一、是非题：
１．函数f x在a,b上连续，且f a f b，则至少存在一点a,b ，使 f0．
错误∵不满足罗尔定理的条件。
２．若函数f x
在 x0的某邻域内处处可微，且f x00，则函数 f x 必在 x0处取得
极值．
错误∵驻点不一定是极值点，如：y x3，x0 是其驻点，但不是极值点。３．若函数 f x 在 x0处取得极值，则曲线y f x 在点 x0 , f x0处必有平行于 x 轴的切线．
错误∵曲线 y x 3在x 0点有平行于 x 轴的切线，但x0不是极值点。
４．函数 y x sin x 在,内无极值．
正确∵ y1cos x0 ，函数 y x sin x 在,内单调增，无极值。５．若函数 f x在 a,b内具有二阶导数，且 f x0, f x0，则曲线 y f x 在 a,b
内单调减少且是向上凹．
正确
二、填空：
１．设 f x a ln x bx2x （ a,b 为常数）在 x11, x2 2 处有极值，则 a
（
2
）， b（
1
）．
36
a
∵ f x2bx 1 ，当x11, x2 2 时，
x
0 ，
a2
, b1 a2b14b 1 0 ，解之得 a
236
２．函数 f x ln x2 1 的极值点是（x0）．
∵
1
x ，令，得。又，；
f x1x 2
2
f x0x 0x 0 f x 0
x0， f x0 ，∴函数 f x ln x 2 1 在x0取得极小值。
３．曲线 f x x 3x 的拐点是（0,0）．
∵ f x2x 21， f x4x ，令 f x0 ，得x 0。
又 x0，f x0； x0，f x0，∴函数 f x x3x 的拐点是0,0。
４．曲线 f x
ln x 的凸区间是（ 0,
）．
∵ f
x
1 x
1
，使 f x
无意义的点为
x 0 。
， f
x 2
x
当 x
0时， f x
0 ，∴曲线 f x ln x 的凸区间是 0,。
５．若 lim e
ax
b
1
，则 a （ 1 ）， b （ 1
）．
x 0
sin 2x
2
∵ lim e ax
b lim
e
ax
b
1 lim e ax
b
1 ，即 lim e ax b 1
x 0
sin 2x
x 0
2x
2 x
x
2
x
x
又当 x
0 时， e x 1～ x ，∴ a
1,b
1。
三、选择填空：
１．下列函数中，在区间
1,1 上满足罗尔定理条件的是（
c ． ）
a ． f x
e x
b ． g x ln x
c ． h x 1 x
2
d ． k x
x sin
1
x 0
x x
∵ f x e x 在端点的值不相等； g x
ln x 在区间 1,1 上不连续；
对 k x
x sin 1
x
在 x 0不可导；
x
0 x 0
h x 1 x 2 在区间
1,1 上满足罗尔定理的条件。∴
c 是正确的。
２．罗尔定理的条件是其结论的（
a ． ）
a ．充分条件
b ．必要条件
c ．充要条件
3 x 2
x 1
３．函数 f x
2
在区间 0,2 上（ a ．
）
1
x
1
x
a ．满足拉格朗日定理条件
b ．不满足拉格朗日定理条件
∵ lim 3 x 2
1， lim
1 1， lim f x
1
f 1
2
x
x 1 0
x 1
x 1
∴函数 f x 在 x
1连续，函数 f x 在 0,2 上连续。
3 x 2
x
x 1
1， f 1
1 1 1
∵ f 1
x
x 2
2
x 1
x 1
x 1
∴函数 f x 在 x 1可导，函数 f x 在 0,2 上可导。
∴函数 f x 在 0,2 上满足拉格朗日定理条件，因而
a 是正确的。
４．设 f x 在 x 0 有二阶导数，
f x 0 0 ， f x 0
0 ，则 f x 在 x 0 处 (
a ．)
a ．不能确定有无极值
b ．有极大值
c ．有极小值
５．设函数 f x 在 0, a 具有二阶导数， 且 xf
x
f
x
0 ，则
f
x
在 0, a 内是（ a ．）
x
a ．单调增加的
b ．单调减少的
f x
xf x f x
0 （∵ xf x
f x 0 ）
∵
x
x
2
∴ f x 在 0, a 内是单调增加的，因而
a ．是正确的。
x
６．函数 f x
的连续但不可导的点（ d ． ）
a ．一定不是极值点
b ．一定是极值点
c ．一定不是拐点
d ．一定不是驻点
四、 计算题： １． lim
x
sin x x
0 x
tanx
x
sin x 1 cosx
x 2
x 2
1
lim
2
lim 2
解
lim
tan x
lim
sec 2
x
2 x
2
2
x
x
x 0
1
x 0
tan x 0
x
2． lim
1 cos
2 x
x 1
e x
x 0
lim
1 cos 2
x
lim sin 2
x
lim
x
2
1
解
x 0
x
x 0
xx
x 0
x
x
x 1 e
３． lim
1 e x 1 x 0
x 1
解 lim 1
1
lim e x
1
x lim e
x
1 x lim e
x
1 lim
x 1
x e x
1x e
x
1x 22x
x 0
2x 2
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４． lim xln sin x
x 0
lim x ln sin x lim ln sin x
lim
cot x
x
2
lim
x
2
解
1 1 lim 0
x 0
x 0
x 0
x 0
tan x x 0
x
x
x
2
５． lim
x sin x
1 x 2
x 0
1
2
x 2
1 x
2 1
解
原式
lim
x
1
lim
x 2
lim 1
x
2
1 2
x 0
1 x
2 x 0
x 0
６．
lim
x
sin x
x
x sin x
lim
x
sin x
1
sin x
lim
x
1
解
x
x
sin x
x
1
sin x
x
７． lim ln 1 x 1
x
1
x 2
x
x 0
ln 1 x
1 x
1
lim
ln 1 x 1 x
x
解
lim
x 2
x
x 2
x
x
lim 1 x ln 1 x x lim ln 1 x 1 1
x 2
2x
x
x 0
lim
ln
1
x
lim
x 1
2x
2x
2
x 0
x 0
８． lim
ln 1
2
x
x 0
x
ln
1
x
lim
x
解
lim
x
2
x 0
x
x
2
９． lim ln x ln 1
x
x 0 0
ln x
1
lim ln x ln 1 x
lim x ln x
lim
x
解
lim
x 0 0
x 0 0
x 0 0 1 x 0 0
1
x
x
2
10． 求函数 y
3
x
3
1
x 2 的极值．
解 定义域为 R
对函数两边取自然对数得（不妨设
0 x 1）
1
ln x 2 ln y
ln(1 x)
3
3
1 y
1
2 1)
y
3x
3(x
所以 y y
1
2
3
x 3 1 x
3x 1
1 3x
2
3x
3(x
1)
3x(x 1)
3 3 x 2
3 1
x
令 y
1
； x
0 ， x 1 为不可导点
0 ，得 x
3
列表
x
( ,0)
(0, 1
)
1 (1
,1) 1
(1,
)
3
3
3
f ( x)
＋ 不存在 ＋
－
不存在 ＋
f ( x)
拐点
极大值 极小值
所以极大值为 y( 1
)
3
4
，极小值为 y(1) 0 ．
3
3
11．若直角三角形的一直角边与斜线之和为常数，求有最大面积的直角三角形． 解 设两直角边分别为 x 、 y ，则面积 S
1
xy （ x 0, y 0 ）
2
设常数为 c ．由 c x
x 2 y 2 ，得 x
c 2 y 2 ．
2c
c 2 y 2 y
c ）
所以 S y （ 0
4c
c 3y 2 c 3y 2 c c S
，令 S
4
4c
0 ，得 y
，所以 x
4
4c
3
3
驻点唯一，故当两直角边分别为
c ， c 时直角三角形的面积最大． 3 3
12．求乘积为常数 a 0 ，且其和为最小的两个正数．
解
设其中一正数为 x 、则另一正数为
a
；设这两个正数之和为
S ．
a
x
S
x
（ x
0 ）
x
a
S
1
x 2
，令 S 0 ，得 x
a
驻点唯一，故当两个正数均为 a 时其和为最小．
．设圆柱形有盖茶缸
V 为常数，求表面积为最小时，底半径 x 与高
y 之比．
13
解
底半径为 x ，则高 y 为
V
；设表面积为 S ．
x 2
2
V
2
2V
S 2 x 2 x
x
2
2 x
x
；
S
4 x
2V
，令
S
0，得
x
3
V
x 2
2
驻点唯一，
故当底半径 x
3
V
，高 y 23
V
时表面积为最小．
2
2