百师联盟2020届高三考前预测诊断联考全国卷1理科数学试卷
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷(选择题)
一、选择题
1.设全集是R ,集合301x A x x ??
+=>??-??
,{}|22B x x =-≤≤,则()A B =R ( )
A.[]2,1-
B.[
)2,1- C.(]3,2-
D.(],2-∞
2.已知复数()12z i i =+?,则z =( ) A.2i --
B.2i -+
C.2i -
D.12i --
3.已知向量()2,a t =-,()1,1b =-,若()
//a b b -,则实数t =( ) A.2-
B.4-
C.2
D.4
4.已知递增等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若46a =,2a ,4,3a 成等比数列,则6S =( ) A.36
B.32
C.28
D.30
5.如图是2020年3月3日至4月8日M 国及该国的N 市新冠肺炎的累计确诊病例(单位:例)的折线图,则下列四种说法中正确的是( )
①3月15日N 市新冠肺炎的累计确诊病例在M 国总累计确诊病例中占比超过
1
3
②3月3日至3月7日M 国的新冠肺炎累计病例的增长率小于4月4日至4月8日的增长
率
③3月19日至4月4日N 市新冠肺炎的累计确诊病例增加了51例
④3月3日至4月8日M 国和N 市的新冠肺炎的累计确诊病例都呈递增趋势 A.①②③④
B.①③④
C.①③
D.②③④
6.已知圆()2
2
2
4
:5
C x m y m ++=+直线:240l x y --=,若圆C 与直线l 有两个不同的交点,则m 的取值范围为( ) A.()
(),13,-∞-+∞
B.[]1,3-
C.(][)–,02,∞?+∞
D.()2,4-
7.如图为定义在R 上的函数()()3
2
0ax bx d a f x cx =+++≠的图象,则关于它的导函数
()y f x '=的说法错误的是( )
A.()f x '存在对称轴
B.()f x '的单调递减区间为1,2??-∞ ???
C.()f x '在()1,+∞上单调递增
D.()f x '存在极大值
8.已知函数()2sin 23f x x π???
=+- ??
?
是偶函数,且()f x 在,04π??
-
???
上单调递减,则满足条件的?的一个值为( ) A.3
π
-
B.6
π-
C.
3
π D.
56
π 9.我国古代重要的数学著作《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题以及该类问题的具体解法,因其中涉及到余数问题,所以将其称为“中国剩余定理”又名“孙子定理”.若正整数N 除以正整数m 的余数为n ,记为()mod N n m =,例如()122mod5=.执行如图所示的程序框图,则输出的n 值为( )
A.16
B.17
C.22
D.23
10.已知ABC A B C '''-是体积为54的三棱柱,该三棱柱的五个面所在的平面截其外接球
O 所得的截面面积相等,则球O 的表面积为( )
A.15π
B.28π
C.30π
D.60π
11.已知1F 、2F 分别为双曲线()222
2:10,0x y
C a b a b
-=>>的左、右焦点,点P 是双曲线C 上一点,122PF PF =,若线段1PF 的中点Q 恰好在双曲线C 的一条渐近线上,则双
曲线的离心率为( )
12.已知定义在()1,+∞上的函数()ln 32
1
x x x f x x +-=
-,定义函数
()()()(),,f x f x m
g x m f x m
?≥?=??,(其中m 为实数),若对于任意的()1,x ∈+∞,都有
()()g x f x =,则整数m ( )
A.有最大值5
B.有最小值5
C.有最大值6
D.有最小值6
第II 卷(非选择题)
二、填空题(题型注释)
13.为提高网课的教学质量,某省教育厅组织4位优秀教师录制A 、B 、C 三节课的视频,要求每位教师录制其中一节,且每节课至少有一人录制,其中甲、乙两位教师录制同一节视频,则这三节课的不同录制方案有______种.
14.已知抛物线()2
:20C x py p =>上有三个点()1,1A x a -、()
2B y 、()3,1C x a +,
其中()0,1a ∈,若A 、B 、C 三点到焦点的距离依次构成等差数列,则p =______.
15.已知数列{}n a 满足:13a =,当2n ≥时,)
2
11n a =-,则数列{}n a 的通
项公式n a =______.
三、解答题(题型注释)
16.在ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,向量2sin
2cos 22,??=- ???
A A m ,3cos cos 22,?
?= ??A A n , m n ⊥.
(1)求角A ;
(2)若CD 是AB 边上的中线,11
cos 12
B =
,CD =ABC 的面积. 17.如图1中,四边形ABCD 为平行四边形,DP AB ⊥于点P ,且有33AB PB ==,
BD =APD △沿DP 边折起至QPD △的位置,如图2,满足6
PQB π
∠=
.
(1)证明:QB ⊥平面BCDP ; (2)求二面角P DQ C --的正弦值.
18.已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的离心率为12,左焦点()1,0F -,斜率为
()0k k ≠的直线l 经过点F 且与椭圆C 交于A 、B 两点,点P 为AB 的中点.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)设O 为原点,直线OP 与直线()0x m m =<交于点Q ,且满足FQ FP PQ +=,求m 的值.
19.为了提高奶牛产奶的安全性,某大型奶牛场决定定期对奶牛进行X 病毒检测,检验采用对血液样本进行试剂盒检测的方式,该试剂盒不仅操作简单,而且可以准确诊断出牛奶质量是否达标.在试剂盒研制初期,研究人员为验证该试剂盒是否精准,特别选择了已经知道诊断结论的5头奶牛(其中感染X 病毒的奶牛只占少数),做了一次验证性检测,已知在这5头奶牛中任意抽检两头,两头都未感染X 病毒的概率是35
. (1)求出这5头奶牛中感染X 病毒的头数?
(2)若用该试剂盒检测这5头奶牛,直到感染X 病毒的奶牛全部检出时检测结束,现有两套检测方案:(提前抽取了5份血液样本)
方案一:先任取1个样本进行检测,若检测呈阳性(表示该奶牛感染X 病毒),则检测结束;若呈阴性(表示该奶牛未感染X 病毒),则在剩余4个样本中任取2个,并将这2个样本取部分混合在一起检测,若呈阳性,则再在这2个样本中任取一个检测,否则在剩余2个未检测样本中任取一个检测.
方案二:先任取2个样本,并将这2个样本取部分混合在一起检测,若检测呈阳性,则再在这2个样本中任取一个检测;若呈阴性,则对剩余3个未检测样本进行逐个检测,直到感染X 病毒的牛全部检出,检测结束.
设随机变量1ξ,2ξ分别表示用方案一、方案二进行检测所需的检测次数. (ⅰ)求1ξ,2ξ的分布列和数学期望;
(ⅱ)假设每次检测的费用都相同,请说明方案一和方案二哪一个更适合? 20.已知函数()2
ln 2f x x x ax =+-,a ∈R .
(1)当1a =时,求曲线()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程;
(2)若函数()f x 有两个极值点1x ,()212x x x <,求()()122f x f x -的最小值.
21.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 是以(为圆心,r 为半径的圆,直线l 的参数
方程为8x y t
?=??=??(t 为参数),且直线l 与曲线C 相切.以坐标原点O 为极点,x 轴正
半轴建立极坐标系.
(1)求曲线C 的极坐标方程;
(2)点P 、Q 为曲线C 上两点,若3
POQ π
∠=
,求POQ △面积的最大值.
22.已知函数()11f x x x =+--. (1)求不等式()1f x ≤的解集A ;
(2)设a 为集合A 中最大的元素,若正数x ,y 满足
12
4a x y
+=,证明:41
42
x y xy ++≥.
四、新添加的题型
Θ,满足下列性质: ①对任意的m ∈R ,0m m Θ=; ②对任意的m ,n ∈R ,m n n m Θ=Θ;
③对任意的m ,n ,t ∈R ,()()()()2m n t t m n n t m t ???ΘΘ=Θ?+Θ+Θ-?
; 则24Θ=______,函数()4
x
x
f x e e =Θ
的最小值为______.
参考答案
1.A
【解析】1.
解分式不等式确定集合A ,然后根据集合运算的定义求解.
301x A x x ??+=>??-??
{|(3)(1)0}x x x =+->{|3x x =<-或1}x >=()(),31,-∞-?+∞,
[]3,1A =-R
,[]2,2B =-,[]()2,1A B =-R .
故选:A . 2.A
【解析】2.
首先根据复数代数形式的乘法法则求出z ,再根据共轭复数的概念计算可得; 解:因为()122z i i i =+?=-+,所以2z i =--. 故选:A 3.C
【解析】3.
首先求出a b -的坐标,再根据平面向量共线的坐标表示得到方程,解得即可; 解:因为()2,a t =-,()1,1b =-,所以向量()3,1a b t -=-+,因为()
//a b b -,所以
()310t -+=,所以2t =.
故选:C 4.D
【解析】4.
设等差数列{}n a 的公差为()0d d >,根据题中条件求出公差,得出通项公式,再由求和公式,即可求出结果.
由题意,设等差数列{}n a 的公差为()0d d >, 因为46a =,2a ,4,3a 成等比数列, 所以()()2562616a a d d ?=-?+=, 解得2d =或5-(舍),
所以1630,22n a d a n =-==-,()60106302
S +?==.
故选:D. 5.B
【解析】5.
根据统计拆线图,逐一判断,可得选项.
①3月15日N 市新冠肺炎累计确诊病例有33例,M 国总累计病例有87例,占比超过13
,①正确;
②3月3日至3月7日M 国新冠肺炎累计病例的增长率为371621
1616
-=,4月4日至4月8日增长率为
228214147214214107-==,217
16107
>,②错误;
③3月19日至4月4日N 市新冠肺炎的累计确诊病例增加了994851-=例,③正确; ④3月3日至4月8日M 国和N 市新冠肺炎的累计确诊病例都呈递增趋势,④正确. 故选:B . 6.A
【解析】6.
求出圆心到直线的距离,由这个距离小于半径可得.
圆心是(,0)m -
由题意,圆心到直线的距离d =<3m >或1m <-. 故选:A . 7.D
【解析】7.
由题意得()f x '是开口向上的抛物线,对选项进行一一验证,即可得答案;
由题可知,()y f x '=为二次函数,可知函数()y f x =的极大值点为2-,极小值点为1, 可得0a >,且两根分别是2-和1.所以()f x '存在极小值,对称轴1
2
x =-,
单调递减区间为1,2??-∞- ???,单调递增区间为1,2??
-+∞ ???
.A ,B ,C 正确.
故选:D. 8.B
【解析】8.
先根据()f x 是偶函数得3
2
k π
π
?π-=+
,即:56
k π
?π=+
,k Z ∈,再对k 取值验证即可.
因为()f x 是偶函数,3
2
k π
π
?π-=+
,所以56
k π
?π=+
,k Z ∈. 当0k =时,56π?=
,()2cos2f x x =在,04π??
- ???
上单调递增,不满足题意; 1k =-时,6
π
?=-
,()2cos2f x x =-在,04π??
-
???
上单调递减,满足题意. 故选:B . 9.C
【解析】9.
由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环机构计算并输出变量n 的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变换情况,可得答案.
解:由题可知该程序框图的功能是:利用循环结构计算并输出大于10的能同时被3除余1和被5除余2的最小整数.
由已知中的四个选项的数据可得:故输出的n 为22. 故选:C. 10.D
【解析】10.
结合图象设底面边长为a ,侧棱长为l ,结合几何体,利用半径相等,建立方程,求解
,,a l r 和球的表面积.
由题易得该三棱柱为正三棱柱,设其底面边长为a ,侧棱长为l ,结合图形,
三棱柱的五个面所在的平面截其外接球O所得的截面面积相等,可知截面圆半径相等,即球心到三棱柱的5个面的距离相等,设为d.外接球的球心在上下底面正三角形中心连线
的中点,由球的半径相等可得
2
2
222
32
r d d
?
??
=+=+
?
? ?
????
,化简得
a=
.可得该三棱柱的体积2
1
54
2
V a
==
?,得6
a=
,r=.所以球O的表面积为2
460
rππ
=.
故选:D
11.C
【解析】11.
由双曲线定义求得
1
4
PF a
=,
2
2
PF a
=,由中点得OQ a
=,
1
2
QF a
=.直线OQ 是渐近线,得斜率为
b
a
-,从而
1
tan
b
QOF
a
∠=,求得
1
cos
a
QOF
c
∠=,再用余弦定理可建立,a c的关系式,求得离心率.
由
12
2
PF PF
=知点P在双曲线的右支上,由
12
2
PF PF
=,
12
2
PF PF a
-=可得1
4
PF a
=,
2
2
PF a
=,因为Q为
1
PF中点,所以OQ a
=,
1
2
QF a
=.直线OQ是渐近线,斜率为
b
a
-,
1
tan
b
QOF
a
∠=,又1
1
1
sin
tan
cos
QOF b
QOF
QOF a
∠
∠==
∠,设1
sin QOF bk
∠=,
1
cos QOF ak
∠=,(0
k>),则22221
b k a k
+=
,
1
k
c
==,
所以1cos a QOF c
∠=
, 在1QOF 中222
14cos 2a a c a QOF c ac
+-∠==
,解得c e a ==.
故选:C . 12.A
【解析】12.
依题意若对于任意的()1,x ∈+∞,都有()()g x f x =.则有()m f x ≤在()1,x ∈+∞恒成立,只需()min m f x ≤,利用导数研究函数()f x 的单调性与最值即可得解;
解:由题若对于任意的()1,x ∈+∞,都有()()g x f x =.则有()m f x ≤在()1,x ∈+∞恒成立,只需()min m f x ≤,()()
2
ln 2
1f x x x x -+-'=
-,令()ln 2h x x x =-+-,
()1
10h x x '=-+>,所以()h x 在()1,+∞上单调递增,又由()3ln310h =-+<,
()4ln 420h =-+>,所以()03,4x ?∈满足()00h x =,即有00ln 2x x =-,此时()
f x 在()01,x 上单调递减,在()0,x +∞上单调递增,所以
()()()()00000000min
00232
ln 3225,611
x x x x x x f x f x x x x -+-+-====+∈--,所以
5m ≤.
故选:A 13.6
【解析】13.
由题意可分两步完成,先选一节课甲乙共同录制,剩余两节课安排其余两位老师录制,由分步乘法计数原理可得结果.
第一步选一节课甲乙两位老师录制,共有1
33C =种录制方案,
第二步安排另两位老师录制剩余两节课,共有2
22A =种不同的录制方案,
根据分步乘法计数原理可知,共有326?=种不同的录制方案, 故答案为:6 14.4
【解析】14.
设抛物线C 焦点F ,准线方程为2
p
y =-
,根据题意,得到2211222p p p y a a ?
?+=-++++ ??
?,求出21y =,代入抛物线方程,即可得出结果.
设抛物线C 焦点F ,准线方程为2
p
y =-
, 由A 、B 、C 到焦点的距离依次成等差数列得2BF AF CF =+, 所以2211222
p p p y a a ??+
=-++++ ???,
所以21y =,即()
B ,代入2
2x py =得4p =.
故答案为:4. 15.22n n +
【解析】15.
1=,说明数列
是等差数列,再求通项
公式.
由)
2
11n a =-得)
2
11n a +=
1=,即数
列
2=为首项,公差为1的等差数列,所以
()
2111n n =+-?=+,所以22n a n n =+.
故答案为:22n n +
16.(1)3
A π
=;(2)
【解析】16.
(1)首先根据m n ⊥得到2sin 106A π??
--= ??
?
,从而得到1
sin 62A π?
?-= ???,再求角A 即
可.
(2)首先利用正弦两角和公式得到sin C =
::7:5:8a b c =,设7a x =,5b x =,8c x =,利用余弦定理得到1x =,再利用正弦定理求面积即可.
(1)因为m n ⊥,所以0m n ?=.
即223sin
cos 2cos cos 12sin 102226A A A m n A A A π?
??=?-=--=--= ??
?, 所以1sin 62A π?
?-= ??
?,
因为0A π<<,所以56
6
6
A π
π
π
-<-
<
, 所以6
6
A π
π
-
=
,即3
A π
=
.
(2)因为11cos 14B =
,()0,B π=,所以sin B =
()sin co 111s co s s sin in sin 2142147
A B A C A B B =+=+=
+?=
,
所以::sin :sin :sin 7:5:8a b c A B C ===, 设7a x =,5b x =,8c x =,
在ACD △中,22
2
2cos CD AC AD AC AD A =+-??, 所以22221251620x x x =+-,所以1x =, 即7a =,5b =,8c =,
故1
2
sin ABC
S
ab C ==
17.(1)证明见解析;(2)7
.
【解析】17.
(1)根据线面垂直的判定定理,先证明DP ⊥平面PQB ,得到DP QB ⊥,再根据线面垂直的判定定理,即可证明结论成立;
(2)分别以PB ,PD 为x ,y 轴,过点P 作z 轴//BQ ,建立空间直角坐标系,求出两平面的法向量,根据向量夹角公式求出两法向量的夹角,进而可得出结果. (1)证明:因为33AB PB ==,所以2AP =,1PB =.
在PQB △中,由余弦定理得2
2
2
2cos PB PQ BQ PQ BQ PQB =+-?∠,得QB =
则2
2
2
BQ PB PQ +=,所以QB PB ⊥.
又因为DP PB ⊥,DP QP ⊥,PB QP P ?=,且PB ?面PQB ,QP ?面PQB , 所以DP ⊥平面PQB .
因为QB ?平面PQB , 所以DP QB ⊥, 又因为PB
DP P =,且PB ?面BCDP ,DP ?面BCDP ,
所以QB ⊥平面BCDP .
(2)分别以PB ,PD 为x ,y 轴,过点P 作z 轴//BQ ,建立空间直角坐标系, 则()0,0,0P ,()0,2,0D
,()3,2,0C
,(Q ,
(1,DQ =-,()0,2,0PD =,()3,0,0DC =.
设平面PDQ 的一个法向量为()1,,n x y z =,
1100n DQ n PD ??=??
?=??
,所以2020
x y y ?-+=??=??,令1z =,则()
13,0,1n =-, 设平面CDQ 的一个法向量为()2,,n x y z =
2200n DQ n DC ??=??
?=??
,所以20
30
x y x ?-+=??=??,令2z =
,则()
20,2n =.
所以121212
cos ,27
n n n n n n ?<>=
=
=
?
,因此1242
sin ,7n n <>=, 所以二面角P DQ C --的正弦值为
7
.
18.(1)22
143
x y +=;(2)4m =-.
【解析】18.
(1)根据题意可得1
21
c a c ?=
???=?
,即可解出,a c ,再根据,,a b c 的关系222a b c =+可求出2b ,
即可求出椭圆C 的方程;
(2)设()11A x y ,,()22B x y ,以及():1AB l y k x =+,将直线方程与椭圆方程联立可得
12x x +,即可求出点P 的坐标,再联立直线OP 与直线()0x m m =<的方程可求得点Q
的坐标,由FQ FP PQ +=可得FQ FP ⊥,然后根据直线的斜率之积为1-即可解出m .
(1)由题1
21
c a c ?=
???=?解得2,1,a c =??=?所以2223b a c =-=.
所以椭圆C 的方程为22
143
x y +=.
(2)因为焦点()1,0F -,设():1AB l y k x =+, 与椭圆方程联立得,(
)
2
222
4384120k x k x k +++-=,
设()11A x y ,,()22B x y ,,则2
122843
k x x k +=-+.
因为P 为AB 的中点,所以2
122
4243
P x x k x k +==-+,2343P P k y kx k k =+=+, 即22243,4343k k P k k ??- ?++??
,∴3:4OP
l y x k =-,则3,4m Q m k ?
?- ???, 由FQ FP PQ FQ FP +==-可得FQ FP ⊥,所以()
3141m
k k m -?=-+,所以4m =-.
19.(1)1头;(2)(ⅰ)分布列见解析,()1135ξ=E ;()2125
ξ=E ;(ⅱ)方案二更适合.
【解析】19.
(1)根据两头都未感染X 病毒的概率是
3
5
,列式求解; (2)(ⅰ)由题意可知1ξ的可能取值为1,3,2ξ的可能取值为2,3,再依次根据随机变量表示的事件求概率,列出分布列,并计算数学期望;(ⅱ)由(ⅰ)可知,数学期望小的合适.
(1)设有x 头奶牛感染X 病毒,则由题意有25253
5
x C C -=,
解得1x =或8x =(舍).
所以这5头奶牛中有1头感染X 病毒.
(2)(ⅰ)1ξ的可能取值为1,3,()11115115C P C ξ===,()14
35
P ξ==,
所以1ξ的分布列为
则()113555
E ξ=?
+?=; 2ξ的可能取值为2,3,由(1)可知()21
42221
53235C C P C C ξ===,所以()23
25
P ξ==, 所以2ξ的分布列为
()223555
E ξ=?+?=.
(ⅱ)因为()()21E E ξξ<,所以方案二所需的检测次数期望较少,所需的检测费用期望较低,所以方案二更适合. 20.(1)20x y --=;(2)14ln 2
2
+-.
【解析】20.
(1)求出'
(1)f 再利用点斜式方程,即可得答案;
(2)由1x ,2x 是函数()f x 的极值点,得1x ,2x 是方程22210x ax -+=的两不等正根,再利用韦达定理得到120x x a +=>,121
2
x x ?=
,利用消元法将()()122f x f x -表示成关于2x 的函数,再利用换元法和导数求函数的最小值. 解:(1)当1a =时,()ln 2f x x x x =+-,()1
22f x x x
'=
+-, ()11f =-,()11f '=,则11y x +=-,所以2y x =-,
即曲线()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程为20x y --=.
(2)函数()2
ln 2f x x x ax =+-,()0,x ∈+∞,()2221
x ax f x x
-+'=,
因为1x ,2x 是函数()f x 的极值点,所以1x ,2x 是方程22210x ax -+=的两不等正根,则有2480a ?=->,120x x a +=>,1212x x ?=
,所以a >
22
a >
,即10,2x ?∈ ??
,22x ??∈+∞ ? ?
??
,且有211221ax x =+,2
22221ax x =+, ()()()()221211122222ln 2ln 2f x f x x x ax x x ax -=+--+- ()()22221112222ln 21ln 21x x x x x x =+---+--
22112222ln ln 1x x x x =-+-+-
2
22222222
222111322ln ln 1ln 2ln 212222x x x x x x x ??=-+--=---- ???
令2
2
t x =,则1,2t ??∈+∞ ???
,()13ln 2ln 2122g t t t t =----,()()()22
211131222t t g t t t t --'=+
-=
, 当1,12t ??
∈
???
上单调递减,当()1,t ∈+∞上单调递增. 所以()()min 14ln 2
12
g t g +==-
. 所以()()122f x f x -的最小值为14ln 2
2
+-. 21.(1)4sin 6πρθ??
=+ ??
?
;(2
)
【解析】21.
(1)根据圆的圆心和半径写出圆的普通方程,再利用cos sin x y ρθ
ρθ
=??=?求得圆的极坐标方程;
(2)设()1,P ρθ,2,3Q πρθ??
+
??
?
,利用三角形的面积公式121sin 23
POQ S π
ρρ=
△,再利用三角函数的有界性,即可得答案;
解:(1)直线l
的参数方程化简为一般式方程为80x +-=,
因为直线l 与曲线C 相切,则138
22
r +-=
=. 所以圆的方程为(
)(2
2
14x y -+-=,将cos sin x y ρθ
ρθ=??
=?
,代入化简得 曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ?
?
=+ ??
?
. (2)设()1,P ρθ,2,3Q πρθ??
+
??
?
,
121sin 4sin 4sin 23462POQ S πππρρθθ???
?==?+?+ ? ????
?△
1cos cos cos 26226ππθθθθθθ????
?=+=+=++? ? ???????
当26
2
π
π
θ+
=
,即6
π
θ=
时,POQ △
的面积最大,最大值为
22.(1)1,2
A ??=-∞ ??
?
;(2)证明见解析
【解析】22.
(1)去绝对值可得()2,12,112,1x f x x x x -<-??
=-≤≤??>?
,然后分1,11,1x x x -≤≤-><三种情况解不
等式,进而可求出答案; (2)易知1
2a =
,可得122x y +=,即12
xy x y =+,进而4142x y xy xy xy ++=+,然后利用基本不等式可证明结论成立.
(1)由题意,()2,1
112,112,1x f x x x x x x -<-??
=+--=-≤≤??>?
,
解不等式()1f x ≤,即121x <-??-≤?或1121x x -≤≤??≤?或1
21x >??≤?
,
解得1
2
x ≤
. 即不等式()1f x ≤的解集1,2
A ??=-∞ ??
?
.
(2)由题可知1
2a =
,则122x y +=,所以22xy x y =+,即12
xy x y =+.
则
414
2x y xy xy xy
++=+, 因为0,0x y >>,所以0xy >,
所以
44xy xy +≥=,当且仅当4
xy xy
=,即1x =,2y =时等号成立. 所以
41
42
x y xy ++≥. 23.12 6
【解析】23.
利用新定义运算,转化()24240Θ=ΘΘ,再由性质③,①可得;
这样可得()00()0022a b a b ab a b ab a b Θ=ΘΘ=Θ+Θ+Θ-=++-,函数
4
()42x x f x e x
=++
-,再由基本不等式可得最小值. 根据定义可得()242400802042824212Θ=ΘΘ=Θ+Θ+Θ-=++-=;
()444004002x x x
x x x
f x e e e e e e ??=Θ
=ΘΘ=Θ+Θ+Θ- ???
4442226x x x x e e e e =++
-=++≥=,当且仅当ln 2x =时等号成立. 故答案为:12;6.
绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2) 理 科 数 学 注意事项: 1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2.回答第I 卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1) 已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(X-1)(x+2)<0},则A∩B=( ) (A ){--1,0} (B ){0,1} (C ){-1,0,1} (D ){,0,,1,2} (2)若a 为实数且(2+ai )(a-2i )=-4i,则a=( ) (A )-1 (B )0 (C )1 (D )2 (3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图。以下结论不正确的是( ) (A ) 逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 (B ) 2007年我国治理二氧化硫排放显现 (C ) 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 (D ) 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 (4)等比数列{a n }满足a 1=3,135a a a ++ =21,则357a a a ++= ( ) (A )21 (B )42 (C )63 (D )84
绝密★启用前 全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ) 一、选择题:本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<,, 则M N I = A .}{43x x -<< B .}42{x x -<<- C .}{22x x -<< D .}{23x x << 2.设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A .22 +11()x y += B .221(1)x y +=- C .22(1)1y x +-= D .2 2(+1)1y x += 3.已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===,,, 则 A .a b c << B .a c b << C .c a b << D .b c a << 4.古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-( 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -.若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是
A .165 cm B .175 cm C .185 cm D .190 cm 5.函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A . B . C . D . 6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个 爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A . 516 B . 1132 C . 2132 D . 1116 7.已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A . π6 B . π3 C . 2π3 D . 5π6 8.如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入
2010年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(全国I 卷) 第I 卷 一、选择题 (1)cos300°= (A ) (B )12- (C )12 (D (2)设全集U =(1,2,3,4,5),集合M =(1,4),N =(1,3,5),则N ?(C ,M ) (A )(1,3) (B )(1,5) (C )(3,5) (D )(4,5) (3)若变量x 、y 满足约束条件 1.0.20.y x y x y ≤??+≥??--≤? 则z =x-2y 的最大值为 (A )4 (B )3 (C )2 (D )1 (4)已知各项均为正数的等比数列{a n }中,a 1a 2a 3=5,a 7a 8a 9=10,则a 4a 5a 6= (A ) (B)7 (C)6 (5)(1-x )2(1 )3的展开式中x 2的系数是 (A)-6 (B )-3 (C)0 (D)3 (6)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,若∠BAC =90°,AB =AC=AA 1,则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于 (A )30° (B)45° (C)60° (D)90° (7)已知函数f (x )= lg x .若a ≠b ,且f (a )=f (b ),则a +b 的取值范围是 (A )(1,+∞) (B )[1,+∞] (C)(2,+∞) (D)[2,+∞) (8)已知F 1、F 2为双曲线C :x 2-y 2=1的左、右焦点,点P 在C 上,∠F 1PF 2=60°,则 1PF ·2PF = (A )2 (B)4 (C)6 (D)8 (9)正方体ABCD -A 1BCD 1中,BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为 (A) 3 (B) 3 (C) 23 (D) 3 (10)设a =log 3,2,b =ln2,c =1 25 -,则 (A )a <b <c (B)b <c <a (C)c <a <b (D)c <b <a (11)已知圆O 的半径为1,PA 、PB 为该圆的两条切线,A 、B 为两切点,那么PA u u u r ·PB u u u r 的 最小值为 (A )- (B )- (C )- (D )-
2016年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(5分)(2016?新课标Ⅰ)设集合A={x|x2﹣4x+3<0},B={x|2x﹣3>0},则A∩B=()A.(﹣3,﹣)B.(﹣3,)C.(1,)D.(,3) 2.(5分)(2016?新课标Ⅰ)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=() A.1 B.C.D.2 3.(5分)(2016?新课标Ⅰ)已知等差数列{a n}前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100 B.99 C.98 D.97 4.(5分)(2016?新课标Ⅰ)某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是() 《 A.B.C.D. 5.(5分)(2016?新课标Ⅰ)已知方程﹣=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距 离为4,则n的取值范围是() A.(﹣1,3)B.(﹣1,) C.(0,3) D.(0,) 6.(5分)(2016?新课标Ⅰ)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是() A.17πB.18πC.20πD.28π 7.(5分)(2016?新课标Ⅰ)函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2,2]的图象大致为()
A.B.C. D. 8.(5分)(2016?新课标Ⅰ)若a>b>1,0<c<1,则() A.a c<b c B.ab c<ba c : C.alog b c<blog a c D.log a c<log b c 9.(5分)(2016?新课标Ⅰ)执行如图的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足() A.y=2x B.y=3x C.y=4x D.y=5x 10.(5分)(2016?新课标Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为()
全国高考文科全国卷数学 试题及答案 The document was prepared on January 2, 2021
年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学卷3 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出 的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A B中元素的个数为A.1 B.2 C.3 D.4 2.复平面内表示复数(2) =-+的点位于 z i i A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是 A.月接待游客逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 4.已知 4 sin cos 3 αα -=,则sin2α= A. 7 9 - B. 2 9 -C. 2 9 D. 7 9 5.设,x y满足约束条件 3260 x y x y +-≤ ? ? ≥ ? ?≥ ? ,则z x y =-的取值范围是 A.[-3,0] B.[-3,2] C.[0,2] D.[0,3] 6.函数 1 ()sin()cos() 536 f x x x ππ =++-的最大值为 A.6 5 B.1 C. 3 5 D. 1 5
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷II) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013课标全国Ⅱ,理1)已知集合M ={x |(x -1)2<4,x ∈R },N ={-1,0,1,2,3},则M ∩N =( ). A .{0,1,2} B .{-1,0,1,2} C .{-1,0,2,3} D .{0,1,2,3} 2.(2013课标全国Ⅱ,理2)设复数z 满足(1-i)z =2i ,则z =( ). A .-1+i B .-1-I C .1+i D .1-i 3.(2013课标全国Ⅱ,理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则a 1=( ). A .13 B .13- C .19 D .1 9- 4.(2013课标全国Ⅱ,理4)已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ,l ⊥n ,l α,l β,则( ). A .α∥β且l ∥α B .α⊥β且l ⊥β C .α与β相交,且交线垂直于l D .α与β相交,且交线平行于l 5.(2013课标全国Ⅱ,理5)已知(1+ax )(1+x )5的展开式中x 2的系数为5,则a =( ). A .-4 B .-3 C .-2 D .-1 6.(2013课标全国Ⅱ,理6)执行下面的程序框图,如果输入的N =10,那么输出的S =( ). A .1111+23 10+++ B .1111+2!3! 10!+++ C .1111+23 11+++ D .1111+2!3!11!+++ 7.(2013课标全国Ⅱ,理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O -xyz 中的坐标分别是 (1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( ). 8.(2013课标全国Ⅱ,理8)设a =log 36,b =log 510,c =log 714,则( ). A .c >b >a B .b >c >a C .a >c >b D .a >b >c
2015年全国高考数学卷文科卷1 一、选择题 1.已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=,则集合A B I 中的元素个数为( ) (A ) 5 (B )4 (C )3 (D )2 2.已知点(0,1),(3,2)A B ,向量(4,3)AC =--u u u r ,则向量BC =u u u r ( ) (A ) (7,4)-- (B )(7,4) (C )(1,4)- (D )(1,4) 3.已知复数z 满足(1)1z i i -=+,则z =( ) (A ) 2i -- (B )2i -+ (C )2i - (D )2i + 4.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( ) (A ) 310 (B )15 (C )110 (D )1 20 5.已知椭圆E 的中心为坐标原点,离心率为12 ,E 的右焦点与抛物线2 :8C y x =的焦点重合,,A B 是C 的准线与E 的两个交点,则AB = ( ) (A ) 3 (B )6 (C )9 (D )12 6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有( ) (A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛 7.已知{}n a 是公差为1的等差数列,n S 为{}n a 的前n 项和,若844S S =,则10a = ( ) (A ) 172 (B )19 2 (C )10 (D )12 8.函数()cos()f x x ω?=+的部分图像如图所示,则()f x 的单调递减区间为( ) (A )13 (,),44k k k Z ππ- +∈ (B )13 (2,2),44k k k Z ππ-+∈ (C )13 (,),44k k k Z -+∈ (D )13 (2,2),44 k k k Z -+∈
2018年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理)(全国II 卷) 一.选择题(共12小题,每小题5分,共60分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) 1.1212i i +=-()(A )4355i --(B )4355i -+(C )3455i --(D )3455 i -+ 2.已知集合(){}22,|3,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈,则A 中元素的个数为() (A )9 (B )8 (C )5(D )4 3.函数()2x x e e f x x --=的图像大致为() 4.已知向量,a b 满足||1a =,1a b ?=-,则() 2a a b ?-=() (A )4(B )3(C )2(D )0 5.双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的离心率为3,则其渐近线方程为() (A )2y x =±(B )3y x =±(C )22y x =±(D )32 y x =± 6.在ABC ?中,5cos 25 C =,1BC =,5AC =,则AB =() (A )42(B )30(C )29( D )25 7.为计算11111123499100 S =-+-++-,设计了下面的程序框图,则在空白框中应填入() (A )1i i =+ (B )2i i =+ (C )3i i =+ (D )4i i =+ 8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30723=+。在不超过 30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()(A )112(B )114 (C )115(D )118
普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) 数学(文史类) 一.选择题:本大题共12小题, 每小题5分, 共60分, 在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合要求的 1.直线2y x x =关于对称的直线方程为 ( ) A .12 y x =- B .12 y x = C .2y x =- D .2y x = 2.已知,02x π??∈- ??? , 54cos =x , 则2tg x = ( ) A .24 7 B .247- C .7 24 D .7 24- 3.抛物线2 y ax =的准线方程是2,y a =则的值为 ( ) A . 1 8 B .1 8 - C .8 D .8- 4.等差数列{}n a 中, 已知1251 ,4,33,3 n a a a a n =+==则为( ) A .48 B .49 C .50 D .51 5.双曲线虚轴的一个端点为M , 两个焦点为1212,,120F F F MF ∠=?, 则双曲线的离心率为( ) A B C D 6.设函数?????-=-2112)(x x f x 00>≤x x , 若1)(0>x f , 则0x 的取值范围是 ( ) A .(1-, 1) B .(1-, ∞+) C .(∞-, 2-)?(0, ∞+) D .(∞-, 1-) ?(1, ∞+) 7.已知5 ()lg ,(2)f x x f ==则( ) A .lg 2 B .lg32 C .1 lg 32 D .1lg 25
8.函数sin()(0)y x R ??π?=+≤≤=是上的偶函数,则( ) A .0 B . 4 π C . 2 π D .π 9.已知(,2)(0):-30a a l x y a >+==点到直线的距离为1,则( ) A B .2 C 1 D 1 10.已知圆锥的底面半径为R , 高为3R , 它的内接圆柱的底面半径为3 4 R , 该圆柱的全面积为( ) A .2 2R π B .24 9R π C .238 R π D .252R π 11.已知长方形的四个顶点A (0, 0), B (2, 0), C (2, 1)和D (0, 1), 一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后, 依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P (入射角等于反射角)若40P P 与重合, 则tg θ= ( ) A .3 1 B . 5 2 C . 2 1 D .1 12.一个四面体的所有棱长都为2, 四个顶点在同一球面上, 则此球的表面积为( ) A .π3 B .π4 C .π33 D .π6 普通高等学校招生全国统一考试 数 学(文史类) 第Ⅱ卷(非选择题共90分) 二.填空题:本大题共4小题, 每小题4分, 共16分把答案填在题中横线上 13x <的解集是____________________. 14.92)21(x x -的展开式中9 x 系数是 ________ . 15.在平面几何里, 有勾股定理:“设22,,ABC AB AC AB AC BC +=V 的两边互相垂直则”
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A. {|0}A B x x =< B. A B =R C. {|1}A B x x => D. A B =? 2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A. 14 B. π8 C. 12 D. π4 3.设有下面四个命题 1:p 若复数z 满足1z ∈R ,则z ∈R ; 2:p 若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ; 3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =; 4:p 若复数z ∈R ,则z ∈R . 其中的真命题为
A.13,p p B.14,p p C.23,p p D.24,p p 4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,48S =,则{}n a 的公差为 A .1 B .2 C .4 D .8 5.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-,则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A .[2,2]- B .[1,1]- C .[0,4] D .[1,3] 6.621(1)(1)x x ++展开式中2x 的系数为 A.15 B.20 C.30 D.35 7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为 A.10 B.12 C.14 D.16 8.右面程序框图是为了求出满足3n -2n >1000的最小偶数n ,那么在 和两个空白框中,可以分别 填入
2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷3) 文科数学 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 C.{1,2} ( ) 5.若某群里中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付又用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为() A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 A.π 4B.π 2 C.π D.2π 8.直线x+y+2=0分别于x轴,y轴交于A,B两点,则?ABP的面积的取值范围是()A.[2,6] B.[4,8] C.[√2,3√2] D.[2√2,3√2] A.π 2B.π 3 C.π 4 D.π 6 A.12√3 B.18√3 C.24√3 D.54√3 14.某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是。
19.如图,矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直,M 是弧CD 上异于C,D 的点。 (1)证明:平面AMD ⊥平面BMC ; (2)在线段上是否存在点P ,使得MC ∥平面PBD ?说明理由。 20. 已知斜率为k 的直线l 与椭圆C :22143x y +=交于,A B 两点,线段AB 的中点()1,(0)M m m >. (1)证明:1;2 k <- (2)设F 为C 右焦点,P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=u u u r u u u r u u u r ,证明:2.FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r (二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,按所做的第一题计分。 23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国课标I) 理科数学 注意事项: 1.本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-5<x<5},则( ). A.A∩B= B.A∪B=R C.B?A D.A?B 2.若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为( ). A.-4 B. 4 5 - C.4 D. 4 5 3.为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( ). A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 4.已知双曲线C: 22 22 =1 x y a b -(a>0,b>0)的离心率为 5 2 ,则C的渐近线方程为( ). A.y= 1 4 x ± B.y= 1 3 x ± C.y= 1 2 x ± D.y=±x 5.执行下面的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s属于( ).
A .[-3,4] B .[-5,2] C .[-4,3] D .[-2,5] 6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ,如果不计容器的厚度,则球的体积为( ). A . 500π3cm 3 B .866π3 cm 3 C . 1372π3cm 3 D .2048π3 cm 3 7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m -1=-2,S m =0,S m +1=3,则m =( ). A .3 B .4 C .5 D .6 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
2013年高考文科数学真题及答案全国卷1 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013课标全国Ⅰ,文1)已知集合A ={1,2,3,4},B ={x |x =n 2,n ∈A },则A ∩B =( ). A .{1,4} B .{2,3} C .{9,16} D .{1,2} 【答案】A 【考点】本题主要考查集合的基本知识。 【解析】∵B ={x |x =n 2,n ∈A }={1,4,9,16}, ∴A ∩B ={1,4}. 2.(2013课标全国Ⅰ,文2)212i 1i +(-) =( ). A. ?1?12i B .11+i 2 - C .1+12i D .1?12i 【答案】B 【考点】本题主要考查复数的基本运算。 【解析】212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-=11+i 2 -. 3.(2013课标全国Ⅰ,文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ). A .12 B .13 C .14 D .1 6 【答案】B 【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。 【解析】由题意知总事件数为6,且分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的事件数是2,所以所求的概率为13 . 4.(2013课标全国Ⅰ,文4)已知双曲线C :2222=1x y a b -(a >0,b >0) 的离心率为2,则C 的渐近线方程为( ). A . y =±14x B .y =±13x C .12 y x =± D .y =±x 【答案】C 【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。 【解析】∵e = c a =2254 c a =. ∵c 2=a 2+b 2,∴2214b a =.∴12 b a =. ∵双曲线的渐近线方程为b y x a =±,
数学试卷 第1页(共21页) 数学试卷 第2页(共21页) 数学试卷 第3页(共21页) 绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1) 理科数学 使用地区:河南、山西、河北 注意事项: 1.本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合2 0{}|2A x x x =-> ,{|B x x <<=,则 ( ) A .A B =R B .A B =? C .B A ? D .A B ? 2.若复数z 满足(34i)|43i|z -=+,则z 的虚部为 ( ) A .4- B .45 - C .4 D .45 3.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A .简单随机抽样 B .按性别分层抽样 C .按学段分层抽样 D .系统抽样 4.已知双曲线C :22 221(0,0)x y a b a b -=>> ,则C 的渐近线方程为 ( ) A .1 4y x =± B .1 3y x =± C .1 2 y x =± D .y x =± 5.执行如图的程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出的s 属于 ( ) A .[3,4]- B .[5,2]- C .[4,3]- D .[2,5]- 6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器 高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球 面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的 厚度,则球的体积为 ( ) A .3866π cm 3 B . 3500π cm 3 C .31372πcm 3 D .32048πcm 3 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,12m S -=-,0m S =,13m S +=,则m = ( ) A .3 B .4 C .5 D .6 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为 ( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+ 9.设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值 为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b .若137a b =,则m = ( ) A .5 B .6 C .7 D .8 10.已知椭圆 E :22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交E 于A ,B 两点. 若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为 ( ) A .22 14536 x y += B .2213627x y += C .2212718x y += D .22 1189x y += 11.已知函数22,0, ()ln(1),0.x x x f x x x ?-+=?+>? ≤若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是 ( ) A .(,1]-∞ B .(,0]-∞ C .[2,1]- D .[2,0]- 12.设n n n A B C △的三边长分别为n a ,n b ,n c ,n n n A B C △的面积为n S ,1,2,3, n =.若11b c >,1112b c a +=,1n n a a +=,12n n n c a b ++= ,12 n n n b a c ++=,则 ( ) A .{}n S 为递增数列 B .{}n S 为递减数列 C .21{}n S -为递增数列,2{}n S 为递减数列 D .21{}n S -为递减数列,2{}n S 为递增数列 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)t t =+-c a b .若0=b c ,则t =________. 14.若数列{}n a 的前n 项和21 33 n n S a = +,则{}n a 的通项公式是n a =________. 15.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=________. 16.设函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称,则()f x 的最大值为________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. --------在 --------------------此--------------------卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ---------------- 姓名________________ 准考证号_____________
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页。 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)设复数z满足1+z 1z - =i,则|z|= (A)1 (B)2(C)3(D)2 【答案】A 考点:1.复数的运算;2.复数的模. (2)sin20°cos10°-con160°sin10°= (A)3 (B 3 (C) 1 2 -(D) 1 2 【答案】D 【解析】 试题分析:原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=1 2 ,故选D. 考点:诱导公式;两角和与差的正余弦公式 (3)设命题P:?n∈N,2n>2n,则?P为 (A)?n∈N, 2n>2n(B)?n∈N, 2n≤2n (C)?n∈N, 2n≤2n(D)?n∈N, 2n=2n
【答案】C 【解析】 试题分析:p ?:2,2n n N n ?∈≤,故选C. 考点:特称命题的否定 (4)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 (A )0.648 (B )0.432 (C )0.36 (D )0.312 【答案】A 【解析】 试题分析:根据独立重复试验公式得,该同学通过测试的概率为 22330.60.40.6C ?+=0.648,故选A. 考点:独立重复试验;互斥事件和概率公式 (5)已知M (x 0,y 0)是双曲线C :2 212 x y -=上的一点,F 1、F 2是C 上的两个焦 点,若1MF u u u u r ?2MF u u u u r <0,则y 0的取值范围是 (A )(- 33,3 3 ) (B )(- 36,3 6 ) (C )(223- ,223) (D )(233-,23 3 ) 【答案】A 考点:向量数量积;双曲线的标准方程
绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标Ⅰ卷) 理科数学 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.设,则( ) A .0 B . C . D . 2.已知集合,则 ( ) A . B . C . D . 3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图: 此卷 只装 订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
则下面结论中不正确的是() A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4.记为等差数列的前项和.若,,则()A.B.C.D.12 5.设函数.若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为() A.B.C.D. 6.在中,为边上的中线,为的中点,则() A.B. C.D. 7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图所示,圆柱表面上的点在正视图上的对应点为,圆柱表面上的点在左视图上的对应点为, 则在此圆柱侧面上,从到的路径中,最短路径的长度为() A.B.C.D.2 8.设抛物线的焦点为,过点且斜率为的直线与交于,两点,则() A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数,,若存在2个零点,则的取值范围是() A.B.C.D. 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边,直角边,,的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,
2019年高考文科数学真题及答案全国卷I 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题, 每小题5分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.(2019课标全国Ⅰ, 文2) 2 12i 1i +(-) =( ). A . 11i 2-- B .11+i 2- C .11+i 2 D .11i 2- 2.(2019课标全国Ⅰ, 文1)已知集合A ={1,2,3,4}, B ={x |x =n 2 , n ∈A }, 则A ∩B =( ). A .{1,4} B .{2,3} C .{9,16} D .{1,2} 3.(2019课标全国Ⅰ, 文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数, 则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ). A .12 B .13 C .14 D .16 4.(2019课标全国Ⅰ, 文4)已知双曲线C :22 22=1x y a b -(a >0, b >0)5 则 C 的渐近线方程为( ). A .y =14x ± B .y =13x ± C .y =1 2x ± D .y =±x 5.(2019课标全国Ⅰ, 文5)已知命题p :?x ∈R,2x <3x ;命题q :?x ∈R , x 3 =1-x 2 , 则下列命题中为真命题的是( ). A .p ∧q B .?p ∧q C .p ∧?q D .?p ∧?q 6.(2019课标全国Ⅰ, 文6)设首项为1, 公比为 2 3 的等比数列{a n }的前n 项和为S n , 则( ). A .Sn =2an -1 B .Sn =3an -2 C .Sn =4-3an D .Sn =3-2an 7.(2019课标全国Ⅰ, 文7)执行下面的程序框图, 如果输入的t ∈[-1,3], 则输出的s 属于( ). A .[-3,4] B .[-5,2] C .[-4,3] D .[-2,5] 8.(2019课标全国Ⅰ, 文8)O 为坐标原点, F 为抛物线C :y 2 =2x 的焦点, P 为C 上一点, 若|PF |=42 则△POF 的面积为( ). A .2 B .22.3.4 9.(2019课标全国Ⅰ, 文9)函数f (x )=(1-cos x )sin x 在[-π, π]的图像大致为( ).
2014年高考数学全国二卷(理科)完美版
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题共60分) 2014·新课标Ⅱ卷第1页一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则M∩N=() A.{1}B.{2} C.{0,1}D.{1,2} 2.设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=() A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i 3.设向量a,b满足|a+b|=10,|a-b|=6,则a·b=() A.1 B.2 C.3 D.5 4.钝角三角形ABC的面积是1 2,AB=1, BC=2,则AC=() A.5 B. 5 C.2 D.1 5.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是() A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45
6.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm ,高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) A.1727 B.59 C.1027 D.13 7.执行如图所示的程序框图,如果输入的x ,t 均为2,则输出的S =( ) A .4 B .5 C .6 D .7
8.设曲线y =ax -ln(x +1)在点(0,0)处的切线方程为y =2x ,则a =( ) A .0 B .1 C .2 D .3 9.设x ,y 满足约束条件???? ? x +y -7≤0,x -3y +1≤0, 3x -y -5≥0, 则z =2x -y 的最大值为( ) A .10 B .8 C .3 D .2 10.设F 为抛物线C :y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94 11.直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠BCA =90°,M ,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,BC =CA =CC 1,则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A.110 B.25 C.3010 D.22 2014·新课标Ⅱ卷 第2页12.设函数f (x )= 3sin πx m .若存在f (x )的极值点x 0满足x 20+[f (x 0)]2