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一、补充条件型试题
[例1] （1）（06湖北宜昌课改）如图，AB=CD,AD 、BC 相交于点O ，要使△ABO ≌△DCO 。
应添加的条件为__________（添加一个条件即可）
∠A=∠B,∠A=∠C ，∠B=∠C ，∠B=∠D ，AB ∥CD
(2)(05重庆中考题) 如图，已知∠ACB=∠DBC ，要使△ABC ≌△DCB ，只需增加的
一个条件是__________。（只需填写一个你认为合适的条件即可）
BD=CA,∠ABD=∠ACD,∠ABC=∠DCB,
∠A=∠D ，S △ABO=S △CDO
(3)(06深圳中考题) 如图，已知，在△ABC 和△DCB 中，AC=DB,若不增加任何字母
与辅助线，要使△ABC ≌△DCB ，则还需要增加的一个条件是__________ AB=CD,或∠BCA=∠CBD
(4)（04四川中考）如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且∠B=∠C ，那么补充下列一个
条件后，仍然无法判断△ABE ≌△ACD 的是（ ）
A.AD=AE
B.∠AEB=∠ADC
C.BE=CD
D.AB=AC 补充两个三角形中任意一组对应边相等即可，选B 二、组合条件型试题
[例2] （05杭州中考）如图，在△ABC 和△DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，下面有
四个条件，请你在其中选3个座位题设，余下的一个作为结论，下一个真命题，加以证明：①AB=DE ②AC=DF ③∠ABC=∠DEF ④BE=CF
A
B
O
C
D
A D
B C
O A D B C A D
B E
C F
B
A
D
E C
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解析：若所选条件中含有③∠ABC=∠DEF ，则另外两个条件可选择①AB=DE ④BE=CF ，证明全
等的理由是边角边定理。此时的真命题是：在△ABC 和△DEF 中，B,E,C,F 在同一直线上，若∠ABC=∠DEF,AB=DE,BE=CF,则AC=DF.
若所选条件中不含有③∠ABC=∠DEF ，则另外三个条件也可构成一个真命题，此时证
明全等的理由是边边边定理。真命题是：在△ABC 和△DEF 中，B,E,C,F 在同一直线上，若AB=DE,BE=CF,AC=DF,则∠ABC=∠DEF 。
[例3]（06湖北中考）如图，给出下列三个式子：①EC=BD; ②∠BDA=∠CEA;③AB=AC 请将
其中的两个式子作为题设，一个式子作为结论，构成一个真命题（形式：如果……，那么……），并给出证明
解析：当条件中含有②∠BDA=∠CEA ，由于∠A 共用，故无论选择①EC=BD 还是③AB=AC 其中
的一个作为条件，剩下的作为结论，均能构成真命题。真命题如下：
如果∠BDA=∠CEA ，EC=BD ，那么AB=AC 如果∠BDA=∠CEA ，AB=AC ，那么EC=BD
当条件中不含有②∠BDA=∠CEA 时，只能以①EC=BD ；③AB=AC 作为条件，不能证明△
ABD ≌△ACE,故不能得出②∠BDA=∠CEA 。此时没有真命题。
三、探索型试题
[例4](06北京课改)如图（1）所示，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP
所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个做全等三角形的方法，解答下列问题：
（1） 如图（2），在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B=60°,AD,CE 分别是∠BAC,∠BCA
的平分线，AD,CE 相交于点F.请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系
（2） 如图（3），在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而（1）中的其他条件均不变，
请问，你在（1）中得到的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请
A
D C
B E
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说明理由。
解析：（1）FE=FD.证明：在AC 上取点M,使得AM=AE ，连接FM 。易证△AEF ≌△AMF,
△MCF ≌△DCF,故EF=FM=FD.
（2）在AC 上取点M,使得AM=AE,连接FM 。
∵∠BAD=∠CAD,AF=AF,AE=AM ∴△AEF ≌△AMF ∴EF=FM,∠AFE=∠AFM
∵∠BAD=∠CAD,∠BCE=∠ACE,∠B=60° ∴∠AFC=120°，∠AFE=60° ∴∠MFC=60°=∠DFC ∵∠BCE=∠ACE,CF=CF ∴△MFC ≌△DFC ∴DF=FM=EF
[例5] （2007年北京市中考题）我们知道，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似
地，我们定义，至少有一组对边相等的四边形叫做等边四边形。
O
M
N
P (1)
B
C D
A
E
(2) B
D
C A E
F
(3)
A
E
C
B
D
O
F
B
C
D
A
E
(2) M
B
D
C
A
E
F
(3)
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(1) 请写出一个你学过的特殊四边形中师等对边四边形的图形的名称；
(2) 如图，在△ABC 中，点D,E 分别在AB,AC 上，设CD,BE 相交于O ，若∠A=60°,∠DCB=
∠EBC=2
1
∠A,请你写出图中一个与∠A 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
(3) 在△ABC 中，如果∠A 是不等于60°的锐角，点D,E 分别在AB,AC 上，且∠DCB=∠EBC=
2
1∠A,探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。 解析：（1）平行四边形，等腰梯形等等；
（2）与∠A 相等的角是∠BOD(或∠COE),四边形DBCE 是等对边四边形； （3）此时存在等对边四边形DBCE.
如图，作CG ⊥BE 于G 点，作BF ⊥CD 交CD 的延长线于F 点。 ∵∠DCB=∠EBC=
2
1
∠A,BC 为公共边 ∴△BCG ≌△CBF ∴BF=CG
∵∠BDF=∠ABC+∠DCB=∠ABE+∠EBC+∠DCB=∠ABE+∠A ∠GEC=∠ABE+∠A
∴∠BDF=∠GEC,∴△BDF ≌△CEG
∴BD=CE 故四边形BCED 为等对边四边形 四、借助角平分线造全等
[例6]（06郑州中考）如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC,DG ⊥BC 且平分BC,DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.（1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE,BE 的长。
A
C B
E
G
D
F
A
C
B
E
G D
F
A E
C B D
O
F
G
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解析：（1）连接BD 、CD ∵BG=CG,DG ⊥BC ∴BD=CD
∵AD 平分∠BAC,DE ⊥AB,DF ⊥AC ∴DE=DF
∵DE ⊥AB,DF ⊥AC ∴Rt △BED ≌Rt △CFD ∴BE=CF
(2)由（1）可知，BE=CF.故AB=AE+BE=a,AC=AF-CF=AE-BE=b,故AE=
2
b a +，BE=2b
a -
[例7]如图，已知△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC,BE 平分∠B ，CE ⊥BD,求证：BD=2CE.
解析：
延长BA 、CE 交于点M
∵BE ⊥CE,∠CBE=∠MBE,BE 为公共边 ∴△CBE ≌△MBE ∴ME=CE
∵BE ⊥CE,AB ⊥AC ∴∠MCA=∠MBE ∵AB=AC
∴△ABD ≌△ACM ∴BD=CM=2CE 五、倍长中线（线段）造全等
[例8]已知，如图△ABC 中，AB=5,AC=3,则中线AD 的取值范围是_______
A
E
D. C
B
A
C
B
D
A
E
D. C
B
M
A
C
B
D
E
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解析： 延长AD 至E,使得AD=DE,连接CE. ∵AD=DE,BD=CD,∠ADB=∠EDC
∴△ABD ≌△ECD,∴AB=CE
三角形三边关系定理可知，AB-BC=5-3=2<2AD [例9] 如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，试比较BE+CF 与EF 的 大小。 解析：延长FD 至M,使得DM=DF,连接BM 、EM 易证△DCF ≌△DBM,故DM=DF,BM=CF 。又DE ⊥DF,故ME=EF,在△BEM 中， BE+BM>EM,即BE+CF>EF. [例10]如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE. 解析：延长AE 至M ，使AE=EM,连接DM ∵DE=EC,AE=EM,∠AEC=∠MED ∴△AEC ≌△MED ∴DM=AC=BD,∠ACD=∠MDC ∵∠ADB=∠DAC+∠ACD,∠ADM=∠ADC+∠MDC AC=CD →∠DAC=∠ADC AD 共用 ∴△ABD ≌△AMD ∴∠BAD=∠MAD 即AD 平分∠BAE [例11] 如图，已知△ABC 中，AD 平分∠BAC.M 是BC 的中点，ME ∥AD 交AB 于F ，交CA 延长线于E,AB>AC,求证：BF=CE A F C B E D A C E D B E A C D M B A F C B E D M A C E D B M E A C D M B 第 7 页 共 9 页 解析：延长EM 至H,连接BH,易证△BHM ≌△CEM,故BH=CE ∵ME ∥AD ∴∠BAD=∠BFH,∠CAD=∠CEM=∠BHF ∵∠BAD=∠CAD ∴∠BFH=∠BHF ∴BF=BH=CE [例12]（天津数学竞赛）已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且 BE=AC,延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF. 解析：延长AD 至M,使得AD=DM,连接BM. ∵∠BDM=∠CDA,AD=DM,BD=DC ∴△BDM ≌△CDA ∴BM=AC,∠BMD=∠CAD ∵BE=AC ∴BE=BM,∠BEM=∠BMD ∴∠AEF=∠EAF ∴ AF=EF 1、（中考题）已知：如图，OP 是∠AOC 和∠BOD 的平分线，OA=OC,OB=OD.求证：AB=CD 【解析】 由OP 是∠AOC 和∠BOD 的平分线可知，∠AOB=∠COD,又OA=OC,OB=OD, A F D C B E P A B D C O A F D C B E H 第 8 共 9 页 故△AOB ≌△COD,所以AB=CD. . 2、（中考题）已知：如图，AB ∥ED ，点F 、点C 在AD 上，AB=DE,AF=DC.求证：BC=EF. 【解析】∵AB//ED ∴∠BAC=∠EDF ∵AF=DC ∴AC=DF ∵AB=DE ∴△BAC ≌△EDF ∴BC=EF 1、(长沙中考)如图，已知MD=ND,∠MBA=∠NDC,试补充一个条件___________， 使得△AMD ≌△CDN. 【解析】∠AMB=∠CND,或∠MAB=∠NCD,或AC=BD,或AB=CD 2、（06新疆）如图，在△ABC 与△DEF 中，给出以下六个条件：①AB=DE;②BC=EF;③AC=DF; ④∠A=∠D ⑤∠B=∠E;⑥∠C=∠F,以其中三个条件作为已知，不能判断△ABC 与△DEF 全等 的是（ ） A. ①⑤② B.①②③ C.④⑥① D.②③④ 【解析】D 3、如图，P 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线AD 上的点（不与A 重合）。求证：PB+PC>AB+AC D A B F E C M N A C B D A C B D E F A E P D C B A E P D C B F 第 9 页 共 9 页 【解析】在AE 上取点F,使得AF=AC,连接PF. ∵∠CAD=∠EAD,AC=AF,AP=AP ∴△CAP ≌△FAP ∴PF=PC 在△BPF 中，BP+PF>BF 故PB+PC>AB+AC 1、 如图，在△ABC 中，AC>AB,AD 为BC 边上的中线，求证：∠CAD<∠BAD 【解析】延长AD 至E,使得AD=DE,连接CE, ∵∠CDE=∠BDA,AD=DE,CD=BD ∴△CDE ≌△BDA ∴CE=AB, ∠BAD=CEA 在△ACE 中，AC>AB=CE ∴∠CAD<∠CEA 故∠CAD<∠BAD A B D C 全等三角形证明经典题(含答案) 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，111749AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADCBD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4即 4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 4. 5. 证明：连接BF 和EF ∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三 角形BEF 中,BF=EF ∴∠EBF=∠BEF 。 ∵∠ABC=∠AED 。∴∠ABE=∠AEB 。∴AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴三角形ABF 和三角形AEF 全等。∴∠BAF=∠ EAF(∠1=∠2)。 6. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC A D B C 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角）∴△EFD ≌△CGD EF ＝CG ∠CGD ＝∠EFD 又EF ∥AB ∴∠EFD ＝∠1∠1=∠2 ∴∠CGD ＝∠2∴△AGC 为等腰三角形，AC ＝CG 又EF ＝CG ∴EF ＝AC 7. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠ C 证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD ∵AE ＝AC ，AD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠E ＝∠C ∵AC ＝AB+BD ∴AE ＝AB+BD ∵AE ＝AB+BE ∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E ∵∠ABC ＝∠E+∠BDE ∴∠ABC ＝2∠E ∴∠ABC ＝2∠C 8. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF ∵CE ⊥AB ∴∠CEB ＝∠CEF ＝90° ∵EB ＝EF ，CE ＝CE ，∴△CEB ≌△CEF ∴∠B ＝∠CFE ∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° ∴∠D ＝∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC ＝∠FAC ∵AC ＝AC ∴△ADC ≌△AFC （SAS ） ∴AD ＝AF ∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 9. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 在BC 上截取BF=AB ，连接EF ∵BE 平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE ∴⊿ABE ≌⊿FBE （SAS ） ∴∠A=∠BFE ∵AB//CD ∴∠A+∠D=180o ∵∠BFE+∠CFE=180o ∴∠D=∠CFE 又∵∠DCE=∠FCECE 平分∠BCDCE=CE ∴⊿DCE ≌⊿FCE （AAS ）∴CD=CF ∴BC=BF+CF=AB+CD 10. 已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C AB ‖ED ，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度， ∵∠EAB=∠BDE ， B A C D F 2 1 E D C B A F E A 一、填空题（每小题4分,共32分）. 1．已知：///ABC A B C ??≌，/A A ∠=∠，/B B ∠=∠，70C ∠=?，15AB cm =，则/ C ∠=_________，//A B =__________． 2．如图1，在ABC ?中，AB=AC ，AD ⊥BC 于D 点，E 、F 分别为DB 、DC 的中点，则图中共有全等三 角形_______对． 图1 图2 图3 3． 已知△ABC ≌△A ′B ′C ′，若△ABC 的面积为10 cm 2，则△A ′B ′C ′的面积为______ c m 2，若△A ′B ′C ′的周长为16 cm ，则△ABC 的周长为________cm ． 4． 如图2所示，∠1=∠2，要使△ABD ≌△ACD ，需添加的一个条件是________________(只添一个条件即可)． 5．如图3所示，点F 、C 在线段BE 上，且∠1=∠2，BC =EF ，若要使△ABC ≌△DEF ，则还需补充一个条件________，依据是________________． 6．三角形两外角平分线和第三个角的内角平分线_____一点，且该点在三角形______部． 7．如图4，两平面镜α、β的夹角 θ，入射光线AO 平行于β，入射到α上，经两 次反射后的出射光线CB 平行于α，则角θ等于________． 8．如图5，直线AE ∥BD ，点C 在BD 上，若AE ＝4，BD ＝8，△ABD 的面积为16，则ACE △ 的面积为 ______． 二、选择题（每小题4分,共24分） 9．如图6，AE ＝AF ，AB ＝AC ，E C 与BF 交于点O ，∠A ＝600，∠B ＝250，则∠E O B 的度数为（ ） A 、600 B 、700 C 、750 D 、850 10．△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为100 cm ，A 、B 分别与D 、E 对应，且AB ＝35 cm ，DF =30 cm ，则EF 的长为( ) A ．35 cm B ．30 cm C ．45 cm D ．55 cm 11．图7是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的形状将会改变，若固定其形状，下列有四种加固木条的方法，不能固定形状的是钉在________两点上的木条．( ) A ．A 、F B ． C 、E C ．C 、A D ． E 、F 12．要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD=?BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 在一条直线上，可以证明△EDC ?≌△ABC ，?得到ED=AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长（如图8），判定△EDC ≌△ABC 的理由是（ ） N A M C B 图7 图8 图9 图10 全等三角形证明经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2又∵CD=DE∴⊿ADC≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC∵EF//AB∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE∴EF=E G ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ， ∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE⊥AB 所以∠CEB＝∠CEF＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° 所以∠D＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC≌△AFC（SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD, 则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD. 13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F= C D B D E A B A C D F 2 1 E 1、．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N． 求证：∠OAB=∠OBA 证明： ∵OM平分∠POQ ∴∠POM＝∠QOM ∵MA⊥OP，MB⊥OQ ∴∠MAO＝∠MBO＝90 ∵OM＝OM ∴△AOM≌△BOM（AAS） ∴OA＝OB ∵ON＝ON ∴△AON≌△BON（SAS） ∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB ∵∠ONA+∠ONB＝180 ∴∠ONA＝∠ONB＝90 ∴OM⊥AB 2、如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC． 解：延长AD至BC于点E, ∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形 ∴∠DBC=∠DCB 又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2 即∠ABC=∠ACB ∴△ABC是等腰三角形 ∴AB=AC 在△ABD和△ACD中 ｛AB=AC ∠1=∠2 BD=DC ∴△ABD和△ACD是全等三角形（边角边） ∴∠BAD=∠CAD ∴AE是△ABC的中垂线 ∴AE⊥BC ∴AD⊥BC 3、如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。求证：AM是△ABC的中线。 M F E C B A 证明： ∵BE‖CF ∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM ∵BE=CF ∴△BEM≌△CFM ∴BM=CM ∴AM是△ABC的中线. 4、10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF F D C B A 在△ABD与△ACD中AB=AC BD=DC AD=AD ∴△ABD≌△ACD ∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC 在△BDF与△FDC中 B C 全等三角形难题题型归类及解析 一、角平分线型 角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性， 常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平 分线上一点作两边的垂线 。另外掌握两个常用的结论：角平分 线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角 形。 1. 如图，在ΔABC 中，D 是边 BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在 AB 上截取 AE=AC ， 连结 DE ，已知 DE=2cm ，BD=3cm ，求线段 BC 的长。 A E D 2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点 P 在 BD 上，PM⊥AD 于 M ， ?PN⊥CD 于 N ，判断 PM 与 PN 的关系． A M D P N C B 3. 已知：如图 E 在△ABC 的边 AC 上，且∠AEB=∠ABC 。 (1) 求证：∠ABE=∠C ； (2) 若∠BAE 的平分线 AF 交 BE 于 F ，FD∥BC 交 AC 于 D ，设 AB=5，AC=8，求 DC 的长。 ． 2 5、如图所示，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交BC延长线于M，求证：2∠M=（∠ACB-∠B） A 12 E P B F D C M 6、如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E． 1 （1）若BD平分∠ABC，求证CE=BD； （2）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围； 若不变，求出它的度数，并说明理由。 C D E B A 8、如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB， 求证：AC=AE+CD． 二、中点型 由中点应产生以下联想： 1、想到中线，倍长中线 全等三角形证明经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ） ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ， AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°， 求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ， CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则 ⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD,则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD. 13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C AB//ED,AE//BD 推出AE=BD, C D B D C B A F E A B A C D F 2 1 E 全等三角形的证明 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法： (1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等． (4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 专题1、常见辅助线的做法 典型例题 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等； （3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： 第十二章 全等三角形 第Ⅰ卷（选择题 共30 分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列说法正确的是（ ） A.形状相同的两个三角形全等 B.面积相等的两个三角形全等 C.完全重合的两个三角形全等 D.所有的等边三角形全等 2. 如图所示，a,b,c 分别表示△ABC 的三边长，则下面与△ABC 一定全等的三角形是（ ） 3.如图所示，已知△ABE ≌△ACD ，∠1=∠2，∠B=∠C ， 下列不正确的等式是（ ） A.AB=AC B.∠BAE=∠CAD C.BE=DC D.AD=DE 4. 在△ABC 和△A /B /C /中,AB=A /B /,∠B=∠B /,补充条件后 仍不一定能保证△ABC ≌△A /B /C /,则补充的这个条件是 ( ) A ．BC= B / C / B ．∠A=∠A / C ．AC=A /C / D ．∠C=∠C / 5.如图所示，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（ ） A.△ACE ≌△BCD B.△BGC ≌△AFC C.△DCG ≌△ECF D.△ADB ≌△CEA 6. 要测量河两岸相对的两点A,B 的距离，先在AB 的垂 线BF 上取两点C,D ，使CD=BC ，再作出BF 的垂线DE ， 使A,C,E 在一条直线上（如图所示），可以说明 △EDC ≌△ABC ，得ED=AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长，判定△EDC ≌△ABC 最恰当的理由是（ ） A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.边边角 7.已知：如图所示，AC=CD ，∠B=∠E=90°，AC ⊥CD ，则不 正确的结论是（ ） A ．∠A 与∠D 互为余角 B ．∠A=∠2 C ．△ABC ≌△CE D D ．∠1=∠2 8. 在△ABC 和△FED 中，已知∠C=∠D ，∠B=∠E ，要判定 这两个三角形全等，还需要条件（ ） 第3题图 第5题图 第7题图 第2题图 第6题图 A B C D 全等三角形题型总结 题型一、一线三垂直 1、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，若MN是经过点A的直线，BD⊥MN于D，CE⊥MN于E，（1）求证：BD=AE。 （2）若将MN绕点A旋转，使MN与BC相交于点O，其他条件都不变，BD与AE边相等吗？为什么？（3）BD、CE与DE有何关系？ 2、如图，两根旗杆间相距12m，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM．已知旗杆AC的高为3m，此人的运动速度为1m/s，求这个人运动了多长时间． 27、王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以 放进一个等腰直角三角板(AC=BC, ∠ABC=90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵 木墙之间的距离． 题型二、角平分线与全等 1、如图所示，四边形ABCD中AB=AD，CA平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，图中有无和△ABE全等的三角形？请说明理由。 2.如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，F是OC上除点P、O外的一点，连接DF，EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论． 图 题型三、旋转与全等 1、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG，（1）观察猜想BE与DC之间的大小关系，并证明你的结论。（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程，若不存在，说明理由。 B A C D E 2、图17，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，CE 与BD 相交于点M ，BD 交AC 于点N ． 证明：（1）BD ＝CE ； （2）BD ⊥CE ． 图17 3、如图，ABC ?为等边三角形，D 为边BA 延长线上一点，连接CD ，以CD 为一边作等边三角形 CDE ?，连接AE ． （1）求证：CBD ?≌CAE ?． （2）判断AE 与BC 的位置关系，并说明理由． 4、如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，具有BF=AC ，FD=CD ，试探究BE 与AC 的位置关 系. A B D C E F 全等三角形练习题及答案 1、下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（） A、两条直角边对应相等。 B、斜边和一锐角对应相等。 C、斜边和一条直角边对应相等。 D、两锐角相等。 2、在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（） A.∠A B.∠B C.∠C D.∠B或∠C 3、下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（） A.已知两边和夹角 B.已知两角和夹边 C.已知两边和其中一边的对 角 D.已知三边 4、在△ABC与△DEF中，已知AB=DE；∠A=∠D；再加一个条件，却不能判断 △ABC与△DEF全等的 是（）. A． BC=EF B．AC=DF C．∠B=∠E D．∠C=∠F 5、使两个直角三角形全等的条件是（） A．一锐角对应相等B．两锐角对应相等 C．一条边对应相等D．两条直角边对应相等 6、在△ABC和△A'B'C'中有①AB=A'B'，②BC=B'C'，③AC=A'C'，④∠A=∠A'， ⑤∠B=∠B'，⑥∠C=∠C'，则下列各组条件中不能保证△ABC≌△A'B'C'的是（） A、①②③ B、①②⑤ C、①②④ D、②⑤⑥ 7、如图，已知∠1=∠2，欲得到△ABD≌△ACD，还须从下列条件中补选一个，错误的选法是 （） A、∠ADB=∠ADC B、∠B=∠C C、DB=DC D、AB=AC 8、如图，△ABC≌△ADE，若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC的度数为 A. 40° B. 80° C.120° D. 不能确定 9、如图，AE＝AF，AB＝AC，EC与BF交于点O，∠A＝600，∠B＝250，则∠EOB的度数为（） A．600 B．700C．750D．850 10、如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E.F在DB上两点且BF＝DE，若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，则∠BCF= ( ) A. 150° B.40° C.80° D. 90° 11、①两角及一边对应相等②两边及其夹角对应相等③两边及一边所对的角对应相等④两角及其夹边对应相等，以上条件能判断两个三角形全等的是( ) A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②④ 12、下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（） A．三条边对应相等 B．两边和一角对应相等 C．两角及其一角的对边对应相等 D．两角和它们的夹边对应相等 13、如图，已知，，下列条件中不能判定⊿≌⊿的是（） （A）（B） （C）（D）∥ 14、如图，AB与CD交于点O，OA＝OC，OD＝OB，∠A=50°，∠B＝30°， 则∠D的度数为（）. 全等三角形经典题型题带答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 全等三角形证明经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥ AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD,则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD. C D B A B A C D F 2 1 E 初中数学全等三角形常见题目型训练基础 测试卷 初中数学全等三角形常见题型训练基础测试卷 一、单选题(共4道，每道25分) 1.如图，在AB、AC上各取一点D、E，使得AE=AD，连接CD、BE相交于点O，再连接AO．若∠CAO=∠BAO，则图中全等三角形共有（） A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 2.如图,已知点E在△ABC的外部,点D在BC边上,DE交AC于F,若 ∠1=∠2=∠3,AC=AE。求证:△ABC≌△ADE. 证明:∵∠1=∠2=∠3 ∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC 即∠BAC=∠DAE 又∵∠3=∠B+ ,∠2=∠B+ ∴∠E=∠C 在△ABC和△ADE中 ∴ ①∠DAC,②∠E,③∠C,④,⑤,⑥△ABC≌△ADE(ASA),⑦△ABC≌△ADE(AAS), 以上空缺处依次填写正确的顺序为() A.①②⑤⑦ B.②③⑤⑦ C.①③④⑥ D.②③④⑥ 3.如图,四边形ABCD为正方形,∠ABE=∠DCE=90°,AB=BC=CD=AD,E为BC边上一点,且AE=DE,AE与对角线BD交于点F,∠ABF=∠CBF,连接CF,交ED于点G.判断CF与ED的位置关系,并说明理由. 解:垂直.理由如下: 在△ABF与△CBF中 ∴ ∴∠BAF=∠BCF 在Rt△ABE和Rt△DCE中 ∴ ∴∠BAE=∠CDE ∴∠BCF=∠CDE ∵∠CDE+∠DEC=90° ∴∠BCF+∠DEC=90° ∴DE⊥CF ①,②,③,④ ,⑤Rt△ABE≌Rt△DCE(HL),⑥△ABE≌△DCE(SAS),⑦△ABF≌△CBF(SAS),⑧△ABF≌△CBF(SSS), 以上空缺处依次填写正确的顺序 为() A.①⑦④⑥ B.②⑧③⑤ C.①⑦③⑤ D.②⑧④⑥ 4.如图,四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD.求证:∠A=∠C. 证明:如图,_________________ 在△ABD和△CDB中 ________________ ∴________________ ∴∠A=∠C(全等三角形对应角相等) ①作直线BD,②连接BD,③作射线 BD,④,⑤,⑥△ABD≌△CDB(SSS),⑦△ABD≌△BCD(SSS),⑧△ABD≌△CDB(SAS), 以上空缺处依次填写正确的顺 序为() 全等三角形难题题型归类及解析 一、角平分线型 角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ，连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，?PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系． 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。 求证：∠ABE=∠C ； 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5，AC=8，求DC 的长。 ． 5、如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ） 2 1P F M D B A C E A B C D E P D A C M N 6、如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ． 若BD 平分∠ABC ，求证CE= 1 2 BD ； 若D 为AC 上一动点，∠AED 如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由。 如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平 分 ∠BAC 、∠ACB ， 求证：AC=AE+CD ． 二、中点型 由中点应产生以下联想： 1、想到中线，倍长中线 利用中心对称图形构造8字型全等三角形 3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线 4、三角形的中位线 2、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°， CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF AC =； （2）求证：1 2 CE BF = E D C B 全等三角形的提高拓展训练 知识点睛 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 例题精讲 板块一、截长补短 【例1】 (06年北京中考题)已知ABC ?中，60A ∠=o ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ， 试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明． D O E C B A 全等三角形经典题型50题带答案 全等三角形证明经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE 证明：连接BF 和EF 。因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。连接BE 。在三角形BEF 中,BF=EF 。所以 ∠EBF=∠BEF 。又因为 ∠ABC=∠AED 。所以 ∠ABE=∠AEB 。所以 AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中， AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ） ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C C D B A B A C D F 2 1 E 全等三角形题型归类及解析 全等三角形难题题型归类及解析 一、角平分线型 角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。 1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ， 连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。 2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ， ?PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系． 3. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。 (1) 求证：∠ABE=∠C ； (2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5， AC=8，求DC 的长。 A B C D E P D A C B M N 二、中点型 由中点应产生以下联想： 1、想到中线，倍长中线 2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形 3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线 4、三角形的中位线 2、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF AC =； （2）求证：1 2 CE BF = D A E F C H G B 3、如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关 系，并证明你的结论。 4、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 的长. 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 2. 已知：BC=ED ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠ 2 证明：连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 A D B C 3. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角） ∴△EFD ≌△CGD EF ＝CG ∠CGD ＝∠EFD 又，EF ∥AB ∴，∠EFD ＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD ＝∠2 ∴△AGC 为等腰三角形， AC ＝CG 又 EF ＝CG ∴EF ＝AC 4. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠ C 证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD ∵AE ＝AC ，AD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠E ＝∠C ∵AC ＝AB+BD ∴AE ＝AB+BD ∵AE ＝AB+BE ∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E B A C D F 2 1 E A 一，证明边或角相等 方法：证明两条线段相等或角相等，如果这两条线段或角在两个三角形内，就证明这两个三角形全等； 如果这两条线段或角在同一个三角形内，就证明这个三角形是等腰三角形；如果看图时两条线段既不在同一个三角形内，也不在两个全等三角形内，那么就利用辅助线进行等量代换，同样如果角不在同一个三角形内，也不在两个全等三角形内，也是用等量代换（方法是：（1）同角（等角）的余角相等（2） 同角（等角）的补角相等，此类型问题一般不单独作一大题，往往是通过得出角相等后用来证明三角 形全等，而且一般是在双垂直的图形中） 1.已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。求证：BE ＝CD 。 2．如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6． 3．已知：如图△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，BD 、CE 交于H 。 求证：HB=HC 。 2、如图, 已知：AB ⊥BC 于B , EF ⊥AC 于G , DF ⊥BC 于D , BC=DF ．求证：AC=EF ． A E D C B 654 32 1E D C B A F G E D C B A F B C A M N E 1234 E D C B A 二.证明线段和差问题 （形如：AB+BC=CD,AB=AD - CD) 证明两条线段和等于另一条线段，常常使用截长补短法。①截长法即为在这三条最长的线段截取一段使它等于较短线段中的一条，然后证明剩下的一段等于另一条较短的线段。②补短法即为在较短的一条线段上延长一段，使它们等于最长的线段，然后证明延长的这一线段等于另一条较短的线段。 证明两条线段差等于另一条线段，只需把差化成和来解决即可。 1.如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求 证：AD +BC =AB ． 2、如图,已知：△ABC 中,∠BAC ＝90, AB ＝AC ,AE 是过A 一直线,且点B 、C 在AE 的异侧,BD ⊥AE 于D ,CE ⊥AE 于E . 求证：BD ＝DE ＋CE ； 3、如图，AB ∥CD ，DE 平分∠ADC ，AE 平分∠BAD ，求证：AB=AD - CD P E D C B A全等三角形证明经典题(含答案)
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