多步法应用于常微分方程的数值解。从概念上讲，数值方法从初始点开始，然后在时间上向前迈出一小步，以找到下一个求解点。该过程的下一步是绘制解决方案。一步法（例如Euler方法）仅引用前一点及其导数来确定当前值。诸如Runge Kutta之类的方法采取一些中间步骤（例如，半个步骤）来获得高阶方法，但是在进行第二步之前会丢弃所有先前的信息。多步尝试通过保留和使用先前步骤中的信息而不是丢弃信息来提高效率。因此，多步法涉及前几个要点和导数。在多步的情况下，使用先前点和导数的线性组合。 简单的介绍 多步法应用于常微分方程的数值解。从概念上讲，数值方法从初始点开始，然后在时间上向前迈出一小步，以找到下一个求解点。该过程的下一步是绘制解决方案。一步法（例如Euler方法）仅引用前一点及其导数来确定当前值。诸如Runge Kutta之类的方法采取一些中间步骤（例如，半个步骤）来获得高阶方法，但是在进行第二步之前会丢弃所有先前的信息。多步尝试通过保留和使用先前步骤中的信息而不是丢弃信息来提高
效率。因此，多步法涉及前几个要点和导数。在多步的情况下，使用先前点和导数的线性组合。[1-3] 具体定义 常微分方程的数值方法近似地解决了形式初值问题 结果是离散时间的Ti的Y（T）的近似值 其中h是时间步长，而I是整数。 Multistep使用上一步中的信息来计算下一个值。特别地，多步法使用Yi和f（Ti，Yi）来计算所需当前步长的Y值。因此，多步方法是以下形式的方法：确定系数AI和Bi。该方法的设计者选择系数平衡了对实际解决方案的需求，以便获得一种易于使用的方法。通常，许多系数为零以简化该方法。 显式和隐式方法可以区分。如果Bi = 0，则该方法称为“显式”，因为它可以直接计算yn + s。如果Bi≠0，则该方法称为“隐式”，因为YN + s的值取决于f（TN + s，yn + s），并且必须为yn + s。迭代方法（例如牛顿法）通常用于求解隐式公式。
线性多步法： 线性多步法（linear multistep method）是1993年发布的数学名词。 线性： 线性特性是卷积运算的性质之一，即设a，b为任意常数，则对于函数f(z，y)，h(x，y)和g(x，y)， {af(x，Y)+bh(z，y)}*g(z，y)=af(x，y)*g(x，y)+bh(x，y)*g(z，y)。 同样有： f(x，y)*{ah(x，y)+bg(x，y)=af(x，y)*h(x，y)+bf(x，y)*g(x，y)。 定义： 卷积(Convolution)既是一个由含参变量的无穷积分定义的函数，又代表一种运算。其运算性质在线性系统理论、光学成像理论和傅里叶变换及其应用中经常用到。 卷积的运算性质有线性特性，复函数的卷积，可分离变量，卷积符合交换律，卷积符合结合律，坐标缩放性质，卷积位移不变性，函数f（x，y）与函数的卷积。 其中线性特性可描述为： 设a，b为任意常数，则对于函数f(z，y)，h(x，y)和g(x，y)，{af(x，Y)+bh(z，y)}*g(z，y)=af(x，y)*g(x，y)+bh(x，y)*g(z，y)。
同样有： f(x，y)*{ah(x，y)+bg(x，y)=af(x，y)*h(x，y)+bf(x，y)*g(x，y)。 多步法： 多步法用于普通微分方程的数值解。从概念上讲，一个数值方法从一个初始点开始，然后在时间上向前迈出一小步，找到下一个解点。该过程以后的步骤来绘制解决方案。单步方法（如欧拉方法）只指一个前一点及其导数来确定当前值。诸如Runge-Kutta的方法采取一些中间步骤（例如，半步）来获得更高阶的方法，但是在进行第二步之前丢弃所有先前的信息。多步法尝试通过保留和使用先前步骤的信息而不是丢弃它来提高效率。因此，多步法是指前几个点和导数值。在多步法的情况下，使用先前点和导数值的线性组合。
第4章 线性多步法 4.1 线性多步法的一般公式 前面给出了求解初值问题(1.2.1)的单步法，其特点是计算 时只用到 的值，此时 的值均已算出.如果在计算 时除用 的值外， 还用到 的值，这就是多步法.若记 ,h 为步长， ，则线性多步法可表示为 (4.1.1) 其中 为常数，若 (即不同时为零)，称(4.1.1)为线性k 步 法.计算时用到前面已算出的k 个值.当 时，(4.1.1)为显 式多步方法，当则称(4.1.1)为隐式多步法.隐式方法与梯形方法一样，计算时要用迭代法求 .多步法(4.1.1)的局部截断误差定义也与单步法类似. 举例来说，对于初值问题'1,y y x =-++(0)1y =，步数k=2时，线性多步法表示为 101111011(), 1,2,n n n n n n y y y h f f f n ααβββ+--+-=++++= 当 时，格式为显示的： 10110111[(1)(1], 1,2,n n n n n n n y y y h y x y x n ααββ+---=++-+++-++= ， 而 时，格式为隐式的： 10111110111[(1)(1)(1], 1,2,n n n n n n n n n y y y h y x y x y x n ααβββ+--++--=++-+++-+++-++= 。 定义4.1 设y(x)是初值问题(1.2.1)的精确解，线性多步法(4.1.1)在处的局部截断误差定义为 (4.1.2)
若，则称线性多步法(4.1.1)是p阶的. 如果我们希望得到的多步法是p阶的，则可利用Taylor公式展开，将在 处展开到阶，它可表示为 (4.1.3) 注意，(4.1.2)式按Taylor展开可得 经整理比较系数可得 (4.1.4) 若线性多步法(4.1.1)为p阶，则可令 于是得局部截断误差 (4.1.5) 右端第一项称为局部截断误差主项.称为误差常数.要使多步法(4.1.1)逼近初值问题(1.2.1),方法的阶p≥1,当p=1时，则，由(4.1.4)得 (4.1.6)称为相容性条件. 公式(4.1.1)当k=1时即为单步法，若,由(4.1.6)则得
常微分方程数值解的多步法。从概念上讲，一种数值方法是从一个初始点开始的，然后在时间上向前迈出一小步，以找到下一个求解点。以下过程绘制解决方案。单步方法（例如欧拉方法）仅参考前一点及其导数来确定当前值。诸如Runge-Kutta之类的方法采取了一些中间步骤（例如，半步骤）来获得高阶方法，但是在进行第二步之前会丢弃所有先前的信息。多步方法试图通过保留和使用先前步骤的信息而不是丢弃信息来提高效率。因此，多步法是指前几个点和导数值。在多步法的情况下，使用先前点和导数值的线性组合。 常微分方程数值解的多步法。从概念上讲，一种数值方法是从一个初始点开始的，然后在时间上向前迈出一小步，以找到下一个求解点。以下过程绘制解决方案。单步方法（例如欧拉方法）仅参考前一点及其导数来确定当前值。诸如Runge-Kutta之类的方法采取了一些中间步骤（例如，半步骤）来获得高阶方法，但是在进行第二步之前会丢弃所有先前的信息。多步方法试图通过保留和使用先前步骤的信息而不是丢弃信息来提高效率。因此，多步法是指前几个点和导数值。在多步法的情况下，使用先前点和导数值的线性组合。 具体定义 常微分方程的数值方法近似地解决了形式初值的问题
结果是离散时间ti处y（t）的近似值： 其中h是时间步长，而i是整数。 多步方法使用上一个S步骤的信息来计算下一个值。特别地，多步方法使用yi和f（ti，yi）来计算当前步骤所需的y值。因此，多步方法是一种具有以下形式的方法： 确定系数ai和bi的方法。该方法的设计者选择系数来平衡对实际解决方案的需求，从而获得一种易于使用的方法。通常，许多系数为零以简化方法。 可以区分显式和隐式方法。如果bi = 0，则此方法称为“显式”，因为此公式可以直接计算yn + s。如果bi≠0，则此方法称为“隐式”，因为yn + s的值取决于f（tn + s，yn + s），并且必须为yn + s。迭代方法（例如牛顿法）通常用于求解隐式公式。 有时，使用显式多步方法来“预测”yn + s的值。然后，在隐式公式中使用该值来“更正”该值。结果是一种预测器校正方法。
高等数值分析课程论文关于SI模型的线性多步法求解讨论 姓名：姚鸿泰 学号： 104753150620 学院：数学与统计学院 专业：概率论与数理统计 时间： 2016年6月
关于SI 模型的线性多步法求解讨论 姚鸿泰 概率论与数理统计 104753150620 摘 要：本文首先介绍了SI 模型——易感染者与已感染者模型，并对该模型建模，得到非线性常微分方程.之后运用线性多步法求解该非线性常微分方程，并在最终给出误差图. 关键词：SI 模型；线性多步法；Adams 外插公式；Adams 内插公式；Adams 预估—校正公式 一、模型背景及建模 传染病经常在世界各地流行，如霍乱、天花、艾滋病、SARS 、H5N1等.建立传染病的数学模型，分析其变化规律，防止其蔓延是一项重要而艰巨的任务.此处仅就一般的传染规律讨论传染病的数学模型. 假设传染病传播期间该地区总人口不变，为常数n.开始染病人数为0x ，在时刻t 的健康人数为()t y ，染病人数为()t x .由于总人数为n ，所以有： ()()n t y t x =+. （1.1） 设单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康人数呈正比，比例为常数k ，称k 为传染系数，于是： ()()()().0d d 0x x t x t ky t t x ==， （1.2） 注意到（1.1）式可得： ()()00,d d x x x n kx t x =-= （1.3） 上述模型就是SI 模型，即易感染者（Susceptible ）和已感染者（Infective ）模型. 二、Adams 方法的介绍 Adams 方法本质上就是由数值积分方法构造的线性多步法的一种形式.对于非线性常微分方程： ()()()? ? ?=='00,y x y x y x f y ， （2.1） 将))(,(x y x f y ='方程两端从k n x -到1+n x 积分得：
线性多步法 多步法用于普通微分方程的数值解。从概念上讲，一个数值方法从一个初始点开始，然后在时间上向前迈出一小步，找到下一个解点。该过程以后的步骤来绘制解决方案。单步方法（如欧拉方法）只指一个前一点及其导数来确定当前值。诸如Runge-Kutta的方法采取一些中间步骤（例如，半步）来获得更高阶的方法，但是在进行第二步之前丢弃所有先前的信息。多步法尝试通过保留和使用先前步骤的信息而不是丢弃它来提高效率。因此，多步法是指前几个点和导数值。在多步法的情况下，使用先前点和导数值的线性组合。 多步法用于普通微分方程的数值解。从概念上讲，一个数值方法从一个初始点开始，然后在时间上向前迈出一小步，找到下一个解点。该过程以后的步骤来绘制解决方案。单步方法（如欧拉方法）只指一个前一点及其导数来确定当前值。诸如Runge-Kutta的方法采取一些中间步骤（例如，半步）来获得更高阶的方法，但是在进行第二步之前丢弃所有先前的信息。多步法尝试通过保留和使用先前步骤的信息而不是丢弃它来提高效率。因此，多步法是指前几个点和导数值。在多步法的情况下，使用先前点和导数值的线性组合。 5多步编辑 通常使用三类多步法：Adams-Bashforth方法，Adams-Moulton方法和后向微分方程（BDF）。
Adams-Bashforth方法 Adams-Bashforth方法是很明确的方法。系数是as-1=-1，其他均为0，而bj被选择为使得方法具有顺序s（这独特地确定方法）。 Adams-Moulton方法 Adams-Moulton方法类似于Adams-Bashforth方法，因为它们还具有as-1=-1，其他均为0。再次选择b系数以获得可能的最高级。然而，Adams-Moulton方法是隐式方法。通过删除bs = 0的限制，Adams-Moulton方法可以达到s + 1，而Adams-Bashforth方法只有s。
西京学院数学软件实验任务书
实验二十五实验报告 一、实验名称：线性多步法（数值积分法，Taylor 展开法）。 二、实验目的：进一步熟悉线性多步法（数值积分法，Taylor 展开法）。 三、实验要求：运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica 等其中一种语言完成程序设计。 四、实验原理： 1．数值积分法： 常微分方程初值问题 000 (,), ()()dy f x y x x dx y x y ?=?≤??=? (1) 数值解法中，某一步的公式不仅与前一步解的值有关，而且与前若干步解的值有关，利用前面多步的信息预测下一步的值，这就是多步法的基本思想，可以期望获得较高的精度。 将(1)中的方程在区间[]1n n x x +，上积分，可以得到： ()()()()11n n x n n x y x y x f x y x dx ++=+? ，。 用等距节点的插值多项式来替代被积函数，再对插值多项式积分，这样就得到一系列求积公式。
用梯形方法计算积分项 ()()()()()()1 112 n n x n n n n x h f x y x dx f x y x f x y x +++??≈ +??? ，，， 代入(1)中得： ()()()()()()1112 n n n n n n h y x y x f x y x f x y x +++??≈+ +??，， 设由1r +个数据点()()()11n n n n n r n r x f x f x f ---- ，，，，，， 构造插值多项式()r P x ，这里()0k k k k f f x y x x kh ==+，，，运用插值公式有： ()()()00r r n k r n j j j j k k j n j n k x x P x f l x l x x x --==≠---== -∑∏，， 得到下列计算公式： 10r n n rj n j j y y h f α+-==+∑ (2) 其中，()1100101n n r x rj j x k k j t k l x dx dt j r h k j α+=≠+===-∏?? ，，，， 由此可得(2)中的系数。公式(2)是一个r+1步的显式公式，称为Adams 显式公式。 2．Taylor 展开法： 基于数值积分可以构造出一系列求解常微分方程的计算公式，下面介绍基于 Taylor 展开的待定系数法，它可灵活地构造出线性多步法。对固定的系数，可以选取待定系数使线性
线性特性是卷积运算的性质之一，即设a，b为任意常数，则对于函数f(z，y)，h(x，y)和g(x，y)， {af(x，Y)+bh(z，y)}*g(z，y)=af(x，y)*g(x，y)+bh(x，y)*g(z，y)。 同样有： f(x，y)*{ah(x，y)+bg(x，y)=af(x，y)*h(x，y)+bf(x，y)*g(x，y)。 定义： 卷积(Convolution)既是一个由含参变量的无穷积分定义的函数，又代表一种运算。其运算性质在线性系统理论、光学成像理论和傅里叶变换及其应用中经常用到。 卷积的运算性质有线性特性，复函数的卷积，可分离变量，卷积符合交换律，卷积符合结合律，坐标缩放性质，卷积位移不变性，函数f（x，y）与函数的卷积。 其中线性特性可描述为： 设a，b为任意常数，则对于函数f(z，y)，h(x，y)和g(x，y)，{af(x，Y)+bh(z，y)}*g(z，y)=af(x，y)*g(x，y)+bh(x，y)*g(z，y)。 同样有： f(x，y)*{ah(x，y)+bg(x，y)=af(x，y)*h(x，y)+bf(x，y)*g(x，y)。
多步法用于普通微分方程的数值解。从概念上讲，一个数值方法从一个初始点开始，然后在时间上向前迈出一小步，找到下一个解点。该过程以后的步骤来绘制解决方案。单步方法（如欧拉方法）只指一个前一点及其导数来确定当前值。诸如Runge-Kutta的方法采取一些中间步骤（例如，半步）来获得更高阶的方法，但是在进行第二步之前丢弃所有先前的信息。多步法尝试通过保留和使用先前步骤的信息而不是丢弃它来提高效率。因此，多步法是指前几个点和导数值。在多步法的情况下，使用先前点和导数值的线性组合。