线性代数知识点总结 第一章 行列式 1. n 阶行列式()() 12 1212 11121212221212 1= = -∑ n n n n t p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式 () () 1112 11222211221122010 n t n n nn nn nn a a a a a D a a a a a a a = =-= 1 2 12 n n λλλλλλ=， () ()1 12 2 121n n n n λλλλλλ-=- 3.行列式的性质 定义 记 11121212221 2 n n n n nn a a a a a a D a a a =，11211 1222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = ，行列式T D 称为行列式D 的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行() ?i j r r 或列() ?i j c c ，行列式变号。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。 性质3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列式； 推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 1112111212222212 () ()()i i n i i n n n ni ni nn a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222221222212 12 i n i n i n i n n n ni nn n n ni nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+ ' 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，
目录 摘要................................................................................ I Abstract........................................................................... I 1 引言 (1) 2 知识方面的联系 (1) 2．1多项式理论的应用 (1) 2．2行列式的应用 (2) 2．3柯西不等式的应用 (3) 2．4二次型的应用 (4) 3 思想方面的联系 (4) 3．1符号化思想 (4) 3．2分类思想 (5) 3．3化归与转化思想 (5) 3．4结构思想 (6) 3．5公理化方法 (6) 3．6坐标方法 (6) 3．7构造性方法 (7) 4 观念方面的联系 (7) 结束语 (8) 参考文献 (8)
致谢 (10)
摘要：运用高等代数的理论、方法、思想与观点剖析和阐述中学数学相关内容的若干问题，通过若干典型试题的解析，从知识方面、思想方面以及观念方面研究了高等代数与中学数学的联系，探索高等数学观点对中学数学一些教学内容的理论依据，深化与发展高等代数在中学数学的相关内容，促进高等代数在中学数学领域的应用，探求二者的内在的联系，以便高等代数能与中学数学完美的结合． 关键词：高等代数；中学数学；数学思想方法；应用 Abstract: The problems related to elementary mathematics are analyzed and explained by using the theory，method，thoughts and views of higher algebra．Through analyzing some typical test questions，the relation between higher algebras and elementary mathematics are investigated from the aspects of knowledge、thought and idea. Exploring the higher mathematics view to middle school mathematics some teaching content theory and model，deepening and development in higher algebra in middle school mathematics related content，and promote higher algebra in the middle school mathematics field of application，and to explore the inner link，so that higher algebra can be combined with the middle school closely．Keywords: higher Algebra；middle school mathematics；mathematical thinking；application
线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式
数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解
（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条） （1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A
高等代数知识结构
二、高等代数知识结构内容 (一)线性代数 工具:线性方程组 1 1 列时, a 性质1 性质2、一行得公因子可以提出来(或以一数乘行列式得一行就相当于用这个数乘此行列式。 性质3、如果某一行就是两组数得与,那么这个行列式就等于两个行列式得与,而这两个行列式除这一行以外与原行列式得对应行一样。 性质4、如果行列式中两行相同,那么行列式为零。(两行相同就就是说两行对应元素都相同) 性质5、如果行列式中两行成比例。那么行列式为零。 性质6、把一行得倍数加到另一行,行列式不变。 性质7、对换行列式中两行得位置,行列式反号。 2、矩阵: a、矩阵得秩:矩阵A中非零行得个数叫做矩阵得秩。 b、矩阵得运算 定义同型矩阵:指两个矩阵对应得行数相等、对应得列数相等得矩阵. 矩阵相等:设,, 若 , 称、 线性运算:, 加法: 数乘: 负矩阵: 减法: 矩阵得乘法定义:设 , 其中元素 得列数 = 得行数。 得行数 = 得行数; 得列数 = 得列数. 与得先后次序不能改变. (5)矩阵得初等变换 矩阵得等价变换形式主要有如下几种: 1)矩阵得i行(列)与j行(列)得位置互换; 2)用一个非零常数k乘矩阵得第i行(列)得每个元; 3)将矩阵得第j行(列)得所有元得k倍加到第i行(列)得对应元上去。 3、线性方程组 一般线性方程组、这里所指得一般线性方程组形式为
111122112 11222221122,,.n n n n s s s n n s ax ax ax b ax ax ax b ax ax ax b +++=??+++=??? ?+++=? L L L L L L ()i ()i 式中(1,2,,)i xi n =K 代表未知量,(1,2,,;1,2,,)i j a i s j n ==L L 称为方程组得系数,( 1,2,,)j b j n =L 称为常数项、 线性方程组)(i 称为齐次线性方程组,如果常数项全为零,即120s bb b ====L 、 令 111212122212n n s s sn a a a a a a A a a a ????? ?=??????L L M M M M L ,12n x x X x ??????=??????M , 12s b b B b ?? ????=???? ?? M , 则()i 可用矩阵乘法表示为 A X B =,,,.m n n m A C X C B C ?∈∈∈ a 、线性方程组得解法 1)消元法 在初等代数里,我们已经学过用代入消元法与加减消元法解简单得二元、三元线性方程组、实际上,这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性、但对于那些高元得线性方程组来说,消元法就是比较繁琐得,不易使用、 2)应用克莱姆法则 对于未知个数与方程个数相等得情形,我们有 定理1 如果含有n 个方程得n 元线性方程组 11112211 21122222 1122,,.n n n n n n n n n n ax ax ax b ax ax ax b ax ax ax b +++=??+++=?? ? ?+++=? L L L L L L ()i i 得系数矩阵
线性代数知识点总结 第一章行列式 （一）要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理） ，n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、 克莱姆法则 （二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 （一）要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D '
3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价 意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积； 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩
606-《高等代数》考试大纲 一、考试性质 《高等代数》是基础数学专业、计算数学专业、概率论与数理统计专业、应用数学专业、运筹学与控制论专业、系统理论专业硕士学位研究生入学考试的科目之一。《高等代数》考试要求能反映数学学科的特点，科学、公平、准确地测试考生的基本素质和综合能力，很好地选拔具有科研发展潜力的优秀人才进入硕士阶段学习，为国家培养掌握现代数学方面的基础理论知识，具有较强分析与解决实际问题能力的高层次的应用型的和复合型的数学专业人才。 二、考试要求 考查考生对《高等代数》里的基本概念、基础知识的掌握情况，考察考生的分析能力、计算能力和对知识的综合运用能力。 三、试卷分值、考试时间和答题方式 本科目试卷满分为150分，考试时间为180分钟，答题方式为闭卷、笔试。 四、试题结构 （1）试卷题型结构
填空题：30分 计算题：60分 证明题：60分 （2）内容结构 各部分内容所占分值为 多项式、行列式：约30分 线性方程组：约30分 线性空间、线性变换：约45分 矩阵的对角化问题：约45分 五、考试的知识及范围 1、多项式 整除；最大公因式；因式分解 2、行列式 n 阶行列式的定义；行列式的性质；n阶行列式的一行（列）展开式，行列式的计算 3、线性方程组 向量空间；矩阵的秩；齐次线性方程组的基础解系；非齐次线性方程组的通解 4、矩阵 矩阵的运算；逆矩阵的求法；分块矩阵的运算和性质；矩阵的初
等变换与初等矩阵 5、二次型 二次型的矩阵；复系数的二次型的规范型；实系数的二次型的规范型、正定二次型的判别定理；正定二次型的证明；二次型的判定 6、线性空间 线性空间的定义和性质；线性空间的维数，基与坐标；线性子空间的判定和证明；子空间的直和；维数公式；线性空间同构的定义和证明 7、线性变换 线性变换的定义和运算；线性变换在基下的矩阵的求法；矩阵的相似；线性变换的特征值和特征向量；矩阵的特征值和特征向量； 矩阵可对角化的判定定理；线性变换的值域与核定义、性质和判定；不变子空间的定义、性质和判定 8、λ-矩阵 λ-矩阵的标准形；矩阵的若当标准形的求法 9、欧几里得空间 内积的定义和判定；欧几里得空间的定义和性质；欧氏空间标准正交基的定义和存在性定理；欧氏空间标准正交基的求法；欧氏空间的同构；正交矩阵；正交变换的定义和判定定理；欧氏子空间的定义和判定；对称变换的定义和性质；对称矩阵的标准形
高等代数知识点 第一章 多项式 1． 数域的定义、常见数域 2． （系数在）数域P 上的多项式的定义 3． 多项式相等 4． 多项式的次数、零多项式和零次多项式 5． 一元多项式的运算（加减乘）、运算律、多项式环、次数定理 6． 整除的定义：()()g x f x ?()()()f x g x h x =（证明，不整除则用反证法）、因式和倍式 7． 整除的性质： （1） 一些特殊的整除性（0，常数，自身） （2） 整除的反身性 （3） 整除的传递性 （4） 整除的组合性 8． 带余除法()()()()f x q x g x r x =+、综合除法 9． 整除的判定法则：余式为零 10． 整除不受数域的影响 11． 公因式及最大公因式的定义、()()(),f x g x ，()0,()()g x g x =，()0,00= 12． 最大公因式的求法（辗转相除法）P44：5 13． 最大公因式可以表示为()(),f x g x 的一个组合()()()()()d x u x f x v x g x =+——Ｐ45：8 14． 互素的定义 15． 互素的相关定理（证明）P45：12、14 （1） ()()(),11()()()()f x g x u x f x v x g x =?=+ （2） ()()()()()()()(),1,f x g x f x g x h x f x h x =? （3） ()()()()()()() ()()()121212,,,1,f x g x f x g x f x f x f x f x g x =? 16． 不可约多项式的定义（次数大于等于1） 17． 平凡因式、不可约等价于只有平凡因式 18． 可约性与数域有关 19． 不可约多项式的性质： （1） ()p x 不可约，则()cp x 也不可约 （2） ()p x 不可约，()[],f x P x ?∈ ()()|(),(),()1p x f x or f x p x ?= （3） ()p x 不可约，()()()p x f x g x ()()()|(),p x f x or p x g x ? 20． 标准分解式1212()()()()s r r r s f x cp x p x p x =
A , i j , a i 1 A j1 a i 2 A j 2 L a in A jn 0, i j . A O A A O O B = B A B O B O A = A B O ( 1)mn A B B O a 1n O a 1n a 2n 1 a 2 n 1 ( 1 n ( n 1) 2 N N ) a n1 O a n1 O a 1n a 2 n K a n1 范德蒙德行列式： 1 1 L 1 x 1 x 2 L x n x 12 x 22 L x n 2 x i x j M M 1 j i n M x n 1 x n 1 L x n 1 1 2 n 代数余子式和余子式的关系： M ij ( 1)i j A ij A ij ( 1)i j M ij A 11 B 11 A 11 B 11 n A n 分块对角阵相乘： A , B AB , A 11 A 22 A n B 22 A 22 B 22 22 A B T A T C T 分块矩阵的转置矩阵： C D B T D T A 11 A 21 L A n1 A * A ij T A 12 A 22 L A n2 ， A ij 为 A 中各个元素的代数余子式 . M M M A 1n A 2n L A nn AA * A * A A E , A * n 1 A 1 1 A , A . A * BA * 分块对角阵的伴随矩阵：
矩阵转置的性质：( A T )T A 矩阵可逆的性质：( A 1) 1 A ( A ) n 2 伴随矩阵的性质： A A n 若 r ( A) n r ( A )1 若 r ( A) n 1 0 若 r ( A) n 1 1 B 1 a1 A B A 1 ( AB)T B T A T A T A ( A 1 )T ( A T ) 1 ( A T ) ( A )T ( AB) 1 B 1 A 1 A 1 1 ( A 1 )k ( A k ) 1 A k A ( AB) B A A n 1 ( A 1 ) ( A ) 1 A ( A k ) ( A ) k A A AB A B A k A k AA A A A E （无条件恒成立） 1 1 1 1 a1 a1 a3 a2 1 a2 1 a2 a 2 a3 1 a3 1 a3 a1 矩阵的秩的性质： ① A O r ( A) ≥1; A O r ( A) 0 ;0≤ r ( A m n ) ≤ min( m, n) ④若A m n , B n s ,若r ( AB) 0 r ( A) r ( B) n 的列向量全部是 Ax 的解 B 0 ⑤r ( AB) ≤min r ( A), r (B) ⑥若 P 、Q可逆，则 r ( A) r (PA) r ( AQ) r ( PAQ) ；即：可逆矩阵不影响矩阵的秩 . Ax 只有零解 ⑦若 r ( A m n ) n r ( AB) r ( B) ；在矩阵乘法中有左消去律AB O B O A A B A C B C 若 r ( B n s ) n r ( AB) r ( B) 在矩阵乘法中有右消去律 . B 若 ( ) 与唯一的E r O 等价，称E r O 等价标准型 . ⑧为矩阵的 r A r A O O O O A ⑨r ( A B) ≤ r ( A) r (B) , max r ( A), r ( B) ≤r ( A, B)≤r ( A) r (B) ⑩ A O O A ( ) ( ) , A C ( ) ( ) r B B O r A r B r B r A r B O O
数学线性代数之矩阵学习总结 同学们在学习线代的时候觉得有难度。我认为有两个方面的原因： 1.大家在学习了高数后，难免在学习线代时后劲不足； 2.线代知识体系错综复杂，联系比较多，大家往往搞不清联系。 下面，跨考教育数学教研室的向喆老师跟大家说说一些难理解和常考的概念。今天所说的是线性代数中的矩阵学习问题，大家分三个步骤来学习。 首先，构建矩阵知识框架。矩阵这一章在线性代数中处于核心地位。它是前后联系的纽带。具体来说，矩阵包括定义，性质，常见矩阵运算，常见矩阵类型，矩阵秩，分块矩阵等问题。可以说，内容多，联系多，各个知识点的理解就至关重要了。 然后，把握知识原理。在有前面的知识做铺垫后，大家就要开始学习矩阵了。首先是矩阵定义，它是一个数表。这个与行列式有明显的区别。然后看运算，常见的运算是求逆，转置，伴随，幂等运算。要注意它们的综合性。还有一个重点就是常见矩阵类型。大家特别要注意实对称矩阵，正交矩阵，正定矩阵以及秩为1的矩阵。最后就是矩阵秩。这是一个核心和重点。可以毫不夸张的说，矩阵的秩是整个线性代数的核心。那么同学们就要清楚，秩的定义，有关秩的很多结
论。针对结论，我给的建议是大家最好能知道他们是怎么来的。最好是自己动手算一遍。我还补充说一点就是分块矩阵。要注意矩阵分块的原则，分块矩阵的初等变换与简单矩阵初等变换的区别和联系。 最后，多做习题练习。在前面有了知识体系和掌握了知识原理后，剩下的就是多做题对知识进行理解了。有句古话：光说不练假把式。所以对知识的熟练掌握还是要通过做题来实现。同时，我也反对题海战术，做题不是盲目的做题，不是只做不练。做题应该是有选择的做题，做一个题就应该了解一个方法，掌握一个原理。所以，大家可以参考历年真题来进行练习。每做一个题，大家就该考虑下它是怎么考察我们所学的知识点的。如果做错了，大家还要多进行反思。找到做错的原因，并且逐步改正。这样才能长久的提高。 总之，希望大家在学习线性代数的矩阵的时候把握这三个原则，在此基础上，勤思考，多练习，那么大家一定可以学习好，祝大家考研成功!
1122,, 0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ?=?++=?≠?? L = =()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O * = =* *=-1 (1)2 1121 21 1211 1 ()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 范德蒙德行列式： ()12222 1211 1112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 分块对角阵相乘：11 112222,A B A B A B ???? == ? ???? ??11112222A B AB A B ??= ???,1122n n n A A A ?? = ??? 分块矩阵的转置矩阵：T T T T T A B A C C D B D ?? ??= ? ????? () 1121112 222* 12n T n ij n n nn A A A A A A A A A A A ?? ? ? == ? ??? L L M M M L ，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. **AA A A A E ==,1*n A A -=, 1 1A A --=. 分块对角阵的伴随矩阵：* * *A BA B AB ?? ??= ? ???? ?
中国海洋大学本科生课程大纲 课程属性：学科基础 课程性质：必修 一、课程介绍 1.课程描述： 高等代数是数学科学学院各专业的重要专业必修基础课，是学习其它数学课程的主要先修课之一。高等代数的内容主要包含两个模块：第一模块，方程和方程组的求解问题，主要内容有：多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型；第二模块，线性空间相关理论，主要内容有：线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧几里得空间。高等代数内容包含理工科所开设的线性代数的主要内容。 2.设计思路： 开设高等代数课程的目的是：一方面，使数学院本科生在中学所学初等代数的基础上继续学习更加高深的代数学知识，使其掌握系统的经典代数内容，为学习其它数学课程（如数值代数、近世代数、计算方法等等）提供坚实的代数基础知识；另一方面，通过本课程的学习，逐步培养学生的数值计算能力、逻辑分析能力和抽象思维能力，提高学生在数学思想、数学方法方面的修养。 19世纪以前的代数研究内容主要是解方程和方程组以及由此产生的相关理论，称为经典代数；19世纪以后的代数主要研究一些抽象代数结构，如群、环、域、模等，称为抽象代数或近世代数。高等代数课程的内容主要是经典代数内容，涵盖学习其它数学课程所要求的基本的代数基础知识。 - 2 -
高等代数的内容基本按照经典代数的发展编排的，主要有两条主线：第一，方程和方程组求解问题，第二，线性空间相关理论。第一条主线的主要内容有：多项式理论——对应高次方程，其求解需要降次，需研究多项式的因式分解；行列式理论——求解线性方程组的主要工具之一；线性方程组理论——解的判定与求法；矩阵理论——解线性方程组时用到的矩阵运算与性质；二次型理论——二次齐次方程的化简与对称矩阵。第二条主线的主要内容多是解析几何中内容的推广，主要有：线性空间——几何空间的推广与抽象；线性变换——线性空间中点的运动的描述；λ-矩阵——证明线性变换的矩阵与其标准形相似；欧几里得空间——带有长度、夹角与距离等度量性质的线性空间，是几何空间的推广。 3.课程与其他课程的关系： 先修课程：无； 并行课程：数学分析、空间解析几何； 后置课程：近世代数。高等代数与近世代数内容恰好实现对接，完整体现了代数学的基本内容，联系密切。 二、课程目标 本课程目标是：一方面使学生系统地掌握经典代数的内容，包括多项式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、欧几里得空间等，为学习其它数学课程打下坚实的代数知识基础；另一方面，通过本课程的学习，培养学生的数值计算能力、逻辑分析能力和抽象思维能力，提高学生运用数学思想、数学方法分析问题、解决问题的能力。 到课程结束时，学生应达到以下几方面要求： （1）知识掌握良好。会判断多项式的可约性，能计算两多项式的最大公因式；会计算行列式；会判定线性方程组是否可解，掌握线性方程组解的结构；熟练掌握矩阵的各种运算；可将二次型化为标准形；掌握线性空间基底理论以及子空间的运算；会写线性变换的矩阵，会判定矩阵是否对角化、准对角化，并能求出其相应对角形与准 - 2 -
第二章行列式知识点总结 一行列式定义 1、n 级行列式1112121 22 212 n n ij n n n nn a a a a a a a a a a = （1）等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a （2）的代 数和，这里12n j j j 是一个n 级排列。当12 n j j j 是偶排列时，该项前面带正号；当12 n j j j 是奇排列时，该项前 面带负号，即： 12 1212 1112121222() 1212 (1)n n n n n j j j ij j j nj n j j j n n nn a a a a a a a a a a a a a τ= = -∑ 。 2、等价定义 121212() 12(1)n n n i i i ij i i i n n i i i a a a a τ = -∑和12 1211221212 ()() (1)n n n n n n i i i j j j ij i j i j i j n i i i j j j a a a a ττ+= -∑ 和 3、由n 级排列的性质可知，n 级行列式共有!n 项，其中冠以正号的项和冠以负号的项（不算元素本身所带的负号）各占一半。 4、常见的行列式 1）上三角、下三角、对角行列式 11 11 11 222222 112200nn nn nn nn a a a a a a a a a a a a *===* 2）副对角方向的行列式 111(1)21 2,1 2,1 2 12,111 1 1 0(1) n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----* ===-* 3）范德蒙行列式： 1222212 11 1112 111() (2) n n i j j i n n n n n a a a a a a a a a a a n ≤<≤---= -≥∏ 二、行列式性质 1、行列式与它的转置行列式相等。
高数上知识点总结 导语：当你一个人的时候，别想两个人的事，把回忆丢在一旁，当你一个人的时候，只想高兴的事，把忧伤抛在脑后，当你一个人的时候，来到一个人的浪漫，释放你的情感，敞开你的情感，敞开你的心灵。以下我为大家介绍高数上知识点总结文章，欢迎大家阅读参考! 高数上知识点总结 高等数学是考研数学的重中之重，所占分值较大，需要复习的内容也比较多。主要包括8方面内容。 1、函数、极限与连续。主要考查分段函数极限或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。 2、一元函数微分学。主要考查导数与微分的求解;隐函数求导;分段函数和绝对值函数可导性;洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的根;证明函数不等式;罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理及辅助函数的构造;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。 3、一元函数积分学。主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明题;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。 4、向量代数和空间解析几何。主要考查求向量的数量积、向量积及混合积;求直线方程和平面方程;平面与直线间关系及夹角的判定;旋转面方程。
5、多元函数微分学。主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;二元、三元函数的方向导数和梯度;曲面和空间曲线的切平面和法线;多元函数极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。 6、多元函数的积分学。这部分是数学一的内容，主要包括二、三重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序;第一型曲线和曲面积分计算;第二型(对坐标)曲线积分计算、格林公式、斯托克斯公式;第二型(对坐标)曲面积分计算、高斯公式;梯度、散度、旋度的综合计算;重积分和线面积分应用;求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。 7、无穷级数。主要考查级数的收敛、发散、绝对收敛和条件收敛;幂级数的收敛半径和收敛域;幂级数的和函数或数项级数的和;函数展开为幂级数(包括写出收敛域)或傅立叶级数;由傅立叶级数确定其在某点的和(通常要用狄里克雷定理)。 8、微分方程，主要考查一阶微分方程的通解或特解;可降阶方程;线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;微分方程的建立与求解。 除了以上分章节的考查重点，还有跨章节乃至跨科目的综合考查题，近几年出现的有：级数与积分的综合题;微积分与微分方程的综合题;求极限的综合题;空间解析几何与多元函数微分的综合题;线性代数与空间解析几何的综合题等。线性代数的重要概念包括以下内容：代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次
信息工程学院主讲人谢宏
《线性代数》 行列式 向量的基本概念和运算 维数、向量加法、数乘、内积 矩阵的基本概念和运算 维数、矩阵加法、数乘、矩阵乘法 方阵、逆矩阵、正交矩阵、对称阵、相似矩阵 特征值与特征向量 线性方程组的解：解空间
《线性代数》 向量空间与线性变换 线性无关、基底、欧式空间、线性变换 二次型 多元二次函数、标准形、二次型的对角化
矩阵(Matrix ) 矩阵是数域F 上的m ×n 个数构成的数表： 称为F 上m 行、n 列的矩阵，记为A 称为A 的第i 行、第j 列元素，记为(A )ij mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211F a ij ∈i = 1, …, m , j = 1, …, n ij ij a A =)(
continue ） 数域F 上的一切m 行、n 列的矩阵的集合，记为： 若 ，，则称矩阵A 与B 同型 数域（Field ） 若数集F 含有数1且对四则运算封闭，则称F 为数域 映射（Mapping ） 若 ，，若存在一个对应关系（或对应法则）: ，有Y 中的唯一的一个元素y 与之对应，就称给出了一个从X 到Y 的一个 映射f ，记作：f :X →Y ，或y =f (x ) 映射是函数概念的推广，它与函数、算子、变换表示的是同一个概 念 特别地，当Y 为数集(实数集R 或复数集C )时，称f 为定义在集合X 上 的泛函（functional ） n m F ?n m F A ?∈n m F B ?∈φ≠X φ≠Y X x ∈?
continue ） 直积集 设A ，B 是给定的集合，称 为A 与B 的直积集，简称积集、直积 举例： ，，那么表示XOY 平面上矩形中点的集合 表示XOY 平面上所有点的集合 A × B 中的元素被称为有序对，即当时， 直积集的概念可被推广到两个以上给定的集合： {} B y A x y x ∈∈,:),(B A ?R b a A ∈=],[R d c B ∈=],[],[],[d c b a B A ?=?2 R R R =?2 1212211,),(),(y y x x y x y x ==?=y x ≠) ,(),(x y y x ≠{} n n n n A x A x A x x x x A A A ∈∈∈=???,,,:),,(22112121 ∏=n i i A 1 记为：
第一章 行列式（ * * * ） 一、复习指导：行列式在高等代数中是十分重要的，它不仅是每年必要的一道大题，而且还是一个基础章节，它与学好后面的章节也有一定的联系，是学习后面重要章节的基础。在首师大真题中，行列式往往会以求数字型n 阶行列式的值作为一道大题出现，分值15分。具体可以参考真题。 二、考点精讲： (一）基本概念 定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数，若j i >，则称),(j i 为一对逆序。 定义2 逆序数—设n i i i Λ21是n ,,2,1Λ的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i Λτ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。 定义3 行列式—称nn n n n n a a a a a a a a a D Λ ΛΛΛΛΛΛ 21 22221112 11 = 称为n 阶行列式，规定 n n n nj j j j j j j j j a a a D ΛΛΛ21212121) ()1(∑-= τ 。 定义4 余子式与代数余子式—把行列式nn n n n n a a a a a a a a a D Λ ΛΛΛΛΛΛ 21 22221112 11 = 中元素ij a 所在的i 行元素和j 列元素去掉，剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij j i ij M A +-=) 1(为元素ij a 的代数余子式。 （二）、几个特殊的高阶行列式 1、对角行列式—形如 n a a a Λ ΛO ΛΛΛΛ0 00 02 1 称为对角行列式，n n a a a a a a ΛΛ ΛO ΛΛΛΛ21210 00 0=。
高等代数知识结构一、高等代数知识结构图 高等代数线性代数 工具 线性方程组 中心课题 线性典范型 研究范围 线性空间 行列式 矩阵 线性方程组 向量相关性 行列式的计算 行列式的性质 矩阵的秩 矩阵的运算 与逆 矩阵的初等变换 线性方程组的解法及判别定理 线性方程组解的结构 极大线性无关组 线性相关和线性无关 二次型 线性流形 线性函数 若尔当典范性 化为标准型（配方法， 线性方程组法，正交法） 对角化 正定性，合同 单线性函数 对称双线性函数 J矩阵 II-C定理 矩阵的可对角化 线性空间 欧式空间 酉空间 线性空间的性质与同构， 子空间的判定 线性变换 坐标变换与基变换 特征值与特征向量 可对角化及不变子空间 欧式空间的性质 正交化与正交补的求法 正交变换与正交矩阵 酉空间的性质 复数域上的正交变换
二、高等代数知识结构内容 （一）线性代数： 工具：线性方程组 1.行列式： 1行列式的计算设有2n 个数，排成n 行n 列的数表 nn n n n n a a a a a a a a a 21 2222111211 ，即n 阶行 列式．这个行列式等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积 n 21nj j 2j 1a a a ⑴的代数和，这里n 21j j j 是n 21，，， 的一个排列,每一项⑴都按下列规则带有符号：当n 21j j j 是偶排列时, ⑴带正号；当n 21j j j 是奇排列时, ⑴带负号．即 nn n n n n a a a a a a a a a 2 12222111211 =() ()n 21n 21n 21nj j 2j 1j j j j j j 1a a a τ∑-， 这里∑n 21j j j 表示对所有n 级排列求和. a.行列式的性质： 性质1.行列互换，行列式不变。 性质2.一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数 多项式理论 整除理论 因式分解理论 多项式根的理论 多元多项式/ 对称多项式 最大公因式定理 互素与同于 因式分解唯一性 重因式 复数域 实数域 有理数域 求法 判定（爱绅斯坦因） 根的判别式 韦达定理
从高等代数看中学数学 高等代数是大学数学专业的主干专业基础课,是初等代数的继续和提高。高中新课改形势下的师范院校数学系的学生,经常面临着怎样运用所学的大学数学知识指导中学数学这个老大难的问题。因此,在教学中应该注意联系中学教学实际,引导学生在中学知识和大学知识之间架起一座桥梁,从而顺利实现思维方式和学习方法的过渡和转变,指导学生、也是未来的中学数学教师能利用课程的理论、方法与观点去剖析中学数学的方法问题,有利于帮助他们融会贯通中学数学的相关内容,提高解决中学数学问题的能力,高屋建瓴地深刻理解中学数学有关内容的来龙去脉,知其然且知所以然,培养较高层次的数学素质,为今后的教学实践打下专业基础。同时,反过来也有利于激发学习兴趣,促进知识深化。下面将从数学知识、数学思想方法、数学观念等方面发掘高等代数与中学数学的联系。 一线性方程组理论的应用 1.关于消元法与解的结构。线性方程组的理论是线性代数的重要理论结果,它是中学数学方程组求解方法的理论化与规范化。线性方程组是否有解、有解时解的数量、通解的公式表示、解的几何意义等一系列问题都得到了圆满的解决,体现了高等代数相对于初等代数的新观点、新思想、新方法的优越性,对中学数学教学具有高屋建瓴的指导作用。消元法是中学数学求解二(三)元一次方程组的基本方法,在高等代数中可以得到理论上的完美解释,即由于线性方程组的初等变换保持同解性,所以消元法可行,而且消元法的实质是反复对方程组作初等变换,或者说消元法是对线性方程组的增广矩阵作行的初等变换的过程。并且,根据线性方程组解的理论容易知道解的只有三种情况(唯一解、无解、无穷多解)以及具体判定方法和解的结构特征。特别地,在一定条件下,方程组的唯一解可以用公式形式给出,即Cramer法则。Cramer法则的意义主要在于:明确了解的存在性与唯一性,为判断这类方程组的有解性提供了比较直接的方法;将求解问题,转化为行列式的计算,避免了消元法的繁琐计算;以公式的形式给出了解与系数的明显关系,为一般线性方程组公式解的表达式提供了理论依据。 2.几个平面共点、共线、平行与重合的问题。利用线性方程组的理论容易解决平面共点、共线、平行与重合的问题。 实际上,平面族交于一点的条件是对应的方程组有唯一解,相当于系数矩阵与增广矩阵的秩都等于3;平面族共线的条件是系数矩阵与增广矩阵的秩都等于2;平面族过同一平面(重合)的条件是系数矩阵与增广矩阵的秩都等于1;平面族互相平行的条件是对应的方程组无解,相当于系数矩阵与增广矩阵的秩不相等。此外线性方程组理论还可解决直角坐标平面上四点共圆或者过不共线的三点的圆的方程等问题。 二向量线性关系的几何意义 向量思想体现了数学的抽象性与严谨性,反过来又展示了应用广泛性的特点,向量之间的线性相关性有着明显的几何意义。 一维情况:非零向量a与向量e共线(平行)的充要条件是a可由e线性表示。更一般的,两个向量共线(平行)的充要条件是它们线性相关。 二维情况:向量a与不共线的两个向量e1,e2共面的充要条件是a可由e1,e2线性表示。更一般的,三个向量共面的充要条件是它们线性相关。