导数的计算
一、基本概念：
我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？
由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这节课我们将研究比较简捷的求导数的方法，今后可以作为公式直接应用.
(一)几个常用函数的导数
1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为
()()0y f x x f x c c ?+?--===所以00
lim lim 00x x y y x ?→?→?'===?
0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．
2．函数()y f x x ==的导数 因为
()()1y f x x f x x x x x ?+?-+?-===?所以00
lim lim 11x x y
y x ?→?→?'===
1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
3．函数2
()y f x x ==的导数
因为22()()()y f x x f x x x x x x x ?+?-+?-=
=???2222()2x x x x x x x x
+?+?-==+??所以00lim lim(2)2x x y
y x x x x ?→?→?'==+?=?
2y x '=表示函数2y x =图象上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也
在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．
4．函数1
()y f x x
==
的导数 因为11
()()y f x x f x x x x x x x
-
?+?-+?==
??? 2()1
()x x x x x x x x x x
-+?=
=-+??+??
所以220011
lim lim ()x x y y x x x x x
?→?→?'==-=-?+??
5.不完全归纳为：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1
()n f x nx -'=
01
1111111
0()()()(())()()()lim n n
n n n
n n
n n n n n
n
n n n n
n n n n n x y f x x f x x x x C x C x x C x x C x x C x y C x C x x
y
y x n x x
-----?→?=+?-=+?-=?+???++??-=???+
+???∴
=?++????''===??
可推广至有理数
(
其中()x
y f x e ==,()x
y f x e ==可视为()x
y f x e ==,()x
y f x e ==的特殊情况 其中()ln f x x =,()ln f x x =可视为()log a f x x =,'
1
()(01)ln f x a a x a
=
>≠且的特殊情况 书中已不要求证明,原因其中涉及很多高等数学知识,特别是很多重要极限,例如:
()()y f x x f x ?=+?-sin()sin x x x =+?-2cos()sin 22
x x x ??=+
sin
2cos()
22x y x x x x ???=+??所以0000sin sin
22lim lim cos()lim cos()lim cos 1cos 2222
x x x x x x
y x x x x x x x x
x ?→?→?→?→?????=+=+?=?=??? (三)导数的运算法则
法则1两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，
即 '')'(v u v u ±=±
证明：令)()()(x v x u x f y ±==，
)]()([)]()([x v x u x x v x x u y ±-?+±?+=? v u x v x x v x u x x u ?±?=-?+±-?+=)]()([)]()([，
∴ x
v x u x y ??±??=??， x v x u x v x u x y x x x x ??±??=?
??
????±??=??→?→?→?→?0000lim lim lim lim
即 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 特别地：常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数．()''Cu Cu =
法则2两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数
乘以第二个函数的导数，
即 '')'(uv v u uv +=
证明：令)()()(x v x u x f y ==，则
=?y )(x x u ?+)(x x v ?+-)()(x v x u
)(x x u ?+=)(x x v ?+-)(x u )(x x v ?++)(x u )(x x v ?+-)()(x v x u ，
=??x y x x u x x u ?-?+)()()(x x v ?++)(x u x
x v x x v ?-?+)()( 因为)(x v 在点x 处可导，所以它在点x 处连续，于是当0→?x 时，)()(x v x x v →?+， 从而 0
lim
→?x =??x y 0lim →?x x x u x x u ?-?+)()()(x x v ?++)(x u 0lim →?x x
x v x x v ?-?+)
()( )(')()()('x v x u x v x u +=， 即 ='y '')'(uv v u uv +=．
法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，
再除以分母的平方，
即'
2
''
(0)u u v uv v v v -??=≠ ???
证明：令)()()(x v x u x f y =
=，-?+?+=?])()([x x v x x u y )
()(x v x u )()()
()()()(x v x x v x x v x u x v x x u ?+?+-?+=
)
()()]()()[()()]()([x v x x v x v x x v x u x v x u x x u ?+-?+--?+=，∴ )()()
()()
()()()(x v x x v x x v x x v x u x v x x u x x u x y ?+?-?+-?-?+=??
因为v (x )在点x 处可导，所以v (x )在点x 处连续．于是当0→?x 时，v (x +x ?)→v (x )．
∴ )()](lim [)
lim ()lim
(lim 0
000x v x x v x v
u v x u x y x x x x ?+??-??=??→?→?→?→?2''v uv v u -=即)0('''2'≠-=??
? ??=v v uv v u v u y 练习：（1）323y x x =-+ 232y x '=- （2）y ＝
x x --
+1111；
y '= （3）y ＝x · sin x · ln x ； sin ln cos ln sin y x x x x x x '=++ （4）y ＝
x
x 4
； 1ln 4
4x x y -'= （5）y ＝
x x ln 1ln 1+-． 2
2
(1ln )y x x '=-+
（6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x 2
(24)x
y x x e '=--
（7） y ＝x x x x x x sin cos cos sin +- 2
2
(cos sin )
x y x x x '=+ (四)复合函数的导数
平时所接触的函数，有些可认为是由基本函数经四则运算得到的，有些可以认为是由基本初等函
数复合而成的.那么，如何确定复合函数的求导法则呢？首先明确复合函数的概念. 复合函数的概念
一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。 复合函数的导数
复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=?，即
y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．
若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==?????
例如：2
()(21)f x x =+，如何求()f x '？
法一：2
()(441)84f x x x x ''=++=+
法二：2
()(21)f x x =+看做复合函数，令21x u +=，故2
y u =，
y 对u 的导数: ()22u
y u u ''== u 对x 的导数; ()212x
u x ''=+=
y 对x 的导数: 2284x u x y y u u x '''=?=?=+
【步骤】
一．分层：分清复合层次，由外到内都是基本函数（到易求导为止） 练习：分层（1）()n m y a bx =+ （2）3
1sin (1)y x
=- （3）24(1sin )y x =+ （4）3(1cos2)y x =+
（5）y =（6）2
3log (1)
2x
y -=
（7）log a
y =（8）221x e y a
+?? ???
=
二．分步
（1）明确是对哪个量求导
sin()x y a = ，1cos()x x a y a xa -'=，cos()ln x x
x y a a a '=
（2）按所分层次由外向内
（3）先写出中间变量，熟练后再省略
二、习题精练：
【基础夯实】
1. 求下列函数的导数
（1）2y x = 2y '= （2）3
y x = 2
3y x '= （3）3y x -= 43y x -'=- （4）3
21363
y x x x =
+-+ 223y x x '=+- （5）3
2
21y x x x =--+- 2
341y x x '=--+ （6）2
31y x x =--- 23y x '=-- （7）2
sin 2y x x =+ cos 4y x x '=+ （8）sin cos y x x =? cos 2y x '= （9）)2(32
+=x x y 2
96y x '=+ （10）2x
y = 2ln 2x
y '=
（11）tan y x = 21cos y x '= （12）cot y x = 2
1
sin y x
'=- （13）)1(cos sin +=x x y c o s 2c o s y x x '=+ （14）x x y cos = 2
s i n c o s
x x x y x +'=-
（15）x x y tan = 2s i n c o s c o s x x x y x +'
（16）x x x x y cos sin -+= 2
(1)c o s (1)s i n
1
(c o s )
x x x x y x x --+-'=-
（17）3log y x = 1ln 3y x '= （18）ln 3sin cos 3x x x y ?+= 2(1l n 3)s i n
3x
x y +'=-
（19）23(1)(2)(3)y x x x =--- 222(2)(3)(3119)y x x x x '=---+ （20）2sin(2)y x x =- 22sin(2)cos(2)y x x x x '=-+- （21）2
sin (2)3
y x π
=+
22sin(4)3
y x π
'=+
（22）(sin cos )(cos sin )y x x αααα=+- s i n 2c o s 2
y x αα'=+ （23）23123y x x x =
++ 234149
()y x x x
'=-++ （24）221x y x =- 222
2(1)
(1)
x y x +'=- （25）232(2)(3)(1)x x y x --=- 2345
3
1266253(1)x x x x x y x --++-'=-
（26
）y x = 2
132
11123
y x x --'=++
（27
）y =
y '=+
（28
）y =
y '=（29
）y x
=
1
2
74
219(5)22y x x -
'=+??
（30
）y =
y '=
（31）cos 22sin y x x =- 2cos (12sin )y x x '=-+
（32）22
sin(cos )cos(sin )y x x = sin 2cos(cos 2)y x x '=-
（33）22
sin sin x y x = 2222
2sin (cos sin sin cos )
sin x x x x x x y x -'=
（34）ln(ln(ln ))y x = 1
ln ln(ln )
y x x x '=
（35）23ln(ln (ln ))y x = 3
6
ln ln(ln )
y x x x '=
（36）2111ln(1)ln(1)242(1)y x x x =
+-+-
+ 221
(1)(1)y x x '=++ （37）ln ln(1)1x x y x x =
-++ 2
ln (1)
x
y x '=+
（38）ln(y x =
y '=
（39）y = 1cos y x '=-
（40）22a y = y '=【拓展思路】
求函数 （1）2003
y x
=在1
2002
1(
)2003
x =处的导数 1
2002
1((
))12003
f = （2）(1)(2)(100)y x x x x =---在0x =处的导数 ((1)(2)
(100))((1)(2)
(100))100!y x x x x x x x x '''=---+---=
（3）x
y x =在x e =处的导数 取对数ln ln y x x =，
1(ln )x y x x y
''?=，(ln 1)x
x y x x '=+?，()2e f e e '∴=?
隐函数导数常用办法，可用于求圆锥曲线切线斜率 【简单运用】
1.已知曲线122
+=x y 在点M 处的瞬时变化率为-4，则点M 的坐标是（ C ） A.（1，3） B.（-4，33） C .（-1，3） D.不确定
2.函数3x y =在1=x 处的导数是（ C ）
A.1
B.2
C.3
D.4 3.函数2)1x (y -=的导数是（ B ）
A.-2
B.)1(2-x
C.2)1(-x
D.2x 4.函数x x f =
)(，若2
1
)(0/=
x f ，则0x 等于（ B ） A.-1 B.1 C.2 D.-2 5.过曲线2212-=
x y 上一点P )2
3
,1(-的切线斜率为（ B ） A.
21 B.1 C.23 D.2
2 6.已知α
x x f =)(，若4)1(/
-=-f ，则α的值是（ A ）
A.4
B.-4
C.8
D. -5 7.设x x
f =)1(，则)(/x f 等于（ D ） A .
x 1 B.x 1- C.21x D.21x
- 8.曲线x
e x y -=在以下哪个点处的切线斜率等于0 （ A ）
A.（0，-1）
B.（1，0）
C.（0，1）
D.（-1，0） 9.设函数)1(,)21()(/
10
3f x x f 则-=等于（ D ）
A.0
B.-1
C.-60
D.60 10.设x a y -++=11，则/
y 等于（ D ） A.
x
a
-+
+121121 B.
x
-121 C.
x
a
--
+121121 D.x
--
121
11. 3
(21)y x =+在0x =处的导数是 ( D )
A. 0
B. 1
C. 3
D. 6
12.函数)(21x x
e e y -+=
的导数是（ A ） A.)(21x x e e -- B.)(2
1x x e e -+ C.x x e e -- D.x
x e e -+
13.已知：2
1()ln ,()()x f x x x e g x f x x
'=+=且()()1G x g x '=-求ln (1)G
2
221()ln 1(1)2x
x f x x x e e x x -'=++-+2
22ln 12()x x e x e g x x
=+-+=
22224122()22x x x e x x e x g x e x x x ??-?'=-+?22
2
23
1224x x x e x e xe x x ?-?=-+ 2
2
2
23
122)41x x x e x e G x xe x x ?-?(=-+-,1)4G e (=,ln (1)1ln 4G =+
ln的运 JUNE 2021算法则 整理人尼克 知识改变命运
导数的计算 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、能够用定义求四个常用函数的导数，并熟悉求导数的三个步骤。 2、使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、、、的导数公式；并能运用这四个公式正确求函数的导数． 一、几个常用函数的导数： 1．函数的导数 2．函数的导数
3．函数的导数 4．函数的导数 （2）推广：若，则二、基本初等函数的导数公式：
2.（1）记忆导数的运算法则，比较积法则与商法则的相同点与不同点 推论： 类型一：利用公式及运算法则求导数 例1．求下列函数的导数： （1）；（2） （3）；（4）y=2x3―3x2+5x＋4 举一反三： 【变式】求下列函数的导数： （1）； （2）
（3）y=6x3―4x2+9x―6 例2．求下列各函数的导函数 （1）；（2）y=x2sinx; （３）y=；（４）y= 举一反三： 【变式1】函数在处的导数等于( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】求下列函数的导数. 1.；（2）；（3）.
类型二：复合函数的求导 例3．求下列函数导数. （1）；（2）；（3）；（4）. 举一反三： 【变式1】求下列函数的导数： (1)；（2） 1.y=ln（x＋）；（4）
导数概念与计算 1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ） A ．1- B ．2- C ．2 D ．0 2．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为（ ） A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,1) D ．(1,0) 3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ） A ．2e B ．e C ． ln 2 2 D ．ln 2 4．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ） A ．1 B ．2 C ．e D ．1e 5．设0()s i n f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x = 等于（ ） A ．sin x B ．sin x - C ．cos x D ．cos x - 6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（ ） A ．e - B ．1- C ．1 D ．e 7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________． 8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________． 9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式： （1）1 ()2ln f x ax x x =-- （2）2 ()1x e f x ax =+ （3）21 ()ln(1)2 f x x ax x =--+ （4）cos sin y x x x =- （5）1cos x y xe -= （6）1 1 x x e y e +=-
导数的运算练习 一、常用的导数公式 （1）'C = (C 为常数)； （2）()'n x = ； （3）(sin )'x = ； （4）(cos )'x = ； （5）()'x a = ； （6）()'x e = ； （7）_____________； （8）_____________； 二、导数的运算法则 1、（1） ； （2） ； （3）______________________________________； （4） =___________________________________；(C 为常数) 2、复合函数的导数 设 ． 三、练习 1、已知()2f x x =，则()3f '等于（ ） A ．0 B ．2x C ．6 D ．9 2、()0f x =的导数是（ ） A ．0 B ．1 C ．不存在 D ．不确定 3、32y x 的导数是（ ） A ．23x B ．213x C ．12- D 33x
4、曲线n y x =在2x =处的导数是12，则n 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5、若()f x =()1f '等于（ ） A ．0 B ．13- C ．3 D ．13 6、2y x =的斜率等于2的切线方程是（ ） A ．210x y -+= B ．210x y -+=或210x y --= C ．210x y --= D ．20x y -= 7、在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4 π的点是（ ） A ．()0,0 B ．()2,4 C ．11,416?? ??? D ．11,24?? ??? 8、设()sin y f x =是可导函数，则x y '等于（ ） A ．()sin f x ' B ．()sin cos f x x '? C ．()sin sin f x x '? D ．()cos cos f x x '? 9、函数()2 2423y x x =-+的导数是（ ） A ．()2823x x -+ B ．()2 216x -+ C ．()()282361x x x -+- D ．()()242361x x x -+- 10、曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是（ ） A ．74y x =+ B ．72y x =+ C ．4y x =- D ．2y x =- 11、点P 在曲线323y x x =-+ 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A ．0,2π?????? B ．30,,24πππ????????????U C ．3,4ππ?????? D ．3,24ππ?? ???
基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题（附答案） 选修2-21.2.2第2课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则 一、选择题 1 .函数y = (x+ 1)2(x—1)在x= 1处的导数等于() A．1B．2 C. 3 D. 4 答案］D 解析］y = (x+1)2］'—x1 )+(x+ 1)2(x—1)' =2(x + 1)?(x—1) + (x+ 1)2= 3x2 + 2x—1, y‘ =1= 4. 2.若对任意x€ R, f‘ =)4x3, f(1) = —1,则f(x)=() A. x4 B. x4— 2 C. 4x3—5 D. x4+ 2 答案］B 解析］丁f‘(=4x3.f(x) = x4+c,又f(1) = — 1 ? ? ? 1 + c= — 1 ,? ? ? c= —2,—f(x) = x4 — 2. 3 .设函数f(x) = xm + ax 的导数为f‘ =)2x+1,则数列{1f(n)}(n € N*) 的前n 项和是() A.nn+1 B.n+2n+1 C.nn—1 D.n+1n 答案］A 解析］T f(x) = xm+ ax 的导数为f‘(x)2x + 1,
/. m = 2, a= 1,二f(x) = x2+ x, 即f(n) = n2+n=n(n+ 1), 二数列{1f(n)}(n € N*)的前n项和为： Sn= 11 X2 12X3 13 x+…+ 1n(n+ 1) =1 —12+ 12—13+…+ 1n —1n + 1 =1 —1n+ 1= nn+ 1, 故选 A. 4.二次函数y = f(x)的图象过原点，且它的导函数y= f‘的)图象是过第 一、二、三象限的一条直线，贝卩函数y= f(x)的图象的顶点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案］C 解析］由题意可设f(x)= ax2 + bx, f' (=2ax + b,由于f‘(的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0, b>0,则f(x) = ax+ b2a2—b24a, 顶点—b2a,—b24a 在第三象限,故选 C. 5 .函数y = (2 + x3)2的导数为() A. 6x5+ 12x2 B. 4+ 2x3 C. 2(2+ x3)2 D. 2(2+ x3)?3x 答案］A 解析］t y= (2+ x3)2= 4+ 4x3+ x6, /. y = 6x5 + 12x2.
欢迎阅读 导数计算练习题 1、已知()2f x x =，则()3f '等于（） A ．0 B ．2x C ．6 D ．9 2、()0f x =的导数是（） A ．0 B ．1 C ．不存在 D ．不确定 3、 y A ．3x 4A ．15、若 A ．06、y A ．2C ．27A ．(8A ．()sin f x 'B ．()sin cos f x x '? C ．()sin sin f x x '? D ．()cos cos f x x '? 9、（理科）函数()2 2423y x x =-+的导数是（） A ．()2823x x -+B ．()2 216x -+ C ．()()282361x x x -+- D ．()()242361x x x -+-
10、曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是（） A ．74y x =+ B ．72y x =+ C ．4y x =- D ．2y x =- 11、点P 在曲线323y x x =-+ 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（） A ．0,2π??????B ．30,,24πππ????????????C ．3,4ππ??????D ．3,24ππ?? ??? 122 131415(5)y =(6)y =(7)y =16（1）（2）（3）（4）（5）2 1x +（6）232x y x x =- - 17、求下列各函数的导数 （1）sin cos y x x x =+ （2）1cos x y x =-
（3）tan tan y x x x =- （4）5sin 1cos x y x =+ 18、（理科）求下列各函数的导数 （1）25(1)y x =+ （2）2(23y x =+ （3）(4)y (5)y =(6)y =(7)y =(8)y =(9)y =(10)y (11)y
导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线2 x y x = +在点()1,1--处的切线方程为（） （A ）21y x =+（B ）21y x =-（C ）23y x =--（D ）22y x =-- 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选 A.因为22 (2) y x '= +，所以，在点()1,1--处的切线斜率12 2 2(12)x k y =-' == =-+，所以，切线方程为12(1)y x +=+，即21y x =+，故选A. 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元） 与年产量x （单位：万件）的函数关系式为3 1812343 y x x =-+-，则使该生产厂 家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11万件 (C)9万件(D)7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C ，2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-（舍去），当9x <时'0y >；当9x >时'0y <，故当9x =时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=2 x ,y=3 x 围成的封闭图形面积为（） （A ） 1 12 (B)14 (C)13 (D) 712 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的
【2021高考数学理科苏教版课时精品练】 第九节 导数的概念及运算 1．(2011年苏南四市联考)曲线y ＝2x －ln x 在点(1,2)处的切线方程是________． 解析：由y ′＝(2x －ln x )′＝2－1x ，当x ＝1可得k ＝2－11 ＝1，即得在点(1,2)处的切线方程是y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝0 2．设直线y ＝－3x ＋b 是曲线y ＝x 3－3x 2的一条切线，则实数b 的值是________． 解析：∵y ＝x 3－3x 2，∴y ′＝3x 2－6x ，令y ′＝3x 2－6x ＝－3可解得x ＝1，即得切点的坐标为(1，－2)，且该切点在切线y ＝－3x ＋b 上，于是可得b ＝3x ＋y ＝3×1＋(－2)＝1. 答案：1 3．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于________． 解析：f ′(x )＝4ax 3＋2bx 为奇函数， ∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2. 答案：－2 4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________． 解析：∵y ＝x 3－10x ＋3，∴y ′＝3x 2－10.由题意，设切点P 的横坐标为x 0，且x 0＜0， 即3x 20－10＝2，∴x 20＝4，∴x 0＝－2，∴y 0＝x 30－10x 0＋3＝15.故点P 的坐标为(－2,15)． 答案：(－2,15) 5．(2011年苏南四市调研)在平面直角坐标系xOy 中，点P (0,1)在曲线C ：y ＝x 3－x 2－ax ＋b (a 、b 为实数)上，已知曲线C 在点P 处的切线方程为y ＝2x ＋1，则a ＋b ＝________. 解析：把(0,1)代入曲线方程可得b ＝1，又y ′＝3x 2－2x －a ，得－a ＝2，即有a ＝－2，∴a ＋b ＝－1. 答案：－1 6．已知曲线f (x )＝x sin x ＋1在点(π2，π2 ＋1)处的切线与直线ax －y ＋1＝0互相垂直，则实数a ＝________. 解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，得f ′(π2)＝sin π2＋π2·cos π2＝1，所以曲线在点(π2，π2 ＋1)处切线的斜率为1，据切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，得1×a ＝－1，求出a ＝－1. 答案：－1 7．(2011年苏北四校联考)设函数f (x )＝13 ax 3＋bx (a ≠0)，若f (3)＝3f ′(x 0)，则x 0＝________. 解析：由已知得，f ′(x )＝ax 2＋b ，又f (3)＝3f ′(x 0)，则有9a ＋3b ＝3ax 20＋3b ，所以x 20＝ 3，则x 0＝±3. 答案：±3 8．已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋a ，若f (x ＋1)是奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，a )处的切线方程是________． 解析：∵f (x ＋1)是奇函数，∴f (x )的图象关于点(1,0)成中心对称，∴a ＝2，而f ′(0)＝0，所以切线是过(0,2)点且平行于x 轴的直线，方程为y ＝2. 答案：y ＝2 9．求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．
导数概念及其几何意义、导数的运算 一、选择题： 1 已知32()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于 A 193 B 103 C 16 3 D 133 2 已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点（1，3），则b 的值为 A 3 B -3 C 5 D -5 3 函数2y x a a =+2（）(x-)的导数为 A 222()x a - B 223()x a + C 223()x a - D 222()x a + 4 曲线313y x x =+在点4 (1,)3 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A 1 9 B 29 C 13 D 2 3 5 已知二次函数2y ax bx c =++的导数为(),(0)0f x f ''>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1) (0) f f '的最小值为 A 3 B 52 C 2 D 32 6 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B ()2(1)f x x =- C 2()2(1)f x x =- D ()1f x x =- 7 下列求导数运算正确的是 A 211()1x x x '+=+ B 21 (log )ln 2 x x '= C 3(3)3log x x e '=? D 2 (cos )2sin x x x x '=- 8 曲线3 2153 y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为 A 6 π B 34π C 4π D 3 π 9 曲线3 2 31y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 A 34y x =- B 32y x =-+ C 43y x =-+ D 45y x =- 10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ，若()k g x =，则函数()k g x =的图像大致为
3.1.1平均变化率 课时目标 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题． 1．函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为____________．习惯上用Δx表示________，即__________，可把Δx看作是相对于x1的一个“__________”，可用__________代替x2；类似地，Δy＝__________，因此，函数f(x)的平均变化率可以表示为________． 2．函数y＝f(x)的平均变化率Δy Δx＝ f(x2)－f(x1) x2－x1 的几何意义是：表示连接函数y＝f(x)图象 上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))的割线的________． 一、填空题 1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________．(填序号) ①在[x0，x1]上的平均变化率； ②在x0处的变化率； ③在x1处的变化率； ④以上都不对． 2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的增量Δy＝______________. 3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则Δy Δx＝ ________. 4．某物体做运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是______________． 5．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________． 6．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________． 7．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______． 8．若一质点M按规律s(t)＝8＋t2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________． 二、解答题 9．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．10．过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx，1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．
2.12导数的应用(一)
第十二节导数的应用(Ⅰ) [备考方向要明了] [归纳·知识整合] 1．函数的单调性与导数
[探究] 1.若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0吗？f′(x)>0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？ 提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0， f′(x)>0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件． 2．函数的极值与导数 (1)函数的极小值： 若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则a点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值． (2)函数的极大值： 若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则b点叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值． [探究] 2.导数值为0的点一定是函数的极值点吗？“导数为0”是函数在该点取得极值的什么条件？ 提示：不一定．可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点未必是极值点；如函数f(x)＝x3，在x＝0处，有f′(0)＝0，但x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点；其为函数在该点取得极值的必要而不充分条件． 3．函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件： 一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
3.2.3 导数的四则运算法则 学习目标：1.理解函数和、差、积、商的求导法则．(重点).2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．(重点、难点) [自 主 预 习·探 新 知] 导数的运算法则 (1)前提：函数f (x )，g (x )是可导的． (2)法则： ①和(或差)的求导法则：(f (x )±g (x ))′＝f ′(x )±g ′(x )，推广：(f 1±f 2±…±f n )′＝f 1′±f 2′±…±f n ′. ②积的求导法则：[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． 特别地：[Cf (x )]′＝Cf ′(x )． ③商的求导法则： ???? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g (x )(g (x )≠0)， 特别地：??????1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x ) (g (x )≠0)． 思考：商的导数???? ??f (x )g (x )′求导法则中，分子是个差式，这个差中先对f (x )还是g (x )进行求导？ [提示] 先对f (x )求导，即f ′(x )g (x )，再对g (x )求导，即f (x )g ′(x )． [基础自测] 1．思考辨析 (1)若f (a )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(a )＝3a 2＋2x .( ) (2)??????C g (x )′＝－Cg ′(x )g 2(x ) .( ) (3)任何函数都可以应用导数的运算法则求导数．( ) [提示] (1)√ (2)√ (3)× 应用导数的运算法则求导数的前提是f (x )，g (x )均为可导函数，即
【巩固练习】 一、选择题 1．设函数 f (x) (1 2x 3 )10 ，则 f '(1) （ ） A ．0 B ．―1 C ．― 60 D ． 60 2．（ 2014 江西校级一模）若 f (x) 2ln x x 2 ，则 f ' ( x) 0 的解集为（ ） A.(0,1) B. , 1 U 0,1 C. 1,0 U 1, D. 1, 3．（ 2014 春 永寿县校级期中）下列式子不正确的是（ ） A. 3x 2 ' 6x sin x B. ln x 2 x ' 1 x ln 2 cos x 2 x ' sin x ' x cos x sin x C. 2sin 2x 2cos2x D. x x 2 4．函数 y x 4 5 的导数是（ ） 3x 8 A ． 5 B ．0 C ． 5(4 x 3 3) D ． 5(4 x 3 3) 4x 3 3 ( x 4 3x 8) 2 (x 4 3x 8) 2 5 ．（ 2015 安 徽 四 模 ） 已 知 函 数 f ( x) 的 导 函 数 为 f ' ( x) ， 且 满 足 关 系 式 f ( x) x 2 3xf ' (2) ln x ，则 f '(2) 的值等于（ ） A. 2 C. 9 D. 9 4 4 x 1 ( x 6．设曲线 y 1) 在点（ 3，2）处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直，则 a=（ ） x 1 A ．2 B ． 1 C ．―1 D ．―2 2 2 7． y log 3 cos 2 x (cos x 0) 的导数是（ ） A ． 2log 3 e tan x B ． 2log 3 e cot x C ． 2log 3 e cos x D ． log 2 e cos 2 x 二、填空题 8．曲线 y=sin x 在点 ,1 处的切线方程为 ________。 2 9．设 y=(2x+a) 2，且 y ' |x 2 20 ，则 a=________。 ． x 3 1 ____________， 2x sin 2x 5 ____________。 10 sin x 11．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C ：y=x 3― 10x+3 上，且在第二象限内，已知曲
高中数学选修2-2导数--导数的运算（解析版） 1．若f (x )＝sin π 3 －cos x ，则f ′(α)等于( ) A ．Sin α B ．Cos α C ．sin π3＋cos α D ．cos π 3＋sin α [答案] A [解析] ∵f (x )＝sin π 3 －cos x ，∴f ′(x )＝sin x ，∴f ′(α)＝sin α，故选A. 2．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1B ．n ＋2n ＋1C.n n －1 D ．n ＋1n [答案] A [解析] ∵f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，∴数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和为： S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1 n (n ＋1)＝????1－12＋????12－13＋…＋????1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1 ，故选A. 3．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( ) [答案] B [解析] 依题意可设f (x )＝ax 2＋c (a <0，且c >0)，于是f ′(x )＝2ax ，显然f ′(x )的图象为直线，过原点，且斜率2a <0，故选B. 4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．e － 1B ．－1C ．－e － 1 D ．－e [答案] C [解析] ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1 e ， 解得f ′(e)＝－1 e ，故选C.
x x x x 一、知识自测：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 一、知识自测： 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 1、几个常用函数的导数： （1）f(x)=C，则f’(x)= （4）f(x)= 1 ，则f’(x)= x 2、基本初等函数的导数公式：（2）f(x)=x，则f’(x)= （5）f(x)= ，则f’(x)= （3）f(x)= x2，则f’(x)= 1、几个常用函数的导数： （1）f(x)=C，则f’(x)= （4）f(x)= 1 ，则f’(x)= x 2、基本初等函数的导数公式： （2）f(x)=x，则f’(x)= （5）f(x)= ，则f’(x)= （3）f(x)= x2，则f’(x)= （1）f(x)=C （C 为常数），则f’(x)=（3）f(x)=sinx，则f’(x)= （5）f(x)= a x，则f’(x)= （7）f(x)= log a x ，则f’(x)= 3、导数的运算法则：（2）f(x)= x a(a Q) ，则f’(x)= （4）f(x)=cosx，则f’(x)= （6）f(x)= e x ，则f’(x)= （8）f(x)= ln x ，则f’(x)= （1）f(x)=C （C 为常数），则f’(x)= （3）f(x)=sinx，则f’(x)= （5）f(x)= a x，则f’(x)= （7）f(x)= log a x ，则f’(x)= 3、导数的运算法则： （2）f(x)= x a (a Q) ，则f’(x)= （4）f(x)=cosx，则f’(x)= （6）f(x)= e x，则f’(x)= （8）f(x)= ln x ，则f’(x)= 已知f ( x), g( x) 的导数存在，则：（1）[f(x)g(x)]已知f ( x), g( x) 的导数存在，则：（1）[f(x)g(x)] （2）[ f ( x) g( x)]（3）[ f ( x) ] g( x) （2）[ f ( x) g( x)]（3）[ f ( x) ] g( x) 二、典型例题： （一）利用求导公式和运算法则求导数二、典型例题： （一）利用求导公式和运算法则求导数 1、y 5 4 x3 2、y 3 x2x sin x 3、y e x ln x 4、y ln x x 1 2x1、y 5 4 x32、y 3 x2x sin x3、y e x ln x 4、y ln x x 1 2 x 5、y ( x 1)( x 2)( x 3) 6、y ( 1)( 1 1)7、y ( 2)2sin x cos x 2 2 5、y ( x 1)( x 2)( x 3) 6、y ( 1)( 1 1)7、y ( 2)2sin x cos x 2 2 x x x x
导数高考试题精选 一．选择题(共16小题） 1．(20１3?河东区二模)已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为（） Ａ. 3 B．2 C. １Ｄ. ２．（2０12?汕头一模）设曲线ｙ＝aｘ２在点(1，a）处的切线与直线2x﹣ｙ﹣6=０平行,则a=（） A．１B．Ｃ. D．﹣1 ３．（201１?烟台一模)设曲线在点(３,2)处的切线与直线ax+y+1=０垂直,则a=() A. ２Ｂ．Ｃ．Ｄ．﹣２ ４．(２01０?泸州二模)曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（) A. B. Ｃ．D． 5．（２01０?辽宁）已知点Ｐ在曲线y=上,α为曲线在点Ｐ处的切线的倾斜角，则α的取值范围是() A. [０,） B．Ｃ. D. 6.(201０?江西模拟)曲线ｙ=x3﹣2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为(） A. 30° B. 4５°C．60°D．1２０°７．(2009?辽宁)曲线ｙ＝在点(1,﹣１）处的切线方程为（) A. y=x﹣２ B. ｙ=﹣3x＋２Ｃ. y=２x﹣３ D. ｙ=﹣2ｘ＋１ 8.（2００9?江西）若存在过点（1,0）的直线与曲线y＝x３和都相切，则a等于（) A． ﹣1或B. ﹣１或 Ｃ． 或 D. 或7 ９．（２006?四川)曲线y=4ｘ﹣x3在点(﹣1,﹣3)处的切线方程是（) A．y=7ｘ+4 B. ｙ=7x+2 C．y=x﹣4 D．y＝x﹣2 10.（2012?海口模拟）已知f（ｘ)＝alｎｘ＋x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2，都有 ＞2恒成立，则a的取值范围是（） A. (0,1]B．（１,+∞） C. (0，１) D．[1,+∞)
高中数学-导数的概念及运算练习 1．y ＝ln 1 x 的导函数为( ) A ．y ′＝－1 x B ．y ′＝1 x C ．y ′＝lnx D ．y ′＝－ln(－x) 答案 A 解析 y ＝ln 1x ＝－lnx ，∴y ′＝－1 x . 2．(·东北师大附中摸底)曲线y ＝5x ＋lnx 在点(1，5)处的切线方程为( ) A ．4x －y ＋1＝0 B ．4x －y －1＝0 C ．6x －y ＋1＝0 D ．6x －y －1＝0 答案 D 解析 将点(1，5)代入y ＝5x ＋lnx 成立，即点(1，5)为切点．因为y ′＝5＋1x ，所以y ′|x ＝1＝5＋1 1＝6. 所以切线方程为y －5＝6(x －1)，即6x －y －1＝0.故选D. 3．曲线y ＝x ＋1 x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12 答案 D 解析 y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2 （x －1）2，故曲线在(3，2)处的切线的斜率k ＝ y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－1 2 ，故选D. 4．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2 ＋2t ，那么速度为零的时刻是( ) A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末 D ．1秒末和2秒末 答案 D 解析 ∵s＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t)＝t 2 －3t ＋2. 令v ＝0，得t 2 －3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2. 5．(·郑州质量检测)已知曲线y ＝x 2 2－3lnx 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12 答案 A
（理）1.2 导数的计算 1.2.1 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 （文）3.2 导数的计算 3.2.1 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 ［素养目标］ 1．能利用导数的四则运算法则和复合函数的求导法则求解导函数，培养数学运算的核心素养。 2．导数的应用让学生进一步理解导数的几何意义及其应用，达成逻辑推理的核心素养。 【课前·预习案】 [问题导学] 知识点1. 导数的运算法则 【思考1】一个函数可以求其导数，那么两个函数加、减、乘、除能求导吗？ 【提示】能． 〖梳理〗导数的运算法则 设两个函数f (x )，g (x )可导，则 (1)和(差)的导数 符号表示：[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)积的导数 符号表示：[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． 特别地，当g (x )＝c (c 为常数)时，[cf (x )]′＝cf ′(x )． (3)商的导数 符号表示：????f (x )g (x )′＝f′(x )g (x )－f (x )g′(x ) g 2(x ) (g (x )≠0)． （理）知识点2. 复合函数的导数 【思考2】如何求y ＝cos ????3x －π 4的导数． 【提示】令u ＝g (x )＝3x －π 4 ，y ＝f (u )＝cos u ， ∴y ＝f (u )＝f (g (x ))＝cos ? ???3x －π4. 〖梳理〗复合函数的导数 复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y x ′＝y u ′· u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [达标自评] 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”： (1)和的导数就是导数的和，差的导数就是导数的差．( ) (2)积的导数就是导数的积，商的导数就是导数的商. ( ) (3)(x 2cos x )′＝－2x sin x ．( ) 解析：(1)正确.和、差的导数就是导数的和、差；（2）错.根据导数的运算法则知积的导数不是导数的积，商的导数也不是导数的商；（3）错. (x 2cos x )′＝ (x 2)′·cos x +x 2·(cos x )′=2x cos x －x 2sin x ． 答案：（1）√ （2）× （3）× 2．已知函数f(x)＝cos x ＋ln x ，则f ′(1)的值为( ) A ．1－sin 1 B ．1＋sin 1 C ．sin 1－1 D ．－sin 1
32[1]高考数学导数
高考数学导数及其应用怎么考 【考点解读】 1．导数（选修II）高考考核要求为：①导数的概念及某些实际背景，导数的几何意义，几种常见函数的导数；②两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，基本导数公式；③利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值等。 2．比例与题型：导数是高中新教材改革后新加进的知识之一，从近几年全国统考试卷及2004年浙江卷看，其分值比例逐年上升到现在基本稳定在一大（12分），一小（5分）的两题格局上（2004年浙江卷是如此），是新教材的一个主要得分点。 3．命题热点难点是：①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；⑦导数与解析几何相综合的问题。 4．体系整合 5．复习建议：①学会优先考虑利用导数求函数的极大（小）值、最大最小或解决应用问题，这些问题是函数内容的继续与延伸，这种方法使复杂问题简单化。②导数与解析几何或函数图象的混合问题，尤其是抛物线与三次函数的切线问题，是高考中考查综合能力的一个方向，应引起注意。
热点一：导数的几何意义 函数y=f (x) 在点x0导数的几何意义，就是曲线y=f (x) 在点P(x0, f(x0))处的切线的斜率，也就是说，曲线y=f (x) 在P (x0, f (x0))处的切线的斜率是f′(x0)，于是相应的切线方程为y－y0=f′(x0) (x－x0)，巧借导数几何意义“传接”的各类综合题频频出现。 【错题分析】 [错例1] （2004天津卷20（2））曲线f(x)=x3－3x，过点A(0，16)作曲线f (x)的切线，求曲线的切线方程。 误解：f (x)=3x3－3，根据导数的几何去何从意义可知，曲线的切线斜率?Skip Record If...?(0)=－3，所以曲线的切线方程为y=－3x＋16。 剖析：本题错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率k是应是在切点处的导数，而点A (0，16) 不在曲线上。故本题应先设切点，再求斜率，写出直线的方程。 正确解法：设切点坐标?Skip Record If...?，则切线的斜率?Skip Record If...?，切线方程?Skip Record If...?，又因为点M在切线上，所以?Skip Record If...?得?Skip Record If...? 【典型题例】 例1:设P0 (x0，y0) 为曲线C : y=x3 (x＞0)上任意一点，过P0作曲线C 的切线与x轴交于Q1，过Q1作平行于y轴的直线与曲线C交于P1(x1， y1)，然后再过P1作曲线C的切线交x轴于Q2，过Q2作平行于y轴的直线与曲线C交于P2(x2，y2)，依此类推，作出以下各点：P0，Q1，P1，Q2，P2，Q3，…，P n，Q n＋1，…，已知x0=9，设P n (x n，y n) (n∈N)。 （1）求出过点P0的切线方程。 （2）设x n=f (n) (n∈N)，求f (n)的表达式； （3）求?Skip Record If...?的值。 点拨本例涉及到求切线方程的问题,其关键在于掌握切线的斜率等于切点?Skip Record If...?的导数 解析（1）y′=3x2，∵P0 (9，93)，∴切线P0Q1的斜率?Skip Record If...?， ∴过P0点的切线即直线P0Q1的方程为y－93=243 (x－9)，即243x－y －1458=0.
导数练习题 班级 姓名 一、选择题 1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 3．函数f (x )＝2x 2 －1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4 ＋2(Δx )2 D ．4x 4．如果质点M 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3 时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81 5．已知f (x )＝－x 2 ＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－2 6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直 7．曲线y ＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x C ．y ＝x ＋2 D ．y ＝ －x －2 8．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切 线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2 9．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的 切线倾斜角为 π 4 的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(1 4 ，116) D ．(1 2 ，1 4 ) 10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线 方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1 11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ．6 D ．9 12．已知函数f (x )＝1x ，则f ′(－3)＝( ) A ．4 B.19 C ．－1 4 D ．－1 9 13．函数y ＝x 2 x ＋3 的导数是( ) A.x 2＋6x x ＋32 B.x 2＋6x x ＋3 C.－2x x ＋32 D.3x 2 ＋6x x ＋32 14．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 15．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 16．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3)