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量子力学基础

第1章量子力学基础

一、教学目的：

通过本章学习，掌握微观粒子运动的特征、量子力学的基本假设，并初步学习运用薛定谔方程去分析和计算势箱中粒子运动的有关问题:

二、教学内容：

1、微观粒子的运动特征

黑体辐射和能量量子化；光电效应和光子学说；实物粒子的波粒二相性；不确定关系；

2、量子力学基本假设

波函数和微观粒子的状态；物理量和算符；本征态、本征值和薛定谔方程；态叠加原理；泡利原理；

3、箱中粒子的薛定谔方程及其解

三、教学重点

微观粒子运动的特征、量子力学的基本假设

四、教学难点：

量子力学的基本假设

五、教学方法及手段

课堂教学

六、课时分配：

微观粒子的运动特征 2学时

量子力学基本假设 4学时

箱中粒子的薛定谔方程及其解 2学时

七、课外作业

课本p20～21

八、自学内容

1-1微观粒子的运动特征

1900年以前，物理学的发展处于经典物理学阶段（由Newton的经典力学，Maxwell的的电磁场理论，Gibbs的热力学和Boltzmann的统计物理学），这些理论构成一个相当完善的体系，对当时常见的物理现象都可以从中得到说明。

在经典物理学取得上述成就的同时，通过实验又发现了一些新现象，它们是经典物理学无法解释的。如黑体辐射、光电效应、电子波性等实验现象，说明微观粒子具有其不同于宏观物体的运动特征。

电子、原子、分子和光子等微观粒子，它们表现的行为在一些场合

显示粒性，在另一些场合又显示波性，即具有波粒二象性的运动特征。人们对这种波粒二象性的认识是和本世纪物理学的发展密切联系的，是二十世纪初期二十多年自然科学发展的集中体现。

1.1.1 黑体辐射和能量量子化——普朗克（ planck）的量子假说：

量子说的起源

黑体是一种能全部吸收照射到它上面的各种波长的光，同时也能在同样条件下发射最大量各种波长光的物体。

带有一个微孔的空心金属球，非常接近于黑体，进入金属球小孔的辐射，经过多次吸收、反射，使射入的辐射全部被吸收。当空腔受热时，空腔壁会发出辐射，极小部分通过小孔逸出。

若以E表示黑体辐射的能量，Ed表示频率在到+d范围内、单位时间、单位表面积上辐射的能量。以E对作图，得到能量分布曲线。

由图中不同温度的曲线可见，随着温度（T）的增加，E的极大值向高频移动。

一、经典解释

许多物理学家试图用经典热力学和统计力学理论来解释此现象。其中比较好的有Rayleigh-Jeans（瑞利-金斯）把分子物理学中能量按自由度均分原则用到电磁辐射上，得到辐射强度公式，它和实验结果比较，在长波处很接近实验曲线，而在短波长处与实验显著不符。另一位是Wein（维恩），他假设辐射按波长分布类似于Maxwell的分子速率分

布，所得公式在短波处与实验比较接近，但长波处与实验曲线相差很大。

二、量子解释

1900年，普朗克(M. Planck)根据这一实验事实，突破了传统物理观念的束缚，提出了量子化假设：

（1）黑体内分子、原子作简谐振动，这种作简谐振动的分子、原子称谐振子，黑体是有不同频率的谐振子组成。每个谐振子的的能量只能取某一最小的能量单位的整数倍，被称为能量子，它正比于振子频率=h，h为普朗克常数（h=6.626×10-27erg.sec=6.626×10-34J.s）。

E=n，=h 为谐振子的频率，h为planck常数

（2）谐振子的能量变化不连续，能量变化是的整数倍。

E=n2-n1=（n2-n1）

它只能发射或吸收频率为、数值为h的整数倍的电磁能，即发射的能量可以等于0 h，1 h，2 h，…nh (为整数)等。它们出现的几率之比为：1：exp(-h/kT)：exp(-2h/kT): …exp(-nh/kT)。因此频率为的振动的平均能量为

由此可得单位时间、单位表面积上辐射的能量

用此公式计算E值，与实验观察到的黑体辐射非常吻合。式中k是Boltzmann常数；T是绝对温度；c是光速；h称为Planck常数，将此式和观察到的曲线拟合，得到h的数值，目前测得h＝6．626×10-34J·s。

普朗克的假说成功地解释了黑体辐射实验。普朗克提出的能量量子化的概念和经典物理学是不相容的，因为经典物理学认为谐振子的能量由振幅决定，而振幅是可以连续变化的，并不受限制，因此能量可以连续地取任意数值，而不受量子化的限制。普朗克(M. Planck)能量量子化假设的提出，标志着量子理论的诞生。普朗克(M. Planck)是在黑体辐射这个特殊的场合中引入了能量量子化的概念，此后，在1900-1926年间，人们逐渐地把能量量子化的概念推广到所有微观体系。

1.1.2 光电效应和光子学说——Einstein的光子学说

一、光电效应

19世纪80年代发现了光电效应。

光电效应是光照在金属表面上，金属发射出电子的现象。金属中的电子从光获得足够的能量而逸出金属，称为光电子，由光电子组成的电流叫光电流。

实验事实是：

（1）在有两个电极的真空玻璃管，两极分别加上正负电压。当光照在正极上，没有电流产生；而当光照在负极上则产生电流，电流强度与光的强度成正比。

（2）对于一定的金属电极，仅当入射光的频率大于某一频率时ν0时才有电流产生，ν0称为临阈频率，不同金属的ν0不同

（3）由光电效应产生的电子动能仅随光的频率增大而增加而与光的强度无关。

（4）入射光照射到金属表面，立即有电子逸出，二者几乎无时间差。

对于上述实验事实，应用经典的电磁波理论得到的是相反的结论。根据光波的经典图象，波的能量与它的强度成正比，而与频率无关。因此只要有足够的强度，任何频率的光都能产生光电效应，而电子的动能将随着光强的增加而增加，与光的频率无关，这些经典物理学家的推测与实验事实不符。

二、光电效应的量子解释

首先认识到Planck能量量子化重要性的是Einstein（爱因斯坦），他将能量量子化的概念应用于电磁辐射，并用以解释光电效应。

1905年爱因斯坦（A. Einstein）依据普朗克的能量子的思想，提出了光子说，圆满地解释了光电效应。其要点是：

（1）光的能量是量子化的，最小能量单位是=h，称为光子。

（2）光为一束以光速c运动的光子流，光的强度正比于光子的密度（为单位体元内光子的数目）。

（3）光子具有质量m，根据相对论原理光子质量

m= h/c2

（4）光子有动量P

P = mc = h/ c =h/λ

（5）光子与电子碰撞时服从能量守恒和动量守恒。

将频率为ν的光照射到金属上，当金属中的一个电子受到一个光子撞击时，产生光电效应，光子消失，并把它的能量hv转移给电子。电子吸收的能量，一部分用于克服金属对它的束缚力，其余则表现出光电子的动能。上式中的W是电子逸出金属所需的最少能量，称脱出功，它等于hv o，E k是自由电子的动能，它等于mυ2/2。

当hv

当hv=W时，这时的频率是产生光电效应的临阈频率（v o）。

当hv>W时,从金属中发射的电子具有一定的动能,它随频率的增加而增加,与光强无关。但增加光的强度可增加光束中单位体积内的光子数，因而增加发射电子的速率。

只有把光看成是由光子组成的才能理解光电效应，而只有把光看成波才能解释衍射和干涉现象，即光表现出波粒二象性，在一些场合光的行为像粒子，在另一些场合光的行为像波。=h和P=h/λ将光的波动性和粒子性联系在一起。

1.1.3 实物微粒的波粒二相性

一、德布罗依假说

实物粒子是指静止质量不为零的微观粒子（m0≠0）。如电子、质子、中子、原子、分子等。

1924年德布罗依（de Broglie）受到光的波粒二象性的启示，提出实物粒子也具有波粒二象性假设：

式中，为物质波的波长，P为粒子的动量，h为普郎克常数, E为粒子能量，物质波频率。

一切微观体系都是粒性和波性的对立统一体。两式具体揭示了波性和粒性的内在联系，等式左边体现粒性，右边体现波性，它们彼此联系，互相渗透，在一定条件下又可互相转化，构成矛盾对立的统一体。微观体系的这种波粒二象性是它们运动的本质特性。

υ为粒子的运动速度。

二、物质波的实验证实

1927年，戴维逊(Dawison)—革末(Germer)用单晶体电子衍射实验，汤姆逊(G.P.Thomson)用多晶体电子衍射实验，发现电子入射到金属晶体上产生与光入射到晶体上同样产生衍射条纹，证实了德布罗意假说。

电子运动速度由加速电子运动的电场电势差(v)决定，即

由上式可知，若加速电压用1000 V，则所得波长为39pm，波长的数量级和x射线相近,普通光栅无法检验出它的波性，Davisson和Germer将被一定电势差加速到一定速度的电子束射到金属镍的单晶上，观察到完全类似于x射线衍射的性质，证实电子确实具有波性。

后来采用中子、质子、氢原子和氦原子等微粒流，也同样观察到衍射现象，充分证明了实物微粒具有波性，而不仅限于电子。

例1：（1）求以1.0×106m·s-1的速度运动的电子的波长。

这个波长相当于分子大小的数量级，说明分子和原子中电子运动的波动性显著的。

（2）求m=1.0×10-3kg的宏观粒子以v=1.0×10-2m·s-1的速度运动时的波长

这个波长与粒子本身的大小相比太小，观察不到波动效应。

例2 计算动能为300eV的电子的德布罗意波长.

解: 已知常数 h=6.62610-27ergs，m=9.1110-28g，1eV=1.60210-12erg

由

因此

==7.0810-9 (cm)

三、实物微粒波性的物理意义

实物微粒波的物理意义与机械波（水波、声波）和电磁波等不同，机械波是介质质点的振动，电磁波是电场和磁场的振动在空间的传播，而实物微粒波没有这种直接的物理意义。

电子等实物微粒具有波性，实物微粒波代表什么物理意义呢？

1926年，玻恩（Born）提出实物微粒波的统计解释——空间任何一点上波的强度（即振幅绝对值的平方）和粒子出现的几率成正比，按照这种解释描述的粒子的波称为几率波。

实物微粒波的强度反映粒子几率出现的大小，称几率波。分析电子衍射实验：发现较强的电子流可以在短时间内得到电子衍射照片，但用很弱的电子流，让电子先后一个一个地到达底片，只要时间足够长，也能得到同样的衍射图形，这说明电子衍射不是电子之间相互作用的结果，而是电子本身运动的所固有的规律性。用很弱的电子流做衍射实验，电子一个一个地通过晶体，因为电子具有粒性，开始只能得到照片底片上的一个个点，得不到衍射图象，但电子每次到达的点并不总是重合在一起，经过足够长的时间，通过电子数目足够多时，照片上就得到衍射图象，显示出波性。可见电子的波性是和微粒行为的统计性联系在一起的。对大量粒子而言，衍射强度（即波的强度）大的地方，粒子出现的数目就多，而衍射强度小的地方，粒子出现的数目就少。对一个粒子而言，通过晶体到达底片的位置不能准确预测。若将相同速度的粒子，在相同的条件下重复多次相同的实验，一定会在衍射强度大的地方出现的机会多，在衍射强度小的地方出现的机会少。

实物微粒有波性，我们对它粒性的理解也应和经典力学的概念有所

不同。在经典物理学中，粒子服从牛顿力学，它在一定的运动条件下有可以预测的运动轨道。按经典力学，一束电子在同样条件下通过晶体，每个电子都应达到相片上同一点，观察不到衍射现象。事实上电子通过晶体时并不遵循牛顿力学，它有波性，每次到达的地方无法准确预测，只有一定的与波的强度成正比的几率分布规律，出现衍射现象。

由上可知，一个粒子不能形成一个波，当一个粒子通过晶体到达底片上，出现的是一个衍射点，而不是强度很弱的衍射图象。但是从大量的微观粒子的衍射图象，可揭示出微观粒子运动的波性和这种波性的统计性，这个重要的结论适用于各个原子或分子中电子的行为。原子和分子中的电子其运动具有波性，其分布具有几率性。原子和分子的运动可用波函数描述，而电子出现的几率密度可用电子云描述。

四、一维de Broglie波

一维de Broglie波，在波动力学中，一维平面单色波是一维坐标x和时间t的函数：

------(1)

考虑到一个在一维空间运动的自由粒子，根据de Broglie假说:

； E=hν

将和ν代入式(1),有:

..4 测不准原理

测不准原理是由微观粒子本质特性决定的物理量间的相互关系的原理，它反映物质波的一种重要性质。因为实物微粒具有波粒二象性，从微观体系得到的信息会受到某些限制。例如一个粒子不能同时具有相同的坐标和动量（也不能将时间和能量同时确定），它要遵循测不准关系。这一关系是1927年首先由Heisenberg（海森堡）提出的。

电子束和光一样通过一狭缝可以发生衍射现象（下图）。一束以速度沿y方向前进的电子束,通过宽度为D的狭缝,在屏幕E(x方向)上产生衍射条纹。在x1和-x1处出现第一对衍射条纹（暗线），其所对应的衍射角，实验证明角满足光的狭缝衍射定律，即狭缝上下边缘到达x1处的程差，根据几何知识，。现仅考虑电子到达屏幕出现第一级极小的范围(x1和-x1之间)，这一束电子的动量在x方向的分量p x，，因此电子的动量在

x方向的不确定程度.电子在x方向的位置不确定程度 ( 狭缝的宽度).

因此可得：, 根据德布罗意关系式，并根据上述的电子衍射条件，于是，考虑到其他各级衍射,则应有：

这里并不是严格的证明，通过上述简要的推导，在于说明这样一个事实即由于实物粒子具有波动性，不能同时确定微观粒子的坐标和动量，即微观粒子的坐标被确定的愈精确，则其动量就愈不确定，反之亦然。

例3（1）质量为0.01kg的子弹，运动速度为1000ms-1，若速度的不确定程度为其运动速度的1%，则其位置的不确定程度为：

可以用经典力学处理。

（2）运动速度为1000ms-1的电子，若速度的不确定程度为其运动速度的1%，则其位置的不确定程度为：

远远超过在原子和分子中的电子离原子核的距离，不能用经典力学处理。

微观粒子和宏观物体的比较：

（1）宏观物体同时具有确定的坐标和动量，可用牛顿力学描述；而微观粒子没有同时确定的坐标和动量，需用量子力学报述。

（2）宏观物体有连续可测的运动轨道，可追踪各个物体的运动轨迹加以分辨；微观粒子具有几率分布的特性，不可能分辨出各个粒子的轨迹。

（3）宏观物体可处于任意的能量状态，体系的能量可以为任意的、连续变化的数值；微观粒子只能处于某些确定的能量状态，能量的改变量不能取任意的、连续变化的数值，只能是分立的，即量子化的。

（4）测不准关系对宏观物体无实际意义，在测不准关系式中，Planck 常数h可当作0；微观粒子遵循测不准关系，h不能看作0，所以可以用测不准关系式作为宏观物体与微观粒子的判别标准。

直径处于纳米(nm)量级的粒子，如纳米材料，常常出现既不同于宏观物体，又不同于微观粒子的特性，可称为介观粒子。

1．2 量子力学基本假设

量子力学是描述微观粒子运动规律的科学，微观体系遵循的规律叫量子力学，其主要特征是能量量子化和运动的波动性。

量子力学和其他许多学科一样，建立在若干基本假设的基础上，从这些基本假设出发，可推导出一些重要结论，用以解释和预测许多实验事实。经过半个多世纪实践的考验，说明作为两组力学理论基础的那些基本假设的是正确的。

1.2.1 波函数和微观粒子的状态

一、假设1：

对于一个微观体系（量子力学体系），可以用坐标和时间变量的状态函数ψ(x,y,z,t)来描述，它包括体系的全部信息。这一函数称为波函数或态函数，简称态。

不含时间的波函数ψ（x,y,z）称为定态波函数。在本课程中主要讨论定态波函数。

由于空间某点波的强度与波函数绝对值的平方成正比，即在该点附近找到粒子的几率正比于ψ*ψ，所以通常将用波函数ψ描述的波称为几率波。在原子、分子等体系中，将ψ称为原子轨道或分子轨道；将ψ*ψ称为几率密度，它就是通常所说的电子云；ψ*ψdτ为空间某点附近体积元dτ中电子出现的几率。

对于波函数有不同的解释，现在被普遍接受的是玻恩（M. Born）统计解释，这一解释的基本思想是：粒子的波动性（即德布罗意波）表现在粒子在空间出现几率的分布的波动，这种波也称作“几率波”。

波函数ψ可以是复函数，ψ=f+ig ψ*=f-ig ∣ψ∣2=ψ*ψ

ψ*ψ是实数，ψ*ψ=(f-ig)(f+ig)=f2+g2

例：一个粒子的体系，其波函数：

ψ=ψ（x,y,z,t）或 ψ=ψ（q,t）

例：三个粒子的体系，其波函数：

ψ=ψ（x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3,t）或ψ=ψ（q1,q2,q3,t）简写为

ψ=ψ（1,2,3,t）

例. 证明与所描述的几率密度分布是相同的.

证:

描述微观粒子运动状态的波函数ψ，对了解体系的性质和运动规律十分重要，因为它全面地规定了体系的各种性质，并不局限于和某一个物理量相联系。

二、合格（品优）波函数

由于波函数ψ2被赋予了几率密度的物理意义，波函数必须是：（1）单值的，即在空间每一点ψ只能有一个值；

（2）连续的，即ψ的值不出现突跃；ψ对x，y，z的一级微商也是连续函数；

（3）有限的（平方可积的），即ψ在整个空间的积分为一个有限数，

通常要求波函数归一化，即

例. 指出下列那些是合格的波函数(粒子的运动空间为 0→+∞)

(a) sinx (b) e-x (c) 1/(x-1) (d) f(x)=e x ( 0 x 1); f(x)=1 ( x 1)

解答: (b)是合格的波函数

三、自由粒子波函数(一维de Broglie波)

光的平面单色波

=Ae i2(x/-t)

由德布罗意关系式 =h/p ， =E/h 带入上式得到：

=Ae i/(px-Et)

即一维自由粒子波函数。

1.2.2、物理量和算符

一、算符（operator）假设Ⅱ：

对一个微观体系的每个可观测的物理量，都对应着一个线性自轭算符。

算符即表明一种运算或一种操作或一种变换的符号。对某一函数进行运算操作，规定运算操作性质的符号称为算符，例如d/dx，sin，log 等等。

例如： , , , exp, ,

1、线性算符：若算符对任意函数f(x) 和g(x) ，满足：

（cf(x)+dg(x)）= c f(x) + d g(x)

则为线性算符。

对波函数ψ1和ψ2，线性算符是指算符满足下一条件

例. , , exp, 中那些是线性算符

解答: 和是线性算符

, ，, 等为线性算符。

2、自轭算符

在量子力学中，为了和用波函数作为描述状态的数学工具相适应、以算符作为表示力学量的数学工具。体系的每个可观测的力学量和一个线性自轭算符相对应。

自轭算符是指算符A能满足

例如

如果算符和满足=则称算符和是可交换的。

二、构成力学量算符的规则：

1、时空坐标的算符就是其本身：=q ,

=t. 力学量 f=f(q,t)，则 =f(

)。

2、动量算符

，对于单粒子一维运动的动量算符

3、写出物理量的经典力学表达式，并表示成坐标、动量、时间的函数，然后把其中的物理量用算符代替。

量子力学需要用线性自轭算符，是使和算符对应的本征值能为实数(见假设Ⅲ)。若干力学量对应的其特列于表中

算符和波函数的关系是一种数学关系，通过算符的运算可获得有关微观体系的各种信息。实践证明利用其符和波函数能正确地描述微观体系的状态和性质。

三、一维空间运动粒子的能量算符

粒子的能量——哈密顿量H, H=T+V

T=mv2 = , V=V(x，t)

=()2 = -， V(x，t)

于是体系的哈密顿算符，有：

- + V(x,t)

对于三维空间：

其中称为Laplace算符

所以 - + V(x,y,z,t)

1.2.3、本征态，本征值和Schrodinger方程

一、本征态，本征值——假设Ⅲ

若某一力学量A的算符?作用于某一状态函数ψ后．等于某一常数a 乘以ψ即

那么对ψ所描述的这个微观体系的状态，其力学量A具有确定的数值a，a称为力学量算符?的本征值，ψ称为?的本征态或本征波函数．上式称为本征方程。

当ψ是?的本征态，在这个状态下，实验测定的数值将与?的本征值a对应。例如，欲知道一个原子可能的能量数值时，只需将能量算符作用在该状态的原子波函数ψ上，求出能量算符的本征值．此值应与实验测得该状态的能量数值一致。自轭算符的本征值一定为实数。

a=a*

a为实数。

例. 下列函数,那些是的本征函数，并求出相应的本征值.

(a) e imx (b) sinx (c) x2+y2 (d) (a-x)e-x

解答: (a) 和 (b) 是的本征函数

e imx=-m2e imx, 其相应的本征值为-m2

sinx=-sinx, 其相应的本征值为-1

二、Schrodinger方程

此式即为定态Schrodinger方程，它是决定体系能量算符的本征值和本

征函数的方程，是量子力学中一个基本方程，式中不含时间，这种本征态给出的几率密度，不随时间而改变，称为定态。这个本征态对应的本征值，就是该状态的能量。其本征值E为体系可以测量的能量值，其本征函数为体系的与本征值E对应的定态波函数。

对一个微观体系，自轭算符给出的本征函数组ψ1、ψ2、ψ3…形成一个正交、归一的函数组。波函数ψ满足正交归一条件，即归一指粒子在整个空间出现的几率为1

正交指：

证明如下：

取复共轭时，

上两式左边应相等

1.2.4．态叠加原理

假设Ⅳ：若ψ1，ψ2，ψ3……ψn为某一微观体系的可能状态，由它们线性组合所得的ψ也是该体系可能存在的状态。

ψ也是描写这个体系的一个可能状态，式中c i为任意常数，其大小反映了ψ的性质中ψi的贡献的大小，可由c i值求出和力学量A对应的平均值

。

1、本征态的物理量的平均值

设ψ1，ψ2，ψ3……ψn对应的本征值分别a1，a2，a3，……a n，当体系处于状态ψ并且ψ已归一化时

体系在状态ψ时，平均值和力学量A的实验测定值相对应，从而将体系的量子力学数学表达与实验测量沟通起来。

2、非本征态的物理量的平均值

若状态函数ψ不是力学量A的算符?的本征态，当体系处于这个状态时?ψ≠aψ，但是这时可用积分计算其平均值

①H原子中电子1s2p跃迁，高分辨率的光谱仪观察到两条靠得非常近的谱线。

②Na光谱的黄线（价电子3p3s）也分解为波长差为0.6nm的谱线。（2）Stern-Gerlach（斯特恩-盖拉赫）实验

1921年，碱金属原子束经过一个不均匀磁场射到一个屏蔽上，发现射线束分裂为两束向不同方向偏转。

（3）电子自旋问题的提出：

1925年，荷兰物理学家乌仑贝克（G.Uhlenbeck）和哥希密特(S.GGoudsmit)提出电子具有不依赖于轨道运动的固有磁矩的假说。这就是说，即使处于S态的电子，l=0，轨道角动量为0，但仍有内在的固有磁矩。如果我们把这个固有磁矩看成是电子固有的角动量形成的，这个固有的角动量形象地用“自旋”来描述。电子的自旋并不是电子顺时针或逆时针方向旋转，而是电子具有非空间轨道运动的角动量。电子具有不依赖于轨道运动的自旋运动，具有固有的角动量和相应的磁矩。

每个电子都有自旋角动量，它在空间任何方向的投影都只能取两

个，自旋磁矩与轨道运动产生的磁矩会发生相互作用，它可能顺着轨道运动产生的磁场方向，或逆着磁场方向。由实验知道，电子的自旋角动量在磁场方向的分量只有两个分量，所以ms的取值只有两个。m s=1/2的单电子自旋状态记做:, m s=-1/2的单电子自旋状态记做:

2）Pauli（泡利）原理

假设Ⅴ：在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能容纳两个电子，这两个电子的自旋状态必须相反。或者说两个自旋相同的电子不能占据相同的轨道。

这一假设在量子力学中通常表达为：描述多电子体系轨道运动和自旋运动的全波函数，对任意两粒子的全部坐标(空间坐标和自旋坐标)进行交换，一定得反对称的波函数。

假设电子的自旋运动和其轨道运动都彼此独立，即电子的自旋角动量和轨道角动量间的作用忽略不计。描述电子运动状态的完全波函数，除了包括空间坐标(x,y,z)外，还应包括自旋坐标(ω)，对一个具有n个电子的体系来说，其完全波函数应为

Pauli原理指出：对于电子、质子、中子等自旋量子数s为半整数的体系(费米子)，描述其运动状态的全波函数必须是反对称波函数。

若两个电子具有相同的坐标和相同的自旋：

q1=q2

即在三维空间同—坐标位置上，两个自旋相同的电子，其存在的几率密度为零。

对于光子、π介子、2H和α粒子(4He)等(自旋量子数s为整数的)玻色子，则要求对称波函数。玻色子不受Pauli不相容原理的制约，多个玻色子可以占据同一量子态。激光能够发生是与光子为玻色子有关，因为一个强的单色光束要由大量处于同一态的光子束组成。

反对称的完全波函数可以行列式波函数满足全同粒子（电子是全同粒子,即电子是不可区分的）和保里原理的要求来表达

(1,2,...,n)=

根据行列式的性质：行列式中任意两行或任意两列相等，则行列式两行

为零。

保里原理的推论：

①两个电子不能具有四个相同的量子数（n,l,m,s）。

②自旋相同的两个电子之间存在保里斥力。

1．3 箱中粒子的Schroginger方程及其解

一、一维势箱中粒子的Schroginger方程及其解

1、体系哈密顿算符

一个质量为m的粒子在一维空间（x方向）运动，当粒子处在0到l之间时，势能V＝0；粒子处在其他地方，势能为无穷大。

即粒子局限在箱内运动在箱外粒子出现的几率为零。

2、势箱内的薛定谔方程

3、微分方程的通解

上述微分方程（二阶常系数线性齐次微分方程）其通解由辅助方程：

必须是连续的、单值的, 且(0)=0,(l)=0.

①(0)=0, A=0

②(l)=0, B0, 只有sinl=0,

因此 l=n (n=1,2,3,...) 只有按此式取值的E，才能使ψ成为连续的品优函数。

的特解:

在此得到量子化的本征值和本征函数。

5、用波函数的归一化条件,确定待定系数B.

即要求：即得到

对波函数的归一化要求,也是根据玻恩的统计解释---即在整个空间找到粒子的几率必须是100.

6、对本征值和本征函数的讨论

①E n中n为能量的量子数，n=1,2,3,...，n=1时为基态，n=2时为第一激发态，n=3时为第二激发态，能量是量子化的。E n的能级间隔规律随(n22-n12)变化。

箱中粒子的最小能量即零点能是h2/8ml2，零点能效应是所有受一定势能场束缚的微观粒子的一种量子效应，它反映微粒在能量最低的基态时仍在运动，所以叫零点能。

②箱中各处粒子的几率密度是不均匀的，呈现波性，但并不是粒子本身像波一样分布。粒子在箱中没有经典的运动轨道，粒子在箱中出现的几率函数的分布像波，并服从波动方程。ψ可以为正值、负值，也可以为零。ψ＝0的点称为节点，基态没有节点，每当量子数n增加1时，节点数目也增加l。

一维势箱中粒子的能级E、波函数ψ及几率密度ψ*ψ

③是正交归一化的品优函数

即:

总结：综上所述，由量子力学处理箱中粒子，获得有关受一定势能场束缚的粒子的共同特性：

●粒子可以存在多种运动状态，它们可由ψ1，ψ2，ψ3……ψn等描述；

上述这些微观粒子的持性，统称量子效应。随着粒子质量m的增大，箱子的长度l增长，量子效应减弱。当m、l增大到宏观的数量时，量子效应消失，体系变为宏观体系，其运动规律又可用经典力学描述。

7、应用

1 粒子在箱中的平均位置

坐标位置的算符x=x，因为

简述建立量子力学基本原理的思想方法摘要：量子力学是大学物理专业的一门必修理论基础课程，它研究的对象是分子、原子和基本粒子。本文对建立量子力学基本原理的思想方法作一简单叙述，供学员在学习掌握量子力学的基本理论和方法时参考。关键词：量子力学；力学量；电子；函数作者简介 0引言 19世纪末，由于科学技术的发展，人们从宏观世界进入到微观领域，发现了一系列经典理论无法解释的现象，比较突出的是黑体辐射、光电效应和原子线光谱。普朗克于1900年引进量子概念后，上述问题才开始得到解决。爱凶斯坦提出了光具有微粒性，从而成功地解释了光电效应。 1量子力学量子力学是研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科，它主要研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论，它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。量子力学不仅是近代物理学的基础理论之一，而且在化学等有关学科和许多近代技术中也得到了广泛的应用。 2玻尔的两条假设玻尔在前人工作的基础上提出了两条假设，成功地解释了氢原子光谱，但对稍微复杂的原予(如氦原子)就无能为力。直到1924年德布罗意提出了微观粒子具有波粒二象性之后才得到完整解释。 1924年，德布罗意在普朗克和爱因斯坦假设的基础上提出了微观粒子具有波粒二象性的假设，即德布罗意关系。1927年，戴维孙和革末将电子作用于镍单晶，得到了与x射线相同的衍射现象，从而圆满地说明了电子具有波动性。 2.1自由粒子的波动性和粒子性它的运动是最简单的一种运动，它充分地反映了自由粒子的波动性和粒子性，将波(平面波)粒( p，E) 二象性统一在其中。如果粒子不是自由的，而是在一个变化的力场中运动，德布罗意波则不能描写。我们将用一个能够充分反映二象性特点的

量子力学教案主讲周宙安《量子力学》课程主要教材及参考书 1、教材：周世勋，《量子力学教程》，高教出版社，1979 2、主要参考书： [1] 钱伯初，《量子力学》，电子工业出版社，1993 [2] 曾谨言，《量子力学》卷I，第三版，科学出版社，2000 [3] 曾谨言，《量子力学导论》，科学出版社，2003 [4] 钱伯初，《量子力学基本原理及计算方法》，甘肃人民出版社，1984 [5] 咯兴林，《高等量子力学》，高教出版社，1999 [6] L. I.希夫，《量子力学》，人民教育出版社 [7] 钱伯初、曾谨言，《量子力学习题精选与剖析》，上、下册，第二版，科学出版社，1999 [8] 曾谨言、钱伯初，《量子力学专题分析（上）》，高教出版社，1990 [9] 曾谨言，《量子力学专题分析（下）》，高教出版社，1999 [10] P.A.M.Dirac,The Principles of Quantum Mechanics (4th edition), Oxford University Press (Clarendon),Oxford,England,1958；（《量子力学原理》，科学出版社中译本，1979） [11]https://www.doczj.com/doc/ea18431417.html,ndau and E.M.Lifshitz, Quantum Mechanics (Nonrelativistic Theory) (2nd edition),Addison-Wesley,Reading,Mass,1965；（《非相对论量子力学》，人民教育出版社中译本，1980）

第一章绪论量子力学的研究对象：量子力学是研究微观粒子运动规律的一种基本理论。它是上个世纪二十年代在总结大量实验事实和旧量子论的基础上建立起来的。它不仅在进到物理学中占有及其重要的位置，而且还被广泛地应用到化学、电子学、计算机、天体物理等其他资料。 §1.1经典物理学的困难一、经典物理学是“最终理论”吗？十九世纪末期，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段。那时，一般物理现象都可以从相应的理论中得到说明：机械运动（v<

《结构化学基础》讲稿第一章孟祥军

第一章量子力学基础知识（第一讲） 1.1 微观粒子的运动特征 ☆ 经典物理学遇到了难题： 19世纪末，物理学理论（经典物理学）已相当完善： ? Newton 力学 ? Maxwell 电磁场理论 ? Gibbs 热力学 ? Boltzmann 统计物理学上述理论可解释当时常见物理现象，但也发现了解释不了的新现象。 1.1.1 黑体辐射与能量量子化黑体：能全部吸收外来电磁波的物体。黑色物体或开一小孔的空心金属球近似于黑体。黑体辐射：加热时，黑体能辐射出各种波长电磁波的现象。 ★经典理论与实验事实间的矛盾：经典电磁理论假定：黑体辐射是由黑体中带电粒子的振动发出的。按经典热力学和统计力学理论，计算所得的黑体辐射能量随波长变化的分布曲线，与实验所得曲线明显不符。按经典理论只能得出能量随波长单调变化的曲线： Rayleigh-Jeans 把分子物理学中能量按自由度均分原则用到电磁辐射上，按其公式计算所得结果在长波处比较接近实验曲线。 Wien 假定辐射波长的分布与Maxwell 分子速度分布类似，计算结果在短波处与实验较接近。经典理论无论如何也得不出这种有极大值的曲线。 ? 1900年，Planck （普朗克）假定：黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动，只能发射或吸收频率为ν, 能量为 ε=h ν 的整数倍的电磁能，即振动频率为 ν 的振子，发射的能量只能是 0h ν，1h ν，2h ν，……，nh ν（n 为整数）。 ? h 称为Planck 常数，h ＝6.626×10－34J ?S ? 按 Planck 假定，算出的辐射能 E ν 与实验观测到的黑体辐射能非常吻合： ●能量量子化：黑体只能辐射频率为 ν ，数值为 h ν 的整数倍的不连续的能量。能量波长黑体辐射能量分布曲线 () 1 /81 3 3 --= kt h c h e E ννπν

第一章量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ，（1）以及 c v =λ，（2） λρρd dv v v -=，（3）有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ

量子力学讲义

一、量子力学是什么？量子力学是反映微观粒子(分子、原子、原子核、基本粒子等)运动规律的理论。研究对象：微观粒子，大致分子数量级，如分子、原子、原子核、基本粒子等。二、量子力学的基础与逻辑框架 1.实验基础 ——微观粒子的波粒二象性：光原本是波 ——现在发现它有粒子性；电子等等原本是粒子 ——现在发现它有波动性。 2.（由实验得出的）基本图象 —— de Broglie 关系与波粒二象性 Einstein 关系（对波动）：E h ν=，h p λ = de Broglie 关系（对粒子）： E =ω， p k = 总之，),(),(k p E ω? 3.（派生出的）三大基本特征：几率幅描述 ——(,)r t ψ 量子化现象 —— ,,,321E E E E = 不确定性关系 ——2 ≥ ???p x 4.（归纳为）逻辑结构 ——五大公设 (1)、第一公设 ——波函数公设：状态由波函数表示；波函数的概率诠释；对波函数性质的要求。 (2)、第二公设 ——算符公设 (3)、第三公设 ——测量公设 ?=r d r A r A )(?)(* ψψ (4)、第四公设 ——微观体系动力学演化公设，或薛定谔方程公设 (5)、第五公设 ——微观粒子全同性原理公设三、作用四、课程教学的基本要求教材：《量子力学教程》周世勋，高等教育出版社参考书：1. 《量子力学》，曾谨言，2. 《量子力学》苏汝铿，复旦大学出版社 3. 《量子力学习题精选与剖析》钱伯初，曾谨言，科学出版社

第一章绪论 §1.1 辐射的微粒性 1.黑体辐射所有落到（或照射到）某物体上的辐射完全被吸收，则称该物体为黑体。G. Kirchhoff （基尔霍夫）证明，对任何一个物体，辐射本领)T ,(E ν与吸收率)T ,(A ν之比是一个与组成物体的物质无关的普适函数，即 )T ,(f )T ,(A )T ,(E ν=νν （f 与物质无关）。辐射本领：单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量的频率分布，以)T ,(E ν表示。在t ?时间，从s ?面积上发射出频率在 ν?+ν-ν 范围内的能量为： ν???νs t )T ,(E )T ,(E ν的单位为2 /米焦耳；可以证明，辐射本领与辐射体的能量密度分布的关系为 )T ,(u 4 c )T ,(E ν=ν （)T ,(u ν单位为秒米焦耳3 ）吸收率：照到物体上的辐射能量分布被吸收的份额。由于黑体的吸收率为1，所以它的辐射本领 )T ,(f )T ,(E ν=ν 就等于普适函数（与物质无关）。所以黑体辐射本领研究清楚了，就把普适函数（对物质而言）弄清楚了。我们也可以以)T ,(E λ来描述。 ????λ λ ν=λλλν=λλ νν=ννd c )T ,(E d d c d ) T ,(E d d d ) T ,(E d )T ,(E 2 )T ,(E c )T ,(E 2 νν = λ (秒米焦耳?3 ) A. 黑体的辐射本领实验测得黑体辐射本领 T ,(E λ与λ的变化关系在理论上， ① 维恩（Wein ）根据热力学第二定律及用一模型可得出辐射本领 h 32 e c h 2)T ,(E ν-νπ= ν ?? ?=π=k h c c h 2c 22 1（k 为Boltzmann 常数：K 1038.123 焦耳-?）

量子力学基础习题一、单选题 1、在热平衡状态下，黑体的辐出度M（T）与（）成正比。 A．T B．T2 C．T3D．T4 2、设有两个黑体，它们的热平衡温度分别为T1、T2（T1>T2），那么，对应于各自的最大单色辐出度的波长λ1、λ2之间的关系为（）A．λ1=λ2B．λ1<λ2 C．λ1>λ2D．λ1=2λ2 3、一束紫外光照射到金属铯的表面产生光电效应，其光电流的强度决定于（） A、临界频率 B、驰豫时间 C、入射光强度 D、遏止电位 4、一束紫外光照射到某种金属的表面产生光电效应，其光电子的动能决定于（） A．入射光强度B．入射光频率 C．脱出功D．驰豫时间 5、设微观自由粒子的速度远小于光速，则根据德布罗意关系，该粒子的波函数可表示成（） A．球面波B．单色球面波 C．平面波D．单色平面波 6、在电子衍射实验中，设加速电压为100V，则电子的德布罗意波长约为（） A．10nm B．1.0nm C．0.10nm D．0.01nm 7、设光的频率为ν，则该光子的质量可表示为（） h A．hνB．ν hν C．mc2D．2c 8、量子力学的测不准关系反映了（） A、微观粒子的固有特性 B、测量仪器的精度 C、微观粒子的质量 D、测量方法 9、设电子和质子具有相同的动能，德布罗意波长分别为λe和λp，则有（） A．λe>λp B．λe=λp

C．λe<λp D．无法判断 10、微观粒子在空间某处出现的概率与该处（）成正比 A．波函数B．波函数的平方 C．波函数的绝对值D．波函数的绝对值的平方 11、波函数的标准化条件是（） A．连续B．有限 C．归一化D．单值、有限、连续 12、处于无限深势阱中的粒子（） A．能量连续，动量连续B．能量量子化，但动量连续 C．能量量子化，动量也量子化D．能量连续，但动量量子化二、判断题 1、熔炉中的铁水发出的光是热幅射。（） 2、人体也向外发出热幅射，其波长范围在紫外区，所以人的肉眼看不到。（） 3、自然界中的一切物体都具有波粒二象性。（） 4、一束光照射到金属表面能否产生光电效应，关键在于入射光的强度是否足够大。（） 5、电子衍射实验中，电子的德布罗意波长决定于加速电压。（） 6、不确定关系是反映微观粒子运动的普遍规律。（） 7、波函数必须满足归一化条件。（） 8、薛定谔方程是描述微观粒子运动的基本方程。（）三、填空题 1、黑体是一个理想模型，它是指。 2、光电效应是光的的反映。 3、在光电效应中，电子吸收光子遵守规则。 4、红限频率是指。 5、非相对论性的一维自由粒子的波函数可以表达为。 6、质量为10.0g的子弹，速度为1000m/s，它的德布罗意波长为。 7、不确定关系可以用来区分粒子和粒子，划分力学和力学的界限。 8、德布罗意波既不是机械波又不是电磁波，而是一种。 9、无限深势阱中的粒子的能量必定是。 10、STM的理论基础是。四、简答题 1、绝对黑体是不是不发射任何辐射？

量子力学课后习题详解第一章量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ，（1）以及 c v =λ，（2） λρρd dv v v -=，（3）有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 '=???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2 c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ

一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、何为束缚态？ 2、当体系处于归一化波函数ψ(,)?r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)? r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。 3、设粒子在位置表象中处于态),(t r ? ψ,采用 Dirac 符号时，若将ψ(,)? r t 改写为ψ(,)? r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 4、简述定态微扰理论。 5、Stern —Gerlach 实验证实了什么？一、20分，每小题4分，主要考察量子力学基本概念以及基本思想。 1. 束缚态: 无限远处为零的波函数所描述的状态。能量小于势垒高度，粒子被约束在有限的空间内运动。 2. 首先求解力学量F 对应算符的本征方程：λλλφφφλφ==F F n n n ??，然后将()t r ,? ?按F 的本征态展开： ()?∑+=λφφ?λλd c c t r n n n ,? ，则F 的可能值为λλλλ,,,,n 21???，n F λ=的几率为2 n c ，F 在λλλd +~范围内的几率为λλd c 2 3. Dirac 符号是不涉及任何表象的抽象符号。位置表象中的波函数应表示为?r ? 。 4. 求解定态薛定谔方程ψψE H =∧ 时，若可以把不显含时间的∧ H 分为大、小两部分∧ ∧ ∧ '+=H H H ) (0，其中（1） ∧) (H 0的本征值)(n E 0和本征函数)(n 0ψ 是可以精确求解的，或已有确定的结果)(n )(n )(n ) (E H 0000ψ ψ =∧，（2）∧ 'H 很小，称为加在∧) (H 0上的微扰，则可以利用) (n 0ψ和) (n E 0构造出ψ和E 。 5. Gerlack Stein -实验证明了电子自旋的存在。一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 2、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 3、测不准关系是否与表象有关？ 4、在简并定态微扰论中，如?()H 0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…， f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数？ 5、在自旋态χ12 ()s z 中，?S x 和?S y 的测不准关系(?)(?)??S S x y 22?是多少？一、20分，每小题4分，主要考察量子力学基本概念以及基本思想。 1、条件：①能量比无穷远处的势小；②能级满足的方程至少有一个解。 2、不一定，只有在它们共同的本征态下才能同时确定。 3、无关。 4、因为作为零级近似的波函数必须保证()()()()()()()()011 1 00E H E H n n n n ??φφ--=-有解。 5、16 4 η。

结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案

代表______________________。 1107、物理量xp y- yp x的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为m的一个粒子在长为l的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________，最低能量为____________ ； (3)体系处于基态时，粒子出现在0 ─l/2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长，其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ； (5)若该粒子在长l、宽为2l的长方形势箱

中运动，则其本征函数集为____________，本征值谱为 _______________________________。 1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ 211(x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态 ψ 211 时，概率密度最大处坐标是 _______________________；若体系的能量为 2 247ma h ，其简并度是_______________。 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E = 2 243ma h 的简并度是_____，E '= 2 2827ma h 的简并度是______________。 1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为μ= 2 121m m m m +的一维谐振子，其势能为V =kx 2/2，它的薛定谔方程是

《大学物理》作业 No .8量子力学基础班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______ 一、选择题：（注意：题目中可能有一个或几个答案正确。） 1. 静止质量不为零的微观粒子作高速运动，这时粒子物质波的波长λ与速度v 有如下关系： [ C ] (A) v ∝λ (B) v 1 ∝λ (C) 2211c v -∝ λ (D) 22v c -∝λ 解：由德布罗意公式和相对论质 — 速公式 2 201 1c v m mv h p -= == λ 得2 20 1 1c v m h - =λ，即2211c v -∝λ 2. 不确定关系式 ≥???x p x 表示在x 方向上 [ D ] (A) 粒子位置不能确定 (B) 粒子动量不能确定 (C) 粒子位置和动量都不能确定 (D) 粒子位置和动量不能同时确定 3. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布概率将 [ D ] (A) 增大2 D 倍。 (B) 增大2D 倍。 (C) 增大D 倍。 (D) 不变。 4. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： )(23cos 1)(a x a a x a x ≤≤-= πψ 那么粒子在6 5a x =处出现的概率密度为 [ A ] a 21(A ) a 1 (B) a 21(C) a 1(D) 解：概率密度 )23(cos 1)(22 a x a x πψ=

将65a x =代入上式，得 a a a a x 21)6523(cos 1)(22=?=πψ 5. 波长 λ = 5000 ?的光沿x 轴正方向传播，若光的波长的不确定量?λ=103-?，则利用不确定关系h p x x ≥???可得光子的x 坐标的不确定量至少为： [ C ] (A) 25cm （B ）50cm (C) 250cm (D) 500cm 解：由公式p = λh 知： △322105000 -?-=?-=h h p λλ 利用不确定关系h p x x ≥???，可得光子的x 坐标满足 91025?=?≥ ?x p h x ?=250cm 二、填空题 1. 低速运动的质子和α粒子，若它们的德布罗意波长相同，则它们的动量之比=αP :p p 1:1 ；动能之比=αP :E E 4:1 。解：由p = λ h 知，动量只与λ有关，所以1:1:αP =p p ；由非相对论动能公式m p E 22 k =，且αp p p =，所以1:4:αP ==p m m E E α 2. 在B = 1.25×10 2 -T 的匀强磁场中沿半径为R =1.66cm 的圆轨道运动的α粒子的德布罗意波长是 0.1 ? 。(普朗克常量h = 6.63×10-34J·s ,基本电荷e = 1.6×10-19 C) 解：由牛顿第二定律= evB 2R mv 2得eBR mv p 2==，又由λ h p =得 1.0(m)10998.010 66.11025.1106.121063.62112 21934 ≈?=???????===-----eBR h p h λ? 3. 若令c m h e c = λ (称为电子的康普顿波长，其中m e 为电子静止质量，c 为光速，h 为普

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第一章量子力学基础一、教案目的：通过本章学习，掌握微观粒子运动的特征、量子力学的基本假设，并初步学习运用薛定谔方程去分析和计算势箱中粒子运动的有关问题:b5E2RGbCAP 二、教案内容： 1、微观粒子的运动特征黑体辐射和能量量子化；光电效应和光子学说；实物粒子的波粒二相性；不确定关系； 2、量子力学基本假设波函数和微观粒子的状态；物理量和算符；本征态、本征值和薛定谔方程；态叠加原理；泡利原理； 3、箱中粒子的薛定谔方程及其解三、教案重点微观粒子运动的特征、量子力学的基本假设四、教案难点：量子力学的基本假设五、教案方法及手段课堂教案六、课时分配：微观粒子的运动特征 2学时量子力学基本假设 4学时

箱中粒子的薛定谔方程及其解 2学时七、课外作业课本p20～21 八、自学内容 1-1微观粒子的运动特征 1900年以前，物理学的发展处于经典物理学阶段<由Newton的经典力学，Maxwell的的电磁场理论，Gibbs的热力学和Boltzmann的统计物理学），这些理论构成一个相当完善的体系，对当时常见的物理现象都可以从中得到说明。p1EanqFDPw 在经典物理学取得上述成就的同时，通过实验又发现了一些新现象，它们是经典物理学无法解释的。如黑体辐射、光电效应、电子波性等实验现象，说明微观粒子具有其不同于宏观物体的运动特征。DXDiTa9E3d 电子、原子、分子和光子等微观粒子，它们表现的行为在一些场合显示粒性，在另一些场合又显示波性，即具有波粒二象性的运动特征。人们对这种波粒二象性的认识是和本世纪物理学的发展密切联系的，是二十世纪初期二十多年自然科学发展的集中体现。RTCrpUDGiT 1.1.1黑体辐射和能量量子化——普朗克< planck）的量子假说：量子说的起源黑体是一种能全部吸收照射到它上面的各种波长的光，同时也能在同样条件下发射最大量各种波长光的物体。带有一个微孔的空心金属球，非常接近于黑体，进入金属球小孔的辐射，经过多次吸收、反射，使射入的辐射全部被吸收。当空腔受热时，空腔壁会发出辐射，极小部分通过小孔逸出。5PCzVD7HxA

《量子力学》电子教案杨子元编宝鸡文理学院物理系

一、简单介绍《量子力学》在物理学中的地位与作用 1．物理学课程体系中，分为基础课与专业课基础课包括力、热、光、电、原子物理专业课——四大力学：理论、热统、电动、量子力学 2．大学四年中所学所有课程大多为经典物理（即十八、九世纪物理）只有在量子力学中才涉及近代物理的内容 3．量子力学是从事物理教学及其研究中的一门基础专业学科（讲授意义）二、学习中应注意的几个问题 1．关于“概念”问题；量子力学中物理概念距离我们的生活越来越远，因此更加抽象。例“波函数” 概念（与经典概念比较，例“力”概念） 2．克服经典物理思想的束缚，防止用经典物理方法解决量子力学问题。例：①轨道概念在量子力学已抛弃；②K P E E E +=不再成立，而用 P K E E E +=表示 3．必要的数学知识：偏微分方程，勒让德多项式，贝塞尔函数，矩阵（尤其是矩阵的对角化），厄米多项式，傅里叶变换。三、教材与参考书 1．张怿慈《量子力学简明教程》人民教育出版社 2．曾谨言《量子力学》上、下册科学出版社 3．蔡建华《量子力学》上、下册人民教育出版社 4．梁昆淼《物学物理方法》人民教育出版社 5．[美]玻姆量子理论商务印书馆 6．大学物理（93.9—95.4）《量子力学自学辅导》

第一章绪论量子力学是反映微观粒子（分子、原子、原子核、基本核子等）运动规律的基础理论，它是本世纪二十年代总结大量事实和旧量子的基础上建立起来的，它不仅是近代物理学的基础，而且被广泛的应用于化学和电子学等领域。在介绍量子力学之前，首先回顾一下量子力学产生的历史过程。 §1.1 经典物理学的困难一、困难 1687年，牛顿的划时代巨著《自然哲学的教学原理》在伦敦出现。当时，自然科学没有完全从哲学分划出来，而用了哲学这个名称。牛顿经典力学的主要内容是它的三大定律，到了十九世纪末，二十世纪初牛顿建立的力学大厦远远超出了这三条定律，可以说整个经典物理的大厦已竣工。机械运动——牛顿力学电磁现象——麦氏方程光学——波动理论热学——完整热力学和玻耳兹曼和吉布斯建立的统计物理学当时物理学家非常自豪和得意，因为当时几乎所有的新发现都能很好地套进现有的模子中。然而正当经典物理大厦逐渐升高时，它庞大的躯体却产生了两大裂痕。其一是迈克尔逊——莫雷关于地球相对于以太漂移速度零的结果。经典力学相对原理表明，力学规律在不同参照系中应有相同形式 S 系 a m F = Ｓ/ 系 a m F '=' 也就是说对一切力学现象而言，一切惯性系都是等价的。麦氏电磁理论中，有一光速C （常数），在伽利略变换下，由麦氏方程推出的波动

习题22 22-1．计算下列物体具有MeV 10动能时的物质波波长，（1）电子；（2）质子。解：（1）具有MeV 10动能的电子，可以试算一下它的速度： 2 12k mv E = ?v c ==>光速，所以要考虑相对论效应。设电子的静能量为20m c ，总能量可写为：20k E E m c =+，用相对论公式： 22224 0E c p m c =+ ，可得：p = = h p λ= = 348 -= 131.210m -=?；（2）对于具有MeV 10动能的质子，可以试算一下它的速度： 74.410/v m s = ==?，所以不需要考虑相对论效应。利用德布罗意波的计算公式即可得出： 34 159.110h m p λ--====?。 22-2．计算在彩色电视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为kV 0.25，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。解：（1）用非相对论公式： 34127.7610h m p λ--====?；（2）用相对论公式：设电子的静能为20m c ，动能为：k E eU =，由2 0222240E eU m c E c p m c =+=+????? ，有：127.6710m λ-==?。 22-3．求出实物粒子德布罗意波长与粒子动能E K 和静止质量m 0的关系，并得出： E K << m 0c 2时， K E m h 02/≈λ； E K >> m 0c 2时， K E hc /≈λ．解：由 202c m mc E K -=2 0220])/(1/[c m c c m --=v 解出： 2 2 0/)(c c m E m K += )/(220202 c m E c m E E c K K K ++=v , 根据德布罗意波： )/(/v m h p h ==λ 把上面m ，v 代入得： 2 02 2c m E E hc K K += λ,

第十七章量子力学基础知识量子力学是研究微观粒子（如电子，原子和分子等）运动规律的学科量子力学的建立经历了由经典物理学到旧量子论，再由旧量子论到量子力学两个历史发展阶段。微观粒子运动的特征 1 、几个代表性的实验经典物理学发展到19世纪末，在理论上已相当完善，对当时发现的各种物理现象都能加以理论上的说明。它们主要由牛顿的经典力学，麦克斯韦的电、磁和光的电磁波理论，玻耳兹曼和吉布斯等建立的统计物理学组成。19世纪末，人们通过实验发现了一些新的现象，它们无法用经典物理学解释，这些具有代表性的实验有以下3个。（1）黑体辐射黑体是指能全部吸收各种波长辐射的物体，它是一种理想的吸收体，同时在加热它时，又能最大程度地辐射出各种波长的电磁波。绝热的开有一个小孔的金属空腔就是一种良好的黑体模型。进入小孔的辐射，经多次吸收和反射，可使射入的辐射实际上全部被吸收，当空腔受热时，空腔会发出辐射，称为黑体辐射。实验发现，黑体辐射能量与波长的关系主要与温度有关，而与空腔的形状和制作空腔的材料无关。在不同温度下，黑体辐射的能量（亦称辐射强度）与波长的关系如图所示。许多物理学家试图用经典热力学和统计力学方法解释黑体辐射现象。瑞利（Rayleigh J W）和金斯(Jeans J H)把分子物理学中能量按自由度均分的原理用于电磁辐射理论，得到的辐射能量公式在长波处接近实验结果，在短波处和实验明显不符。特别是瑞利-金斯的理论预示在短波区域包括紫外以至x射线、γ射线将有越来越高的辐射强度，完全与事实不符，这就是物理学上所谓的“紫外灾难”。维恩(Wien W)假设辐射按波长分布类似于麦克斯韦的分子速度分布，得到的公式在短波处和实验结果接近，在长波处相差很大。 1900年普朗克(Planck M)在深入研究了实验数据，并在经典力学计算的基础上首先提出了“能量量子化”的假设，他认为黑体中原子或分子辐射能量时做简

量子力学基础简答题 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数??? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。 6、何为束缚态？ 7、当体系处于归一化波函数ψ(,)?r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)? r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。 8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ? ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,)? r t 改写为ψ(,) ? r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。 10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？ 14、在简并定态微扰论中，如?() H 0的某一能级) 0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…， f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ 1 2 ()s z 中，?S x 和?S y 的测不准关系(?)(?)??S S x y 22?是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger &&方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger &&方程的解？ 17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。 18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。 19何谓选择定则。 20、能否由Schrodinger &&方程直接导出自旋？ 21、叙述量子力学的态迭加原理。 22、厄米算符是如何定义的？ 23、据[a ?，+ a ?]=1，a a N ???+=，n n n N =?，证明：1?-=n n n a 。 24、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。

第13章量子力学基础 13.1 绝对黑体和平常所说的黑色物体有什么区别？答：绝对黑体是对照射其上的任意辐射全部吸收而不发生反射和透射的物体，而平常所说的黑色物体是只反射黑颜色的物体。 13.2 普朗克量子假设的内容是什么？答：普朗克量子假设的内容是物体发射和吸收电磁辐射能量总是以νεh =为单位进行。 13.3 光电效应有哪些实验规律？用光的波动理论解释光电效应遇到了哪些困难？答：光电效应的实验规律为：1）阴极K 在单位时间内所发射的光子数与照射光的强度成正比；2）存在截止频0ν；3）光电子的初动能与照射光的强度无关，而与频率成线性关系； 4）光电效应是瞬时的。用光的波动理论解释光电效应遇到的困难在于：1）按照波动理论，光波的能量由光强决定，因而逸出光电子的初动能应由光强决定，但光电效应中光电子的初动能却与光强无关；2）若光波供给金属中“自由电子”逸出表面所需的足够能量，光电效应对各种频率的光都能发生，不应存在红限；3）光电子从光波中吸收能量应有一个积累过程，光强越弱，发射光子所需时间就越长。这都与光电效应的实验事实相矛盾。 13.4 波长λ为0.1nm 的X 射线,其光子的能量ε= J 151099.1-?；质量m = kg 321021.2-?；动量p = 1241063.6--???s m kg . 13.5 怎样理解光的波粒二象性？答：光即具有波动性，又具有粒子性，光是粒子和波的统一，波动和粒子是光的不同侧面的反映。 13.6 氢原子光谱有哪些实验规律？答：氢原子光谱的实验规律在于氢原子光谱都由分立的谱线组成，并且谱线分布符合组合规律 )11()()(~2 2n k R n T k T kn -=-=ν k 取 ,3,2,1，分别对应于赖曼线系，巴耳米线系，帕形线系，. 13.7 原子的核型结构模型与经典理论存在哪些矛盾？答：原子的核型结构与经典理论存在如下矛盾：1）按经典电磁辐射理论，原子光谱应是连续的带状光谱；2）不存在稳定的原子。这些结论都与实验事实矛盾。 13.8 如果枪口的直径为5mm,子弹质量为0.01kg,用不确定关系估算子弹射出枪口时的横