高考数学压轴大题-解析几何
1. 设双曲线C ：1:)0(1222
=+>=-y x l a y a
x 与直线相交于两个不同的点A 、B.
（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围：
（II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.12
5
=求a 的值.
解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组
??
???=+=-.1,
12
22y x y a
x 有两个不同的实数解.消去y 并整理得
（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①
.120.0)1(84.012
24
2
≠<-+≠-a a a a a a 且解得所以
双曲线的离心率
).,2()2,2
6
(
2
2
6
,120.11122
+∞≠>∴≠<<+=
+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a a
a
a e
（II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A
.
12
5
).1,(125
)1,(,
12
5
212211x x y x y x =-=-∴=由此得
由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，
13
17
,060289
12,,.12125.1212172222
2
222
2
2=
>=
----=--=a a a a x a a x a
a x 所以由得消去所以
2. 已知)0,1(,)0,1(21F F -为椭圆C 的两焦点，P 为C 上任意一点，且向量21PF PF 与向量的
夹角余弦的最小值为3
1
.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)过1F 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，求OMN ?（O 为原点）的面积的最大值及相
应的直线l 的方程.
解：(Ⅰ)设椭圆的长轴为2a ,
a 2=
22==c
2
12
22
124cos PF PF PF PF ?-+=
θ
=
2
12122124
2)(PF PF PF PF PF PF ?-?-+
=1244212-?-PF PF a
又
212PF PF ?≥
∴2
21a PF PF ≤?
即31211244cos 2
22=-=--≥a
a a θ ∴32
=a ∴椭圆方程为12
32
2=+
y x (Ⅱ) 由题意可知NM 不可能过原点,则可设直线NM 的方程为:my x =+1 设),(11y x M ),(22y x N
()1111212
OMN F OM F ON S S S OF y y ???=+=+=2121
y y -
22
1,32
1.x y x my ?+
=???=-?
063)1(222=-+-y my
即 044)32(22=--+my y m . 由韦达定理得:
324221+=+m m y y 324
22
1+-=?m y y ∴212212
214)(y y y y y y -+=-
= 3216)32(162222+++m m m =2
22)
32()
1(48++m m 令12+=m t , 则1≥t ∴2
21y y -=4
1448)12(482++=
+t
t t t . 又令t
t t f 1
4)(+=, 易知)(t f 在[1,+∞）上是增函数
,
所以当1=t ,即0=m 时)(t f 有最小值5. ∴2
21y y -有最大值3
16
∴OMN S ? 的面积有最大值332.
直线l 的方程为1-=x .
3. 椭圆E 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率e
C (-1，0)的直线l 交椭圆于A 、B 两点，且满足：CA =BC λ (2λ≥)．
(Ⅰ)若λ为常数，试用直线l 的斜率k (k ≠0)表示三角形OAB 的面积． (Ⅱ)若λ为常数，当三角形OAB 的面积取得最大值时，求椭圆E 的方程．
(Ⅲ)若λ变化，且λ= k 2＋1，试问：实数λ和直线l 的斜率()k k ∈R 分别为何值时，椭圆
E 的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程．
解：设椭圆方程为22
221+=x y a b
(a ＞b ＞0)，
由e =c
a
a 2=
b 2+
c 2得a 2=3 b 2，
故椭圆方程为x 2＋3y 2= 3b 2． ①
(Ⅰ)∵直线l ：y = k (x ＋1)交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，并且CA =BC λ (λ≥2)， ∴(x 1+1，y 1) =λ(-1-x 2，-y 2)， 即121
21(1)x x y y λλ+=-+??=-? ②
把y = k (x +1)代入椭圆方程，得(3k 2+1)x 2+6k 2x +3k 2-3b 2= 0， 且 k 2 (3b 2-1)+b 2＞0 （*），
∴x 1+x 2= -22631k k +， ③
x 1x 2=22
23331k b k -+， ④
∴O A B S ?=12|y 1-y 2| =12|λ+1|·| y 2| =|1|
2
λ+·| k |·| x 2+1|．
联立②、③得x 2+1=2
2
(1)(31)
k λ-+， ∴O A B S ?=11λλ+-·2||
31
k k + (k ≠0)．
(Ⅱ)O AB S ?=
11λλ+-·2||
31
k k + =1
1λλ+-·113||||
k k +
≤
11λλ+-
(λ≥2)． 当且仅当3| k | =
1||k ，即k
=时，O AB S ?取得最大值，此时x 1+x 2= -1． 又∵x 1+1= -λ( x 2+1)，
∴x 1=11λ-，x 2= -1λλ-，代入④得3b 2
=22
1(1)λλ+-．此时3b 2≥5，,k b 的值符合(*) 故此时椭圆的方程为x 2
＋3y 2
=22
1
(1)λλ+-(λ≥2)．
(Ⅲ)由②、③联立得：
x 1=22(1)(31)
k λ
λ--+-1，
x 2=
22
(1)(31)
k λ-+-1，
将x 1，x 2代入④，得23b =224(1)(31)
k λ
λ-++1．
由k 2=λ-1得23b =
24(1)(32)
λ
λλ--+1
=
43
2212
(1)(1)(32)λλλ??+??---??
＋1．
易知，当2λ≥时，3b 2是λ的减函数，
故当2λ=时，23b 取得最大值3． 所以，当2λ=，k =±1(符合(*))时，椭圆短半轴长取得最大值，
此时椭圆方程为x 2 + 3y 2 = 3．
4. 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与)1,3(-=共线. （I ）求椭圆的离心率；
（II ）设M 为椭圆上任意一点，且(,)OM OA OB λμλμ=+∈R ，证明22μλ+为定值.
解：（I ）设椭圆方程为),0,(),0(122
22c F b a b
y a x >>=+
则直线AB 的方程为1,22
22=+-=b
y a x c x y 代入.
化简得02)(2
2222222=-+-+b a c a cx a x b a . 令),,(),,(2211y x B y x A
则 .,22
22
2222122
221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+
),,(2121y y x x ++=+由与+-=),1,3(共线，得 .0)()(32121=+++x x y y
.
3
6
,
3
6.3,232.2
3,0)()2(3,,222
22
222121212211===-=∴==+=
+∴
=++-+∴-=-=a c e a
b a
c b a c b
a c a c x x x x c x x c x y c x y 故离心率所以即又 （II ）证明：由（I ）知2
2
3b a =，所以椭圆122
22=+b
y a x 可化为22233b y x =+.
),,(),(),(),,(2211y x y x y x y x μλ+==由已知得设
??
?+=+=∴.,
2121y y y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，
.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ
即 .3)3(2)3()3(221212222
221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ① 由（I ）知.21
,23,23222221c b c a c x x ===+
22222
1222121212123.833()()
a c a
b x x
c a b x x y y x x x c x c -∴==+∴+=+-- .0329233)(3422
22
2121=+-=
++-=c c c c c x x x x 又22222
2212133,33b y x b y x =+=+又，代入①得 .122=+μλ 故22μλ+为定值，定值为1.
5. 已知椭圆2
212
x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点.
（I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程； （II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴
交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.
解：（I ）222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=- 圆过点O 、F ，
∴圆心M 在直线1
2
x =-上。
设1
(,),2M t -则圆半径
13()(2).22
r =---=
由,OM r =
3,2
=
解得t =
∴
所求圆的方程为2219
()(.24
x y ++±=
（II ）设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠
代入2
21,2
x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-=
直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根。 记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y
则2
1224,21
k x x k +=-+
AB ∴的垂直平分线NG 的方程为001
().y y x x k
-=--
令0,y =得
222002222211
.
2121212421
0,0,
2
G G k k k x x ky k k k k k x =+=-+=-=-+++++≠∴-<< ∴点G 横坐标的取值范围为1
(,0).2
-
6. 已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,
向量OA ,OB 满足OA OB OA OB +=-.设圆C 的方程为
2212
12()()0x y x x x y y y +-+-+=
(I) 证明线段AB 是圆C 的直径;
(II)当圆C 的圆心到直线X-2Y=0时，求p 的值。 (I)证明1:
22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-
2
2
2
2
22OA OA OB OB OA OA OB OB +?+=-?+ 整理得: 0OA OB ?= 12120x x y y ∴?+?=
设M(x,y)是以线段AB 为直径的圆上的任意一点,则0MA MB ?= 即1212()()()()0x x x x y y y y --+--=
整理得:221212()()0x y x x x y y y +-+-+= 故线段AB 是圆C 的直径 证明2:
22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-
2
2
2
2
22OA OA OB OB OA OA OB OB +?+=-?+ 整理得: 0OA OB ?=
12120x x y y ∴?+?= (1)
设(x,y)是以线段AB 为直径的圆上则 即
21
1221
1(,)y y y y x x x x x x x x --?=-≠≠-- 去分母得: 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=
点11122122(,),(,),(,)(,)x y x y x y x y 满足上方程,展开并将(1)代入得:
221212()()0x y x x x y y y +-+-+=
故线段AB 是圆C 的直径 证明3:
22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-
2
2
2
2
22OA OA OB OB OA OA OB OB +?+=-?+
整理得: 0OA OB ?= 12120
x x y y ∴?+?=……(1) 以线段AB 为直径的圆的方程为
2222121212121
()()[()()]224
x x y y x y x x y y ++-+-=-+-
展开并将(1)代入得: 221212()()0x y x x x y y y +-+-+= 故线段AB 是圆C 的直径 (II)解法1:设圆C 的圆心为C(x,y),则
121
22
2
x x x y y y +?=???
+?=?? 22
1
1222,2(0)y px y px p ==> 22
12122
4y y x x p ∴=
又因12120x x y y ?+?= 1212x x y y ∴?=-? 22
12122
4y y y y p ∴-?=
12120,0x x y y ?≠∴?≠ 2124y y p ∴?=- 2222121212121211()(2)2444x x y y x y
y y y y y p p p
+==+=+
+-221(2)y p p =+
所以圆心的轨迹方程为222y px p =- 设圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则
22221
|(2)2|
y p y
d +-
===22=
当y=p 时,d 有最小值
5=
2p ∴=. 解法2: 设圆C 的圆心为C(x,y),则
12122
2
x x x y y y +?=???
+?=?? 22
1
1222,2(0)y px y px p ==> 22
12122
4y y x x p
∴= 又因12120x x y y ?+?= 1212x x y y ∴?=-? 22
12122
4y y y y p ∴-?=
12120,0x x y y ?≠∴?≠ 2124y y p ∴?=- 2222121212121211()(2)2444x x y y x y y y y y y p p p +==+=++-221(2)y p p =+
所以圆心的轨迹方程为222y px p =-
设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0
的距离为5
,则2m =± 因为x-2y+2=0与222y px p =-无公共点,
所以当x-2y-2=0与222y px p =-仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0
的距离最小值为
5
22
220(2)
2(3)x y y px p --=??=-?
将(2)代入(3)得222220y py p p -+-= 2244(22)0p p p ∴?=--= 0
2.
p p >∴=
解法3: 设圆C 的圆心为C(x,y),则
12122
2
x x x y y y +?=???
+?=?? 圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则
1212|()|x x
y y d +-+=
22
11222,2(0)y px y px p ==> 2212122
4y y x x p ∴=
又因12120x x y y ?+?= 1212x x y y ∴?=-? 22
12122
4y y y y p ∴-?=
12120,0x x y y ?≠∴?≠ 2124y y p ∴?=-
2212122221|()()|
y y y y d +-+∴=
=22=
当122y y p +=时,d
5=
2p ∴=.
11、（如图）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线
)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．
（1）若6ED DF =，求k 的值； （2）求四边形AEBF 面积的最大值．
11．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为
2
214
x
y +=， 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． 2分 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中1x 且12x x ，满足方程22
(14)4k x +=，
故21x x =-=
．①
由6ED DF =知01206()x x x x -=-
，得021215(6)77x x x x =+==；
由D 在AB 上知0022x kx +=，得02
12x k
=+．
所以
212k =+， 化简得2242560k k -+=， 解得23k =或3
8
k =． 6分 （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为
1h =
=
，
2h =
=
． 9分
又AB ==，所以四边形AEBF 的面积为
121()2S AB h h =+ 1
5
2
5(14
k =
+
=
=
≤
当2
1k =，即当1
2
k =
时，上式取等号．所以S 的最大值为 12分
解法二：由题设，1BO =，2AO =． 设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->， 故四边形AEBF 的面积为
B E F A E
S S S =+△△
222x y =+
9分
=
=
= 当222x y =时，上式取等号．所以S
的最大值为．
12分
12
、已知椭圆(222:13x y E a a +
=>的离心率1
2
e =. 直线x t =（0t >）与曲线E 交于不同的两点,M N ,以线段MN 为直径作圆C ,圆心为C ． (1) 求椭圆E 的方程；
(2) 若圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，求ABC ?的面积的最大值.
12、（1）解：∵椭圆()222:133x y E a a +
=>的离心率1
2
e =,
∴12a =. …… 2分 解得2a =. ∴ 椭圆E 的方程为22
143
x y +
=． …… 4分 （2）解法1：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．
由22
,1,43x t x y =???+
=?? 得2
2
1234t y -=. ∴ 圆C
的半径为2r =． …… 6分 ∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，
∴
0t <<
07
t <<．
∴
弦长||AB === …… 8分
∴ABC ?
的面积1
2S =? …… 9分
)
2127
t =
-)2
21272
t +-≤
=
…… 12分
当且仅当=
，即t=时，等号成立.
∴ABC
?
的面积的最大值为
7
．…… 14分解法2：依题意，圆心为(,0)(02)
C t t
<<．
由22
,
1,
43
x t
x y
=
?
?
?
+=
??
得
2
2
123
4
t
y
-
=.∴圆C
的半径为r=．…… 6分∴圆C的方程为
2
22
123
()
4
t
x t y
-
-+=．
∵圆C与y轴相交于不同的两点,A B，且圆心C到y轴的距离d t
=，∴
2
t<<
，即0
7
t<<．
在圆C的方程
2
22
123
()
4
t
x t y
-
-+=中，令0
x=
，得y=
∴
弦长||
AB=（资料来源：数学驿站 https://www.doczj.com/doc/eb3454879.html,）…… 8分∴ABC
?
的面积
1
2
S=?…… 9分
)2
127
t
=
-
)22
127
2
t
+-
≤
=
……12分
当且仅当=，即
7
t=时，等号成立. ∴ABC
?的面积的最大值为7
．
15、已知椭圆∑：1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
（0
>
>b
a）的上顶点为)1
,0(P，过∑的焦点且垂直长轴的弦长为1．若有一菱形ABCD的顶点A、C在椭圆∑上，该菱形对角线BD所在直线的斜率为1
-．
⑴求椭圆∑的方程；
⑵当直线BD 过点)0 , 1(时，求直线AC 的方程；
⑶（本问只作参考，不计入总分．．．．．．．．．．．．）当3
π
=∠ABC 时，求菱形ABCD 面积的最大值． 15、解：⑴依题意，1=b ……1分，解12222=+b y a c ……2分，得a b y 2
||=……3分，所以122=a b ，2=a ……4分，椭圆∑的方程为14
22
=+y x ……5分。 ⑵直线BD ：1)1(1+-=-?-=x x y ……7分，设AC ：b x y +=……8分，由方程组
?????=++=1
4
2
2y x b
x y 得0)1(24522=-++b bx x ……9分，当05)1(454)2(2
22>-=-??-=?b b b 时……10分，),(11y x A 、),(22y x C 的中点坐标为
54221b x x -=+，5
222121b
b x x y y =++=+……12分，ABCD 是菱形，所以AC 的中点在BD 上，所以
1545+=b b ……13分，解得3
5
-=b ，满足052>-=?b ，所以AC 的方程为3
5
-=x y ……14分。
⑶（本小问不计入总分，仅供部分有余力的学生发挥和教学拓广之用）因为四边形ABCD 为菱形，且3
π=
∠ABC ，所以BC AC AB ==，所以菱形ABCD 的面积22
3
AC S ?=
，由⑵可得2122122122122)(2)(2)()(x x x x y y x x AC +=-=-+-=
2
222125
32532)1(548)58(28b b b x x ?-=-??--
?=-，因为5||
3
1653223=?。
1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；
（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：．
6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；
21．（本小题满分12分）[2017皖南八校]如图，点()2,0A -，()2,0B 分别为椭圆 ()22 22:10x y C a b a b +=>>的左右顶点，,,P M N 为椭圆C 上非顶点的三点，直线 ,AP BP 的斜率分别为12,k k ，且121 4 k k =- ，AP OM ∥，BP ON ∥． （1）求椭圆C 的方程； （2）判断OMN △的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1）2 2:14 x C y +=；（2）定值1． 【解析】（1）22 1,1144 2,AP BP b k k b a a ?=?=-??=??=? ，椭圆22:14x C y +=． （2）设直线MN 的方程为y kx t =+，()11,M x y ，()22,N x y ， ()222 22 , 4184401,4 y kx t k x ktx t x y =+???+++-=?+=??， 122841 kt x x k +=-+，2122 44 41t x x k -=+， ()()1212121212121211 404044 y y k k y y x x kx t kx t x x x x ?=- ??=-?+=?+++=， ()()2 2121241440k x x kt x x t ++++=， ()22 22222448414402414141t kt k kt t t k k k ?? -+-+=?-= ?++?? ， ()() ()( )2 2 2 2 1 2 1 2 1 2114MN k x x k x x x x ??= +-= ++-??
解析几何压轴大题专题突破 1. 已知命题 p ：方程 x 22m + y 29?m =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，命题 q ：双曲线 y 25 ? x 2m =1 的离心率 e ∈( √6 2 ,√2)，若命题 p ，q 中有且只有一个为真命题，求实数 m 的取值范围. 2. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为 {x =√3cosα, y =sinα,（α 为参数），以坐标 原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρsin (θ+π 4 )=2√2． （1）写出 C 1 的普通方程和 C 2 的直角坐标方程； （2）设点 P 在 C 1 上，点 Q 在 C 2 上，求 ∣PQ ∣ 的最小值及此时 P 的直角坐标． 3. 在直角坐标系 xOy 中，直线 C 1:x =?2，圆 C 2:(x ?1)2+(y ?2)2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求 C 1，C 2 的极坐标方程； （2）若直线 C 3 的极坐标方程为 θ=π 4(ρ∈R )，设 C 2 与 C 3 的交点为 M ，N ，求 △ C 2MN 的面积． 4. 已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 x =?1，直线 l 与抛物线相交于不同的 A ，B 两点． （1）求抛物线的标准方程； （2）如果直线 l 过抛物线的焦点，求 OA ????? ?OB ????? 的值； （3）如果 OA ????? ?OB ????? =?4，直线 l 是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由． 5. 已知抛物线 C:y 2=2px (p >0) 与直线 x ?√2y +4=0 相切． （1）求该抛物线的方程； （2）在 x 轴正半轴上，是否存在某个确定的点 M ，过该点的动直线 l 与抛物线 C 交于 A ，B 两点，使得 1 ∣AM∣ +1∣BM∣ 为定值．如果存在，求出点 M 坐标；如果不 存在，请说明理由． 6. 在平面直角坐标系 xOy 中，动点 A 的坐标为 (2?3sinα,3cosα?2)，其中 α∈R ．在极坐标系（以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴）中，直线 C 的方程为 ρcos (θ?π 4 )=a ． （1）判断动点 A 的轨迹的形状； （2）若直线 C 与动点 A 的轨迹有且仅有一个公共点，求实数 a 的值． 7. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2a + y 2b =1(a >b >0) 的离心率为 √6 3 ．且 过点 (3,?1)． （1）求椭圆 C 的方徎； （2）动点 P 在直线 l ：x =?2√2 上，过 P 作直线交椭圆 C 于 M ，N 两点，使得 PM =PN ，再过 P 作直线 l?⊥MN ，直线 l? 是否恒过定点，若是，请求出该定 点的坐标；若否，请说明理由． 8. 在平面直角坐标系 xOy 中，C 1:{x =t, y =k (t ?1) （t 为参数）．以原点 O 为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 2:ρ2+10ρcosθ?6ρsinθ+33=0． （1）求 C 1 的普通方程及 C 2 的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若 P ，Q 分别为 C 1，C 2 上的动点，且 ∣PQ ∣ 的最小值为 2，求 k 的值．
解析几何大量精选 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，) 2 ,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹 是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程； ⑴当0AP AQ ?=u u u r u u u r 时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 【解析】 ⑴ 2 214 x y +=． ⑴将y kx b =+代入曲线C 的方程， 整理得2 2 2 (14)8440k x kbx b +++-=， 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122 814kb x x k +=-+，21224414b x x k -= + ② 且2222 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 所以()112,AP x y =+u u u r ，()222,AQ x y =+u u u r ． 由0AP AQ ?=u u u r u u u r ，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或6 5 b k =．经检验，都符合条件① 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点． 即直线l 经过点A ，与题意不符． 当65b k =时，直线l 的方程为6655y kx k k x ? ?=+=+ ?? ?． 显然，此时直线l 经过定点6,05?? - ??? 点，满足题意． 综上，k 与b 的关系是65b k =，且直线l 经过定点6,05?? - ??? 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的 圆与直线0x y -=相切． ⑴ 求椭圆C 的方程； ⑴ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； ⑴ 在⑴的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?u u u u r u u u r 的取值范围． 【解析】 ⑴22 143 x y +=． ⑴ 由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．
高考数学压轴选择题 _________班______号姓名_________________ 一、2007年以来广东高考数学压轴选择题的基本情况 1、（2007广东8）设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．若 对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是（ ） A ．()**a b a a = B ．[()]()****a b a a b a = C ．()**b b b b = D ．()[()]****a b b a b b = 2、（2008广东8）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ） A ． 1142+a b B ．2133+a b C ．11 24 +a b D ．1 233 + a b 3、（2009广东8）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是（ ） A ．在1t 时刻，甲车在乙车前面 B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面 C ．在0t 时刻，两车的位置相同 D ．0t 时刻后，乙车在甲车前面 4、（2010广东8）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定。每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 （ ） A ．1205秒 B ．1200秒 C ．1195秒 D ．1190秒 5、（2011广东） 8.,,,,.,,.,,,,,,,.:( ) A. T,V B.T,V C. T,V S Z a b S ab S S T V Z T V Z a b c T abc T x y z V xyz V ?∈∈=?∈∈?∈∈设是整数集的非空子集如果有则称关于数的乘法是封闭的若是的两个不相交的非空子集且有有则下列结论恒成立的是中至少有一个关于乘法是封闭中至多有一个关于乘法是封闭中有且只有一个关于乘法是封闭 D.T,V 中每一个关于乘法是封闭
高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交 双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点， 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9． 圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )
高考数学压轴题集锦 1．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为(,)0F c （0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。 （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若0OP OQ ?=，求直线PQ 的方程； （3）设AP AQ λ=（1λ>），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证 明FM FQ λ=-. (14分) 2． 已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，|1|)(-=x x f 。 （1） )](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式。 （2） 证明)(x f 是偶函数。 （3） 试问方程01 log )(4=+x x f 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。 3．（本题满分12分）如图，已知点F （0，1），直线L ：y=-2，及圆C ：1)3(2 2 =-+y x 。 （1） 若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程； （2） 过点F 的直线g （3） 过轨迹E 上一点P 点P 的坐标及S
4.以椭圆2 22y a x +＝1（a ＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试 判断并推证能作出多少个符合条件的三角形. 5 已知，二次函数f （x ）＝ax 2 ＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0. （Ⅰ）求证：f （x ）及g （x ）两函数图象相交于相异两点； （Ⅱ）设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围. 6 已知过函数f （x ）=12 3++ax x 的图象上一点B （1，b ）的切线的斜率为－3。 （1） 求a 、b 的值； （2） 求A 的取值范围，使不等式f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立； （3） 令()()132 ++--=tx x x f x g 。是否存在一个实数t ，使得当]1,0(∈x 时，g （x ）有 最大值1？ 7 已知两点M （－2，0），N （2，0），动点P 在y 轴上的射影为H ，︱PH ︱是2和→ → ?PN PM 的等比中项。 （1） 求动点P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线； （2） 若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线x+y=1上的点Q ，求实轴最长的双曲线C 的方程。 8．已知数列{a n }满足a a a a b a a a a a a a n n n n n n +-=+=>=+设,2),0(322 11 （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设数列{b n }的前项和为S n ，试比较S n 与 8 7 的大小，并证明你的结论. 9．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称． （Ⅰ）求双曲线C 的方程； （Ⅱ）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （-2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围； （Ⅲ）若Q 是双曲线C 上的任一点，21F F 为双曲线C 的左，右两个焦点，从1F 引21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程． 10. )(x f 对任意R x ∈都有.2 1)1()(= -+x f x f
题型突破练——压轴题专练 压轴题专练(一) 建议用时：40分钟 1．[2015·山西质监]已知椭圆E 的两焦点分别为(－1,0)，(1,0)， 且经过点? ?? ???1，22. (1)求椭圆E 的方程； (2)过P (－2,0)的直线l 交E 于A ，B 两点，且PB →＝3PA →，设A ，B 两点关于x 轴的对称点分别是C ，D ，求四边形ACDB 的外接圆的方程． 解 (1)由题意知c ＝1,2a －2 2 ＝ 22 ＋? ?? ?? ?222 ，∴a ＝2，b ＝a 2－c 2＝1，椭圆E 的方程为x 2 2 ＋y 2＝1. (2)设l ：x ＝my －2，代入椭圆方程得(m 2＋2)y 2－4my ＋2＝0， 由Δ＝8m 2－16＞0得m 2＞2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m m 2＋2，①y 1y 2＝2 m 2＋2.② 由PB →＝3PA →，得y 2＝3y 1.③
由①②③解得m 2＝4，符合m 2＞2. 不妨取m ＝2，则线段AB 的垂直平分线的方程为y ＝－2x －2 3 ，则 所求圆的圆心为? ?? ?? －13，0.又B (0,1)， ∴圆的半径r ＝10 3 . ∴圆的方程为? ????x ＋132＋y 2 ＝109. 2．已知函数f (x )＝(ax 2＋bx ＋c )e x 在[0,1]上单调递减且满足 f (0)＝1，f (1)＝0. (1)求实数a 的取值范围； (2)设g (x )＝f (x )－f ′(x )，求g (x )在[0,1]上的最大值和最小值． 解 (1)由f (0)＝1，f (1)＝0得c ＝1，a ＋b ＝－1， 则f (x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ， f ′(x )＝[ax 2＋(a －1)x －a ]e x . 依题意知，对任意的x ∈[0,1]，有f ′(x )≤0. 当a ＞0时，因为二次函数y ＝ax 2＋(a －1)x －a 的图象开口向上，而f ′(0)＝－a ＜0，所以f ′(1)＝(a －1)e ≤0，即0＜a ≤1；当a ＝0时，对任意的x ∈[0,1]，f ′(x )＝－x e x ≤0，符合条件；当a ＜0时，f ′(0)＝－a ＞0，不符合条件． 故实数a 的取值范围是[0,1]． (2)因为g (x )＝(－2ax ＋1＋a )e x ，g ′(x )＝(－2ax ＋1－a )e x ， ①当a ＝0时，g ′(x )＝e x ＞0，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1，在x ＝1处取得最大值g (1)＝e. ②当a ＝1时，对任意的x ∈[0,1]有g ′(x )＝－2x e x ≤0，g (x )在x ＝0处取得最大值g (0)＝2，在x ＝1处取得最小值g (1)＝0.
圆锥曲线大题训练1 （求范围）例1、已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：1)3()2(22=-+-y x 交于M 、N 两点。 （1）求k 的取值范围； （2）若12=?ON OM ，其中O 为坐标原点，求|MN | （定值问题）例2、已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）的离心率为2 2，点（2，2）在C 上。 （1）求C 的方程； （2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M 。证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值。
例3、已知直线l 的方程为y = k ( x — 1 )（k ＞0），曲线C 的方程为 y 2 = 2x ，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，O 为坐标系原点。求证：OB OA ?错误！未找到引用源。是定值 例4、已知双曲线C ：)0(122 22>>=-b a b y a x 的两条渐进线的夹角的正切值为724，点A （5，49）是C 上一点，直线l ：)4(4 5>+-=m m x y 与曲线C 交于M 、N 两点。 （1）求双曲线C 的标准方程； （2）当m 的值变化时，求证：0=+AN AM k k
例5、已知椭圆C ：)0(122 22>>=+b a b y a x 过A （2，0），B （0，1）两点 （1）求椭圆C 的方程及离心率 （2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值。 （轨迹方程）例6、已知点P （2，2），圆C ：x 2+y 2—8y=0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点。 （1）求M 的轨迹方程； （2）当|OP|=|OM|时，求l 的方程及△POM 的面积。 例7、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个顶点为B （0，-1），离心率为 36 （1）求椭圆的方程； （2）设过点A （0， 2 3）的直线l 与椭圆交于M 、N 两点，且|BM |=|BN |，求直线l 的方程。
解析几何压轴大题四大策略 解析几何研究的问题是几何问题，研究的手法是代数法(坐标法)．因此，求解解析几何问题最大的思维难点是转化，即几何条件代数化．如何在解析几何问题中实现代数式的转化，找到常见问题的求解途径，是突破解析几何问题难点的关键所在．突破解析几何难题，先从找解题突破口入手． 策略一 利用向量转化几何条件 [典例] 如图所示，已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问：是否存在斜率为1的直线l ，使l 与圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． [解题观摩] 假设存在斜率为1的直线l ，使l 与圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过原点． 设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 联立? ???? y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0， 消去y 并整理得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， 所以x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝b 2＋4b －42.① 因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB ， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又y 1＝x 1＋b ，y 2＝x 2＋b ， 则x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋b )(x 2＋b )＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0. 由①知，b 2＋4b －4－b (b ＋1)＋b 2＝0， 即b 2＋3b －4＝0，解得b ＝－4或b ＝1. 当b ＝－4或b ＝1时， 均有Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)＝－4b 2－24b ＋36＞0， 即直线l 与圆C 有两个交点． 所以存在直线l ，其方程为x －y ＋1＝0或x －y －4＝0. [题后悟通] 以AB 为直径的圆过原点等价于OA ⊥OB ，而OA ⊥OB 又可以“直译”为x 1x 2＋y 1y 2＝0，可以看出，解此类解析几何问题的总体思路为“直译”，然后对个别难以“直译”的条件先进行“转化”，将“困难、难翻译”的条件通过平面几何知识“转化”为“简单、易翻译”的条件后再进行“直译”，最后联立“直译”的结果解决问题． [针对训练]
历届高考数学压轴题汇总及答案 一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分） 已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合 {}*|,n S x x b n N ==∈． （1）若120,3 a d π ==，求集合S ； （2）若12 a π = ，求d 使得集合S 恰好有两个元素； （3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的 值． 二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分) 已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34 a =-时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)对任意21[ ,)e x ∈+∞均有()2f x a ≤ 求a 的取值范围. 注： 2.71828e =为自然对数的底数.
设2 *012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=+++ +∈N .已知2 3242a a a =. （1）求n 的值； （2）设(1n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值. 四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。 (1)设{}n a 是首项为1，公比为1 2 的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由； (2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ； (3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在 2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围．
浙江高考历年真题之解析几何大题 1、（2005年）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，长轴12A A 的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若直线1l ：x ＝m (|m |＞1)，P 为1l 上的动点，使12F PF ∠ 最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)． 解析：(Ⅰ)设椭圆方程为()22 2210x y a b a b +=>>，半焦距为c ， 则2111,a MA a A F a c c =-=- ，()2 222 224 a a a c c a a b c ?-=-??? =??=+??? 由题意,得 2,3,1a b c ∴=== ，22 1.43 x y +=故椭圆方程为 (Ⅱ) 设()0,,||1P m y m >，当00y >时，120F PF ∠=； 当00y ≠时，22102 F PF PF M π <∠<∠<，∴只需求22tan F PF ∠的最大值即可设直线1PF 的斜率011y k m = +，直线2PF 的斜率0 21 y k m =-， 002122222212002||tan 1121||1 y k k F PF k k m y m y m -∴∠= =≤= +-+-?- 2 01||m y -=时，12F PF ∠最大，(2,1,||1Q m m m ∴±->
2、（2006年）如图，椭圆b y a x 2 22+＝1（a ＞b ＞0）与过点A （2，0）、B(0,1)的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的 离心率e= 2 3 。 (Ⅰ)求椭圆方程； (Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为线段AF 2的中点，求证：∠ATM=∠AF 1T 。 解析：（Ⅰ）过 A 、B 的直线方程为 12 x y += 因为由题意得??? ????+-==+1211 2222x y b y a x 有惟一解， 即0)4 1(22222 22 =-+-+ b a a x a x a b 有惟一解, 所以22 2 2 (44)0(0),a b a b ab ?=+-=≠故442 2 -+b a =0; 又因为e 3 c =即 22234 a b a -= ， 所以2 2 4a b = ;从而得22 1 2,,2 a b == 故所求的椭圆方程为22212x y += （Ⅱ）由（Ⅰ）得6c = , 所以 1266((F F ，从而M （1+4 6 ，0） 由 ?? ???+-==+1 211222 2x y y x ，解得 121,x x == 因此1(1,)2T = 因为126tan 1-= ∠T AF ，又21 tan =∠TAM ，6 2tan =∠2TMF ，得 12 6 6 1 121 62 tan -= + -= ∠ATM ，因此，T AF ATM 1∠=∠ 3、（2007年）如图，直线y kx b =+与椭圆2 214 x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．
1、 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,点(0,2)A 、若线段FA 的中点B 在抛物线上, 则B 到该抛物线准线的距离为_____________。(3分) 2 、已知m ＞1,直线2:02 m l x my -- =,椭圆2 22:1x C y m +=,1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点、 (Ⅰ)当直线l 过右焦点2F 时,求直线l 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点,12AF F V ,12BF F V 的重心分别为,G H 、若原点O 在以线段GH 为直径的圆内,求实数m 的取值范围、(6分) 3已知以原点O 为中心,) 5,0F 为右焦点的双曲线C 的离心率 5 e = （I ） 求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程; （II ） 如题(20)图,已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点 ()22,N x y (其中2x x ≠)的直线 222:44l x x y y +=的交点E 在双 曲线C 上,直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点,求OGH ?的面积。(8分) 4、如图,已知椭圆 22 22 1(0)x y a b a b +=＞＞2,以该椭圆上的点与椭圆的左、右 焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为4(21)、一等轴双曲线的顶点就是该椭圆的焦点,设P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线1PF 与2PF 与椭圆的交点分别为B A 、与 C D 、、
(Ⅰ)求椭圆与双曲线的标准方程;(Ⅱ)设直线1PF 、2 PF 的斜率分别为1k 、2k ,证明12· 1k k =;(Ⅲ)就是否存在常数λ,使得 ·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由、(7分) 5、在平面直角坐标系xoy 中,如图,已知椭圆15 92 2=+y x 的左、右顶点为A 、B,右焦点为F 。设过点T(m t ,)的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ,其中m>0,0,021<>y y 。 (1)设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹; (2)设3 1 ,221= =x x ,求点T 的坐标; (3)设9=t ,求证:直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)。(6分) 6.如图,设抛物线2 :x y C =的焦点为F,动点P 在直线02:=--y x l 上运动,过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB,且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点、 (1)求△APB 的重心G 的轨迹方程、 (2)证明∠PFA=∠PFB 、(6分) 7.设A 、B 就是椭圆λ=+2 2 3y x 上的两点,点N(1,3)就是线段AB 的中点,线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点、 (Ⅰ)确定λ的取值范围,并求直线AB 的方程; (Ⅱ)试判断就是否存在这样的λ,使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由、 (此题不要求在答题卡上画图)(6分) 8.如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,长轴A 1A 2的长为4,左准线l 与x
2019-2020 年高考数学压轴题集锦——导数及其应用（五） 46.已知函数f ( x)x2ax 4 （ aＲ）的两个零点为x1, x2 , 设 x1 x2. （Ⅰ）当 a0 时，证明：2x1 0． （Ⅱ）若函数g (x)x2| f ( x) |在区间 (, 2)和(2,) 上均单调递增，求 a 的取值范围. 47.设函数 f ( x)2 R ）．x ax ln x （a （Ⅰ）若 a 1时,求函数 f (x)的单调区间； （Ⅱ）设函数 f ( x) 在[1 , ] 有两个零点，求实数 a 的取值范围． e e 48.已知函数 f ( x) ln( ax b) x ，g (x)x2ax ln x ． （Ⅰ）若 b 1,F ( x) f ( x) g (x) ，问：是否存在这样的负实数 a ，使得 F ( x) 在x1处存在切线且该切线与直线y 1 x 1平行，若存在，求a的值；若不存在，请说明理 23 由． （Ⅱ）已知 a 0 ，若在定义域内恒有 f (x) ln( ax b) x 0 ，求 a(a b) 的最大值．
49.设函数 f ( x) x ln x b(x 1 )2(b R)，曲线y f x在1,0处的切线与直线 2 y3x 平行．证明： （Ⅰ）函数 f ( x) 在 [1,) 上单调递增； （Ⅱ）当 0 x 1 时， f x1. 50.已知 f（ x） =a（ x-ln x）+2 x 1 ， a∈ R. x 2（I ）讨论 f（ x）的单调性； （II ）当 a=1 时，证明f（ x）＞ f’（ x） + 3 对于任意的x∈ [1,2] 恒成立。 2 2 51.已知函数f（x） =x +ax﹣ lnx， a∈ R． （1）若函数f（x）在 [1， 2]上是减函数，求实数 a 的取值范围； （2）令 g（ x） =f（ x）﹣ x2，是否存在实数a，当 x∈（ 0， e] （ e 是自然常数）时，函数g （x）的最小值是 3，若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由； （3）当 x∈（ 0， e]时，证明： e2x2－5 x＞ (x+1)ln x．2
2015年10月18日姚杰的高中数学组卷 一．解答题（共10小题） 1．（2012?宣威市校级模拟）设点C为曲线（x＞0）上任一点，以点C为圆心的圆与x 轴交于点E、A，与y轴交于点E、B． （1）证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值； （2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|EM|=|EN|，求圆C的方程．2．（2010?江苏模拟）已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S． （Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域； （Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值． 3．（2013?越秀区校级模拟）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程． 4．（2013?柯城区校级三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．（Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为钝角时，有S△MON=48成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由． 5．（2009?福建）（1）已知矩阵M所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标． （2）已知直线l：3x+4y﹣12=0与圆C：（θ为参数）试判断他们的公共 点个数； （3）解不等式|2x﹣1|＜|x|+1． 6．（2009?东城区一模）如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A （﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C； （Ⅱ）当时，求直线l的方程； （Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理 由． 7．（2009?天河区校级模拟）已知圆C：（x+4）2+y2=4，圆D的圆心D在y 轴上且与圆C 外切，圆D与y 轴交于A、B两点，定点P的坐标为（﹣3，0）． （1）若点D（0，3），求∠APB的正切值； （2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值； （3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出Q点坐标；如果不存在，说明理由． 8．（2007?海南）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2﹣12x+32=0的圆心为Q，过点P （0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．
解析几何解答题 2 2 x y 1、椭圆G：1(a b 0) 2 2 a b 的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知 F1、F2、B1、B2 四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为 5 2. （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k（k≠0）的直线m 与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q 为EF的中点，问E、F 两点能否关于 过点P（0， 3 3 ）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． 2、已知双曲线 2 2 1 x y 的左、右顶点分别为A1、A2 ，动直线l : y kx m 与圆 2 2 1 x y 相切，且与双曲 线左、右两支的交点分别为P1 (x1, y1 ), P2 ( x2 , y2) . （Ⅰ）求 k 的取值范围，并求x2 x1 的最小值； （Ⅱ）记直线P1A1 的斜率为k1 ，直线P2A2 的斜率为k2 ，那么，k1 k2 是定值吗？证明你的结论.
3、已知抛物线 2 C : y ax 的焦点为F，点K ( 1,0) 为直线l 与抛物线 C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A、 B两点，点 A 关于x 轴的对称点为 D ．（1）求抛物线C 的方程。 （2）证明：点F 在直线BD 上； u u u r uu u r 8 （3）设 FA ?FB ，求BDK 的面积。．9 4、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为中点 T 在直线OP 上，且A、O、B 三点不共线． (I) 求椭圆的方程及直线AB的斜率； ( Ⅱ) 求PAB面积的最大值．1 2 ，点 P（2，3）、A、B在该椭圆上，线段AB 的
高考数学压轴大题-解析几何 1. 设双曲线C ：1:)0(1222 =+>=-y x l a y a x 与直线相交于两个不同的点A 、B. （I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围： （II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.12 5 PB PA =求a 的值. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组 ?? ???=+=-.1, 12 22y x y a x 有两个不同的实数解.消去y 并整理得 （1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ① .120.0)1(84.012 24 2 ≠<-+≠-a a a a a a 且解得所以 双曲线的离心率 ).,2()2,2 6 ( 2 2 6 ,120.11122 +∞≠>∴≠<<+= += 的取值范围为即离心率且且e e e a a a a a e （II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A . 12 5 ).1,(125 )1,(, 12 5 212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得 由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0， 13 17 ,060289 12,,.12125.1212172222 2 222 2 2= >= ----=--=a a a a x a a x a a x 所以由得消去所以 2. 已知)0,1(,)0,1(21F F -为椭圆C 的两焦点，P 为C 上任意一点，且向量21PF PF 与向量的
夹角余弦的最小值为3 1 . (Ⅰ)求椭圆C 的方程； (Ⅱ)过1F 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，求OMN ?（O 为原点）的面积的最大值及 相应的直线l 的方程. 解：(Ⅰ)设椭圆的长轴为2a , ∴a PF PF 221=+ 2221==c F F 2 12 22 124cos PF PF PF PF ?-+= θ = 2 12122124 2)(PF PF PF PF PF PF ?-?-+ =1244212-?-PF PF a 又 21212PF PF PF PF ?≥+ ∴2 21a PF PF ≤? 即31211244cos 2 22=-=--≥a a a θ ∴32 =a ∴椭圆方程为12 32 2=+ y x (Ⅱ) 由题意可知NM 不可能过原点,则可设直线NM 的方程为:my x =+1 设),(11y x M ),(22y x N ()1111212 OMN F OM F ON S S S OF y y ???=+=+=2121 y y - 22 1,32 1.x y x my ?+ =???=-? 063)1(222=-+-y my 即 044)32(22=--+my y m . 由韦达定理得: 324221+=+m m y y 324 22 1+-=?m y y ∴212212 214)(y y y y y y -+=- = 3216)32(162222+++m m m =2 22) 32() 1(48++m m 令12+=m t , 则1≥t ∴2 21y y -=4 1448)12(482++= +t t t t . 又令t t t f 1 4)(+=, 易知)(t f 在[1,+∞）上是增函数,