湖北省武汉市部分重点中学2020-2021学年高二数学上学期12月联
考试题
考试时间：2020年12月25日下午14：30—16：30 试卷满分：150分
一、单项选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的．
1．抛物线2
2y x =的焦点坐标是（ ）
A ．10,8?? ???
B ．10,2?? ???
C ．1,08?? ???
D ．1,02?? ???
2．设,a b ∈R ，下列四个条件中，使a b <成立的必要不充分条件是（ ）
A ．1a b <+
B ．1a b <-
C ．22a b <
D ．33a b <
3. 若函数()2
x
f x x ke =-在(0,)+∞上单调递减，则k 的取值范围为（ ）
A ．8,e ??+∞????
B ．4,e ??+∞????
C ．2,e ??+∞????
D ．1,e ??
+∞??
??
4. 已知椭圆E ：x 2a 2＋
y 2
b 2
＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点。
若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为( )
A ．x 245＋y 236＝1
B ．x 236＋y 227＝1
C ．x 227＋y 218＝1
D ．x 218＋y 2
9
＝1
5．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11AB BC ，的中点，则异面直线
EF 与1C D 所成的角为（ ）
A ．30
B ．45?
C ．60?
D ．90?
6. 已知抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线E ：22
22-=1x y
a b
(a ＞0，b ＞0)的渐近线的距离不大于
3E 的离心率的取值范围是( )
A ．(1，2 ]
B ．(1,2]
C ．[2，＋∞)
D ．[2，＋∞)
7. 如图，在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别 是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论不成立的是( ) A ．BC ∥平面PDF B ．DF ⊥平面PAE
C ．平面PDF ⊥平面PAE
D ．平面PD
E ⊥平面ABC
8. 设函数f ′(x )是奇函数 f (x ) (x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，x f ′(x )－f (x )<0， 则使得f (x ) > 0成立的x 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)∪(0,1)
B ．(－1,0)∪(1，＋∞)
C ．(－∞，－1)∪(－1,0)
D ．(0,1)∪(1，＋∞)
二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的是( )
A ．“函数()f x 在(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在(),a b 内单调递增”的充要条件
B ．已知()f x 在0x 处存在导数，则“()00f x '=”是“0x 是函数()f x 的极值点”的必要不充分条件
C ．若命题0:12p x x <∈-?R ，，则命题P 的否定是：102
x x ?∈≥-R ，，
D ．命题“?x ∈R ，?n ∈N *，使得n ≥2x ＋1”的否定形式是“?x ∈R ，?n ∈N *，使得
n <2x ＋1”
10. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ） A.
B ．1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点
C ．1AA 与平面ABC
D 所成角大于45o D ． 1BD 与AC 所成角的余弦值为6
11. 已知函数f (x )＝
x 2＋x －1
e x
，则下列结论正确的是( )
A ．函数f (x )存在两个不同的零点
B ．函数f (x )既存在极大值又存在极小值
C ．当－e D ．若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝5 e 2，则t 的最小值为2 12. 关于圆锥曲线，有如下命题，其中错误的命题有（ ） A ．若a >b >0，则直线x b ＋y a ＝1与椭圆x 2a 2＋ y 2b 2 ＝1 相交或相切； B ．过圆锥曲线焦点的直线一定与该圆锥曲线相交； C ．曲线C ： () () 2 2 22113x y x y ++? -+=的图像关于原点对称 D ．椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>中，A,B,C,D,是椭圆上不重合四点，若直线AB ， CD 交于椭圆内一点M ，则必有MA MB MC MD = . 三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分 13. 已知命题：“?x ∈{x |1≤x ≤2}，使x 2＋2x ＋a ≥0”为真命题，则实数a 的取值范围是________． 14．过点(－1，1)的直线l 与曲线f(x)＝x 3－x 2－2x ＋1相切，且(－1，1)不是切点，则直线l 的斜率=____________ 15．如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为AD 的中点， F 为PC 上一点，当PA ∥平面EBF 时，PF FC ＝_____________ 16. 已知曲线C ：y 2＝2px(p>0)．O 为原点，A ，B 是C 上两个不同点， 且OA ⊥OB ，则直线AB 过定点_________． 四、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知,,OA OB OC 两两垂直, 3,2OA OC OB ===,M 为OB 的中点，点N 在AC 上， 2AN NC =. （1）求MN 的长； （2）若点P 在线段BC 上，设BP PC λ=,当AP MN ⊥时，求实数λ的值． 18. 已知函数f (x )＝ x －1x －ln x . (1)求f (x )的单调区间； (2)求函数f (x )在???? ?? 1e ，e 上的最大值和最小值(其中e 是自然对数的底数). 19. 法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆()22 2210x y a b a b +=>>相切的两条垂直切线的 交点轨迹为一个圆，该圆的方程为2 2 2 2 x y a b +=+，这个圆被称为蒙日圆，已知抛物线 24x y =的焦点是椭圆C 的一个短轴端点，且椭圆C 的离心率为 6 . （1）求椭圆C 的标准方程和它的“蒙日圆”E 的方程； （2）若斜率为1的直线l 与“蒙日圆”E 相交于A,B 两点，且与椭圆C 相切，O 为坐标原点，求OAB 的面积. 20. 已知函数f (x )＝1 3 x 3＋x 2＋ax 。 (1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上单调递增，求实数a 的最小值； (2)若函数g (x )＝x e x ，对?x 1∈??????12，2，?x 2∈???? ?? 12，2，使f ′(x 1)≤g (x 2)成立，求实数a 的 取值范围。 21. 将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，AE ⊥平面 ABD ，且AE =2． （1）求证：DE ⊥AC ； （2）求DE 与平面BEC 所成角的正弦值； （3）直线BE 上是否存在一点M ，使得CM ∥平面ADE ， 若存在，求点M 的位置，不存在请说明理由． 22. 已知椭圆C 1：x 2a 2＋ y 2 b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的左右顶点是双曲线C 2：x 2 3 －y 2＝1的顶点，且椭圆 C 1的上顶点到双曲线C 2的渐近线的距离为3 2. (1)求椭圆C 1的方程； (2)若直线l 与C 1交于M 1，M 2两点，与C 2交于Q 1，Q 2两点，且OQ 1→·OQ 2→ ＝－5，求|| M 1M 2的取值范围． 高二12月联考数学试卷参考答案 选择题： 填空题: 13.a ≥－8 14．－1 15． 1 2 16. (2p ，0) 8. 解析 当x ≠0时，构造函数g (x )＝ f （x ）x ， 则当x >0时，g ′(x )＝ xf ′（x ）－f （x ） x 2 <0，故函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减。 又因为f (x )为奇函数，所以g (x )＝ f （x ） x 为偶函数，所以g (x )在(－∞，0)上单调递增。 又因为f (－1)＝0，所以g (1)＝g (－1)＝0， 故当0 5 2 ，所以A 正确； f ′(x )＝－ x 2－x －2 e x ＝－（x ＋1）（x －2） e x ，当f ′(x )>0时，－1 或x >2， 所以(－∞，－1)，(2，＋∞)是函数的单调递减区间，(－1,2)是函数的单调递增区间， 所以f (－1)是函数的极小值，f (2)是函数的极大值，所以B 正确； 当x →＋∞时，y →0，根据B 可知，函数的最小值是f (－1)＝－e ， 再根据单调性可知，当－e
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