摘要 矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，它具有许多的重要性质.本文总结归纳出了有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，即从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.本文主要解决以下几个问题：用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.
目录 第一章绪论 (1) 第二章预备知识 (2) 第三章用矩阵的秩的理论证明秩的等式和不等式 (3) 第四章用线性空间的理论证明秩的等式和不等式 (6) 第五章用向量组秩的理论证明秩的等式和不等式 (10) 第六章用矩阵分块法证明秩的等式和不等式 (15) 第七章小结 (23) 参考文献 (24) 致谢 (25)
第一章绪论 矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，是矩阵理论中研究的一个重要内容，它具有许多的重要性质.研究矩阵的秩对于解决矩阵的很多问题具有重要意义.矩阵的秩的等式及不等式的证明对于学习矩阵也是重点和难点，初学者在做这方面的题目往往不知如何下手.笔者归纳了矩阵的秩的常见等式和不等式以及与之相关的一些结论，并从向量组、线性方程组、矩阵分块、矩阵初等变换等角度探索了多种证明方法，它有助于学习者加深对秩的理解和知识的运用，也方便教师教学. 目前对矩阵秩的研究已经比较成熟了，但是由于秩是矩阵论里的一个基本而重要的概念，它仍然有着重要的研究价值，有关它的论文时见报端.很多国内外的有关数学书籍杂志对矩阵的秩都有讲述，如苏育才、姜翠波、张跃辉在《矩阵论》（科学出版社、2006年5月出版）中较完整地给出了矩阵秩的理论.北京大学数学系前代数小组编写的《高等代数》（高等教育出版社,2003年7月出版）也介绍了秩的一些性质.但是对秩的等式及不等式的介绍都比较分散，不全面也没有系统化，不方便初学者全面掌握秩的性质.因此有必要对矩阵的秩的等式和不等式进行一个归总，便于学习和掌握. 本文通过查阅文献资料，总结归纳出有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.主要内容有：（1）用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（2）用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；（3）用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（4）用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.
一． 矩阵等价 行等价：矩阵A 经若干次初等行变换变为矩阵B 列等价：矩阵A 经若干次初等列变换变为矩阵B 矩阵等价:矩阵A 经若干次初等行变换可以变为矩阵B ，矩阵B 经若干次初等行变换可以变成矩阵A ，则成矩阵A 和B 等价 矩阵等价的充要条件 1. 存在可逆矩阵P 和Q,PAQ=B 2. R(A)=R(B) 二． 向量的线性表示 Case1：向量b r 能由向量组A 线 性表示: 充要条件: 1.线性方程组A x r =b 有解 (A)=R(A,b) Case2：向量组B 能由向量组A 线性表示 充要条件： R(A)=R(A,B) 推论 ∵R(A)=R(A,B),R(B) ≤R(A,B) ∴R(B) ≤R(A) Case3：向量组A 能由向量组B 线性表示 充要条件： R(B)=R(B,A) 推论 ∵R(B)=R(A,B),R(A) ≤R(A,B) ∴R(A) ≤R(B) Case4：向量组A 和B 能相互表示，即向量组A 和向量组B 等价 充要条件: R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A) Case5：n 维单位坐标向量组能由矩阵A 的列向量组线性表示 充要条件是: R(A)=R(A,E)
n=R(E)<=R(A),又R(A)>=n ，所以R(A)=n=R(A,E) 三． 线性方程组的解 1. 非齐次线性方程组 （1） R(A)=R(A,B),方程有解. （2） R(A)=R(A,B)=n ，解唯一. （3） R(A)=R(A,B) 1 矩阵秩的基本不等式 定理1：设,m n A R ∈，,n s B R ∈，则{}()()()min (),()r A r B n r AB r A r B +-≤≤。 证明：由于0Bx =的解一定是0ABx =的解，因此0Bx =的基础解系为0ABx =的基础解系的一部分。于是，()()s r B s r AB -≤-，即()()r AB r B ≤。 ()()()()()()T T T T r AB r AB r B A r A r A ==≤=。 这样，我们就证明了()()r AB r A ≤，()()r AB r B ≤，故{}()min (),()r AB r A r B ≤。 我们假设1x ，2x ，……，()s r B x -，()1s r B x -+，……，()s r AB x -为0ABx =的基础解系。其中，0i Bx =，1()i s r B ≤≤-；0j Bx ≠，()1()s r B j s r AB -+≤≤-。 下面，我们来证明向量组{} ()()1 s r AB j j s r B Bx -=-+是线性无关的。事实上，假设数j k ， ()1()s r B j s r AB -+≤≤-，使得 ()()1 ()s r AB j j j s r B k Bx -=-+∑ ，于是() ()1 0s r AB j j s r B B x -=-+=∑ 。 这样， () ()1 0s r AB j j s r B x -=-+=∑ 为0Bx =的解。于是，存在数j k ，1()j s r B ≤≤-，使得 ()() ()1 1 ()s r AB s r B j j j j s r B j x k x --=-+== -∑ ∑，即()1 0s r AB j j j k x -==∑ 。由于向量组{} ()1 s r AB j j x -=线性无关，因 此，0j k =，()1()s r B j s r AB -+≤≤-。于是，向量组{}() ()1 s r AB j j s r B Bx -=-+线性无关。 又由于()0j j A Bx ABx ==，()1()s r B j s r AB -+≤≤-，因此{}() ()1 s r AB j j s r B Bx -=-+为 0Ax =的基础解系的一部分。于是， []()()11()()()s r AB s r B r B r AB n r A ---++=-≤- 即()()()r AB r A r B n ≥+-。 推论1：若,m n A R ∈，,n s B R ∈满足0AB =，则()()r A r B n +≤。 证明：0()()()r AB r A r B n =≥+-，于是()()r A r B n +≤。 矩阵的秩的相关不等式的归 纳小结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 矩阵的秩的相关不等式的归纳小结 林松 （莆田学院数学系，福建，莆田） 摘要：利用分块矩阵，证明一些矩阵的秩的相关不等式，观察矩阵在运算后秩的变化，归纳出常见的有关矩阵的秩的不等式，由此引出等式成立的条件。 关键词：矩阵的秩，矩阵的初等变换 引言：矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。利用分块矩阵，把子式看成元素，可将高阶矩阵的运算化为较低阶矩阵的运算，也为矩阵的秩的一些常见不等式的证明带来了方便。本文将讨论矩阵的秩的一些常见不等式，并由此引出一些秩的不等式等号成立的等价条件。 一基本的定理 1 设A是数域P上n m ?矩阵，于是 ?矩阵，B是数域上m s 秩（AB）≤min [秩（A），秩（B）]，即乘积的秩不超过个因子的秩 2设A与B是m n ?矩阵，秩（A±B）≤秩（A）+秩（B） 二常见的秩的不等式 1 设A与B为n阶方阵，证明若AB = 0，则 r(A) + r(B) ≤ n 证：设r(A) = r,r(B )= s,则由AB = 0，知，B的每一列向量都是以A为系数方阵的齐次线性方程组的解向量。 当r = n时，由于该齐次方程组只要零解，故此时 B = 0，即此时r(A) = n，r(B) = 0,结论成立。 当r〈 n 时，该齐次线性方程组的基础解系中含n-r个向量， 从而B 的列向量组的秩≤n-r,即r （B ）≤ n-r 所以 r(A) + r(B) ≤ n 2设A 为m n ?矩阵，B 为n s ?矩阵，证明不等式r(AB)≤r(A)+r(B)-n 证：设E 为n 阶单位矩阵， S E 为S 阶单位方阵，则由于 000S E B A AB A E E E B ??????= ? ? ?-?????? 而 0S E B E ?? ?-?? 可逆，故 r(A)+r(B) ≥ 秩 0A E B ?? ? ?? =秩 0A AB E ?? ???=秩 0 0AB E ?? ??? =r(AB)+r(E) =r(AB)+n 从而r(AB) ≥ r(A) + r(B) - n 3设A ，B 都是n 阶方阵，E 是n 阶单位方阵，证明 秩（AB-E ）≤秩（A-E ）+秩（B-E ） 证：因为0A E B E B E --?? ? -??00B E ?? ???00AB E B E -?? = ?-?? 故秩（AB-E ）≤秩00AB E B E -?? ?-??≤秩0A E B E B E --?? ?-?? =秩（A-E ）+秩（B-E ） 因此 秩（AB-E ）≤秩（A-E ）+秩（B-E ） 4 设A ，B ，C 依次为,,m n n s s t ???的矩阵，证明 r(ABC) ≥ r(AB) + r(BC) - r(B) 引言 矩阵的秩是高等代数中一个应用及其广泛的理论，有关矩阵的秩的等式或不 等式的证明，常常和向量组的秩，线性方程组的解等密切相关，推证有难度也有技巧。熟练掌握关于矩阵秩的一些结论及其证明技巧，对有关理论的学习会有很大的裨益。矩阵A 中的最大阶不为零的子式的阶数就称为矩阵A 的秩，记为r(A).一些平凡的理论及概念读者可参阅一些权威教材,这里只对一些经典的理论做一讨论. 1. 证明: 设B A ,为两个同阶矩阵,则有r(A ﹢B)≤r(A)﹢r(B) 证 设A =(α1,α 2 ,…, αn ), B =() ββ βn ,...,,2 1 则 A +B =( α1 +β1 ,α2 +β 2 ,…, αn +βn ) 不妨设A 列向量的极大线性无关组为 α1 ,α 2 ,…, α r . (1≤r ≤n)； B 列向量的极大线性无关组为β1，β2，…βs . (1≤s ≤n). 则k i i 1 =αα1 +α 2 2 k i +…+ α r ir k ; βi =β1 1 l i +β 2 2 l i +…+ β s is l ; 则 αi +β i = k i 1 α1 +α 2 2 k i +…+αr ir k +β1 1 l i +β 2 2 l i +…+ β s is l ; 即A +B 的列向量可由 α1 ,α 2 ,…, α r ， β 1 ， β 2 ，… β s 线性表出， 故)()()(B +A =+≤B +A r r s r r . 2. 若AB =O ,则)()(B r A r +n ≤. 证 记 ),...,,(2 1 ββ βn B =，由AB =O ，知B 的每一列都是O =AX 解, 即O =A β i ,i =1,2,…,n 又因O =AX 的基础解系所含向量个数为)(A r n -, 换言之, O =AX 的所有解所构成的向量组的秩为)(A r n -.故≤)(B r )(A r n -, 即)()(B r A r +n ≤. 浅谈分块矩阵的性质及应用 摘要：本文主要谈及分快矩阵的思想在线性代数的证明。解线性方程组，矩阵得知 逆及矩阵的逆，和初等变换中的应用。 关键词：分块矩阵；线性方程组；矩阵的秩及矩阵的逆；初等变换 On the nature of block matrix and its application Abstract: this thesis uses the blocking matrix method into proving and applying the linear algebra, tries to solve the linear equations, and the proof of other relative matrix rank and elementary matrix. Key word s: Block matrix; Linear algebra; rank of matrix; elementary matrix.前言： 矩阵得分快是处理问题的一重要方法，把一个告诫矩阵分成若干个地界矩阵，在运算中把低阶矩阵当作数一样处理，这样高阶矩阵就化作低阶矩阵，长能使我们迅速接近问题的本质，从而达到解决问题的目的，使解题更简洁，思路更开阔，因此本文主要谈及分块矩阵再求行列式的值，解线性方程组，求矩阵的秩及逆等方面的应用。 1.预备知识： 分块矩阵的定义：将分块矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 A的子块，一子块为元素的形式上的矩阵成为分块矩阵。 分块矩阵的运算： 1.2.1分块矩阵的加法： 设分块矩阵 A 与 B 的行数相同，列数相同，采用相同的得分块法，有 A=1111n m mn A A A A ?? ? ? ???K M O M L ，1111n m mn B B B B B ?? ?= ? ??? K M O M L 其中ij A 与ij B 的行数相同，列数相同，那么A+B=111111111n n m m n mn A B A B A B A B ++?? ? ? ?++?? K M O M L 1.2.2分块矩阵与数的乘法： A=1111n m mn A A A A ?? ? ? ???K M O M L ,1111n m mn A A A A A λλλλλ?? ? = ? ??? K M O M L 1.2.3设A 为m l ?矩阵，B 为l n ?矩阵，分块成 1111111 1 t r s st t tr A A B B A B A A B B ???? ? ?== ? ? ? ????? K K M O M M O M L L 其中1i A ，2i A ……，it A 的列数分别等于1j B ，2j B ……，tj B 的行数，那么 1111 r s sr C C AB C C ?? ? = ? ??? K M O M L ，其中1 t ij ik ik k C A B ==∑(i=1……s ；j=1，……，r) 1.2.4设1111 t s st A A A A A ?? ? = ? ???K M O M L ，则1111T T t T T T s st A A A A A ?? ?= ? ?? ? K M O M L 2. 分块矩阵的性质及应用： 分块矩阵的性质： 设A 为n 阶矩阵，若A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即 分块矩阵的秩的降阶公式及其推广 赵权 （北京科技大学2015级理科实验班1班） 摘要：本文通过讨论分块矩阵中有子块为零矩阵时的秩的性质，再推广到一般分块矩阵的秩的性质，得到分块矩阵的秩的降阶公式及推广。 关键词：分块矩阵；降阶；矩阵乘积；初等变换。 1降阶公式 1.1子块含零矩阵 1）设分块矩阵Z=A B C D 中有两个子块是零矩阵（其中A和D不一定为方阵），例如，令 Z1=A O O D , Z2=O B C O 则易证r(Z1)=r(A)+r(D), r(Z2)=r(B)+r(C) 2）当分块矩阵Z=A B C D 有一个子块是零矩阵时，例如，令 Z1=A B O D , Z2=A O C D 容易知道，当A可逆或D可逆（或A和D同时可逆），等式r(Z1)=r(A)+r(D), r(Z2)=r(B)+r(C) 成立。 证明：设m阶矩阵A可逆，D为n×p矩阵，则有 A B O D I m?A?1B O I p= A O O D = I m O ?CA?1I n A O C D 由于I m?A?1B O I p和 I m O ?CA?1I n 都是可逆矩阵，利用矩阵乘积的秩的定理，由上式可推出 r A B O D =r A O O D =r A O C D ， 及r(Z1)=r(Z2)=r(A)+r(D)， 类似的，若n阶矩阵D可逆，则设A为m×q矩阵，则有 I m?BD?1 O I n A B O D =A O O D =A O C D I q O ?D?1C I n 于是等式同样成立。 3）而当B是可逆矩阵或C是可逆矩阵时，由等式 I m O ?DB?1I n A B O D O I p I m?B?1A =B O O?DB?1A 和 O I n I m?AC?1A O C D I n?C?1D O I q= C O O?AC?1D 可知 r（Z1）=r(B)+r(DB-1A) 第五节：矩阵的秩及其求法 一、矩阵秩的概念 1. k 阶子式 定义1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的 阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。 例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式 矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而 为 A 的一个三阶子式。显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。 2. 矩阵的秩 定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全 为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A )。 规定： 零矩阵的秩为 0 . 注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 . (2) 有行列式的性质， (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } . (4) 如果 An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则 因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n . 二、矩阵秩的求法 1、子式判别法(定义)。 例1 设 为阶梯形矩阵，求R (B )。 解 由于 存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则 R (B ) = 2. 结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。 例如 一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数。 () n m ij a A ?={}),min 1(n m k k ≤≤? ? ??? ??----=1 10145641321A 182423=C C 43334=C C 101 22--= D 1 0156 43213-=D n m ?k n k m c c () n m ij a A ?=0, r D ≠()(). T R A R A =0,A ≠0.A ≠??? ? ? ??=000007204321B 0 2 021≠????? ??=010*********A ????? ??=001021B ???? ? ??=100010011C 125034000D ?? ? = ? ? ??2 123508153000720 000 0E ?? ? ?= ? ??? ()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3 R E = 关于“矩阵的行列式不等式”的几点注记 摘要本文给出了实矩阵的若干行列式不等式的证明，并在复数域上针对正定矩阵建立了行列式不等式。针对实矩阵，主要给出了五个命题阐述其行列式不等式，同时对有些命题作出了引申与进一步说明；针对复正定矩阵，给出了三个命题，在这三个命题的证明过程中用到了Schur定理和Holder不等式。 关键词实矩阵；复正定矩阵；行列式；不等式 Several Notes for “Inequalities on the Determinant of Matrix” Abstract In this paper, several determinantal inequalities on real matrix are proved. As applications, some inequalities on determinants of positively definite matrices are established in complex number field. For the real matrix, five propositions are given to explain its determinantal inequalities, and some time, extensions and further states are made for some propositions. For the complex positively definite matrix, three propositions are given, in the process of the proof of the three propositions, the Schur theorem and Holder inequality are used. Key words real matrix; complex positively definite matrix; determinant; inequality 矩阵秩的等式与不等式的证明及应用 矩阵是高等代数的一个重要概念，也是线性代数中的主要研究对象，同时也是一种应用广泛的数学工具.不管是在数学学习还是实际问题中，我们常常会遇到许多比较复杂的计算问题，而使用矩阵来解决这些难题，往往会使问题简单化.早在古代，我国的《九章算术》就已经对矩阵有了初步的描述.而矩阵的理论起源，可追溯到18世纪.高斯在1801年、艾森斯坦在1844-1852年，先后把一个线性变换的全部系数用一个字母来表示，艾森斯坦还强调乘法次序的重要性.这些工作都孕育了矩阵的思想，但矩阵的正式定义直到1858年才由凯莱给出来.凯莱在《矩阵论的研究报告》中全面阐述了矩阵的一些理念，同时他还在文中给出了许多矩阵的运算法则以及矩阵转置的定义，证明了矩阵加法中的可交换性与可结合性，更为重要的是他还给出了伴随矩阵、矩阵可逆的概念.由于凯莱的奠基性工作，一般认为他是矩阵理论的创始人. 而矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，是矩阵理论中研究的一个重要内容，它具有许多的重要性质.对于矩阵的秩的等式与不等式，近年来有一些学者对其进行了研究.张英，乔世东利用同解方程组、标准形、线性空间和同态基本定理来证明矩阵秩的一些性质；王廷明利用构造分块矩阵并通过广义初等变换的方法,证明矩阵秩的(不)等式；殷倩把分散的知识点及重要的常用结论整合在一起，归纳整理出若干常用有效的证明方法；徐小萍给出五个矩阵秩的不等式,并利用代数理论对其进行证明,然后用一些典型例题对其应用进行分析.在前人研究的基础上，本文进一步系统的探究了矩阵秩的等式与不等式及其应用.首先介绍矩阵秩的等式与不等式的研究背景和国内外的研究现状，其次介绍矩阵秩的定义与简单性质，然后给出一些矩阵秩的等式与不等式的证明，最后通过例子研究其在多方面的应用。 1 华北水利水电大学 矩阵秩的相关结论证明及举例 课程名称：线性代数 专业班级：能源与动力工程（热动）101班 成员组成：王威威 联系方式： 2014年12月30日 一：摘要 矩阵的秩是数学中一个极其重要并广泛应用的概念，是线性代数的一个重要研究对象，因此，矩阵的秩的结论作为线性代数的一个重要结论已经渗透到各章节之中，他把线性代数的内容紧紧联系在一起，矩阵的秩作为矩阵的一个重要本质属性则贯穿矩阵理论的始终，所以对矩阵秩的研究不仅能帮助我们更好地学习矩阵，而且也是我们学习好线性代数各章节的有力保证。 关键词：矩阵秩结论证明 英文题目 Abstract: Matrix rank is an extremely important and widely us ed in the mathematical concept, is an important res earch object of linear algebra, as a result, the c onclusion of the rank of matrix as an important co nclusion of linear algebra has penetrated into chapt er, associate the content of the positive linear al gebra and matrix of rank as an important essential attribute of the matrix, however, throughout the c ourse of the theory of matrix so that the study o f matrix rank can not only help us better learning matrix and chapter we learn good linear algebra Key words:matrix rank conclusion proof 矩阵的秩的相关不等式的归纳小结 林 松 （莆田学院数学系，福建，莆田） 摘要：利用分块矩阵，证明一些矩阵的秩的相关不等式，观察矩阵在运算后秩的变化，归纳出常见的有关矩阵的秩的不等式，由此引出等式成立的条件。 关键词：矩阵的秩，矩阵的初等变换 引言：矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。利用分块矩阵，把子式看成元素，可将高阶矩阵的运算化为较低阶矩阵的运算，也为矩阵的秩的一些常见不等式的证明带来了方便。本文将讨论矩阵的秩的一些常见不等式，并由此引出一些秩的不等式等号成立的等价条件。 一 基本的定理 1 设A 是数域P 上n m ?矩阵，B 是数域上m s ?矩阵，于是 秩（AB ）≤min [秩（A ），秩（B ）]，即乘积的秩不超过个因子的秩 2 设A 与B 是m n ?矩阵，秩（A ±B ）≤秩（A ）+秩（B ） 二 常见的秩的不等式 1 设A 与B 为n 阶方阵，证明若AB = 0，则 r(A) + r(B) ≤ n 证：设r(A) = r,r(B )= s,则由AB = 0，知，B 的每一列向量都是以A 为系数方阵的齐次线性方程组的解向量。 当r = n 时，由于该齐次方程组只要零解，故此时 B = 0，即此时 r(A) = n ，r(B) = 0,结论成立。 当r 〈 n 时，该齐次线性方程组的基础解系中含n-r 个向量， 从而B 的列向量组的秩≤n-r,即r （B ）≤ n-r 所以 r(A) + r(B) ≤ n 2设A 为m n ?矩阵，B 为n s ?矩阵，证明不等式r(AB)≤r(A)+r(B)-n 证：设E 为n 阶单位矩阵， S E 为S 阶单位方阵，则由于 000S E B A AB A E E E B ??????= ? ? ?-?????? 关于矩阵秩的一个不等式 Ξ 沈 华 (湖北大学数学系 武汉 430062) 对任意矩阵M ,用r (M )表示M 的秩。熟知,矩阵的秩是矩阵的一个重要不变量,对矩阵的加法和乘法,我们有下面两个基本的不等式。 (一)设A 、B 是两个m ×n 矩阵,则 r (A +B )≤r (A )+r (B ) (1) (二)设A 、B 分别是两个m ×n 、n ×l 矩阵,则 r (A )+r (B )-n ≤r (A B )≤m in{r (A ),r (B )}它通常被称为Sylvester 不等式。 对这两个不等式,有不同的证明和理解,见[1、2]。在本文里,我们要结合矩阵的满秩分解,用不等式(二)来研究不等式(一),从中给出r (A +B )≤r (A )+r (B )的一个推广形式。本文所需的矩阵知识是基本的,可在[1、2]里找到。 现在,对任意m ×n 矩阵M ,我们用C M 、R M 分别表示由M 的所有列向量、行向量所生成的向量空间。明显地,向量空间C M 、R M 的维数为di m C M =di m R M =r (M )。进一步地,对任意分块矩阵M =(M 1,M 2)和N = N 1N 2 ,根据定义容易验证向量空间C M =C M 1+C M 2,向量空间R N =R N 1+R N 2。 本文的目的是证明如下的 定理 设A 、B 是两个m ×n 矩阵,则 r (A )+r (B )-(d 1+d 2)≤r (A +B )≤r (A )+r (B )-m ax{d 1、d 2} (2)这里d 1=di m (C A ∩C B ),d 2=di m (R A ∩R B )。 (2)是比(1)精确的不等式。根据(2)式,我们立即得到下面的推论1 设A 、B 、d 1、d 2的意义如上述定理所述,则r (A +B )=r (A )+r (B )当且仅当d 1=d 2=0。 注意到r (-B )=r (B )及C -B =C B 、R -B =R B ,这样根据推论1,可以得到有趣的推论2 设A 、B 是两个m ×n 矩阵,则有r (A +B )=r (A )+r (B )当且仅当r (A -B )=r (A )+r (B )。 先证明一个预备性结果。 引理 设A 是个秩为r 的m ×n 矩阵,对A 的任意满秩分解A =H L ,均有C A =C H ,R A =R L ,这里H 为m ×r 列满矩阵,L 为r ×n 行满矩阵。 证明 设A =(Α1、Α2、…、Αn ),H =(Β1、Β2、…、Βr ),L =(l ij )r ×n ,从A =H L 得到Αi =l 1i Β1+l 2i Β2+…+l ri Βr (1≤i ≤n )。这样由Α1、Α2、…、Αn 生成的向量空间C A <由Β、Β2、…、Βr 生成的向量空间C H .注意到di m C A =r (A )=r (H )=di m C H ,我们立即得到C A =C H 。 又A 的转置矩阵A ′有满秩分解A ′=L ′H ′ ,于是C A ′=C L ′,也就是说,R A =R L 。61 高等数学研究STUD IES I N COLL EGE M A TH E M A T I CS V o l 16,N o 11 M ar .,2003 Ξ 矩阵的秩及其多样性的解法 数学学院 数学与应用数学（师范）专业 摘 要：矩阵论是代数学中一个重要组成部分和主要研究对象，而矩阵的秩又是矩阵的一个重要指标，本文研究了与矩阵的秩的相关性质及其多样性的解法, 用定理和实例说明了行列式、线性空间、线性方程组、分块矩阵和矩阵秩的关系及其在求矩阵的秩中的应用。 关键词: 矩阵的秩; 行列式; 线性方程组； Abstract ：Matrix theory is an important part of the main object of study in algebra and rank of the matrix is an important indicator of the matrix, we study the rank of the matrix solution of the nature and diversity of theorems and examples illustratedeterminant, linear space, linear equations, the block matrix and the matrix rank and matrix rank. Keywords: Rank of matrix; V ector; Linear equations; 引言、引理 矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩相关性质及等价条件，并从行列式、线性方程组、线性空间以及分块矩阵的角度来阐述矩阵秩的不同解法。 矩阵的秩的等价刻划 设A F m n ?∈ ，则rank(A)=r ?A 中不为零的子式的最大阶数是r ； ?A 中有一个r 阶子式D 不等于零，所有包含D 作为子式的 r+1阶子式全为零； ? 存在可逆矩阵m n P F ?∈，m n Q F ?∈，使得000r E P A Q ?? = ??? ； ? A 的行（列）向量的极大无关组所含向量的个数为r; 一些特殊矩阵的秩等式 引言 矩阵的秩可以利用矩阵的非零子式的阶数定义，也可以利用矩阵的行向量组或列向量组的秩来定义，即： 定义1 设A 是数域F 上的m n ?矩阵，称矩阵A 不为零的最高阶数为矩阵A 的秩. 定义2设A 是数域F 上的m n ?矩阵，12,,,m βββ 是其行向量组，12,,,n ααα 是其列向量组，称向量组12,,,m βββ 的秩为A 的行秩，向量组12,,,n ααα 的秩为A 的列秩. 可以证明，对矩阵A ，行秩等于列秩.称矩阵A 的行秩(列秩)为矩阵A 的秩. 记作()rank A . 矩阵的秩是矩阵的一种重要特征，利用矩阵的秩特征，可以讨论矩阵的一些性质.很多特殊矩阵的特征都可以利用秩关系来刻画. 本文将在已有关于矩阵秩关系的基础上，在第一部分主要讨论诸如幂等矩阵、对合矩阵等特殊矩阵的秩等式关系，第二部分则主要讨论矩阵运算下的秩关系. A 是矩阵，T A 为A 的转置矩阵，I 为单位矩阵，A *为A 的伴随矩阵. n I 为n n ?的 单位矩阵，n V 为n 维线性空间.如果矩阵A ,B ∈n n C ?,满足2A =A ,2n B I =,则分别称A 、B 为幂等矩阵、对和矩阵. 1 幂等矩阵的秩恒等式 定理1.1[1] n 阶矩阵A 满足2A =A ，则()rank A +()rank I A -=n . 证明 （证法一） 设()rank A =r ，由2A =A 可得()A A I -=0， 则()A I -的每一个列向量都是以A 为系数的方阵的齐次线性方程组的解向量. (i)当r =n 时，由于齐次线性方程组只有零解，故此时A I -=0， 即此时 ()rank A =n ，()rank A I -=0，()rank A +()rank A I -=n ， 结论成立. (ii)当r 矩阵秩的基本不等式 定理1：设,m n A R ∈，,n s B R ∈，则{}()()()min (),()r A r B n r AB r A r B +-≤≤。 证明：由于0Bx =的解一定是0ABx =的解，因此0Bx =的基础解系为0ABx =的基础解系的一部分。于是，()()s r B s r AB -≤-，即()()r AB r B ≤。 ()()()()()()T T T T r AB r AB r B A r A r A ==≤=。 这样，我们就证明了()()r AB r A ≤，()()r AB r B ≤，故{}()min (),()r AB r A r B ≤。 我们假设1x ，2x ，……，()s r B x -，()1s r B x -+，……，()s r AB x -为0ABx =的基础解系。其中，0i Bx =，1()i s r B ≤≤-；0j Bx ≠，()1()s r B j s r AB -+≤≤-。 下面，我们来证明向量组{}() ()1s r AB j j s r B Bx -=-+是线性无关的。事实上，假设数j k ， ()1()s r B j s r AB -+≤≤-，使得 () ()1 ()s r AB j j j s r B k Bx -=-+∑，于是()()10s r AB j j s r B B x -=-+=∑。 这样， ()()10s r AB j j s r B x -=-+=∑为0Bx =的解。于是，存在数j k ，1()j s r B ≤≤-，使得 () ()()11()s r AB s r B j j j j s r B j x k x --=-+==-∑∑，即()10s r AB j j j k x -==∑。由于向量组{}()1s r AB j j x -=线性无关，因 此，0j k =，()1()s r B j s r AB -+≤≤-。于是，向量组{}() ()1s r AB j j s r B Bx -=-+线性无关。 ; 又由于()0j j A Bx ABx ==，()1()s r B j s r AB -+≤≤-，因此{}()()1s r AB j j s r B Bx -=-+为 0Ax =的基础解系的一部分。于是， []()()11()()()s r AB s r B r B r AB n r A ---++=-≤- 即()()()r AB r A r B n ≥+-。 推论1：若,m n A R ∈，,n s B R ∈满足0AB =，则()()r A r B n +≤。 证明：0()()()r AB r A r B n =≥+-，于是()()r A r B n +≤。 * * * * 学院 学生毕业论文 （ 2012 届） 题目（中文）矩阵的秩的性质与应用 （英文）The properties and applications of matrix rank 专业：数学与应用数学班级：姓名：学号: 指导教师： ****学院教务处制 ****学院教务处制 诚信声明 我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信. 毕业论文作者签名：签名日期：年月日 摘要：本文探讨了矩阵的秩的不变性，矩阵秩的Sylvester与 Frobenius 不等式及其等式成立的条件及应用，矩阵秩与矩阵运算的关 系，与矩阵可逆的关系，与向量组的线性相关、与零特征值代数重数的关系等一些性质．从而得到矩阵的秩在线性代数方面，解析几何，概率论等中的应用． 关键词：矩阵秩；矩阵秩不变性；矩阵秩不等式；矩阵秩恒等式； 线性方程组；零特征值代数重数；齐次线性方程组 Abstract: This article discuss the invariant of matrix rank, Sylvester and Frobenius inequality and the condition of its equality, and the relationship of matrix operations and matrix rank, the relation ship of invertible matrix and matrix rank, and the vectors of linear correlation, and zero Eigen valu e algebra and heavy number relation and so on. Thus we can obtain the rank of matrix’s applicatio n in linear algebra, analytic geometry, probability theory and so on. Keyword: matrix rank; invariance of matrix rank; rank of matrix inequalities; rank of matrix equal ities; linear equations; zero Eigen value algebra and heavy number; homogeneous linear equations . 目录 1 矩阵秩的性质 (2) 1.1矩阵的秩的不变性.......................................................................................... 2 1.2 矩阵的秩的一些基本性质........................................................................... 7 1.3矩阵的秩与矩阵的运算.................................................................................. 7 1.4 关于矩阵的秩的一些不等式等式及其应用................................................. 8 1.5 矩阵的秩与可逆........................................................................................... 12矩阵秩的基本不等式
矩阵的秩的相关不等式的归纳小结
矩阵秩的一些著名结论
浅谈分块矩阵的性质及应用
分块矩阵的秩的降阶公式及推广
矩阵的秩及其求法
关于“矩阵的行列式不等式”的几点注记
矩阵秩的等式与不等式的证明及应用
矩阵秩的相关结论证明及举例
矩阵的秩的相关不等式的归纳小结
关于矩阵秩的一个不等式
矩阵的秩及其多样性的解法
一些特殊矩阵的秩等式
矩阵秩的基本不等式
矩阵的秩的性质与应用论文1
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