第2讲 等差数列及其前n 项和
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．(2013·肇庆二模)在等差数列{a n }中，a 15＝33，a 25＝66，则a 35＝________. 解析 a 25－a 15＝10d ＝66－33＝33，∴a 35＝a 25＋10d ＝66＋33＝99. 答案 99
2．(2014·成都模拟)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，前三项之和S 3＝9，则{a n }的通项a n ＝________.
解析 由a 1＝1，S 3＝9，得a 1＋a 2＋a 3＝9，即3a 1＋3d ＝9，解得d ＝2，∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.
答案 2n －1
3．(2013·温州二模)记S n 为等差数列{a n }前n 项和，若S 33－S 22＝1，则其公差d ＝
________.
解析 由S 33－S 22＝1，得a 1＋a 2＋a 33
－a 1＋a 22＝1， 即a 1＋d －? ??
??a 1＋d 2＝1，∴d ＝2. 答案 2
4．(2014·潍坊期末考试)在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＋a 7＝15，那么a 3＋a 4＋…＋a 9等于________．
解析 由题意得3a 6＝15，a 6＝5.所以a 3＋a 4＋…＋a 9＝7a 6＝7×5＝35. 答案 35
5．(2013·揭阳二模)在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为________．
解析 由a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，得(m －1)d ＝9a 5＝36d ?m ＝37.
答案 37
6．(2014·无锡模拟){a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，已知a 7＝5，S 7＝21，则S 10＝________.
解析 设公差为d ，则由已知得S 7＝7(a 1＋a 7)2，即21＝7(a 1＋5)2
，解得a 1＝1，所以a 7＝a 1＋6d ，所以d ＝23.所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝10＋10×92×23＝40.
答案 40
7．(2013·淄博二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 13＝S 13＝13，则a 1＝________.
解析 在等差数列中，S 13＝13(a 1＋a 13)2
＝13，所以a 1＋a 13＝2，即a 1＝2－a 13＝2－13＝－11.
答案 －11
8．(2013·浙江五校联考)若等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若a 2∶a 3＝5∶2，则S 3∶S 5＝________.
解析 S 3S 5＝3(a 1＋a 3)5(a 1＋a 5)＝3a 25a 3＝35×52＝32
. 答案 3∶2
二、解答题
9．(2013·福建卷)已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n .
(1)若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1；
(2)若S 5＞a 1a 9，求a 1的取值范围．
解 (1)因为数列{a n }的公差d ＝1，且1，a 1，a 3成等比数列，所以a 21＝1×(a 1＋2)，即a 21－a 1－2＝0，解得a 1＝－1或2.
(2)因为数列{a n }的公差d ＝1，且S 5＞a 1a 9，所以5a 1＋10＞a 21＋8a 1，即a 21＋
3a 1－10＜0，解得－5＜a 1＜2.
故a 1的取值范围是(－5,2)．
10．(2013·西安模拟)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足b n ＝S n n ＋c
，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d ＞0，由等差数列的性质，得a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝22，
所以a 3，a 4是关于x 的方程x 2－22x ＋117＝0的解，所以a 3＝9，a 4＝13，易知a 1＝1，d ＝4，故通项为a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.
(2)由(1)知S n ＝n (1＋4n －3)2＝2n 2－n ，所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c
. 法一 所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c
(c ≠0)． 令2b 2＝b 1＋b 3，解得c ＝－12.
当c ＝－12时，b n ＝2n 2
－n n －12
＝2n ，
当n ≥2时，b n －b n －1＝2.
故当c ＝－12时，数列{b n }为等差数列．
法二 由b n ＝S n n ＋c ＝n (1＋4n －3)2n ＋c ＝2n ? ????n －12n ＋c
， ∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n .
∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)，
∴数列{b n }是公差为2的等差数列．
即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列．
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、填空题
1．(2014·咸阳模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝________.
解析 S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以
4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2
＝210，得n ＝14. 答案 14
2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是________．
解析 法一 由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7＞0，a 8＜0，故n ＝7时，S n 最大．
法二 由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数的性质，知当n ＝7时，S n 最大．
法三 根据a 1＝13，S 3＝S 11，则这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关
于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，得只有当n ＝3＋112＝7时，
S n 取得最大值．
答案 7
3．(2014·九江一模)正项数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，
n ≥2)，则a 7＝________.
解析 因为2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，所以数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，
以d ＝a 22－a 21＝4－1＝3为公差的等差数列，
所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝3n －2，n ≥1.所以a 7＝3×7－2＝19.
答案 19
二、解答题
4．(1)已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a ＞0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3，若数列{a n }唯一，求a 的值；
(2)是否存在两个等比数列{a n }，{b n }，使得b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成公差不为0的等差数列？若存在，求{a n }，{b n }的通项公式；若不存在，说明理由．
解 (1)设{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a ，b 2＝2＋aq ，b 3＝3＋aq 2，由b 1，b 2，b 3成等比数列得(2＋aq )2＝(1＋a )(3＋aq 2)，
即aq 2－4aq ＋3a －1＝0.*
由a ＞0得，Δ＝4a 2＋4a ＞0，故方程*有两个不同的实根．
再由{a n }唯一，知方程*必有一根为0，将q ＝0代入方程*得a ＝13.
(2)假设存在两个等比数列{a n }，{b n }使b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成公差不为0的等差数列．
设{a n }的公比为q 1，{b n }的公比为q 2，则b 2－a 2＝b 1q 2－a 1q 1，b 3－a 3＝b 1q 22－
a 1q 21，
b 4－a 4＝b 1q 32－a 1q 31.
由b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成等差数列，得
??? 2(b 1q 2－a 1q 1)＝b 1－a 1＋(b 1q 22－a 1q 21)，2(b 1q 22－a 1q 21)＝b 1q 2－a 1q 1＋(b 1q 32－a 1q 31
)， 即???
b 1(q 2－1)2－a 1(q 1－1)2＝0， ①b 1q 2(q 2－1)2－a 1q 1(q 1－1)2＝0. ② ①×q 2－②得a 1(q 1－q 2)(q 1－1)2＝0，
由a 1≠0得q 1＝q 2或q 1＝1.
(ⅰ)当q 1＝q 2时，由①②得b 1＝a 1或q 1＝q 2＝1，这时(b 2－a 2)－(b 1－a 1)＝0，与公差不为0矛盾．
(ⅱ)当q 1＝1时，由①②得b 1＝0或q 2＝1，这时(b 2－a 2)－(b 1－a 1)＝0，与公差不为0矛盾．
综上所述，不存在两个等比数列{a n }，{b n }使b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成公差不为0的等差数列．