分式及其分式的应用 专题培优、拔高(奥数)复习讲义
一、中考考点梳理
(一)解有条件的分式化简与求值问题时,既要瞄准目标.又要抓住条件,既要根据目标变换条件.又要依据条件来调整目标,除了要用到整式化简求值的知识方法外,还常常用到如下技巧:
1.取倒数或利用倒数关系;2. 恰当引入参数;3.拆项变形或拆分变形;4.利用比例性质5.整体代入等. (二)给出一定的条件,在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值.而分式的化简与求值是紧密相连的,求值之前必须先化简,化简的目的是为了求值,先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略.
二、典型例题精选
【例l 】 已知2
310a a -+=,则代数式3
61
a a +的值为 .
解题思路:目前不能求出a 的值,但可以求出13a a +=,需要对所求代数式变形含“1
a a
+”
.
【例2】 已知一列数1234567,,,,,,,a a a a a a a 且18a =,75832a =,356
124234567
a a a a a a a a a a a a =====,则5a 为( )
A .648
B .832
C .1168
D .1944 解题思路:引入参数k ,把17a a 用k 的代数式表示,这是解决等比问题的基本思路.
【例3】 3(0)x y z a a ++=≠.求
222
()()()()()()
()()()x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-
解题思路:观察发现,所求代数式是关于x a y a z a ---、、的代数式,而条件可以拆成x a y a z a ---、、的等式,因此很自然的想到用换元法来简化解题过程.
【例4】 已知
1,2,3,xy yz zx
x y y z z x
===+++求x 的值.
解题思路:注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组,考虑取倒数,将方程组化为简单的形
式.
【例5】 不等于0的三个正整数,,a b c 满足
1111
a b c a b c
++=
++,求证:,,a b c 中至少有两个互为相反数. 解题思路:,,a b c 中至少有两个互为相反数,即要证明()()()0a b b c c a +++=.
【例6】 已知,,a b c 为正整数,满足如下两个条件:①32;a b c ++=
②
1
4
b c a c a b a b c bc ac ab +-+-+-++=为三边长可以构成一个直角三角形. 解题思路:本题熟记勾股定理的公式即可解答.
三、课后过关自测小练习
1.若a b c d b c d a ===,则
a b c d
a b c d
-+-+-+的值是 .
2.已知2131
x
x x =-+,则24
2
91x x x =-+ .
3.若2
2
2
1998,1999,2000a x b x c x +=+=++=且24abc =,则111c a b ab bc ac a b c
++--- 的值为 .
4.已知232325x xy y x xy y +-=--,则11
x y
-= .
5.如果111,1a b b c
+
=+=,那么1
c a +=( )
. A .1 B .2 C .12 D .1
4
6.设有理数,,a b c 都不为0,且0a b c ++=,则
222222222
111
b c a c a b a b c ++
+-+-+-的值为( ).
A .正数
B .负数
C .零
D .不能确定
7.已知4360,270(0)x y z x y z xyz --=+-=≠,则222
222
23657x y z x y z
++++的值为( ). A .0 B .1 C .2 D .不能确定
8.已知211
x
x mx =-+,则36
331x x m x -+的值为( ) A .1 B .313m + C .2132m - D .2131
m +
9.设0a b c ++=,求222
222222a b c a bc b ac c ab
+++++的值.
10.已知111
x y z y z x
+
=+=+其中,,x y z 互不相等,求证2221x y z =.
11.设,,a b c 满足1111a b c a b c ++=
++,求证212121212121
1111
n n n n n n a b c a b c ------++=++.(n 为自然数)
12.三角形三边长分别为,,a b c .
(1)若a a b c
b c b c a ++=
+-,求证:这个三角形是等腰三角形; (2)若1111
a b c a b c
-+=-+,判断这个三角形的形状并证明.
13.已知1ax by cz ===,求
444444
111111
111111a b c x y z +++++++++++的值.
14.解下列方程(组): (1)
1827
2938
x x x x x x x x +++++=+++++;
(2)
5968419221
19968
x x x x x x x x ----+=+
----;
(3)11121113111
4
x y z y z x z x y ?+=?+??+=?+??+
=?+?.
四、能力提升拓展训练
1.设,,a b c 满足0a b c ++=,0abc >,若a b c
x a b c
=
++,111111()()()y a b c b c c a a b =+++++,则
23x y xy ++= .
2.若0abc ≠,且a b b c c a c a b
+++==
,则()()()
a b b c c a abc +++= .
3.设,,a b c 均为非零数,且2(),3(),4()ab a b bc b c ac a c =+=+=+,则a b c ++= .
4.已知,,x y z 满足1x y z y z x z y x ++=+++,则222
x y z y z x z y x
+++++的值为 .
5.设,,a b c 是三个互不相同的正数,已知
a c c b
b a b a
-==+,那么有( ). A .32b c = B .32a b = C .2b c = D .2a b =
6.如果0a b c ++=,
1114a b c ++=-,那么222111
a b c
++的值为( )
. A .3 B .8 C .16 D .20
7.已知2
519910x x --=,则代数式42(2)(1)1
(1)(2)
x x x x -+----的值为( ).
A .1996
B .1997
C .1998
D .19999
8.若615325x y x y y x y x -==-,则22
2245623x xy y x xy y
-+-+的值为( ).
A .
92 B .9
4
C .5
D .6
9.已知非零实数,,a b c 满足0a b c ++=. (1)求证:3
3
3
3a b c abc ++=; (2)求(
)()a b b c c a c a b
c a b a b b c c a
---++++---的值.
10.已知2
410a a ++=,且423
2
1
322a ma a ma a
++=++.求m 的值.
12.设222222222
,,222b c a a c b b a c A B C bc ac ab
+-+-+-===,当3A B C ++=-时,
求证:2002
200220023A B C ++=.
13.某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯,以均匀的速度向上行驶,一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯行驶,两人也走梯).如果两人上梯的速度都是匀速的,每次只跨1级,且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍.已知男孩走了27级到达扶梯顶部,而女孩走了18级到达顶部.
(1)扶梯露在外面的部分有多少级?
(2)现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道,台阶的级数与自动扶梯的级数相等,两人各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯,到楼梯底部再乘自动扶梯上楼(不考虑扶梯与楼梯间的距离).求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶?
分式的化简与求值 1 已知2 310a a -+=,则代数式3 61 a a +的值为 . (“希望杯”邀请赛试题) 2 已知一列数1234567,,,,,,,a a a a a a a 且18a =,75832a =, 356 124234567 a a a a a a a a a a a a =====,则5a 为( ) A .648 B .832 C .1168 D .1944 (五城市联赛试题) 3 3(0)x y z a a ++=≠.求 222 ()()()()()() ()()() x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-. (宣州竞赛试题) 4 已知 1,2,3,xy yz zx x y y z z x ===+++求x 的值. (上海市竞赛试题) 5若 a b c d b c d a ===,则a b c d a b c d -+-+-+的值是 . (“希望杯”邀请赛试题) 6 若222 1998,1999,2000a x b x c x +=+=++=且24abc =,则111 c a b ab bc ac a b c ++--- 的值为 .
(“缙云杯”竞赛试题) 7 已知232325 x xy y x xy y +-=--,则11 x y -= . 8 如果111,1a b b c + =+=,那么1 c a +=( ) . A .1 B .2 C .12 D .1 4 (“新世纪杯”竞赛试题) 9 设有理数,,a b c 都不为0,且0a b c ++=,则 222222222 111 b c a c a b a b c +++-+-+-的 值为( ). A .正数 B .负数 C .零 D .不能确定 10.已知4360,270(0)x y z x y z xyz --=+-=≠,则222 222 23657x y z x y z ++++的值为( ). A .0 B .1 C .2 D .不能确定 11.已知211 x x mx =-+,则36 33 1x x m x -+的值为( ) A .1 B . 313m + C .2132m - D .2131 m + 12.设0a b c ++=,求222 222222a b c a bc b ac c ab +++++的值. 13.已知1ax by cz ===,求 444444 111111 111111a b c x y z +++++++++++的值. (“华杯赛”试题)
分式培优练习题 分式 (一) 一 选择 1 下列运算正确的是( ) A -40=1 B (-3)-1=3 1 C (-2)2=4 D ()-111 2 分式2 8,9,12z y x xy z x x z y -+-的最简公分母是( ) A 722 B 108 C 72 D 962 3 用科学计数法表示的树-3.6×10-4写成小数是( ) A 0.00036 B -0.0036 C -0.00036 D -36000 4 若分式652 2+--x x x 的值为0,则x 的值为( ) A 2 B -2 C 2或-2 D 2或3 5计算?? ? ??-+÷??? ?? -+1111112x x 的结果是( ) A 1 B 1 C x x 1+ D 1 1-x 6 工地调来72人参加挖土和运土,已知3人挖出的土1人恰好能全部运走,怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走,解决此问题,可设派x 人挖土,其它的人运土,列方程 ①3172=-x x ②723x ③372 ④372=-x x 上述所列方程,正确的有( )个 A 1 B 2 C 3 D 4 7 在m a y x xy x x 1,3,3,21,21,12+++π中,分式的个数是( ) A 2 B 3 C 4 D 5 8 若分式方程x a x a x +-=+-321有增根,则a 的值是( ) A -1 B 0 C 1 D 2 9 若3,111--+=-b a a b b a b a 则的值是( ) A -2 B 2 C 3 D -3 10 已知 k b a c c a b c b a =+=+=+,则直线2k 一定经过( ) A 第1、2象限 B 第2、3象限 C 第3、4象限 D 第 1、4象限 二 填空 1 一组按规律排列的式子:()0,,,,4 11 38252≠--ab a b a b a b a b ,其中第7个式子是
1. 若,试判断是否有意义。 2. 计算: 3、解方程: 4. 已知与互为相反数,求代数式 的值。 5. 一列火车从车站开出,预计行程450千米,当它开出3小时后,因特殊任务多停一站,耽误30分钟,后来把速度提高了0.2倍,结果准时到达目的地,求这列火车的速度。 6. 已知,试用含x的代数式表示y,并证明。 6、中考原题: 例1.已知,则M=__________。 例2.已知,那么代数式的值是_________。 1. 当x取何值时,分式有意义?
3. 计算: 4. 解方程: 5. 要在规定的日期内加工一批机器零件,如果甲单独做,刚好在规定日期内完成,乙单独做则要超过3天。现在甲、乙两人合作2天后,再由乙单独做,正好按期完成。问规定日期是多少天? 6. 已知 ,求的值。 9、(6分)已知02 =-a a ,求1112421222-÷+--?+-a a a a a a 的值. 21、(6分)设23111 x A B x x ==+--,,当x 为何值时,A 与B 的值相等? 3、计算(1)?? ? ??--++-y x x y x y x x 2121 (2)4214121111x x x x ++++++- 6、若25452310 A B x x x x x -+=-+--,试求A 、B 的值. 16、已知c b a -=+,求?? ? ??++??? ??++??? ??+b a c c a b c b a 111111的值 17、已知12 --x x =0,则5412x x x ++= 18、设1=abc ,则=++++++++1 11c ca c b bc b a ab a 19、已知20032=+x a ,20042=+x b ,20052=+x c ,且6012=abc ,求 c b a ab c ac b bc a 111---++的值 20、已知31=+b a ab ,41=+c b bc ,51=+c a ac ,求ac bc ab abc ++的值
初中数学分式方程的应用培优训练(精选40道习题附答案详解) 1.某汽车销售公司经销某品牌A款汽车,随着汽车的普及,其价格也在不断下降,今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元,如果卖出相同数量的A款汽车,去年销售额为90万元,今年销售额只有80万元. (1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元? (2)为了增加收入,汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车,已知B款汽车每辆进价为7.5万元,每辆售价为10.5万元,A款汽车每辆进价为6万元,若卖出这两款汽车15辆后获利不低于38万元,问B款汽车至少卖出多少辆? 2.小明和小刚相约周末到净月潭国家森林公园去徒步,小明和小刚的家分别距离公园1600米和2800米,两人分别从家中同时出发,小明骑自行车,小刚乘公交车,已知公交车的平均速度是骑自行车速度的3.5倍,结果小刚比小明提前4min到达公园,求小刚乘公交车的平均速度. 3.兴发服装店老板用4500元购进一批某款T恤衫,由于深受顾客喜爱,很快售完,老板又用4950元购进第二批该款式T恤衫,所购数量与第一批相同,但每件进价比第一批多了9元. (1)第一批该款式T恤衫每件进价是多少元? (2)老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫,当第二批T恤衫售出4 5 时,出现了 滞销,于是决定降价促销,若要使第二批的销售利润不低于650元,剩余的T恤衫每件售价至少要多少元?(利润=售价﹣进价) 4.近年来,泰州多条动车路线的开通进一步加强了与其他城市的沟通,同时也为市民的出行带来了方便.已知某市到泰州的路程约为900km,一列动车的平均速度比特快列车快50%,所需时间比特快列车少2h,求该列动车的平均速度. 5.一项工程,甲,乙两公司合做,12天可以完成,共需付施工费102000元;如果甲,乙两公司单独完成此项工程,乙公司所用时间是甲公司的1.5倍,乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元. (1)甲,乙两公司单独完成此项工程,各需多少天? (2)若让一个公司单独完成这项工程,哪个公司的施工费较少? 6.甲、乙两人做某种机械零件,已知甲每小时比乙多做5个,甲做80个所用的时间与乙做60个所用的时间相等,问甲、乙两人每小时各做多少个零件?(用列方程的方法解答)
10、分式的运算 【知识精读】 1. 分式的乘除法法则 ; 当分子、分母是多项式时,先进行因式分解再约分。 2. 分式的加减法 (1)通分的根据是分式的基本性质,且取各分式分母的最简公分母。 求最简公分母是通分的关键,它的法则是: ①取各分母系数的最小公倍数; ②凡出现的字母(或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取; ③相同字母(或含有字母的式子)的幂的因式取指数最高的。 (2)同分母的分式加减法法则 (3)异分母的分式加减法法则是先通分,变为同分母的分式,然后再加减。 3. 分式乘方的法则 (n为正整数) 4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一,在分式方程,求代数式的值,函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题: (1)注意运算顺序及解题步骤,把好符号关; (2)整式与分式的运算,根据题目特点,可将整式化为分母为“1”的分式; (3)运算中及时约分、化简; (4)注意运算律的正确使用; (5)结果应为最简分式或整式。 下面我们一起来学习分式的四则运算。 【分类解析】
例1:计算的结果是() A. B. C. D. 分析:原式 故选C 说明:先将分子、分母分解因式,再约分。 例2:已知,求的值。 分析:若先通分,计算就复杂了,我们可以用替换待求式中的“1”,将三个分式化成同分母,运算就简单了。 解:原式 例3:已知:,求下式的值: 分析:本题先化简,然后代入求值。化简时在每个括号内通分,除号改乘号,除式的分子、分母颠倒过来,再约分、整理。最后将条件等式变形,用一个字母的代数式来表示另一个字母,带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。 解: