人教版平行四边形单元 期末复习提优专项训练试卷
一、选择题
1．如图，在菱形ABCD 中，点F 为边AB 的中点，DF 与对角线AC 交于点G ，过点G 作GE AD ⊥于点E ，若2AB =，且12∠=∠，则下列结论不正确的是（ ）
A ．DF A
B ⊥ B ．2CG GA =
C ．CG DF GE =+
D ．31BFGC S =-四边形
2．如图，矩形ABCD 中，AB ＝23，BC ＝6，P 为矩形内一点，连接PA ，PB ，PC ，则PA +PB +PC 的最小值是（ ）
A ．43+3
B ．221
C ．23+6
D ．45
3．如图，菱形ABCD 中，∠A 是锐角，E 为边AD 上一点，△ABE 沿着BE 折叠，使点A 的对应点F 恰好落在边CD 上，连接EF ，BF ，给出下列结论： ①若∠A =70°，则∠ABE =35°；②若点F 是CD 的中点，则S △ABE 1
3
=S 菱形ABCD 下列判断正确的是（ ）
A ．①，②都对
B ．①，②都错
C ．①对，②错
D ．①错，②对
4．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C =90°，AB =8，AD =CD =5，点M 为BC 上异于B 、C 的一定点，点N 为AB 上的一动点，E 、F 分别为DM 、MN 的中点，当N 从A 到B 的运动过程中，线段EF 扫过图形的面积为 ( )
A ．4
B ．4.5
C ．5
D ．6
5．如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，
AD 、BC 的延长线分别与EF 的延长线交于点H 、G ，则( )
A ．AHE BGE ∠>∠
B ．AHE BGE ∠=∠
C ．AHE BGE ∠<∠
D ．AH
E ∠与BGE ∠的大小关系不确定
6．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE 平分DCB ∠交BD 于点F ，且60ABC ∠=?，2AB BC =，连接OE ，下列结论：①30ACD ∠=?；②·ABCD
S
AC BC =；③:1:4OE AC =．其中正确的有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
7．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BF ＝4CF ，四边形DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．3
B ．4
C ．6
D ．8
8．如图，点P 在长方形OABC 的边OA 上，连接BP ，过点P 作BP 的垂线，交射线OC 于点Q ，在点P 从点A 出发沿AO 方向运动到点O 的过程中，设AP=x ，OQ=y ，则下列说法正确的是（ ）
A ．y 随x 的增大而增大
B ．y 随x 的增大而减小
C ．随x 的增大，y 先增大后减小
D ．随x 的增大，y 先减小后增大
9．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，点P 在边AD 上从点A 到点D 运动，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，作PF ⊥BD 于点F ，已知AB=3，AD=4，随着点P 的运动，关于
PE+PF的值，下面说法正确的是（）
A．先增大，后减小B．先减小，后增大C．始终等于2.4 D．始终等于3 10．如图，在ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）
A．60
13
B．
30
13
C．
24
13
D．
12
13
二、填空题
11．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为CD边上的一个动点，以CE为边向外作正方形ECFG，连结BG，点H为BG中点，连结EH，则EH的最小值为______
12．如图，正方形ABCD中，DAC
的平分线交DC于点E，若P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ能取得最小值4时，此正方形的边长为______________．
13．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝48°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO＝_____度．
14．菱形OBCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （23，0），∠DOB ＝60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，－1），则EP 十BP 的最小值为__________．
15．如图，有一张矩形纸条ABCD ，AB ＝10cm ，BC ＝3cm ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，CN ＝1cm ．现将四边形BCNM 沿MN 折叠，使点B ，C 分别落在点B '，C '上．在点M 从点A 运动到点B 的过程中，若边MB '与边CD 交于点E ，则点E 相应运动的路径长为_____cm ．
16．如图，直线1l ，2l 分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y 轴．
OABC 的顶点A ，C
分别在直线1l 和2l 上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为_________．
17．如图，矩形纸片ABCD ，AB =5，BC =3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP =OF ，则AF 的值为______．
18．如图，长方形ABCD 中，26AD =，12AB =，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为______，
19．如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB =OB ，E 为AC 上一点，BE 平分∠ABO ，EF ⊥BC 于点F ，∠CAD =45°，EF 交BD 于点P ，BP =5，则BC 的长为_______．
20．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 为平面内动点，且满足AD ＝4，连接BD ，取BD 的中点E ，连接CE ，则CE 的最大值为_____．
三、解答题
21．如图，在Rt ABC ?中，090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F （1）求证：四边形ADCF 是菱形
（2）若4,5AC AB ==，求菱形ADCF 的面积
22．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=?，过点C 的直线//MN AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE BC ⊥，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE
（1）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由； （2）当D 为AB 中点时，A ∠等于 度时，四边形BECD 是正方形．
23．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=8cm ，AD=16cm ，BC=22cm ，∠ABC=90°．点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度向点D 运动，点Q 从点C 同时出发，以3cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．
（1）当t= 时，四边形ABQP 成为矩形？
（2）当t= 时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？
（3）四边形PBQD 是否能成为菱形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q 点的速度（匀速运动），使四边形PBQD 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度． 24．如图，ABC ?是等腰直角三角形，AB AC =，D 是斜边BC 的中点，,E F 分别是
,AB AC 边上的点，且DE DF ⊥，若12BE =，5CF =，求线段EF 的长．
25．在四边形ABCD 中，90A B C D ∠∠∠∠====，10AB CD ==，
8BC AD ==．
()1P 为边BC 上一点，将
ABP 沿直线AP 翻折至AEP 的位置(点B 落在点E 处)
①如图1，当点E 落在CD 边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形(不写
作法，保留作图痕迹，用2B 铅笔加粗加黑).并直接写出此时DE =______；
②如图2，若点P 为BC 边的中点，连接CE ，则CE 与AP 有何位置关系？请说明理由；
()2点Q 为射线DC 上的一个动点，将
ADQ 沿AQ 翻折，点D 恰好落在直线BQ 上的点
'D 处，则DQ =______；
26．如图1，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，E 、H 分别为边BA 和边BC 延长线上
的点，连接EH 交AD 、CD 于点F 、G ，且//EH AC . （1）求证：AEF CGH ???
（2）若ACD ?是等腰直角三角形，90ACD ∠=，F 是AD 的中点，8AD =，求BE 的长：
（3）在（2）的条件下，连接BD ，如图2，求证：22222()AC BD AB BC +=+
27．（1）如图①，在正方形ABCD 中，AEF ?的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求EAF ∠的度数；
（2）如图②，在Rt ABD ?中，90,BAD AD AB ?
∠==，点M ，N 是BD 边上的任意两
点，且45MAN ?∠=，将ABM ?绕点A 逆时针旋转90度至ADH ?位置，连接NH ，试判断MN ，ND ，DH 之间的数量关系，并说明理由；
（3）在图①中，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，若正方形ABCD 的边长为12，GF=6，BM= 32，求EG ，MN 的长．
28．已知如图1,四边形ABCD 是正方形，45EAF ?∠= ．
()1如图1,若点,E F 分别在边BC CD 、上,延长线段CB 至G ,使得BG DF =,若
3,2BE BG ==，求EF 的长；
()2如图2，若点,E F 分别在边CB DC 、延长线上时，求证： .EF DF BE =-
()3如图3,如果四边形ABCD 不是正方形，但满足
,90,45,AB AD BAD BCD EAF ??=∠=∠=∠=且7, 13,5BC DC CF ===，请你直接
写出BE 的长．
29．直线1234,,,,l l l l 是同一平面内的一组平行线．
(1)如图1．正方形ABCD 的4个顶点都在这些平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离都是1，其中点A ，点C 分别在直线1l 和4l 上，求正方形的面积；
(2)如图2，正方形ABCD 的4个顶点分别在四条平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离依次为123h h h ，，． ①求证：13h h =；
②设正方形ABCD 的面积为S ，求证2
22211 2 2 S h h h h =++．
30．（1）问题探究：如图①，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAD 的平分线，则线段AB ，AD ，DC 之间的等量关系为 ；
（2）方法迁移：如图②，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AF 与DC 的延长线交于点F ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAF 的平分线，试探究线段AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论；
（3）联想拓展：如图③，AB ∥CF ，E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，∠EDF ＝∠BAE ，试探究线段AB ，DF ，CF 之间的数量关系，并证明你的结论．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
A 、由四边形ABCD 是菱形，得出对角线平分对角，求得∠GAD=∠2，得出AG=GD ，AE=ED ，由SAS 证得△AFG ≌△AEG ，得出∠AFG=∠AEG=90°，即可得出A 正确；
B 、由DF ⊥AB ，F 为边AB 的中点，证得AD=BD ，证出△ABD 为等边三角形，得出∠BAC=∠1=∠2=30°，由2cos ,cos AF
AC AB BAC AG BAC
=?∠=∠ ,求出AC ，
AG ，即可得出B 正确； C 、由勾股定理求出22DF AD AF =-，由GE=tan ∠2·ED 求出GE ，即可得出C 正确；
D 、四边形BFGC 的面积=△ABC 的面积-△AGF 的面积,可以发现D 不对.
【详解】
解:∵四边形ABCD 是菱形，
FAG EAG ∴∠=∠，1GAD ∠=∠，AB AD =， 12∠=∠， 2GAD ∴∠=∠， AG GD ∴=. GE AD ⊥， GE ∴垂直平分AD . AE ED ∴=.
点F 为AB 的中点， AF AE ∴=.
易证()SAS AFG AEG ???.
90AFG AFG ∠∴∠==?.
DF AB ∴⊥故A 正确.
DF AB ⊥，点F 为AB 的中点，
1
12
AF AB ∴=
=，AD BD =. AD BD AB ==， ABD ∴为等边三角形. 60BAD BCD ∠∴∠==?. 1230BAC ∠=∠=∠=∴?.
2cos 22AC AB BAC ∴=?∠=?=，
cos 3AF AG BAC =
==
∠.
CG AC AG ∴=-==
. 2CG GA ∴=，故B 正确.
GE 垂直平分AD ，
1
12
ED AD ∴==，
DF ∴==
tan 21tan 30GE ED ∴=∠?=??=
.
33
DF GE CG ∴+===.故C 正确. 130BAC ∠=∠=?，ABC ?∴的边AC 上的高等于AB 的一半，即为1
，
12FG AG =
=
，
11112236
ABC AGF BFGC S S S ?∴=-=?-??=
四边形，故D 不正确. 【点睛】
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
将△BPC 绕点C 逆时针旋转60°，得到△EFC ，连接PF 、AE 、AC ，则AE 的长即为所求． 【详解】
解：将△BPC 绕点C 逆时针旋转60°，得到△EFC ，连接PF 、AE 、AC ，则AE 的长即为所求．
由旋转的性质可知：△PFC 是等边三角形， ∴PC=PF ， ∵PB=EF ，
∴PA+PB+PC=PA+PF+EF ，
∴当A 、P 、F 、E 共线时，PA+PB+PC 的值最小， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC=90°， ∴tan ∠ACB=
AB BC =33
， ∴∠ACB=30°，AC=2AB=43 ∵∠BCE=60°， ∴∠ACE=90°，
∴22(43)6+21 故选B ． 【点睛】
本题考查轴对称—最短问题、矩形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
只要证明BF BC =，可得ABF BFC C 70∠∠∠===，即可得出ABE 35∠=；延长EF 交BC 的延长线于M ，只要证明DEF ≌CMF ，推出EF FM =，可得
EMB
BCDE S S
=四边形，BEF
MBE 1S
S 2
=，推出ABE
ABCD 1
S
S 3
菱形=． 【详解】
①∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∠C=∠A=70°．
∵BA=BF=BC ，∴∠BFC=∠C=70°，∴∠ABF=∠BFC=70°，∴∠ABE 1
2
=∠ABF=35°，故①正确；
②如图，延长EF 交BC 的延长线于M ，
∵四边形ABCD 是菱形，F 是CD 中点，∴DF=CF ，∠D=∠FCM ，∠EFD=∠MFC ，∴△DEF ≌△CMF ，∴EF=FM ，∴S 四边形BCDE =S △EMB ，S △BEF 12=
S △MBE ，∴S △BEF 1
2
=S 四边形BCDE ，∴S △ABE 1
3
=
S 菱形ABCD ．故②正确， 故选A ． 【点睛】
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
4．A
解析：A 【分析】
取MB 的中点P ，连接FP ，EP ，DN ，由中位线的性质，可得当N 从A 到B 的运动过程中，点F 在FP 所在的直线上运动，即：线段EF 扫过图形为?EFP ，求出当点N 与点A 重合时，FP 的值，以及FP 上的高，进而即可求解． 【详解】
取MB 的中点P ，连接FP ，EP ，DN ，
∵FP 是?MNB 的中位线，EF 是?DMN 的中位线， ∴FP ∥BN ，FP=
12BN ，EF ∥DN ，EF=1
2
DN ， ∴当N 从A 到B 的运动过程中，点F 在FP 所在的直线上运动，即：线段EF 扫过图形为?EFP ．
∴当点N 与点A 重合时，FP=12BN =1
2
BA =4， 过点D 作DQ ⊥AB 于点Q ，
∵AB ∥CD ，∠C =90°，AB =8，AD =CD =5， ∴AQ=8-5=3， ∴2222534AD AQ -=-=，
∴当点N 与点Q 重合时，EF=
11
222
DN DQ ==，EF ∥DQ ，即：EF ⊥AB ，即：EF ⊥FP ，
∴?EFP中，FP上的高=2，
∴当N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积=1
2
×4×2=4．
故选A．
【点睛】
本题主要考查中位线的性质定理，勾股定理以及三角形的面积公式，添加合适的辅助线，构造三角形以及三角形的中位线，是解题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
连接BD，取中点I，连接IE，IF，根据三角形中位线定理得IE＝1
2
2AD，且平行AD，IF＝
1
2
BC且平行BC，再利用 AD＞BC和 IE∥AD，求证∠AHE＝∠IEF，同理可证∠BGE＝∠IFE，再利用IE＞IF和∠AHE＝∠IEF，∠BGE＝∠IFE即可得出结论．
【详解】
连接BD，取中点I，连接IE，IF
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴IE，IF分别是△ABD，△BDC的中位线，
∴IE＝1
2
2AD，且平行AD，IF＝
1
2
BC且平行BC，
∵AD＞BC，
∴IE＞IF，
∵IE∥AD，
∴∠AHE＝∠IEF，
同理∠BGE＝∠IFE，
∵在△IEF中，IE＞IF，
∴∠IFE＞∠IEF，
∵∠AHE＝∠IEF，∠BGE＝∠IFE，∴∠BGE＞∠AHE．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查学生对三角形中位线定理和三角形三边关系等知识点的理解和掌握，有一定的拔高难度，属于难题．
6．C
解析：C 【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据角平分线的定义得到∠DCE=∠BCE=60°推出△CBE 是等边三角形，证得∠ACB=90°，求出∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；由AC ⊥BC ，得到S ?ABCD =AC ?BC ，故②正确，根据直角三角形的性质得到3AC BC =，根据三角形的中位线的性质得到OE=1
2
BC ，于是得到OE ：3∶6；故③错误； 【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
60ABC ADC ∴∠=∠=?，120BCD ∠=? ∵CE 平分BCD ∠交AB 于点E ， ∴60DCE BCE ∠=∠=?， ∴CBE △是等边三角形， ∴BE BC CE ==． ∵2AB BC =， ∴AE BE CE ==， ∴90ACB ∠=?，
∴30ACD CAB ∠=∠=?，故①正确； ∵AC BC ⊥，
∴ABCD S AC BC =?，故②正确；
在Rt ACB △中，90ACB ∠=?，30CAB ∠=?， ∴3AC BC =．
AO OC =，AE BE =，
∴1
OE BC 2
=，
1
::33:62
OE AC BC BC ∴=
=，故③错误． 故选：C ． 【点睛】
此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△BCE 是等边三角形，OE 是△ABC 的中位线是关键．
7．D
解析：D 【分析】
连接EC ，过A 作AM ∥BC 交FE 的延长线于M ，求出平行四边形ACFM ，根据等底等高的三角形面积相等得出△BDE 的面积和△CDE 的面积相等，△ADE 的面积和△AME 的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM 的面积的一半，求出CF×h CF 的值即可． 【详解】
连接DE 、EC ，过A 作AM ∥BC 交FE 的延长线于M ， ∵四边形CDEF 是平行四边形， ∴DE ∥CF ，EF ∥CD ， ∴AM ∥DE ∥CF ，AC ∥FM ， ∴四边形ACFM 是平行四边形，
∵△BDE 边DE 上的高和△CDE 的边DE 上的高相同， ∴△BDE 的面积和△CDE 的面积相等， 同理△ADE 的面积和△AME 的面积相等，
即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM 的面积的一半，是1
2
×CF×h CF ， ∵△ABC 的面积是24，BC ＝3CF ∴
12BC×h BC ＝1
2
×3CF×h CF ＝24， ∴CF×h CF ＝16， ∴阴影部分的面积是1
2
×16＝8， 故选：D ．
【点睛】
此题考查平行四边形的判定及性质，同底等高三角形面积的关系，解题中注意阴影部分面积的求法，根据图形的特点选择正确的求法是解题的关键.
8．C
解析：C 【分析】
连接BQ ，由矩形的性质，设BC=AO=a ，AB=OC=b ，利用勾股定理得到
222PQ PB BQ +=，然后得到y 与x 的关系式，判断关系式，即可得到答案.
【详解】
解，如图，连接BQ ，
由题意可知，△OPQ ，△QPB ，△ABP 是直角三角形， 在矩形ABCO 中，设BC=AO=a ，AB=OC=b ，则 OP=a x -，CQ b y =-， 由勾股定理，得：
222()PQ y a x =+-，222PB x b =+，222()BQ a b y =+-，
∵2
2
2
PQ PB BQ +=，
∴2
2
2
2
2
2
()()y a x x b a b y +-++=+-， 整理得：2
by x ax =-+，
∴2
21()24a a y x b b
=--+，
∵1
0b
-
<， ∴当2a x =时，y 有最大值2
4a b
； ∴随x 的增大，y 先增大后减小； 故选择：C. 【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理找到y 与x 的关系式，从而得到答案.
9．C
解析：C 【分析】
在矩形ABCD 中，由矩形边长，可得矩形面积是12，进而得1
34AOD
ABCD
S
S =
=矩形，由矩
形对角线相等且互相平分得AO OC =，OB OD =，AC BD =，利用勾股定理可解得
5AC =,则5
2OA OD ==，
111
()3222
AOD AOP DOP S S S OA PE OD PF OA PE PF =+=+=+==，即可求出PE+PF
的值． 【详解】
解：连接PO ，如下图：
∵在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4， ∴12ABCD S AB BC ==矩形,
AO OC =，OB OD =，AC BD =，
225AC AB +BC ， ∴11
12344
AOD
ABCD S
S =
=?=矩形, 52
OA OD ==， 11115
()()322222
AOD
AOP DOP
S
S
S
OA PE OD PF OA PE PF PE PF =+=+=+=?+=，
∴12
2.45
PE PF +==； 故选C ． 【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，利用等积法间接求三角形的高线长及用勾股定理求直角三角形的斜边；利用面积法求解，是本题的解题突破点．
10．B
解析：B 【分析】
先求证四边形AFPE 是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用面积法可求得AP 最短时的长，然后即可求出AM 最短时的长． 【详解】
解：连接AP ，在ABC 中，AB ＝5，AC ＝12，BC ＝13， ∴AB 2+AC 2＝BC 2，
∴∠BAC＝90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP．
∵M是EF的中点，
∴AM＝1
2 AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，
∴S△ABC＝11
22
BC AP AB AC
?=?，
∴11
13512 22
AP
?=??，
∴AP最短时，AP＝60 13
，
∴当AM最短时，AM＝1
2
AP＝
30
13
．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查学生对勾股定理逆定理的应用、矩形的判定和性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定难度．
二、填空题
112
【分析】
过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，得到BO=2HE，其中O点在线段AC上运动，再由点到直线的距离垂线段最短求出BO的长即可求解．
【详解】
解：过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，如下图所示：
∵H 是BG 的中点，且BO 与HE 平行， ∴HE 为△BOG 的中位线，且BO=2HE ， 故要使得HE 最短，只需要BO 最短即可， 当E 点位于C 点时，则O 点与C 点重合， 当E 点位于D 点时，则O 点与A 点重合， 故E 点在CD 上运动时，O 点在AC 上运动，
由点到直线的距离垂线段最短可知，当BO ⊥AC 时，此时BO 最短， ∵四边形ABCD 是正方形，
∴△BOC 为等腰直角三角形，且BC=4，、 ∴2222
BO ,
∴122
HE
BO ，
2 【点睛】
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识点，本题的关键是要学会将要求的HE 线段长转移到线段BO 上．
12．2【分析】
作P 点关于线段AE 的对称点P '，根据轴对称将DQ PQ +转换成DP '，然后当
DP AC '⊥的时候DP '是最小的，得到DP '长，最后求出正方形边长DC ． 【详解】
∵AE 是DAC ∠的角平分线，
∴P 点关于线段AE 的对称点一定在线段AC 上，记为P '
由轴对称可以得到PQ P Q '=， ∴DQ PQ DQ P Q DP ''+=+=，
如图，当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，也就是DQ PQ +取最小值4，
∴4DP '=，
由正方形的性质P '是AC 的中点，且DP P C ''=， 在Rt DCP '中，2222443242DC DP P C ''=+=+==．
故答案是：42．
【点睛】
本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是能够分析出DQ PQ +取最小值的状态，并将它转换成DP '去求解． 13．24 【分析】
由菱形的性质可得OD ＝OB ，∠COD ＝90°，由直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，可
得OH ＝
1
2
BD ＝OB ，可得∠OHB ＝∠OBH ，由余角的性质可得∠DHO ＝∠DCO ，即可求解． 【详解】
【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴OD ＝OB ，∠COD ＝90°，∠DAB ＝∠DCB ＝48°， ∵DH ⊥AB ， ∴OH ＝
1
2
BD ＝OB ， ∴∠OHB ＝∠OBH ， 又∵AB ∥CD ， ∴∠OBH ＝∠ODC ，
在Rt △COD 中，∠ODC +∠DCO ＝90°， 在Rt △DHB 中，∠DHO +∠OHB ＝90°， ∴∠DHO ＝∠DCO ＝1
2
∠DCB ＝24°， 故答案为：24． 【点睛】
本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，余角的性质，是几何综合题，判断出OH 是BD 的一半，和∠DHO ＝∠DCO 是解决本题的关键．
1419【分析】
先根据菱形的性质可得OC 垂直平分BD ，从而可得=DP BP ，再根据两点之间线段最短
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN． （1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形； 猜想与发现： （2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论． 结论1：DM、MN的数量关系是； 结论2：DM、MN的位置关系是； 拓展与探究： （3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析. 【解析】 试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出 MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直. 试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF， ∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM， AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE， ∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°，∴DM⊥MN；（3）（2）中的
平行四边形培优讲义新 打印版 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
平边四边形知识点 一．知识框架 二．知识概念 平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。 平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 平行四边形的判别方法： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） 矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线）或底×高 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有四条对称轴） 正方形常用的判定： 有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形；
八年级数学下册平行四边形的培优专题训练
一、基础归纳 1．性质：按边、角、对角线三方面分类记忆． 平行四边形的性质 ...???? ????? ??? ????? 对边平行；边对边相等对角相等；角邻角互补对角线：对角线互相平分 另外，由“平行四边形两组对边分别相等”的性质，可推出下面的推论：夹在两条平行线间的平行线段相等． 2．判定方法：同样按边、角、对角线三方面分类记忆． 边 ?? ??? 两组对边分别平行 一组对边平行且相等两组对边分别相等 角：两组对角分别相等 对角线：对角线互相平分 3．注意的问题： 平行四边形的判定定理，有的是相应性质定理的逆定理． 学习时注意它们的联系和区别，对照记忆． 4．特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形） 二、基本思想方法 研究平行四边形问题的基本思想方法是转化法，即把平行四边形的问题转化为三角形及平移、旋转和对称图形的问题来研究． 【典例分析】 的四边形是 平行四边形
例1．已知：如图1，在ABCD 中，AB =4cm ，AD =7cm ，∠ABC 的平分线 交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF = cm ． 解析：由平行四边形的性质知，AD ∥BC ，得∠AEB =∠EBC ， 又BF 是∠ABC 的平分线， 即∠ABE =∠EBC ，所以∠AEB =∠ABE ．则AB = AE = 4cm ．所以DE = AD －AE = 7－4 =3（cm ）． 又由AB ∥CD ，则∠F =∠ABE ，所以∠F =∠AEB ． 因为∠AEB=∠FED ，所以∠F =∠FED ，故DF = DE = 3cm ． 例2．已知：如图2，在平形四边形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AF =CE ． 求证：DE =BF ． 例3．已知：如图3，在△ABC 中，AB =AC ，E 是AB 的中点，D 在BC 上，延长ED 到F ，使 ED = DF = EB ，连接FC ．求证：四边形AEFC 是平行四边形． A D C B F E (图1) (图2) Ａ Ｄ Ｃ Ｂ Ｆ Ｅ C
第8题图 F D ’ D C B A 平行四边形 一、填空. 1、用硬纸片剪一个长为16cm ，宽为12cm 的长方形，再沿对角线把它分成两个三角形，用这两个三角形可拼出各种三角形和四边形，其中周长最大的是________cm ，周长最小的是________cm ； 2、如图，在矩形ABCD 中，已知AD=12,AB=5,P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，那么PE+PF=_____________； 3、如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，且AD≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD 于点M ，若△CDM 周长为a ，则□ABCD 的周长为_________； 4、如图，已知矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，若∠DAE ：∠BAE=3:1，则∠EAC=_____； 5、如图，以△ABC 的三边在BC 的同一侧，分别作三个等边三角形，即△ABD 、△BCE 、△ACF. （1）四边形ADEF 是_________ （2）当△ABC 满足条件________________时，四边形ADEF 为矩形. （3）当△ABC 满足条件________________时，四边形ADEF 不存在； 6、如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 的周长为33+，∠ABC=60o ，则菱形ABCD 的面积为__________； 7、已知一个三角形的一边长为2，这边上的中线为1，另外两边之和为31+， 则这两边之积为_______； 8、如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点E 处， 则重叠部分△AFC 的面积为____________； 二、选择题 9、四边形的四条边长分别是a 、b 、c 、d ，其中a 、c 为对边，且满足a 2+b 2+c 2+d 2=2ab +2cd ，则这个四边形一定是（ ） C B A C B A 12cm O 16cm E F P 第2题图 M O D 第1题图 第3题图 D B A O E D C A B O C B A F E D C 第6题图 第5题图 第4题图 D
F E D C B A 平行四边形综合提高 一 利用平行四边形的性质进行角度、线段的计算 1、如图，在 ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，若∠EAF ＝60o ，则∠B ＝_______；若BC ＝4cm ，AB ＝3cm ，则AF ＝___________，□ABCD 的面积为_________． 2、已知ABCD 的周长为32cm,对角线AC 、BD 交于点O ，△AOB 的周长比△BOC 的周长多4cm ，求这个四边形的各边长。 二、利用平行四边形的性质证线段相等 3、如图，在 ABCD 中，O 是对角线AC 、BD 的交点，BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ．那么OE 与OF 是否相等？为什么？ 三 直接利用平行四边形的判定和性质 4、如图在ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，AF 与EB 交于点G ，CE 与DF 交于点H ，试说明四边形EGFH 的形状。 5、如图，BD 是ABCD 的对角线，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于点F ，求证：四边形AECF 为平行四边形。 B D B D
四 构造平行四边形解题 6、如图2-33所示．Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，BG 平分∠ABC ，EF ∥BC 且交AC 于F ． 求证：AE=CF ． 7、已知，如图，AD 为△ABC 的中线，E 为AC 上一点，连结BE 交AD 于点F ，且AE=FE ，求证：BF=AC [能力提高] 1、如图2-39所示．在平行四边形ABCD 中，△ABE 和△BCF 都是等边三角形． 求证：△DEF 是等边三角形． 2、如图2-32所示．在ABCD 中，AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，DN=BM ．求证：EF 与MN 互相平分． B C D
1、在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO． 2、如图，已知，□ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点． 求证：四边形MFNE是平行四边形． 3、在□ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF． 求证：四边形BEDF是平行四边形． 4、已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形． 5、已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．
（1）求证：四边形EFCD是平行四边形； （2）若BF=EF，求证：AE=AD． 6、如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F． （1）求证：BE=DF； （2）若 M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形 MENF的形状（不必说明理由）． 7．已知：如图，在?ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形．
8．如图，已知在?ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC 的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG． （1）求证：四边形GEHF是平行四边形； （2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中 的结论是否成立 9、如图所示．?ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB于E．求证：BE=CF． 10．已知平行四边形ABCD的周长为36cm，过D作AB，BC边上的高DE、DF，且cm，，求平行四边形ABCD的面积． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平 行四边形，A、B、C的坐标分别是A（﹣3，），B（﹣2，3），C （2，3），点D在第一象限． （1）求D点的坐标； （2）将平行四边形ABCD先向右平移个单位长度，再向下平移 个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少
平行四边形培优专题训练 一.选择题： 1.在平行四边形ABCD 中，点A 1、A 2、A 3、A 4和C 1、C 2、C 3、C 4分别是AB 和CD 的五等分点,点B 1、B 2和D 1、D 2分别是BC 和DA 的三等分点,已知四边形A 4 B 2 C 4 D 2的面积为1,则平行四边形ABCD 面积为（ ） A.2 B. C. D.15 2、如图，在矩形ABCD 中,AB=3,AD=4,P 是AD 上一动点,PE ⊥AC 于E,PF ⊥BD 于F,则PE+PF 的值为（ ） A 、125 B 、135 C 、5 2 D 、2 二．填空题： 1.在平行四边形ABCD 中，已知AB 、BC 、CD 三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是 。 2.以不共线的三点A 、B 、C 为顶点的平行四边形共有 个。 3. □ABCD 的对角线交于点O ，S △AOB =2cm 2，则S □ABCD =__________. 4. □ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，若AC =8，AB =6，BD =m ，那么m 的取值范围是________. 5.如图，△ABC 是等边三角形，P 是其内任意一点，PD ∥AB ，PE ∥BC ，DE ∥AC ，若△ABC 周长为12，则PD +PE +PF = 。 三．解答题： 1.□ABCD 中，E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F ，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，求CF 的长. F E D C B A P F E D C B A
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=?，对角线AC 平分BAD ∠. （1）如图1，若120DAB ∠=?，且90B ∠=?，试探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由. （2）如图2，若将（1）中的条件“90B ∠=?”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由. （3）如图3，若90DAB ∠=?，探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由. 【答案】（1）AC AD AB =+.证明见解析；（2）成立；（3）2AD AB AC +=.理由 见解析. 【解析】 试题分析：（1）结论：AC=AD+AB ，只要证明AD= 12AC ，AB=1 2 AC 即可解决问题； （2）（1）中的结论成立．以C 为顶点，AC 为一边作∠ACE=60°，∠ACE 的另一边交AB 延长线于点E ，只要证明△DAC ≌△BEC 即可解决问题； （3）结论：AD +AB ＝2AC ．过点C 作CE ⊥AC 交AB 的延长线于点E ，只要证明△ACE 是等腰直角三角形，△DAC ≌△BEC 即可解决问题； 试题解析：解：（1）AC=AD+AB ． 理由如下：如图1中， 在四边形ABCD 中，∠D+∠B=180°，∠B=90°， ∴∠D=90°， ∵∠DAB=120°，AC 平分∠DAB ， ∴∠DAC=∠BAC=60°， ∵∠B=90°，
∴AB＝1 2 AC，同理AD＝ 1 2 AC． ∴AC=AD+AB． （2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E， ∵∠BAC=60°， ∴△AEC为等边三角形， ∴AC=AE=CE， ∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°， ∴∠DCB=60°， ∴∠DCA=∠BCE， ∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°， ∴∠D=∠CBE，∵CA=CE， ∴△DAC≌△BEC， ∴AD=BE， ∴AC=AD+AB． （3）结论：AD+AB＝2AC．理由如下： 过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°， ∴DCB=90°， ∵∠ACE=90°， ∴∠DCA=∠BCE， 又∵AC平分∠DAB， ∴∠CAB=45°， ∴∠E=45°． ∴AC=CE． 又∵∠D+∠ABC=180°，∠D=∠CBE，
中心对称与平行四边形的判定 知识归纳 1.中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与 原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 分析：一个图形；围绕一点旋转1800；重合. 2.思考：中心对称与中心对称图形有什么区别和联系? 1)区别： 中心对称是指两个全等图形之间的位置关系，成中心对称的两个图形中，其中一个图形上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点关于对称中心的对称点都在这；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称，中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上. 2)联系： 如果将中心对称的两个图形看成一个整体(一个图形)，那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形也可以看成是关于中心对称的两个图形. 3.中心对称图性质 1)中心对称图形的对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 2)中心对称图形的两个部分是全等的． 注：常见的中心对称图形有：矩形，菱形，正方形，平行四边形，圆,边数为偶数的正多边形，某些规则图形等． 正偶边形是中心对称图形 正奇边形不是中心对称图形如：正三角形不是中心对称图形、等腰梯形不是中心对称图形 4.平行四边形的性质： ①平行四边形两组对边相等。 ②平行四边形两组对角相等。 ③平行四边形对角线互分平分。 5.平行四边形判定： 定理1、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 定理2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 定理3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。 定理4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 6.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 7.逆定理1：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是 三角形的中位线。 逆定理2：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
八年级初二数学数学平行四边形的专项培优练习题(附解析 一、解答题 1．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一点（不与点A ，D 重合），ABE ?沿BE 折叠，得BEF ，点A 的对称点为点F ． （1）当AB AD =时，点F 会落在CE 上吗？请说明理由． （2）设()01AB m m AD =<<，且点F 恰好落在CE 上． ①求证：CF DE =． ②若AE n AD =，用等式表示m n ，的关系． 2．在四边形ABCD 中，90A B C D ∠∠∠∠====，10AB CD ==， 8BC AD ==． ()1P 为边BC 上一点，将ABP 沿直线AP 翻折至AEP 的位置(点B 落在点E 处) ①如图1，当点E 落在CD 边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形(不写作法，保留作图痕迹，用2B 铅笔加粗加黑).并直接写出此时DE =______； ②如图2，若点P 为BC 边的中点，连接CE ，则CE 与AP 有何位置关系？请说明理由； ()2点Q 为射线DC 上的一个动点，将 ADQ 沿AQ 翻折，点D 恰好落在直线BQ 上的点 'D 处，则DQ =______； 3．如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别为OB 、OD 的中点，延长AE 至G ，使EG AE =，连接CG ．
（1）求证：AOE COF ???； （2）四边形EGCF 是平行四边形吗？请说明理由； （3）若四边形EGCF 是矩形，则线段AB 、AC 的数量关系是______． 4．综合与探究 如图1,在ABC ?中,ACB ∠为锐角,点D 为射线BC 上一点,连接AD ,以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ,解答下列问题: （1）研究发现:如果AB AC =,90BAC ∠=? ①如图2,当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合）,线段CF 、BD 之间的数量关系为______,位置关系为_______． ②如图3,当点D 在线段BC 的延长线上时,①中的结论是否仍成立并说明理由． （2）拓展发现:如果AB AC ≠,点D 在线段BC 上,点F 在ABC ?的外部,则当ACB =∠_______时,CF BD ⊥． 5．已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交于BE 的延长线于点F ，且AF=DC ，连接CF ． （1）求证：D 是BC 的中点； （2）如果AB=AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论． 6．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A 、B 重合），连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ，连接BH ．
F E D C B A E C B A C B A E O C B A H G F E 红绿橙蓝黄紫2l 1l F D C E B A P F E D C B A E D C B A 《平行四边形》培优训练 1、如图，□ABCD 的周长为20，BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，BE=2，BF=3。则□ABCD 的面积为 。 1题图 2题图 2、如图，在□ABCD 中，已知AD=8，AB=6，DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 等于（ ） A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 3、如图，在周长为20的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为（ ） A 、4 B 、6 C 、8 D 、10 3题图 4题图 4、某广场上有一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花。如果有AB ∥EF ∥DC ，BC ∥GH ∥AD ，那么下列说法中错误的是（ ） A 、红花、绿花种植面积一定相等 B 、紫花、橙花种植面积一定相等 C 、红花、蓝花种植面积一定相等 D 、蓝花、黄花种植面积一定相等 5、如图，1l ∥2l ，BE ∥CF ，BA ⊥1l ，DC ⊥2l ，下面的四个结论中：①AB=DC ；②BE=CF ；③DCF ABE S S ??=；④S □ABCD =S □BCFE 。其中正确的有（ ） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 5题图 6题图 6、如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD=BC ，∠PEF=180，则∠PFE 的度数为 。 7、四边形中，有两条边相等，另两条边也相等，则这个四边形（ ） A 、一定是平行四边形 B 、一定不是平行四边形 C 、可能是平行四边形 D 、以上答案都不对 8、如图，□ABCD 中，E 是BC 边上的一点，且AB=AE 。 （1）求证：△ABC ≌△EAD ； （2）若AE 平分∠DAB ，∠EAC=250，求∠AED 的度数。
1.平行四边形的性质： ①平行四边形两组对边相等。 ②平行四边形两组对角相等。 ③平行四边形对角线互分平分。 2.平行四边形判定： 定理1、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 定理2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 定理3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。 定理4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 3.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 4.逆定理1：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是 三角形的中位线。 逆定理2：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
第四节：中心对称图形 课堂练习 1.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（） A．正三角形B．平行四边形C．等腰直角三角形D．正六边形 2.下列图形中，不是中心对称图形的是（） 3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）． 4.下三图是由三个相同的小正方形拼成的图形，请你再添加一个同样大小的小正方形， 使所得的新图形分别为下列A，B，C题要求的图形，请画出示意图． （1）是中心对称图形，但不是轴对称图形； （2）是轴对称图形，但不是中心对称图形； （3）既是中心对称图形，又是轴对称图形． 第五节：平行四边形的判定 例题讲解 例1：判断下列说法的正误，如果错误请画出反例图 ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。( ) ②一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形. ( ) ③一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．( ) ④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．( ) ⑤两组邻角互补的四边形是平行四边形。( )
《平行四边形》竞赛试题 总分120分，时间120分钟 一、填空题（共9小题，每小题3分，满分27分） 1．在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上异于A和D的任意一点，且PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=_________． 2．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是_________．（填一个即可） 3．如图，已知矩形ABCD，对角线AC、BD相交于O，AE⊥BD于E，若AB=6，AD=8，则AE=____．4．如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．（1）四边形ADEF是_________；（2）当△ABC满足条件_________时，四边形ADEF为菱形；（3）当△ABC满足条件_________时，四边形ADEF不存在． 1题2题3题4题 5．已知一个三角形的一边长为2，这边上的中线为1，另两边之和为1+，则这两边之积为________．6．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，图中有_________对四边形面积相等；它们是_________． 7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，△AOB的周长为3+，∠ABC=60°，则菱形ABCD 的面积为_________． 8．如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于E，若∠EAO=15°，则∠BOE 的度数为_________度． 9．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为_________． 6题7题8题9题 二、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分） 10．如图，?ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，则∠AED的大小是（） A．60°B．65°C．70°D．75° 10题11题12题13题 11．如图，正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、CD上，则∠B的度数是（）A．70°B．75°C．80°D．95° 12．如图，正方形ABCD外有一点P，P在BC外侧，并在平行线AB与CD之间，若PA=，PB=，PC=，则PD=（） A．2B．C．3D． 13．如图，平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF=54°，则∠B=（） A．54°B．60°C．66°D．72° 14．四边形ABCD的四边分别为a、b、c、d，其中a、c为对边，且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则这个四边形一定是（） A．两组角分别相等的四边形B．平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形 15．周长为68的长方形ABCD被分成7个全等的长方形，如图所示，则长方形ABCD的面积为（）A．98 B．196 C．280 D．284
平行四边形性质培优 一：角的题型。 1、在?ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D可能是（） A．1：2：3：4B．2：3：2：3C．2：2：1：1D．2：3：3：2 2．?ABCD中，∠B＝5∠A，则∠C的度数为 3．已知?ABCD中，∠A+∠C＝240°，则∠B的度数是 4．在?ABCD中，∠A﹣∠B＝40°，则∠C的度数为 5．如图，?ABCD与?DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为 二：周长题型。 1．如图，平行四边形ABCD的周长为8，△AOB的周长比△BOC的周长多2，求：AB边的长。 2．在?ABCD中，O是AC、BD的交点，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，若?ABCD的周长为22cm，则△CDE的周长为 3、如图，?ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC 于点E，若△CDE的周长为10，则?ABCD的周长为 4．如图，EF过?ABCD的对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F．若?ABCD的周长为10，OE＝1，线则四边形EFCD的周长为 5、如图所示,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,∠EAF=45°,且AE+AF=32求平行四边形ABCD的周长。 6、如图所示，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F处，若△FDE的周长为12，△FCB的周长为22，则FC的长为_________. 三:面积题型。 1、如图，□ABCD的两条对角线相交于点O，E，F分别是边CD，BC的中点，图中与△BCE面积相等的三角形（不包括△BCE）共有_______个. 2,如图，E是□ABCD中AB边上的任意一点，连接CE、DE，DE与对角线AC 相交于点F，则下列结论中不正确的是（） A.S△ADE=S△BCE B.S△ACD=S△ABC
v1.0可编辑可修改 平行四边形 1、如图所示，设P 为 ? ABCD内的一点，△PAB，△ PBC，△ PDC，△ PDA的面积分别记为S1， S2，S3， S4，则有 () A、 S1=S4 B、 S1+S2=S3+S4 C、S1+S3=S2+S4 D 、以上都不对 2、如图，在矩形ABCD中 ,AB=3,AD=4,P 是 AD上一动点 ,PF ⊥ AC于 F,PE⊥ BD于 E, 则PE+PF 的值为（） 12135 D、2 A、 B 、 C 、 552 3、如图，在周长为20 的□ABCD中， AB AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交 AD于 E，则△ABE的周长为（） A、4 B、6 C、8 D、10 A E D O B C 4、某广场上有一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别有红、黄、蓝、绿、橙、紫 6 种颜色的花。如果有AB∥ EF∥DC， BC∥GH∥ AD，那么下列说法中错误的是（） A、红花、绿花种植面积一定相等 B、紫花、橙花种植面积一定相等 C、红花、蓝花种植面积一定相等 D、蓝花、黄花种植面积一定相等 5、如图，□ ABCD的周长为 20， BE⊥ AD， BF⊥ CD， BE=2，BF=3。则□ABCD的面积 为_ 6、□ABCD中， E 在边 AD上，以 BE 为折痕，将△ ABE向上翻折，点 A 正好落在 CD上的点F， 若△ FDE的周长 为8，△ FCB的周长为 22，则 CF=_________ E B C F C A D D 紫绿 G红 H E 黄 橙F 蓝 B A C D B F A E 7、如图，在梯形ABCD中， AD∥BC， AD=24cm， BC=30cm，点 P 自点 A 向 D 以 1cm/s的速度运动，到 D 点即停止．点Q自点 C向 B 以 2cm/s 的速度运动，到 B 点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P， Q同时出发， ________秒后其中一个四边形为平行四边形
特殊平行四边形专项训练）（一） B卷（20分填空题每题3分） 1.一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形的边数是_________. 2.如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是_________ 3.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿 直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是______ 4.菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为_____________ ． 第2题第3题第4题 5.在平面直角坐标系xoy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限． （1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标; (2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P 都在∠AOB的平分线上； （3）设点P到x轴的距离为h，请直接说出h的取值范围．（8分）
6.如图，已知点E ，F 分别是□ABCD 的边BC ，AD 上的中点，且∠BAC =90°．（10分） （1）求证：四边形AECF 是菱形； （2）若∠B =30°，BC =10，求菱形AECF 面积． 7.如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =6，点E 、F 分别在边CD 、AB 上．（12分） （1）若DE =BF ，求证：四边形AFCE 是平行四边形； （2）若四边形 AFCE 是菱形，求菱形AFCE 的周长． 8. 如图，四边形ABCD 中，∠A =∠ABC =90°，AD =1，BC =3，E 是边CD 的中点，连接BE 并延长与AD 的延长线相交于点F ． （1）求证：四边形BDFC 是平行四边形； （2）若△BCD 是等腰三角形，求四边形BDFC 的面积．（12分） 已知：在ABC △中，AB AC a ==，M 为底边BC 上的任意一点，过点M 分别作AB 、AC 的平行线交AC 于点P ，交AB 于点Q 。 （1）求四边形AQMP 的周长；（用含a 的代数式表示）
2020中考数学 平行四边形综合运用培优（含答案） 一、单选题（共有9道小题） 1.如图，已知在△ABC 中，∠BAC ＞90°，点D 为BC 的中点，点E 在AC 上，将△ CDE 沿DE 折叠，使得点C 恰好落在BA 的延长线上的点F 处，连结AD ，则下列结论不一定正确的是( ) A ．AE ＝EF B ．AB ＝2DE C ．△ADF 和△ADE 的面积相等 D ．△AD E 和△FDE 的面积相等 2.如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为6和8，则这个菱形的周长是 ( ) A ．20 B ．24 C ．40 D ．48 3.矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm ，较短边的长为（ ）cm ． A.12 B.10 C.7.5 D.5 4.下列命题的逆命题不正确的是（ ） A ．平行四边形的对角线互相平分 B ．两直线平行，内错角相等 C ．等腰三角形的两个底角相等 D ．对顶角相等 5.如图，下列哪个条件能使□ABCD 成为菱形的（ ） ①AC ⊥BD ②AB ∥CD ③AB=BC ④AB=CD A. ①③ B.②③ C.③④ D.①②③ 6.如果三角形的两边长分别是方程2 8150x x -+=的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（ ） B F C A D E O A B C D A B C D
A ．5.5 B ．5 C ．4.5 D ．4 7.在数学课上，某学习小组采取了一下方法判断一个四边形是不是矩形，正确的是（ ） A ．测量对角线是否互相平分 B ．测量两组对边是否分别相等 C ．测量一组对角线是否互相垂直 D ．测量其中三个角是否都为直角 8.如图，已知点P 是矩形ABCD 内一点(不含边界)，设1＝ PAD θ∠，2＝ PBA θ∠， 3＝ PCB θ∠，4＝ PDC θ∠，若∠APB ＝80°，∠CPD ＝50°，则( ) A ．1423()()30＋ － ＋ ＝ θθθθ? B ．2413()()40＋ － ＋ ＝ θθθθ? C ．1234()()70＋ － ＋ ＝ θθθθ? D ．1234()()180＋ ＋ ＋ ＝ θθθθ? 9.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当A C ⊥B D 时，它是菱形 C ．当∠ABC=90°时，它是矩形 D ．当AC=BD 时，它是正方形 二、填空题（共有7道小题） 10.折叠矩形纸片ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，点A 落在 DC 边上的点F 处，折痕为DE ，点E 在AB 边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点C 落在线段AE 上的点H 处，折痕为DG ，点G 在BC 边上，若AB ＝ AD ＋2，EH ＝1，则AD 11.如图，E 是矩形ABCD 中BC 边上的点，将△ABE 沿AE 折叠到△AEF ，F 在矩形 ABCD 内部，延长AF 交DC 于G 点，若∠AEB=550, 则∠DAF= O D B A
数学数学平行四边形的专项培优易错试卷练习题及解析 一、选择题 1．如图， ABCD 为正方形， O 为 AC 、 BD 的交点，在RT DCE 中，DEC ∠= 90?， DCE ∠= 30?，若OE = 62 2 +，则正方形的面积为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 2．如图,矩形ABCD 中,AB=5,AD=4,M 是边CD 上一点,将△ADM 沿直线AM 对折,得△ANM ,连BN ,若DM=1,则△ABN 的面积是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AB ＝4，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是线段BO 上一动点，F 是射线DC 上一动点，若∠AEF ＝120°，则线段EF 的长度的整数值的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．将个边长都为1cm 的正方形按如图所示的方法摆放，点 分别是正方形 对角线的交点，则2019个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为( ) A ． B ． C ． D ． 5．矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE 的长为( )
A ．3 B ． 32 C ．2或3 D ．3或 32 6．如图，在ABCD 中，已知6AB =，8AD =，60B ∠=?，过BC 的中点E 作 EF AB ⊥，垂足为F ，与DC 的延长线相交于点H ，则DEF ?的面积是（ ） A ．83 B ．123 C ．143 D ．183 7．如图，分别以Rt ACB ?的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形 ABDE ，连结CE 、BG 、GE ．给出下列结论： ①CE BG =； ②EC BG ⊥ ③22222FG BF BD BC +=+ ④222222BC GE AC AB +=+其中正确的是（ ） A ．②③④ B ．①②③ C ．①②④ D ．①②③④ 8．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BF ＝4CF ，四边形DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．8 9．如图，点P 在长方形OABC 的边OA 上，连接BP ，过点P 作BP 的垂线，交射线OC 于
平行四边形培优训练一 1如图,△ ABC为等边三角形，D F分别为BC AB上的点，且 CD= BF,以AD为边作等边△ ADE. (1)求证：△ ACD^A CBF. ⑵点D在线段BC上何处时，四边形 CDEF是平行四边形且/ DEF=30 . 2、如图所示，以△ ABC的三边为边在 BC的同侧分别作三个等边三角形厶ABD D △ BCE △ ACF,猜想：四边形 ADEF是什么四边形，试证明你的结论 . =2AB , E为BC的中点，求/ AED的度数; 3、已知：平行四边形 ABCD中，AB+BC=11cm/ A=150°,平行四边形 ABCD的面积是15cm2, 求 AB, BG 5. 如图8-52, △ ABC是等边三角形，P是厶ABC内一点,PE // AC交AB于点E,PF // AB交BC于点F,PD// BC交 AC于点 D.已知△ ABC的周长是 12 cm,贝U PD+PE+PF=__________________ c 4、
&如图，在四边形 (1)求证：四边形 ABCD 中, / BAC=Z ACD=90, / B=Z D. ABCD 是平行四边形； (2 )若 AB=3cm BC=5cm AE 二 AB 点P 从B 点出发，以 1cm/s 的速度沿 BSCMDA 运动 6、 ?如图8-49,若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形 ABCD 勺形状，并使其面积为 矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的值等于 _____________________ . 7. 如图，/ ABM 为直角，点C 为线段BA 的中点，点D 是射线BM 上的一个动点(不与点 B 重合)，连接AD,作BE ± AD,垂足为E,连接CE 过点E 作EF 丄CE 交BD 于F. (1) 求证：BF=FD (2) 点D 在运动过程中能否使得四边形 A CFE 为平行四边形？如不能，请说明理由；如能， 求出此时/ A 的度数. 至A 点停止，则从运动开始经过多少时间， △ BEP 为等腰三角形? 9. 如图，在梯形 ABCD 中 , AD// BC, / B=90° AD=16cm AB=12cm BC=21cm 动点 P 从点 B 出发，沿射线BC 的方向以每秒2cm 的速度运动到C 点返回，动点Q 从点A 出发，在线段 AD 上以每秒1cm 的速度向点D 运动，点P, Q 分别从点B , A 同时出发，当点 Q 运动到点D 时，