简单几何体的体积
一、教学目标
1、理解定积分概念形成过程的思想;
2、会根据该思想求简单旋转体的体积问题。
二、 学法指导
本节内容在学习了平面图形面积计算之后的更深层次的研究,关键是对定积分思想的理解及灵活运用,建立起正确的数学模型,根据定积分的概念解决体积问题。
三、教学重难点:
重点:利用定积分的意义和积分公式表解决一些简单的旋转体的体积问题; 难点;数学模型的建立及被积函数的确定。
四、教学方法:探究归纳,讲练结合
五、教学过程
(一)、复习:(1)、求曲边梯形面积的方法是什么?(2)、定积分的几何意义是什么?(3)、微积分基本定理是什么?
(二)新课探析
问题:函数()y f x =,[],x a b ∈的图像绕x 轴旋转一周,所得到的几何体的体积V = 。 2[()]b
a V f x dx π=? 典例分析
例1、给定直角边为1的等腰直角三角形,绕一条直角边旋转一周,得到一个圆锥体。求它的体积。 分割→近似代替(以直代曲)→求和→取
极限(逼近)
学生阅读课本P89页分析,教师引导。
解:圆锥体的体积为 1231
0033V x dx x ππ
π===?
变式练习1、求曲线x y e =,直线0x =,
12x =与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。 答案:)(12-e π
;
例2、如图,是常见的冰激凌的形状,其下方是一个圆锥,
上方是由一段抛物线弧绕其对称轴旋转一周所成的形状,尺寸
如图所示,试求其体积。
分析:解此题的关键是如何建立数学模型。将其轴载面按
下图位置放置,并建立坐标系。则A ,B 坐标可得,再求出直
线AB 和抛物线方程, “冰激凌”可看成是由抛物线弧OB 和线
段AB 绕X 轴旋转一周形成的。
解:将其轴载面按下图位置放置,并建立如图的坐标系。则),(012A , ),(44B ,设抛物线弧OA 所在的抛物线方程为:px y 22=,代
入),(44B 求得:2=p
∴抛物线方程为:x y 42=(0≥y )
设直线AB 的方程为:12+=qy x ,
代入),(44B 求得:2-=q
∴直线AB 的方程为:62
1+-=x y ∴所求“冰激凌”的体积为:3401242232246212)()()(cm dx x dx x ππ=?
?????+-+?? 变式练习2
如图一,是火力发
电厂烟囱示意图。它是双
曲线绕其一条对称轴旋
转一周形成的几何体。烟
囱最细处的直径为m 10,
最下端的直径为m 12,最
细处离地面m 6,烟囱高
m 14,试求该烟囱占有空间的大小。
(图二) (图一) (精确到310m .) 答案:321659m .
归纳总结:求旋转体的体积和侧面积
由曲线()y f x =,直线,x a x b ==及x 轴所围成的曲边梯形
绕x 轴旋转而成的旋转体体积为2[()]b
a V f x dx π=?.其侧面积为 '22()1[()]b
a S f x f x dx π=+?侧. 求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程,总结
求旋转体体积公式步骤如下:1.先求出()y f x =的表达式;2.代
入公式()2b a V f x dx π=?,即可求旋转体体积的值。 (三)、课堂小结:求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程,总结求旋转体体积公式步骤如下:1.先求出()y f x =的表达式;2.代入公式()2b
a V f x dx π=?,即可求旋转体体积的值。 (四)、作业布置:
五、教后反思