§5.5诱导公式（一）
刘毅财经艺术部
【课题】诱导公式（新授课）
【课时】1课时
【设计理念】本节课指导思想是通过学生的观察和讨论，引导学生形成“终边具有某种特定关系的角它们的三角函数值也具有特定的关系”这一思想，顺利的得出二组诱导公式，而公式的记忆和运用技巧在例题讲解和练习中得到体现。
【教材分析】本节内容选自高教版《数学》（基础模块）上册第五章P110～P112是两组诱导公式。以往的教材中“诱导公式”部分，公式多、记忆难、要求高而本册教材突出基础性和实际应用性，强调了函数计算器在教学中的运用，使得诱导公式的教学内容主要是理解和简单的计算。
【学情分析】所教班级为本学期新接手班级11会计2班，从开学初进行的测试练习来看，班级中大部分学生还未养成良好的学习习惯，知识遗忘速度很快，学习比较被动。从教学过程中也发现在教师的引导下大部分学生能展现出一定的学习兴趣和能力。
【教学目标】知识目标：了解诱导公式
能力目标：能利用诱导公式进行简单的计算，使学生的数学思维能力和计算能
力得到一定的锻炼
情感目标：通过对终边相同角的诱导公式的讨论，体验特殊到一般、具体到抽
象的数学思想，同样从终边关系入手，通过对±α的诱导公式的讨
论，体验数形结合、类比转化的数学思想
【教学重难点】两组诱导公式的理解和简单运用
【教学思路】
①从0和2π角的三角函数值相同出发，引导得出一般情况下终边相同的角同名三角函数值
相等这一结论；
②从α与-α终边特点出发引导得出第二组公式。
③通过例题和练习让学生明确二组公式的作用和熟悉公式的使用过程
【教学过程】
一、复习和引入
①三角函数的定义以及在单位圆的特殊环境下三角函数值和终边与单位圆交点的坐标关系。（多媒体课件演示）
提出问题：
ⅰ）表格中出现了一个非常特殊的情况：0与2π弧度的角同名三角函数值完全相等。那么为
什么会出现这种情况呢？（利用多媒体演示，引导学生观察出它们终边是相同的这一关系）ⅱ）这种特殊的情况仅仅只有0和2π之间才存在吗？还是有其他的角也存在这种关系，如果有我们能不能总结一下？
在来观察以下情况：
（只要终边相同三角函数值就完全相同）
二、新课讲解和探究
1、公式一α与α+k2πk Z
∈的三角函数关系（终边相同角）
即：sin(α+k2π)=sinα
cos(α+k2π)=cosα(k∈Z)
tan(α+k2π)=tanα
例1：不使用计算器求下列各值：
sin1110° cos（-660°）
解：sin(30°+1080°) 解：cos[60°+(-2)×360°]
=sin（30°+3×360°）=cos60°=1 2
=sin30°=1 2
巩固练习1：
sin1125°tan(-540°)
小结：
①公式一的作用是什么？
将旋转量超过一周的三角函数计算问题转化为一周内的三角函数问题，（“大角化小角”）
②在实际操作时候怎么做？
只要去掉周角的整数倍函数值不会变化。
其实，除了终边相同这一特殊情况外，三角函数中还有一些特殊情况，我们观察下面几组角，看看能不能得出一些规律。（课件演示）
30°与-30° 130°与-130°
问题：
①它们的终边有没有特殊的关系？（终边关于x 轴对称）
②它们的三角函数值之间的关系是什么？（正弦、正切差一个负号；余弦相同）
2、公式二 ±α的三角函数关系
sin(-α)=-sin α cos(-α)=cos α tan(-α)=-tan α
例2： ①求cos(-
4π)值 ②计算：4sin ()6π-+8cos ()2π-+7tan ()4π-
解原式=cos
4π 解原式=4×(-sin
6π)+8cos 2π+7(-tan 4
π) =4×(-
1
2
)+8×0+7×(-1)=-2-7=-9 小结：
①公式二的作用：将负角三角函数转化成正角三角函数
②实际应用中正弦、正切函数可以看做将负号从括号中提到函数名前面，余弦函数中的负号直接去掉不考虑
巩固练习2：
计算：8sin(-2π)+6cos(-3π
)-2tan(-π) 解原式=8×(-sin 2π)+6cos 3π
+2tan π
=8×(-1)+6×1
2
+2×0=-8+3+0=-5
例3：求sin （-750°） 解一：
sin(-750°)=sin[（-30°）+(-2)×360°]=sin(-30°)=-sin(30°)=-1
2
（大化小，负化正） 提问：有没有别的做法？ 解二：
sin(-750°)=-sin750°=-sin(30°+2×360°)=-sin30°=-
1
2
（负化正，大化小） 小结：从例3看到诱导公式使用的过程可能有所不一样，但最后的结果都是相同的。我们习惯上倾向解法二这样使用公式一、二
巩固练习3:
求sin （-
133π
） 解：sin （-133π）=-sin 133π=-sin(3π+123π)=-sin(3
π
+4π)
=-sin(
3π+22π?)=-sin 3π
=-2
三、内容小结：
①今天我们学习了两组公式 公式一 公式二
sin(α+k2π)=sin α sin(-α)=-sin α cos(α+k2π)=cos α (k ∈Z ) cos(-α)=cos α tan(α+k2π)=tan α tan(-α)=-tan α ②二组公式产生的原因： 角的终边存在某种特殊的关系 公式一 终边相同
公式二 终边关于x 轴对称
③两组公式的作用及一般使用顺序：
以上就是我们这个课的所有内容，大家可以思考下角的特殊位置关系除了这两种，还有吗？可不可以关于y 轴对称？可不可以关于原点对称？这时候三角函数值又会有怎样的规律。这些我们下节课再来讨论。 四、课后作业 复印资料
【教学反思】
平方差公式教案(优质 课一等奖) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
八年级数学《15.2.1平方差公式》教学设计 桂平市西山一中覃娟娟 教学目标： 1.经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式,并运用公式进行简单的运 算. 2.在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用。 3.在计算的过程中发现规律,并能用符号表达,从而体会数学语言的简洁美.教学重点、难点： 重点：平方差公式的推导及应用. 难点：平方差公式的应用. 教具准备： 多媒体课件 教学过程： 一、创设情景，复习导入 回顾思考： 1、多项式乘法法则： ( m + a )( n + b ) = m n + m b + a n + a b x+(a+b)x+ab 2、如果m=n，且都用 x 表示，那么上式就成为:(x+a)(x+b)=2 二、新课引入 1、计算下列各题,看谁做的又快又准确: (1)(x＋y)(x－y) (2)(2a＋b)(2a－b) 2、教师提问：1）上述式中都有什么样的规律
2）能不能用字母来表现它呢？学生活动：讨论，并回答出教师提问. 3、师生共同归纳出平方差公式 2 2 ) )( (b a b a b a- = - + 4、师生共同探讨用面积说明平方差公式（课件演示图形）. 5、师生共同分析平方差公式的结构特征. 6、练习： 判断下列式子可用平方差公式计算吗 ①(a?b)(b?a) ；② (a+2b)(2b+a)； ③(a?b)(a+b) ；④ (2x+y)(y?2x). 三、例题讲解 例1 运用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5?6x)； (2) (b+2a)(2a?b)； (3) (-x+2y)(-x?2y). 评析:1）认清结构，找准a、b 2）运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，找出相同的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式； 例2：计算： （1）102 × 98 ；（2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5). 评析：1）巧妙的化为公式形式 ;
教材： 换底公式 目的：要求学生掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题。 过程： 一、复习：对数的运算法则 导入新课：对数的运算的前提条件是“同底”，如果底不同怎么办？ 二、换底公式：a N N m m a log log log = ( a > 0 , a ≠ 1 ) 证：设 log a N = x , 则 a x = N 两边取以 m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =?= 从而得：a N x m m log log = ∴ a N N m m a log log log = 两个较为常用的推论： 1? 1log log =?a b b a 2? b m n b a n a m log log = （ a , b > 0且均不为1） 证：1? 1lg lg lg lg log log =?= ?b a a b a b b a 2? b m n a m b n a b b a m n n a m log lg lg lg lg log === 三、例一、计算：1? 3log 12.05- 2? 42 1432log 3log ? 解：1? 原式 = 153 15 5 5 553 1log 3 log 5 2.0== = 2? 原式 = 2 345412log 452log 213log 21232=+=+? 例二、已知 log 18 9 = a , 18 b = 5 , 求 log 36 45 （用 a , b 表示） 解：∵ log 18 9 = a ∴a =-=2log 12 18 log 1818 ∴log 18 2 = 1 - a
二倍角的正弦、余弦和正切公式公开课教案 课题：3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式 课型：新授课 一、教学目标 1. 知识与技能：(1)会推导二倍角的正弦，余弦，正切公式； (2)灵活运用二倍角公式解决有关的求值，化简，证明等问题。 2. 过程与方法：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，理解推导 过程，掌握其应用。 3. 情感态度价值观：灵活运用有关公式解决相关的数学问题，感受三角问题的有关恒等变换，用联系，发展 的观点看问题。 二、教学重点、难点 教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 三、教学过程设计： （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式， βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(?+-=- β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+ 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可）， （二）公式推导： ()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=； ()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？ 22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-． ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα +=+==--．
对数公开课教学反思 本节课是高中数学必修1第二章对数的第一节课，是一节概念课。我首先想着要从具体实例引入，要让学生感受到引入对数的必要性，于是查看了对数的起源，其实对数的起源来源于运算，将乘法运算简化为加法运算。我采用了这样的一个例子 思考：测量地震级别常采用里氏震级.汶川地震为8.0级，我们似乎很少去关心3级，4级的地震，事实上，这些级别的地震能量（震源所释放的能量大小）远远小于7级，8级，地震能量E 与地震震级M 的关系式为30M E =， (1)8级地震释放的能量是4级地震释放能量的多少倍？ (2)测得某地震所释放的能量1.8×104，问它是多少级的地震？ (3)比较地震伤害能力的大小采用地震能量来比好，还是采用里氏震级好呢？ 后来评课的时候，大家对这个引例给出过讨论，这个例子是好还是不好？有没有必要，其实就是想达到吸引学生，调动积极性，然后让学生感受我们有必要去引入这个符号来进行对数运算而已。我觉得在课堂中，他达到了他的目的。另外这里，可以为换底公式那一节做个铺垫。 班级是自己当班主任的班级，学生的配合是到位的。 这节课的知识点是很少的，就觉得数学思维性的东西很难去展现，但是新课的味道又太淡了，感觉就是知识点讲完之后，开始灌注练习，会给人这种感觉，我的想法是，这些练习都是为了学生更好地去掌握概念。但是，如何要把这节课上的生动，让学生去发现一些东西，而不是给出练习，让学生纯粹地去练，就感觉学生参与课堂是被动的，如何让学生很主动地参与课堂中。 听课老师给我很多意见和建议：比如在给出log 10a =，log 1a a =，可以像玩游戏一样的，让学生自己去发现，多算几个，让学生自己来推导，这样课堂的趣味性会更好的。 对于个人，自己要很开心地去上一堂课，去很激动很投入地上一堂课，要有激情，声音上才会抑扬顿挫啊！
三角函数的诱导公式(共5课时) 教学目标： 1、知识目标：理解四组诱导公式及其探究思路，学会利用 四组诱导公式求解任意角的三角函数值，会 进行简单的化简与证明。 2、能力目标：培养学生数学探究与交流的能力，培养学生 直觉猜想与抽象概括的能力。 3、情感目标与价值观：通过不断设置悬念、疑问，来引起 学生的困惑与惊讶，激发学生的好奇心和 求知欲，通过小组的合作与交流，来增强 学生学习数学的自信心。 教学重点：理解四组诱导公式 利用四组诱导公式求任意角的三角函数值和简单的化简与证明。 教学难点：四组诱导公式的推导过程 为了区分下节课的几组公式，要理解为何名称不变 理解确定符号的方法 教学方法：启发式结合讨论式教学方法，结合多媒体课件演示
教学工具：多媒体电脑，投影仪 教学过程: 一、问题情景： 回顾前面已经学习的理论知识，我们已经学习了任意角的三角函数的定义，学习了三角函数线，还有同角三角函数关系，但是我们还有一个关键问题没有解决，那就是：我们如何来求任意角的三角函数值呢 思考：你能填好下面的表吗 二、学生活动： 小组讨论： 1、找出我们可以解决的和目前无法解决的 2、对于还无法解决的，可否借助前面学习的知识求解
3、这些角之间有何关联 教师指导：我们前面学过了三角函数的定义和三角函数线，知道角的 终边和单位圆的交点的坐标就是角对应的三角函数值，大 家先画出一个单位圆，然后把第一个角的终边画出来，它 和单位圆的交点记为（00,x y ），然后我们以每两排为一 组前后左右可以相互讨论，分别画出另外四个角的终边和 单位圆的交点，每组画一个，然后每组推出一名代表发言， 看看你在画图的时候发现了什么。 （给五分钟画图、总结，学生在画图中容易看出另外的几个角和 开始的锐角的关系） 三、 意义建构： 教师指导：请每组推出的代表发言。（按顺序，没合适人选时，教师可以随机指出一名代表） 第一组：由画图发现0390的角的终边和6 的终边是重合的，它们相差 0360，由三角函数定义可知,终边相同的角的同一三角函数值相等，表中第二列和第一列值相同。 教师指导：第一组总结的很好，我们可否也把 它推广到任意的角呢总结一下就是“终 边相同的角的三角函数值相同”，如何
对数与对数运算 第三课时 换底公式及其应用 复习巩固： 1.对数运算有哪三个常用结论？ ____)3(___,log )2(___,log )1(log 1 ===N a a a a a 2.对数运算有哪三条基本性质？ 如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： （1）()______________log =MN a （对数的加法） （2）_____________log =N M a （对数的减法） （3）()R n b n a m ∈=_________log （对数的数乘） 讲授新课： 问题：同底数的两个对数可以进行加、减运算，可以进行乘、除运算吗？ 思考1：b b a c b c a a c c y x log log ,log ,,表示用已知== 结论：,0(log log log >=a a c b c b a 且0,1>≠c a 且)0;1>≠b c 思考2：该公式有什么特征？ 思考3：若c b =，有什么结论？ 思考4：证明b b a c a c log log log =? 例1、 求值 ())4)(log 9(log 132 ())2log )(log 3log 3(log 292 384++
())9)(log 4)(log 25(log 3532 例2、12log ,,3lg ,2lg 5表示试用已知b a b a == 练习：45 36918log ,,518,log 表示试用已知b a a b == 例3、的值求若x x x -+=44,14log 3 例4、的值。，求设b a b a 1 2 3643+== 练习：z y x z y x 1 111632=+≠==，求证设 课堂练习： 1、32 2798log log ?=______ 2、)log log (log )log log (log 8 12542525582541252++?++=_____ 3、4.1log ,35log 75表示用已知m m =
二倍角的正弦、余弦、正切公式 【学习目标】: 1、掌握二倍角公式的推导，能够正确运用公式. 2、通过公式推导,培养学生的逻辑推理能力。 3、发现数学规律，激发学习兴趣，提高综合分析、应用数学的能力。 【学习重点与难点】: 重点：二倍角正弦、余弦、正切公式的推导。 难点：二倍角公式的综合应用。 一、复习两角和的三角公式 二、二倍角公式的推导 利用公式 cos2α可变形为：1. ； 注： 2. 。 1.“二倍角” 是一种相对的数量关系。 如：２α是α的二倍角；α是 的二倍角。 2.二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出来，记忆时可联想相应角 公式。 练习1: 练习2： 判断： 三、例题教学(公式正用) 思维小结： 公式正用技巧： 从条件出发，顺着问题的线索，以展开公式的方法使用。 ()=+βαcos ()=+βαsin ()=+βαtan ？？，： ， ，：有什么发现你得到什么启示即到特殊的两个角相等由一般的问题αββα=+()？=+ααsin ()？=+ααcos ()？=+ααtan 1cos sin 22=+αα 2αcos__sin__24sin )1(=α__sin __cos 2 cos )2(22-=α_________(3)cos 213α=-22tan__(5)tan 31tan __α=-23cos 23sin 3sin )1(ααα=1sin 22cos )2(2-=αα232tan 3(3)tan 21tan 3ααα=-α的值.cos2α、tan2 .求α,135已知sinα例1.),2(ππ∈=sin2α、 (1) 本题求出cos α的值是关键,要注意象限定号； （2）在求tan2α时，直接用切化弦 也可先求出tan α＝sin αcos α，再求tan2α＝2tan α1－tan 2α 的值.
二倍角的正弦、余弦、正切公式 一、教学目标： 1.学会利用S (α+β) C (α+β) T (α+β)推导出sin2α,cos2α,tan2α. 知道各公式 间的内在联系，认识整个公式体系的生成过程，从而培养逻辑推理能力。 2.记住并能正确运用二倍角公式进行求值、化简、证明；通过综合运用 公式，掌握基本方法，提高分析问题、解决问题的能力。 二、教学重难点： 二倍角的公式的推导及灵活应用，倍角的相对性 三、教学过程 1、复习引入 前面我们学习了和(差)角公式，现在请同学们回忆一下和角公式的内容： sin （α+β）= cos （α+β）= tan （α+β）= 2、新科探究 探究一、在上面的和角公式中，若令β=α，会得到怎样的结果呢？ sin2α=sin （α+α）= sin αcos α+cos αsin α= 2sin αcos α cos2α=cos （α+α）= cos αcos α－sin αsin α= cos 2α－sin 2α tan2α= tan （α+α）= α α － α α = α － α 整理得: sin2α=2sin αcos α cos2α= cos 2α-sin 2α tan2α= α － α 注意：要使tan2α= α － α 有意义，α须满足α∈﹛α∣α≠ k π+ π ， 且α≠ π+ π ﹜ 学以致用 提问：对于cos2α的求解还有没有其它的办法 探究二、cos2α的变形式 利用公式sin 2α + cos 2α=1变形可得： cos2α = cos 2α－sin 2α=cos 2α－（1－cos 2α）=2cos 2α－1 cos2α = cos 2α－sin 2α=（1－sin 2α ）－sin 2α =1－2sin 2α 因此：cos2α = cos 2α－sin 2α 1例.2tan ,2cos ,2sin ),20(,54cos 的值求若αααπαα<<=
《完全平方公式与平方差公式》第一课时（沪科版七年级下册8.3） 教 学 设 计 授课人：黄保健 时间：2019 -5- 18
8.3完全平方公式与平方差公式第一课时教学设计 一、内容和内容解析 1、内容： 沪科版七年级下册8.3完全平方公式与平方差公式第一课时 2、内容解析 教材的地位与作用：本节内容主要研究的是完全平方公式的推导和公式在整式乘法中的应用。它是在学生学习了代数式的概念、整式的加减法、幂的运算和多项式的乘法以及平方差公式后进行学习的，其地位和作用主要体现在以下几个方面： 1、整式是初中代数研究范围内的一块重要内容，整式的运算又是整式中的一大主干，乘法公式则是在学习了单项式乘法、多项式乘法之后来进行学习的；一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，乘法公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处。 2、乘法公式是后继学习的必备基础，不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用，更是以后学习分解因式、分式运算的重要基础，同时也具有培养学生严密的逻辑推理能力的功能。 3、公式的发现与验证给学生体验规律发现的基本方法和基本过程提供了很好的模式。 学情分析：针对初一学生的形象思维大于抽象思维，注意力不能持久等年龄特点，及本节课实际，采用自主探索，启发引导，类比、动手画图方式展开教学，同时考虑到学生的认知方式、思维水平和学习能力的差异进行分层次教学，让不同层次的学生都能主动参与并都能得到充分发展。边启发，边探索边归纳，突出以学生为主体的探索性学习活动，教师努力为学生的探索性学习创造知识环境和氛围，遵循知识产生过程，由一般到特殊，将所学的知识用于实践。 二、教学目标、重点、难点 1、教学目标： （1）知识与技能目标：掌握两数和（或差）的完全平方公式，会利用公式进行简单的计算及应用，了解公式的几何意义。. (2)过程与方法目标：经历两数和的完全平方公式的探索归纳过程，体会由特殊到一般的思想方法，提高学生的观察能力及语言概括能力；感受数与形的相互结合。 (3)情感态度和价值观：探索两数和的完全平方公式的过程，激发学生探究欲望，增强学习积极性。 2、教学重点：两数和（或差）的完全平方公式的探索过程及应用。 3、教学难点：公式中的a和b的意义，学生错将（a+b）2等于a2+b2. 三、教学方法选择 1、教学方法：课标中指出数学教学应从学生实际出发，引导学生获得知识形成技能.本节课采用探究与讲授相结合的教学方式，通过对多项式乘法的类比学习，通过计算、语言归纳、动手画图、等方式引导学生积极参与思考，面向全体学生、分层次教学，激发学生的学习兴趣，体会探究的成就感. 2、教学手段：采用多媒体投影。 四、课前准备 教具准备教师准备PPT课件三角尺 五、教学过程设计 （一）[引入] 同学们，前面我们学习了多项式乘多项式法则和合并同类项法则，你会计算下列各题吗? (x+2)2=_______________，(x-2)2=_______________，
《§3二倍角的三角函数》教学设计 教材通过通过两角和的正、余弦函数，推导得出二倍角的三角函数，在温故知新中锻炼学生对知识的迁移能力。 【知识与能力目标】 1、理解二倍角公式的推导； 2、灵活掌握二倍角公式及其变形公式； 3、能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。 【过程与方法目标】 通过两角和的正、余弦函数，推导得出二倍角的三角函数。 【情感态度价值观目标】 通过推导二倍角三角函数的过程，培养学生温故知新的能力。 【教学重点】 二倍角公式的推导。 【教学难点】 能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 一、复习导入。 回顾两角和的正弦、余弦、正切函数。 ()sin αβ+=sin cos cos sin αβαβ+()cos αβ+=cos cos sin sin αβαβ -
二、探究新知。 将上述公式里的β换成α，结果是什么？ 二倍角公式： 对于 2C α 能否有其它表示形式？ 公式中的角是否为任意角？ 注意： ①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。 ②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的两倍，α/2是α/4的两倍,3α是3α/2的两倍，α/3是α/6的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。因此，要理解“二倍角”的含义，即当α=2β时，α就是β的二倍角。凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。 ③二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式。 三、例题解析。 12cos ,(,)sin cos tan 21322 α αππααα=-∈已知，求，，的值。 例题1 ()tan αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ +-sin 22sin cos ααα=22cos 2cos sin ααα=-22tan tan 2,()1tan 242 k k ααααα=≠+≠+-πππ且πR α∈R α∈2cos 22cos 1αα=-2cos 212sin αα = -
《平方差公式》教学设计 教学目标： 1、经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力； 2、掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算； 3、会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法. 教学重点： 1、学会平方差公式的推导和应用 2、理解和掌握平方差公式，并能灵活运用公式进行简单运算。 教学难点：能灵活运用公式进行运算. 教学课时：一课时 教学过程 复习回顾：复习多项式乘法法则 提问：（ a+b）（ m+n） =_____ 举例：计算（ x ＋ 2)( x ＋5） 创设情境，导入新课 问题：王剑同学去商店买了单价是9.8 元／千克的糖块 10.2 千克，售货员刚拿 起计 算器，王剑就说出应付 99.96 元，结果与售货员计算出的结果相同。售货员惊讶地 问：“这 位同学，你怎么算得这么快?”王剑同学说：“我利用了数学课上刚学过的一个公 式。”你知 道王剑同学用的是什么数学公式 吗?学了本节之后，你就能解决这个问题了.探索新知，尝试发现 一、拼图游戏 45 45+15 45-15 452－152 151 1、边长为 45 的正方形去掉一个小正方形（边长为15）后剩下的面积 =45 2－ 152=2025 － 225=1800 2、用割补的方法得右边长方形，其面积=（ 45+15）（ 45－ 15） =60 ×30=1800 由此得：（ 45+15）（45－ 15） = 452－152
二、计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （ 1）（x+1 ）（x-1 ） = _____________； 1
（ 2）（2+ m）（ 2- m） =____________ ； （ 3）（2x+3 ）（2x-3 ） =____________ ． 依照以上三道题的计算回答下列问题： ①式子的左边具有什么共同特征？ ②它们的结果有什么特征？ ③能不能用字母表示你的发现？ 教师提问，学生通过自主探究、合作交流，发现规律，式子左边是两个数的和与这 两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出：（a+b）（a- b）=a2- b2． 三、总结归纳，发现规律 你能用文字语言表示所发现的规律吗？ 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． （a b)(a b) a 2b2 四、剖析公式，发现本质 在平方差公式中，其结构特征为：（a+b）（a- b）=a2- b2 (1)公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘；且左边两括号内的第一项 相等、第二项符号相反 [互为相反数 (式 )]; (2) 公式右边是这两个数的平方差；即右边是左边括号内第一项的平方减去第二项的平方. (3)公式中的 a 和 b 可以代表数，也可以是代数 式．五、巩固运用，内化新知 例1 利用平方差公式计算： （1）(5+6x)(5 - 6x) ； (2) (x+2y)(2y - x);(3) ( - a+2b)( - a- 2b). 解: (1)(5+6x)(5 - 6x) (2) (x+2y)(2y - x)(3)( - a+2b)( - a- 2b) =5 2－（6x）2 =(2y+x)(2y －x) =(-a) 2－ (2b) 2 =25－36x 2 =(2y) 2－x2 =a 2－4b2 =4y 2－x2 注意：当“第一 (二 )数”是一分数或是数与字母的乘积时 , 要用括号把这个数整 个括起来，最后的结果又要去掉括号。 情系中考 1、【上海】（ a-2b）（ a+2b） =____________ 2、【宁夏】（ x-y ）（ -y-x ）的结果是（） A.-x2+y2 B.-x2-y2 C.x2-y2 D.x2+y2 例 2 利用平方差公式计算： 102× 98 解: 102× 98 =(100 +2) (100×-2 ) =1002 - 22 2
课题：人教版八年级数学上册“15.2.1平方差公式” 【故事导入】 一、内容和内容解析 内容： 人教版八年级数学上册“15.2.1平方差公式”． 解析： “平方差公式”是初中阶段学生学习“乘法公式”中的第－个公式．教学中，应让学生了解公式产生的背景，经历公式形成的过程．首先，让学生从已有认知出发，在－组多项式乘以多项式的乘法运算中，发现有特殊形式的多项式相乘，并且运算结果简单，从而诱发学生从中总结出这种特殊的多项式相乘的特征，初步感受平方差公式；其次，通过数形结合验证平方差公式的合理性，进而确立平方差公式的地位和作用，既为符合公式特征的整式乘法运算带来方便，又为后续学习用公式法分解因式奠定基础；最后，从公式的探究、推导活动中，让学生学会从“特殊”到“－般”的探究方法，为学生以后能主动探究完全平方公式，甚至是立方和、立方差等数学公式奠定良好的迁移基础． 要熟练而正确地应用公式解决问题，就必须对公式的结构特征进行剖析，在剖析中加深对公式特征和表达形式的理解与掌握，这就为学生学习、掌握其他数学公式提供了“模板”．因此，“平方差公式”在“乘法公式”中具有核心的地位． 基于此，本节课的教学重点是：理解乘法公式的结构特征及几何意义，并能灵活运用平方差公式． 二、目标和目标解析 目标： (1)了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题． (2)经历平方差公式产生的过程，体验知识的产生与发展，感受利用归纳、数形结合等数学思想方法解决数学问题的策略，培养学生观察、归纳、概括的能力． (3)在探索平方差公式和解决问题的过程中，学会与他人合作交流．在公式的学习及运用中积累解题的经验、体验成功的喜悦，提高学习数学的兴趣． 解析： 让学生经历公式的形成过程：从特殊到－般，即“归纳－猜想－验证－数学符号表示”的过程．进－步发展学生的符号感，培养他们的合情推理和归纳推理的能力；让学生能理解公式中。a、b各代表什么，能够分析、运用平方差公式的结构特征解决问题；让学生在经历从具体到抽象、从－般到特殊的过程中，寻找规律，自我归纳，明确解决同类问题的基本思路，积累数学活动的经验，感受“平方差公式”的魅力，提高数学学习的兴趣；在自主探究、合作交流的过程中体验学习的快乐，从而能主动地去理解数学、感悟数学． 三、教学问题诊断分析 学生的认知基础有：(1)七年级学生已有用字母表示数的基础；(2)学生已学习了多项式的乘法．但本节课所研究的特殊形式的多项式相乘，主要体现在结构特征的特殊性上，而这种特殊形式又灵活多样，学生往往难以掌握用字母表示数的广泛含义(如字母可以表示负数、多项式等)，而容易出现以下3种错误： (1)符号的错误，如(?5a?3)(+5a?3)=25a^2?9； (2)系数不平方的错误，如(2a?1)(2a+1)=2a^2?1； (3)不能运用公式的却运用公式的错误，如(a+0.5b)(b?0.5a)=a^2?0.25b^2． 其原因就是只了解公式“(a+b)(a?b)=a^2?b^2”的表面形式，而未真正掌握平方差公
此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 八年级数学《1521平方差公式》教学设计 桂平市西山一中覃娟娟 教学目标： 1. 经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并运用公式进行简单的 运算? 2. 在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用。 3. 在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简洁美.教学重点、难点： 重点：平方差公式的推导及应用? 难点：平方差公式的应用? 教具准备： 多媒体课件 教学过程： 一、创设情景，复习导入 回顾思考： 1、多项式乘法法则：(m + a )( n + b ) = m n + m b + a n + a b 2 2、如果m=n且都用x表示，那么上式就成为：(x+a)(x+b)= X +(a+b)x+ab 二、新课引入 1、计算下列各题,看谁做的又快又准确： (1) (x + y)(x - y) (2) (2a + b)(2a —b)
2、教师提问：1) 上述式中都有什么样的规律？ 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 2)能不能用字母来表现它呢？ 学生活动：讨论，并回答出教师提问? 2 2 3、师生共同归纳出平方差公式(a b)(a b) a b 4、师生共同探讨用面积说明平方差公式(课件演示图形) 5、师生共同分析平方差公式的结构特征. 6练习： 判断下列式子可用平方差公式计算吗？ ①(a-b)(b-a):②(a+2b)(2b+a)； ③ (a - b)(a+b)；④(2x+y)(y - 2x). 三、例题讲解 例1运用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5 - 6x)；⑵(b+2a)(2a - b) ；(3) (-x+2y)(-x - 2y). 评析:1 )认清结构，找准a、b 2)运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，找出相同的“项”和符号相反 的“项”，然后应用公式； 例2:计算： (1) 102 X 98 ; (2) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5). 评析：1)巧妙的化为公式形式； 2)只有符合公式才能应用公式，否则，只能应用多项式与多项式乘法 法则进行运算。 四、随堂练习，巩固新知 1、指出下列计算中的错误：
第一章整式的乘除 1.6完全平方公式（1） 教学设计 一、教学目标 1.掌握完全平方公式，能利用完全平方公式进行运算； 2.理解公式的推导过程，了解公式的几何背景． 二、教学重点及难点 重点：弄清完全平方公式的结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点并会应用； 难点：熟练用完全平方公式进行运算． 三、教学准备 多媒体课件 四、相关资源 相关图片 五、教学过程 【问题情境】 列出下列代数式吗？ （1）两数和的平方； 2a b +（） （2）两数差的平方； 2a b -（） 你能计算出他们的结果吗？ 提示： 222 2a b a b a b a ab b +=++=++（）（）（）； 2222a b a b a b a ab b -=--=-+（）（）（）． （3）根据乘方的定义，我们知道：2a a a =?，那么 2a b +（）应该写成什么样的形式呢？2 a b +（）的运算结果有什么规律？ 今天我们来探究这一问题． 设计意图：通过对比复习旧知识，引出新知识点．
【探究新知】 探究一、完全平方公式 活动1.计算下列各式，你能发现什么规律？ （1）()()()2 +111_________p p p =++=； （2） 2 2______________m +=（）； （3）()()()2111_________p p p -=--=； （4） 2 2_______________m -=（）． 学生讨论，师生共同归纳，得出结果： （1）()()2211121p p p p p +=++=++（）； （2）()()()2 222244m m m m m +=++=++； （3）()()()2211121p p p p p -=--=-+； （4）()()()2222244m m m m m -=--=-+． 分析计算结果，寻找规律：结果中有两个数的平方和，而2p ＝2·p ·1，4m ＝2·m ·2，恰好是两个数乘积的2倍；（1）与（3），（2）与（4）之间只差一个符号． 活动2.计算推广：计算 2_____________a b +=（）；2 _____________a b -=（）． 学生独立完成得到结果： 2222a b a b a b a ab b +=++=++（）（）（）； 2222a b a b a b a ab b -=--=-+（）（）（）． 总结具有上述形式的多项式相乘，可以直接写出运算结果，得到完全平方公式： 2222a b a ab b +=++（）； 2222a b a ab b -=-+（）． 即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍． 活动3.引导学生观察公式的左右边，进一步挖掘公式的结构特征 ①公式左边是一个二项式的完全平方． ②公式的右边是一个二次三项式，分别是二项式中每一项的平方及两项乘积的2倍（首平方，尾平方，乘积的两倍放中央，中间符号同前方）． （1）222 (6)( )26( )x x +=+?+； （2）222(2)( 2 )( )m n m n +=++．
两角和与差的余弦公式 一、教材地位和作用分析： 两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授两角和与差的余弦公式的推导以及应用。 二、学情分析： 本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。他们经过一个学期的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。 三、教学目标： 1、理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式。 2、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。 四、教学重点和难点： 教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及应用。 教学难点：两角和与差的余弦公式的推导。 五、教学工具：多媒体 六、教学方法：讲授法，探究法 七、教学过程：
cos(12060)-? cos120? cos60? sin120? sin 60? 12 12- 12 32 32 猜想：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=?+?？ 公式推导 通过探究我们猜想得出cos()αβ-的公式，从猜想到结论还需要严格的证明。 提问：前面我们已经学习过任意角的三角比，那么该如何研究βα-的三角比呢？ 设α、β是两个任意角，把它们的顶点都置于平面直角坐标系的原点，始边都与x 轴的正方向重合，如图1，它们的终边OA 、OB 分别与单位圆相交于A 、B 两点。 图1 Q1：你能用α、β的三角比表示A 、B 两点坐标吗？ Q2：AOB ∠角度能用α、β表示吗？ Q3：我们要研究AOB ∠的三角比，必须要把AOB ∠位置放在什么地方？怎样达到目的？ 答：始边旋转到与x 轴的正方向重合。通过旋转达到目的。 Q4：将终边OA 、OB 绕O 旋转β-，转到A O '和B O '的位置，则A '，B '的坐标是什么？ 通过一系列问题的设置找出相等的数量关系，从而推导出公式 O y A )sin ,(cos αα) sin ,(cos ββB x β α
八年级数学《15.2.1平方差公式》教学设计 桂平市西山一中覃娟娟 教学目标： 1.经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式,并运用公式进行简单的 运算. 2.在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用。 3.在计算的过程中发现规律,并能用符号表达,从而体会数学语言的简洁美. 教学重点、难点： 重点：平方差公式的推导及应用. 难点：平方差公式的应用. 教具准备： 多媒体课件 教学过程： 一、创设情景，复习导入 回顾思考： 1、多项式乘法法则：(m+a)(n+b)=mn+mb+an+ab x+(a+b)x+ab 2、如果m=n，且都用 x 表示，那么上式就成为:(x+a)(x+b)=2 二、新课引入 1、计算下列各题,看谁做的又快又准确: (1)(x＋y)(x－y) (2)(2a＋b)(2a－b) 2、教师提问：1）上述式中都有什么样的规律？ 2）能不能用字母来表现它呢？
学生活动：讨论，并回答出教师提问. 3、师生共同归纳出平方差公式 2 2 ) )( (b a b a b a- = - + 4、师生共同探讨用面积说明平方差公式（课件演示图形）. 5、师生共同分析平方差公式的结构特征. 6、练习： 判断下列式子可用平方差公式计算吗? ①(a?b)(b?a) ；② (a+2b)(2b+a)； ③-(a?b)(a+b) ；④ (-2x+y)(y?2x). 三、例题讲解 例1 运用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5?6x)； (2) (b+2a)(2a?b)； (3) (-x+2y)(-x?2y). 评析:1）认清结构，找准a、b 2）运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，找出相同的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式； 例2：计算： （1）102 × 98 ；（2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5). 评析：1）巧妙的化为公式形式; 2）只有符合公式才能应用公式，否则，只能应用多项式与多项式乘 法法则进行运算。 四、随堂练习，巩固新知 1、指出下列计算中的错误： (1) 2 2 1 ) 2 1 )( 2 1(x x x- = - + (2) 4 4 2 2 2 22 ) 2 )( 2 (b a b a b a- = - +
编写时间：2014 年6月9日第二学期总第课时授课者 课题二倍角的正弦、余弦、正切公式授课班级高一（3）、（9）授课时间2014.6.12 教学目标 知识 技能 倍角公式与两角和公式的内在联系，并熟练倍角公式结构. 过程 方法 培养学生利用化归思想(指将一般化归为特殊)导出倍角公式，了解倍角公式与两角 和公式的内在联系并熟练倍角公式结构。 情感 态度 价值观 通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神. 教学 重点 二倍角的正弦、余弦、正切公式推导和应用。 教学 难点 倍角公式的形成以及公式的变形和灵活应用。 课型新授课主要教学方法启发引导与巩固练习 教学模式合作交流 教学手段 与教具 课件和课本 板书设计 课题 （一）公式的导出（四）巩固练习提高 （二）公式应用 （五）小结、作业（三）典型例题 作业 设计 课本：第135页练习1、2、3题 教学 反思 1
2 教学过程（教师活动、学生活动） 设计意图 教学过程(师生互动) 1、公式的导出：(先与学生一起复习两角和的正弦、余弦、正切公式，以达到温故而知新。) ☆ 复习回顾： sin()αβ+= cos()αβ+= tan()αβ+= 我们已经学习了和角公式，还掌握了和角公式与差角公式可以互相化归 。那么，如何把和角公式化归为二倍角公式呢 ? 现在研究二倍角的正弦、余弦、正切公式。 ☆ 双向沟通： (学生独立完成) sin 2α= 简记： 2()S α cos 2α= 简记： 2()C α tan 2α= (2k παπ≠+且)()42 k k Z ππ α≠+∈ 简记：2()T α 利用 22sin cos 1αα+= ，公式 2C α 还可以变形为： cos 2α= 或 cos 2α= ☆ 阶段小结：倍角公式与两角和公式的内在联系是：令 = (实现一般化归为特殊) 。上面这些公式都叫做倍角公式 。有了倍角公式，就可以用单 角的三角函数表示二倍角的三角函数。 2、公式的运用： ☆ 师生互动：教师引导启发学生注意公式结构中等号两边角度倍数的对比、系数的对比、幂次数的对比，学生思考并回答问题以下问题： sin 22sin cos ααα= 22 cos 2cos sin ααα=- sin α= cos 4α= sin 2 α = cos 6α= sin 4 α = cos8α= 学生自己先试一试发现“二倍角” 与 “两角和” 的内在 联系 。让学生领悟到： 2ααα=+ 让学生自行动手体会由一 般过渡到特殊的化归思想。 ☆ 举一例引导化归思想： sin ()sin c o s c o s sin αβαβαβ+=+ 当 β 取特殊角 α 时，上 述 公 式 表 示 为 : sin 22sin cos ααα= ， 接着依此类推让学生自行动 手体会由一般过渡到特殊的化归思想 。 让同学们自己填写公式，是为了使大家学会怎样去发现数学规律，并体会化归(这里 是将一般化归为特殊)这一基 本数学思想所起的作用 。
教材通过通过两角和的正、余弦函数，推导得出二倍角的三角函数，在温故知新中锻炼学生对 知识的迁移能力。 【知识与能力目标】 1 、理解二倍角公式的推导； 2、灵活掌握二倍角公式及其变形公式； 3、能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。 【过程与方法目标】 通过两角和的正、余弦函数，推导得出二倍角的三角函数。 【情感态度价值观目标】 通过推导二倍角三角函数的过程，培养学生温故知新的能力。 【教学重点】 二倍角公式的推导。 【教学难点】 能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 一、复习导入。 回顾两角和的正弦、余弦、正切函数。 ()sin αβ+=sin cos cos sin αβαβ+()cos αβ+=cos cos sin sin αβαβ -
二、探究新知。 将上述公式里的β换成α，结果是什么？ 二倍角公式： 对于 2C α 能否有其它表示形式？ 公式中的角是否为任意角？ 注意： ①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。 ②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的两倍，α/2是α/4的两倍,3α是3α/2的两倍，α/3是α/6的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。因此，要理解“二倍角”的含义，即当α=2β时，α就是β的二倍角。凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。 ③二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式。 三、例题解析。 12cos ,(,)sin cos tan 21322 α αππααα=-∈已知，求，，的值。 例题1 例题2求下列各式的值： ()tan αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ +-sin 22sin cos ααα=22cos 2cos sin ααα=-22tan tan 2,()1tan 242 k k ααααα=≠+≠+-πππ且πR α∈R α∈2cos 22cos 1αα=-2cos 212sin αα = -