动能和动能定理的应用

7、4 动能定理的应用

一、动能定理应用的思路

动能定理中涉及的物理量有F 、l 、m 、v 、W 、E k 等，在处理含有上述物理量的力学问题时，可以考虑使用动能定理。由于只需从力在各段位移内的功和这段位移始末两状态动能变化去研究，无需注意其中运动状态变化的细节，又由于功和动能都是标量，无方向性，无论是对直线运动或曲线运动，计算都会特别方便。当题给条

件涉及力的位移效应，而不涉及加速度和时间时，用动能定理求解一般比用牛顿第二定律和运动学公式求解简便。用动能定理还能解决一些用牛顿第二定律和运动学公式难以求解的问题，如变力作用过程、曲

线运动等问题。

二、应用动能定理解题的一般步骤：

① 确定研究对象和研究过程。

② 分析物理过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，画受力示意图，及过程状态草图，明确各力做功情况，即是否做功，是正功还是负功。

③ 找出研究过程中物体的初、末状态的动能（或动能的变化量）

④ 根据动能定理建立方程，代入数据求解，对结果进行分析、说明或讨论。

例题评讲：

1、应用动能定理求变力的功。

例1 如图2-7-5所示，AB 为1/4圆弧轨道，半径为R=0.8m ，BC 是水平

轨道，长S=3m ，BC 处的摩擦系数为μ=1/15，今有质量m=1kg 的物体，自A 点从静止起下滑到C 点刚好停止。求物体在轨道AB 段所受的阻力对物体做的功。

解答：物体在从A 滑到C 的过程中，有重力、AB 段的阻力、BC 段的摩

擦力共三个力做功，W G =mgR ，f BC =umg ，由于物体在AB 段受的阻力是变力，做的功不能直接求。根据动能定理可知：W 外=0，所以mgR-umgS-W AB =0

即W AB =mgR-umgS=1×10×0.8-1×10×3/15=6(J)

点评：如果我们所研究的问题中有多个力做功，其中只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。

例2 电动机通过一条绳子吊起质量为8kg 的物体。绳的拉力不能超过120N ，电动机的功率不能超过1 200W ，

要将此物体由静止起，用最快的方式将物体吊高90m （已知物体在被吊高90m 以前已开始以最大速度匀速上升），所需时间为多少？（g 取10 m/s 2）

解答 起吊最快的方式是：开始时以最大拉力起吊，达到最大功率后维持最大功率起吊。

在匀加速运动过程中，加速度为8

10

8120?-=-=

m mg F a m m/s 2=5 m/s 2， 末速度 1202001==

m m t F P v m/s=10m/s ， 上升时间 5

10

1==a v t t s=2s ， 上升高度 5

21022

21?==a v h t m=10m 。 在功率恒定的过程中，最后匀速运动的速度为 10

8200

1?==mg P v m m m/s=15m/s ， 由动能定理有 2

2122

121)(t m m mv mv h h mg t P -=

--， 解得上升时间 t 2=5.75s 。 所以，要将此物体由静止起，用最快的方式将物体吊高90m ，所需时间为 t=t 1+t 2=2s+5.75s=7.75s 。

2-7-5

2-7-6

2、应用动能定理解多过程问题

例 3 一个物体从斜面上高h 处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后

停止，测得停止处对开始运动处的水平距离为S ，如图2-7-6，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并设斜面与水平面对物体的动摩擦因数相同．求动摩擦因数μ．

解答 设该斜面倾角为α，斜坡长为l ，则物体沿斜面下滑时，重力和摩擦力在

斜面上的功分别为：

物体在平面上滑行时仅有摩擦力做功，设平面上滑行距离为S 2，则

对物体在全过程中应用动能定理：ΣW=ΔEk． 所以 mglsinα－μmglcosα－μmgS 2=0

得 h －μS 1－μS 2=0．

式中S1为斜面底端与物体初位置间的水平距离．故

点评 本题中物体的滑行明显地可分为斜面与平面两个阶段，而且运动性质也显然分别为匀加速运动和匀减速运动．依据各阶段中动力学和运动学关系也可求解本题．比较上述两种研究问题的方法，不难显现动能定理解题的优越性．

例4 从离地面H 高处落下一只小球，小球在运动过程中所受的空气阻力是它重力的k （k<1）倍,而小球

与地面相碰后，能以相同大小的速率反弹，求：

（1） 小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度是多少？ （2） 小球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是多少？

解答：(1) 设小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度是h ，则由动能定理得：mg(H-h)-kmg(H+h)=0

解得 H k k

h +-=

11 (2)、设球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是S ，对全过程由动能定理得mgH-kmgS=0

解得 k

H S =

点评：物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的小过程（如加速、减速的过程），此时可以分段

考虑，也可以对全过程考虑，但如能对整个过程利用动能定理列式则使问题简化。

例5、如图11所示，斜面足够长，其倾角为α，质量为m 的滑块，距挡板P 为S 0，以初速度V 0沿斜面上滑，

滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块在斜面上经过的总路程为多少？

解答：滑块在滑动过程中，要克服摩擦力做功，其机械能不断减少；又因为滑块所受摩擦力小于滑块沿斜

面方向的重力分力，所以最终会停在斜面底端。

在整个过程中，受重力、摩擦力和斜面支持力作用，其中支持力不做功。设其经过和总路程为L ，对全过程，由动能定理得：

2

002

10cos sin mv L ng mgS -

=-αμα 得α

μαcos 21sin mgS 2

0mg mv L +=

αμcos 1mgl W f -=mgh

mgl W G ==αsin V 0

S 0

α P

图11

3、利用动能定理巧求机车脱钩问题

例5、总质量为M 的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为m ，中途脱节，司机发觉时，机

车已行驶L 的距离，于是立即关闭油门，除去牵引力，如图13所示。设运动的阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的。当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？

解答：此题用动能定理求解比用运动学、牛顿第二定律求解

简便。

对车头，脱钩后的全过程用动能定理得：

201)(2

1

)(V m M gS m M k FL --=--

对车尾，脱钩后用动能定理得：

2022

1

mV kmgS -=-

而21S S S -=?，由于原来列车是匀速前进的，所以F=kMg 由以上方程解得m

M ML

S -=

?。

【同步检测】

1.对于做匀速圆周运动的物体，下面说法中正确的是 ( )

A.速度在改变，动能也在改变

B.速度改变，动能不变

C.速度不变，动能改变

D.动能、速度都不变 2.一质量为1.0kg 的滑块，以4m ／s 的初速度在光滑水平面上向左滑行，从某一时刻起一向右水平力作用于滑块，经过一段时间，滑块的速度方向变为向右，大小为4m ／s ，则在这段时间内水平力所做的功为( )

A.0

B.8J

C.16J

D.32J

3.两物体质量之比为1:3，它们距离地面高度之比也为1:3，让它们自由下落，它们落地时的动能之比为( )

A.1:3

B.3:1

C.1:9

D.9:1

4.一个物体由静止沿长为L 的光滑斜面下滑当物体的速度达到末速度一半时，物体沿斜面下滑了( )

A.

4L B.L )12(- C.2L

D.2

L 5.质点在恒力作用下，从静止开始做直线运动，则质点的动能( ) A.与它通过的位移成正比 B.与它通过的位移的平方成正比 C.与它运动的时间成正比 D.与它的运动的时间的平方成正比

6.两个材料相同的物体，甲的质量大于乙的质量，以相同的初动能在同一水平面上滑动，最后都静止，它们滑行的距离是( )

A.乙大

B.甲大

C.一样大

D.无法比较

7.两辆汽车在同一水平路面上行驶，它们的质量之比为m 1:m 2=1:2，速度之比为v 1:v 2=2:1当汽车急刹车后，甲、乙两辆汽车滑行的最大距离为s 1和s 2，若两车与路面的动摩擦因数相同，且不计空气阻力，则( )

A.s 1:s 2=1:2

B.S 1:S 2=1:1

C.S 1:S 2=2:1

D.s 1:s2=4:1 8．如图2-7-12所示，质量为M 的木块放在光滑的水平面上，质量为m 的子弹以速度v 0沿水平射中木块，并最终留在木块中与木块一起以速度v 运动.已知当子弹相对木块静止时，木块前进距离L ，子弹进入木块的深度为s .若木块对子弹的阻力f 视为恒定，则下列关系式中正确的是 （ ）

A ．fL =

21Mv 2 B ．f s =21

mv 2 C ．f s =21mv 02－21（M ＋m ）v 2 D ．f （L ＋s ）=21mv 02－2

1mv 2

9.两个物体的质量分别为m 1和m 2，且m 1=4m 2，当它们以相同的动能在动摩擦因数相同的水平面上运行时，它们的

滑行距离之比s 1:s 2和滑行时间之比t 1:t 2分别为( )

S 2 S 1

L

V 0

V 0 图13

A.1:2,2:1

B.4:1,1:2

C.2:1,4:1

D.1:4,1:2

10.以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力的大小恒为f，则从抛出至回到

原出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为( )

A.0

B.-fh

C.-2fh

D.-4fh

11.有两个物体其质量M1>M2，它们初动能一样，若两物体受到不变的阻力F1和F2作用经过相同的时间停下，它们

的位移分别为s1和s2，则( )

A.F1>F2，且s1

B.F1>F2，且s1>s2

C.F1

D.F1s2

12.质量为m的物体从地面上方H高处无初速释放，落在地面后出现一个深度为h的坑，如图2-7-13所示，在此

过程中( )

A.重力对物体做功为mgH

B.重力对物体做功为mg(H+h)

C.外力对物体做的总功为零

D.地面对物体的平均阻力为mg(H+h)／h

2-7-13 13.物体与转台间的动摩擦因数为μ，与转轴间距离为R，m随转台由静止开始加速转动，当转速增加至某值时，

m即将在转台上相对滑动，此时起转台做匀速转动，此过程中摩擦力对m做的功为( )

A.0

B.2πμmgR

C.2μmgR

D.μmgR／2

14.如图所示，质量为m的物体静放在水平光滑平台上，系在物体上的绳子

跨过光滑的定滑轮由地面以速度v0向右匀速走动的人拉着，设人从地面上且

从平台的边缘开始向右行至绳和水平方向成30°角处，在此过程中人所做

的功为( )

A.mv02／2

B.mv02

C.2mv02／3

D.3mv02／8

15.如图2-7-15所示，一小物块初速v1，开始由A点沿水平面滑至B点时速度为v2，若该物块仍以速度v1

从A点沿两斜面滑动至B点时速度为v2’，已知斜面和水平面与物块的动摩擦因数相同，则( )

A.v2>v2'

B.v2

C.v2=v2’

D.沿水平面到B点时间与沿斜面到达B点时间相等

2-7-15

16.木块受水平力F作用在水平面上由静止开始运动，前进sm后撤去F，木块又沿原方向前进3sm停止，则

摩擦力f=________．木块最大动能为________.

17.质量M=500t的机车，以恒定的功率从静止出发，经过时间t=5min在水平路面上行驶了s=2.25km，速度

达到了最大值v m=54km／h，则机车的功率为________W，机车运动中受到的平均阻力为________N．

18.如图所示，光滑水平面上，一小球在穿过O孔的绳子的拉力作用下沿一圆周匀速运动，

当绳的拉力为F时，圆周半径为R，当绳的拉力增大到8F时，小球恰可沿半径为R／2的圆

周匀速运动在上述增大拉力的过程中，绳的拉力对球做的功为________.

2

19.有一质量为0.2kg的物块，从长为4m，倾角为30°光滑斜面顶端处由静止开始沿斜面滑下，斜面底端和

水平面的接触处为很短的圆弧形，如图2-7-17所示.物块和水平面间的滑动摩擦因数为0.2求：

(1)物块在水平面能滑行的距离；

(2)物块克服摩擦力所做的功．(g取10m／s2)

2-7-17

20.如图2-7-18所示，AB和CD是半径为R=1m的1／4圆弧形光滑轨道，BC为一段长2m的水平轨道质量为2kg的物体从轨道A端由静止释放，若物体与水平轨道BC间的动摩擦因数为0.1．求：

(1)物体第1次沿CD弧形轨道可上升的最大高度；

(2)物体最终停下来的位置与B点的距离

2-7-18

21.如图2-7-19所示的装置中，轻绳将A、B相连，B置于光滑水平面上，拉力F使B以1m／s匀速的由P 运动到Q,P、Q处绳与竖直方向的夹角分别为α1=37°，α2=60°.滑轮离光滑水平面高度h=2m，已知m A=10kg，m B=20kg，不计滑轮质量和摩擦，求在此过程中拉力F做的功(取sin37°=0.6，g取10m／s2)

2-7-19

22.人骑自行车上坡，坡长200m，坡高10m，人和车的质量共100kg，人蹬车的牵引力为100N，若在坡底时自行车的速度为10m／s，到坡顶时速度为4m／s.(g取10m/s2)求：

(1)上坡过程中人克服阻力做多少功?

(2)人若不蹬车，以10m／s的初速度冲上坡，能在坡上行驶多远?

23. 质量m＝1kg的物体，在水平拉力F的作用下，沿粗糙水平面运动，经过位移4m时，拉力F停止作用，运动到位移是8m时物体停止，运动过程中E

k

－S的图线如图所示。求：

（1）物体的初速度多大？

（2）物体和平面间的摩擦系数为多大？（g取102

m s/）

（3）拉力F的大小。

24．质量为M、长度为d的木块，放在光滑的水平面上，在木块右边有一个销钉把木块挡住，使木块不能向右滑动。质量为m的子弹以水平速度V0射入木块，刚好能将木块射穿。现在拔去销钉，使木块能在水平面上自由滑动，而子弹仍以水平速度V0射入静止的木块。设子弹在木块中受阻力恒定。

求：（1）子弹射入木块的深度

（2）从子弹开始进入木块到与木块相对静止的过程中，木块

的位移是多大？

2-7-22

d

V0

第七节 动能和动能定理练习题答案

1．B 2．A 3．C 4．A 5．AD 6．A 7．D 8．ACD 9．D 10．C 11．A 12．BCD 13．D 14．D 15．C 16．

14F ; 34Fs 17． 3.75×105;2.5×104 18．3

2

FR 19．10m ，4J 20． (1)0.8m(2)离B2m 21．151.95J 22． (1)14200J(2)41.3m 23．2m/s ,0.25 , 4.5N 24．（1） X ＝ Md/（M ＋m ） （2） S 2＝

2

)

(m M Mmd

+

例1 如图2-7-4所示，绷紧的传送带在电动机带动下，始终保持v 0＝2m/s 的速度匀速运行，传送带与水平

地面的夹角θ＝30°，现把一质量m ＝l0kg 的工件轻轻地放在传送带底端，由传送带传送至h ＝2m 的高处。已知工件与传送带间的动摩擦因数2

3

=

μ，g 取10m/s 2。 (1) 试通过计算分析工件在传送带上做怎样的运动?

(2) 工件从传送带底端运动至h ＝2m 高处的过程中摩擦力对工件做了多少功?． 解答 (1) 工件刚放上皮带时受滑动摩擦力

θμcos mg F =，

工件开始做匀加速直线运动，由牛顿运动定律

ma mg F =-θsin

可得 )30sin 30cos 2

3(10)sin cos (sin 00-?=-=-=

θθμθg g m F a m/s 2=2.5m/s 2。 设工件经过位移x 与传送带达到共同速度，由匀变速直线运动规律

可得 5

.22222

2

0?==a v x m=0.8m ＜4m 。 故工件先以2.5m/s 2的加速度做匀加速直线运动，运动0.8m 与传送带达到共同速度2m/s 后做匀速直线运动。

(2) 在工件从传送带底端运动至h ＝2m 高处的过程中，设摩擦力对工件做功W f ，由动能定理

2021mv mgh W f =

-, 可得 210102120??=+=mv mgh W f J 2

2102

1??+J=220J 。

点评 本题第（2）问也可直接用功的计算式来求：

设工件在前0.8m 内滑动摩擦力做功为W f 1，此后静摩擦力做功为W f 2，则有

W f 1=μmgco s θ ·x=

8.030cos 10102

3

0????J=60J, W f 2=mg sin θ (s －x )=)8.04(30sin 10100

-???J=160J 。

所以，摩擦力对工件做的功一共是

W f = W f 1+ W f 2=60J+160J=220J 。

当然，采用动能定理求解要更为简捷些。

2-7-4