北京市朝阳区2015高三二模数学(文)试题及答案(扫描版)

2015年北京市朝阳区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集U＝{a, b, c, d}，集合A＝{a, b}，B＝{b, c}，则∁U(A∪B)等于（）A {b}B {d}C {a, c, d}D {a, b, c}2. 命题p:∀x∈R，都有sinx≤1，则（）A ￢p:∃x0∈R，使得sinx0≥1B ￢p:∃x0∈R，使得sinx0>1C ￢p:∀x0∈R，使得sinx0≥1D ￢p:∀x0∈R，使得sinx0>13. 若抛物线y2=2px，p>0的焦点与双曲线x2−y2=2的右焦点重合，则p的值为()A √2B 2C 4D 2√24. 如图所示的程序框图表示的算法功能是（）A 计算S＝1×2×3×4×5×6的值B 计算S＝1×2×3×4×5的值C 计算S＝1×2×3×4的值 D 计算S＝1×3×5×7的值5. 已知x1=log132，x2=2−12，x3满足(13)x3=log3x3，则（）A x1<x3<x2B x1<x2<x3C x2<x1<x3D x3<x1<x26. 函数f(x)＝2sin(x−π6)cos(x−π6)图象的一条对称轴方程是（）A x=π6 B x=π3C x=5π12D x=2π37. 已知实数x，y满足{2x+y≥02x−y≤00≤y≤t其中t>0．若z＝3x+y的最大值为5，则z的最小值为（）A 52B 1C 0D −18. 已知边长为3的正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直，M为线段CD上的动点（不含端点），过M作MH // DE交CE于H，作MG // AD交BD于G，连结GH．设CM＝x(0< x<3)，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C−GHM的体积y与变量x变化关系的是（）A B C D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9. 若i 为虚数单位，则1+i 1−i =________．10. 若向量a ，b 满足|a →|＝|b →|＝1，a →,b →的夹角为60∘，则a →⋅a →+a →⋅b →=________．11. 圆C ：(x −2)2+(y −2)2＝8与y 轴相交于A ，B 两点，则弦AB 所对的圆心角的大小为________．12. 一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是________，四棱锥侧面中最大侧面的面积是________． 13. 稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额＝（每次收入额−800）×20%×(1−30%)（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额＝每次收入额×(1−20%)×20%×(1−30%)． 已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费（扣税前）为________元．14. 记x 2−x 1为区间[x 1, x 2]的长度．已知函数y ＝2|x|，x ∈[−2, a](a ≥0)，其值域为[m, n]，则区间[m, n]的长度的最小值是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15. 在△ABC 中，A =π3，cosB =√63，BC ＝6． (Ⅰ)求AC 的长；(Ⅱ)求△ABC 的面积．16. 某次考试结束后，为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况，随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩，得茎叶图如图所示（部分数据不清晰）：(Ⅰ)请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水平较高（直接写出结果）；(Ⅱ)若在抽到的这20名学生中，分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，求抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．17. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点．(Ⅰ)求证：BD⊥平面ACC1A1；(Ⅱ)求证：直线AB1 // 平面BC1D；(Ⅲ)设M为线段BC1上任意一点，在△BC1D内的平面区域（包括边界）是否存在点E，使CE⊥DM，并说明理由．18. 设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝4，a n+1＝S n，n∈N∗．(Ⅰ)写出a2，a3，a4的值；(Ⅱ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅲ)已知等差数列{b n}中，有b2＝a2，b3＝a3，求数列{a n⋅b n}的前n项和T n．19. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(−2, 0)，F2(2, 0)，离心率为√63．过焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．20. 已知函数f(x)＝(x+ax)e x，a∈R．(Ⅰ)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；(Ⅱ)当a＝−1时，求证：f(x)在(0, +∞)上为增函数；(Ⅲ)若f(x)在区间(0, 1)上有且只有一个极值点，求a的取值范围．2015年北京市朝阳区高考数学一模试卷（文科）答案1. B2. B3. C4. B5. B6. C7. D8. A9. i10. 32 11. 90∘12. √36,√7413. 由题意，设这个人应得稿费（扣税前）为x 元，则280＝(x −800)×20%×(1−30%) 所以x ＝2800，280014. 315. （1）∵ cosB =√63，B ∈(0, π)，又sin 2B +cos 2B ＝1，解得sinB =√33． 由正弦定理得：AC sinB =BC sinA ，即√33=√32，∴ AC ＝4；（2）在△ABC 中，sinC ＝sin(B +60∘)＝sinBcos60∘+cosBsin60∘=12sinB +√32cosB =12×√33+√32×√63=√3+3√26． ∴ S △ABC =12AC ⋅BCsinC =12×4×6×√3+3√26=2√3+6√2．16. （1）从茎叶图可以看出，乙校10名学生的考试的数学成绩平均分高于甲校10名学生的考试的数学成绩，故乙学校的数学成绩平均水平较高（2）设事件M 为分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩，由茎叶图可以看出，甲校数学成绩不低于90分的有2人，记为a 、b ，甲校数学成绩不低于90分的有5人，记为A 、B 、C ，D ，E ，其中a ＝92，b ＝93，A ＝90，B ＝91，B ＝95，D ＝96，E ＝98，分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生其情况有(aA)、(aB)、(aC)、(aD)、(aE)、(bA)、(bB)、(bC)、(bD)、(bE)，共10种情况；甲校学生成绩高于乙校学生成绩共有(aA)、(aB)、(bA)、(bB)四种可能， 故P(M)=410=25 17. （1）证明：∵ 三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，各个侧面均是边长为2的正方形，∴ CC 1⊥BC ，CC 1⊥AC ，∴ CC 1⊥底面ABC ，∵ BD ⊂底面ABC ，∴ CC 1⊥BD ，又底面为等边三角形，D 为线段AC 的中点．∴ BD ⊥AC ，又AC ∩CC 1＝C ，∴ BD ⊥平面ACC 1A 1；（2）证明：连接B 1C 交BC 1于O ，连接OD ，如图则O 为B 1C 的中点，∵ D 是AC 的中点，∴ AB 1 // OD ，又OD ⊂平面BC 1D ，OD ⊄平面BC 1D∴ 直线AB 1 // 平面BC 1D ；(Ⅲ)在△BC 1D 内的平面区域（包括边界）存在点E ，使CE ⊥DM ，此时E 在线段C 1D 上； 证明如下：过C 作CE ⊥C 1D 交线段C 1D 与E ，由(Ⅰ)可知BD ⊥平面ACC 1A 1，而CE ⊂平面ACC 1A 1，所以BD ⊥CE ，由CE ⊥C 1D ，BD ∩C 1D ＝D ，所以CE ⊥平面BC 1D ，DM ⊂平面BC 1D ，所以CE ⊥DM ．18. （1）∵ a 1＝4，a n+1＝S n ，∴ a 2＝S 1＝a 1＝4，a 3＝S 2＝a 1+a 2＝4+4＝8，a 4＝S 3＝a 1+a 2+a 3＝4+4+8＝16；（2）由a n+1＝S n ，得a n ＝S n−1(n ≥2)，两式作差得：a n+1−a n ＝a n ，即a n+1＝2a n (n ≥2)，∴ 数列{a n }从第二项起为公比是2的等比数列，当n ≥2时，a n =4⋅2n−2=2n ．∴ a n ={4,n =12n ,n ≥2； (Ⅲ)依题意，b 2＝a 2＝4，b 3＝a 3＝8，则{b 1+d =4b 1+2d =8 ，得{b 1=0d =4， ∴ b n ＝4(n −1)．∴ a n ⋅b n ={0,n =1(n −1)⋅2n+2,n ≥2， 则a n ⋅b n =(n −1)⋅2n+2(n ∈N ∗)，T n ＝a 1b 1+a 2b 2+...+a n−1b n−1+a n b n＝0+1×24+2×25+3×26+...+(n −2)×2n+1+(n −1)×2n+2， 2T n =1×25+2×26+3×27+⋯+(n −2)×2n+2+(n −1)×2n+3， 两式作差得：−T n =24+25+⋯+2n+2−(n −1)×2n+3=24(1−2n+1)1−2−(n −1)×2n+3=−16−(n −2)×2n+3．∴ T n =16+(n −2)×2n+3．19. （I ）由已知可得：{c =2c a =√63a 2=b 2+c 2 ，解得a 2＝6，b 2＝2，∴ 椭圆C 的方程为x 26+y 22=1；(II)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y ＝k(x −2)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，M(x 3, y 3)，N(−x 3, −y 3)．联立{x 26+y 22=1y =k(x −2)，化为(1+3k 2)x 2−12k 2x +12k 2−6＝0， ∴ x 1+x 2=12k 21+3k 2，y 1+y 2＝k(x 1+x 2−4)=−4k 1+3k 2， ∴ 线段AB 的中点D(6k 21+3k 2,−2k 1+3k 2)，∴ 直线OD 的方程为：x +3ky ＝0(k ≠0)．联立{x +3ky =0x 2+3y 2=6，解得y 32=21+3k 2，x 3＝−3ky 3． ∵ 四边形MF 1NF 2为矩形，∴ F 2M →⋅F 2N →=0，∴ (x 3−2, y 3)⋅(−x 3−2, −y 3)＝0，∴ 4−x 32−y 32=0，∴ 4−2(9k 2+1)1+3k 2=0，解得k =±√33， 故直线方程为y =±√33(x −2)． 20. 函数f(x)＝(x +a x )e x 的定义域为{x|x ≠0}，f′(x)=x 3+x 2+ax−ax 2e x ；（1）当a ＝0时，f(x)＝xe x ，f′(x)＝(x +1)e x ，所以f(1)＝e ，f′(1)＝2e ；所以曲线y ＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程是y −e ＝2e(x −1)， 即2ex −y −e ＝0；（2）证明：当a ＝−1时，f′(x)=x 3+x 2−x+1x 2e x ，设g(x)＝x 3+x 2−x +1，则g′(x)＝3x 2+2x −1＝(3x −1)(x +1)， 故g(x)在(0, 13)上是减函数，在(13, +∞)上是增函数，所以g(x)≥g(13)=2227>0，所以当x ∈(0, +∞)时，f′(x)=x 3+x 2−x+1x 2e x >0恒成立，所以f(x)在(0, +∞)上为增函数．(Ⅲ)f′(x)=x 3+x 2+ax−ax 2e x ；设ℎ(x)＝x3+x2+ax−a，ℎ′(x)＝3x2+2x+a，（1）当a>0时，ℎ′(x)>0恒成立，故ℎ(x)在(0, +∞)上为增函数；而ℎ(0)＝−a<0，ℎ(1)＝2>0，故函数ℎ(x)在(0, 1)上有且只有一个零点，故这个零点为函数f(x)在区间(0, 1)上的唯一的极小值点；（2）当a＝0时，x∈(0, 1)时，ℎ′(x)＝3x2+2x>0，故ℎ(x)在(0, 1)上为增函数；又ℎ(0)＝0，故f(x)在(0, 1)上为增函数；故函数f(x)在区间(0, 1)上没有极值；（3）当a<0时，ℎ(x)＝x3+x2+a(x−1)，当x∈(0, 1)时，总有ℎ(x)>0成立，即f(x)在(0, 1)上为增函数；故函数f(x)在区间(0, 1)上没有极值；综上所述，a>0．。

2015年高三二模汇编——集合命题不等式一、填空题1.（2015年崇明理1文1）若集合{}{}22,30M x x N x x x ==-=≤，则M N =∩ ．【答案】{}02.（2105年虹口理4）已知正实数,x y 满足31x y +=，则13x x y +的最小值为___________. 【答案】73.（2105年虹口文4）已知正实数,x y 满足31,x y +=则xy 的最大值为___________. 【答案】1124.（2105年黄埔理3）已知集合{}{}2|160,R ,|3,R A x x x B x x a x =-≤∈=-≤∈，若B A ⊆，则正实数a 的取值范围是 ． 【答案】(0,1]5.（2105年静安14文14）已知：当0x >时，不等式11kx b x≥++恒成立，当且仅当13x =时取等号，则k = ． 【答案】916-6.（2105年浦东理1文1）不等式32x >的解为 ．【答案】3log 2x >7.（2105年浦东理8文8）若对任意R x ∈，不等式0sin 22sin 2<-+m x x 恒成立，则m 的取值范围是 ． 【答案】),21(+∞+8.（2105年普陀理1）不等式01>-x x的解集为 ． 【答案】(0,1)9.（2105年普陀理4文3）集合{{}2,4,====∈A x y B x y x x R ，则=I A B ．【答案】[0,1]10.（2105年徐汇理1文1）已知集合1=1,22A ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，集合{}2=|,B y y x x A =∈，则A B =I ． 【答案】{}111.（2105年徐汇理6文6）设函数)12(log )(2+=x x f ，则不等式)(2x f 12(log 5)f -≤的解为 ．【答案】0x ≤12.（2105年杨浦理2文2）若集合()(){}22,1,,,2x A x y y B x y x Z y Z ⎧⎫⎪⎪=+<=∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A B I 的元素个数为 .【答案】313.（2105年杨浦理3）若42321xx =，则x 的值是 . 【答案】2log 3214.（2105年杨浦文3）若02312=x x ，则x 的值是 .【答案】3log 4 15.（2105年杨浦理6）对数不等式()()331log log 0x a x +->的解集是1,93⎛⎫ ⎪⎝⎭，则实数a 的值为 . 【答案】216.（2105年杨浦文6）对数不等式()()0log 2log 133>-+x x 的解集是 . 【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛9,3117.（2105年长宁理1文1）已知集合},2||{R ∈≤=x x x A ，},01{2R ∈≥-=x x x B ，则=B A I ________． 【答案】12{-≤≤-x x 或}21≤≤x18.（2105年长宁理4文4）已知函数，若0>a ，0>b 且，则的取值范围是_______． 【答案】⎥⎦⎤ ⎝⎛41,二、选择题1.（2105年虹口理15文15）设全集R U =，已知2302x A x x ⎧+⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}12B x x =-<，则()U A B =I ð（ ） A. 3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭ B. (]1,2- C. (]2,3 D. [)2,3 【答案】B2.（2105年黄埔理16）设实数1212,,,a a b b 均不为0，则“1122=a b a b 成立”是“关于x 的不等式110a x b +>与220a x b +>的解集相同”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件【答案】B3.（2105年闵行理15文15）如果0a b <<，那么下列不等式成立的是 ( ) (A) 2a ab <. (B) 2ab b -<-. (C)11a b <. (D) b a a b>. 【答案】B 4.（2105年浦东理15文15）已知,a b 都是实数，那么“0a b <<”是“11a b >”的（ ） )(A 充分不必要条件)(B 必要不充分条件 )(C 充分必要条件)(D 既不充分也不必要条件【答案】A 5.（2105年徐汇理15文16）下列不等式中，与不等式302x x -≥-同解的是（ ） （A ）()()320x x --≥ （B ）()()320x x -->x x g 2)(=2)()(=b g a g ab（C）23xx-≥-（D）32xx-≥-【答案】D。

北京市朝阳区2017届高三数学二模试题 文（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知i 为虚数单位，则复数z =(1i)i +对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（2）已知x y >，则下列不等式一定成立的是 （A ）11x y< （B ）2log ()0x y -> （C ）33x y <（D ） 11()()22xy<（3）执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是（A ）15 （B ）29 （C ） 31 （D ） 63（4）“0,0x y >>”是“2y xx y+≥”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）将函数()cos 2f x x =图象上所有点向右平移π4个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间[0,]a 上单调递增，则实数a 的最大值为（A ）π8 （B ）π4 （C ）π2 （D ）3π4（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为（A（B） （C ）3 （D）（7）已知过定点(20)P ，的直线l与曲线y =Α，Β两点，Ο为坐标原点，当ΑΟΒ∆的面积最大时，直线l 的倾斜角为（A ）150 （B ）135 （C ）120 （D ）30（8）“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动.已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”．规定每一项运动的前三名得分都分别为a ，b ，c （a b c >>且,,a b c *∈N ），选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的马术比赛获得了第一名，则游泳比赛的第三名是(A)甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）乙和丙都有可能第二部分（非选择题 共110分）俯视图 正视图侧视图二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （9）已知集合{}121x A x -=>，{}()0B x x x =-2<，则AB = ．（10）在平面直角坐标系中，已知点()1,0A -,()1,2B ,()3,1C -，点(),P x y 为ABC ∆边界及内部的任意一点，则x y +的最大值为 ．（11）已知平面向量,a b 满足()(2)4+⋅-=-a b a b ，且2=a ，4=b ，则a 与b 的夹角等于 .（12）设函数31,0,(),0,x x f x x a x ⎧+>=⎨+≤⎩则(1)f = ；若()f x 在其定义域内为单调递增函数，则实数a 的取值范围是 ．（13）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F .设这两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则点P 的横坐标是 ；该双曲线的渐近线方程为 ．（14）设P 为曲线1C 上动点，Q 为曲线2C 上动点，则称PQ 的最小值为曲线1C ,2C 之间的距离，记作12(,)d C C ．若221:2C x y +=，222:(3)(3)2C x y -+-=，则12(,)d C C = _____；若3:e 20xC y -=，4:ln ln 2C x y +=，则34(,)d C C =_______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c >>2sin =0b C -．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若b =1c =，求a 和△ABC 的面积．（16）（本小题满分13分）已知数列{}n a 是首项113a =，公比13q =的等比数列．设132log 1n n b a =- *()n ∈N ．（Ⅰ）求证：数列{}n b 为等差数列；（Ⅱ）设2n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．（17）（本小题满分13分）某中学随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中数据，完成下列问题．（Ⅰ）求a 的值及样本中男生身高在[185,195]（单位:cm ）的人数；（Ⅱ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高；（Ⅲ）在样本中，从身高在[145,155)和[185,195]（单位:cm ）内的男生中任选两人，求这两人的身高都不低于185 cm 的概率．（18）（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，90ACB ∠=︒，1AC BC ==，12AA =，D 是棱1AA 的中点．a 身高(cm)（Ⅰ）求证：11B C 平面BCD ；（Ⅱ）求三棱锥1B C CD -的体积；（Ⅲ）在线段BD 上是否存在点Q ，使得1CQ BC ⊥？请说明理由．（19）（本小题满分14分）已知椭圆W ：22214x y b+=(0)b >的一个焦点坐标为0). （Ⅰ）求椭圆W 的方程和离心率；（Ⅱ）若椭圆W 与y 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的上方），M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段MN 的中点，直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点．求OEG ∠的大小．（20）（本小题满分13分）已知函数()ln f x x x =，2()2a g x x x a =+-()a ∈R ． （Ⅰ）若直线x m =()0m >与曲线()y f x =和()y g x =分别交于,M N 两点.设曲线()y f x =在点M 处的切线为1l ，()y g x =在点N 处的切线为2l .（ⅰ）当e m =时，若1l ⊥2l ，求a 的值；ABC A 1B 1C 1D（ⅱ）若12l l ，求a 的最大值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-在其定义域内恰有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <．若0λ>，且21ln 1ln x x λλ->-恒成立，求λ的取值范围．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学学科测试（文史类） 2017.5一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）解：2sin =0b C -，2sin sin 0C B C -=.因为0πC <<，所以sin 0C ≠，所以sin B =. 因为0πB <<，且a b c >>，所以π3B =． …………6分（Ⅱ）因为b =1c =，所以由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2211212a a =+-⨯⨯，即220a a --=. 解得2a =或1a =-（舍）.所以2a =.11=sin 2122ABC S ac B ∆=⨯⨯=． …………13分 （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知得：1111()()333n nn a -=⋅=. 1312log ()1=213n n b n =--（*n ∈N ）.则12(1)1212n n b b n n +-=+--+=.所以数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列. …………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，241n b n =-，则数列2{}n b 是以3为首项，4为公差的等差数列.21()413n n n n c a b n =+=+-.则111...()37...(41)393nn T n =+++++++-.即n T =11[1()]33113n ⨯--+(341)2n n +-⋅.即21112()223n n T n n =++-⋅ (*n ∈N ). …………13分（17）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）根据题意，(0.0050.0200.0250.040)101a ++++⨯=. 解得 0.010a =．所以样本中学生身高在[185,195]内（单位:cm ）的人数为400.01104⨯⨯=． ……………4分（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为x ，则1500.051600.21700.41800.251900.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯7.532684519171.5=++++= ．所以，该校男生的平均身高为171.5 cm ． …………8分（Ⅲ）样本中男生身高在[145,155)内的人有400.005102⨯⨯=（个），记这两人为,A B ． 由（Ⅰ）可知，学生身高在[185,195]内的人有4个，记这四人为,,,a b c d ． 所以，身高在[145,155)和[185,195]内的男生共6人．从这6人中任意选取2人，有,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aA aB bc bd bA bB cd cA cB dA dB AB ， 共15种情况．设所选两人的身高都不低于185 cm 为事件M ，事件M 包括,,,,,ab ac ad bc bd cd ，共6种情况． 所以，所选两人的身高都不低于185 cm 的概率为62()155P M ==． ………………13分（18）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，11B C BC ，且BC ⊂平面BCD ，11B C ⊄平面BCD ， 所以11B C 平面BCD . ………………4分（Ⅱ）因为1AA ⊥底面ABC ，90ACB ∠=︒，所以1AA BC ⊥，AC BC ⊥， 则BC ⊥平面11AAC C . 即BC ⊥平面1C CD .所以111111332B CC D C CD V S BC CC AC BC -=⋅=⨯⋅⋅111211323=⨯⨯⨯⨯=. ………9分（Ⅲ）因为在侧面11ACC A 中，112AC AA =，1AA AC ⊥，D 是棱1AA 的中点， 所以1145,45A DC ADC ∠=︒∠=︒.则1C D DC ⊥. 因为BC ⊥平面1C CD ， 所以1BC C D ⊥. 所以1C D ⊥平面BCD . 又1C D ⊂平面1C DB ，所以平面BCD ⊥平面1C DB ，且平面BCD平面1C DB BD =，过点C 作CQ BD ⊥于Q ，所以CQ ⊥平面1C DB . 则 CQ ⊥1BC .所以在线段BD 上存在点Q ，使得1CQ BC ⊥. …………14分 （19）（本小题满分14分）解：(Ⅰ)依题意，2a =，c =2221b a c =-=.则椭圆W 的方程为2214x y +=.离心率2c e a ==. …………4分 (Ⅱ)设M 00(,)x y ，00x ≠，则N 0(0,)y ，E 00(,)2x y ． 又A (0,1)，所以直线AE 的方程为002(1)1y y x x --=． 令1y =-，则C 0(,1)1x y --． 又B (0,1)-，G 为线段BC 的中点，所以G 00(,1)2(1)x y --．所以00(,)2x OE y =，0000(,1)22(1)x x GE y y =-+-， 000000()(1)222(1)x x x OE GE y y y ⋅=-++-2220000044(1)x x y y y =-++-．因为点M 在椭圆W 上，则220014x y +=，所以220044x y =-． 则200014(1)x OE GE y y ⋅=-+-0011y y =--+0=．因此OE GE ⊥．故90OEG ∠=． ……………14分 （20）（本小题满分13分）解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为{}0x x >.()1ln f x x '=+，()1g x ax '=+. （ⅰ）当e m =时，(e)2f '=，(e)e 1g a '=+.因为12l l ⊥，所以(e)(e)1f g ''⋅=-. 即2(e 1)=1a +-. 解得32ea =-. ………………3分 (ⅱ)因为12l l ，则()()f m g m ''=在()+∞0，上有解.即ln 0m am -=在()+∞0，上有解.设()ln F x x ax =-，0x >， 则11()axF x a x x-'=-=. （1）当0a ≤时，()0F x '>恒成立，则函数()F x 在()+∞0，上为增函数.1 当0a <时，取e a x =，(e )e (1e )0.a a a F a a a =-=-<取e x =，(e)=1e 0F a ->, 所以()F x 在()+∞0，上存在零点.2当0a =时，()ln F x x =存在零点，1x =，满足题意.（2）当0a >时，令()0F x '=，则1x a=.则()F x 在(0)a1，上为增函数，1(,)a+∞上为减函数. 所以()F x 的最大值为11()ln 10F a a=-≥. 解得10<ea ≤. 取1x =，(1)=0F a -<. 因此当1(0,]e a ∈时，方程()0F x =在()+∞0，上有解.所以，a 的最大值是1e. ………………8分 另解：函数()f x 的定义域为{}0x x >.()1ln f x x '=+，()1g x ax '=+.则()1ln f m m '=+，()1g m am '=+.因为12l l ，则()()f m g m ''=在()+∞0，上有解.即ln m am =在()+∞0，上有解.因为0m >，所以ln m a m =. 令ln ()x F x x=(0x >). 21ln ()0x F x x -'==. 得e x =.当(0,e)x ∈，()0F x '>，()F x 为增函数；当()e,x ∈+∞，()0F x '<，()F x 为减函数；所以max 1()(e)e F x F ==. 所以，a 的最大值是1e. ………………8分 （Ⅱ） 2()ln 2a h x x x x x a =--+ (0),x > ()ln h x x ax '=-.因为12,x x 为()h x 在其定义域内的两个不同的极值点，所以12,x x 是方程ln 0x ax -=的两个根. 即11ln x ax =，22ln x ax =.两式作差得，1212ln ln x x a x x -=-. 因为0,λ>120x x <<，由21ln 1ln x x λλ->-，得121ln ln x x λλ+<+. 则121211()a x x a x x λλλλ++<+⇔>+ ⇔1212ln ln x x x x --121x x λλ+>+ ⇔112212(1)()ln x x x x x x λλ+-<+. 令12x t x =，则(0,1)t ∈，由题意知: ln t <(1)(1)t t λλ+-+在(0,1)t ∈上恒成立， 令(1)(1))ln t t t t λϕλ+-=-+（， 则221(1)()()t t t λϕλ+'=-+=22(1)()()t t t t λλ--+. （1） 当21λ≥，即1λ≥时， (0,1)t ∀∈，()0t ϕ'>，所以()t ϕ在()0,1上单调递增.又(1)0ϕ=，则()0t ϕ<在()0,1上恒成立.（2） 当21λ<，即01λ<<时， ()20,t λ∈时，()0t ϕ'>，()t ϕ在()20,λ上为增函数；当()21t λ∈，时，()0t ϕ'<，()t ϕ在()21λ，上为减函数. 又(1)0ϕ=，所以()t ϕ不恒小于0，不合题意.综上，[1,)λ∈+∞. ………………13分。

2015年北京市朝阳区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c}，则∁U（A ∪B）等于（）A．{b}B．{d}C．{a，c，d}D．{a，b，c} 2．（5分）命题p：∀x∈R，都有sin x≤1，则（）A．￢p：∃x0∈R，使得sin x0≥1B．￢p：∃x0∈R，使得sin x0＞1C．￢p：∀x0∈R，使得sin x0≥1D．￢p：∀x0∈R，使得sin x0＞1 3．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线x2﹣y2＝2的右焦点重合，则p的值为（）A．B．2C．4D．24．（5分）如图所示的程序框图表示的算法功能是（）A．计算S＝1×2×3×4×5×6的值B．计算S＝1×2×3×4×5的值C．计算S＝1×2×3×4的值D．计算S＝1×3×5×7的值5．（5分）已知x 1＝log2，x2＝2，x3满足（）＝log3x3，则（）A．x1＜x3＜x2B．x1＜x2＜x3C．x2＜x1＜x3D．x3＜x1＜x26．（5分）函数f（x）＝2sin（x﹣）cos（x﹣）图象的一条对称轴方程是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝7．（5分）已知实数x，y满足其中t＞0．若z＝3x+y的最大值为5，则z的最小值为（）A．B．1C．0D．﹣18．（5分）已知边长为3的正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直，M为线段CD上的动点（不含端点），过M作MH∥DE交CE于H，作MG ∥AD交BD于G，连结GH．设CM＝x（0＜x＜3），则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C﹣GHM的体积y与变量x变化关系的是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）若i为虚数单位，则＝．10．（5分）若向量a，b满足||＝||＝1，的夹角为60°，则＝．11．（5分）圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8与y轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小为．12．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是，四棱锥侧面中最大侧面的面积是．13．（5分）稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额＝（每次收入额﹣800）×20%×（1﹣30%）（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额＝每次收入额×（1﹣20%）×20%×（1﹣30%）．已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费（扣税前）为元．14．（5分）记x2﹣x1为区间[x1，x2]的长度．已知函数y＝2|x|，x∈[﹣2，a]（a≥0），其值域为[m，n]，则区间[m，n]的长度的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，A＝，cos B＝，BC＝6．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．16．（13分）某次考试结束后，为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况，随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩，得茎叶图如图所示（部分数据不清晰）：（Ⅰ）请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水平较高（直接写出结果）；（Ⅱ）若在抽到的这20名学生中，分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，求抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）求证：直线AB1∥平面BC1D；（Ⅲ）设M为线段BC1上任意一点，在△BC1D内的平面区域（包括边界）是否存在点E，使CE⊥DM，并说明理由．18．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝4，a n+1＝S n，n∈N*．（Ⅰ）写出a2，a3，a4的值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）已知等差数列{b n}中，有b2＝a2，b3＝a3，求数列{a n•b n}的前n项和T n．19．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为．过焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．20．（13分）已知函数f（x）＝（x+）e x，a∈R．（Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＝﹣1时，求证：f（x）在（0，+∞）上为增函数；（Ⅲ）若f（x）在区间（0，1）上有且只有一个极值点，求a的取值范围．2015年北京市朝阳区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c}，则∁U（A ∪B）等于（）A．{b}B．{d}C．{a，c，d}D．{a，b，c}【解答】解：∵A＝{a，b}，B＝{b，c}，∴A∪B＝{a，b，c}，则∁U（A∪B）＝{d}，故选：B．2．（5分）命题p：∀x∈R，都有sin x≤1，则（）A．￢p：∃x0∈R，使得sin x0≥1B．￢p：∃x0∈R，使得sin x0＞1C．￢p：∀x0∈R，使得sin x0≥1D．￢p：∀x0∈R，使得sin x0＞1【解答】解：命题p为全称命题，则根据全称命题的否定是特此命题得：￢p：∃x0∈R，使得sin x0＞1．故选：B．3．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线x2﹣y2＝2的右焦点重合，则p的值为（）A．B．2C．4D．2【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为（，0），双曲线x2﹣y2＝2即﹣＝1的右焦点为（2，0），由题意可得＝2，解得p＝4．故选：C．4．（5分）如图所示的程序框图表示的算法功能是（）A．计算S＝1×2×3×4×5×6的值B．计算S＝1×2×3×4×5的值C．计算S＝1×2×3×4的值D．计算S＝1×3×5×7的值【解答】解：模拟执行程序，可得S＝1，t＝2满足条件S≤100，S＝1×2＝2，t＝3满足条件S≤100，S＝1×2×3＝6，t＝4满足条件S≤100，S＝1×2×3×4＝24，t＝5满足条件S≤100，S＝1×2×3×4×5＝120，t＝6不满足条件S≤100，退出循环，输出S的值为120．故程序框图的功能是求S＝1×2×3×4×5的值．故选：B．5．（5分）已知x 1＝log2，x2＝2，x3满足（）＝log3x3，则（）A．x1＜x3＜x2B．x1＜x2＜x3C．x2＜x1＜x3D．x3＜x1＜x2【解答】解：∵x3满足＝log3x3，∴x3＞0，∴0，∴x3＞1．又∵x 1＝2＜0，0＜x2＝＜1，∴x1＜x2＜x3．故选：B．6．（5分）函数f（x）＝2sin（x﹣）cos（x﹣）图象的一条对称轴方程是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝【解答】解：f（x）＝2sin（x﹣）cos（x﹣）＝sin（2x﹣），令：2x﹣＝kπ+（k∈Z），解得：x＝（k∈Z），当k＝0时，x＝，故选：C．7．（5分）已知实数x，y满足其中t＞0．若z＝3x+y的最大值为5，则z的最小值为（）A．B．1C．0D．﹣1【解答】解：由题意作出其平面区域，将z＝3x+y化为y＝﹣3x+z，z相当于直线y＝﹣3x+z的纵截距，故结合图象可得，，解得，x＝1，y＝2；故t＝2；由解得，x＝﹣1，y＝2；故z的最小值为z＝﹣1×3+2＝﹣1；故选：D．8．（5分）已知边长为3的正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直，M为线段CD上的动点（不含端点），过M作MH∥DE交CE于H，作MG ∥AD交BD于G，连结GH．设CM＝x（0＜x＜3），则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C﹣GHM的体积y与变量x变化关系的是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，因为正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直，又过M作MH∥DE交CE于H，作MG∥AD交BD于G，所以GM⊥HM，设CM＝x（0＜x＜3），则HM＝CM，GM＝DM＝3﹣x，所以三棱锥的体积为V＝＝＝，（0＜x ＜3）令V'＝﹣＝0，解得x＝0或者x＝2，体积在（0，2）随x的增大而增大，在（2，3）增大而减小，V关于x的图象如下：故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）若i为虚数单位，则＝i．【解答】解：＝＝＝i故答案为：i．10．（5分）若向量a，b满足||＝||＝1，的夹角为60°，则＝．【解答】解：∵，∴＝1+＝．故答案为11．（5分）圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8与y轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小为90°．【解答】解：当x＝0时，得（y﹣2）2＝4，解得y＝0或y＝4，则AB＝4﹣0＝4，半径R＝＝，∵OA2+OB2＝（）2+（）2＝8+8＝16＝（AB）2，∴△AOB是直角三角形，∴∠AOB＝90°，即弦AB所对的圆心角的大小为90°，故答案为：90°12．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是，四棱锥侧面中最大侧面的面积是．【解答】解：由四棱锥的三视图可知，该四棱锥底面为ABCD为边长为1的正方形，△P AD是边长为1的等边三角形，PO垂直于AD于点O，其中O为AD的中点，所以四棱锥的体积为V＝＝，四棱锥侧面中最大侧面是△PBC，PB＝PC＝，BC＝1，面积是＝．故答案为：；．13．（5分）稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额＝（每次收入额﹣800）×20%×（1﹣30%）（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额＝每次收入额×（1﹣20%）×20%×（1﹣30%）．已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费（扣税前）为2800元．【解答】解：由题意，设这个人应得稿费（扣税前）为x元，则280＝（x﹣800）×20%×（1﹣30%）所以x＝2800，故答案为：2800．14．（5分）记x2﹣x1为区间[x1，x2]的长度．已知函数y＝2|x|，x∈[﹣2，a]（a≥0），其值域为[m，n]，则区间[m，n]的长度的最小值是3．【解答】解：；∴①x∈[﹣2，0）时，；∴此时1＜y≤4；②x∈[0，a]时，20≤2x≤2a；∴此时1≤y≤2a，则：0≤a≤2时，该函数的值域为[1，4]，区间长度为3；a＞2时，区间长度为2a﹣1＞3；∴综上得，区间[m，n]长度的最小值为3．故答案为：3．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，A＝，cos B＝，BC＝6．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cos B＝，B∈（0，π），又sin2B+cos2B＝1，解得sin B＝．由正弦定理得：，即，∴AC＝4；（Ⅱ）在△ABC中，sin C＝sin（B+60°）＝sin B cos60°+cos B sin60°＝＝．∴＝．16．（13分）某次考试结束后，为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况，随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩，得茎叶图如图所示（部分数据不清晰）：（Ⅰ）请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水平较高（直接写出结果）；（Ⅱ）若在抽到的这20名学生中，分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，求抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．【解答】解：（Ⅰ）从茎叶图可以看出，乙校10名学生的考试的数学成绩平均分高于甲校10名学生的考试的数学成绩，故乙学校的数学成绩平均水平较高（Ⅱ）设事件M为分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩，由茎叶图可以看出，甲校数学成绩不低于90分的有2人，记为a、b，甲校数学成绩不低于90分的有5人，记为A、B、C，D，E，其中a＝92，b＝93，A＝90，B＝91，B＝95，D＝96，E＝98，分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生其情况有（aA）、（aB）、（aC）、（aD）、（aE）、（bA）、（bB）、（bC）、（bD）、（bE），共10种情况；甲校学生成绩高于乙校学生成绩共有（aA）、（aB）、（bA）、（bB）四种可能，故P（M）＝＝17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）求证：直线AB1∥平面BC1D；（Ⅲ）设M为线段BC1上任意一点，在△BC1D内的平面区域（包括边界）是否存在点E，使CE⊥DM，并说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，∴CC1⊥BC，CC1⊥AC，∴CC1⊥底面ABC，∵BD⊂底面ABC，∴CC1⊥BD，又底面为等边三角形，D为线段AC的中点．∴BD⊥AC，又AC∩CC1＝C，∴BD⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）证明：连接B1C交BC1于O，连接OD，如图则O为B1C的中点，∵D是AC的中点，∴AB1∥OD，又OD⊂平面BC1D，OD⊄平面BC1D∴直线AB1∥平面BC1D；（Ⅲ）在△BC1D内的平面区域（包括边界）存在点E，使CE⊥DM，此时E在线段C1D上；证明如下：过C作CE⊥C1D交线段C1D与E，由（Ⅰ）可知BD⊥平面ACC1A1，而CE⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CE，由CE⊥C1D，BD∩C1D＝D，所以CE⊥平面BC1D，DM⊂平面BC1D，所以CE⊥DM．18．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝4，a n+1＝S n，n∈N*．（Ⅰ）写出a2，a3，a4的值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）已知等差数列{b n}中，有b2＝a2，b3＝a3，求数列{a n•b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵a1＝4，a n+1＝S n，∴a2＝S1＝a1＝4，a3＝S2＝a1+a2＝4+4＝8，a4＝S3＝a1+a2+a3＝4+4+8＝16；（Ⅱ）由a n+1＝S n，得a n＝S n（n≥2），﹣1两式作差得：a n+1﹣a n＝a n，即a n+1＝2a n（n≥2），∴数列{a n}从第二项起为公比是2的等比数列，当n≥2时，．∴；（Ⅲ）依题意，b2＝a2＝4，b3＝a3＝8，则，得，∴b n＝4（n﹣1）．∴，则，T n＝a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1+a n b n＝0+1×24+2×25+3×26+…+（n﹣2）×2n+1+（n﹣1）×2n+2，，两式作差得：＝．∴．19．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为．过焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．【解答】解：（I）由已知可得：，解得a2＝6，b2＝2，∴椭圆C的方程为；（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l方程为y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（﹣x3，﹣y3）．联立，化为（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0，∴x1+x2＝，y1+y2＝k（x1+x2﹣4）＝，∴线段AB的中点D，∴直线OD的方程为：x+3ky＝0（k≠0）．联立，解得＝，x3＝﹣3ky3．∵四边形MF1NF2为矩形，∴＝0，∴（x3﹣2，y3）•（﹣x3﹣2，﹣y3）＝0，∴＝0，∴＝0，解得k＝，故直线方程为y＝．20．（13分）已知函数f（x）＝（x+）e x，a∈R．（Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＝﹣1时，求证：f（x）在（0，+∞）上为增函数；（Ⅲ）若f（x）在区间（0，1）上有且只有一个极值点，求a的取值范围．【解答】解：函数f（x）＝（x+）e x的定义域为{x|x≠0}，f′（x）＝e x；（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝xe x，f′（x）＝（x+1）e x，所以f（1）＝e，f′（1）＝2e；所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y﹣e＝2e（x﹣1），即2ex﹣y﹣e＝0；（Ⅱ）证明：当a＝﹣1时，f′（x）＝e x，设g（x）＝x3+x2﹣x+1，则g′（x）＝3x2+2x﹣1＝（3x﹣1）（x+1），故g（x）在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数，所以g（x）≥g（）＝＞0，所以当x∈（0，+∞）时，f′（x）＝e x＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上为增函数．（Ⅲ）f′（x）＝e x；设h（x）＝x3+x2+ax﹣a，h′（x）＝3x2+2x+a，（1）当a＞0时，h′（x）＞0恒成立，故h（x）在（0，+∞）上为增函数；而h（0）＝﹣a＜0，h（1）＝2＞0，故函数h（x）在（0，1）上有且只有一个零点，故这个零点为函数f（x）在区间（0，1）上的唯一的极小值点；（2）当a＝0时，x∈（0，1）时，h′（x）＝3x2+2x＞0，故h（x）在（0，1）上为增函数；又h（0）＝0，故f（x）在（0，1）上为增函数；故函数f（x）在区间（0，1）上没有极值；（3）当a＜0时，h（x）＝x3+x2+a（x﹣1），当x∈（0，1）时，总有h（x）＞0成立，即f（x）在（0，1）上为增函数；故函数f（x）在区间（0，1）上没有极值；综上所述，a＞0．。

北京市西城区2015年高三二模文科数学试卷2015.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|10}A x x =->，集合3{|}B x x =≤，则A B =（ ）（A ）(1,3)- （B ）(1,3] （C ）[1,3) （D ）[1,3]- 【考点】集合的运算 【难度】1 【答案】B 【解析】因为{|1}A x x => ，所以{|13}AB x x =<≤。

故选B 。

2．已知平面向量,,a b c 满足(1,1)=-a ，(2,3)=b ，(2,)k =-c ，若()//+a b c ，则实数k =（ ） （A ）4 （B ）4- （C ）8（D ）8-【考点】平面向量的线性运算，平面向量的坐标运算 【难度】1 【答案】D 【解析】由已知条件有(1,4)a b +=，因(2,)k =-c 为 ()//a b c +所以有214k-= ，故选D 3. 设命题p ：函数1()e x f x -=在R 上为增函数；命题q ：函数()cos 2f x x =为奇函数. 则 下列命题中真命题是（ ）（A ）p q ∧ （B ）()p q ⌝∨ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）()p q ∧⌝ 【考点】简单的逻辑联结词【难度】1 【答案】D 【解析】因1()x f x e -=在R 上是增函数，故p 命题为真；而()cos(2)cos2()f x x x f x -=-==,所以()f x 为偶函数，故q 命题为假， 则q ⌝为真，从而()p q ∧⌝为真命题，选D.4．执行如图所示的程序框图，若输入的{1,2,3}n ∈，则输出的s 属于（ ） （A ）{1,2} （B ）{1,3} （C ）{2,3} （D ）{1,3,9}【考点】算法和程序框图 【难度】1 【答案】A 【解析】当n=1时，经过判断后重新赋值得到n=3，所以输出的s=1；当n=2时经过判断后重新赋值得n=9，此时输出s=2； 当n=3时，判断为是，直接输出s=1， 所以s 的集合为｛1，2｝.选A5. 一个几何体的三视图中，正（主）视图和 侧(左)视图如图所示，则俯视图不可能为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 【考点】空间几何体的三视图 【难度】1 【答案】C 【解析】结合正视图和侧视图，且注意到正视图中间为虚线，可知应选C 6. 某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与x 满足函数关系2464y x =+，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【考点】均值定理的应用 【难度】1 【答案】B 【解析】设年平均花费为t ，则2464164()32y x t x x x x+===+≥（当且仅当16x x=时，即x=4时，取等号）。

2015年北京市西城区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设集合A ＝{x|x −1>0}，集合B ＝{x|x ≤3}，则A ∩B ＝（ ）A (−1, 3)B (1, 3]C [1, 3)D [−1, 3]2. 已知平面向量a →，b →，c →，a →=(−1, 1)，b →=(2, 3)，c →=(−2, k)，若(a →+b →) // c →，则实数k ＝（ ）A 4B −4C 8D −83. 设命题p ：函数f(x)＝e x−1在R 上为增函数；命题q ：函数f(x)＝cos2x 为奇函数．则下列命题中真命题是（ ）A p ∧qB (￢p)∨qC (￢p)∧(￢q)D p ∧(￢q)4. 执行如图所示的程序框图，若输入的n ∈{1, 2, 3}，则输出的s 属于（ ）A {1, 2}B {1, 3}C {2, 3}D {1, 3, 9}5. 一个几何体的三视图中，正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则俯视图不可以为（ ）A B C D6. 某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与x 满足函数关系y ＝4x 2+64，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为（ ）A 3B 4C 5D 67. “m >3”是“曲线mx 2−(m −2)y 2＝1为双曲线”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件8. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =√2,BC =AA 1=1，点P 为对角线AC 1上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则B 1P +PQ 的最小值为（ ） A √2 B √3 C 32 D 2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 复数10i3+i=________．10. 抛物线C:y2＝4x的准线l的方程是________；以C的焦点为圆心，且与直线l相切的圆的方程是________．11. 设函数f(x)={1x,x>1−x−2,x≤1，则f[f(2)]＝________；函数f(x)的值域是________．12. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=√7，b＝3，c＝2，则A＝________π3；△ABC的面积为________3√32．13. 若x，y满足{y≥xy≤2xx+y≤1若z＝x+my的最大值为53，则实数m＝________．14. 如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x(x∈[0, π])，OP所经过的在正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S＝f(x)，那么对于函数f(x)有以下三个结论：①f(π3)=√32；②函数f(x)在区间(π2,π)上为减函数；③任意x∈[0,π2]，都有f(x)+f(π−x)＝4．其中所有正确结论的序号是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数f(x)=cos2x(sinx+cosx)cosx−sinx．(Ⅰ)求函数f(x)的定义域；(Ⅱ)求函数f(x)的单调增区间．16. 设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，a n+1＝1+S n(n∈N∗)．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n}为等差数列，且b1＝a1，公差为a2a1．当n≥3时，比较b n+1与1+b1+b2+...+b n的大小．17. 如图，在四棱锥E−ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA= 6，AB=2，DE=3．（1）求三棱锥C−ADE的体积．（2）证明：平面ACE⊥平面CDE．（3）在线段DE上是否存在一点F，使得AF//平面BCE？若存在，求出EFED的值；若不存在，说明理由．18. 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．(Ⅰ)求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；(Ⅱ)若在这10个卖场中，乙型号电视机销售量的平均数为26.7，求a>b的概率；(Ⅲ)若a＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）（注：方差s2=1n[(x1−x¯)2+(x2−x¯)2+⋯+（x n−x¯)2]，其中x¯为x1，x2，…，x n的平均数）19. 设F1，F2分别为椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E的上顶点，且|AB|＝2．(Ⅰ)若椭圆E的离心率为√63，求椭圆E的方程；(Ⅱ)设P为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线F2P与y轴相交于点Q．若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：点P在直线x+y−2＝0上．20. 已知函数f(x)=1−x1+ax2，其中a∈R．(Ⅰ)当a=−14时，求函数f(x)的图象在点（1, f(1)）处的切线方程；(Ⅱ)当a>0时，证明：存在实数m>0，使得对任意的x，都有−m≤f(x)≤m成立；(Ⅲ)当a＝2时，是否存在实数k，使得关于x的方程f(x)＝k(x−a)仅有负实数解？当a=−12时的情形又如何？（只需写出结论）2015年北京市西城区高考数学二模试卷（文科）答案1. B2. D3. D4. A5. C6. B7. A8. C9. 1+3i10. x＝−1,(x−1)2+y2＝411. −52,[−3, +∞)12. ,13. 214. ①③15. （1）由题意可得cosx−sinx≠0，即tanx≠1，解得x≠kπ+π4，k∈Z，∴ 函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ+π4, k∈Z}；（2）化简可得f(x)=cos2x(sinx+cosx)cosx−sinx =(cos2x−sin2x)(sinx+cosx)cosx−sinx＝(cosx+sinx)2＝sin2x+1，由2kπ−π2≤2x≤2kπ+π2可得kπ−π4≤x≤kπ+π4，又x≠kπ+π4，k∈Z∴ 函数f(x)的单调增区间为(kπ−π4, kπ+π4)k∈Z16. （I）∵ a n+1＝1+S n(n∈N∗)，∴ 当n≥2时，a n＝1+S n−1，∴ a n+1−a n＝a n，即a n+1＝2a n，当n＝1时，a2＝1+a1＝2，∴ a2a1=2，综上可得：a n+1＝2a n(n∈N∗)，∴ 数列{a n}是等比数列，公比为2，∴ a n=2n−1．(II)数列{b n}为等差数列，且b1＝a1＝1，公差为a2a1=(2)∴ b n＝1+2(n−1)＝2n−(1)当n≥3时，b n+1＝2n+(1)1+b1+b2+...+b n＝1+n(1+2n−1)2=n2+(1)∴ n2+1−(2n+1)＝n(n−2)>0，∴ b n+1<1+b1+b2+...+b n．17. （1）解：在Rt△ADE中，AE=√AD2−DE2=3√3．∵ CD⊥平面ADE，∴ 三棱锥C−ADE的体积V C−ADE=13S△ADE⋅CD=13⋅AE⋅DE2⋅CD=9√3．（2）证明：∵ CD⊥平面ADE，AE⊂平面ADE，∴ CD⊥AE．又∵ AE⊥DE，CD∩DE=D，∴ AE⊥平面CDE．又∵ AE⊂平面ACE，∴ 平面ACE⊥平面CDE．（3）解：在线段DE上存在一点F使得AF//平面BCE，且EFED =13．过点F作FM//CD交CE于点M，连结AF，BM．∵ CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，∴ CD//AB，∴ FM//AB．∴ AF与BM共面．∵ BM⊂平面BCE，∴ 要使得AF//平面BCE，只需AF//BM，即只需四边形ABMF为平行四边形．即只需AB=FM=2．∵ CD=6，∴ FMDC =26=13=EFED．18. （1）由茎叶图可得甲组数据的平均数为110(10+10+14+18+22+25+27+30+ 41+43)＝24，∴ 在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数为5；（2）记事件A为“a>b”，由于乙组数据的平均数为26.7，∴ 110[10+18+20+22+23+31+32+(30+a)+(30+b)+43]＝26.7，解得a+b＝8，而a和b的取值为：(0, 8)，(1, 7)，(2, 6)，(3, 5)，(4, 4)，(5, 3)，(6, 2)，(7, 1)，(8, 0)，共9种情况，其中满足a>b的为：(5, 3)，(6, 2)，(7, 1)，(8, 0)，共4种情况∴ 所求概率P=49；(Ⅲ)由题意可知当b ＝0时，s 2达到最小值．19. （1）∵ 点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，∴ A(−a, 0)，B(0, b)，又∵ |AB|＝2，∴ a 2+b 2＝4，∵ e =c a =√a 2−b 2a =√63， ∴ a =√3，b ＝1，∴ 椭圆E 的方程为：x 23+y 2＝1；（2）证明：由题意知a 2+b 2＝4，从而椭圆E 的方程为：x 2a 2+y 24−a 2=1， 则F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)，c =√a 2−b 2=√2a 2−4，设P(x 0, y 0)，由题意知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率k F 1P =y 0c+x 0，直线F 2P 的斜率k F 2P =y 0x 0−c ， ∴ 直线F 2P 的方程为：y =y 0x 0−c (x −c)，当x ＝0时，y =−y 0x 0−cc ，即点Q(0, −y 0x 0−c c)， ∴ 直线F 1Q 的斜率k F 1Q =y0c−x 0，∵ 以PQ 为直径的圆经过点F 1，∴ PF 1⊥F 1Q ，∴ k F 1P ⋅k F 1Q =y 0c+x 0⋅y0c−x 0=−1， 化简得：y 02=x 02−(2a 2−4)，①又∵ P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，∴ x 02a 2+y 024−a 2=1，x 0、y 0>0，② 由①②，解得x 0=a 22，y 0＝2−12a 2， ∴ x 0+y 0＝2，即点P 在直线x +y −2＝0上．20. （1）当a =−14时，f(x)=1−x 1−14x 2， 导数f′(x)=14⋅−(x−1)2−3(1−14x 2)2，即有f′(1)=−43，f(1)＝0，则f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y =−43(x −1)，即为4x +3y −4＝0；（2）证明：当a >0时，f(x)=1−x 1+ax 2的定义域为R ，f′(x)=ax 2−2ax−1(1+ax 2)2，f′(x)＝0，可得x1＝1−√1+1a <0，x2＝1+√1+1a>1，当x<x1，x>x2时，f′(x)>0，f(x)递增，当x1<x<x2时，f′(x)<0，f(x)递减．又f(1)＝0，当x<1时，f(x)>0，当x>1时，f(x)<0，当x≤1时，0≤f(x)≤f(x1)，当x>1时，f(x2)≤f(x)<0，记M＝max{|f(x1)|, f(x2)|}，综上，a>0时，存在实数m∈[M+∞)，使得对任意的x，都有−m≤f(x)≤m成立；(Ⅲ)当a=−12与a＝2时，不存在实数k，使得关于x的方程仅有负数解．。