课 题：椭圆与直线的位置关系
教学目的：使学生理解并掌握椭圆与直线的相互位置关系及两者方程之间的相互联系，能利
用两者方程之间的相互关系解决有关椭圆与直线位置关系的问题.从而培养学生的运用知识能力、相互转化能力、理解能力及分析问题解决问题能力.
教材分析：重点：利用判别式、弦中点坐标、弦长公式及弦所在直线斜率等的相互关系解
题。
重点是掌握利用弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系解题. 难点：有选择地运用适当技巧解题.
教学过程：一、课引
1.在圆的单元中，我们研究了圆与直线的位置关系，它们的关系是：相离、相切、相交，在分析这类问题时，其关键（或者说是解题的切入点）是分析直线与圆的公共点的个数及圆心到直线的距离.通过这两点可以较清楚地分析出直线与圆的相互关系，并由此作为切入点进行解题.圆
①.求直线方程（如切线方程、弦所在直线方程等）或圆方程； ②.把圆（一条封闭曲线）看成一个“区域”，利用线性规划的思想求最值； ③.求解与弦有关的一些问题（如弦长、弦中垂线等）。 这里有一个弦长公式： |P 1P 2|＝
(
)()||
1
1||121212
1
2
212
2
2
y
y k
x x k y y x x -+
=-+=
+
--
2.椭圆与圆有很多相似之处.当椭圆长短轴的长相等（离心率为0）时，椭圆即为圆.因此，在椭圆的这部分内容中也有此类问题，事实上，对于其他二次曲线（包括以后学习的双曲线和抛物线）均有此类问题，而且这类问题很有共性.当然，由于椭圆（包括以后学习的双曲线和抛物线等）有其本身的特殊性，在解题时也应注意研究分析各自的不同之处（比如相切问题，过切点的半径与圆的切线垂直，而椭圆中就没有这个性质，即切点与椭圆中心的连线不一定垂直于切线）.
3.直线与二次曲线相互位置关系的问题，是解析几何的一个重点内容，也是高考的重点考查的内容之一，纵观历年高考，这部分的内容必考无疑！因此请大家务必引起充分重视.
下面略举几例来说明此类问题的分析与解答.
二、讲解新课
例1：在椭圆x 2+4y 2=16中，求通过点M （2，1）且被这一点平分的弦所在的直线方程. 解一：（显然，只须求出这条直线的斜率即可）
如果弦所在的直线的斜率不存在， 即直线垂直于x 轴，
则点M （2，1
故可设弦所在的直线方程为y=k(x-2)+1， 代入椭圆方程得x 2+4[k(x-2)+1]2=16
即得(1+4k 2)x 2-(16k 2-8k)x+16k 2-16k-12=0
∵直线与椭圆有两个交点,
故 △=16(k 2+4k+3)>0
又
4418162
2
21=+-=
+k
k x x k
两式联立解得k=2
1
-
，∴直线方程为x+2y-4=0. 评：※.本例在解题过程中，充分考虑了椭圆与直线相交有两个交点这一事实，由此得出△=16(k 2+4k+3)>0，又利用了中点坐标，列出了方程，从而使问题得到解决.这种方法是常用的方法，大家务必掌握.
但是，这种解法显得较繁（特别是方程组 16(k 2+4k+3)>0
4418162
2
=+-k
k k
显得较繁）。下面看解法二：
解二：设弦的两个端点分别为P(x 1,y 1) , Q(x 2,y 2)
则 x 1+x 2=4, y 1+y 2=2
∵在P(x 1,y 1) , Q(x 2,y 2)椭圆上, 故有x 12+4y 12=16 x 22+4y 22=16 两式相减得(x 1+x 2 )(x 1-x 2 )+4( y 1+y 2) ( y 1-y 2)=0 ∵点M （2，1）是PQ 的中点, 故x 1≠x 2，
两边同除(x 1-x 2 )得
()()
042
2
21
2
1
2
1
=--+++x
x y
y y y x x
即4+8k=0 ∴k=2
1-
∴弦所在的直线方程为y-1=2
1-(x-2) 即x+2y-4=0.
评：※.本解法设了两个端点的坐标，而我们并没有真的求出它们，而是通过适当变形，得到了()()042
2
212
1
2
1
=--
+++
x
x
y y
y y x
x ，从而揭示了弦所在的直线斜率k 与弦中点
坐标(x 0,y 0)之间在椭圆标准方程的前提下的关系：mx 0+ny 0k=0 . 显得很简便.
※.但在解题过程中应注意考虑x 1≠x 2的条件！如果有这种可能性，可采用讨论的方法，先给以解决. 如果不可能有这种情况，则应先说明.
例2：已知：椭圆
13
2
2
=+y x 的一个顶点A 的坐标是（0，－1）
，试问是否存在一条斜率为k(k ≠0)的直线，使与椭圆有两个交点M 、N ，且满足|AM|＝|AN|.
分析提问：① “是否存在一条这样的直线”只须判断直线的什么就可以了？
②为什么要规定“k ≠0”这样的条件？ ③“|AM|＝|AN|”可以说明什么？
于是得到如下解法：
解：设满足条件的直线存在.设M 、N
MN 的中点为Q(x 0,y 0)，则显然可知x 1≠x 2 代入椭圆方程得
030
=+k y x
故y
x k 0
03-=
又由AQ ⊥NM 得k x
y 110
0-=+（ ∵k ≠0 ） 故1
30
00
+-=-y x y x ∴210
=y ∴x 23
-=∵Q(x 0,y 0)在椭圆内部，故有3321232
2
<+??
?
????
?
??
-k
即k 2＜1解得－1＜k ＜1 (k ≠0) ∴存在满足这样条件的直线.
评：※.本例的解法除了运用前面提到的弦中点坐标与弦所在直线的斜率的关系030
=+k y x 外，还运用了“点Q(x 0
,y 0
)在椭圆内部”
，并由此建立了不等式，解决了问题. ※.本例也可以用判别式来解题，但会麻烦些，大家可在课外作为练习做一下.
三、练习：
1、已1.设椭圆mx 2+ny 2=1的一条弦AB 的斜率 为k, 弦AB 的中点为M, O 为坐标原点,设MO
的斜率为k 0, 求证:kk 0=
略证:设弦AB 的中点M 坐标为 (x 0,y 0). 则有mx 0+nky 0=0，
故k= 而k 0=
所以kk 0= =
y
x n m 0
0-x y 00y x n m
0-x
y 0
n
m -n
m
-
2、已知：A 、B 是椭圆12
2
2
2=+b
y
a x （a>b>0）上两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点P(x 0,0)，
求证：a
a
b a
x b a 2
2
2
2-<<
--.
略证：设A(x 1,y 1) , B(x 2,y 2) ，AB 的中点为Q(m,n)
则有 b 2x 12+a 2y 12=a 2b 2
b 2x 22+a 2y 22=a 2b 2 故有b 2m+a 2
nk AB =0
∴n
m a
b k
AB
2
2
-
= 又k
x
AB
m n 100
-=-
- 故有
n
m
a
b 2
2
=
于是b 2nm=a 2nm-a 2nx 0 ∴
n
mn
mn a
b
a a
b a
x
2
2
2
2
2
2
-=
-=
而m ∈(-a , a) 故得
a
a
b a
x b a
2
2
2
2
-<<--.
四、小结：
从上面练习及例题中可以看出，在解决此类曲线与直线关系的问题时，要充分利用判别式、弦的中点、弦所在直线的斜率等，结合给定的其他条件，列出有关方程组给以解决.特别应注意的是类似于:
()()
042
2
21
2
1
2
1
=--+++x
x y
y y y x x 的式子的应用。这个式子事实上是揭示了弦的中点(x 0,y 0)
与弦所在直线的斜率k 之间的相互关系，即mx 0+ny 0k=0（其中m.n 是椭圆在标准方程下的的二次项系数）.
五、作业：
1.直线y=x+k 与曲线y
x 2
12-
= 恰有一个交点.则k 的取值范围是 .
2.已知椭圆
14
2
2
=+y x ,直线 4:+=kx y l 交椭圆于A 、B 两点，O 为坐标原点，若
2=+k
k OB
OA
,求直线 l 的方程.
3.已知椭圆C 的两个焦点F 1 (0,22). F 2(0,－22).离心率 3
6=
e .
①求椭圆C的方程；
②是否存在直线l使之与圆x2+y2=1相切，且切点是l与椭圆C相交弦的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
二元一次不等式表
示平面区域
一、教材分析
⒈教材的地位和作用
本节课主要内容是新教材高二上第七章第4节第一课时：二元一次不等式表示平面区域。
在此之前，学生已经学习了直线的方程，同时也学习了数形结合的数学思想方法。在这个基础上，教材安排了这一节，介绍直线方程的一个简单应用。这是《新大纲》中增加的一个新内容，反映了《新大纲》对于数学知识应用的重视。
线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，它可以解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题．中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的方法――数学建模法。通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力。
⒉教材的重点、难点和关键
教学重点：二元一次不等式(组)表示平面区域。为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法。
教学难点：准确画出二元一次不等式（或不等式组）所表示的平面区域。
关键：教师引导的逻辑层次要清晰，学生的探求欲望要强烈。
3．教学大纲对这部分内容的要求
了解二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会进行简单的应用。
4．教材的内容安排和处理
教参安排“简单的线性规划”这部分内容的授课时间为3课时,本课为第一课时。根据学生的实际情况，在证明猜想时适当调整解题思路，多提供一种证明思路。另外，适当加强应用部分的教学。
二、学生心理分析
高二学生在经过本章前三节学习的基础上，对解析几何的理性思维能力已经有了初步形成。他们厌倦教师的单独说教，希望教师能创设便于他们进行观察、思考的几何环境，给他们发表自己见解和表现才华的机会，希望教师满足他们的创造愿望，让他们实际操作，使他们获得施展自己创造才华的机会。
三、教学目标分析
本着因材施教的原则，根据教学大纲和高考考试说明的要求，并结合我校学生的实际情况，我制定本
节课的教学目标如下：
知识目标：使学生掌握用二元一次不等式来表示平面区域。
能力目标：使学生在学会知识的过程中，进一步熟练用代数方法（坐标、方程）讨论图形性质的能力，培养学生运用数形结合等数学思想方法解决问题的能力，培养学生综合运用知识解决问题的能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知和元认知能力。
德育目标：（1）通过对推导思路的探索、评价，优化学生的思维品质，培养学生的辩证统一思想。
（2）培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神。
创新素质目标：引导学生从已有知识中挖掘数学内容，培养学生的发现意识和整合能力。
情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。
以上五个目标的确定基于以下几点考虑：
(1)依据新大纲及教材分析，二元一次不等式表示平面区域的有关概念比较抽象，按高二学生现有的知
识和认知水平难以透彻理解，故本节知识内容定为了解层次。
(2)本大节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法的教学的好教材。
(3)与实际联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力。
四、教学方法和教学手段
课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展，即在课堂教学过程中，创设问题的情境，激发学生主动的发现问题解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则。根据这样的原则及所要完成的教学目标，我采用如下的教学方法和手段：
教学方法：我采用的主要是引导发现法、探索讨论法、题组教学法等等。
（一）引导发现法
1.是符合辩证唯物主义观点；
2.是符合教学原则的；
3.能充分调动学生的主动性和积极性。
（二）探索讨论法
1.有利于学生对知识进行主动建构；
2.有利于突出重点、突破难点；
3.有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。
（三）通过题组教学法，发展学生等价转换、数形结合等思想，培养综合运用知识解决问题的意识。
教学手段：利用多媒体和教具等教学手段。新大纲明确指出：要积极创造条件，采用现代化的教学手段进行教学。五、学法指导
观察分析、联想转化、猜想证明。
通过本节课的教学，教师应引导学生学会思考、尝试、猜想、证明、归纳。这样更有利于学生掌握知识；为了加深知识理解、掌握和更灵活地运用，运用类比联想去主动的发现问题、解决问题，从而更系统地掌握所学知识，形成新的认知结构和知识网络，让学生真正地体会到在问题解决中学习，在交流中学习。
六、教学过程
教
学
流
程
图
特点：以知识为载体，思维为主线，能力为目标的设计原则，突出多媒体这一教学技术手段在本节课辅助知识产生、发展和突破重难点的优势。
(C)(D)
七、教学评价的分析
1、这节课安排了导入新课、尝试探求、例题示范、变式训练、总结和作业等几个教学环节。它是在教师引导下，通过学生积极思考，主动探求，从而实现教学目的的要求，完成教学任务的一种教学方法。
2、这节课是有一定的难度的概念作图课。设计这堂课，从开始到结束几乎所有的教学环节，都是围绕集合、化归、数形结合的数学思想方法这一主题来展开的。这是因为用集合的观点和语言分析来描述几何图形问题，常能使问题更加清楚、准确。本教案充分注意了运用这种观点和语言去分析直线和二元一次不等式（组）所表示的平面区域。
3、着重培养学生掌握数学的基本思想和提高学生的能力是设计这堂课的出发点。
教学中注意应用建构主义的数学学习理论，引导认知主体积极参与到探索、发现、讨论、交流的学习活动中去，使课堂教学成为学生亲自参与的充满丰富生动的数学思维活动的场所。在整个教学过程的设计中，采用启导法，题组教学法等教学方法实施教学，注重引导学生，通过探索，有利于培养学生的创新能力，体现教育改革的时代精神。
4、教学中采用多媒体的手段，利用Flash、几何画板软件制作CAI课件，画面丰富生动，使学生的多种感官获得外部刺激，有利于完善认知结构。
5、时间大致安排：创设情境引入课题约3分钟，尝试探求证明约9分钟，例题示范约12分钟，题组练习约18分钟，小结作业3分钟。当然，依据上课的具体情况可进行适当的调整。
谢谢指导
二元一次不等式表示平面区域
专题1直线与椭圆的位置关系 【教学目标】 重点、难点 重点：直线与椭圆的位置关系 难点：中点弦和弦长的求法 学科素养 2 掌握弦长问题、中点弦问题、面积问题、定点定值问题、最值范围等问题进一步体会数形结合的思想方法 【知识清单】 直线与圆锥曲线的位置关系 2.直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。 ⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到。 ①.若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合； 当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。 ②.若，设。.时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。 b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。 c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。 弦长问题 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线与圆锥曲线交于点，时，则== == 中点弦问题
关于中点弦问题，一般采用两种方法解决： (1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算. (2)利用“点差法”求解，即若椭圆方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1，直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 且弦AB 的中点为M (x 0，y 0)，则 ? ? x 21 a 2＋y 21 b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1. ② 由①－②得a 2(y 21－y 22)＋b 2(x 21－x 22)＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2 ＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0. 这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决． 【经典例题】 题型一：中点弦问题 例1：已知椭圆y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)截直线y ＝k x+m 所得弦的中点坐标为（x 0,y 0），求直线的斜 率 直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的思想方法． 例2：已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程.
直线与椭圆的位置关系（说课稿） 各位老师你们好! 今天我要为大家讲的课题是直线与椭圆的位置关系。 一.教材分析 教材的地位和作用 <<直线与椭圆的位置关系>>是解析几何中的重要内容之一,又是代数和几何衔接的枢纽,因而直线椭圆的位置关系渗透了数形结合的思想。在新课程数学教学有着不可代替的作用。 本节要求学生通过数形结合能够判断直线和椭圆的位置的关系 二. 教法分析 （一）学情分析 学生掌握了椭圆的定义、方程、性质以及对直线和圆的位置关系，具有了一定的分析问题和解决问题的能力。 从知识、能力和情感态度三个方面分析学生的基础、优势和不足，它是制定教学目标的重要依据。 （二）教学方法和手段 教学方法：引导发现、探索讨论 我们老师不能不仅仅是为了演示教师所要展示的内容，也应该让多媒体成为学生学习的一种手段，我们不追求教学手段的高档化，但要追求学生学习手段的高档化，这样才能改变传统的学习方式，进而突破重难点。 教学手段：多媒体课件辅助教学 意图：在整个授课过程中努力体现学生的主体地位，使学生亲自参与获取知识和技能的全过程，亲身体验知识的发生和发展过程，从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生运用数学的意识和能力. （三）具体措施 本节课采用讲解讨论相结合，交流练习互穿插的形式，以学生为主体，辅以
适当的引导。利用多媒体的演示功能提高教学的直观性和趣味性，以提高课堂效益。 三. 教学目标 结合新课程理念和学生的实际情况，将本节课的教学目标定为： 知识目标：能从“数”和“形”判断直线和椭圆的位置关系。 能力目标：培养学生提出问题和解决问题的能力； 情感目标：通过对直线和椭圆的一些常见问题的归纳和总结，减少学生对部分问题的恐惧感，激起学生的兴趣。 重点：利用“代数”或“几何”的方法解决直线和椭圆的位置关系； 难点：让学生发现“数”、“形”之间的关系。 1.基于对教材、教学大纲和学生学情的分析，制定相应的教学目标。同时，在新课程理念的指导下，关注学生的合作交流能力的培养，关注学生探究问题的习惯和意识的培养 2.这里没有用“使学生掌握……”、“使学生学会……”等通常字眼，保障了学生的主体地位，反映了教法与学法的结合，体现了新教材新理念。 四. 教学过程 问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？ 怎么判断它们之间的位置关系？ 几何法：d>r d=r d
直线与椭圆的位置关系练习（2） 1. 椭圆19 252 2=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则 ON （O 为坐标原点）的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．8 D ． 2 3 解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为2F ，由椭圆第一定义得10221==+a MF MF ， 所以82101012=-=-=MF MF ， 又因为ON 为21F MF ?的中位线，所以 42 1 2== MF ON ，故答案为A ． 2. 若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆152 2=+m y x 恒有公共点，求实数m 的取值范围 解法一： 由??? ??=++=15 1 22m y x kx y 可得05510)5(22=-+++m kx x m k ，0152≥--=?∴k m 即
1152≥+≥k m 51≠≥∴m m 且 解法二：直线恒过一定点)1,0( 当5
教学过程 一、复习预习 教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容 二、知识讲解 考点/易错点1 点与椭圆的位置关系 提问学生：回忆点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系 引出点与椭圆的位置关系 1.点与椭圆的位置关系 设点),(00y x P ，椭圆标准方程为)0(122 22>>=+b a b y a x 若点),(00y x P 椭圆上，则122 220=+b y a x ； 若点),(00y x P 在椭圆内，则122 220<+b y a x ；
若点),(00y x P 在椭圆外，则1220 220>+b y a x ； 考点/易错点2 直线与椭圆的位置关系 （1）通过直线运动与椭圆形成的交点个数说明直线与椭圆的三种位置关系： 相离：直线与椭圆没有交点； 相切：直线与椭圆有唯一交点； 相交：直线与椭圆两个交点； （2）判断直线与椭圆的位置关系 设直线:,l y kx m =+椭圆22 22:1(0)x y M a b a b +=>>，联立直线与椭圆方程消去y 得 22222222()2()0a k b x a kmx a m b +++-= 记该一元二次方程的判别式为?，则 ①当0?>时，直线与椭圆相交，有两个交点； ②当0?=时，直线与椭圆相切，此时有一个交点； ③当0?<时，直线与椭圆相离，没有交点. （3）弦长公式的推导 设1122(,),(,)A x y B x y 为椭圆上的两点， AB 叫做椭圆的弦长. 回忆两点间的距离公式，通过距离公式化简整理，得出弦长公式. 112AB x x y y =-=-k 为直线AB 的斜率）. 三、例题精析 【例1】已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x M 的离心率为23 ，右顶点到左焦点的距离为 32+
快速判断直线与椭圆位置关系的方法（原创） 四川省宜宾县第二中学 傅小力 在解决椭圆的选择、填空问题中需要快速判断与坐标轴不平行的直线0:=++C By Ax l 和椭圆)0(122 22 >>=+b a b y a x 的位置关系时，我建议我的学生： 第一步：找出直线与坐标轴的交点，判断是否在已知椭圆内部或在椭圆上， 否，则第二步：设椭圆上任一点P （θθsin ,cos b a ）， C By Ax m ++=，则 C b B a A C Bb Aa m +++=++=)sin(sin cos 2222?θθθ， 其中R Bb Aa ∈=θ?,tan ， 故],[22222222 b B a A C b B a A C m +++-∈。 结合线性规划的知识，结论如下： ① 若0>m 恒成立 即0>++C By Ax 恒成立，则椭圆上的点都在直线l 的同一侧，故直 线l 与椭圆相离；若0
直线与椭圆的位置关系 （教学案例） 一、教学目标 1.理解直线与椭圆的各种位置关系，能利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系； 2.掌握和运用直线被椭圆所截得的弦长公式； 3.初步掌握与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧； 4.进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想. 二、重点难点 利用“数”与“形”的结合，利用方程解决直线与椭圆的位置关系和有关弦长等问题. 三、教学方法 导学——讨论式，多媒体课件辅助教学. 四、教学过程 （一）设置情境 导入新课 在初中已经研究过直线与圆的各种位置关系，通常用圆心到直线的距离的变化来判断直线与圆的各种不同的位置关系.但这种方法能用于直线与椭圆的位置关系的讨论吗？不能！那么怎么办？将两个方程联立，转化为一个关于x (有时也可以转化为关于y )的一元二次方程来研究、讨论.而我们对一元二次方程是比较熟悉的，那么今天就是用熟悉的“武器”来研究、讨论、解决陌生的直线与椭圆的位置关系及其有关问题. （二）探索研究 问题1： 当实数m 分别取何值时，直线l ：y =x +m 与椭圆9x 2+16y 2=144 相交、相切、相离？ 分析：将直线和椭圆的方程联立，得关于x 的一元二次方程25x 2+32m x +16m 2-144=0， ∵△=576(25- m 2)， ∴当(1)△>0，即 -5
直线和椭圆位置关系 1.已知椭圆22 :143 x y M +=，点1F ，C 分别是椭圆M 的左焦点、左顶点，过点1F 的直线l （不与x 轴重合）交M 于,A B 两点. （Ⅰ）求M 的离心率及短轴长； （Ⅱ）是否存在直线l ，使得点B 在以线段AC 为直径的圆上，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 2.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短轴长为2 （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过P 作斜率为 12 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，求证：22||||PB PA +为定值． 3. 已知椭圆C ：22 11612 x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件|||| FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ?和PNF ?的面积分别为1S ，2S ，求证： 12|||| S PM S PN =. 4.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> 过点(1,2 ，离心率为2．过椭圆右顶点A 的两条斜率乘积为14 -的直线分别交椭圆C 于,M N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）直线MN 是否过定点D ？若过定点D ，求出点D 的坐标；若不过，请说明理由．
5. 已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的离心率为23，且过点(01)B ，. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）直线)2(:+=x k y l 交椭圆于P 、Q 两点，若点B 始终在以PQ 为直径的圆内，求实数k 的取值范围. 6. （2012北京，19）. 已知曲线C:()()()22528m x m y m R -+-=∈ （I ） 若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围； （II ）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为,A B （点A 位于点B 的上方），直线 4y kx =+与曲线C 交于不同的两点,M N ,直线1y =与直线BM 交于点G . 求证：,,A G N 三点共线. 7.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率e =C 上的 点到(0,2)Q 的距离的最大值为3； （1）求椭圆C 的方程； （2）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线:1l mx ny +=与圆22 :1O x y +=相交于不同的两点,A B ，且AOB ?的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的AOB ?的面积；若不存在，请说明理由。 8.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F(1，0),且点12??- ? ??? ，在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的标准方程. （2）已知动s 直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A,B 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ， 使得716 QA QB ?=-u u u r u u u r 恒成立？若存在，求出Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
教学过程 一、知识讲解 考点/易错点1 直线与椭圆的位置关系 提问学生：回忆点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系 引出点与椭圆的位置关系 1.点与椭圆的位置关系 设点),(00y x P ，椭圆标准方程为)0(122 22>>=+b a b y a x 若点),(00y x P 椭圆上，则122 220=+b y a x ； 若点),(00y x P 在椭圆内，则122 220<+b y a x ； 若点),(00y x P 在椭圆外，则1220 220>+b y a x ； 2.直线与椭圆的位置关系 （1）通过直线运动与椭圆形成的交点个数说明直线与椭圆的三种位置关系： 相离：直线与椭圆没有交点； 相切：直线与椭圆有唯一交点；
相交：直线与椭圆两个交点； （2）判断直线与椭圆的位置关系 设直线:,l y kx m =+椭圆22 22:1(0)x y M a b a b +=>>，联立直线与椭圆方程消去y 得 22222222()2()0a k b x a kmx a m b +++-= 记该一元二次方程的判别式为?，则 ①当0?>时，直线与椭圆相交，有两个交点； ②当0?=时，直线与椭圆相切，此时有一个交点； ③当0?<时，直线与椭圆相离，没有交点. （3）弦长公式的推导 设1122(,),(,)A x y B x y 为椭圆上的两点， AB 叫做椭圆的弦长. 回忆两点间的距离公式，通过距离公式化简整理，得出弦长公式. 11AB x x y y =-=-k 为直线AB 的斜率）. 二、例题精析 【例题1】 【题干】已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x M 的离心率为23 ，右顶点到左焦点的距离为 32+ （1）求椭圆M 的方程. （2）若直线20x y m +-=与椭圆M ：①相交，②相切，③相离，求实数m 的取值范围； （3）设直线t x y l +=:与椭圆M 相交于不同的B A ,两点，令)(t f AB =，求)(t f . 【答案】（1）2 214 x y += （2）①相交：m <<，②相切： m =，③相离： m m <<或 （3）()(f t t = ∈
直线与椭圆的位置关系典型例题 1.设椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB = . （1） 求椭圆C 的离心率；（2）如果|AB|= 15 4 ，求椭圆C 的方程. 设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知1y ＜0，2y ＞0. （Ⅰ）直线l 的方程为 3()y x c =-，其中22c a b =-. 联立22223(),1 y x c x y a b ?=-? ?+=??得22224(3)2330a b y b cy b ++-= 解得22123(2)3(2) ,b c a b c a y y -+--== 因为2AF FB = ，所以122y y -=. 即 223(2)3(2) 2b c a b c a +--=? 得离心率 2 3 c e a = =. ……6分 （Ⅱ）因为21113AB y y =+-，所以2224315 343ab a b ?=+. 由23c a =得5 b a =.所以51544a =，得a=3，5b =. 椭圆C 的方程为22 195 x y +=. ……12分 2、在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15 92 2=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中 m>0,0,021<>y y 。（1）设动点P 满足42 2=-PB PF ,求点P 的轨迹； （2）设3 1 ,221= =x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）.
《直线与椭圆的位置关系》的教学设计 濮阳市第一高级中学任素巧 【教学目标】 （一）知识目标 1、能够把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题 2、学会判断直线与椭圆公共点的方法 3、在计算直线与椭圆相交弦长或弦中点等有关问题时能够运用一元二次方程根与系数的 关系简化运算 （二）能力目标 1、培养学生数形结合思想与逻辑推理能力，运算能力 2、培养学生将直线与椭圆问题化归为方程问题来解决的能力 （三）德育目标 1、体会事物之间既有联系又有区别的辨证观点 2、学会抓主要矛盾、分解矛盾、解决矛盾的方法 【教学重点】直线与椭圆的位置关系、弦长问题、弦的中点问题 【教学难点】学生解题综合能力的培养 【教学过程】 一、复习引入 回忆初中学过的判断直线与圆的位置关系的方法有哪些？ 法一：利用圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的关系判断，即当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d
提问：回顾了直线与圆的位置关系的判断方法以后，那么对于直线与椭圆的位置关系如何判断呢？直线与圆的位置关系的判断方法是否可以推广应用到直线与椭圆的位置关系中呢？刚才两种方法都可以吗？ 一、公共点问题 问题1：判断直线03=+-y kx 与椭圆14 162 2=+y x 的位置关系 解：由?????=++=14163 2 2y x kx y 可得02024)14(2 2=+++kx x k 0142>+k ，)516(162-=?∴k （1）当4 5 450)516(162 -<> >-=?k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆14 162 2=+y x 相交 （2）当4 5 450)516(162 -== =-=?k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆14 162 2=+y x 相切 （3）当4 5 450)516(162 <<- <-=?k k 即时，直线03=+-y kx 与椭圆14 162 2=+y x 相离 小结：法1不能推广应用到直线与椭圆的位置关系中，因为椭圆不具备圆特有的性质，椭圆的中心到椭圆上各点的距离不都相等. 变式一：直线01=+-y kx 与椭圆14 162 2=+y x 的位置关系呢？ 解：由?????=++=14 161 2 2y x kx y 可得0128)14(2 2=-++kx x k
1.直线和椭圆位置关系判定方法概述1 直线斜率存在时221y kx b mx ny =+??+=??222()210m k n x kbnx b +++-=当0?>时直线和椭圆相交当0?=时直线和椭圆相切当0?<时直线和椭圆相离2直线斜率不存在时22221x x y a b =???+=??判断y 有几个解注：01无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""?。02直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。2.直线和椭圆相交时1弦长问题弦长公式2 2121221111AB k x x k y y a k ?=+-=+=+-注：2121212()4x x x x x x -= +-而12x x +和12x x 可用韦达定理解决，不必求出1x 和2x 的精确值，“设而不求”思想初现。2三角形面积 01过x 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y a b +=交于A 、B 两点，求AOB S ?1212AOB S OH y y ?= - 02过y 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y b a +=交于A 、B 两点，求AOB S ?1212AOB S OH x x ?=- 03弦任意，点任意 12S ?=弦长×点线距注：仍然蕴含“设而不求”思想。3弦的中点问题 01中点弦所在直线方程问题02平行弦中点轨迹03共点弦中点轨迹04其他问题
类型题一：直线与椭圆位置1.已知直线2+=kx y 和椭圆12322=+y x ，当k 取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。2.已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。3.点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线01623=--y x 的距离的最大值为 _____，最小值为________．类型题二：弦长公式1.已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点1F 作倾斜角为6 的直线交椭圆于B A ,两点，求弦AB 的长。
直线与椭圆的位置关系练习 1. 椭圆 19 252 2=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．8 D ． 2 3 解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为2F ，由椭圆第一定义得 10221==+a MF MF ，所以82101012=-=-=MF MF ， 又因为ON 为21F MF ?的中位线，所以42 1 2== MF ON ， 故答案为A ． 2.若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆152 2=+m y x 恒有公共点，求实数m 的取值范围 解法一：由?????=++=151 2 2m y x kx y 可得05510)5(2 2=-+++m kx x m k ， 0152≥--=?∴k m 即1152≥+≥k m 51≠≥∴m m 且 解法二：直线恒过一定点)1,0(当5
课时过关检测(四十九) 直线与椭圆的位置关系 A 级——夯基保分练 1．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4 没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋ y 2 4 ＝1的交点个数为( ) A ．至多一个 B ．2 C ．1 D ．0 解析：选B 因为直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，所以 4m 2＋n 2 ＞2，所 以m 2＋n 2＜4.所以 m 29＋n 24＜m 29＋4－m 2 4＝1－536m 2≤1，所以点(m ，n )在椭圆x 29＋y 2 4 ＝1的内部，所以过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2 4 ＝1的交点有2个． 2．椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( ) A ．－2 3 B ．－32 C ．－49 D ．－94 解析：选A 设以P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，斜率为 k ，则4x 21＋9y 21＝144,4x 22＋9y 22＝144，两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又 x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4，y 1－y 2x 1－x 2 ＝k ，代入解得k ＝－2 3. 3．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率 为 2 2 ，焦距为2，则线段AB 的长是( ) A.223 B.423 C. 2 D ．2 解析：选B 由条件知c ＝1，e ＝c a ＝22，所以a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 22＋y 2 ＝1， 联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，????43，－13，所以|AB |＝42 3 . 4．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2 ―→ ＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )
课 题：椭圆与直线的位置关系 教学目的：使学生理解并掌握椭圆与直线的相互位置关系及两者方程之间的相互联系，能利 用两者方程之间的相互关系解决有关椭圆与直线位置关系的问题.从而培养学生的运用知识能力、相互转化能力、理解能力及分析问题解决问题能力. 教材分析：重点：利用判别式、弦中点坐标、弦长公式及弦所在直线斜率等的相互关系解 题。 重点是掌握利用弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系解题. 难点：有选择地运用适当技巧解题. 教学过程：一、课引 1.在圆的单元中，我们研究了圆与直线的位置关系，它们的关系是：相离、相切、相交，在分析这类问题时，其关键（或者说是解题的切入点）是分析直线与圆的公共点的个数及圆心到直线的距离.通过这两点可以较清楚地分析出直线与圆的相互关系，并由此作为切入点进行解题.圆 ①.求直线方程（如切线方程、弦所在直线方程等）或圆方程； ②.把圆（一条封闭曲线）看成一个“区域”，利用线性规划的思想求最值； ③.求解与弦有关的一些问题（如弦长、弦中垂线等）。 这里有一个弦长公式： |P 1P 2|＝ ( )()|| 1 1||121212 1 2 212 2 2 y y k x x k y y x x -+ =-+= + -- 2.椭圆与圆有很多相似之处.当椭圆长短轴的长相等（离心率为0）时，椭圆即为圆.因此，在椭圆的这部分内容中也有此类问题，事实上，对于其他二次曲线（包括以后学习的双曲线和抛物线）均有此类问题，而且这类问题很有共性.当然，由于椭圆（包括以后学习的双曲线和抛物线等）有其本身的特殊性，在解题时也应注意研究分析各自的不同之处（比如相切问题，过切点的半径与圆的切线垂直，而椭圆中就没有这个性质，即切点与椭圆中心的连线不一定垂直于切线）. 3.直线与二次曲线相互位置关系的问题，是解析几何的一个重点内容，也是高考的重点考查的内容之一，纵观历年高考，这部分的内容必考无疑！因此请大家务必引起充分重视. 下面略举几例来说明此类问题的分析与解答.
课时作业10 直线与椭圆的位置关系 [基础巩固] 一、选择题 1．直线y ＝x ＋1与椭圆x 25＋y 2 4 ＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法判断 2．若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 2 2 ＝1相切，则斜率k 的值是( ) A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33 3．已知O 是坐标原点，F 是椭圆x 24＋y 2 3 ＝1的一个焦点，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于M ，N 两点，则cos ∠MON 的值为( ) A.513 B ．－513 C.21313 D ．－21313 4．已知椭圆C ：x 22 ＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|等于( ) A. 2 B ．2 C. 3 D ．3 5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63 B.33 C.23 D.13 二、填空题 6．过椭圆x 216＋y 2 9 ＝1的焦点F 的弦中最短弦长是________________________________________________________________________． 7．直线y ＝x ＋m (m ∈R )被椭圆2x 2＋y 2＝2截得的线段的中点的横坐标为16 ，则中点的纵坐标为________． 8．已知椭圆x 225＋y 2 16 ＝1，过椭圆的右焦点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 三、解答题