高等数学（上）第二章练习题
一. 填空题
1． 设()f x 在0x x =处可导，且00x >
，则0
lim
x x →=
2． 设()f x 在x 处可导，则220()(2)
lim
2h f x h f x h h
→+--=______________ 3． 设0
()10
x
ax
x f x e x
-≥?在0x =处可导，则常数a =______
4． 已知sin ()x
f x x
'=
= 5． 曲线ln x x
y x
+=
上横坐标为1x =的点的切线方程是 6． 设sin x
y x x = ，则y '=
7． 设2x
y e
-=，则00.1
x x dy =?==
8． 若()f x 为可导的偶函数，且0()5f x '=，则0()f x '-=
二. 单项选择题
9． 函数()f x 在0x x =处可微是()f x 在0x x =处连续的【 】
A ．必要非充分条件
B ． 充分非必要条件
C ．充分必要条件
D ． 无关条件
10. 设2
()()
lim
()
x a
f x f a l x a →-=-，其中l 为有限值，则在()f x 在x a =处【 】 A ．可导且()0f a '= B ．可导且()0f a '≠ C ．不一定可导 D ．一定不可导
11．若2()max(2,)f x x x =，(0,4)x ∈，且()f a '不存在，(0,4)a ∈，则必有【 】
A ．1a = B.2a = C ．3a = D ． 12
a =
12
．函数()f x x =在0x =处【 】
A ．不连续
B ．连续但不可导
C ．可导且导数为零
D ．可导但导数不为零
13．设2
2
21
()31x x f x x x ?≤?=?
?>?
，则()f x 在1x =处【 】 A ．左、右导数都存在 B ． 左导数存在但右导数
不存在
C ．右导数存在但左导数不存在
D ． 左、右导数都不存在 14．设32()3||f x x x x =+，使()(0)n f 存在的最高阶数n 为【 】
A ．0 B. 1 C ．2 D ． 3 15．设()f u 可导，而()()x f x y f e e =，则y '=【 】 A ．()[()()()]f x x x x e f x f e e f e ''+
B ． ()[()()()]f x x x e f x f e f e ''+
C ．()()()()f x x f x x e f e e f e ''+
D ． ()()()()x f x x f x x e e f e e f e ''+
16．函数23()(2)||f x x x x x =+--不可导点的个数是【 】 A ．3 B. 2 C ．1 D ． 0
17．设()f x 可导，()()(1|sin |)F x f x x =+，要使()F x 在0x =处可导，则必有【 】
A ．(0)0f =
B ．(0)0f '=
C ．(0)(0)0f f '+=
D ．(0)(0)0f f '-= 18．已知直线y x =与log a y x =相切，则a =【 】
A ．e
B ． 1e -
C ．1
e e - D ．e e
19．已知()(1)(2)(100)f x x x x x =---，且()2(98)!f a '=?，则a =【 】 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
20．已知01
()3
f x '=，则当0x ?→时，在0x x =处dy 是【 】
A ．比x ?高阶的无穷小
B ．比x ?低阶的无穷小
C ．与x ?等价的无穷小
D ．与x ?同阶但非等价的无穷小
21．质点作曲线运动，其位置与时间t 的关系为22x t t =+-，2321y t t =--，
则当1t =时，质点的速度大小等于【 】 A ．3 B ．4 C ．7 D ．5 三. 解答下列各题
22．设()()()f x x a x ?=-，()x ?在x a =连续，求()f a ' 23．2
sin (12)x y e -= ，求dy
24．2arcsin 2
x
y =
，求y '' 25．若()f u 二阶可导，3
()y f x =，求22d y
dx
26．设1
11x
y x ??=+ ??
?
，求(1)y '
27．若2ln(1)arctan x t y t t
?=+?=-? ，求dy
dx 与22d y dx
28．2(1)x y x e -=-，求(24)y
29．arctan y x =，求()(0)n y
30．已知23220
()011
x x x f x ax bx cx d
x x x x ?+≤?
=+++<
_在(,)-∞+∞内连续且可导， 求a ，b ，c ，d 的值
31．求曲线23xy e x y --=上纵坐标为0y =的点处的切线方程
32．求曲线(1)0
10y x t t te y +-=??++=?
上对应0t =处的法线方程
33．过原点O 向抛物线21y x =+作切线，求切线方程
34．顶角为60底圆半径为a 的圆锥形漏斗盛满了水，下接底圆半径为
b （b a <）
的圆柱形水桶，当漏斗水面下降的速度与水桶中水面上升的速度相等时，漏斗
中水面的高度是多少
35．已知()f x 是周期为5的连续函数，它在0x =的某个邻域内满足关系式
(1sin )3(1sin )8()f x f x x x α+--=+，其中，()x α是当0x →时比x 高阶的无
穷小，
且()f x 在1x =处可导，求曲线()y f x =在点(6,(6))f 处的切线方程
习题答案及提示
一． 1．0()x ' 2. 3()()f x f x ' 3. 1 4.
5. y x =
6．[(1ln )sin cos ]x x x x x ++ 7. 0.2- 8. 5-
二. 9. B 10. A 11. B 12. C 13. B 14. C 15. A
16. B 17. A 18. C 19. C 20. D 21. D 三. 22. 提示：用导数定义 ()()f a a ?'= 23. 2
sin (12)2sin(24)x dy e x dx -=--
24.
y ''= 25.
2343
2
6()9()d y x f x x f x dx
'=+ 26. (1)12ln 2y '=- 27. 2
dy t
dx
= ，
212
1
()4
d y t t dx -=+ 28. (24)2[48551]x y
e x x -=-+
29． 由2
1
()1y x x '=
+ 222(1)x y x ''=-+
由2(1)()1x y x '+= 两边求n 阶导数，_
利用莱布尼兹公式，代入0x =，得递推公式，
(1)(1)(0)(1)(0)n n y n n y +-=-+__利用(0)1y '=和(0)0y ''=
()
(1)(2)!21
(0)022k n k n k y n k ?-=+=?
=+?
0,1,2,
k
=
30. 提示：讨论分段点0x =与1x =处连续性与可导性 2a =， 3b =-， 1c = ， 0d =
31. 10x y ++= 32. 10ex y ++=
2y x =±
35. 提示：关系式两边取0x →的极限，得(1)0f =
0(1sin )3(1sin )8()sin lim
lim 8sin sin x x f x f x x x x x x
x x α→→+--??
=+=???? 而
000(1sin )3(1sin )(1)3(1)lim
lim
sin (1)(1)
(1)(1)lim 34(1)x t t f x f x f t f t x t f t f f t f f t t →→→+--+--=+---??'=+=??-??
得(1)2f '=，由周期性(6)(1)0f f ==
6
()(6)
(6)lim
6x f x f f x →-'=- 令5x t -= 由周期性得
1
()(1)
lim
21
t f t f t →-==-
切线方程2(6)y x =-