑∑∑=====
+
+
1
21
21
21
2 （5-13）
即 22
z 2
y 2
x v v v v =++ （5-14） 根据统计假设⑵，有
2
2
2
z y x v v v == （5-15）
由（5-14）、（5-15）
22
1v v x =? （2V 称方均根速率） （5-16）
（5-16）→（5-11（5-17）
或（5-18）
式（5-18）中， 22
v m =ω （5-19）
ω为气体分子平均平动动能。式（5-17）、（5-18）即为所求结果。
说明：⑴P 的微观本质或统计性质是：单位时间内所有分子对单位器壁面积的冲量。
⑵由推导知，n 、2v 、ω均是统计平均值，∴P 也是一个统计平均值。这些
?
??
统计平均值是统计规律，而不是力学规律。
⑶统计平均值n 、2v 、ω、P 等是宏观量，表示气体分子集体特征，而不代表个别分子。（宏观量是相应微观量的统计平均值） ⑷P 的表达式适合任何形状容器
⑸推导中没考虑分子碰撞，若考虑结果也不变。
§5-3气体分子的平均平动动能与温度的关系
理想气体状态方程为：
RT M
PV μ
=
T N R
n RT N N V RT M V P 0
011===
?μ（N 为分子总数，0N 为mol 1分子数） 令123123110
1038.110023.6/31.8-----??=???==
k J mol k mol J N R
k ，叫做波尔兹曼常数。
∵?n P 3
2
=，∴与上式比较有：
说明：⑴∵?是统计平均量，∴T 也是统计平均量。分子数很大时，温度才有意义，对于个别分子来说，温度是无意义的。
⑵T 为宏观量，是大量气体分子热运动的集体表现。
⑶T 的微观本质：T 是分子平均平动动能的量度，或反映了大量气体分子热运动的剧烈程度。
⑷若0=T ，则0=?，但实际上这是不对的，根据近代量子论，尽管0=T ，但是分子还有振动，故0≠?（平均动能）。这说明经典理论的局限性。
§5-4 能量按自由度均分原则 理想气体内能
分子运动除平动外，还可能有转动，振动，此时不能把分子看成质点。为了研究分
子平均能量，我们先给出自由度的概念。 一、自由度
自由度：决定某物体空间位置所用的独立坐标数
1、质点：自由质点：用x 、y 、z 表示，∴自由度=3（如：飞机飞行情况（视为质点））
受约束质点 平面运动：用x 、y 表示，∴自由度=2（如：船在海面
上行使情况（视为质点））
沿固定路径运动：自由度=1。（如火车视为质点时情况）
2、细杆（自由的）
质心c （相对于质点）：3个平动自由度。
杆的方位：用方向角α、β、γ表示（'''z ,y ,x 与x 、y 、z 轴分别平行）
∵1cos cos cos 222=++γβα
∴α、β、γ中只有=2独立变数。
即绕质心转动自由度为2。
自由细杆自由度=3（平动）+2（转动）=5
3、刚体（自由的）
质心c （相当于质点）：3个平动自由度 轴的方位：2个自由度
刚体饶轴转动角坐标θ：一个转动自由度 自由刚体自由度=3（平动）+（2+1）（转动 =6（如：空中飞来的乒乓球、足球等）。 4、分子
单原子分子（质点）：自由度=3（平动） 刚性双原子分子（相当于细杆）：自由度=5（3个平动，2个转动） 刚性多原子分子（相当于自由刚体（非杆））：自由度=6（3个平动
+3个转动）
非刚性双原子分子：自由度=6（3个平动，2个转动，1个振动） 非刚性多原子分子：自由度=3n （3个平动，3个振动，（3n-6）个振
动）（n 个分子，n 3≥）
在无特殊声明下仅讨论刚性情况。 二、能量均分原理
对理想气体，分子平均平动动能为
kT v m v m v m v m z y x 23212121212222=++==?
∵2
2
2
z y x v v v == ∴kT kT v m v m v m v m z y x 2
13231312121212122
22=??? ??=??? ??===?
此式表示，每一平动自由度上具有相同的平均平动动能，值为kT 2
1
，这个结论虽然
是对平动而言的，但可以推广到转动和振动。经典统计力学证明，对于处于温度T 的热
平衡态下的物质系统（固、液、气），分子的每一个自由度都具有相同的平动动能，其
值为kT 2
1
，这称为能量按自由度均分原理。（此原理为统计规律）用t 、r 、s 分别表示
平动、转动、振动自由度，则
平动动能=kT t
2
转动动能=kT r
2
振动动能=kT s
2
平均动能=平动动能+转动动能+振动动能=kT s r t )(2
1
++
我们知道，每一个振动自由度上，平均动能=平均势能。
ε（平均能量）=平均动能+平均势能=)2(21
21)(21s r t skT kT s r t ++=+++
单原子分子：3=t ，0=r ，0=s kT 2
3
=ε
刚性双原子分子：3=t ，2=r ，0=s kT 25
=ε
刚性多原子分子：3=t ，3=r ，0=s kT 26
=ε
非刚性双原子分子：3=t ，2=r ，1=s kT 2
7
=ε
以后不做声明时，均视为刚性分子，自由度用i 表示)(r t i +=
分子平均能量（=平均动能）=kT i
2
（5-20）
三、理想气体内能
内能：气体所有分子动能与势能总和。 注意：内能与机械能不同。
对理想气体，无相互作用（无分子间相互作用势能），∴只考虑刚性时， 内能=分子平均动能
⑴mol 1气体内能：RT i
kT i N E
0=?? ?=
⑵mol M μ气体内能：（5-21） 结论：理想气体内能是温度T 的单值增加函数。（∵0≠T ，∴0≠E ）
例5-1：某种理想气体，在atm P 1=，l V 8.44=时，内能J E 6807=，问它是单原子、
双原子、多原子分子的哪一种？
???
????
解：PV i
RT i M E 22==
μ 3108.44101013.16807223
5≈????==?-PV E i
∴是单原子分子。
强调：E 可用PV 表示)22(PV i
RT i M E ==μ
例5-2：某刚性双原子理想气体，处于0℃。试求：
⑴分子平均平动动能； ⑵分子平均转动动能； ⑶分子平均动能；
⑷分子平均能量；
⑸21
摩尔的该气体内能。 解：⑴J kT t 21231065.52731038.123
23--?=???==ε
⑵J kT r 21231076.32731038.12
2
22--?=???==ε
⑶J kT 21231041.92731038.12
5
25--?=???==平均动能ε
⑷J 211041.9-?==平均动能平均能量εε
⑸J RT i M E 31084.227331.82
5
212?=???==μ
§5-5麦克斯韦速率分布律
一、速率分布概念
在气体分子中，分子速率的大小很不一致，它可以小到0，也可以大到很大。在某一时刻，对某一分子而言，它的速率为多大，沿什么方向运动完全是偶然的，是没有规律的。但是对大量分子整体来说，在一定条件下，他们的速率分布遵从着一定的统计规律。现在来说明这个问题。
假设把分子的速率按其大小分为若干长度相同的区间，如：从0～100为第一区间，100～200为第二区间，…。实验和理论都已经证明，当气体处于平衡态时，分布在不同区间的分子数是不同的，但是，分布在各个区间内的分子数占分子总数的百分率基本上是确定的。所谓的分子速率分布就是要研究气体在平衡态下，分布在各速率区间内的分子数占总分子数的百分率。
二、麦克斯韦速率分布律
令N 为分子数，平衡态下在速率v v v ?+-内分子数为N ?，则：
N N
?：表示在速率v v v ?+-区间内出现的分子数占总分子数的比率。（或一个分子出现在v v v ?+-内的几率）
实验表明：N N ?与v 及v ?有关，当v ?很小时，可认为N N
?与v ?成正比，比例系数是v 的函数，即
()v v f N
?=? （5-22）
()v f 的物理意义：在速率v 附近，单位速率间隔内出现的分子数占总分子数的比率。
在近代测定气体分子速率的实验获得成功之前，麦克斯韦和玻尔兹曼等人已从理论（概率论、统计力学等）上确定了气体分子按速率分布的统计规律，其结果为：在平衡态下，当气体分子间的相互作用可忽略时，分布在足够小的速率区间v v v ?+-内分子数占总分子数的比例为：
v v e kT m N N v kT m
???
? ??=?-2
22
3224ππ （5-23） 式中：m 是气体分子质量，k 为玻尔兹曼常数，T 是热力学温度。比较（5-22）、（5-23），有：
()2
22
3224v e
kT m v f v kT m
-??
? ??=ππ （5-24） 式中：()v f 称为麦克斯韦速率分布律。
说明：⑴它是一个统计规律，只适用于
平衡态。
⑵归一化条件：如5-5图所示， 在dv v v +-内分子数dN 占总
分子数比为：
()阴影面积总
==dv v f N dN
在0～∞区间内，此比率为：
()100==??∞
dv v f N dN N 总总 即
（5-25）
上式叫做()v f 的归一化条件，在气体速率区间出现的分子数占总分子
数的比为1。几何意义：()v f 曲线与v 轴围成面积=1。 三、三种速率 1、最可几速率p v
定义：使()v f 取最大值的速率为最可几速率。 记做p v 。可见，对等速率间隔而言，p v 附近速率 区间内分子数占总分子数的比最大。注意：p v 不 是最大速率。p v =？
()????????+?-??? ??=???
???????? ??=---2
2222223
22232222424v kT
m v kT m v kT m ve v ve kT m kT m v e kT m dv d dv v df ππππ
0=（此时0≠=p v v ，约分）
01
2
=+-
?p v m 即 （5-26）
2、平均速率v
在dv v v +-内分子数dN 为
()dv v Nf dN =
∵dv 很小，∴可认为dN 个分子速率相同，且均为v ，这样，在dv v v +-内dN 个分子速率和为：
()dv v Nvf vdN =
在整个速率区间内分子速率总和为：
()()dv v vf N dv v Nvf vdN N
???
∞
∞==00
∴N 个分子的平均速率为
()?
??∞
-∞??
? ??===
222
300
224dv v e
kT m v dv v vf N
vdN v v kT m
N
ππ ?∞-??
? ??=02
22
3
224dv v ve
kT m v kT m
ππ 积分?∞-=0
2
22221dv v e v kT m
?∞-=0
2221xdx e v x x kT
m
令
???
?
????+-?∞-∞-dx e m kT x e m kT x kT m
x kT m 02022221分部积分
?∞-=02dx e m
kT x kT m
∞-
??
?
??-=
22x kT
m e m kT m kT
2
2??
? ??=m kT 2
2
3224???
?????? ??=?m kT kT m v ππ
（5-27）
3、方均根速率2v
在dv v v +-内分子数为dN ，
()dv v Nf dN =
dv v v +-内的dN 个分子速率平方和为：
()dv v f Nv dN v 22= 在整个速率区间上分子速率平方和为：
()??
∞
=0
20
2
dv v f v N dN v N
N 个分子速率平方的平均值为：
()()?
??
∞
∞??
? ??===0
42
3020
2224dv v v f kT m dv v f v N
dN v v N
ππ
m
kT
3=
（分部积分）
（5-28） 另外：前面已讲过：
?????==kT
v m 23212?? ?μRT m kT v 332== 说明：⑴p v 、v 、2v 各有其用
如：p v ：可用来讨论速率分布；
v ：可用来计算平均距离；
2v ：可用来计算平均平动动能。
⑵p v 〈v 〈2v
⑶注意：()dv v vf ?∞0
及()dv v f v ?∞
2的物理意义。
例5-3：如图所示，⑴若二曲线对应同一理想气体，则哪条曲线对应T 大？
⑵在⑴中，哪条曲线对应的气体内能大？ ⑶若二曲线为不同气体同一温度情况，则
哪条曲线对应的气体分子质量大？
解：⑴∵m kT
v p 2= ，而???<一定m v v p p 21， ∴21T T <
⑵∵RT i
M E 2
μ=，∴12E E >
⑶∵m kT
v p 2=，而???>一定
T v v p p 12 ，∴21m m >
例5-4：图示的()v v f -曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦分子速率分
布曲线，由图可知，⑴?2=pH v ⑵2po v =？
解：⑴∵m
kT
v p 2=
又???<22
o H m m T 相同
∴s m v pH /20002= ⑵4
1
/2/2/222222===
o H H o pH po m m m kT m kT v v s m v v pH po /50020004
1
4122=?==
? 例5-5：若气体分子的速率分布曲线如图，图中
A 、
B 两部分面积相等，则图中0v 的物
理意义是什么？
解：()内分子数出现在部面积0000
v A dv v f v -==?
占总分子数的比率；
()内分子数出现在部面积∞-==?∞
v
B dv v f v
占总分子数的比率
∵A 部面积=B 部面积，∴出现在大于和小于速率0v 的分子数相同。
例5-6：三个容器A 、B 、C 中装有同种理想气体，其分子数密度相同，而方均根速率之比为()2
1
2
A v :()2
12
B v :()
2
12
C v =1:2:4，则其压强之比A p :B p :C p =？
解：A p :B p :C p =C B A nkT nkT nkT ::
∵()2
12A v :()2
12B
v :()2
12C
v =
m
kT m kT m kT C
B A 3:
3:3
=1:2:4
∴16:4:1::=C B A T T T ?A p :B p :C p =16:4:1
§5-6 分子的平均自由程和平均碰撞次数
一、分子间碰撞
从上节讨论可知，气体分子运动速率很大，如在0℃时，2O 分子中大多数分子的速率都在200～600m/s ，即在1s 内气体分子要走几百米，但在我们几米远处打开汽油瓶，却要经过数秒钟甚至数分钟才能闻到汽油的气味。何故？这是因为气体分子从一处移至另一处时，要不断与其他分子碰撞，碰撞后分子不是沿直线运动而是折线。（这个问题是克劳修斯提出的）
碰撞是气体分子运动论的重要问题之一，它有一定的应用上的理论价值。如：研究输运过程时，必须考虑到分子之间的相互作用对运动情况的影响，即分子间的碰撞机制。 二、平均碰撞次数和平均自由程
1、定义：分子连续两次碰撞之间所走过的平均路程叫做分子的平均自由程，记做λ。一个分子在单位时间内与其他分子碰撞的平均次数叫做平均碰撞频率，记做Z 。
可见 λ：从空间角度反映了分子间的碰撞频繁程度；
Z ：从时间角度反映了分子间的碰撞频繁程度。 2、λ、Z 推导
为计算简便，做如下面假设：
⑴所有分子都是直径为d 的刚球
（对理想气体分子模型修正） ⑵某分子A 以v 运动，其他分子 不动。
?=Z
A 与其他分子碰撞后，沿图5-10中折线运动1s 内，A 走过路程v v S =?=1。 由图知，凡是离A 运动的折线abcd 小于d 的分子，都将和A 分子碰撞，1s 内分子运动的轨迹为轴作半径为d 的柱体，则由上知，凡球心在这个柱体内的分子都将与A 碰撞。设n 为气体分子数密度，有
v d n Z 2π=
以上推导中，认为A 运动，其他分子不动，实际上，其他分子也在运动，因此对上
式做修正，修正后结果（可由麦克斯韦速率分布求得修正系数）为：
（5-29）
?=λ
由定义，A 每走一个λ，就与其他分子碰一次，
∴Z ?λ=单位时间内走过的路程=v v =?1
n d Z v 2
21
πλ==?
（5-30） 说明：⑴λ、Z 是对大量分子统计平均结果，是统计平均量。
⑵d 不是分子真实直径，而称为有效直径。这是因为分子之间距离小 到一定程度时，表现为斥力，而且很大，故他们不能相接触。 ⑶以上各节是在平衡态条件下得到的结果。
例5-7：下面答案哪一个反映了理想气体分子在等压过程中的平均碰撞频率与热力学温度T 的关系？
A 与T 无关；
B 与T 成正比；
C 与T 成反比；
D 与T 成正比
解：kT p
m kT d n v d Z ?
==πππ82222 T
k p
m kT d 1
1822ππ= 故C 对。
例5-8：某理想气体在1T 、2T 时的速率分布曲线如图5-11所示，若在1T 、2T 时的压强相
等，则平均自由程关系为下面答案的哪一个？ A 21λλ>； B 21λλ=； C 21λλ<； D 无法比较
解：p
d kT
n d 22221ππλ=
= ∵ m
kT
v p 2=
而21p p v v < m 相同 ∴ 12T T > 又21p p 、相等
∴ 12λλ>。
故选C 图5-11 例5-9：一定量的理想气体，const V =，当124P P =时，下面那一个答案正确？
A 12Z Z =，1241
λλ=； B 122Z Z =，12λλ=；
C 122Z Z =，1241
λλ=； D 124Z Z =，12λλ=；
解：m
kT
n d n v d Z πππ82222==
由题意知，const n =，112244T kn
P
kn P T ===
122Z Z =?
∵ const n
d ==221
πλ
∴ 12λλ=
故B 对。
§5-7玻耳兹曼统计分布
麦克斯韦速率分布是对理想气体而言的，玻耳兹曼把它推广到在某一力场中的运动分子情况，在力场中的分布结果叫做玻耳兹曼分布（或麦克斯韦—玻耳兹曼分布）。本节通过一个特例—重力场中分子数密度随高度（重力势能）分布，来阐明玻耳兹曼分布律。
对于理想气体，则空间分布是均匀的，考虑重力后，气体分子的分布不再均匀，其粒子数密度随高度变化而变化。在此，取地为坐标原点，竖直向上为Z 轴正向，为讨论方便，考虑地面附近的大气，此时认为温度T 和重力加速度均恒定。
对于Z 处的压强P ，它为Z 处垂直于Z 轴的单位面积上方空气柱（平行Z 轴）的重量，在dZ Z +处，压强为dP P +，即有一压强增量dP 。
∵0 dP （P 随Z 增加而减小） ∴dP =一底面积为1高为dZ 的气柱重量， 即 ()gdZ g dZ dP ρρ-=?-=1（ρ为质量密度） mngdZ -=（m 为分子质量，n 为分子数密度） gdZ kT P m -= dZ kT mg P dP -=? 积分：??-=z p p dZ kT mg P dP 0 0（0P 为0=Z 处P ），得 Z kT mg e P P - = 或写成 （5-31） 0n 为0=Z 处n ） （5-32） 上式为分子数密度随高度（或势能变化）的表述式。 推广：一般力场中，用p E 表示相应势能，则有 （5-33） 上式叫做玻耳兹曼分布律。 说明：玻耳兹曼分布是一种经典统计，对于微观世界的现象，虽然必须用量子理论（量子统计：玻色—爱因斯坦统计，费米—狄拉克统计）才能解释，而经典统计只能看成是量子理论的极限近似，但是经典统计的结果，在很多情况下还是与实际符合的。如：在分析半导体中载流子按能量分布问题时，一般情况下仍可采用经典统计结果。 第二章 气体动理论 1-2-1选择题： 1、处于平衡状态的一瓶氦气和一瓶氮气的分子数密度相同，分子的平均平动动能也相同，都处于平衡态。以下说法正确的是： （A ）它们的温度、压强均不相同。 （B ）它们的温度相同，但氦气压强大于氮气压强。 （C ）它们的温度、压强都相同。 (D) 它们的温度相同，但氦气压强小于氮气压强。 2、三个容器A 、B 、C 中装有同种理想气体，其分子数密度n 相同，方均根速率之比4:2:1: : 2 2 2 C B A v v v ， 则其压强之比C B A p p p ::为： (A) 1 : 2 : 4 (B) 1 : 4 : 8 (C) 1 : 4 : 16 (D) 4 : 2 : 1 3、一定量的理想气体贮于某一容器中，温度为T ，气体分子的质量为m . 根据理想气体的分子模型和统计假设，分子速度在x 方向的分量平方的平均值为: (A) 2x v = m kT 3 (B) 2 x v = m kT 331 (C) 2 x v = m kT 3 (D) 2 x v = m kT 4、关于温度的意义，有下列几种说法： (1) 气体的温度是分子热运动平均平动动能的量度. (2) 气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义. (3) 温度的高低反映物质内部分子热运动剧烈程度的不同. (4) 从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度. 上述说法中正确的是 （A ） (1)、(2)、(4) （B ） (1)、(2)、(3) （C ） (2)、(3)、(4) (D) (1)、(3)、(4) 5、两容器内分别盛有氢气和氦气，若它们的温度和质量分别相等，则： (A) 两种气体分子的平均平动动能相等. (B) 两种气体分子的平均动能相等. (C) 两种气体分子的方均根速率相等. (D) 两种气体的内能相等. 6、一容器内装有N 1个单原子理想气体分子和N 2个刚性双原子理想气体分子，当该系统处在温度为T 的平衡态时，其内能为 (A) ??? ??++kT kT N N 2523)(21 (B) ??? ??++kT kT N N 252 3 )(2121 (C) kT N kT N 252321+ (D) kT N kT N 2 3 2521+ 7、有一截面均匀的封闭圆筒，中间被一光滑的活塞分割成两边，如果其中的一边装有0.1kg 某一温度的氢气，为了使活塞停留在圆筒的正中央则另一边应装入同一温度的氧气质量为： （A ） kg 16 1 (B) 0.8 kg (C ) 1.6 kg (D) 3.2 kg 8、若室内生火炉以后，温度从15°C 升高到27°C ，而室内的气压不变，则此时室内的分子数减少了： (A) 0.5% (B) 4% (C) 9% (D) 21% 9、有容积不同的A 、B 两个容器，A 中装有单原子分子理想气体，B 中装有双原子分子理想气体。如果两种气体的压强相同，那么这两种气体的单位体积的内能A V E ??? ??和B V E ??? ??的关系为： （A ）B A V E V E ??? ????? ?? 第12章 气体动理论 一、填空题： 1、一打足气的自行车内胎，若在7℃时轮胎中空气压强为4.0×5 10pa .则在温度变为37℃， 轮胎内空气的压强是 。（设内胎容积不变） 2、在湖面下50.0m 深处（温度为4.0℃），有一个体积为531.010m -?的空气泡升到水面上 来，若湖面的温度为17.0℃，则气泡到达湖面的体积是 。（取大气压强为50 1.01310p pa =?） 3、一容器内储有氧气，其压强为50 1.0110p pa =?，温度为27.0℃，则气体分子的数密度 为 ；氧气的密度为 ；分子的平均平动动能为 ； 分子间的平均距离为 。（设分子均匀等距排列） 4、星际空间温度可达2.7k ，则氢分子的平均速率为 ，方均根速率为 ， 最概然速率为 。 5、在压强为5 1.0110pa ?下，氮气分子的平均自由程为66.010cm -?，当温度不变时，压强为 ，则其平均自由程为1.0mm 。 6、若氖气分子的有效直径为82.5910cm -?，则在温度为600k ，压强为2 1.3310pa ?时，氖分子1s 内的平均碰撞次数为 。 7、如图12-1所示两条曲线(1)和(2),分别定性的表示一定量的 某种理想气体不同温度下的速率分布曲线,对应温度高的曲线 是 .若图中两条曲线定性的表示相同温 度下的氢气和氧气的速率分布曲线,则表示氧气速率分布曲线的 是 . 图12-1 8、试说明下列各量的物理物理意义： （1） 12kT ， （2）32 kT ， （3）2i kT ， （4）2 i RT ， （5）32RT ， （6）2M i RT Mmol 。 参考答案： 1、54.4310pa ? 2、536.1110m -? 3、2533 2192.4410 1.30 6.2110 3.4510m kg m J m ----???? 4、2121 121.6910 1.8310 1.5010m s m s m s ---?????? 5、6.06pa 6、613.8110s -? 7、（2） ，（2） 8、略 二、选择题： 教材习题12-1，12-2，12-3，12-4. （见课本p207～208） 参考答案：12-1～12-4 C, C, B, B. 第十三章热力学基础 一、选择题 1、有两个相同的容器，容积不变，一个盛有氦气，另一个盛有氢气（均可看成刚性分 子）它们的压强和温度都相等，现将 5 J 的热量传给氢气，使氢气温度升高，如果使氦气也 升高同样的温度，则应向氦气传递的热量是 （ ） （A ） 6 J （B ） 5 J （C ） 3 J （D ） 2 J 2、一定量理想气体，经历某过程后，它的温度升高了，则根据热力学定理可以断定： （1）该理想气体系统在此过程中作了功； （2）在此过程中外界对该理想气体系统作了正功； 第12章 气体动理论 一、 填空题： 1、一打足气的自行车内胎，若在7℃时轮胎中空气压强为4.0×510pa .则在温度变为37℃，轮胎内空气的 压强是 。（设内胎容积不变） 2、在湖面下50.0m 深处（温度为4.0℃），有一个体积为531.010m -?的空气泡升到水面上来，若湖面的 温度为17.0℃，则气泡到达湖面的体积是 。（取大气压强为50 1.01310p pa =?） 3、一容器内储有氧气，其压强为50 1.0110p pa =?，温度为27.0℃，则气体分子的数密度 为 ；氧气的密度为 ；分子的平均平动动能为 ；分子间的平均 距离为 。（设分子均匀等距排列） 4、星际空间温度可达 2.7k ，则氢分子的平均速率为 ，方均根速率为 ，最概然速率 为 。 5、在压强为51.0110pa ?下，氮气分子的平均自由程为66.010cm -?，当温度不变时，压强 为 ，则其平均自由程为1.0mm 。 6、若氖气分子的有效直径为82.5910cm -?，则在温度为600k ，压强为21.3310pa ?时，氖分子1s 内的 平均碰撞次数为 。 7、如图12-1所示两条曲线(1)和(2),分别定性的表示一定量的 某种理想气体不同温度下的速率分布曲线,对应温度高的曲线 是 .若图中两条曲线定性的表示相同温 度下的氢气和氧气的速率分布曲线,则表示氧气速率分布曲线的 是 . 8、试说明下列各量的物理物理意义： （1） 12kT ， （2）32 kT ， （3）2i kT ， （4）2 i RT ， （5）32RT ， （6）2M i RT Mmol 。 参考答案： 1、54.4310pa ? 2、536.1110m -? 3、25332192.4410 1.30 6.2110 3.4510m kg m J m ----???? 4、21 21121.6910 1.8310 1.5010m s m s m s ---?????? 图12-1 第二章?????气体分子运动论的基本概念2013-7-22崎山苑工作室1 2.1物质的微观模型分子运动论是从物质的微观结构出发来阐明热现象的规律的。 一、宏观物体是由大量微粒－－分子（或原子）组成的宏观物体是由分子组成的，在分子之间存在着一定的空隙。例如气体很容易被压缩，又如水和酒精混合后的体积小于两者原有体积之和，这都说明分子间有空隙。用20000atm的压强压缩钢筒中的油，结果发现油可以透过筒壁渗出，这说明钢的分子间也有空隙。目前用高分辨率的扫描隧道显微镜已能观察晶体横截面内原子结构的图像，并且能够操纵原子和分子。2013-7-22崎山苑工作室2 2013-7-22崎山苑工作室 二、物体内的分子在不停地运动着，这种运动是无规则的，其剧烈程度与物体的温度有关扩散现象说明：一切物体（气体、液体、固体）的分子都在不停地运动着 在显微镜下观 察到悬浮在液 体中的小颗粒 都在不停地作 无规则运动， 该运动由布朗 最早发现，称 为布朗运动。 2013-7-22崎山苑工作室4 布朗运动的无规则性，实际上反映了液体内部分子运动的无规则性。 所谓“无规则”指的是： 1。由于分子间的相互碰撞，每个分子的运动方向和速率都在不断地改变； 2。任何时刻，在液体或气体内部，沿各个方向运动的分子都有，而且分子运动的速率有大有小。 实验结果：扩散的快慢和布朗运动的剧烈程度都与温度的高低有显著的关系。随着温度的升高，扩散过程加快，悬浮颗粒的运动加剧。 结论：分子无规则运动的剧烈程度与温度有关，温度越高，分子的无规则运动就越剧烈。通常把分子的这种运动称为热运动。 2013-7-22崎山苑工作室5 三、分子之间有相互作用力吸引力：由于固体与液体的分子之间存在着相互的吸引力使固体能够保持一定的形状与体积而液体能保持一定的体积。 右图演示实验说明分子之间存在着相互的吸引力 排斥力：固体和液体的很难压缩说明分子之间存在着斥力结论：一切宏观物体都是由大量分子（或原子）组成的；所有的分子都处在不停的、无规则热运动中；分子之间有相互作用力。 2013-7-22崎山苑工作室6 三、分子之间有相互作用力吸引力：由于固体与液体的分子之间存在着相互的吸引力使固体能够保持一定的形状与体积而液体能保持一定的体积。 右图演示实验说明分子之间存在着相互的吸引力 第二章 气体分子运动论的基本概念 2-1 目前可获得的极限真空度为10-13 mmHg 的数量级，问在此真空度下每立方厘米内有多少空气分子，设空气的温度为27℃。 解： 由P=n K T 可知 n =P/KT=) 27327(1038.11033.1101023 213+?????-- =3.21×109(m –3 ) 注：1mmHg=1.33×102 N/m 2 2-2 钠黄光的波长为5893埃，即5.893×10-7 m ，设想一立方体长5.893×10-7 m ， 试问在标准状态下，其中有多少个空气分子。 解：∵P=nKT ∴PV=NKT 其中T=273K P=1.013×105 N/m 2 ∴N=6 23375105.5273 1038.1)10893.5(10013.1?=?????=--KT PV 个 2-3 一容积为11.2L 的真空系统已被抽到1.0×10-5 mmHg 的真空。为了提高其真空度， 将它放在300℃的烘箱内烘烤，使器壁释放出吸附的气体。若烘烤后压强增为1.0×10-2 mmHg ，问器壁原来吸附了多少个气体分子。 解：设烘烤前容器内分子数为N 。，烘烤后的分子数为N 。根据上题导出的公式PV = NKT 则有： )(0 110011101T P T P K V KT V P KT V P N N N -=-= -=? 因为P 0与P 1相比差103 数量，而烘烤前后温度差与压强差相比可以忽略，因此 T P 与 1 1 T P 相比可以忽略 1823 2 23111088.1) 300273(1038.11033.1100.1102.11??+???????=?=?---T P K N N 个 2-4 容积为2500cm 3 的烧瓶内有1.0×1015 个氧分子,有4.0×1015 个氮分子和3.3×10-7 g 一、选择题 ［ C ］1、（基础训练2）两瓶不同种类的理想气体，它们的温度和压强都相同，但体积不同，则单位体积内的气体分子数n ，单位体积内的气体分子的总平动动能(E K /V )，单位体积内气体的质量?的关系为： (A) n 不同，(E K /V )不同，??不同． (B) n 不同，(E K /V )不同，??相同． (C) n 相同，(E K /V )相同， ??不同． (D) n 相同，(E K /V )相同，??相同． 【提示】① ∵nkT p =，由题意，T ，p 相同，∴n 相同； ② ∵kT n V kT N V E k 2 3 23==，而n ，T 均相同，∴V E k 相同； ③ RT M M pV mol =→RT pM V M mol ==ρ，T ，p 相同，而mol M 不同，∴ρ不同。 ［ B ］2、（基础训练7）设图示的两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子的速率分布曲线；令() 2 O p v 和() 2 H p v 分别表示氧气和氢气的 最概然速率，则 (A) 图中a 表示氧气分子的速率分布曲线； ()2 O p v /() 2 H p v = 4． (B) 图中a 表示氧气分子的速率分布曲线； ()2 O p v /() 2 H p v ＝1/4． (C) 图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线； ()2 O p v /() 2 H p v ＝1/4． (D) 图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线； ()2 O p v /() 2 H p v ＝ 4． 【提示】①最概然速率p v =p v 越小，故图中a 表示氧气分子的速率分布曲线； ②23 ,3210(/)mol O M kg mol -=?， 23 ,210(/)mol H M kg mol -=?， 得 ()() 2 2 O v v p p H 14 = ［ C ］3、（基础训练8）设某种气体的分子速率分布函数为f (v )，则速率分布在v 1~v 2 气体动理论 一、选择题 1．按照气体分子运动论，气体压强的形成是由于 （ ） （A ）气体分子之间不断发生碰撞； （B ）气体分子的扩散； （C ）气体分子不断碰撞器壁； （D ）理想气体的热胀冷缩现象． 2．理想气体中仅由温度决定其大小的物理量是（ ） （A ）气体的压强 （B ）气体分子的平均速率 （C ）气体的内能 （D ）气体分子的平均平动动能 3. 在一个容积不变的封闭容器内理想气体分子平均速率若提高为原来的2倍，则（ ） A ．温度和压强都提高为原来的2倍 B ．温度为原来的2倍，压强为原来的4倍 C ．温度为原来的4倍，压强为原来的2倍 D ．温度和压强都为原来的4倍 4．关于温度的意义，下列几种说法中错误的是：（ ） A ．气体的温度是分子平均平动动能的量度． B ．气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义． C ．温度的高低反映物质内部分子运动剧烈程度的不同． D ．从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度． 5．容积为V 的容器中，贮有1N 个氧分子、2N 个氮分子和M kg 氩气的混合气体，则混合 气体在温度为T 时的压强为（其中A N 为阿佛伽德罗常数，μ为氩分子的摩尔质量）[ ] （A ）kT V N 1 （B ）kT V N 2 （C ）kT V MN A μ （D ）kT N M N N V A )(121μ ++ 6．一瓶氦气和一瓶氮气(均为理想气体)都处于平衡状态，质量密度相同，分子平均平动动 能相同，则它们( ) A 、温度相同、压强相同； B 、温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强； C 、温度、压强都不相同； D 、温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强 7．压强、温度相同的氩气和氮气，它们的分子平均平动动能k ε和平均动能ε的关系为 （ ） （A ）和k ε都相等 （B ）和k ε都不相等 （C ）k ε相等，而 ε不相等 （D ）ε相等，而k ε不相等 8．mol 2的刚性分子理想气体甲烷，温度为T ，其内能可表示为：( ) A 、kT 5； B 、kT 6； C 、RT 5； D 、RT 6. 气体动理论知识点总结 注意：本章所有用到的温度指热力学温度，国际单位开尔文。 T=273.15+t 物态方程 A N PV NkT P kT nkT V m PV NkT PV vN kT vRT RT M =→= =' =→===（常用） 一、 压强公式 11()33 P mn mn = =ρρ=22v v 二、 自由度 *单原子分子： 平均能量=平均平动动能=(3/2)kT *刚性双原子分子： 平均能量=平均平动动能+平均平动动能=325222 kT kT kT += *刚性多原子分子： 平均能量=平均平动动能+平均平动动能=3 332 2 kT kT kT += 能量均分定理：能量按自由度均等分布，每个自由度的能量为(1/2)kT 所以，每个气体分子的平均能量为2 k i kT ε= 气体的内能为k E N =ε 1 mol 气体的内能22 k A i i E N N kT RT =ε== 四、三种速率 p = ≈v = ≈v = ≈ 三、 平均自由程和平均碰撞次数 平均碰撞次数：2Z d n =v 平均自由程： z λ= =v 根据物态方程：p p nkT n kT =?= 平均自由程： z λ==v 练习一 1．关于温度的意义，有下列几种说法： （1）气体的温度是分子平均平动动能的量度。（2）气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义。 （3）温度的高低反映物质内部分子热运动剧烈程度的不同。 （4）从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度。（错） 解：温度是个统计量，对个别分子说它有多少温度是没有意义的。 3．若室内升起炉子后温度从15℃升高到27℃，而室内气压不变，则此时室内的分子数减少了： 解：PV NkT = 211227315 0.9627327N T N T +===+ 1210.04N N N N ?=-= 则此时室内的分子数减少了4%. 4. 两容器内分别盛有氢气和氦气，若他们的温度和质量分别相等，则：（A ） （A ）两种气体分子的平均平动动能相等。 （B ）两种气体分子的平均动能相等。 （C ）两种气体分子的平均速率相等。 （D ）两种气体的内能相等。 任何气体分子的平均平动动能都是(3/2)kT ，刚性双原子分子： 平均能量=平均平动动能+平均平动动能=3 252 2 2 kT kT kT += 一．选择题 1、(基础训练1)［ C ］温度、压强相同的氦气与氧气,它们分子的平均动能ε与平均平动动能w 有如下关系: (A) ε与w 都相等. (B) ε相等,而w 不相等. (C) w 相等,而ε不相等. (D) ε与w 都不相等. 【解】:分子的平均动能kT i 2 = ε,与分子的自由度及理想气体的温度有关,由于氦气为单原子分子,自由度为3;氧气为双原子分子,其自由度为5,所以温度、压强相同的氦气与氧气,它们分子的平均动能ε不相等;分子的平均平动动能kT w 2 3 = ,仅与温度有关,所以温度、压强相同的氦气与氧气,它们分子的平均平动动能w 相等。 2、(基础训练3)［ C ］三个容器A 、B 、C 中装有同种理想气体,其分子数密度n 相同, 而方均根速率之比为( )()()2 /122 /122 /12::C B A v v v ＝1∶2∶4,则其压强之比A p ∶B p ∶ C p 为: (A) 1∶2∶4. (B) 1∶4∶8. (C) 1∶4∶16. (D) 4∶2∶1. 【解】:气体分子的方均根速率:M RT v 32 = ,同种理想气体,摩尔质量相同,因方均根速率之比为1∶2∶4,则温度之比应为:1:4:16,又因为理想气体压强nkT p =,分子数密度n 相同, 则其压强之比等于温度之比,即:1:4:16。 3、(基础训练8)［ C ］设某种气体的分子速率分布函数为f (v ),则速率分布在v 1~v 2区间内的分子的平均速率为 (A) ? 2 1d )(v v v v v f . (B) 2 1 ()d v v v vf v v ?. (C) ? 2 1 d )(v v v v v f /?2 1 d )(v v v v f . (D) ? 2 1 d )(v v v v v f /0()d f v v ∞ ? . 【解】:因为速率分布函数f (v )表示速率分布在v 附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分率,所以 ? 2 1 d )(v v v v v f N 表示速率分布在v 1~v 2区间内的分子的速率总与,而 2 1 ()d v v Nf v v ? 表示速率分布在v 1~v 2区间内的分子数总与,因此?2 1 d )(v v v v v f /?2 1 d )(v v v v f 表 示速率分布在v 1~v 2区间内的分子的平均速率。 4、(基础训练10)［ B ］一固定容器内,储有一定量的理想气体,温度为T ,分子的平均碰撞次数为 1Z ,若温度升高为2T ,则分子的平均碰撞次数2Z 为 (A) 21Z . (B) 12Z . (C) 1Z . (D) 12 1Z . 【解】:分子平均碰撞频率n v d Z 2 2π,因就是固定容器内一定量的理想气体,分子数密 度n 不变,而平均速率: v = 温度升高为2T ,则平均速率变为v 2,所以2Z =12Z 5、(自测提高3)［ B ］若室内生起炉子后温度从15℃升高到27℃,而室内气压不变,则此时室内的分子数减少了:(A)0、500. (B) 400. (C) 900. (D) 2100. 第10章 气体动理论题目无答案 一、选择题 1. 一理想气体样品, 总质量为M , 体积为V , 压强为p , 绝对温度为T , 密度为?, 总分子数为N , k 为玻尔兹曼常数, R 为气体普适常数, 则其摩尔质量可表示为 [ ] (A) MRT pV (B) pV MkT (C) p kT ρ (D) p RT ρ 2. 如T10-1-2图所示，一个瓶内装有气体, 但有小孔与外界相通, 原来瓶内温度为300K ．现在把瓶内的气体加热到400K (不计容积膨胀), 此时瓶内气体的质量为 原来质量的______倍． [ ] (A) 27／127 (B) 2／3 (C) 3／4 (D) 1／10 3. 相等质量的氢气和氧气被密封在一粗细均匀的细玻璃管内, 并由一 水银滴隔开, 当玻璃管平放时, 氢气柱和氧气柱的长度之比为 [ ] (A) 16:1 (B) 1:1 (C) 1:16 (D) 32:1 4. 一容器中装有一定质量的某种气体, 下列所述中是平衡态的为 [ ] (A) 气体各部分压强相等 (B) 气体各部分温度相等 (C) 气体各部分密度相等 (D) 气体各部分温度和密度都相等 5. 一容器中装有一定质量的某种气体, 下面叙述中正确的是 [ ] (A) 容器中各处压强相等, 则各处温度也一定相等 (B) 容器中各处压强相等, 则各处密度也一定相等 (C) 容器中各处压强相等, 且各处密度相等, 则各处温度也一定相等 (D) 容器中各处压强相等, 则各处的分子平均平动动能一定相等 6. 理想气体能达到平衡态的原因是 [ ] (A) 各处温度相同 (B) 各处压强相同 (C) 分子永恒运动并不断相互碰撞 (D) 各处分子的碰撞次数相同 7. 理想气体的压强公式 k 3 2 εn p = 可理解为 [ ] (A) 是一个力学规律 (B) 是一个统计规律 (C) 仅是计算压强的公式 (D) 仅由实验得出 8. 一个容器内贮有1摩尔氢气和1摩尔氦气，若两种气体各自对器壁产生的压强分别为p 1和p 2，则两者的大小关系是： [ ] (A) p 1> p 2 (B) p 1< p 2 (C) p 1＝p 2 (D)不确定的 9. 在一密闭容器中，储有A 、B 、C 三种理想气体，处于平衡状态．A 种气体的分子数密度为n 1，它产生的压强为p 1；B 种气体的分子数密度为2n 1；C 种气体的分子数密度为3 n 1．则混合气体的压强p 为 [ ] (A) 3 p 1 (B) 4 p 1 (C) 5 p 1 (D) 6 p 1 10. 若室内生起炉子后温度从15?C 升高到27?C, 而室内气压不变, 则此时室内的分子数减少了 [ ] (A) % (B) 4% (C) 9% (D) 21% 11. 无法用实验来直接验证理想气体的压强公式, 是因为 T10-1-2图 T 10-1-3图 理工科专业 《大学物理B 》 气体动理论 热力学基础 答： 112 3 V p 0 p O V V 12V 1 p 12p 1A B 图1 4、 给定的理想气体(比热容比γ为已知)，从标准状态(p 0、V 0、T 0)开始，作绝热膨胀，体积增大到三倍，膨胀后的温度T ＝____________，压强p ＝__________． 答： 1 ) 1 (T -γ , )1 (p γ 图2 (A) 一定都是平衡态． (B) 不一定都是平衡态． (C) 前者一定是平衡态，后者一定不是平衡态． (D) 后者一定是平衡态，前者一定不是平衡态． （ C ）4、一定量的理想气体，经历某过程后，温度升高了．则根据热力学定律可以断定： ① 该理想气体系统在此过程中吸了热． ② 在此过程中外界对该理想气体系统作了正功． ③ 该理想气体系统的内能增加了． ④ 在此过程中理想气体系统既从外界吸了热，又对外作了正功． 以上正确的断言是： (A) ① 、③ ． (B) ②、③． (C) ③． (D) ③、④． （ D ）5、有人设计一台卡诺热机(可逆的)．每循环一次可从 400 K 的高温热源吸热1800 J ，向 300 K 的低温热源放热 800 J ．同时对外作功1000 J ，这样的设计是 (A) 可以的，符合热力学第一定律． (B) 可以的，符合热力学第二定律． (C) 不行的，卡诺循环所作的功不能大于向低温热源放出的热量． (D) 不行的，这个热机的效率超过理论值． 三、判断题（每小题1分，请在括号里打上√或×） （ × ）1、气体的平衡态和力学中的平衡态相同。 （ √ ）2、一系列的平衡态组成的过程是准静态过程。 （ × ）3、功变热的不可逆性是指功可以变为热，但热不可以变为功。 （ × ）4、热传导的不可逆性是指热量可以从高温物体传到低温物体，但不可以从低温物体传到高温物体。 （ × ）5、不可逆循环的热机效率1 2 1Q Q bukeni - <η。 四、简答题（每小题5分） 1、气体动理论的研究对象是什么？理想气体的宏观模型和微观模型各如何？ 答：气体动理论的研究对象是大量微观粒子组成的系统。（1分）是从物质的微观结构和分子运动论出发，运用力学规律，通过统计平均的办法，求出热运动的宏观结果，（1分）再由实验确认的方法。（1分） 从宏观看，在温度不太低，压强不大时，实际气体都可近似地当作理想气体来处理，压强越低，温度越高，这种近似的准确度越高。（1分）理想气体的微观模型是把分子看成弹性的自由运动的质点。（1分） 2、用热力学第一定律和第二定律分别证明，在V p -图上一绝热线与一等温线不能有两个交点，如图2所示。 解：（1）由热力学第一定律有 W E Q +?= 若有两个交点a 和b ，则经等温b a →过程有 0111=-=?W Q E （1分） 经绝热b a →过程 第四章 气体动理论 2-4-1选择题： 1、处于平衡状态的一瓶氦气和一瓶氮气的分子数密度相同，分子的平均平动动能也相同，都处于平衡态。以下说法正确的是： （A ）它们的温度、压强均不相同。 （B ）它们的温度相同，但氦气压强大于氮气压强。 （C ）它们的温度、压强都相同。 (D) 它们的温度相同，但氦气压强小于氮气压强。 2、三个容器A 、B 、C 中装有同种理想气体，其分子数密度n 相同，方均根速率之比 4:2:1::222=C B A v v v ， 则其压强之比C B A p p p ::为： (A) 1 : 2 : 4 (B) 1 : 4 : 8 (C) 1 : 4 : 16 (D) 4 : 2 : 1 3、一定量的理想气体贮于某一容器中，温度为T ，气体分子的质量为m . 根据理想气体的分子模型和统计假设，分子速度在x 方向的分量平方的平均值为: (A) 2 x v =m kT 3 (B) 2x v = m kT 331 (C) 2 x v = m kT 3 (D) 2x v = m kT 4、关于温度的意义，有下列几种说法： (1) 气体的温度是分子热运动平均平动动能的量度. (2) 气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义. (3) 温度的高低反映物质内部分子热运动剧烈程度的不同. (4) 从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度. 上述说法中正确的是 （A ） (1)、(2)、(4) （B ） (1)、(2)、(3) （C ） (2)、(3)、(4) (D) (1)、(3)、(4) 5、两容器内分别盛有氢气和氦气，若它们的温度和质量分别相等，则： (A) 两种气体分子的平均平动动能相等. (B) 两种气体分子的平均动能相等. (C) 两种气体分子的方均根速率相等. (D) 两种气体的内能相等. 6、一容器内装有N 1个单原子理想气体分子和N 2个刚性双原子理想气体分子，当该系统处在温度为T 的平衡态时，其内能为 (A) ??? ??++kT kT N N 2523)(21 (B) ??? ??++kT kT N N 2523)(2121 习题 8-1 设想太阳是由氢原子组成的理想气体，其密度可当成是均匀的。若此理想气体的压强为1.35×1014 Pa 。试估计太阳的温度。（已知氢原子的质量m = 1.67×10-27 kg ，太阳半径R = 6.96×108 m ，太阳质量M = 1.99×1030 kg ） 解：m R M Vm M m n 3π)3/4(== = ρ K 1015.1)3/4(73?===Mk m R nk p T π 8-2 目前已可获得1.013×10-10 Pa 的高真空，在此压强下温度为27℃的1cm 3体积内有多少个气体分子？ 解：3462310 /cm 1045.210300 1038.110013.1?=????===---V kT p nV N 8-3 容积V ＝1 m 3的容器内混有N 1＝1.0×1023个氢气分子和N 2＝4.0×1023个氧气分子，混合气体的温度为 400 K ，求： （1） 气体分子的平动动能总和；（2）混合气体的压强。 解：（1） J 1014.41054001038.12 3)(233232321?=?????=+=-∑N N kT t ε （2）Pa kT n p i 32323 1076.210540010 38.1?=????== -∑ 8-4 储有1mol 氧气、容积为1 m 3的容器以v =10 m/s 的速率运动。设容器突然停止，其中氧气的80%的机械运动动能转化为气体分子热运动动能。问气体的温度及压强各升高多少？（将氧气分子视为刚性分子） 解：1mol 氧气的质量kg 10323 -?=M ，5=i 由题意得 T R Mv ?=?ν2 5 %80212K 102.62-?=??T T R V p RT pV ?=???=νν 第4章 气体动理论基础 4-1为什么说系统分子数太少时，不能谈论压强与温度？ 答：对少数几个分子而言不能构成热力学系统，分子间确实频繁碰撞，分子速率不满足统计规律，无论是从压强和温度的定义上来讲，还是从压强与温度公式的推导来看，都不满足谈论压强和温度的条件。 4-2已知温度为27℃的气体作用于器壁上的压强为pa 105 ，求此气体内单位体积里的分子数。 解：由 nkT P =，有 2523 510415.2300 1038.1101?=???==-kT P n ]m [3 - 4-3一个温度为17℃、容积3 3m 102.11-?的真空系统已抽到其真空度为pa 1033.13 -?。 为了提高其真空度，将它放在300℃的烘箱内烘烤，使吸附于器壁的气体分子也释放出来。烘烤后容器内压强为pa 33.1,问器壁原来吸附了多少个分子? 解：(1)当17=t ℃K 290=: 1723 3 1032.3290 1038.11033.1?=???==--kT P n ]m [3- 143 17 1072.31052.111032.3?=???==-nV N (1)当300=t ℃K 573=: 2010682.1' ' '?== kT P n ]m [3- 18 10884.1''?==V n N 181088.1'?=-=?N N N 4-4 比较平衡态下分子的平均平动动能、平均动能、平均能量哪个最大？哪个最小？ 答：平均动能=平均平动动能+平均转动动能>平均平动动能 平均能量=平均动能+平均势能>平均动能 4-5 指出下列各式的物理意义：(1)kT 23; (2) kT i 2;(3) RT 23;(4) RT i 2 。 答：(1) kT 2 3 ：分子平均平动动能； 一、选择题 1．下列对最概然速率p v 的表述中，不正确的是（ ） （A ）p v 是气体分子可能具有的最大速率； （B ）就单位速率区间而言，分子速率取p v 的概率最大； （C ）分子速率分布函数()f v 取极大值时所对应的速率就是p v ； （D ）在相同速率间隔条件下分子处在p v 所在的那个间隔内的分子数最多。 答案：A 2．有两个容器，一个盛氢气，另一个盛氧气，如果两种气体分子的方均根速率相等，那么由此可以得出下列结论，正确的是（ ） （A ）氧气的温度比氢气的高； （B ）氢气的温度比氧气的高； （C ）两种气体的温度相同； （D ）两种气体的压强相同。 答案：A 3．理想气体体积为 V ，压强为 p ，温度为 T . 一个分子 的质量为 m ，k 为玻耳兹曼常量，R 为摩尔气体常量，则该理想气体的分子数为： （A ）pV/m （B ）pV/(kT) （C ）pV/(RT) （D ）pV/(mT) 答案：B 4．有A 、B 两种容积不同的容器，A 中装有单原子理想气体，B 中装有双原子理想气体，若两种气体的压强相同，则这两种气体的单位体积的热力学能（内能）A U V ?? ???和B U V ?? ???的关系为 （ ） （A ）A B U U V V ????< ? ?????；（B ）A B U U V V ????> ? ?????；（C ）A B U U V V ????= ? ?????；（D ）无法判断。 答案：A 5.一摩尔单原子分子理想气体的内能（ ）。 （A ）32mol M RT M （B ）2i RT （C ）32RT （D ）32 KT 答案：C 高中物理气体动理论和热力学题库 气体动理论和热力学 卷面总分188 期望值0 入卷题数44 时间 分钟 第1大题： 选择题(57分) 1.1 (3分) 两个体积相等的容器中，分别储有氦气和氢气，以1E 和2E 分别表示氦气和氢气的内能，若他们的压强相同，则（ ） （A ）1E ＝2E （B ）1E >2E （C ）1E <2E （D ）无法确定 1.2 (3分) 一瓶氮气和一瓶氦气密度相同，分子平均平动动能相同，而且它们都处于平衡状态，则它们 ( ) （Ａ）温度相同、压强相同 （Ｂ）温度、压强都不相同 （Ｃ）温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强 （Ｄ）温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强 1.3 (3分) 不同种类的两瓶理想气体，它们的体积不同，但温度和压强都相同，则单位体积内的气体分子数n ，单位体积内的气体分子的总平动动能(V E K /)，单位体积内的气体质量p ，分别有如下关系：( ) （Ａ）n 不同，(V E K /)不同，p 不同 （Ｂ）n 不同，(V E K /)不同，p 相同 （Ｃ）n 相同，(V E K /)相同， p 不同 （Ｄ）n 相同，(V E K /)相同， p 相同 1.4 (3分) 设M 为气体的质量，m 为气体分子质量，N 为气体分子总数目，n 为气体分子数密度，0N 为阿伏伽德罗常数，则下列各式中哪一式表示气体分子的平均平动动能？( ) （Ａ） pV M m 23 （Ｂ） pV M m mol 23 （Ｃ） npV 2 3 （Ｄ） pV N M M mol 023 1.5 (3分) 置于容器内的气体，如果气体内各处压强相等，或气体内各处温度相同，则这两种情况下气体的状态 ( ) （Ａ）一定都是平衡态 （Ｂ）不一定都是平衡态 （Ｃ）前者一定是平衡态，后者一定不是平衡态 （Ｄ）后者一定是平衡态，前者一定不是平衡态 1.6 (3分) 两容器内分别盛有氢气和氦气，若它们的温度和质量分别相等，则：( ) 第11章 气体动理论 练习题 1. 室内生起炉子后，温度从 150C 上升到 270C ，设升温过程中，室内的气压保持不 变，问升温后室内分子数减少了百分之几? 解： /P nkT n P kT =?= 2112288 300 n T n T == 2128812110.044%300300 n n - =-=== 答：B 2. 有容积不同的A 、B 两个容器, A 中装有单原子分子理想气体, B 中装有双原子分子理 想气体. 若两种气体的压强相同, 那么,这两种气体单位体积的内能(E/V )A 和(E/V )B 的关系（ ） (A) 为(E/V )A <(E/V )B . (B) 为(E/V )A >(E/V )B . (C) 为(E/V )A =(E/V )B . (D) 不能确定. 解：由 5,32 ====B A i i RT ，PV RT ，i E νν， 而 B A P P =， ，V RT V RT B A ??? ??=??? ??νν 则 ，V RT V E ，V RT V E B B A A ??? ??==??? ????? ??=??? ??νν2523 所以 B A V E V E ??? ?? (B) v ()?2 1d v v v v f . (C) ()()?? 2 1 21d d v v v v v v f v v vf . (D) ?? ∞ )d ()d (2 1 v v f v v f v v . 答：C 4. 已知一定量的某种理想气体,在温度为T 1与T 2时分子最概然速率分别为v p1和v p2,分子速率分布函数的最大值分别为f (v p1)和f (v p2), 若T 1＞T 2 , 则（ ） (A) v p1＞v p2 , f (v p1)＞f (v p2) . (B) v p1＞v p2 , f (v p1)＜f (v p2) . (C)v p1＜v p2 , f (v p1)＞f (v p2 ) . (D) v p1＜v p2 , f (v p1)＜f (v p2) . 答：B 5. 图11－6所列各图表示的速率分布曲线，哪一图中的两条曲线能是同一温度下氮气和氦气的分子速率分布曲线？ 答：B 6. 气缸内盛有一定量的氢气(可视作理想气体)，当温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均碰撞次数Z 和平均自由程λ的变化情况是： (A) Z 和λ都增大一倍。 (B) Z 和λ都减为原来的一半。 (C) Z 增大一倍而λ减为原来的一半。 (D) Z 减为原来的一半而λ增大一倍。 答：C 7. 一打足气的自行车内胎，在C 07o 1.=t 时，轮胎中空气的压强为Pa 100451?=.p ， f (v ) v O (A) O (C) f (v ) v f (v ) v O (B) f (v ) v O (D) 图11－6 绍兴文理学院 学校 209 条目的4类题型式样及交稿 式样(统计规律、理想气体的压强和温度) 1、选择题 题号：20911001 分值：3分 难度系数等级：1 理想气体中仅由温度决定其大小的物理量是 （A ）气体的压强 （B ）气体的内能 （C ）气体分子的平均平动动能 （D ）气体分子的平均速率 [ ] 答案：（ C ） 题号：20911002 分值：3分 难度系数等级：1 温度、压强相同的氦气和氧气，它们的分子平均动能ε和平均平动动能k ε的关系为 （A ）ε和k ε都相等 （B ）ε相等，而k ε不相等 （C ）k ε相等，而 ε不相等 （D ）ε和k ε都不相等 [ ] 答案：（ C ） 题号：20911003 分值：3分 难度系数等级：1 一瓶氢气和一瓶氧气温度相同，若氢气分子的平均平动动能为21 1021.6-?J ，则氧气的 温度为 （A ）100 K （B ）200 K （C ）273 K （D ）300 K [ ] 答案：（ D ） 题号：20911004 分值：3分 难度系数等级：1 理想气体处于平衡状态，设温度为T ，气体分子的自由度为i ，则每个气体分子所具有的 （A ）动能为 kT i 2 （B ）动能为RT i 2 （C ）平均平动动能为kT i 2 （D ）平均平动动能为kT 2 3 [ ] 答案：（ D ） 题号：20912005 分值：3分 难度系数等级：2 一氧气瓶的容积为V ，充了气未使用时的压强为1p ，温度为1T ，使用后瓶内氧气的质量减少为原来的一半，其压强降为2p ，则此时瓶内氧气的温度2T 为 （A ） 1212p p T （B ）2112p p T （C ）1 21p p T （D ）211 2p p T [ ] 答案：（ A ） 题号：20912006 分值：3分 难度系数等级：2 一个能量为12 100.1?eV 宇宙射线粒子射入氖管中，氖管中有氖气0.1 mol 。如果宇宙射线粒子的能量全部被氖气分子所吸收而变为分子热运动能量，则氖气升高的温度为 （A ）7 1093.1-?K （B ）7 10 28.1-?K （C ）6 10 70.7-? K （D ）6 10 50.5-?K [ ] 答案：（ B ） 六、气体动理论习题 6-1 气体在平衡态时有何特征?气体的平衡态与力学中的平衡态有何不同? 答：气体在平衡态时，系统与外界在宏观上无能量和物质的交换；系统的宏观性质不随时间变化． 力学平衡态与热力学平衡态不同．当系统处于热平衡态时，组成系统的大量粒子仍在不停地、无规则地运动着，大量粒子运动的平均效果不变，这是一种动态平衡．而个别粒子所受合外力可以不为零．而力学平衡态时，物体保持静止或匀速直线运动，所受合外力为零． 6-2 气体动理论的研究对象是什么?理想气体的宏观模型和微观模型各如何? 答：气体动理论的研究对象是大量微观粒子组成的系统．是从物质的微观结构和分子运动论出发，运用力学规律，通过统计平均的办法，求出热运动的宏观结果，再由实验确认的方法． 从宏观看，在温度不太低，压强不大时，实际气体都可近似地当作理想气体来处理，压强越低，温度越高，这种近似的准确度越高．理想气体的微观模型是把分子看成弹性的自由运动的质点． 6-3 何谓微观量?何谓宏观量?它们之间有什么联系? 答：用来描述个别微观粒子特征的物理量称为微观量．如微观粒子(原子、分子等)的大小、质量、速度、能量等．描述大量微观粒子(分子或原子)的集体的物理量叫宏观量，如实验中观测得到的气体体积、压强、温度、热容量等都是宏观量． 气体宏观量是微观量统计平均的结果． 2 8642150 24083062041021++++?+?+?+?+?= =∑∑i i i N V N V 7.2141 890== 1s m -? 方均根速率 2 8642150240810620410212 23222 2 ++++?+?+?+?+?= =∑∑i i i N V N V 6.25= 1s m -? 6-5 速率分布函数)(v f 的物理意义是什么?试说明下列各量的物理意义(n 为分子数密度， N 为系统总分子数)．第二章气体动理论
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